1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin, sustitúcia, kontrola (skúška) riešenia, (ekvivalentné a neekvivalentné) úpravy rovnice a nerovnice, lineárny, kvadratický člen, koeficient pri lineárnom (kvadratickom) člene. Vlastnosti a vzťahy: diskriminant kvadratickej rovnice a c 0 D ac, ± D riešením kvadratickej rovnice a c 0 sú 1,, a vzťah medzi diskriminantom a počtom (navzájom rôznych) koreňov kvadratickej rovnice, a c a( 1).( ), kde, 1 sú korene rovnice a c 0 ( a 0 ), ak, 1 sú korene kvadratickej rovnice c 0, tak 1. c, 1, vzťah medzi znamienkom súčinu dvoch výrazov a znamienkom jednotlivých činiteľov. Požiadavky na vedomosti a zručnosti Žiak vie (rovnice) nájsť všetky riešenia lineárnej rovnice a 0 a kvadratickej rovnice a c 0, pr nmičom pozná vzťah medzi koreňmi kvadratickej rovnice, jej koeficientmi a koreňovými činiteľmi, počtom riešení (pozri príklady 1,, ), nájsť všetky riešenia, resp. všetky riešenia ležiace v danom intervale I (ak sa nedá presne, tak priližne s pomocou kalkulačk, rovnice f ( ) A, kde A R a f je funkcia - a,, - a, log ( a Q, je kladné číslo rôzne od 1), - sin, cos, tan, a vie určiť, koľko riešení má uvedená rovnica (v závislosti od čísla A, čísel a,, c, resp. intervalu I, pozri príklady, 5), použitím danej sustitúcie y ϕ() upraviť rovnicu zapísanú v tvare f (ϕ ( )) A na tvar f ( A, špeciálne vie nájsť všetky riešenia (resp. všetky riešenia ležiace v danom intervale) rovníc a - f ( a ) A, kde f je funkcia,, log, sin, cos, - f ( a c) A, kde f je funkcia a,, log,, - af ( ) f ( ) c 0, kde f lineárna, kvadratická funkcia aleo funkcia sin, cos (pozri príklad 6), nájsť všetky riešenia (resp. všetky riešenia ležiace v danom intervale) rovníc zapísaných v tvare f ( ) g( ) 0, kde pokiaľ vie riešiť rovnice f()0, g()0 (pozri príklad 7), nájsť všetky riešenia (resp. všetky riešenia ležiace v danom intervale) rovníc, ktorých riešenie možno upraviť na niektorý z predchádzajúcich tvarov - použitím úprav jednotlivých strán rovnice, využívajúcich úpravy výrazov a základné vlastnosti funkcií (pozri 1. Čísla, premenné a výrazy, Funkcie), - pripočítaním (špeciálne odpočítaním) a vynásoením (špeciálne vydelením) oidvoch strán rovnice výrazom, umocnením (špeciálne odmocnením) oidvoch strán rovnice, 1
- odstránením asolútnej hodnoty v prípade rovníc s jednou asolútnou hodnotou (rozlišovaním dvoch vhodných prípadov), resp. jednoduchých rovníc s dvoma asolútnymi hodnotami (rozlišovaním vhodných prípadov), pričom vie rozhodnúť - či použitá úprava zachová aleo či môže zmeniť množinu riešení danej rovnice, - ktoré z koreňov rovnice, ktorá vznikla uvedenými úpravami, sú aj koreňmi pôvodnej rovnice, resp. - pri použití postupov, ktoré mohli množinu potenciálnych koreňov zmenšiť - o ktorých číslach ešte trea zistiť, či sú koreňmi pôvodnej rovnice (pozri príklady 8 1), na základe vlastností