. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom n tog stupnja. Brojevi a n, a n,..., a, a 0 nazivaju se koeficijenti polinoma, a specijalno se a n zove vodeći koeficijent, a a 0 slobodni koeficijent. Teorem. (O jednakosti dvaju polinoma) Polinomi f i g definirani s: f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0, g(x) = b m x m + b m x m +... + b x + b 0, su jednaki ako i samo ako je m = n i a i = b i, i = 0,,..., n. Svaki broj α za koji vrijedi f(α) = 0 zovemo nultočka polinoma f. Specijalno, ako je n = 0 onda polinom nultog stupnja zapisujemo u obliku f(x) = c, c R \ {0} i zovemo konstantni polinom ili konstanta. Njezin graf je pravac y = c koji je paralelan s x osi. Ako je f(x) = 0, x R onda f nazivamo nul-polinom (i njegov stupanj ne definiramo). Teorem. (O nul-polinomu) Polinom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 je nul polinom ako i samo ako su svi koeficijenti a i = 0, i = 0,,..., n. Slika : Graf konstante 3 3 3
Specijalno, ako je n = onda polinom prvog stupnja zapisujemo u obliku f(x) = kx + l, k 0 i zovemo linearna funkcija. Vodeći koeficijent se zove koeficijent smjera, a slobodni koeficijent odsječak na y osi. Linearna funkcija ima jednu nultočku: l. Linearna k funkcija je strogo rastuća funkcija ako je k > 0, a strogo padajuća funkcija ako je k < 0. Graf linearne funkcije je pravac y = kx + l. 5 3 3 3 3 3 (a) k > 0 3 (b) k < 0 Slika : Graf linearne funkcije Specijalno, ako je n = onda polinom drugog stupnja zapisujemo u obliku f(x) = ax + bx + c, a 0 i zovemo kvadratna funkcija. Diskriminanta kvadratne funkcije je realan broj D = b ac. Nultočke kvadratne funkcije računamo po formuli: x, = b ± D. a
Ako je D > 0 onda kvadratna funkcija ima dvije različite realne nultočke (dvije jednostruke nultočke), D = 0 onda kvadratna funkcija ima jednu realnu nultočku (jednu dvostruku nultočku), D < 0 onda kvadratna funkcija ima dvije kompleksno konjugirane nultočke. Tjeme kvadratne funkcije je točka ( T(x 0, y 0 ) = T b ) ac b,. a a Graf kvadratne funkcije je parabola čija je os paralelna s y osi. Ako je a > 0 parabola je okrenuta prema gore, te je funkcija strogo padajuća na intervalu, x 0, u x 0 postiže najmanju vrijednost koja iznosi y 0 te je strogo rastuća na intervalu x 0, +. Ako je a < 0 parabola je okrenuta prema dolje, te je funkcija strogo rastuća na intervalu, x 0, u x 0 postiže najveću vrijednost koja iznosi y 0 te je strogo padajuća na intervalu x 0, +. 3
0 8 6 Slika 3: Graf kvadratne funkcije 6 5 3 3 5 6 (a) a > 0, D < 0, 3 5 (b) a > 0, D = 0, 0 3 5 6 5 - - -6 5-8 (c) a > 0, D > 0, (d) a < 0, D > 0, 3 5 6 7 3 5 - - -6-8 6 8 0 (e) a < 0, D = 0, (f) a < 0, D < 0, Zbrajanje i množenje polinoma: (f + g)(x) := f(x) + g(x), (f g)(x) := f(x) g(x). Funkcije f + g : R R i f g : R R su također polinomi. Množenje polinoma skalarom: (λf)(x) := λf(x), λ R Funkcija λf : R R je također polinom.
