Ma-Go-8-T List Graf funkcií tangens a kotangens RNDr. Marián Macko U: Dobrú predstavu o grafe funkcie f : = tg získame z jednotkovej kružnice prenesením hodnôt funkcie tangens pre niekoľko zvolených hodnôt argumentu. Ako vieme, funkčné hodnot pre tangens sú určené -ovou súradnicou priesečníka priamk OM a dotčnice p ku kružnici v bode J [; ]. Bod M na jednotkovej kružnici je priradený známm spôsobom reálnemu číslu. p J tg P U: Opäť nebude nutné hľadať graf na celom definičnom obore, ale iba jeho minimálnej časti. Spomínaš si, ktorá vlastnosť funkcie tangens to dovoľuje? Ž: Funkcia je periodická s najmenšou periódou. Keďže sme jej vlastnosti skúmali na intervale ;, predpokladám, že aj graf nájdeme najskôr iba na tomto intervale. U: Máš pravdu. Interval zodpovedá bodom na jednotkovej kružnici vo IV. a v I. kvadrante. Hodnot argumentu pre bod vo IV. kvadrante berieme ako záporné. Ak rozdelíme túto polkružnicu na rovnakých častí, mal b to bť dostatočný počet hodnôt pre výsledný graf. Sleduj obrázok. 75 p J
Ma-Go-8-T List Ž: Pre niektoré hodnot delenia nedostaneme na dotčnici bod. U: -ová súradnica bodu na dotčnici, ktorá prislúcha napríklad uhlu 75 je veľká. Presahuje možnosti nášho zobrazovania. Na druhej strane dáva informáciu o tom, že funkčné hodnot narastajú neobmedzene do nekonečna, ak sa argument blíži k hodnote. Ž: Rozumiem. Podobný problém je aj pri hodnote uhla 75. V tomto prípade je funkčná hodnota záporná. U: Máš pravdu. Nie pre všetk zvolené hodnot uhlov vieme nájsť hodnotu funkcie tangens. Tých niekoľko bodov, ktoré sme vedeli zostrojiť, spojíme. Získame tak časť grafu funkcie tangens na základnom intervale. 75 p = tg J Ž: Podobá sa na graf funkcie = 3. U: Iba podobá. Sú to rozdielne funkcie, a teda aj graf. Pre funkciu = 3 sú hodnot na grafe priradené všetkým reálnm číslam, ale pre funkciu tangens zatiaľ iba pre ;. Výsledný graf pre funkciu tangens dostaneme, ak získanú časť zopakujeme na každom intervale + k; + k pre všetk celé čísla k. Ž: Posunieme interval ; o celočíselné násobk doprava a doľava.
Ma-Go-8-T List 3 = tg 3 3 5 3 4 7 U: Určite si si v obrázku všimol priamk vznačené čiarkovane červenou farbou. Ž: Pri niektorých iných funkciách to zvkli bť asmptot. U: Máš pravdu. Priamk vznačené čiarkovane červenou farbou sú asmptot grafu funkcie tangens a sú nutnou súčasťou grafu. Vieš, aký majú predpis? Ž: Majú predpis = k +, kde k je celé číslo, lebo funkcia tangens nie je pre tieto hodnot definovaná. Ako sa nazýva graf? U: Graf funkcie tangens nazývame tangentoida. Pomenovania grafov sú pre goniometrické funkcie odvodené od ich názvu. U: Podobným spôsobom sa môžeme dopracovať ku grafu funkcie kotangens. Pripomeň, ako na základe jednotkovej kružnice odčítame hodnotu kotangensu. Ž: Sú to -ové súradnice bodov, ktoré získame ako priesečník dotčnice ku kružnici v bode K [; ] a koncového ramena uhla, ktorý odpovedá hodnote. Q K q M cotg J U: Teraz budeme prenášať -ovú súradnicu. Interval, na ktorom nájdeme základnú časť grafu funkcie kotangens, bude ;. Delenie polkružnice ponecháme ako v prípade tangens na častí.
