Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost funkcije....................... 88.5 Asimptote funkcije........................ 90.6 Pojam derivacije i tehnika deriviranja.............. 95.7 Derivacija složene funkcije (kompozicije funkcija)....... 99.8 Derivacija implicitno zadane funkcije.............. 04.9 Logaritamsko deriviranje..................... 04.0 Derivacije višeg reda....................... 05. Taylorova formula......................... 06. Diferencijal funkcije........................ 07.3 Jednadžba tangente i normale.................. 08.4 L Hospitalovo pravilo.......................5 Ekstremi funkcija jedne varijable.................6 Rast i pad funkcija jedne varijable................ 5.7 Konveksnost, konkavnost, točka infleksije............ 7.8 Grafički prikaz funkcije...................... 9.9 Ekonomske primjene. Ukupne, prosječne i granične veličine.. 6.0 Elastičnost funkcije........................ 8 i
Poglavlje REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Funkciju f : D R R zovemo realnom funkcijom jedne realne varijable.. Elementarne funkcije polinom linearna funkcija (polinom. stupnja) f : R R, f() a + b, a, b R f() Pr. y f() + Slika.: Linearna funkcija. kvadratna funkcija (polinom. stupnja) f : R R, f() a + b + c, a, b, c R 7
f() f() a > 0 a < 0 Slika.: Kvadratna funkcija za a > 0 i a < 0. Pr. y f() 4 + 3 kubna funkcija (polinom 3. stupnja) f : R R, f() a 3 + b + c + d, a, b, c, d R Pr. f() 3 f() Pr. f() 3 f() Pr. f() ( )( )( 3) nultočke:,, 3 3 f() 6 3 73
apsolutna vrijednost f : R R +, f() {, 0;, 0. f() Slika.3: Funkcija apsolutne vrijednosti. Korijen pozitivni drugi korijen (pozitivnog broja!) f : [0, + [0, +, f() f() Slika.4: Pozitivni drugi korijen. treći korijen f : R R, f() 3 f() Slika.5: Treći korijen. 74
Napomena: Promatramo funkciju n-tog korijena, f() n A(). Prirodnu domenu te funkcije odredujemo na sljedeći način: za n paran A() 0 za n neparan A() R razlomljena (racionalna) funkcija općenito: f() polinom stupnja m polinom stupnja n, n npr. f() a + b c + d, c 0 c + d 0 d c D R\{ d c } Pravac d je tzv. vertikalna asimptota. c Pravac y a je tzv. horizontalna asimptota. c f() y a c d c Slika.6: Racionalna funkcija i njezine asimptote. Pr. f() + 0 D R\{} 75
f() y Slika.7: Graf i asimptote funkcije f(). vertikalna asimptota... d c horizontalna asimptota... y a c eksponencijalna funkcija Općenita eksponencijalna funkcija je oblika: f : R R, f() a A() + b, A : R R. Pr. f() a, a > 0, a f() f() a > a < Slika.8: Graf funkcije f() a za a >, odn. za a <. Pr. y e, e.7 logaritamska funkcija Općenita logaritamska funkcija je oblika: f() log a A() + b, a > 0, a, A : R R, 76
pri čemu je njezina domena D { R : A() > 0}. Pr. a : e f() log e (oznaka) ln, f() D 0, + Slika.9: Graf funkcije f() ln. Pr. a : 0 f() log 0 (oznaka) log, D 0, + Napomena: Logaritamska funkcija je inverzna funkcija od odgovarajuće eksponencijalne funkcije, tj. vrijedi: a log a & log a a, odn. e ln & ln e. Primjer.. Odredite domenu funkcije: 3 f() ln +. Moraju biti zadovoljeni sljedeći uvjeti: + 0, 3 0, 3 > 0. + + Sada crtamo tablicu predznaka za 3 3 } + : nultočke brojnika, odn. nazivnika 77
,, 3 3, + 3 + + + + + + D, 3, + Napomena: Podsjetimo se da postoje i trigonometrijske funkcije, ali ih nećemo ovdje ponavljati.. Primjeri ekonomskih funkcija Primjer.. Dana je funkcija proizvodnje Q u ovisnosti o L, Q(L) 4 L, gdje je L količina rada. Izvedite funkciju proizvodnosti rada. Q(L) L L 4 L 4 L proizvodnost rada (proizvodnja po jedinici rada) Primjer.3. Dana je funkcija proizvodnje Q u ovisnosti o kapitalu C, Q(C).3C 3. Izvedite funkciju proizvodnosti kapitala. Q(C) C.3C 3 C.3.3C 3 3 C proizvodnost kapitala (proizvodnja po jedinici kapitala) Primjer.4. Zadana je funkcija ukupnih troškova nekog poduzeća, T(Q) Q + 3, pri čemu je Q količina proizvodnje tog poduzeća. Izvedite i grafički prikažite funkciju prosječnih troškova. Za koje količine proizvodnje funkcije ukupnih i prosječnih troškova imaju ekonomskog smisla? Koliki su fiksni troškovi proizvodnje? Koje je ekonomsko značenje koeficijenta u funkciji T(Q)? 78
