Tenutni ol bzine. Nčini njegovog odeđivnj. Svko kuto telo koje vši vno ketnje, u oštem slučju, u svkom tenutku, n svom mteijlnom ili nemteijlnom delu, im smo jednu tčku, čij je bzin jednk nuli V = 0. T tčk nosi nziv tenutni ol bzine. Kd se zn vc bzine neke tčke tel, v ovučen koz tu tčku uvn n vekto bzine mo olziti koz tenutni ol bzine. Tkve ve nzivćemo otezim do tenutnog ol. ko se n imeu s slike znju vci bzin tčk i, esekom odgovjućih oteg dolzi se do mest tenutnog ol. ošto ovi otezi moju biti uvni n vektoe bzin V, V, D VD,..., z bilo koju dugu tčku tel, n ime D (s slike), vc je definisn. Što se tiče smeov vekto bzin, oni su u skldu s vektoom ugone bzine. Ugon bzin se može dobiti ko količnik intenzitet bzine m koje tčke tel i njenog stojnj do tenutnog ol V V VD ω = = = =..., D smim tim z intenzitete bzin tčk vže fomule V = ω, V = ω, V = D ω, D...
Ko dokz d se tenutni ol nlzi n eseku oteg izzimo vo V eko : V V = V + V, odkle se zključuje d je V, zbog, ili V lelno s V ili je. Ztim se V 0 = izžvnjem V eko : V D D V = VD + V, dolzi do zključk d je V, zbog, ili V D D lelno s V ili je. ošto je nemoguće D V = 0 d istovemeno bude V lelno s i mo biti Dokz fomul V V D V = 0. veznih z ugonu bzinu tel i intenzitet bzin njegovih tčk, ko i smeov istih, oslnj se n činjenicu d, zbog = 0, vže vektoske V jednkosti: V = V + V = V, V = V, VD = VD,... Neki secijlni slučjevi: U ikznom secijlnom slučju kd se znju intenziteti lelnih, jednko usmeenih bzin, zjedničkog oteg do ol, mesto ol se odeđuje, ko n slici, ovlčenjem ve koj sj vhove vekto bzin do esek s otegom, gde, n osnovu sličnosti touglov, vži: V + V = ( V V ) = V = V V V
V V V ω = = U ikznom secijlnom slučju kd se znju intenziteti lelnih, suotno usmeenih bzin, zjedničkog oteg do ol, mesto ol se odeđuje, ko n slici, ovlčenjem ve koj sj vhove vekto bzin do esek s otegom, gde, n osnovu sličnosti touglov, vži: V V = ( V + V ) = V = V V + V V V + V ω = = U dole ikznom secijlnom slučju kd su bzine lelne i smim tim otezi tkođe lelni (bez oklnj) tenutni ol je u beskončnosti i vži d je ugon bzin tel, u dtom tenutku, jednk nuli V ω = lim = 0. To im z osledicu d svk tčk tel, n ime D, im ko vekto istu bzinu ko i tčk : VD = V + VD = V, je je V D = D ω = 0. Dkle, u tkvom secijlnom slučju vži: V V = V = V =... = C D
ime.5 Št vši vno ketnje tko što tčk klizi o vetiklnom zidu tčk o hoizontlnom odu. oznte veličine su V, l i α. Odediti ω i V? ω = V V V = l cosα V = ω = l sin α l cosα V = V tn α. ime.6 Št vši vno ketnje tko što klizi o ivici C dok njegov tčk klizi o hoizontlnom odu. oznte veličine su V, l i α. Odediti ω? h h C sin α = C =, sin α = C sin α C h V V = =, ω = = sin α. sin α sin α h
Tenutni ol bzine i kotljnju bez kliznj. ilo d se disk (točk, obuč) kotlj bez kliznj o volinijskoj ili kivolinijskoj neoketnoj odlozi, zbog jednkosti bzin dodinih tčk, tenutni ol mo biti u tčki kontkt gde vži: V = C V ω, C V VC, C V = ω = = VD = D ω = D.