Ma-Go-8-T List 4 = cotg q 5 J Ž: Potvrdilo sa, že kotangens je na tomto intervale neohraničená funkcia a klesajúca. U: Ak zostrojíme takú istú krivku na každom intervale + k; + k, kde k je celé číslo, dostaneme výsledný graf funkcie kotangens, ktorý nazývame kotangentoida. = cotg 3 3 5 3 7 4 U: Aj k tomu grafu patria asmptot, na obrázku vznačené opäť čiarkovane červenou farbou. Pokus sa určiť ich predpis. Ž: = k, kde k je celé číslo, lebo reálne čísla k nepatria do definičného oboru funkcie kotangens. U: Základné graf máme. Čo všetko sa s nimi dá v súradnicovej sústave urobiť? Ž: Dajú sa posúvať tak v smere osi, ako aj, preklápať podľa osi, môže sa zmeniť perióda. Ale to posledné potrebujem vsvetliť. U: K tomu sa postupne dostaneme. Nespomenul si, že sa hodnot na grafe môžu meniť rýchlejšie alebo pomalšie, že hodnot môžu bť iba nezáporné, ak do výrazu v predpise funkcie pridáme absolútnu hodnotu atď. Toto všetko dosiahneme vtvorením zloženej fun- kcie. Napríklad: f : = cotg + f : = cotg pozdĺž osi o doľava.. Jej graf dostaneme posunutím grafu funkcie
Ma-Go-8-T List 5 Ž: Nikd si nie som celkom istý, či doľava alebo doprava. U: Situáciu, ktorá nastane na grafe základnej funkcie = cotg pre =, dostaneš pre novú funkciu f vted, ak aj jej agrument bude nula. Ž: Teda + =, z čoho dostanem =. U: To čo nastalo pre graf elementárnej funkcie = cotg v bode =, nastane pre zloženú funkciu pre = [. Bod [; ] sa posunie do bodu ] [ ] ; a bod ; do bodu [; ]. Graf sa posunie doľava. = cotg + 3 3 5 3 7 4 = cotg U: Pokračujme vo vtváraní zloženej funkcie. Pridajme jedno znamienko mínus, vtvorme -násobok funkcie f: h : = cotg +. Ž: Hodnot funkcie sa zmenia na opačné. U: Graf funkcií f a h sú osovo súmerné podľa osi. Graf funkcie f preklopíme podľa osi. = cotg + 3 3 5 3 7 4 = cotg + Ž: Zaujímavé. Dostali sme tangens.
Ma-Go-8-T List 6 U: Pre prípustné hodnot platí: tg = cotg +. Niektoré zložené funkcie môžu vjadrovať iné jednoduchšie funkcie. K tomuto zisteniu nám zatiaľ najlepšie poslúžia graf. Ž: Potom musí platiť aj: cotg = tg +. U: Áno, je to smetrický vzťah. Funkcie tangens a kotangens sú navzájom dopĺňajúce sa funkcie. U: Obe uvedené funkcie sú príkladom zloženej funkcie v tvare: = a tg [b + c] + d = a cotg [b + c] + d kde a; b; c; d R; a; b. Zdôvodnenie, prečo a; b je analogické ako pri funkciách sínus a kosínus. Každý z týchto koeficientov má svoj geometrický význam:. koeficient d posúva graf pozdĺž osi nahor alebo nadol,. koeficient c posúva graf pozdĺž osi doprava alebo doľava, 3. koeficient b mení periódu, 4. koeficient a graf naťahuje alebo skracuje v smere osi, a naviac, ak je a <, tak ten graf aj preklopí okolo osi. Ž: Väčšina z týchto koeficientov je mi jasná, lebo sa objavuje aj pri iných funkciách. Čo je nové, to je b, ktoré mení periódu. Mohli b ste vsvetliť ako? U: Perióda sa zmení na p = b. Ž: Prečo? U: Ak si zoberieš funkciu = cotg, jej základná časť je na intervale ;, čo je interval dĺžk najmenšej periód. Znamená to, že argument je väčší ako nula, ale zároveň menší ako. Aj pre funkciu = cotgb musí bť argument b z toho istého intervalu: < < b <, takže pre premennú platí: < <. Interval pre základnú časť má teda dĺžku b b a to je teraz perióda funkcie = cotgb. Ž: Prečo ste zobrali absolútnu hodnotu? U: Pre záporné b zohľadníme ešte nepárnosť funkcie, a mínus pred funkciou ovplvní koeficient a. Sleduj na príklade: Predpis funkcie f : = cotg 3 = cotg3 sme upravili, lebo funkcia je nepárna. Zápornosť koeficienta b sa prenáša do koeficienta a. Periódu mení b. Ž: Mám ešte jednu otázku. Prečo ste ostatné koeficient neuvažovali?
