2. METOE RJEŠVNJ STRUJNH KRUGOV STOSMJERNE STRUJE U svrhu lakšeg snalaženja u analizi složenih strujnih krugova i električnih mreža uvode se nazivi za pojedine dijelove mreže. Onaj dio električne mreže koji sadrži serijski vezane izvore i otpore, a kroz koji teče struja iste jakosti naziva se grana električne mreže. Mjesto ili točka u električnoj mreži gdje se sastaju najmanje tri grane naziva se čvor električne mreže. Obilaženjem po granama mreže, bilo koji zatvoreni krug zove se kontura električne mreže. ilo koji zatvoreni krug sastavljen od nekoliko grana, dakle čini konturu. Konture koje se od prijašnjih razlikuju barem za jednu granu nazivaju se nezavisne konture. Pojedini dijelovi električne mreže prikazani su slikom 28. Slika 28. Elementi električne mre`e U električnoj mreži, gdje su poznati naponi izvora E i otpori R u svim granama mreže, može se primjenom i Kirchhoffova zakona odrediti bilo koja nepoznata struja. Za bilo koji čvor mreže, jednadžba Kirchhoffovog zakona glasi: lgebarska suma svih struja koje ulaze u čvor jednaka je sumi struja koje iz njega izlaze, ili suma svih struja koje se u čvoru sastaju jednaka je nuli. =0 Pri rješavanju jednadžbe, očito je, moraju se znati struje po veličini i po smjeru. Veličina nepoznatih struja označava se općim brojevima 1, 2, N, dok se smjer pojedine struje može po volji odrediti. Nakon rješavanja sistema jednadžbi pojedine struje će se pojaviti s negativnim predznakom, što nikako ne znači da je struja negativna, već jednostavno da je smjer struje suprotan od pretpostavljenoga. Za pojedine nezavisne konture mreže postavljaju se naponske jednadžbe primjenom Kirchhoffovog zakona, koji glasi: lgebarska suma napona svih izvora jedne konture jednaka je sumi padova napona svih otpornika te konture. Obilaženje konture obavlja se po volji odabranim smjerom, koji se tada smatra pozitivnim smjerom. Napon u algebarskoj sumi Kirchhoffovog zakona uzima se pozitivnim, ako se pri obilaženju konture prolazi napon izvora u smjeru njegova djelovanja. sto tako će i padovi napona na pojedinim otporima imati pozitivan predznak, kada se pri obilaženju konture otpornik nalazi u pretpostavljenom smjeru struje kroz njega. čvor kontura grana 1
Primjenom jednadžbi i Kirchhoffova zakona mogu se analizirati linearne mreže, što se može pokazati primjerom prikazan slikom 29. E 3 3 K 3 5 6 K 2 K 1 1 4 E 4 2 C Slika 29. Za izračunavanje nepoznanica, matematički gledano, potrebno je postaviti onoliko jednadžbi koliko je nepoznanica. Primjenjujući Kirchhoffov zakon jednadžbe za struje u pojedinim čvorovima će izgledati: za čvor - 1-3 + 6 =0 za čvor 1-2 + 4 =0 za čvor C 2 + 3-5 =0, i za čvor - 4 + 5-6 =0 Sređivanjem prve tri jednadžbe, dobiva se četvrta jednadžba, pa se dolazi do zaključka kako je u električnim mrežama potrebno postaviti minimalno (č-1) strujnih jednadžbi, gdje je č broj čvorova mreže. Električna mreža iz našeg primjera ima 6 grana, koje čine 3 nezavisne konture. Prva kontura dobije se, ako odaberemo put obilazeći čvorove, druga obilazeći čvorove C i na kraju treća obilazeći čvorove C. Svaki od ovih puteva sadrži po jednu granu koja ne pripada ni jednom ni drugom putu, te će dobivene jednadžbe biti međusobno neovisne. Kako bi se mogao primijeniti Kirchhoffov zakon, odnosno napisati algebarske sume elektromotornih sila za izabrane puteve, moraju se definirati smjerovi obilaženja