i kotljnju bez kliznj o volinijskoj odlozi, z oznto C i, ugono ubznje odeđuje fomul ε = C. V ( ) ( t) d VC ( ) ( t) C ( ) ( t) C ω t = C ω t = ε t = ε dt = i kotljnju bez kliznj o kivolinijskoj odlozi, z oznto CT i, ugono ubznje odeđuje fomul ε = CT. V ( ) ( t) d VC ( ) ( t) CT ( ) ( t) CT ω t = C ω t = ε t = ε dt = Tkođe znti d je u tom slučju: CN VC =. R +
Teoem o ojekciji vekto bzin n zjedničku vu. Z dve tčke koje idju telu što vši vno ketnje ojekcije vekto bzin n zjedničku vu moju biti jednke: V D cosβ = V cosα. Dokz (donj slik): ojektovnjem vektoske jednčine V n izbnu x osu, dobij se: D = V + VD x V Dx = V + 0 V D cosβ = V cosα. : x
Tenutni ol ubznj. oznto je ubznje jedne tčke tel u otunosti (n ime, tčke,, zn mu se vc, sme i inenzitet) tkođe i ugon bzin ω i ugono ubznje ε tel u dtom tenutku. Teb odediti mesto tčke tel Q čije ubznje iznosi nul. T tčk Q je tenutni ol ubznj. oložj tčke Q u odnosu n tčku i vekto odeđuju ugo β i stojnje Q. Tčnije, ko bi se vekto obnuo oko tčke u smeu ugonog ubznj ε bio bi usmeen tčno e- m tčki Q, koj je od tčke n stojnju Q. Odeđivnje stojnj Q : Q Q Q Q = + +, = 0, = Q ω = Q ε Q N T Q N, T = = Q Q 4 ( ) + ( ) = ( Q ε) + ( Q ω ) = ( Q) ( ε + ω ) T Q ε + ω N 4 Q = ε + ω 4.
Odeđivnje ugl β: Odeđivnje ubznj m koje tčke tel kd mu se zn oložj tčke Q, ω i ε (smim tim i β): N osnovu touglov s slike immo d je: tnβ = β = Q T Q N = Q ε Q ω ε ctn ω. ε = ω vc i sme vekto ubznj neke tčke tel dobijju se oketnjem z ugo β vekto koji sj tu tčku s tčkom Q oko te tčke. Intenzitete vekto ubznj tčk odeđuju izzi: 4 = Q ε + ω, = CQ C ε + ω 4,...
Centoide. ime. Telo koje se u vni kotlj bez kliznj o neoketnoj liniji vši ošte vno ketnje. Svk tčk omotč tog tel u tenutku kontkt s neoketnom linijom imće bzinu jednku nuli i biće tenutni ol bzine. Omotč tog telčini sku tenutnih olov bzine koji, u odnosu n oketni koodintni sistem ηξ, obzuje oketnu centoidu C. Neoketnu centoidu C n, koj je zvo omenut neoketn linij, čini sku tenutnih olov bzine u odnosu n neoketni koodintni sistem yox. Svko vno ketnje može biti edstvljeno ko kotljnje bez kliznj oketne centoide o neoketnoj. Jednčine tih centoid f ( x, y i ) = 0 g( ξ, η ) = 0 dobijju se n osnovu odgovjućih metskih jednčin tčke u neoketnom i oketnom koodintnom sistemu elimincijom met iz tih jednčin.
( ) ( ) ( ), U metskim jednčinm oblik x = x ϕ, y = y ϕ, ξ = ξ ϕ η = η ( ϕ), met je ϕ. Ukoliko bismo kuto telo koje vši vno ketnje kuto sojili s oketnom centoidom, kotljnjem bez kliznj oketne centoide o neoketnoj telo bi olzilo koz otuno iste oložje ko i kod njegovog oiginlnog ketnj. ime.7 Z ime vnog ketnj, gde tčk št, dužine l, klizi o vetiklnom zidu njegov tčk, klizi o hoizontlnom odu, odediti neoketnu i oketnu centoidu? Neoketn centoid: metske jednčine neoketne centiode: x ( ϕ) = l sin ϕ, y ( ϕ) = l cosϕ. Elimincij met ϕ: x + y = l ( sin ϕ + cos ϕ) x + y = l Koišćen jednkost: sin ϕ + cos ϕ =.. oketn centoid: metske jednčine oketne centiode: ξ ( ϕ) = x ( ϕ) sin ϕ = l sin ϕ, η ( ϕ) = x ( ϕ) cos ϕ = l sin ϕ cos ϕ.
