Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog račua Potreba je kao prvo sljedeća deiiija: Deiiija Fukija : [ ab] R ima lokali ekstrem (miimum ili maksimum u točki ( a b ako postoji eka okolia O točke tako da vrijedi: O lokali miimum u H L H L O lokali maksimum H L H L FERMATOV TEOREM Pierre de Fermat (6-665 rauski matematičar Neka ukija : [ ab] R ima ekstrem u točki ( ab Ako postoji ( ( = Dokaz Pretpostavimo da ukija ima maksimum u točki tj O ( ( Pretpostavili smo da u točki postoji derivaija tj postoji oda je ( + = lim
Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike Neka je + > Slijedi: > i ( + ( tj ( + ( lim Neka je + < Slijedi: < i ( + ( tj ( + ( lim ( + ( + Iz pretpostavke da je ukija derivabila u točki slijedi da su oba gorja limesa moraju biti jedaka a to je moguće samo ako su jedaka uli tj ako je ( = Aalogo za slučaj da ima miimum u točki Napomea Fermatov teorem am kazuje da ćemo točke ekstrema ukije alaziti među rješejima jedadžbe = koja azivamo staioarim ili kritičim točkama Napomea Pretpostavka ovog teorema jest da postoji derivaija u promatraoj točki Naime ukija = može imati ekstrem u ekoj točki a da u joj ema derivaiju Na primjer ukija u točki = ima miimum ali e i derivaiju ROLLEOV TEOREM Mihel Rolle (65-79 rauski matematičar Neka je ukija : [ ab] R eprekida a [ ] ( ab i eka je ( a = ( b Tada postoji točka ( b Dokaz ab eka ima derivaiju u svakoj točki a u kojoj je = Po pretpostavi je ukija eprekida a [ ] ukija ograičea a [ ab ] tj poprima ajveću i ajmaju vrijedost a [ ] ab Prema Bolzao-Weierstrassov teoremu je ab 4
Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike Kako je ( a ( b = barem jeda od tih vrijedosti eće biti a kraju itervala tj jeda od tih ekstrema pada uutar itervala = Fermatov teorem u točki ekstrema ( ab jest ( Ilustraije uz pretpostavke Rolleovog teorema: a b a b - ukija eprekida a [ a b] - prekida ukija a [ a b] a - eprekida ali e i derivabila ukija a ( a b b LAGRANGEOV TEOREM (Teorem sredje vrijedosti diereijalog račua Joseph Louis Lagrage (76-8 rauski matematičar Neka je ukija : [ ab] R eprekida a [ ] ( ab ( ab ( = ( b ( a Tada postoji točka tako da vrijedi b a ab i eka ima derivaiju u svakoj točki Geometrijski: t HbL s HaL a b 5
Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike Dokaz Jedadžba prava (sekate s točkama ( a ( a ( b ( b : ( b ( a ( b ( a a = a = ( a + (a Uvedimo ukiju F = Vrijedi: ( b ( a F = = ( a (a (* = a ( b ( a F a = a a = a ( a a ( a = = b ( b ( a F b = b b = b ( ( a = Fukija F je eprekida i derivabila kao razlika eprekidih i derivabilih ukija i F( a = F( b = ab tako da je ispujeo F ( = Rolleov teorem postoji točka Izračuajmo derivaiju ukije F: (* ( b ( a F = = ( ( ( b ( a = = F ( ( b ( a = Lagrageov teorem ćemo često zapisivati u sljedećem obliku: ( ( = ( ( = ( tj = + Neke posljedie Lagrageovog teorema: Posljedia = ima derivaiju ula Dokažimo obrat tj ako ukija ima derivaiju ula a otvoreom itervalu I oa je kostata ukija a tom itervalu ( Dokaz: ( = = I = ( I Pokazali smo da ukija R Posljedia Ako dvije ukije i g imaju jedake derivaije a otvoreom itervalu I oda se oe razlikuju ajviše za kostatu Dokaz Neka je ispujeo: = g I 6
Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike Promotrimo ukiju F = g i jeu derivaiju F = g = Posljedia F = tj g = g + = I CAUCHYJEV TEOREM Augusti Louis Cauh (789-857 rauski matematičar Ovaj teorem će am poslužiti kod izračuavaja limesa zadae ukije Naime eki limesi ukija su povezai s limesima jihovih derivaija Neka su ukije i g eprekide a [ ab ] eka postoje derivaije g za svaki ( ab Tada postoji točka ( ab ( b ( a ( = g( b g( a g ( Dokaz Kao prvo pokažimo da je g( b g( a Kad bi bilo tako da vrijedi g( b = g za svaki ( ab i g a ( ab i eka je g a = po Rolleovom teoremu bi slijedilo da postoji točka ( ab i g što je suproto pretpostavi da je Uvedimo ukiju F ( kao liearu kombiaiju ukija i g : = F b a g g b g a 4444 4444 α β (* = a F( a = ( b ( a g( a g( b g( a ( a = ( b g( a g( b ( a = b F( a = ( b ( a g( a g( b g( a ( a = ( b g( a g( b ( a Fukija F je eprekida i derivabila kao kombiaija eprekidih i derivabilih ukija i F a = F b Rolleov teorem postoji točka ( ab u kojoj je ( = Izračuajmo derivaiju ukije F: F (* ( F = b a g g b g a = F ( = ( b ( a g ( g( b g( a ( = b a = g b g a g 7
Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike Napomea Lagrageov teorem sredje vrijedosti je speijali slučaj Cauhjevog teorema koji se dobiva za g = TAYLOROV TEOREM (Talorova ormula Brook Talor (685-7 egleski matematičar Talorov teorem (ormula se koristi kada se iz ekih razloga (ajčešće radi pojedostavljeja daljjeg račua zadaa ukija želi aproksimirati poliomom Neka je zadaa ukija : I R gdje je I otvore iterval realih brojeva i eka ima derivaije do uključivo reda + u svakoj točki itervala I Odaberemo li eku točku I ukiju možemo u okolii te točke prikazati u obliku ( ( ( ( = ( + ( + ( + + ( + R gdje je LL!!! ( ( + ( + ( ξ ξ R = +! Dokaz vidi a prijer u: Javor Matematička aaliza str5 Izraz ( T = + + + LL +!!! azivamo Talorov poliom -tog stupja ukije u točki Izraz ( ( + ( + R = ξ ξ tj ξ = + ϑ < ϑ < +! azivamo ostatkom pri aproksimaiji ukije poliomom Talorovu ormulu možemo zapisati i u obliku: ( k ( k = T + R = ( + R k k =! Napomea Za = radi se o prikazu ukije poliomom u okolii ishodišta Talorova se ormula tada aziva i Malauriova ormula (Coli Malauri 698-746 škotski matematičar i glasi: ( M = + + + LL + + R!!! 8
Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike Napomea Lagrageov teorem sredje vrijedosti je speijali slučaj Talorovog teorema koji se dobiva za = : ( ( = ( + ( ξ = ( ξ ξ (! Primjer: Razviti ukiju ( = po Talorovoj ormuli u okolii točke = = = ( = = ( ( = = = = = 4 5 = ( = = 8 M 5 L = Slijedi: 5 L( = + ( ( + ( LL + ( + R 8 48 R = ( ( ( ( + + + 5 L! ξ = + = è!!! = = 8 + 4 + 8 aproksimaija: aproksimaija: + = + + = + + 8 8 4 8 itd aproksimaija: 9
Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike Zadai: Napisati Malauriovu ormulu sljedećih ukija: = e ; a b = si; = os Razviti ukiju = l po poteijama od Razviti ukiju = l( + po poteijama od