Označimo sa A(Q) funkciju prosječnih troškova (troškova po jedinici proizvodnje). Tada je A(Q) T(Q) Q Q + 3 Q. Radi se o razlomljenoj (racionalnoj) funkciji, čiji će graf biti hiperbola: d 0 je okomita asimptota (tj. Q 0), c y a je vodoravna asimptota (tj. A(Q) ), c D R\{0}, nultočke brojnika i nazivnika: Q 3, Q 0 (nije u domeni!). A(Q) Samo za Q > 0 A(Q) ima smisla! 3 Q Slika.0: Graf funkcije A(Q). Nadalje, ukupni troškovi imaju smisla za Q 0 (proizvodnja nenegativna!). Prosječni troškovi imaju smisla za Q > 0 (0 nije u domeni, jer je nultočka nazivnika funkcije prosječnih troškova). Fiksni troškovi: Q 0 T(0) 0 + 3 3. Ekonomsko značenje koeficijenta u T(Q): Q T(Q + ) (Q + ) + 3 tj. Q + + 3 (Q + 3) + T(Q) +, Q T(Q). To znači, ako proizvodnju povećamo za neki iznos, troškovi će se povećati za dvostruki taj iznos. 79
Primjer.5. Dane su funkcija potražnje Q(p) p + 0, gdje je p cijena proizvoda, i funkcija prosječnih troškova proizvodnje A(Q) Q 8 + 80 Q, gdje je Q količina proizvoda. Odredite funkciju dobiti i interval rentabilne proizvodnje. Prihod: P(Q) p Q, Ukupni troškovi: T(Q) A(Q) Q, Dobit: D(Q) P(Q) T(Q). Količina proizvoda koji su proizvedeni, Q, mora biti jednaka potražnji zbog tržišne ravnoteže. Iz relacije Q(p) p + 0 izrazimo cijenu u terminima potražnje: Sada računamo: p(q) 0 Q. P(Q) p Q (0 Q)Q Q + 0Q, T(Q) A(Q) Q Q(q 8 + 80 Q ) Q 8Q + 80. D(Q) P(Q) T(Q) Q + 8Q 80. parabola! Proizvodnja će biti rentabilna ako vrijedi: Izračunamo nultočke parabole: D(Q) 0 Q + 8Q 80 0. Q 0, Q 4. Zbog a < 0, parabola je okrenuta otvorom prema dolje. Skiciramo i očitamo interval na kojem je D(Q) 0: D(Q) + 4 0 Q Q [4, 0] 80
.3 Limes funkcije Cilj: Neka je zadana funkcija f(). Htjeli bismo odrediti kojoj vrijednosti se približava f() kada se približava vrijednosti a R, u oznaci: Vrijedi: f()? a 0, 0, +, + ( ),, ( ), {, a > 0; a, a < 0. Neodredeni izrazi (ne znamo ih izračunati!!!):, 0,, 0, 0 0,, 0 0, Za a > 0 vrijedi (vidi graf!): 0, a < ; a, a ;, a >. Primjer.6. 0. Primjer.7. ( ) 0. Primjer.8.. Zadatak.9. + + ( ) / : + 3 / : + + + 3 + 0 + 0. + 0 8
Zadatak.0. 3 + + + ( ) / : 3 + + 3 / : 3 + + 0 + 0 0 + 0. Zadatak.. + 4 00 + ( ) / : / : + 4 00 + 0 + 0 00 + 0 0. Zadatak.. 3 + 3 + ( 3 + 3 + ( ) 3 + 3 + + / : / : 3 + 0 + 0 0 + 0 3 ) Zadatak.3. 3 + 3 + ( ) / : + + 3 + 3 + 4 4 / : + + 3 + + 4 + + 3. Zadatak.4. ( + ) ( ) + + ( + ) + + + ( + ) + + + + ( ) / : / : + + +. 8
DZ.5. 3 + 4 + ++... 3 + DZ.6. ( + )... Vrijedi: a a a 0 Zadatak.7. 3 + 7 + + 7 +3 ( ) / : 7 ( 3 7 ) + 7 / : 7 7 + 7 7 3 7 3 7. Vrijedi: 0 sin Zadatak.8. sin 3 0 0 sin 3 3 3 3 3. Zadatak.9. sin ( ) 3 6 sin ( ) ( ) 3 sin ( ) 3 3. Zadatak.0. 3 + + + 0. Zadatak.. 3 + 6 6 3 9 0. 83
Ako tražimo es racionalne funkcije u zajedničkoj nultočki brojnika i nazivnika, podijeo brojnik i nazivnik polinomom ( ) (skratimo razlomak). Nakon toga es se lako odredi uvrštavanjem vrijednosti. Zadatak.. 6 + 4 3 + 9 0 0 4 + 4 3 3 9 + 9 DZ.3. Zadatak.4. ( 3 3 DZ.5. ( ) 4( ) 3( ) 9( ) ) 0 0... 3. 3 ( + + ) 3 ( 4)( ) (3 9)( ) 6 3. + 3 ( )( + + ) + + ( )( + + ) ( ) + ( ) ( )( + + ) ( + )( ) ( ) ( + + ) 3 3. ( 4 )... 4. Ako računamo es funkcije koja u brojniku i nazivniku ima komplicirane funkcije, nekad je možemo vrlo elegantno supstitucijom svesti na racionalnu funkciju. Zadatak.6. ( ) + 0 3 0 + 0 supstitucija: + t 6 0 t t 3 t t t (t ) (t + t + ) (t ) (t + ) + + + 3. 84
DZ.7. + 5 + 3... 3 5 [supstitucija: t 5 ] Zadatak.8. 3 log 3 log 3 0 0 supstitucija: t log 3 3 t t t t t (t ) (t + ) (t ). Zadatak.9. 4 6 6 56 0 0 supstitucija: t t 4 t 6 t 4 t 4 56 t 4 (t 6) (t 6) (t + 6) 3. Ako računamo es funkcije koja u brojniku ili nazivniku ima korijene, često koristimo metodu racionalizacije brojnika, odn. nazivnika. Zadatak.30. Vrijedi: k, ( ) + k e k 0 0 ( + ) e ( + + ) ( ) ( + ). Zadatak.3. ( 4 + ) ( + 4 e ) 4. 85
Zadatak.3. Zadatak.33. Zadatak.34. ( ) + ( + ( + 3 Zadatak.35. ( 3 + 4 3 Zadatak.36. ) ) + ( + ( + ( + ( + ) ) ( ) + ) e e e. ) ( + ) (( + ) ) e. [ ( ) + 3 ( ) ] + 3 (razlomak u. zagradi skratimo sa ) [ ( ) ( ) ] +3 + 3 ( ) ( ) + 3 e e 3 e 4. ) ( + 4 ) ( + 3 [( + )(ln(3 + ) ln(3))] ln ln 4 ) 3 e 4 3 e 3 e. ( ) + 3 + 3 [( ) ( )] 3 + 3 + 3 3 (ln neprekidna funkcija) [ ( ) ( )] 3 + 3 + ln 3 3 [ ( ) ( 3 ln + + )] 3 ln e 3 3. 86