Elimincij met ϕ: l l ξ l l l ξ = cos ϕ, η = sin ϕ ( ϕ) = ( cosϕ), η ( ϕ) = sin ϕ Koišćene jednkosti: ( cos ϕ + sin ϕ) l l ξ + η = ξ l sin ϕ= + η l =. ( cosϕ), sin ϕ cosϕ = sin ϕ, cos ϕ + sin ϕ =. Izvođenje izz z sin ϕ i cos ϕ eko cosϕ, koje je oželjno znti: ) cos ϕ + sin ϕ =, ) cos ϕ sin ϕ = cos ϕ. cos ϕ= sin ϕ= ( + cosϕ). Sbinjem jednčin ) i ), dobij se: Oduzimnjem jednčin ) i ), dobij se: ( cosϕ). cos sin ϕ= + cos ϕ ϕ= cos ϕ
Složeno ketnje tčke. enosno ketnje. Reltivno i solutno ketnje tčke koj vši složeno ketnje. Im smisl goviti o složenom ketnju tčke ond, kd ostoji ketnje tel, tkođe ostoji, ketnje tčke u odnosu n to telo. To oketno telo u odnosu n koje se keće tčk zvćemo enosni element, njegovo ketnje zvćemo enosno ketnje. U oblemim kkve oučvmo u ovom kusu, enosno ketnje je njčešće ili obtnje oko neomične ose ili tnsltono ili ošte vno, zbog čeg se dobo mo znti kinemtik ovkvih vst ketnj tel. Ketnje tčke, koj vši složeno ketnje, u odnosu n enosni element nziv se eltivnim ketnjem. Shodno tome, koistićemo se ojmovim: eltivn utnj, eltivn bzin i eltivno ubznje, koji suštinski edstvljju: utnju, bzinu i ubznje, te tčke koj vši složeno ketnje, u odnosu n enosni element (to jest, odnosu n oketni koodintni sistem, koji je vezn z enosni element). Ketnje tčke, koj vši složeno ketnje, u odnosu n okolinu koj, uslovno ečeno, miuje nziv se solutnim ketnjem. Shodno tome, koistićemo se ojmovim: solutn utnj, solutn bzin i solutno ubznje, koji suštinski znče: utnju, bzinu i ubznje te tčke, koj vši složeno ketnje, u odnosu n okolinu (to jest, odnosu n neoketni koodintni sistem, vezn z okolinu).
N slici je ikzn enosni element (loč) koji vši obtnje oko neomične ose, koj je uvn n vn ctež i olzi koz tčku. S enosnim elementom se zjedno keće i oketni koodintni sistem ηξ, vezn z njeg. Tkođe je ikzn i neoketni koodintni sistem yox, fiksin z neoketnu okolinu, ko i dve tčke koje vše složeno ketnje, to su tčke M i N. Reltivno ketnje tčke M je volinijsko, s obziom d se on keće o volinijskom žljebu ueznom u enosni element. Reltivno ketnje tčke N je kužno, s obziom d se t tčk keće o kužnom žljebu ueznom u enosni element. U oblemim će biti jko vžno imetiti d li je eltivn utnj volinijsk ili kivolinijsk, je od tog zvise vžni odci koji se tiču vekto eltivne bzine i eltivnog ubznj.
Vektoi eltivne, enosne i solutne bzine i jednkost koj ih ovezuje. em teoiji, vekto solutne bzine tčke (oznčvćemo g s V, bez indeks), koj vši složeno ketnje, jednk je zbiu vekto njene enosne bzine (oznčvćemo je s V ) i eltivne bzine ( V ), dkle V = V + V enosn bzin V je bzin one tčke enosnog element n kojoj se (odnosno, nd kojom se), u osmtnom tenutku vemen, nlzi tčk koj vši složeno ketnje. ko s M oznčimo tu tčku enosnog element nd kojom se u osmtnom tenutku vemen nlzi tčk M, koj vši složeno ketnje, ond je jsno d je vekto enosne bzine jednk vektou bzine tčke M, dkle =. V V M ošto enosni elementi n ovim slikm vše obtnj oko neomičnih os, vci enosnih bzin V su uvni n duži, dok su im smeovi u = V M M skldu s smeovim ugonih bzin ω enosnih element.