funkcie f (monotónnosť, periodičnosť, súmernosti grafu) - určiť vzťah medzi číslami a y, pre ktoré platí f ( ) f (, kde f je funkcia a,, log, - a, sin, cos (na základe toho vie riešenie rovnice v tvare f ( g( )) f ( h( )) nahradiť riešením rovnice (aleo rovníc) zapísaných už len pomocou funkcií g a h, pozri príklad 1), riešiť kontetové (slovné) úlohy vedúce k rovniciam a interpretovať získané riešenia v jazyku pôvodného zadania, (sústavy rovníc) opísať a geometricky interpretovať množinu všetkých riešení jednej a dvoch lineárnych rovníc s aleo neznámymi (pozri. Analytická geometria v rovine,. Súradnicová sústava v priestore, vektory, analytická metóda), nájsť množinu všetkých riešení sústavy 1 lineárnych rovníc s 1, resp. 1 neznámymi, a to aj v prípadoch, keď táto sústava má nekonečne veľa riešení (a tieto riešenia aj zapísať) aleo nemá riešenia (pozri príklady 1, 15, 16), nájsť všetky riešenia sústavy rovníc s neznámymi, ktorú možno jednoducho upraviť na tvar y f () g (, 0 (resp. f ( g (, 0 ), pokiaľ vie riešiť rovnicu g (, f ( )) 0 (resp. g ( f (, 0 ), upravovať sústavy rovníc použitím - úprav jednotlivých strán rovnice, využívajúcich úpravy výrazov a základné vlastnosti elementárnych funkcií (pozri 1. Čísla, premenné a výrazy, Funkcie), - pripočítania (špeciálne odpočítania) a vynásoenia (špeciálne vydelenia) oidvoch strán rovnice výrazom, pričom vie rozhodnúť, - či použitá úprava zachová aleo či môže zmeniť množinu riešení danej sústavy, - ktoré z riešení sústavy, ktorá vznikla uvedenými úpravami, sú aj riešeniami pôvodnej sústavy, resp. - pri použití postupov, ktoré mohli množinu potenciálnych riešení zmenšiť - o ktorých číslach ešte trea zistiť, či sú riešeniami pôvodnej sústavy, nahradiť riešenie sústav typu f (, y ).h(, y ) 0 g(, y ) 0 riešením dvojice sústav f (, 0 g(, 0, h (, 0 g(, 0, správne použiť nahradenie jednej rovnice sústavy súčtom vhodných násokov jednotlivých rovníc tejto sústavy, a to aj v prípade nelineárnych sústav (pozri príklad 17), (nerovnice a ich sústav nájsť množinu všetkých riešení nerovnice - f ( ) L, kde L je reálne číslo, je jeden zo znakov nerovnosti <,, >, a f je niektorá z funkcií α ( a ), intervale,, log, a, resp. množinu všetkých riešení tejto nerovnice ležiacich v danom
- f ( ) L, kde f je niektorá z funkcií sin, cos, tg a je prvkom daného ohraničeného intervalu, f ( ) - 0 a f ( ) g( ) 0, pokiaľ vie riešiť nerovnice f ( ) 0, g( ) 0, kde je znak nerovnosti g( ) (pozri príklady 18, 19, 0, 1), pri riešení a úpravách nerovníc správne použiť - vynásoenie oidvoch strán nerovnice kladným aleo záporným číslom, - pripočítanie výrazu k oidvom stranám nerovnice, a - vynásoenie nerovnice výrazom NSN (,6 a), a c,, nájsť všetky riešenia nerovníc, ktorých riešenie možno uvedenými postupmi nahradiť riešením nerovníc uvedených v predchádzajúcej odrážke, na základe poznatkov o