Zadatak.37. ( + 3 ) 3 ( + 3 (( + ( DZ.38. 6 4 ) DZ.39. ( +3 ( DZ.40. +3 3 ) +3 ) 4+ DZ.4. 3 (3 ) (+5) 3 (4 4 3 +5) Vrijedi: ( ) + k e k 0 ( + k) e k Zadatak.4. ( + 0 Zadatak.43. ( + 3 ) [ 3 ( + 0 ) Zadatak.44. Pokažite da vrijedi: ) 3 ( + 3 ) ) 3 ( e 3 ) 3 ) ] 3 ( e ( 3 + ( ) 3 ) 3 e. ) 3 e 3. ) 3 ( + 3 ) ( ) e 3. ln(+) 0 ln( + ) 0 ln( + ) 0 ln ( + ) 0 ln ( + ) ln e. 0 87
.4 Neprekidnost funkcije Najlakše si je neprekidnu realnu funkciju jedne realne varijable predočiti kao funkciju čiji graf nema skokova. Teorem: Funkcija f : D R R je neprekinuta u točki a D ako i samo ako vrijedi: f() f(a). a Napomena: Elementarne funkcije navedene u odjeljku.. su neprekidne u svakoj točki domene na kojoj su definirane! Primjer.45. Ispitajte da li je sljedeća funkcija neprekidna: { + 4, < ; f : R R, f() + 4 3,. Na intervaa, i [, + funkcija f je elementarna (polinom!), dakle, na njima je neprekidna. Jedino pitanje je da li se ti polinomi dobro slijepe u točki ili u njoj vrijednost funkcije ima skok. Vrijednost funkcije f u točki ima skok ako je + 4 + 4 3 za. Tada kažemo da f ima prekid u točki. Inače je f neprekidna. Dakle, provjeravamo: f() 4 + 4 3 + 4 f ima prekid u točki. f() Slika.: Graf funkcije f ima skok u. Primjer.46. Ispitajte da li je sljedeća funkcija neprekidna: { + 3, < ; f : R R, f() + 4 3,. 88
Analogno kao u primjeru prije, provjeravamo: f() 4 + 8 3 + 3 f neprekidna! f() Slika.: Graf funkcije f se u dobro slijepi. Primjer.47. Funkcija je zadana formulom: { 3 +3 6 f(), ; 4 3 + A,. Kako treba odabrati A f() da bi funkcija f bila neprekidna na čitavoj domeni na kojoj je definirana? Neka je g racionalna funkcija iz definicije funkcije f: g() 3 + 3 6 4 3 + ( + 3)( ) ( ) ( + ) + 3 ( + ) D g R\{0, } D f R\{0} ( jer f() A ) Znamo da je f neprekidna u svim točkama domene D f osim eventualno u točki, jer se za f podudara sa elementarnom, racionalnom funkcijom koja je neprekidna. Po teoremu, da bi f bila neprekinuta i u točki, mora biti + 3 A f() 3 + 7 0. 89
.5 Asimptote funkcije Asimptote funkcije su pravci kojima se funkcija sve više približava, ali ih nikada ne dostiže. Razlikujemo okomite, kose i vodoravne asimptote. okomita asimptota pravac a takav da vrijedi: kosa asimptota pravac y k + l, takav da je: f() ±. a f() k ±, l [f() k]. ± (za lijeva, a za + desna) Ako je k 0, kosa asimptota je pravac y l. Takvu asimptotu onda zovemo vodoravnom asimptotom. Primjer.48. Odredite asimptote funkcije: f() ( ). - okomita asimptota Sada računamo: + ( ) D R\{},, + (tj. kako se ponaša funkcija kad se približava broju zdesna) ( ) (tj. kako se ponaša funkcija kad se približava broju slijeva) pravac je okomita asimptota! 90
- kosa asimptota k + l + k ( ) ( + ( ) 0, ) 0, ( ) 0 (desna kosa asimptota) l ( ) ( ( ) 0, ) 0, ( ) 0 (lijeva kosa asimptota) pravac y 0 je i lijeva i desna vodoravna asimptota! f() Slika.3: Graf funkcije f() ( ). Zadatak.49. Odredite asimptote funkcije: D f R\{0, } f() ( ) 9
- okomita asimptota 0 - kosa asimptota \ / ( ) 0 \ + / ( ) 0 + + \ / ( ) 0 0 0 ± pravac 0 nije okomita asimptota! pravac je okomita asimptota! f() k + + l [f() k] + + \ \ ( ) + 0 \ / ( ) ( / : / : pravac y je desna vodoravna asimptota! f() k \ / ( ) l [f() k] 0 \ / ( ) ( / : / : pravac y je lijeva vodoravna asimptota! ) ) + pravac y je i lijeva i desna vodoravna asimptota! (kose nema) 9
f() Slika.4: Graf funkcije f() ( ). Zadatak.50. Odredite asimptote funkcije: D f R\{, } f() 3. - okomita asimptota 3 + 0 + + 3 0 3 + 0 + 3 0 + pravac je okomita asimptota! pravac je okomita asimptota! 93
- kosa asimptota f() k + + l [f() k] + + [ ] 3 + pravac y je desna vodoravna asimptota! f() k 0 pravac y je lijeva vodoravna asimptota! l [f() k] 0 pravac y je i lijeva i desna kosa asimptota! f() y - Slika.5: Graf funkcije f() 3. Zadatak.5. Odredite asimptote funkcije: f() e +. D f R nema okomitih asimptota! 94