Z eltivnu bzinu je veom vžno imetiti d li je eltivn utnj volinijsk ili kivolinijsk. ko je volinijsk, vc vekto eltivne bzine V mo biti isti ko i vc volinijske eltivne utnje (Sl.). ko je eltivn utnj kivolinijsk, vc vekto eltivne bzine V mo se okloiti s vcem tngente n eltivnu utnju (Sl.). ( ) ko je zdt jednčin s t volinijskog eltivnog ketnj (Sl.) intenzitet eltivne bzine dobij se vim izvodom eltivne volinijske koodinte o vemenu, dkle V = s&. Vekto V je istog sme ko i ost koodinte s, ko je u tom tenutku s& > 0, dok je vekto V suotnog sme u odnosu n sme ost koodinte s, ko je u tom tenutku s& < 0. Isto tko, ko je zdt jednčin s( t) kivolinijskog eltivnog ketnj (Sl.), immo d je V = s&, gde sme vekto V, ko i kod eltivne volinijske koodinte, zvisi od tog d li je, u tom tenutku, s& ozitivno ili negtivno.
ko se z kužno eltivno ketnje ne zd koodint s t već odgovjuć eltivn ugon koodint ψ( t), ko n slici (ethodni sljd), gde s edstvlj dužinu kužnog luk nd uglom ψ, ond je ogodno iskoistiti fomulu s( t) = R ψ( t) kko bi znli s( t). Vektoi eltivnog, enosnog, Koiolisovog i solutnog ubznj tčke koj vši složeno ketnje i jednkost koj ih ovezuje. em teoiji, vekto solutnog ubznj tčke (oznčvćemo g s, bez indeks), koj vši složeno ketnje, jednk je zbiu vekto njenog enosnog (oznčvćemo g s ), eltivnog ( ) i Koiolisovog ( co ) ubznj, dkle: = + + co. enosno ubznje je ubznje one tčke enosnog element n kojoj se (odnosno, nd kojom se), u osmtnom tenutku vemen, nlzi tčk koj vši složeno ketnje. ( )
ko s M oznčimo tu tčku enosnog element nd kojom se u osmtnom tenutku vemen nlzi tčk M, koj vši složeno ketnje, ond je jsno d je vekto enosnog ubznj jednk vektou ubznj tčke M, dkle =. M ko enosni element vši obtnje oko neomične ose, vekto ubznj tčke M, nd kojom se nlzi tčk M, koj vši složeno ketnje, mo biti zložen n nomlnu i tngencijlnu komonentu. S obziom d bi u tkvom slučju imli d je M = M N + M T, smim tim bi isli: = + gde je =, =. N T N M N T M T Z eltivno ubznje je veom vžno imetiti d li je eltivn utnj volinijsk ili kivolinijsk. ko je volinijsk, vc vekto eltivnog ubznj mo biti isti ko i vc volinijske eltivne utnje (Sl.- ethodni sljd). ko je eltivn utnj kivolinijsk, vc tngencijlne komonente T vekto eltivnog ubznj mo se okloiti s vcem tngente n eltivnu utnju (Sl.- ethodni sljd). li, osim tngencijlne komonente vekto im i svoju nomlnu komonentu N, koj je usmeen k centu kivine eltivne utnje i čiji je intenzitet odeđen fomulom V N =, R gde je R k oluečnik kivine eltivne utnje. k
U velikom boju ime eltivn kivolinijsk utnj je kužn je u tkvom slučju R k jednko oluečniku kug R eltivne kužne utnje. U tkvom slučju vekto N je usmeen k centu tog kug. ko je zdt jednčin s( t) volinijskog eltivnog ketnj (Sl.), intenzitet eltivnog ubznj dobij se dugim izvodom eltivne volinijske koodinte s ( t) o vemenu, dkle = & s. Vekto je istog sme ko i ost koodinte s, ko je u tom tenutku & s& > 0, dok je vekto suotnog sme u odnosu n sme ost koodinte s, ko je u tom tenutku & s& < 0. Isto tko, ko je zdt jednčin s( t) kivolinijskog eltivnog ketnj (Sl.), intenzitet tngencijlne komonente eltivnog ubznj tkođe se dobij dugim izvodom eltivne kivolinijske koodinte s( t) o vemenu, dkle T = & s. Vekto T je istog sme ko i ost koodinte s, ko je u tom tenutku & s& > 0, dok je vekto T suotnog sme u odnosu n sme ost koodinte s, ko je u tom tenutku & s& < 0.