pojedine konture. Sve elektromotorne sile koje imaju isti smjer kao smjer obilaženja ulaze u zbroj s pozitivnim predznakom, one suprotne ulaze s negativnim predznakom. Predznak padova napona na otpornicima ostaje nepromjenjen, ako struja u grani ima isti smjer kao smjer obilaženja konture, odnosno obrnut ako je smjer konture suprotan od smjera obilaženja. Neposrednom primjenom Kirchhoffovog zakona za pojedine konture dobiju se naponske jednadžbe: za put - 1 + 4 -E 4-6 =0 za put C - - 2-5 +E 4-4 =0 i za put C 6 + 5 + 3 +E 3 =0 Poznavajući sve elektromotorne sile u mreži te sve otpore, rješenja gore napisanih jednadžbi dati će struje u pojedinim granama mreže. Potreban broj naponskih jednadžbi, očito je, jednak broju kontura mreže k. Općenito, može se pokazati da je broj kontura k jednak: k=g-(č-1), 2
gdje je g broj grana mreže. U svakoj razgranatoj mreži mogu se primjenom Kirchhoffovih zakona odrediti struje uz poznate elektromotorne sile i otpore. Međutim, u mrežama s velikim brojem grana, mora se postaviti veliki broj jednadžbi, pa ova metoda rješavanja zahtijeva dosta napora i vremena. Tada ova metoda ustupa mjesto drugim metodama, koja će naposljetku dati isti rezultat, brže rješavanje i uz manje napora. 2.1. Metoda konturnih struja Ova metoda razvila se iz metoda rješavanja nepoznanica u mreži primjenom Kirchhoffovih zakona. Za primjer prikazan slikom 29, rješavanjem strujnih jednadžbi po 4, 5 i 6 prema Kirchhoffovom zakonu dobiva se: 4 = 2-1 ; 5 = 2 + 3 i 6 = 1 + 3 Kada ovo zamijenimo u naponskim jednadžbama, primjenom Kirchhoffovog zakona i te jednadžbe sredimo, dobiva se: ( + + ) 1-2 + 3 = -E 4-1 +( + + ) 2 + 3 =E 4-1 + 2 +( + + ) 3 =-E 3 U tim jednadžbama s desne strane sa nalaze poznate elektromotorne sile, a s lijeve strane svi otpori mreže i struje 1, 2 i 3 u granama mreže po kojima su izabrani zatvoreni putevi različiti. Pomoću ove tri jednadžbe mogu se, dakle, odrediti struje 1, 2 i 3. Ove jednadžbe mogu poprimiti i drugačiji oblik, ako promatranu mrežu raščlanimo na 3 konture, kako je to prikazano slikom 30. Struje u neovisnim konturama numerirane su, i, tako što struja predstavlja struju prve konture, struju druge i struju treće konture. Uzmemo li prvu naponsku jednadžbu i u njoj koeficijent uz struju 1 ( + + ), uočava se da on predstavlja zbroj otpora prve konture koji se može označiti s 1 te napisati: 1 =( + + ) Koeficijent uz struju 2, u istoj jednadžbi, je otpor koji pripada i prvoj i drugoj konturi. Taj otpor naziva se zajednički otpor prve i druge konture 2, pa se može pisati: 2 = sto tako je otpor uz struju 3 zajednički otpor prve i treće konture 3, tj.: 3 = K K E 4 E 3 E 4 K 1 4 C C Slika 30. 3
Na desnoj strani prve naponske jednadžbe nalazi se suma elektromotornih sila u prvoj konturi, čiji smjer je uzet kao smjer obilaženja konture, a ta suma se označava s E, te se može pisati: E = -E 4 U drugoj naponskoj jednadžbi, koja se odnosi na drugu konturu, otpor je zajednički otpor između druge i prve konture, ( + + ) je ukupni otpor druge konture, a otpor je zajednički otpor između druge i treće konture. Na desnoj strani je suma elektromotornih sila E 4 -, pa se za drugu konturu mogu napisati slijedeći odnosi: 1 = 2 =( + + ) 3 = E =E 4 - z treće naponske jednadžbe izlazi: 1 = 2 = 3 =( + + ) E =-E 3 Unoseći ove promjene u naponske jednadžbe dobiva se: 1 1-2 2 +3 3 =E -1 1 +2 2 +3 3 =E 1 1 +2 2 +3 3 =E