monotónnosti eponenciálnych a logaritmických funkcií nahradiť riešenie nerovnice f ( g( )) * f ( h( )), kde je znak nerovnosti a f je logaritmická aleo eponenciálna funkcia, riešením nerovnice g ( ) * h( ), riešiť sústavu nerovníc s jednou neznámou v prípadoch, keď vie vyriešiť samostatne každú z daných nerovníc (pozri príklad, pozri tiež prieniky a zjednotenia intervalov v 1. Čísla, premenné a výraz, vyznačiť na ovej osi riešenie nerovnice f ( )* g( ), pokiaľ vie načrtnúť grafy funkcií y f(), y g(), v rovine opísať a geometricky interpretovať množinu všetkých riešení jednej nerovnice s dvoma neznámymi, y, ktorú možno zapísať v tvare - y f () aleo f ( (kde je znak nerovnosti) v tých prípadoch, kedy vie načrtnúť graf funkcie y f (), resp. f (, - a y c 0, - a ay dy m * 0, - f (, y )* 0, ak vie načrtnúť krivku f (, y ) 0 (pozri príklad, pozri tiež. Množiny odov daných vlastností a ich analytické vyjadrenie), riešiť kontetové (slovné) úlohy vedúce k nerovniciam a interpretovať získané riešenia v jazyku pôvodného zadania. Príklady 1. Pre ktoré číslo p má kvadratická rovnica y y p 0 s neznámou y jediné riešenie?. Pre ktoré číslo p má rovnica p 0 jediné riešenie? 1 1. Nech s, t sú oa korene rovnice - 1 0. Vypočítajte racionálne číslo. t s. Koľko koreňov má rovnica cos 0, 5 v intervale (1, 6)? 5. V intervale (5π, 6π) nájdite všetky riešenie rovnice 71p sin sin. 5 6. Použitím sustitúcie t riešte rovnicu 1 1.
7. Riešte rovnicu ( ) 0. Návod: upravte ľavú stranu na súčin. 8. Riešte rovnicu cos cos 0, 5. 9. Riešte rovnicu sin 5 cos. 8 10. Riešte rovnicu. 11. Riešte rovnicu 5. 1. Adam riešil rovnicu a) 16cos 1, ) 16.9 1 tak, že ju odmocnil na tvar a) cos 1, ). 1 a novú rovnicu správne doriešil. Dostal tak správne riešenie pôvodných rovníc? Svoju odpoveď zdôvodnite. 1. Riešte rovnicu sin sin 5. 1. Pre ktoré čísla a nemá sústava y 5, a 5y 1 riešenie? 15. Pre ktoré čísla a, má sústava y, a 5y 1 nekonečne veľa riešení? 16. Sústava dvoch lineárnych rovníc o troch neznámych má medzi riešeniami trojice 0, y, z a 1, y, z 0. Napíšte aspoň jedno ďalšie riešenie tejto sústavy. 17. Zistite, či rovnicu 5 y 11z 0 môžeme dostať súčtom vhodných násokov jednotlivých rovníc sústavy 5y 7z 0, 9 y 7z 88 0. 18. Riešte nerovnicu 1 0. 19. Riešte nerovnicu log( ) > 0. 0. Pre ktoré čísla leží graf funkcie y 1. nad grafom funkcie y - 5 7? 1. Určte najmenšie n, od ktorého je postupnosť n 0 a n rastúca. n 1. Pre ktoré čísla a, sú riešením sústavy nerovníc - 7 > a, - 5 > 8 práve všetky čísla z intervalu (, 8)?. Riešte nerovnicu, 1. 5 6, ak viete, že korene rovnice - 5 6 sú,