Ma-Go-8-T List 7 U: Neovplvňujú periódu. Neurčujú spôsob zmen nezávislej premenenej. Iba súčin b hovorí, či sa táto premenná bude meniť rýchlejšie alebo pomalšie. Ž: Dobre, pochopil som. Vráťme sa k perióde. Ked bude väčšia, ked menšia? U: Ak b >, perióda sa b -krát zmenší, graf danej funkcie sa v smere osi zhustí, ak b <, perióda sa -krát zväčší, graf danej funkcie sa v smere osi zriedi, teda b natiahne, ak b =, perióda sa nezmení. Také boli aj dve funkcie, ktoré sme uviedli.
Ma-Go-8- List 8 Príklad : Načrtnite graf funkcie f : = cotg +. Určte periódu funkcie a priesečník grafu so súradnicovými osami. U: Načrtnúť graf zadanej funkcie b pre teba nemal bť problém. To, aké zmen základného grafu funkcie = cotg spôsobujú čísla na pravej strane predpisu funkcie, poznáš od iných funkcií. Ž: Úloha b nemala bť pre mňa až taká náročná. Graf funkcie = cotg dostanem preklopením grafu funkcie = cotg okolo osi, lebo všetk hodnot pôvodného grafu treba zmeniť na opačné. Ak posuniem graf funkcie = cotg o nahor pozdĺž osi, dostanem graf zadanej funkcie f : = cotg +. = cotg 3 3 5 3 7 4 = cotg = cotg + 3 3 5 3 7 4 = cotg U: Posunuli sa aj smptot grafu funkcie = cotg? Ž: Posúvali sme nahor, takže asmptot sa nezmenili. U: Zmenila sa perióda? Ž: Ani perióda sa nezmenila, lebo sme graf iba posúvali a preklápali. Najmenšia perióda funkcie f : = cotg + je číslo. U: Zostáva určiť priesečník so súradnicovými osami. Čím sa vznačuje priesečník grafu funkcie s osou?
Ma-Go-8- List 9 Ž: Jeho -ová súradnica je nulová. Dosadím nulu za do predpisu funkcie f. Keďže cotg pre = neeistuje, neeistuje ani hodnota funkcie f v bode. U: Graf funkcie nemá s osou spoločný bod. Iná situácia nastane pre priesečník grafu funkcie f s osou. Ž: V tomto prípade nulu dosadím za. U: Budeš riešiť rovnicu cotg + =. Ž: Upravím ju na tvar cotg =. Ako ju vrieším, keď hodnota nepatrí medzi význačné, ktoré poznáme? U: Použiješ kalkulačku. Výsledok môžeš uviesť buď v stupňovej alebo oblúkovej miere. V každom prípade hodnota získaná na kalkulačke bude približná. Ž: Výsledok v radiánoch je,4636476. U: Lepšiu predstavu budeš mať, ak radián premeníš na stupne. Ž: je približne 6 stupňov, 33 minút a 54, sekúnd. U: Všetk nulové bod funkcie f získame, ak vužijeme periodickosť funkcie kotangens s najmenšou periódou. Priesečník grafu funkcie s osou budú bod, ktorých súradnice sú [, 4636476 + k; ], kde k je celé číslo. Úloha : Načrtnite graf funkcie f : = tg+. Určte periódu a priesečník so súradnicovými osami. Výsledok: =tg + 3 3 5 3 4 7 = tg
Ma-Go-8- List Príklad : Načrtnite graf funkcie f : = tg 3 +. Určte periódu funkcie a priesečník 3 grafu so súradnicovými osami. U: Vhodné je najskôr upraviť predpis funkcie v zadaní. Ž: Prečo? U: Znamienko mínus pred nezávislou premennou má tiež svoj význam. Mohlo b sa stať, že b si naň zabudol. Pri úprave výrazu na pravej strane predpisu zadanej funkcie vuži nepárnosť funkcie tangens. Ž: V argumente 3 funkcie f vberiem pred zátvorku znamienko mínus. Potom vužijem nepárnosť, teda tg = tg. = tg = tg 3 + 3 = tg [ + 3 3 ] 3 + + 3 = tg 3 + + 3 = U: Pozri sa ešte raz na výsledný tvar predpisu funkcie, ktorý si dostal po úpravách. Dáva jasnejší obraz o postupnosti krokov pri načrtávaní grafu funkcie ako zadaný predpis? Ž: Jasné. Pochopil som vašu poznámku na znamienko mínus pred premennou. Okrem posunov grafu pozdĺž súradnicových osí budem musieť graf aj preklápať. U: Zapamätaj si, že aj číslo pred argumentom má svoj význam. Nemení síce periódu, ale spôsobí preklopenie grafu funkcie tangens podľa osi. Predpis uprav vžd tak, ab bolo osamotené. Ž: Teraz úlohu zvládnem aj sám. Graf funkcie = tg najskôr posuniem o číslo 3 doprava. Dostanem graf funkcie = tg 3 a získam graf funkcie = tg 3. pozdĺž osi. Získaný graf preklopím podľa osi = tg 3 3 5 3 7 4 = tg 3