Ove jednadžbe nazivaju se jednadžbe konturnih struja. Uočljivo je, da neki članovi s lijeve strane jednadžbe imaju pozitivni predznak, a neki negativan. Za predznake tih članova vrijedi pravilo: članovi s ukupnim optorima pojedinih kontura uvijek imaju pozitivan predznak, dok su članovi s zajedničkim otporima kontura pozitivni kada konturne struje u tim otporima imaju iste smjerove, a negativan kada konturne struje u njima imaju suprotne smjerove. Rješavanjem ovih jednadžbi dobivaju se struje, i u pojedinim konturama, a to su zapravo struje u granama po kojima su pojedine konture međusobno različite (struje 1, 2 i 3 ) unutar promatrane mreže. Struje 4, 5 i 6 u ostalim granama mreže mogu se dobiti rješavanjem strujnih jednadžbi: 4 = 2-1 ; 5 = 2 + 3 i 6 = 1 + 3 Metoda konturnih struja može se primijeniti u svakoj razgranatoj mreži, pa se za mrežu s n nezavisnih kontura, općenito, može napisati n jednadžbi konturnih struja. 1 1 +2 2 +3 3 + +k k + +n n = 1 1 +2 2 +3 3 + +k k + +n n = 1 1 +2 2 +3 3 + +k k + +n n =E 3 R n1 1 +R n2 2 +R n3 3 + +R nk k + +R nn n =E n U svim jednadžbama treba poštivati pravilo predznaka koeficijenta, što ovisi o smjerovima konturnih struja u zajedničkim otporima, a neki od članova mogu biti jednaki nuli, ukoliko neke konture nemaju zajedničkih otpora. naliza električnih mreža, primjenom metode konturnih struja, izgleda ovako: U mreži se po volji odabere n nezavisnih kontura, s konturnim strujama koje imaju po volji odabrani smjer obilaženja, Za svaku konturu treba napisati naponsku jednadžbu, koja za k-tu konturu općenito ima oblik: n R + R = E k kk l kl kk l= 1 l k gdje je: k - struja promatrane konture k, l - struja bilo koje druge konture, a otpori: 4
R kk - ukupni otpor konture k, R kl - zajednički otpor između konture k i jedne od ostalih kontura, te napon: E kk - zbroj svih elektromotornih sila konture k (zbrajanje u odabranom pozitivnom smjeru za tu konturu). Ukoliko u promatranoj konturi nema naponskih izvora, koeficijent E kk jednak je nuli. sto tako otpada član jednadžbe R kl, ukoliko konture k i l nemaju zajedničke grane. ilo koja nepoznata konturna struja dobiva se kao rješenje sustava jednadžbi, a pomoću determinanti ona iznosi: k k = gdje je: - glavna determinanta sustava linearnih jednadžbi, koja sadrži otporne koeficijente, s lijeve strane jednadžbi, a nalaze se uz konturne struje, koja izgleda ovako: R11 R12. R1 l. R1n R21 R22. R2l. R2n...... = Rl1 Rl2. Rll. Rln...... Rn1 Rn2. Rnl. Rnn k - determinanta sustava linearnih jednadžbi, koje se dobivaju tako što se u glavnoj determinanti k-ti stupac zamijeni konstantnim članovima E s desne strane jednadžbi, koja izgleda ovako: R11 R12. E1 l. R1n R21 R22. E2l. R2n...... k = Rl1 Rl2. Ell. Rln...... Rn 1 Rn2. Enl. Rnn Nakon određivanja svih konturnih struja, pomoću strujnih jednadžbi, izražunavaju se ostale struje po granama mreže. ZC 1. ZTK: Za mrežu prikazanu na slici 31 postavite sustav jednadžbi konturnih struja. Kad bismo ovu mrežu htjeli riješiti direktnom primjenom Kirchhoffovih zakona, trebalo bi postaviti sustav od 8 jednadžbi s 8 nepoznanica, jer je n g =8, a n ~ =5. Pomoću konturnih struja njihov broj se reducira na n k =n g -(n č -1)=4. Svakoj konturi je potrebno pridodati referentni smjer i konturnu struju. Konture se biraju tako da se svaka od odabranih razlikuje barem za jednu granu od ostalih. 5