em teoiji Koiolisovo ubznje odeđuje fomul co = ω V, gde je ω vekto ugone bzine enosnog element ( ω = ω ). vc i sme vekto ugone bzine ω odeđuje vilo desne uke (Sl.) U cilju odeđivnj vc i sme Koiolisovog ubznj teb uočiti vn π koju obzuju vi i dugi u vektoskom oizvodu (Sl. i Sl.3). Ztim se vilom desne uke odede vc i sme Koiolisovog ubznj (ste desne uke ostviti u vni π tko d su sti usmeeni od vog vekto u vektoskom oizvodu k dugom njkćim utem. lc desne uke okzće vc i sme Koiolisovog ubznj). Intenzitet Koiolisovog ubznj: co = ω V sin θ
U slučju kkvi se često seću u ksi, kd je u itnju vnski mehnizm, gde je vekto ω uvn n vn ctež, u smoj vni ctež leži vekto V, 0 ugo θ je 90 i smim tim, intenzitet Koiolisovog ubznj je = ω V. U tkvom slučju (Sl.4-thodni sljd), vc i sme Koiolisovog ubznj co 0 mogu se dobiti, oketnjem vekto V u smeu ω z 90. OTVRD JEDNKOSTI V = V + V I = + + co Z SLUČJ KD RENOSNI ELEMENT VRŠI OŠTE RVNO KRETNJE Reltivn bzin i eltivno ubznje: M = ρ = ξe + ηe, V = ξ& e + η& e, && = ξe + η&& e Koiolisovo ubznje: co = ω V, ω = ϕ& e3 e e e3 e e co = 0 0 ϕ& = ϕ& ξ& ξ& η& η& 0 co = ϕ& ( η& e ξ& e ) = ϕη & & e + ϕξ && e co co
enosn bzin i enosno ubznje: V = VM ' = V + VM ', V = V + V V = V + V V = ξϕ e, V ' = ηϕ e & M & V = V + ξϕ& e ηϕ& e N + V = M ' = + M ' N + M ' T, = + N + T = + N + = ξϕ& e, T = ξϕ&& e, M ' N = ηϕ& e, M ' T = ηϕ&& e = ξϕ& e + ξϕ&& e ηϕ& e ηϕ&& e N Sl. ikzni su vci i smeovi vekto V, VM ',, i, N, T M ' N M ' T čiji intenziteti su: V = ξϕ&, V ' = ηϕ, & M N = ξϕ&, = ξϕ&, M = ηϕ& = ηϕ&. ' N T, M ' T M ' T + M ' N V = V M ' = M ' + M ' T
solutn bzin i solutno ubznje: = = + ρ, e& M = ϕ& e, e& = ϕ& e, ρ = ξe + ηe = + ξe + ηe d = + ξe + ηe dt V = V + ξe& + ηe& + ξ& e + η& e V = V + ξϕ& e ηϕ& e + ξ& e + η& e V d dt V = V = V + ξϕ& e +V ηϕ& e + ξ& e + η& e d d = + ( ξϕ& ) e + ξϕ& e& ( ηϕ& ) e dt dt = + = & e + ξ&ϕ + ξϕ& e ξϕ& e η& ϕ& e = ξϕ& e + ξϕ&& e ηϕ& e ηϕ&& e = + + co ηϕ& e& ( ξϕ && + ξϕ&& ) e ξϕ& e ( ηϕ & & + ηϕ&& ) e ηϕ& e & + ξϕ& e ηϕ & & e + ξe + η&& e + ξ& e& + η& e& + && ξe + η&& e && ηϕ& e ηϕ& e + ξϕ& e η& ϕ& e + ξe + η&& e & ξ e + η&& e + + ( ϕη & & e + ϕ& ξe ) & & &
Slgnje ugonih bzin i složenom ketnju kutog tel. Ovde se ogđujemo n tkvo složeno ketnje tel gde je i enosno i eltivno ketnje, u njtežoj vijnti, ošte vno, ko n slici. Ovde je jedini cilj d se z ozntu ugonu bzinu enosnog tel ω i ozntu eltivnu ugonu bzinu ω (tj. ugonu bzinu nošenog tel, koje vši složeno ketnje, u odnosu n enosno telo) odedi solutn ugon bzin nošenog tel ω (tj. njegovu ugonu bzinu u odnosu n okolinu koj miuje). Fomul koj ovezuje ove ugone bzine je: ω = ω ± ω. Ovde se sme ugone bzine ω okl s smeom ω, dok je edznk ised ω + ko se smeovi od ω i ω oklju, - ko su suotni. Z slučj s slike, gde je ω = ϕ&, sme suotnog od kzljke n stu, ω istog sme ko i ω, solutn ugon bzin nošenog tel je ω = ω + ω = ϕ & + ψ, & tkođe sme suotnog od kzljke n stu. = ψ, &