HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 14: Ανάλυση ΓΧΑ συστημάτων (ΙI)
Απόκριση συχνοτήτων σε ρητή μορφή Χ (e jω ) Είδαμε ότι (όταν υπάρχει) η απόκριση συχνοτήτων H(e jω ) μπορεί να γραφτεί ως ρητή συνάρτηση του jω: Υ (e jω ) ή ισοδύναμα στη μορφή ( ) με πόλους και μηδενικά: Μέτρο: Φάση: Καθυστέρηση ομάδος 2
Απόκριση συχνοτήτων σε ρητή μορφή Χ (e jω ) H(e jω ) Υ (e jω ) Μέτρο σε db: Φάση: Απόκριση συχνοτήτων συστημάτων πρώτης τάξης Έστω ότι έχουμε πόλο η μηδενικό άρα έχουμε όρο της μορφής Μέτρο: Φάση: Καθυστέρηση ομάδος: Στις παραπάνω σχέσεις: + μηδενικό, πόλος 3
Συστήματα πρώτης τάξης Για ένα μηδενικό με r=0.9 4
Συστήματα πρώτης τάξης Για ένα μηδενικό με θ=π 5
Δύο συζυγείς πόλοι Σύστημα δεύτερης τάξης Για r=0.9, θ=π/4 6
Σχέση μεταξύ πλάτους και φάσης Γενικά το πλάτος δεν παρέχει πληροφορία για τη φάση και αντίστροφα Όταν όμως έχουμε περιγραφή με εξίσωση διαφορών, δηλ. έχουμε ρητή συνάρτηση του jω για την απόκριση συχνοτήτων, υπάρχουν κάποιοι περιορισμοί Αν γνωρίζουμε το πλάτος (φάση) ά και τον αριθμό των πόλων/μηδενικών / υπάρχουν περιορισμένες επιλογές για τη φάση (πλάτος). Αν το σύστημα είναι επιπλέον ελάχιστης φάσης (minimum phase) οι επιλογές περιορίζονται σε μία. Άρα: 7 Αν η Η(z) έχει πόλο στο Παρόμοια αν η Η(z) έχει μηδενικό στο, η C(z) έχει πόλο και στο, η C(z) έχει μηδενικό και στο Στα παραπάνω ζεύγη, αν ο ένας πόλος (μηδενικό) βρίσκεται εντός του μοναδιαίου κύκλου, ο άλλος πόλος (μηδενικό) θα βρίσκεται εκτός
Σχέση μεταξύ πλάτους και φάσης Αν γνωρίζουμε ότι το σύστημά μας είναι αιτιατό και ευσταθές όλοι οι πόλοι εντός του μοναδιαίου κύκλου, όλοι οι πόλοι μπορούν να προσδιοριστούν από τους πόλους του πλάτους C(z), όχι όμως και τα μηδενικά Αυτά μπορούν να προσδιοριστούν μοναδικά μόνο για ένα σύστημα ελάχιστης φάσης (γιατί?) Παράδειγμα: 8
Συστήματα διέλευσης (all pass systems) Το ευσταθές σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς έχει απόκριση συχνοτήτων άρα και το σύστημα «αφήνει» όλες τις συχνότητες να περνάνε (σύστημα διέλευσης/all pass). Μπορούμε να έχουμε και συνδυασμό όρων της παραπάνω μορφής, δηλ: πραγματικοί πόλοι μιγαδικοί πόλοι Κάθε πόλος αντιστοιχεί σε ένα μηδενικό το οποίο είναι ο αντίστροφος συζυγής του Αν το σύστημα είναι αιτιατό και ευσταθές: Παράδειγμα 9
Συστήματα διέλευσης (all pass systems) Παράδειγμα: Συστήματα με έναν πραγματικό (0.9) και δύο μιγαδικούς πόλους (0.9e± jπ/4 ) Η φάση (unwrapped phase) για ένα all pass σύστημα είναι μη θετική από 0 π Η καθυστέρηση ομάδος είναι πάντα θετική Γιατί μας ενδιαφέρουν τέτοια συστήματα? Αντιστάθμιση παραμόρφωσης φάσης ή καθυστέρησης ομάδος Συστήματα ελάχιστης φάσης (θεωρία) Σχεδιασμός φίλτρων Πάντα + 10
Συστήματα ελάχιστης φάσης (minimum phase systems) Ορισμός: Ένα σύστημα για το οποίο ισχύει ότι τόσο το ίδιο όσο και το αντίστροφό του είναι ευσταθή και αιτιατά συστήματα. Με άλλα λόγια τόσο οι πόλοι και τα μηδενικά του πρέπει να βρίσκονται εντός του μοναδιαίου κύκλου Τα συστήματα ελάχιστης φάσης μπορούν να προσιοριστούν μοναδικά από το διάγραμμα πόλων μηδενικών του κέρδους τους Κάθε ευσταθές και αιτιατό σύστημα με ρητή συνάρτηση μεταφοράς H(z) μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο ενός συστήματος ελάχιστης φάσης και ενός συστήματος διέλευσης (minimum phase and all pass decomposition), δηλ: (1) Π.χ. έστω ένα σύστημα H(z) με ένα μηδενικό εκτός του μοναδιαίου κύκλου στο z=1/c* ( c <1) και όλα τα υπόλοιπα μηδενικά/πόλους εντός του κύκλου. Τότε: 11 Minimum Phase All-Pass Γενικεύοντας, μπορούμε να γράψουμε κάθε σύστημα H(z) με την (1) όπου η Η min (z) περιλαμβάνει: 1. όλους τους πόλους/μηδενικά εντός του μοναδιαίου κύκλου μαζί με 2. μηδενικά τα οποία είναι συζυγή και αντίστροφα με τα μηδενικά της H(z) εκτός του μοναδιαίου κύκλου και η Η ap (z) περιλαμβάνει: όλα τα μηδενικά της H(z) εκτός του μοναδιαίου κύκλου μαζί με πόλους που ακυρώνουν τα μηδενικά του (2)
Συστήματα ελάχιστης φάσης (minimum phase systems) Παράδειγμα: Μηδενικό: 3 (εκτός ς του μοναδιαίου κύκλου). ) Άρα και οπότε 12