5 E 8 6 4 4 3 E 7 R 9 E 4 R 8 2 1 2 E 3 Slika 31 Standardni oblik sustava jednadžbi za konture 1, 2, 3 i 4 je: 1 1-2 2 + 3 3 + 4 R14=1-1 1 + 2 2-3 3 + 4 4 =2 1 1-2 2 + 3 3 + 4 4 =E 33 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 =E 44 gdje su: 1 = + + + + 2 = +R 9 +R 8 +R 7 + 3 =R 7 +3 +2 +1 +0 4 =4 +5 +6 +R 8 +R 9 + 2 =1 = 3 =1 =0 (konture 1 i 3 nemaju zajedničkih grana) 4 =1 = 3 =2 =R 7 4 =2 =R 9 +R 8 4 =3 =0 (konture 3 i 4 imaju zajednički čvor, ali ne i granu) 1 = - -E 3 2 =E 4 -E 5 +E 3 E 33 =E 7 +E 6 E 44 =- -E 8 +E 4 Struje u pojedinim granama (označiti ćemo ih indeksom koji se poklapa s oznakom nekog elementa promatrane grane) biti će: E 5 R 7 3 0 1 E 6 R1 = 1 R5 = 1 + 4 R4 = 1-2 R9 = 2 + 4 R6 = 2 R7 = 2-3 R10 = 3 R15 = 4 6
O izboru smjerova konturnih struja ovisiti će predznaci pojedinih članova u postavljenim jednadžbama. udući da je izbor potpuno slobodan, najpraktičnije je u svim konturama odabrati isti smjer, na primjer smjer kazaljke na satu. U tom će slučaju članovi sa R kk biti pozitivni, a svi ostali negativni, što dodatno olakšava direktno pisanje jednadžbi. 2. ZTK: Za strujni krug prema slici 32 odredite struje svih grana. Zadano je: =12V =10V E 5 =30V E 6 =38V =150Ω =1kΩ =250Ω = =500Ω Za zadani strujni krug broj grana je n g =6,a broj čvorova n ~ =4 te je potreban broj kontura n k =n g -(n ~ -1)=6-(4-1)=3. C E 6 1 2 C 3 C E 5 Slika 32. Sustav jednadžbi prema oznakama na slici 32 po metodi konturnih struja glasi: K 1 1 ( + + ) - 2-3. = K 2-1 + 2 ( + ) =- +E 5 K 3-1 + 3 ( + ) =-E 5 -E 6 Konturne struje se dobivaju kao rješenje jednadžbi pomoću determinanti: C 1 = 1 / 2 = 2 / 3 = 3 / + + - - 900-250 -500 = - + 0 = -250 1250 0 0 + -500 0 1000 =7.5 10 8 - - 12-250 -500 1 = - +E 5 + 0 = 20 1250 0 -E 5 -E 6 0 + -68 0 1000 1 =-2.25 10 7 7
+ + - 900 12-500 2 = - - +E 5 0 = -250 20 0 - -E 5 -E 6 + -500-68 1000 2 =7.5 10 6 + + - 900-250 12 3 = - + - +E 5 = -250 1250 20-0 -E 5 -E 6-500 0-68 3 =-6.225 10 7 1 =-2.25 10 7 / 7.5 10 8 = -30m 2 = 7.5 10 6 / 7.5 10 8 = 10m 3 =-6.225 10 7 / 7.5 10 8 = -83m Struja grane se određuje kao algebarski zbroj konturnih struja onih kontura kojima grana pripada. Ovaj zbroj se formira prema referentnom smjeru u grani. Prema slici 32 su: = 1 = -30m C = 1-2 = -30m-10m=-40m = 2 = 10m C =- 1 + 3 = 30m-83m= -53m C =- 2 + 3 = -10m-83m= -93m =- 3 = 83m 3. ZTK: Odrediti struje svih grana za strujni krug prikazan na slici 33. Zadano je: =5V E 5 =100V =300Ω =500Ω =400Ω =200Ω =500Ω =2kΩ C C 1 2 C E 5 3 C Slika 33. Za referentne smjerove prikazane na slici 33 je: 1 = -50m 2 = -70m 3 = 26m C = 1 = -50m C = 1-2 = -50m-(-70m)= 20m = 2 = -70m C =- 2 = 70m = 2-3 = -70m-26m= -96m =- 3 = -26m 8
4. ZTK: Za strujni krug prikazan na slici 34 poznato je : =25V E 5 =10V E 7 =40V =300Ω =1kΩ =200Ω =260Ω =500Ω R 7 =300Ω Odredite struje svih grana. C C E 7 R 7 C = -50m = 40m C = 60m = -90m C C = -10m = -50m C = 20m E 5 Slika 34. 5. ZTK: Generatori elektromotornih sila =50V, =35V, E 3 =6V, E 4 =8V zanemarivih unutrašnjih otpora i otpornici =300Ω, =100Ω, =200Ω, =100Ω i =400Ω vezani su u strujni krug kao što je prikazano na slici 35. Odrediti struje svih grana strujnog kruga. C C E 3 R C C E E 4 Slika 35 9