- kosa asimptota ( e + k ± ± l ± (e + ) ± + ) 0 e ( ) + e pravac y je vodoravna asimptota! f() Slika.6: Graf funkcije f() e +. DZ.5. Naći asimptote funkcije: f() e. DZ.53. Naći asimptote funkcije: f() e..6 Pojam derivacije i tehnika deriviranja Derivaciju funkcije f : R R u točki (oznaka: f ()) definiramo kao: f () h 0 f( + h) f() h (ako taj es postoji!) Ona mjeri promjenu vrijednosti funkcije uslijed infinitezimalno male promjene nezavisne varijable. Zadatak.54. Derivirajte po definiciji: a) f(), b) f(), c) f(). 95
a) b) c) DZ f( + h) f() ( + h) h 0 h h 0 h h/ ( + h) h 0 h/ f( + h) f() h 0 h h 0. h 0 + h h \ + h + h \ h + h + + h + \ + h/ \ h 0 h/ ( + h + ). Mi nećemo derivirati po definiciji, već koristeći tablicu derivacija elementarnih funkcija i pravila deriviranja. TABLICA DERIVACIJA ELEMENTARNIH FUNKCIJA c 0 (sin ) cos (cos) sin ( n ) n n (tg) cos (a ) a ln a (ctg) sin (log a ) ln a (arcsin ) (ln) (arccos) ( ) (arctg) + (e ) e (arcctg) + 96
PRAVILA DERIVIRANJA. (c f) c f, c const. R, c 0,. (f ± g) f ± g (derivacija sume), 3. (f g) f g + f g (derivacija produkta), ( ) 4. f g f g (derivacija kvocijenta). f g g Zadatak.55. Naći derivaciju funkcije: f() +. f () ( + ) ( ) ( + )( ) ( ) ( ) ( + ( ) ) ( ) ( \ + + \) ( ) ( ) ( ). Zadatak.56. Naći derivaciju funkcije: f() 3 3. f () (3) 3 + (3) (3 ) 3 3 + 3 3 ln 3 3 + + 3 + ln 3 3 + ( + ln 3) Zadatak.57. Naći derivaciju funkcije: f() 3. f() ( ) 3 f () ( ) 3 ln 3. Zadatak.58. Naći derivaciju funkcije: f() 3 5. 97
f() 3 5 5 5 3 5 5 ( 3 5 f () 5 ) ( ) 3 ln 3 5 5. Zadatak.59. Naći derivaciju funkcije: f() 3 + + 5. f () 3 + + 0 3 +. Zadatak.60. Naći derivaciju funkcije: f() 4 5 + 3 + 3. f () 4 5 4 + 3 + 0 0 4 + 6. Zadatak.6. Naći derivaciju funkcije: f() ( + )(3 + ). f () ( + ) (3 + ) + ( + )(3 + ) (3 + ) + ( + )(6) 3 + + 6 + 6 9 + 6 +. Zadatak.6. Naći derivaciju funkcije: f() +. f () ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ). Zadatak.63. Naći derivaciju funkcije: f() 3 +. 98
f() 3 + f () 3 + 0 3. Zadatak.64. Naći derivaciju funkcije: f() 4 3 00 + 4 5 3 6 7 4. f() 4 3 00 + 4 5 3 6 5 7 f () 4 3 00 ( ) 3 + 4 5 + 00 3 4 5 3 4 + 5 4 4 9. 4, ( 3 ) ( 6 4 3 7 5 ) 9 4 4.7 Derivacija složene funkcije (kompozicije funkcija) Za f, u, v realne funkcije jedne realne varijable, vrijedi: f() v[u()] f () v [u()] u (). Zadatak.65. Deriviraj funkciju: f() ( + ) 0. u() +, v() 0, f() v[u()] f () v (u()) u () v ( + ) ( + ) 0( + ) 9 0( + ) 9. Zadatak.66. Deriviraj funkciju: f() 3 4. 99
f() ( 3 4 ) f () ( 34 ) 3 ( 3 4 ) ( 34 ) 3 ( 3 ) 6 3 ( 34 ) 3. Zadatak.67. Deriviraj funkciju: f() + ( ). f () ( ) ( + ) (( ) ) ( ) 4 ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) [ + ( + )] ( ) 4\3 (3 + ) ( ). 3 Zadatak.68. Deriviraj funkciju: f() (3 ). f () 3 3 ln 3 3 ln3. Zadatak.69. Deriviraj funkciju: f() 3. f () 3 ln3 3 ln 3. Zadatak.70. Deriviraj funkciju: f() 4 3. 00
f () 4 3 ln 4 ( 3 ) 4 3 ln 4 3 ( 3 ). Zadatak.7. Deriviraj funkciju: f() ln. f () ( ) + ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) \ Zadatak.7. Deriviraj funkciju: f() ln ln. f () ln (ln ) ln ln. Zadatak.73. Deriviraj funkciju: f() sin. f () ( ) sin + (sin ) sin + cos. Zadatak.74. Deriviraj funkciju: f() sin cos. f () (sin ) cos + sin (cos) cos cos + sin ( sin ) cos sin cos(). 0
Zadatak.75. Deriviraj funkciju: f() sin cos 5. f () cos 5(sin ) (cos 5) cos. Zadatak.76. Deriviraj funkciju: f() 3 ln + ln. f () (3 ) ln + (3 ) (ln ) + 0 3 ln + 3 3 ln + 3 3 ( ) ln +. Zadatak.77. Deriviraj funkciju: f() sin ln. f () [ sin ] ln + sin (ln ) [ sin + (sin ) ] ln + / sin / (sin + cos) ln + sin. Zadatak.78. Deriviraj funkciju: f() e ( ). f () (e ) ( ) + e ( ) \ e \ ( ) + \e \ e \ ( \ \ + \) e. 0
Zadatak.79. Dana je funkcija: Izračunaj f (0). f() log + log. f () ( log ) ( + log ) ( log ) ( + log ) ( + log ) ( + log ) ( log ) ln 0 ln0 ( + log ) ( + log + log ) ln 0 ( + log ) ln 0 ( + log ) ln 0 ( + log ). Sada uvrstimo 0: f (0) 0 ln 0 ( + log 0) }{{} 0 ln 0 40 ln 0 0 ln 0. Zadatak.80. Dana je funkcija: Izračunaj f (). f() e 3 f() e. f () e 3 + e 3 3 e 3 + 3 e 3. 03