Zadaci Zadatak. Odredite f(x) + g(x), f(x) g(x), 3f(x) g(x) i f(x) g(x) ako je zadano: a) f(x) = x 3x +, g(x) = x b) f(x) = x 3 + 5x x + 7, g(x) = 3x 3 x + 5x 3 c) f(x) = x 5 3x x +, g(x) = x 5 + 3x 5x + x d) f(x) = 3x 3 x +, g(x) = x 6 x. Zadatak. Odredite zbroj koeficijenata u kanonskom zapisu polinoma: a) f(x) = (x x + ) 000 (x x + ) 0 b) f(x) = (x x + 3) 987 (x 6x + 5) 987 c) f(x) = (x 5x + ) 50 (x 5x + ) 50 d) f(x) = (x + 3x + ) 00 (x 3x + ) 00 Zadatak 3. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = x, b) f(x) = x, c) f(x) = x 6, d) f(x) = x 3, e) f(x) = x 5, f) f(x) = x 7, g) f(x) = x, h) f(x) = x 3. Zadatak. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = (x + )(x )(x + 3)(x /), b) f(x) = (3 x)(x + 7)(x ), c) f(x) = 3(x ) (x )(x + ) 3, d) f(x) = ( x) 3 (x ) (x + ) 3 (x + 7). 5
.. Racionalne funkcije Funkcija f : D f R, D f R zadana formulom f(x) = P n(x) Q m (x) = a nx n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +... + b x + b 0, gdje su P n i Q m polinomi stupnja n i m > 0, tim redom, naziva se racionalna funkcija. Domena racionalne funkcije sadrži sve realne brojeve koji nisu nultočke nazivnika, tj. D f = {x R : Q m (x) 0}. Prava racionalna funkcija je ona kod koje je stupanj polinoma u brojniku manji od stupnja polinoma u nazivniku. U suprotnom je neprava i može se dijeljenjem brojnika i nazivnika svesti na zbroj polinoma i prave racionalne funkcije. Slika : Graf racionalne funkcije 0 6 3 3 5 0 5 6 (a) f(x) = x (b) f(x) = x.0 0.8 0.6 0. 0. 6 6 6 6 6 0. 6 (c) f(x) = x x +x+ (d) f(x) = x 3x+5 (x+)(x )(x 3) 6
Zadatak 5. Na osnovi teorema o jednakosti polinoma rastavite na parcijalne razlomke: a) x x b) x + x 3x c) 5x + x + x d) 3x + 8 x x e) x + x 3 + x f) x 3 x g) x h) x 5 x 3 8 i) x 9x 6 x 3 + x 6x j) x + 3 (x + )(x + ) k) x + (x ) 3 l) x + 3 (x ) (x + )(x + 3) Zadatak 6. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) =, b) f(x) =, c) f(x) =, d) f(x) =, e) f(x) = +, x x 3 x+ x x f) f(x) = x. 7
..3 Opća potencija i iracionalne funkcije Funkcije zadane formulom f(x) = x r, gdje je r R zovemo opće potencije. Općenito je domena opće potencije skup R +, ali se kod nekih funkcija domena može proširiti. Najjednostavnije iracionalne funkcije su funkcije f : D f R, D f R zadane formulom f(x) = x q, q Q. Domena iracionalne funkcije ovisi o svakoj pojedinoj funkciji. Primjer. a) Domena funkcije f(x) = x = x je D f = [0, +. b) Domena funkcije g(x) = x 3 = 3 x je D g = R. c) Domena funkcije h(x) = x = x je D h = 0, +. Slika 5: Graf funkcije f(x) = x.0.5.0 0.5 3 5 Zadatak 7. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = x +, b) f(x) = 3 x, c) f(x) = x /, d) f(x) = x + 5. 8