Prema referentnim smjerovima označenim na slici 35 jakosti struja grana su: = -60m = 30m C = -50m C = 40m C = -90m = 90m 6. ZTK: Zadana je mreža prikazana slikom 36. Primjenom metode konturnih struja odredite struje u svim granama. Zadano je: =190V =200V E 3 =250V E 4 =10V E 5 =60V E 6 =150V E 7 =50V =3kΩ =1kΩ =2kΩ =4kΩ =5kΩ =3kΩ R 7 =3kΩ R 8 =2kΩ R 9 =1kΩ C E 3 Slika 36 K 1 1 ( + + + ) - 2-3 0. =- + -E 3 K 2-1 + 2 ( + + +R 8 ) - 3 R 8 =E 3 -E 5 -E 7 K 3-1 0-2 R 8 + 3 (R 7 +R 8 +R 9 ) =E 4 +E 5 +E 6 što nakon uvrštavanja i sređivanja prelazi u: 10 1-4 2-0 3 =-0.24-4 1 +14 2-2 3 =0.14 0 1-2 2 +6 3 =0.22 10-4 0 = -4 14-2 = 704 0-2 6-0.24-4 0 1 = 0.14 14-2 =-14.08 0.22-2 6 10-0.24 0 2 = -4 0.14-2 =7.04 0 0.22 6 C 10-4 -0.24 3 = -4 14 0.14 = 28.16 0-2 0.22 C 1 2 C E 7 R 8 E 5 3 E 4 R 9 E 6 R 7 10
1 = 1 / =-14.08/704=-20m 2 = 2 / =7.04/704=10m 3 = 3 / =28.16/704=40m C = 1 = -20m C = 1-2 = -20m-10m= -30m = 2 = 10m C =- 2 = -10m = 2-3 = 10m-40m= -30m =- 3 = -40m 2.2. Metoda napona čvorova U mrežama koje imaju velik broj grana, povoljnija metoda rješavanja nepoznatih veličina je metoda napona čvorova. Ova metoda koristi Kirchhoffov zakon za čvorove, ali uz primjenu Ohmovog zakona za prilagođenje dijelova strujnih krugova, odnosno grana. Osnovica ove metode, sastoji se u odabiru određenog čvora, koji se tada uzima za referentni, tako što se njegov potencijal stavi na nulu. Svaki od ostalih čvorova tada ima određeni napon, koji prema referentnom čvoru ima točno određeni potencijal: U k0 =ϕ k -ϕ 0 =ϕ k -0=ϕ k 1 4 Slika 37. ko uzmemo mrežu prema slici 37, može se na primjer, čvor 0 uzeti kao referentni, pa se za čvorove 1,2, i 3 mogu napisati slijedeće strujne jednadžbe: 1 =- 2-4 3 = 4 + 6 7 = 2 + 3 ko se sada za pojedine grane primijeni Ohmov zakon, mogu se iz potencijalnih razlika izračunati pripadajuće struje u granama: ϕ 1 =0- + 1 ( + ) 1 =(ϕ 1 + )/( + ) ϕ 1 =ϕ 2 + 4 4 =(ϕ 1 +ϕ 2 )/ ϕ 1 =ϕ 3 + + 2 2 =ϕ 1 -ϕ 3 - / ϕ 2 =0-3 3 =-ϕ 2 / ϕ 3 = 7 (R 7 +R 8 ) 7 =ϕ 3 /( +R 8 ) R 7 E 3 6 3 0 2 1 7 2 R 8 2 3 Zamjenom naponskih izvora adekvatnim strujnim izvorima, te otpori odgovarajućim vodljivostima dobiva se shema prikazana slikom 38. 11
2 G 32 G 12 G 10. 0 G 20 G 32. E 32 1 G 0 10 G 30 G 13 3 Slika 38. Nakon uvrštenja jednadžbi za pojedine struje u strujne jednadžbe i supstitucijom recipričnih vrijednosti otpora vodljivošću G, dobiva se općeniti sustav jednadžbi za n čvorova: ϕ 1 G 11 -ϕ 2 G 12 -ϕ 3 G 13 - -ϕ k G 1k - -ϕ n G 1n = 1 -ϕ 1 G 21 +ϕ 2 G 22 -ϕ 3 G 23 - -ϕ k G 2k - -ϕ n G 2n = 2 -ϕ 1 G 31 -ϕ 2 G 32 +ϕ 3 G 33 - -ϕ k G 3k - -ϕ n G 3n = 3 -ϕ 1 G n1 -ϕ 2 G n2 -ϕ 3 G n3 - -ϕ k G nk - +ϕ n G nn = n Općenito se može pisati za bilo koji k-ti čvor električne mreže sastavljen od n čvorova: n n ϕk Gkk ϕl Glk = alg Ekl Gkl l= 1 l k l= 1 l k G 31. E 31 gdje je: G kk - zbroj vodljivosti svih grana priključenih na čvor k, G lk - zbroj vodljivosti svih grana koje se nalaze samo između čvorova l i k. Na desnoj strani se nalazi zbroj umnožaka napona E priključenih na promatrani čvor s pripadajućom vodljivošću grane. ZTK 1: Generatori elektromotornih sila =10V i =30V, generator struje g =80m i otpornici otpora =200Ω, =2kΩ, =1kΩ, =2kΩ i =2.5kΩ vezani su u strujni krug prema slici 39. Odredite struje svih grana metodom napona čvorova. 12