Ma-Go-8- List U: Áno, preklopením zmeníš hodnot funkcie tg na opačné čísla. Posledný graf na- 3 koniec posunieš pozdĺž osi nahor o číslo. Táto číselná hodnota ťa mohla zaskočiť. 3 Zvčajne čísla v tomto tvare vzťahujeme k nezávislej premennej. Hodnotami závislej premennej sú však tiež reálne čísla a číslo je jedným z nich. Keďže ide o iracionálne 3 číslo, jeho hodnotu vznačíme v grafe iba približne. = tg 3 + 3 3 5 3 7 4 = tg 3 Ž: Perióda funkcie sa nezmenila. Je to číslo. U: Nájdime ešte súradnice priesečníkov grafu funkcie so súradnicovými osami. Priesečník, s ktorou osou dostaneš, ak za dosadíš nulu? Ž: Dostanem priesečník s osou. Stačí vužiť, že tg 3 = 3 a dosadiť. tg 3 + 3 = tg 3 + 3 = 3 + 3 Ž: Dá sa s tou hodnotou niečo urobiť? U: Oba sčítance sú iracionálne čísla. Necháme to v tomto tvare. Pre graf odhadneme približnú hodnotu. Zaokrúhlené na stotin to dáva hodnotu,78. Ž: Ab som určil priesečník grafu funkcie f s -ovou osou, potrebujem riešiť rovnicu tg 3 + =. Hľadané priesečník majú -ovú súradnicu rovnú nule, preto som 3 do predpisu funkcie f za dosadil nulu. U: Po odčítaní čísla od oboch strán rovnice dostaneme rovnicu v tvare 3 tg 3 = 3. Zavedieme substitúciu argumentu 3. Tento výraz nahradíme novou premennou, napríklad u. Ž: Ďalej budeme riešiť rovnicu tgu =. Ale to budem potrebovať kalkulačku. 3 U: Hodnotu neznámej u dokážeme určiť iba pomocou kalkulačk. Dostaneme základné riešenie tejto rovnice v intervale ;.
Ma-Go-8- List Ž: Dostal som hodnotu neznámej u približne,88. U: Všetk riešenia rovnice pre neznámu u budú v tvare u =,88 + k, kde k je celé číslo. Vužili sme, že funkcia tangens je periodická s najmenšou periódou. Ž: Sú to už -ové súradníce hľadaných priesečníkov? U: Nie. Od substitučnej neznámej u sa musíme vrátiť k neznámej. Dosaď do substitučného vzťahu u = 3 za neznámu u hodnotu u =,88 + k a vpočítaj. Ž: Pripočítam a odpočítam,88 + k. Dostal som: = +,88 k, kde k je celé číslo. 3 U: Ak k je celé číslo, potom aj k je celé číslo. Parameter k možno nahradiť novým parametrom, napríklad l a výsledok pre -ovú súradnicu prepísať do tvaru = +,88 + l, 3 kde l je celé číslo. Vjadrujeme tým, že základná hodnota neznámej sa bude opakovať s najmenšou periódou. Ž: Súradnice priesečníkov grafu funkcie f s -ovou osou budú [ 3 +,88 + l; ], kde l je celé číslo. Úloha : Načrtnite graf funkcie f : = cotg 3. Určte periódu a priesečník so súradnicovými osami. Výsledok: = cotg 3 3 5 3 7 4 = cotg 3