Sada uvrstimo : f () e + 3 e 7 e..8 Derivacija implicitno zadane funkcije Primjer.8. Neka je funkcija y y() dana implicitno jednadžbom: Odredite y (). y + y e. y() + (y()) e /() ( ) y() + y () + [(y()) ] (e ) y() + y () + y() y () e y () ( + y()) e y() y () e y() + y()..9 Logaritamsko deriviranje Primjer.8. Derivirajte funkciju: f() +. Primijetimo, i baza i eksponent su ovdje funkcije od, pa ovakvu funkciju ne znamo derivirati koristeći tablicu derivacija elementarnih funkcija! U takvim slučajevima služimo se sljedećim trikom : f() + / ln lnf() ( + ) ln /() f() f () ln + ( + ) ( f () f() ln + + ) ( f () + ln + + ). 04
.0 Derivacije višeg reda Primjer.83. Dana je funkcija y y() e. Odredite njezinu n-tu derivaciju, y (n) y (n) (). Redom računamo prvu derivaciju (y ), drugu derivaciju (y ) itd., dok ne uočimo neku pravilnost: y y () e, y y () (e ) e,. y (n) e. Zadatak.84. Dana je funkcija y e. Odredite njezinu n-tu derivaciju. y e ( ), y (e ( )) ( ) e ( ) ( ) e, y ( ) e ( ) ( ) 3 e,. y (n) ( ) n e. Zadatak.85. Dana je funkcija y. Odredite njezinu n-tu derivaciju. y y ( ), y ( ) ( ) 3, y ( ) ( ) ( 3) 4,. y (n) ( ) n n! (n+) ( ) n n! n+. 05
DZ.86. Pokažite da funkcija y y() e cos zadovoljava diferencijalnu jednadžbu y (iv) + 4y 0. Odredimo y (iv) 4e cos. Derivacija višeg reda implicitno zadane funkcije Zadatak.87. Neka je funkcija y y() implicitno zadana jednadžbom: Odredite njezinu drugu derivaciju, y. ln + y 3y. ln + y 3y \() + y y 3y 0 ( ) y y 3 + y y 3y 0 \() + y y + y y 3y 0 y (y 3) (y ) y [ ] y 3 (y ) [( ( ) y 3 ) (y 3) ].. Taylorova formula Ako funkcija f ima n-tu derivaciju na nekoj okolini 0, Taylorov polinom funkcije f u točki 0 R stupnja n je polinom oblika: T f () n k0 f (k) ( 0 ) ( 0 ) k. k! 06
Taylorov polinom funkcije f u 0 služi za aproksimaciju funkcije f na okolini 0, tj. f() T f () na nekoj okolini 0. Što je taj polinom višeg stupnja, obično bolje aproksimira funkciju f. Primjer.88. Funkciju f() ln razvijte po cije nenegativnim potencijama binoma ( ) do člana sa 3. Traži se zapravo Taylorov polinom funkcije f stupnja 3 oko točke : Računamo: f() f() + f () +! ( ) f () +! f() ln 0, ( )3 f (). 3! f () f (), Sada je: f () f (), f () 3 f (). f() 0 + ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( )3 +. 3 ( )3 3 / /. Diferencijal funkcije Neka je dana funkcija y y(). prirast zavisne varijable (promjena zavisne varijable y y() pri promjeni nezavisne za ): y y( + ) y() 07
infinitezimalno mali prirast zavisne varijable tzv. diferencijal (promjena zavisne varijable y y() pri infinitezimalno maloj promjeni nezavisne varijable - oznaka d): dy y( + d) y() (po formuli za derivaciju) y ()d Zadatak.89. Koliko se približno promijene ukupni troškovi T(Q) ako se proizvodnja na nivou Q 0 promijeni za dq 0.034? (T(Q) 3Q 3 Q + ) T dt T (Q)dQ (9Q )dq Nama je Q 0, dq 0.034: T(0) T (0)dQ (9 0 ) 0.034 30.53. Ukupni troškovi se promijene za približno 30.53..3 Jednadžba tangente i normale jednadžba tangente na graf funkcije f() u točki T( 0, f( 0 )) t... y y() f( 0 ) + f ( 0 ) }{{} k t ( 0 ), jednadžba normale na graf funkcije f() u točki A( 0, f( 0 )) n... y y() f( 0 ) ( f 0 ). ( 0 ) }{{} k n Primjer.90. Odredite jednadžbu tangente i normale na graf funkcije u točki s apscisom. f() 8 4 + 08
0, y 0 f( 0 ) T(, f()) T(, ) f () [8 (4 + ) ] 8 (4 + ) 6 (4+ ) f ( 0 ) f () 3 64 t... y ( ), y + +, y +. n... y ( ), y ( ) +, y 3. Zadatak.9. Odredite jednadžbe tangente i normale na krivulju y e u njezinim sjecištima s -osi. T( 0, y 0 )? y 0 0 0 e 0 e 0 0 0 0 0 ± T (, 0), T (, 0) y () e ( ) y (), y ( ). 09
T t... y 0 ( ), y + n... y 0 ( ), y T t... y 0 ( + ), y + n... y 0 ( + ), y. Zadatak.9. Na krivulji y nadite točku u kojoj je normala paralelna pravcu p... y +. T( 0, y 0 )? T Γ y y 0 0 n p k n k p k n y ( 0 ) y ( 0 ) y () y ( 0 ) 0 0, y 0 0 ( ) 4 3 4. T(, 3 4 ) 0
.4 L Hospitalovo pravilo L Hospitalovo pravilo se koristi za jednostavno računanje esa razlomljenih funkcija kada dobijemo neodredeni izraz 0 ili ±. 0 Vrijedi: f() a g() 0 0 Zadatak.93. Zadatak.94. Zadatak.95. Zadatak.96. 0 Zadatak.97. ( ili ± ) + 3 + 0 (L H) 0 f() a g() f () a g (). ( ) e e 0 + + e ( \ + \ ( ln) 0 ( ) 0 0 ( e 0 ) \ \ L HOSPITALOVO PRAVILO ( + ) ( 3 + ) 3 0 0. ) ln 0 ( ) 0. 0 0 (L H) e e 0. (L H) 0 e (e ) 0 0 (L H) e 0 e + e 0 0 (L H) 0 e e + e + e 0 + 3 0 0 (L H) \ \ +3 e/ e/ ( + ). + 3.