g 5 1 4 2 3 0 Slika 39. Za određivanje struja grana kod metode napona čvorova potrebno je odrediti čvorove i između njih odabrati jedan kao referentni, u našem slučaju je to čvor 0. Za dati strujni krug naponi U 0 i U 0 između ostalih čvorova i referentnog su tada relativni potencijali čvorova i prema referentnom. Sustav jednadžbi za dati strujni krug je: G 11 U 0 +G 12 U 0 = G 21 U 0 +G 22 U 0 = Koeficijent tipa G kk se određuje kao zbroj vodljivosti svih grana vezanih za čvor k, a u promatranom slučaju su: G 11 = 1/ +1/ +1/ =5.9mS G 22 = 1/ +1/ +1/ =1.9mS Koeficijent tipa G kj =G jk,k=j se određuje kao zbroj vodljivosti svih grana između čvorova k i j sa predznakom minus. G 12 =G 21 = -1/ = -0.4 ms Slobodni član u jednadžbama i, se određuje kao algebarski zbroj struja svih strujnih generatora i kvocjenta E k /R k, formiran prema referentnom smjeru ka čvoru. = g + / =130m = / - g = -65m 5.9 10-3 U 0-0.4 10-3 U 0 = 130. 10-3 -0.4 10-3 U 0 + 1.9 10-3 U 0 = -65. 10-3 Rješenja prethodnog sistema jednadžbi su: U 0 =20V U 0 =-30V Nakon toga treba odrediti napone između krajeva svih grana kruga. U =U 0 -U 0 =50V ntenziteti struja grana određuju se iz poznatih karakteristika grane (elektromotorne sile i otpora) i napona između krajeva grane. 1 =(U 0 - )/ = 50m 2 =(-U 0 + )/ = 30m 3 =U 0 / = -30m 4 =U 0 / = 10m 5 =U / = 20m 13
ZTK 2: Za strujni krug prikazan na slici 40 poznato je: =12V =10V E 4 =26V E 5 =15V g =25m =100Ω =2kΩ =1kΩ =200Ω =5kΩ Odredite struje svih grana strujnog kruga primjenom metode napona čvorova. 1 13 10 12 30 20 3 E 4 0 g Slika 40 Prema oznakama na slici 40 struje grana su: 10 =-10m 13 =30m 20 =5m 12 =-20m 30 =5m ZTK 3: Generatori elektromotornih sila =76V i =-6V E 6 =46V, generator struje g =20m i otpornici otpora =2kΩ, =1kΩ, =400Ω, =200Ω =100Ω i =2kΩ vezani su u strujni krug prema slici 41. Odredite struje svih grana metodom napona čvorova. 1 12 E 6 13 10 20 2 E 5 2 32 3 30 g 0 Slika 41. Prema slici 41 je: (1/ +1/ +1/ )U 10-1/ U 20-1/ U 30 = / +E 6 / + g -1/ U 10 + (1/ +1/ +1/ )U 20-1/ U 30 = / -1/ U 10-1/ U 20 + (1/ +1/ +1/ )U 30 = -E 6 / 14
Unošenjem brojčanih vrijednosti poznatih veličina i rješavajući postavljeni sistem jednadžbi dobiva se: U 10 =26V U 20 =14V U 30 =10V Prema prethodnom je: U 12 =U 10 -U 20 =12V U 13 =U 10 -U 30 =16V U 23 =U 20 -U 30 =4V 10 =(U 10 - )/ = -25m 20 =(U 20 - )/ = 20m 30 =U 30 / = 25m 12 =U 12 / = 60m 32 =-U 23 / = -40m 13 =(U 13 -E 6 )/ = -15m ZTK 4: Za strujni krug prikazan na slici 42 poznato je: =150V =100V E 3 =150V E 4 =600V E 5 =200V =50Ω =20Ω =80Ω =100Ω =300Ω =50Ω R 7 =200Ω R 8 =25Ω Odredite struje svih grana strujnog kruga primjenom metode napona čvorova. a 1 0 Slika 42 a =1.5 b =2 c =-2.5 d =2 e =0.5 f =1.5 g =-1 E 3 b e R 7 c R 8 d f 2 3 E 4 g E 5 2.3. Metoda superpozicije ko u jednoj razgranatoj električnoj mreži imamo jedan raspored izvora elektromotornih sila, u mreži će se uspostaviti odgovarajuće ravnotežno stanje i u svakoj grani će postojati određena struja. Pri drugačijem rasporedu izvora nastati će drugačije ravnotežno stanje, a u granama će poteći druge vrijednosti struja. Po principu superpozicije, pri istovremenom djelovanju oba rasporeda izvora, odgovarajuća ravnotežna stanja se superponiraju. To znači, da su pri novonastalom ravnotežnom stanju, struje u pojedinim granama mreže jednake algebarskoj sumi struja koje su u njima pritjecale pri pojedinačnom rasporedu izvora. Primjenom te metode, struja u 15