Ma-Go-8-3 List 3 Príklad 3: Načrtnite graf funkcie f : = cotg. Určte periódu funkcie a priesečník grafu so súradnicovými osami. U: Máš predstavu, ako sa zmení graf funkcie = cotg, ak argumentom bude výraz? Ž: Mala b sa zmeniť perióda funkcie. U: Ako? Ž: Vskúšam si niekoľko hodnôt? U: Skús. Ž: Ak za dosadím nulu, bude hodnota cotg taká istá ako hodnota cotg. To nie je definované. Ktoré ďalšie čísla mám dosadiť? U: Zamsli sa nad tým, čo si získal, ak si za dosadil nulu? Získal si informáciu, že graf zadanej funkcie bude mať tú istú vlastnosť ako graf funkcie = cotg. Získal si jednu asmptotu, respektíve jedno, ľavé obmedzenie základného motívu grafu funkcie. Potrebuješ ešte zistiť pravé obmedzenie. Ktorou hodnotou argumentu je ono dané pre graf funkcie = cotg? Ž: Za treba dosadiť číslo. Vted dostaneme opäť asmptotu grafu funkcie. U: Skúsme ho nájsť aj pre funkciu f : = cotg. Pozor, teraz argument funkcie nie je, ale výraz. Ž: Začínam chápať. Výraz musí mať hodnotu. Teda sa rovná. U: To znamená, že základný motív funkcie f : = cotg načrtneme na otvorenom intervale ;. Vieš teda určiť ako sa zmenila perióda? Ž: Najmenšia perióda bude číslo, lebo je to dĺžka nami zisteného intervalu pre základný motív grafu funkcie. U: Neviem, či si uvedomuješ, ale nepoužili sme v riešení nič nové, čo b si nepoznal. Iba sme pospájali vhodným spôsobom poznatk, ktoré máš. Východiskom sú vžd základné poznatk. Potom sa aj na zložitejšie argument treba pozerať ako na jednoduché. Iba tých výpočtov bude nieked viac. Ž: Načrtnúť graf už nebude problém.
Ma-Go-8-3 List 4 = cotg = cotg 3 5 3 7 4 U: Periódu funkcie f sme už určili. Ak si dosadil za nulu, zistil si, že hodnota neeistuje. Čo to znamená v súvislosti so súradnicovými osami? Ž: Graf nepretína os, nemá priesečník s touto osou. U: Riešenie úloh dokončíme určením priesečníkov s osou. Ž: Dosadím za nulu a vriešim rovnicu cotg =. Kotangens je rovný nule, ak jeho argument je rovný číslu v tvare k +. V našej rovnici je argument výraz, preto = k +. U: Neznámu získame jednoduchou úpravou. Obe stran rovnice vnásobíme číslom. Dostaneme = k +. Priesečník grafu funkcie f : = cotg s osou sú bod so ] súradnicami [k + ;, kde k je celé číslo.
Ma-Go-8-4 List 5 Príklad 4: Porovnajte graf funkcií: f : = tg g : = tg h : = tg. Ž: Rozdiel v zostrojovaní grafov bude asi v tom, čo urobíme najskôr. V každom prípade si najskôr načrtnem graf funkcie = tg. U: Z hľadiska priorít operácií v prípade funkcie f treba najskôr odčítať číslo a potom vpočítať z celého výrazu absolútnu hodnotu. Skús tieto dva krok interpretovať na grafe. Ž: Odčítať od tg znamená posunúť graf o jednotku nadol. Absolútna hodnota spôsobí, že všetk hodnot budú kladné. U: Presnejšie nezáporné. Tie časti grafu funkcie = tg, ktoré neboli pod osou ponecháme aj do výsledného grafu a tie, ktoré boli pod osou zobrazíme osovo súmerne podľa osi. Ž: Preklopíme. = tg 3 3 5 3 4 7 = tg = tg 3 3 5 3 4 7 = tg
Ma-Go-8-4 List 6 U: Dôležité je si uvedomiť, že pre hodnot výslednej funkcie platí: f. Ž: V prípade funkcie g to treba urobiť v opačnom poradí. U: Áno. Keďže vchádzame z grafu = tg, najskôr uplatníme absolútnu hodnotu. Ž: Časti pod osou z grafu = tg preklopíme. U: Potom potrebujeme odčítať číslo. Ž: Posunieme o smerom nadol. = tg 3 3 5 3 4 7 = tg = tg 3 3 = tg 5 3 4 7 U: Pre funkciu g eistujú reálne čísla, pre ktoré g <. U: Zostáva nám posledná funkcia h : = tg. Ž: S touto funkciou mi budete musieť pomôcť. U: Jedna z možnosti ako dôjsť k výsledku je odstrániť absolútnu hodnotu. Rozober dva prípad podľa toho, aké je vzhľadom k nule. Ž: To b som vedel. Ale mslel som si, že eistuje nejaká finta bez odstraňovania absolútnej hodnot. U: Prezradím ti ju na konci. Zostaň pri odstraňovaní absolútnej hodnot. Čo platí, ak?