.. Eksponencijalna funkcija Funkcija f : R 0, + zadana formulom f(x) = a x, a > 0, a naziva se eksponencijalna funkcija. a se naziva baza, a x eksponent. Eksponencijalna funkcija je bijekcija. Strogo je rastuća ako je a >, a strogo padajuća ako je 0 < a <, Neka su x, x, x R te a > 0, a. Tada vrijede sljedeća svojstva: f(x + x ) = f(x ) f(x ), tj. a x +x = a x a x, f(x x ) = f(x ), tj. f(x ) ax x = ax a x (a x ) x = a x x, f(0) = a 0 =. Slika 6: Graf eksponencijalne funkcije 5 0 0 30 0 5 0 (a) a > (b) 0 < a < 9
Zadatak 8. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = x, b) f(x) = 3 x, c) f(x) = ( )x, d) f(x) = ( 3 )x, e) f(x) = x+, f) f(x) = 3 x, g) f(x) = x, h) f(x) = x, i) f(x) = e x +, j) f(x) = ( )x 3. Zadatak 9. Riješite sljedeće nejednadžbe: a) x <, b) ( )x 8, c) 3 x 9, d) x > 8...5 Logaritamska funkcija Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije naziva se logaritamska funkcija, u oznaci: log a, a > 0, a. Dakle, log a : 0, + R, log a x = y a y = x. Uočimo da vrijedi a log a x = x, x > 0 i log a a x = x, x R. Dekadski logaritam je logaritam s bazom 0 (oznaka: log), a prirodni logaritam je logaritam s bazom e (oznaka: ln). Logaritamska funkcija je bijekcija. Strogo je rastuća ako je a >, a strogo padajuća ako je 0 < a <. Slika 7: Graf logaritamske funkcije 3 3 5 3 5 (a) a > (b) 0 < a < Neka su x, x 0, + te a > 0, a. Tada vrijede sljedeća svojstva: f(x x ) = f(x ) + f(x ), tj. log a (x x ) = log a x + log a x, f( x x ) = f(x ) f(x ), tj. log a ( x x ) = log a x log a x, log a x k = k log a x, k R, log a r x = r log a x, r R \ {0}, 0
log a = 0, veza između logaritama različitih baza: log a x = log b x log b a. Zadatak 0. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = log x b) f(x) = log 3 x, c) f(x) = log 3 x, d) f(x) = log / x, e) f(x) = log /3 x, f) f(x) = ln x, g) f(x) = log /3 x +, h) f(x) = log x, i) f(x) = log x, j) f(x) = log( x). Zadatak. Izračunajte: a) ( 5 )log 5 0, b) log 7, c) ( 0.) log 0.0 log 5, d) 5 log / 8 log3 9, e) log 8 ( 3 3 5 log 5 ), f) log 3 log ( 3 5 log 5 8 ), g) log 8 log 3 log 8 + log 0.5 9. Zadatak. Riješite sljedeće jednadžbe: a) log /3 x =, b) log x = 0, c) log x 6 =, d) log x 0.5 =...6 Trigonometrijske funkcije Trigonometrijske funkcije: sin, cos, tg, ctg a) Funkcija x sin x Funkcija sin : R [, ] je neparna, periodična s periodom kπ, k Z (temeljni period je π) funkcija čiji graf je prikazan na Slici 8. a). Slika 8: Trigonometrijske funkcije sin i cos Π Π Π Π 3Π Π 5Π (a) Π Π Π Π 3Π Π 5Π (b) b) Funkcija x cos x Funkcija cos : R [, ] je parna, periodična s periodom kπ, k Z (temeljni period je π) funkcija čiji graf je prikazan na Slici 8. b).