jednoj grani mreže može se izračunati tako da se redom zamisle umrtvljeni svi izvori osim jednoga, i izračuna struja u promatranoj grani, samo uz taj izvor. Nakon toga se redom, na isti način, izračunavaju struje i za ostale izvore, pa će tražena struja biti algebarski zbroj svih pojedinih struja. Za pojedinu konturnu struju k može se općenito pisati: k =E a. G ka +E b. G kb + +E i. G ki + Konturnu struju k može se tada prikazati kao zbroj pojedinih struja, što su ih prouzročili pojedini izvori svaki za sebe. ZTK 1: U mreži na slici 43 odredite struju kroz otpor R metodom superpozicije. Slika 43. Obzirom da svi izvori zajedno određuju iznose struja u elementima mreže, onda ćemo struju u nekoj grani dobiti superponiranjem djelovanja pojedinih izvora. Praktički to znači slijedeće: da bismo odredili struju u promatranoj grani, uzmemo jedan od izvora, a sve ostale odstranimo (naponske izvore kratko spojimo, a strujne isključimo). No njihove unutarnje otpore ostavljamo u mreži, jer se oni ponašaju kao pasivni elementi. Kad smo to obavili, izračunamo struju. Nakon toga uzimamo drugi izvor, te opet određujemo struju i tako redom za sve izvore. R R 1 Slika 44. R 2 Slika 45. 16
Tako se redom dobiju slijedeći izrazi: Uz kratko spojeni izvor struja 1 je: 1 = R/(( + R/( +R))( +R)R) dok za 2 nalazimo: 2 = R/(( + R/( +R))( +R)R) Naposljetku je stvarna struja kroz otpor R: = 1-2 ZTK 2: U mreži prikazanoj na slici 46 odredite struju kroz otpor od 30Ω, primjenjujući metodu superpozicije. 0.5 2 100Ω Slika 46 1 je struja koja teče kada je samo izvor struje 2 spojen 1 =2 1/(1/100+1/100+1/75) 1/75=0.8 2 je struja koja teče kada je samo izvor napona 150V spojen: 2 =150/(100+100 75/(100+75)) 100 75/(100+75) 1/75=0.6 3 je struja koja teče kada je samo izvor struje 0.5 spojen: 3 =0.5 25(50+30+20)/(25+50+30+20) 1/(50+30+20)=0.1 4 je struja koja teče kada je samo izvor napona 25V spojen: 4 =25/(20+30+50+25)=0.2 Konačno kroz otpor 30Ω teče struja = 1 + 2-3 + 4 =1.5 10 150V 25Ω 30Ω 25V 3 4 20Ω 1 2 2.4. Theveninov teorem Električna mreža se u odnosu na otpor R jedne grane ponaša kao nezavisni izvor napona E T i unutarnjeg otpora R T, gdje će struja kroz otpor R biti: E T = RT + R Napon tog izvora E T jednak je naponu na otvorenim priključnicama promatrane mreže. Unutarnji otpor R T jednak je otporu cijele preostale mreže, na priključnicama gledano sa strane otpornika R, kada je taj otpor odstranjen, a svi izvori elektromotornih sila premošteni. 17
ZTK 1: Za strujni krug prikazan na slici 47 poznato je: =100V =120V E 4 =40V =200Ω =60Ω =300Ω =10Ω Odredite struju kroz otpor primjenom Theveninova teorema. E 4 Slika 47. Prema Theveninovu teoremu bilo koji dio aktivne linearne mreže može se nadomjestiti s obzirom na dvije stezaljke realnim naponskim izvorom, tj. izvorom s unutarnjim naponom i otporom. Unutarnji napon i otpor, označeni sa E T i R T potpuno su određeni elementima dijela mreže koji nadomještamo i to kako po iznosu tako i po polaritetu (E T ). akle struju u nekoj grani mreže možemo odrediti tako da preostali dio nadomjestimo po Theveninu i na nadomjesni izvor priključimo promatranu granu. Nadomjesni Theveninov napon E T određujemo tako da izračunamo napon na otvorenim stezaljkama linearne mreže. Theveninov otpor R T određujemo tako da uz kratko spojene naponske izvore i isključene strujne (ostavljajući pri tome u mreži njihove unutarnje otpore) izračunavamo ukupni otpor između točaka nadomještenog dijela mreže kada na njih nije ništa priključeno izvana. Krug za određivanje E T Slika 48. R T E T Slika 49. Krug za određivanje R T Slika 50. Thevenenov generator 18