Zadatak.98. ln 3 (L H) 3 ( ) 3 3/ ( 3/ ) 3 3( ) 3 (L H) 3 0..5 Ekstremi funkcija jedne varijable Postupak za odredivanje ekstrema funkcije f() je sljedeći:. Nademo stacionarne točke (stacionarne točke su nultočke od f ()). Neka su to točke,,.... Svaku od stacionarnih točaka uvrstimo u drugu derivaciju funkcije f (f ()). Ako je f ( i ) > 0 tada je točka i TOČKA LOKALNOG MINIMUMA funkcije f. Ako je f ( i ) < 0 tada je točka i TOČKA LOKALNOG MAKSIMUMA funkcije f. Napomena: Ako je f ( i ) 0, tražimo prvu sljedeću derivaciju višeg reda koja je različita od nule u i. Ako je ta derivacija parna (dakle 4., 6., 8., itd.), tada je točka i LOKALNI EKSTREM. Ako je ta derivacija neparna (dakle 3., 5., 7., itd.), tada funkcija u i ima INFLEKSIJU. Zadatak.99. Nadite ekstremne vrijednosti funkcija a) f() e b) f() + c) f() 6 6 5 5 + 4 4. a) f () e 0 e 0 je jedina stacionarna točka
f () e f (0) e 0 > 0 0 je točka lokalnog minimuma f(0) e 0 0 rješenje: m(0, ) b) f () + ( + ) ( + ) 0 0 i su stacionarne točke f () ( + ) ( ) ( + ) ( + ) 4 ( + ) [ ( + ) 4 ( )] ( + ) 4 3 3 4 + 4 3 ( + ) 3 3 6 ( + ) 3 f () < 0 ma, f() f ( ) > 0 min, f( ) rješenje: m(, ), M(, ). c) f() 6 6 5 5 + 4 4 f () 5 4 + 3 0 3 ( +) 0 3 ( ) 0 0 3
f () 5 4 8 3 + 3 f (0) 0 dalje provjera f () 0 dalje provjera f () 0 3 4 + 6 f (0) 0 dalje provjera f () 0 neparna derivacija (, 60 ) infleksija f IV () 60 48 + 6 f IV (0) 6 > 0 parna derivacija m(0, 0) minimum Zadatak.00. Rastavite broj 0 na dva pribrojnika tako da njihov umnožak bude najveći., 0 0 + (0 ) (0 ) ma f() + 0 f () + 0 0 5 f () < 0 M(5, 5) 0 5 + 5 Zadatak.0. Za koju vrijednost parametara a i b funkcija f() a ln()+ b + ima ekstreme u točkama s apscisama i? Koji su to ekstremi? f () a + b + 0 4
a + b + 0 /II ( ) + I a + 4b + 0 6b 0 6b b 6 a 3 f() 3 ln() 6 + f () 3 3 + f () 3 ( ) 3 f () 3 3 3 > 0 m(, 5 6 ) f () 3 6 < 0 M(, 3 ln() + 4 3 ).6 Rast i pad funkcija jedne varijable Teorem: Neka je funkcija f neprekidna i derivabilna na intervalu a, b. Ako je f () > 0 za sve a, b, tada je f strogo rastuća na a, b. Ako je f () < 0 za sve a, b, tada je f strogo padajuća na a, b. Ako je f () 0 za sve a, b, tada je f konstanta na a, b. Zadatak.0. Odredite područje rasta i pada funkcije f() 3 3. Domena: D f R f () 3 3 0 3 3, 5
,,, + f () + + ր ց ր Funkcija raste na, i na, + Funkcija pada na, Zadatak.03. Odredite područje rasta i pada funkcije f() e. Domena: 0 D f R\{0} f () e + e ( ) e ( ) 0, 0 0,, + f () + + ր ց ր Funkcija raste na, 0 i na, + Funkcija pada na 0, Zadatak.04. Odredite područje rasta i pada funkcije f() 3 ln( ). Domena: ( ) > 0 0 ± D f R \ {, } f () 3 ( ) ( ) 4 3( ) 0 0,, 0 0,, + f () + + ր ց ր ց Funkcija raste na, i na 0, Funkcija pada na, 0 i na, + 6
Zadatak.05. Odredite područje rasta i pada funkcije f(). Domena: 0 D f R\{0} f() f () + 0 + 0 + 0 nema stacionarnih točaka, 0 0, + f () + + ր ր Mogli smo i odmah zaključiti da je f () + > 0, D f. Funkcija raste na cijeloj svojoj domeni, tj. na, 0 i na 0, +..7 Konveksnost, konkavnost, točka infleksije Teorem: Neka je funkcija f neprekidna i dva puta derivabilna na intervalu a, b. Tada vrijedi: f() je konveksna na a, b ako i samo ako je f () 0 za svaki a, b. f() je konkavna na a, b ako i samo ako je f () 0 za svaki a, b. Teorem: Neka je f funkcija čija je druga derivacija neprekidna na intervalu a, b i neka je c a, b. Ako je f (c) 0 i f mijenja predznak u c (tj. f () 0 za a < < c i f () 0 za c < < b, ili f () 0 za a < < c i f () 0 za c < < b), tada je c točka infleksije funkcije f. Ako je c točka infleksije funkcije f, tada je f (c) 0. 7
Zadatak.06. Odredite područja konveksnosti, konkavnosti i točke infleksije funkcije f() 3 6 + +. Domena: D f R f () 3 + f () 6 0 6 je kandidat za točku infleksije,, + f () + Funkcija je konkavna na,. Funkcija je konveksna na, +. je točka infleksije. Zadatak.07. Odredite područja konveksnosti, konkavnosti i točke infleksije funkcije f() 6 + 5. Domena: D f R f () 6 f () 0 nema točaka infleksije f (), + Funkcija je konkavna D f. Zadatak.08. Odredite područja konveksnosti, konkavnosti i točke infleksije funkcije f(). 5 Domena : 5 0 5 ±5 D f R \ { 5, 5} 8
f () ( 5) ( 5) 3 50 3 ( 5) 50 ( 5) f () 50( 5) + 50 ( 5) ( 5) 4 50( 5) [ ( 5) + 4 ] ( 5) 4 50(3 + 5) ( 5) 3 0 nema točaka infleksije, 5 5, 5 5, + f () + + Funkcija je konkavna na 5, 5. Funkcija je konveksna na, 5 i na +5, +..8 Grafički prikaz funkcije Ispitujemo sljedeće elemente:. domenu. nul-točke 3. asimptote 4. stacionarne točke, rast, pad 5. ekstreme 6. točke infleksije, konveksnost, konkavnost Zadatak.09. Uz detaljne argumente grafički prikažite funkciju f() 3 3. 9