RIEŠENIE LINEÁRNYCH A KVADRATICKÝCH ROVNÍC V R 1. Riešte v R: a) ) c) 10 15 6 5 11 0 7 1 6 5 5 1 1. Riešte v R: a) 1 1 c) 1 1 1 1 9 6 d) 1 5 6. 1 ) 1 5 d) 8 5 e) ( ) ( ) A B k k Z. Riešte v R: a) 5 1 ) 0 c) 5 9. Riešte v R: a) Určte a q, ak pre rovnicu 5 q 0 platí 1. ) Riešte využitím vhodnej sustitúcie: ( 5 ) 6( 5 1) 1 0 c) Zostavte kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú prevrátené čísla ku koreňom rovnice 1 0. EXPONENCIÁLNA ROVNICA 1. Riešte v R: a) ( ),5 0, ( 0,0 ) 5 0 5 ) 7. 1 5 5 c) 0,15. - 0,5 d) 8. 9. 1 0. Riešte v R: a).9 9 9-1 0 ) 5 19 5 1 c) 9 1. 1 6 5
LOGARITMICKÁ ROVNICA 1. Riešte v R: a) log ( ) log ( ) log 6 ).log.log.log.log 6 c) log 5 log (6. 7) log 5 d).log log log 5 (.log ) 6. Riešte v R: a) 10. ) log (. 1) c).log 1 100. d) log 5 log RIEŠENIE NEROVNÍC 1. Koľko celých čísel vyhovuje nerovnici 6. 7 10.. Riešte v R nerovnicu < 0 10 1. Určte definičný oor funkcie f : y ( 6 ) 8 16 a zistite, pre aké R nadoúda funkcia nezáporné hodnoty.. Určte všetky celé čísla, pre ktoré platí: a) 11 19 < ) 15 1 > ( 1) 9 5 1 9 6 1 5. Riešte v R: a). ) 1 16 7 8 6. Riešte v R: a) log log 0,5 1 ) log 0,6 ( ) log 0,6 ( ) - 0,9 7. Rozhodnite o pravdivosti výroku: a) 1 7 ) 5 5 6
SÚSTAVY ROVNÍC 1. Riešte v R sústavu: 1 5 5 1 1 y 8 1 10 y 1 6. Určte rovnicu, ktorou je určená kvadratická funkcia f s definičným oorom R, ktorej graf prechádza odom A[1; ], B[ ; 5], C[; 0].. Určte graficky množinu všetkých odov pre súradnice ktorých platí: y 8 y 8. Určte vzájomnú polohu priamky p a roviny ρ ak: p: 1t, y t, z t; t R ρ: 6yz 5 0 5. Určte všetky [; y] R pre ktoré platí: y 7 y 1 6. Rozdiel dvoch prirodzených čisel je 18, rozdiel ich aritmetického a geometrického priemeru je 16. Určte tieto čísla. SÚSTAVY NEROVNÍC 1. Riešte a) v R ) v N sústavu: ( ). V karteziánskej sústave súradníc zostrojte všetky ody [ ] 1 5 5 ; y, pre ktorých súradnice vyhovuje: a) y 6y 0 y 0 ) 9 y 18 16y 9 0 y 0. V RR riešte sústavu numericky i graficky: y 8 5y 5. Určte súradnice vrcholov mnohouholníka, ktorý je grafickým orazom riešenia sústavy: a) y 0 y 8 ) y 0 0 y 0 y 5 0 c) y 1 0 y 5 0 5y 15 0 7
RIEŠENIE ALGEBRICKÝCH ÚLOH S PARAMETROM 1. Určte a R, pre ktoré má rovnica ( ).(a 1) a kladné korene.. Riešte danú sústavu a určte podmienky, za ktorých má sústava kladné korene: ay y 1 a R, a parameter.. a) Určte k R tak, ay rovnica (k 1). (k 1) 0 nemala reálne korene. ) Daná je elipsa y 1 16 9 a priamka p: y m, kde m R je parameter. Určte m tak, ay elipsa mala s priamkou p spoločné práve dva ody. a) Určte a R tak, ay pre korene 1, rovnice a 8 0 platil vzťah 1.. Riešte v R graficky rovnicu: a), ak parameter R ) c 1, ak c parameter c R 5. Riešte v R s parametrom p R: 6.(p ) p. 6. Pre aký reálny parameter p rovnica p. (p ). p 5 0 má len jeden reálny koreň? ABSOLÚTNA HODNOTA 1. a) Riešte v N: 5 9 ) Riešte v R: 5 1. Riešte v R: 1 1 1. Riešte v R: 10. Riešte výpočtom aj graficky rovnicu.. Riešte čo najúspornejšie: a) ( ) ) ( 5 6) 5 6 RIEŠENIE ROVNÍC V OBORE KOMPLEXNÝCH ČÍSEL 1. Riešte v C: 1 5 z z i i. Riešte v C: (1 i) i 0. Riešte v C: 16 81 0 5. Riešte v C: z z. Riešte v C: z z z 1 0 6. Riešte v C: z 1 i z i z 8