c) Funkcija x tg x Funkcija tg: R\ { π + kπ k Z} R neparna je, po dijelovima rastuća i periodična s periodom kπ, k Z (temeljni period je π). Njezin graf prikazan je na Slici 9. a). d) Funkcija x ctg x Funkcija ctg: R\ {kπ k Z} R neparna je, po dijelovima padajuća i periodična s periodom kπ, k Z (temeljni period je π). Njezin graf prikazan je na Slici 9. b). Slika 9: Trigonometrijske funkcije tg i ctg 5 3 Π Π Π Π 3Π 3 5 (a) 5 3 Π Π Π Π 3Π 3 5 (b)
Osnovne veze među trigonometrijskim funkcijama: sin x + cos x = ( sin x = cos x π ) (, cos x = sin x + π ) Adicijske formule: tgx = sin x cos x = ctgx, sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y tg(x ± y) = tgx±tgy tgx tgy ctg(x ± y) = ctgx ctgy ctgy±ctgx. cos x ctgx = sin x = tgx Trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta: sin(x) = sin x cos x cos(x) = cos x sin x tg(x) = ctg(x) = tgx tg x ctg x ctgx. Zadaci Zadatak 3. Izračunajte: a) cos 05, b) sin 75, c) cos 5, d) sin 30. Zadatak. Ako je sin x = 3, π < x < π izračunajte cos x i tg ( x ). Zadatak 5. Dokažite da za sve α, β R vrijedi: a) sin α + sin β = sin α + β b) sin α sin β = cos α + β c) cos α + cos β = cos α + β d) cos α cos β = sin α + β cos α β, sin α β, cos α β, sin α β. Gornje formule se zovu: Transformacija zbroja u umnožak. Zadatak 6. Riješite sljedeće jednadžbe: a) sin x =, b) cos x =, c) tg x =, d) ctg x = 3. 3
Zadatak 7. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = sin(x π 6 ), b) f(x) = cos(x π ), c) f(x) = sin(x π 3 ), d) f(x) = 3 cos(x + π 3 ). Zadatak 8. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = tg x b) f(x) = ctg x, c) f(x) = tg (x π ), d) f(x) = ctg x +...7 Ciklometrijske funkcije Ciklometrijske funkcije : arkus sinus (arcsin), arkus kosinus (arccos), arkus tangens (arctg) i arkus kotangens (arcctg). a) Funkcija x arcsin x. Budući da funkcija sin : R [, ] nije injekcija, ona nema inverznu funkciju. Zato ćemo definirati bijektivnu funkciju: Sin : [ π, π ] [, ] formulom Sin (x) := sin x Funkciju Sin zovemo restrikcija funkcije sin na [ π, π ], što simbolički pišemo: Sin = sin [ π, π ]. Funkcija Sin ima inverznu funkciju (koju zovemo arkus sinus): arcsin : [, ] [ π, π ]. Graf funkcije arcsin dobiva se kao osno-simetrična slika grafa funkcije Sin u odnosu na pravac y = x (Slika 0.a). b) Funkcija x arccos x. Budući da funkcija cos : R [, ] nije injekcija, ona nema inverznu funkciju. Zato ćemo definirati bijektivnu funkciju: Cos : [0, π] [, ], Cos = cos [0,π], koja ima inverznu funkciju (koju zovemo arkus kosinus): arccos : [, ] [0, π]. Graf funkcije arccos dobiva se kao osno-simetrična slika grafa funkcije Cos u odnosu na pravac y = x (Slika 0.b). c) Funkcija x arctg x.
Slika 0: Konstrukcija grafova ciklometrijskih funkcija arcsin i arccos (a) (b) Budući da funkcija tg: R\ { π + kπ k Z} R nije injekcija, ona nema inverznu funkciju. Zato ćemo definirati bijektivnu funkciju: Tg : π, π R, Tg = tg π, π, koja ima inverznu funkciju (koju zovemo arkus tangens): arctg : R π, π. Graf funkcije arctg dobiva se kao osno-simetrična slika grafa funkcije Tg u odnosu na pravac y = x (Slika.a). 5
Slika : Konstrukcija grafova ciklometrijskih funkcija arctg i arcctg (a) (b) d) Funkcija x arcctg x. Budući da funkcija ctg: R\ {kπ k Z} R nije injekcija, ona nema inverznu funkciju. Zato ćemo definirati bijektivnu funkciju: Ctg : 0, π R, Ctg = ctg 0,π, koja ima inverznu funkciju (koju zovemo arkus kotangens): arcctg : R 0, π. Graf funkcije arcctg dobiva se kao osno-simetrična slika grafa funkcije Ctg u odnosu na pravac y = x (Slika.b). Zadatak 9. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = arcsin(x 3) b) f(x) = arccos x +, c) f(x) = arctg x, d) f(x) = arcctg (x + ). 6