Prema usvojenom referentnom smjeru E T =U Primjenjujući metodu napona čvorova prema slici 48 dobiva se: U (1/ +1/ +1/ )= / - / U =-60V pa je: E T =-60V Unutrašnji otpor R T dobiva se prema slici 17: R T = /( + + ) R T =40Ω R T Krug za određivanje E T E T Slika 50. Prema ekvivaletnom strujnom krugu formiranim od Theveninova generatora i grane u kojoj tražimo struju (slika 50) je: =(E T -E 4 )/(R T + )=-2 ZTK 2 : Odrediti struju prijemnika otpora priključenog u strujni krug prema slici 51. Poznato je: E=30V g =250m =300Ω =120Ω =60Ω =90Ω =180Ω =6Ω. g E E 4 R T E T Slika 50. Slika 51. E T =U =45V R T =144Ω =0.3 19
ZTK 3: Za strujni krug prikazan na slici 52 odredite struju Theveninovom metodom. 0.2 150Ω 100V 30V 75Ω Slika 52. Prema slici 52 je: U =100 40/(300+100) - 150 0.2 + 100=80V E T =U =80V R =150 + 75 + 300 100/(300+100)=300Ω R T =R =300Ω z ekvivalentnog kruga na slici 53 slijedi: =(E T -E 3 )/(R T + )=0.1 R T E T 300Ω 100Ω 40V E 3 =30V =200Ω 200Ω 2.5. Nortonov teorem Slika 53. Električna mreža se u odnosu na otpor R jedne grane ponaša kao izvor struje N i paralelnoga unutarnjeg otpora R N, gdje će struja kroz otpor R biti: R N = N RN + R Struja toga izvora N jednaka je struji kroz kratko spojene priključnice promatrane mreže na mjestu otpora R. Unutarnji otpor R N toga strujnog izvora također je jednak otporu cijele preostale mreže na priključnicama, gledano sa strane otpornika R, kada je taj otpor odstranjen, a svi izvori elektromotornih sila premošteni. 20
ZTK 1: Za strujni krug prikazan na slici 54 poznato je: =50V =30V =10kΩ =15kΩ R P =3kΩ Odredite struju kroz otpor R P primjenom Nortonova teorema. R P Slika 54. Nortonov teorem glasi: Strujni krug se prema promatranoj grani može zamjeniti strujnim izvorom. Struja N ovog generatora je određena strujom kratkog spoja između točaka priključenja grane pri čemu je promatrana grana isključena iz kruga. Unutrašnji otpor je jednak ekvivaletnom otporu između točaka priključenja grane pri čemu je grana isključena iz kruga i svi izvori ugašeni ( naponski kratko spojeni, a strujni odspojeni). z prethodnog se može zaključiti da je Nortonov generator ekvivalentan strujni generator Theveninovom naponskom generatoru. krug za određivanje N k Slika 55. P N R N R P Slika 56. Krug za određivanje R N Slika 57. Ekvivalentni krug 21
Sa slike 55 je: k = / - / = 3m N = k Prema slici 56 je: R N =R = /( + )=6kΩ Na osnovi slike 57 može se pisati: P = N R N /(R N +R P )=2m ZTK 2: Za strujni krug prikazan na slici 58 poznato je: g =20m =24V =2kΩ =20kΩ =5kΩ =3kΩ =15kΩ Odredite struju u grani u kojoj se nalazi primjenom Nortonova teorema. g Slika 58. Slika 59. Krug za određivanje N g N R N Slika 60. Krug za određivanje R N Slika 61. Ekvivalentni krug Prema slici 59 je: =( /( + ) - /( + )) g =3m Sa slike 60 dobiva se: R =R N =(( + )( + ))/( + + + )=4kΩ Struja izračunava se prema slici 61: =( -R N N )/( +R N )=0.5m 22 N =
ZTK 3: Primjenom Nortonova teorema odredite struju kroz otpor iz mreže na slici 62 Zadano: 1 =6m 2 =4m =32V =6V =3kΩ =4kΩ =3kΩ =1kΩ =5kΩ =7kΩ a 1 c a Slika 62. ab 2 1 2 d b b Slika 63. Prema slici 63 je: ab = c + d gdje su: c =( 2 + )/( + + ) d =( + 1 )/( + ) nakon uvrštavanja: ab = N =10m Prekidanjem mreže na slici 62 i isključivanjem strujnih odnosno kratkim spajanjem naponskih dobivamo kombinaciju otpora za određivanje R N. R N =(( + )( + + )/( + + + + )=3kΩ Struja kroz otpor je: = N R N /(R N + )=3m 23