ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19
Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το λέγεται φανταστικό μέρος του z. ι μιγαδικοί α + i και γ + δi λέγονται ίσοι μιγαδικοί, αν και μόνο αν α = γ και = δ. Εικόνα του μιγαδικού α + i, α, ΙR, λέγεται το σημείο Μ (α, ). Μιγαδικό επίπεδο λέγεται το καρτεσιανό επίπεδο με σημεία που είναι εικόνες μιγαδικών αριθμών. Πραγματικός άξονας λέγεται ο άξονας x x του μιγαδικού επιπέδου. Φανταστικός άξονας λέγεται ο άξονας y y του μιγαδικού επιπέδου Συζυγής του α + i, α, ΙR, λέγεται ο α - i. Συζυγείς μιγαδικοί λέγονται οι μιγαδικοί α + i και α - i, α, ΙR. Μέτρο του μιγαδικού z = x + yi, που έχει εικόνα το σημείο Μ (x, y), λέγεται η απόσταση του Μ από την αρχή των αξόνων, δηλαδή z = OM = x + y 2 2 Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους. Πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ΙR, λέγεται μια διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο x A αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο πραγματικό αριθμό y. ι συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες συναρτήσεις, όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και f (x) = g (x), για κάθε x A. Σύνθεση της συνάρτησης f με τη συνάρτηση g λέγεται η συνάρτηση gof με τύπο (gof) (x) = g (f (x)) και πεδίο ορισμού D gof = {x D f και f (x) D g }. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για κάθε x 1, x 2 Δ, με x 1 < x 2 ισχύει f (x 1 ) < f (x 2 ). Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για κάθε x 1, x 2 Δ, με x 1 < x 2 ισχύει f (x 1 ) > f (x 2 ). Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως μονότονη σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν είναι γνησίως αύξουσα στο Δ ή γνησίως φθίνουσα στο Δ. 20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ - ΡΙΣΜΙ.
Μια συνάρτηση f λέγεται αύξουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για κάθε x 1, x 2 Δ, με x 1 < x 2 ισχύει f (x 1 ) f (x 2 ). Μια συνάρτηση f λέγεται φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για κάθε x 1, x 2 Δ, με x 1 < x 2 ισχύει f (x 1 ) f (x 2 ). Μια συνάρτηση f με πεδίου ορισμού το Α θα λέμε ότι παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο A, όταν f (x) f ( ), για κάθε x A. Μια συνάρτηση f με πεδίου ορισμού το Α θα λέμε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο A, όταν f (x) f ( ), για κάθε x A. λικά ακρότατα μιας συνάρτησης f λέγονται το ολικό μέγιστο και το ολικό ελάχιστο. Μια συνάρτηση f : Α IR, λέγεται συνάρτηση 1 1, όταν για κάθε x 1, x 2 Α, ισχύει : αν x 1 x 2 τότε f (x 1 ) f (x 2 ). Μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο σημείο του πεδίου ορισμού της, όταν im f (x) = f (x ). x x 0 Μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο πεδίου ορισμού της, όταν είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της. Μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο ανοικτό διάστημα (α, ), όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α, ). Μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, ], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α, ) και επιπλέον im f (x) = f (α) και im f (x) = f (). + - x α x Συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της Α (, f ( )), f (x) - f (x 0) λέγεται το όριο im, αρκεί να υπάρχει και να είναι x x0 x - x0 πραγματικός αριθμός. Εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της Α (, f ( )), λέγεται η ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης f (x) - f (x 0) λ = im IR. x x0 x - x 0 0 ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 21
Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το όριο f (x) - f (x 0) im και είναι πραγματικός αριθμός. x x0 x - x 0 Παράγωγος της συνάρτησης f στο σημείο του πεδίου f (x) - f (x 0) ορισμού της λέγεται το όριο im, αρκεί να υπάρχει x x0 x - x0 και να είναι πραγματικός αριθμός. Στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού τη χρονική στιγμή t 0, λέγεται η παράγωγος της συνάρτησης θέσης x = S (t), τη χρονική στιγμή t 0, δηλαδή υ(t 0 ) = S (t 0 ). Επιτάχυνση ενός κινητού τη χρονική στιγμή t 0, λέγεται η παράγωγος της ταχύτητας υ (t) = S (t), τη χρονική στιγμή t 0, δηλαδή α (t 0 ) = υ (t 0 ) = S (t 0 ). Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της τότε η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο Α (, f ( )) είναι : y - f ( ) = f ( ). (x - ). Κλίση της C f στο Α (, f ( )), λέγεται η f ( ). Κλίση της f στο, λέγεται η f ( ). Αν y = f (x) και η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο, τότε ρυθμός μεταολής του μεγέθους y ως προς το μέγεθος x, στο σημείο, λέγεται η f ( ). Αν Κ είναι η συνάρτηση κόστους, τότε οριακό κόστος λέγεται ο ρυθμός μεταολής του κόστους Κ (x). Αν Ε είναι η συνάρτηση είσπραξης, τότε οριακή είσπραξη λέγεται ο ρυθμός μεταολής της είσπραξης Ε (x). Αν Ρ είναι η συνάρτηση κέρδους, τότε οριακό κέρδος λέγεται ο ρυθμός μεταολής του κέρδους Ρ (x). Μια συνάρτηση f με πεδίου ορισμού το Α θα λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο A, όταν υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε f (x) f ( ), για κάθε x A ( - δ, + δ). Μια συνάρτηση f με πεδίου ορισμού το Α θα λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο A, όταν υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε f (x) f ( ), για κάθε x A ( - δ, + δ). ι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης f σ ένα διάστημα Δ είναι : τα εσωτερικά σημεία του Δ που η παράγωγος μηδενίζεται τα εσωτερικά σημεία του Δ που η f δεν παραγωγίζεται τα άκρα του Δ, εφόσον ανήκουν στο D f 22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ - ΡΙΣΜΙ
Κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης f στο διάστημα Δ, είναι τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με μηδέν. Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω σ ένα διάστημα Δ ή είναι κυρτή σ ένα διάστημα Δ, όταν : η f είναι συνεχής στο Δ η f είναι παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ η f είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του Δ Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω σ ένα διάστημα Δ ή είναι κοίλη σ ένα διάστημα Δ, όταν : η f είναι συνεχής στο Δ η f είναι παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ η f είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ Το σημείο Α (, f ( )), με (α, ), λέγεται σημείο καμπής της C f, όταν : η f είναι κυρτή στο (α, ) και κοίλη στο (, ) ή αντίστροφα υπάρχει εφαπτομένη της C f στο Α ι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f σ ένα διάστημα Δ είναι : τα εσωτερικά σημεία του Δ που η f μηδενίζεται τα εσωτερικά σημεία του Δ που η f δεν ορίζεται Κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f, λέγεται η ευθεία x = αν ένα τουλάχιστον από τα όρια im f (x), im f (x) είναι + ή -. + - 0 0 x x x x ριζόντια ασύμπτωτη της C f στο + (αντίστοιχα στο - ), λέγεται η ευθεία y = l, αν im f (x) = l (αντίστοιχα im f (x) = l). x + x - Πλάγια ασύμπτωτη της C f στο + (αντίστοιχα στο - ), λέγεται η ευθεία y = λx +, λ ΙR *, ΙR, αν im f (x) - (λx + ) = 0 (αντίστοιχα im f (x) - (λx + ) = 0). [ ] [ ] x + x - Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα μιας συνάρτησης f που είναι ορισμένη σ ένα διάστημα Δ, λέγεται κάθε συνάρτηση F, που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και F (x) = f (x), για κάθε x Δ. Αόριστο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f σε διάστημα Δ, λέγεται το σύνολο όλων των παραγουσών της συνάρτησης f στο Δ και συμολίζεται με f (x) dx. ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 23
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΡΜΗΝΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ Γεωμετρική ερμηνεία Θ. Bolzano: Αν η f είναι συνεχής στο [α, ] και τα σημεία Α (α, f (α)) και Β (, f ()) ρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα x x, τότε η C f τέμνει τον άξονα x x σ ένα τουλάχιστον σημείο Μ (, 0), με τετμημένη (α, ). f () f (α) α Μ A (α, f (α)) Β (, f ()) Γεωμετρική ερμηνεία Θ. ενδιαμέσων τιμών: Αν η f είναι συνεχής στο [α, ] και τα σημεία Α (α, f (α)) και Β (, f ()) ρίσκονται εκατέρωθεν της ευθείας y = η, τότε η C f τέμνει την ευθεία y = η σ ένα τουλάχιστον σημείο Μ (, η), με τετμημένη (α, ). f () η f (α) A (α, f (α)) Μ Β (, f ()) y = η α Γεωμετρική ερμηνεία Θ. Rolle: Αν η C f είναι μια συνεχής γραμμή από το Α (α, f (α)) στο Β (, f ()), η f είναι παραγωγίσιμη στο (α, ) και το ευθύγραμμο τμήμα είναι παράλληλο στον άξονα x x, τότε υπάρχει μια τουλάχιστον οριζόντια εφαπτομένη της C f στο σημείο Μ (, f ( )) με (α, ). f (α) f () Μ A (α, f (α)) Β (, f ()) α 24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ - ΡΙΣΜΙ
Γεωμετρική Ερμηνεία Θ.Μ.Τ. Αν η C f είναι μια συνεχής γραμμή από το Α (α, f (α)) στο Β (, f ()) και η f είναι παραγωγίσιμη στο (α, ), τότε υπάρχει μια τουλάχιστον εφαπτομένη της C f στο σημείο Μ (, f ( )) που είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ, με (α, ). f () f (α) α Μ A (α, f (α)) Β (, f ()) Γεωμετρική Ερμηνεία Θ. Fermat. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο (α, ) και αν η f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η εφαπτόμενη της C f στο σημείο Μ (, f ( )) είναι παράλληλη στον άξονα x x. m 4 m 3 m 2 m 1 A Μ Γ Β α x 1 Η f παρουσιάζει τ. μέγιστο στο την τιμή m 4. Το είναι εσωτερικό σημείο του (α, ). Η f είναι παραγωγίσιμη στο Άρα ισχύει το Θ. Fermat. ΣΧΛΙΑ Η f παρουσιάζει τ. ελάχιστο στο x 1 την τιμή m 1. Το x 1 είναι εσωτερικό σημείο του (α, ). Η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x 1 ( γωνιακό ή σημείο μύτη ) Άρα ΔΕΝ ισχύει το Θ. Fermat Η f παρουσιάζει τ. ελάχιστο στο α την τιμή m 2. Το α δεν είναι εσωτερικό σημείο του (α, ). Άρα ΔΕΝ ισχύει το Θ. Fermat Η f παρουσιάζει τ. μέγιστο στο την τιμή m 3. Το δεν είναι εσωτερικό σημείο του (α, ). Άρα ΔΕΝ ισχύει το Θ. Fermat ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 25
26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ - ΡΙΣΜΙ