. domena: D f R. nul-točke: 3. asimptote: nema f() 0 3 3 0 4. stacionarne točke, rast, pad: 5. ekstremi: ( 3) 0 0 0, 0,3 ± 3 f () 3 3 0 3 3,,,, + 3 3 + + ր ց ր f () 6 f ( ) 6 < 0 M(, ) f () 6 > 0 m(, ) 6. točke infleksije, konveksnost, konkavnost: f () 6 0 0 je kandidat za točku infleksije Funkcija je konveksna na 0, +. Funkcija je konkavna na, 0. 0 je točka infleksije., 0 0, + f () + 0
f() M 3 3 m Slika.7: Graf funkcije f() 3 3. Zadatak.0. Uz detaljne argumente grafički prikažite funkciju f().. domena: 0 D f R\{}.. nul-točke: f() 0 0 3. asimptote: Okomita asimptota: pravac + 0 + + 0 0 0 0 pravac je okomita asimptota! Desna kosa asimptota: pravac y k + l k + l + ( ) +, + + y + je desna kosa asimptota,
Lijeva kosa asimptota: pravac y k + l k l ( ), + y + je lijeva kosa asimptota, pravac y + je i lijeva i desna kosa asimptota! 4. stacionarne točke, rast, pad: f () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f () 0 0 ( ) 0 5. ekstremi: 0,, 0 0,,, + f () + + ր ց ց ր f () ( ) (( ) ) ( ) (( ) ) (( ) ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 4 ( )[( )( ) ( )] ( ) 4 + + 4 ( ) 3 ( ) 3 f (0) < 0 M(0, 0) f () > 0 m(, 4) 6. točke infleksije, konveksnost, konkavnost: f () 0 0 nema točaka infleksije
Funkcija je konveksna na, +. Funkcija je konkavna na,.,, + f () + f() 4 m M y + Slika.8: Graf funkcije f(). Zadatak.. Uz detaljne argumente grafički prikažite funkciju f() + +.. domena: D f R.. nul-točke: f() 0 + 0 3. asimptote: Nema okomitih asimptota. 0 3
Desna kosa asimptota: pravac y k + l + k + + 0, ( ) + l, + + y je desna vodoravna asimptota Lijeva kosa asimptota: pravac y k + l + k + 0, ( ) + l, + y je lijeva vodoravna asimptota 4. stacionarne točke, rast, pad: f () ( + ) ( + ) / ( + )[( + ) / ] + ( + ) / ( + ) ( + ) / + + ( + ) ( + ) / ( + ) ( + ) 3/ f () 0 0 je stacionarna točka,, + f () + ր ց 4
5. ekstremi: f () ( ) ( + ) 3/ ( )[( + ) 3/ ] ( + ) 3 ( + ) 3/ ( ) 3 ( + ) / ( + ) 3 ( + ) / ( + ) 3( )( + ) / ( + ) 3 ( + ) / [ 3 + 3 ] ( + ) 3 3 ( + ) 5/ f () < 0 M(, ) 5 6. točke infleksije, konveksnost, konkavnost: f () 0 3 0 3 + 7 4.78, 3 7 4 0.8, 3 7 4 3 7 4, 3+ 7 4 3+ 7 4, + f () + + Funkcija je konkavna na 3 7, 3+ 7. 4 4 Funkcija je konveksna na, 3 7 i na 3+ 7, +. 4 4 i su točke infleksije. f() M y 3 7 4 3+ 7 4 y Slika.9: Graf funkcije f() + +. 5
.9 Ekonomske primjene. Ukupne, prosječne i granične veličine. Zadatak.. Zadana je funkcija prosječnih prihoda AR(Q) 5 Q, gdje je Q količina proizvodnje. a) Odredite prosječni prihod na razini proizvodnje 5 i interpretirajte. b) Odredite funkciju ukupnih prihoda u ovisnosti o proizvodnji Q. c) Odredite granični prihod na razini proizvodnje 5 i interpretirajte. Napomena: Neka je R(Q) funkcija ukupnih prihoda u ovisnosti o proizvodnji Q. Vrijednost R(Q 0 ) kaže koliki je ukupan prihod ako smo proizveli Q 0 jedinica robe. Funkcija prosječnih prihoda u ovisnosti o proizvodnji računa se po formuli: AR(Q) R(Q) Q. Vrijednost AR(Q 0 ) R(Q 0) Q 0 nazivamo prosječnim prihodom na razini proizvodnje Q 0 i ona nam govori koliki se prihod po jedinici proizvodnje prosječno ostvaruje gledajući do nivoa proizvodnje Q 0. Funkcija graničnih prihoda u ovisnosti o proizvodnji računa se po formuli: MR(Q) r(q) dr(q) dq R (Q). Vrijednost MR(Q 0 ) nazivamo graničnim prihodom na razini proizvodnje Q 0 i ona nam kaže koliko se brzo mijenja prihod baš onda kada je proizvodnja jednaka Q 0, tj. ako proizvodnju sa vrijednosti Q 0 povećamo za jedinicu, za koliko jedinica će se promijeniti prihod. Naravno, ta brzina promjene je različita ovisno o nivou proizvodnje koji promatramo. a) A(Q) 5 Q A(5) 5 5 0 Interpretacija: do razine proizvodnje 5, po jedinici proizvodnje prosječno se ostvaruje prihod 0. 6
b) AR(Q) R(Q) Q R(Q) A(Q) Q R(Q) Q (5 Q) 5Q Q c) MR(Q) r(q) R (Q) 5 Q r(5) 5 Interpretacija: ako na razini proizvodnje 5 povećamo proizvodnju za jedinicu, prihod će se povećati za 5 jedinica. Zadatak.3. Na odredenoj razini proizvodnje, rad L i kapital C povezani su relacijom L C 0. a) Izvedite graničnu stopu supstitucije rada kapitalom dl dc. b) Izvedite graničnu stopu supstitucije kapitala radom dc dl. a) L 0 dl 0 < 0 C dc C Kada se kapital C poveća za jedinicu, rad se smanji za 0 jedinica. C b) C 0 dc 0 < 0 L dl L Kada se rad L poveća za jedinicu, kapital C se smanji za 0 jedinica. L Zadatak.4. Dane su funkcija ukupnih prihoda R(Q) 5Q + 0Q i ukupnih troškova T(Q) 5Q 90Q, pri čemu je Q količina proizvodnje. Maksimizirajte dobit. Za koju količinu proizvodnje se ostvaruje maksimalna dobit? Funkcija dobiti dana je sa: D(Q) R(Q) T(Q) 0Q 5Q 5Q + 90Q 00Q 0Q. 7
Tražimo maksimum: D (Q) 0 00 0Q 0 Q 5 D (Q) 0 < 0 ma M(5, 50) Maksimum dobiti ostvaruje se na nivou proizvodnje Q 5 i jednak je 50..0 Elastičnost funkcije Uvodimo tzv. koeficijent elastičnosti funkcije y y() obzirom na : E y, dy y d y dy d y y. Interpretacija: Izraz d, odn. dy označava relativnu (u postocima) promjenu varijable, y odn. funkcije y. Koeficijent elastičnosti funkcije y y() na nivou 0 predstavlja odnos relativne promjene funkcije i relativne promjene varijable na nivou 0. Napomena: Ako je na nivou 0 granična vrijednost jednaka prosječnoj vrijednosti, koeficijent elastičnosti funkcije y na nivou 0 je jednak E y,. Ako je na nivou 0 E y, <, kažemo da je funkcija y y() neelastična na nivou 0 (na tom nivou se funkcija apsolutno manje mijenja nego varijabla). 8
Ako je na nivou 0 E y, >, kažemo da je funkcija y y() elastična na nivou 0 (na tom nivou se funkcija apsolutno više mijenja nego varijabla). Kažemo da je funkcija y y() savršeno elastična na nivou 0 ukoliko za fiksnu razinu nezavisne varijable 0 funkcija može poprimiti bilo koju vrijednost (graf - okomiti pravac). Tada je E y, na nivou 0. Kažemo da je funkcija y y() savršeno neelastična ukoliko ona poprima konstantnu vrijednost za bilo koju razinu varijable (graf - horizontalni pravac). Tada je E y, 0 na svim nivoima. Svojstva koeficijenta elastičnosti: E y, E,y, E f g, E f, E g,. Zadatak.5. Zadana je funkcija potražnje q(p) p + 0, gdje p predstavlja cijenu. Izračunajte koeficijent elastičnosti funkcije potražnje na nivou cijena p. Interpretirajte rezultat. E q,p p q q (p) E q,p (p ) 4 4 + 0 4 3 p p + 0 ( p) p p + 0 Interpretacija: Na nivou cijena p (onda kada je cijena ), ako cijenu povećamo za % njezine vrijednosti, potražnja će se smanjiti (zbog predznaka ) za približno 4 3 %. Zadatak.6. Zadana je cijena kao funkcija potražnje q, p(q) 00( + q). Odredite koeficijent elastičnosti E q,p na razini p 4 i interpretirajte rezultat. 9
Najprije moramo izraziti q kao funkciju od p, q q(p): p 00 ( + q) 00 ( + q) p \ E q,p p 0 p p \ p 0 p 0 5 0 p + q 0 p q 0 p ( 0 p ) ( ) p 3 5 E q,p (p 4) 0 4 5 0 4 5 6 Na nivou p 4, ako cijenu povećamo za %, potražnja se smanji za približno 5 %. 6 Zadatak.7. Zadana je funkcija potražnje q(p) 0 p. Za koju cijenu p je E q,p? Interpretirajte. Prvo treba odrediti prirodnu domenu za cijene (na kojoj q(p) ima smisla): E q,p 0 p 0 / 40 p 0 40 p p 40 D [0, 40] ( p 0 p 0 ) p p 4 (0 p) p 80 p p 80 /D ne postoji takav p! 30
Interpretacija: Ne može se dogoditi da se na nekom nivou p povećanjem cijene za % i potražnja poveća za %, jer je potražnja opadajuća funkcija cijene i kad cijena raste, potražnja pada. Zadatak.8. Za funkciju y() a e b odredite parametre a i b takve da za vrijedi E y, 5, a za E y, 8. E y, a e b (aa e b + a e b b) a e\ b eb \ (a a + b a ) a (a a + b a ) a + b a + b 5 a + b 8 a + b 5 b 5 a a + b 8 a a + 0 8 a, b 3 Zadatak.9. Odredite područje elastičnosti i neelastičnosti funkcije potražnje q(p) 00 p 3. Ekonomske varijable moraju imati smisla: p 0, q(p) 0 00 p 0 p [ 0, 0] p [0, 0] 3
E q,p p 00 p 3/ ) ( 3/ p p 00 p elastičnost E q,p > p 00 p > (00 p 0, p 0) p 00 p > 3p 00 00 p > 0 (00 p 0, 0 u nazivniku daje E q,p ) p > 00 3 / (p 0) p > 0 3 na nivoima p 0 3, 0] funkcija je elastična, a na p [0, 0 3 neelastična! Zadatak.0. Dan je koeficijent elastičnosti funkcije ukupnih troškova T(Q), E T,Q Q Q+. Odredite količinu proizvodnje za koju su prosječni troškovi jednaki graničnima. E T,Q Q T dt dq Q T T Q Q Q + Q Q + /() Q Q + Q Q 0 Q, Q DZ.. Uz koju cijenu je funkcija potražnje q(p) a p savršeno elastična? b Interpretirajte. E q,p p a p b ( b ) p p a p p a p a p 0 p a 3
Za cijenu p a je funkcija potražnje savršeno elastična. To znači da na razini cijene p a možemo postići bilo koju razinu potražnje. DZ.. Za koju je vrijednost cijene p elastičnost funkcije potražnje q(p) 8 p jedinična? ( E q,p p ) Zadatak.3. Odredite područje elastičnosti i neelastičnosti funkcije potražnje, q(p) 4 p. (elastična za p 8 3, 4]) Zadatak.4. Dana je funkcija ukupnih troškova proizvodnje, T(Q) 0.0Q + 0Q + 900. Odredite elastičnost ukupnih i prosječnih troškova na nivou proizvodnje Q 00. E T,Q Q T T Q (Q) (0.0Q + 0) 0.0Q + 0Q + 900 0.0Q + 0Q 0.0Q + 0Q + 900 E T,Q (Q 00) 4800 5300 48 53 Q 00 : Q % T(Q) 48 53 % E T Q,Q E T,Q E Q,Q E T,Q 5 53 Q 00 : Q % A(Q) T(Q) Q 5 53 % Zadatak.5. Ako je koeficijent elastičnosti funkcije prosječnih troškova, izvedite koeficijent elastičnosti funkcije ukupnih troškova. E T Q,Q Q Q+ E T Q,Q E T,Q E Q,Q E T,Q E T,Q E T Q,Q + Q Q + + Q Q +. 33