Ma-Go-8-4 List 7 Ž: Vted platí: = a funkcia h bude mať predpis = tg. Je to rovnaké ako v prípade prvej funkcie. U: S tým rozdielom, že tentokrát to platí iba pre nezáporné. Vrieš ešte pre <. Ž: Vted platí: = a funkcia h bude mať predpis = tg = tg. Graf preklopím podľa osi a posuniem o nadol. U: Toto uplatníme iba pre <. 3 3 5 3 4 7 =tg U: Aj funkcia h má pre niektoré reálne čísla záporné hodnot. Pozri sa ešte raz na obrázok. Vznačuje sa graf tejto funkcie nejakou súmernosťou? Ž: Podľa osi. U: Ak je osovo súmerný podľa osi, tak je grafom párnej funkcie. To je dôležité pri tejto funkcií. Dá sa to objaviť v zadaní. Absolútna hodnota z čísla má rovnaký výsledok pre kladné, ako aj k nemu opačné záporné číslo. Preto aj tangens pre všetk dvojice navzájom opačných čísel má rovnakú hodnotu. tg = tg. Najskôr, povedané tvojou terminológiou, b sme preklopili graf funkcie = tg zostrojený pre podľa osi. Dostali b sme = tg. Graf tejto funkcie b sme posunuli smerom nadol o. 3 3 5 3 4 7 = tg = tg
Ma-Go-8-4 List 8 = tg 3 3 5 3 4 7 =tg U: Porovnaj ešte obor hodnôt týchto troch funkcií. Ž: Hf = ; Hg = ; Hh = R
Ma-Go-8-5 List 9 Príklad 5: Načrtnite graf funkcie f : = sin + sin cos na intervale ; 5 U: Výraz na pravej strane predpisu funkcie je zlomok. To znamená, že do definičného oboru funkcie nemusia patriť všetk reálne čísla. Zapíš a vrieš najskôr podmienku pre definičný obor funkcie f. Ž: V menovateli zlomku nesmie bť nula: cos. To platí, keď k +, kde k je celé číslo. Nepárne násobk čísla nebudú patriť do definičného oboru. U: V absolútnej hodnote je iba časť výrazu na pravej strane predpisu funkcie. Nevhneme sa riešeniu dvoch prípadov, podľa toho či výraz v absolútnej hodnote je nezáporný alebo záporný. Ž: V prípade, že sin, absolútna hodnota výraz nemení. U: sin = sin. Pokračuj. sin + sin sin + sin Ž: Dosadím: = = = sin cos cos cos. U: Podiel funkcií sínus a kosínus definuje funkciu tangens: = tg. Ž: Ako vriešim podmienku sin? U: To nie je nutné. Pomôžeme si grafom funkcie = sin. Máš predstavu, čo táto podmienka znamená pre graf? Ktoré tomu vhovujú? Ž: sin je funkčná hodnota a tá má bť kladná. Pozrieme sa iba na tie časti grafu, ktoré sú nad osou. U: Preto graf funkcie = tg načrtneme pre tie reálne čísla, pre ktoré je graf funkcie = sin nad osou. Ab sme boli presní, aj na osi, pretože sínus má bť nezáporný. = tg. = sin 3 3 5 3 4 7
Ma-Go-8-5 List Ž: Vriešiť druhý prípad už nebude problém. Je to analogické, len dám mínus, keď odstránim absolútnu hodnotu. U: Máš pravdu, ak sin <, tak sin = sin. sin + sin sin sin Ž: Dosadím: = = = cos cos cos =. U: Pre tie na grafe funkcie = sin, pre ktoré je graf pod osou načrtneme priamku, ktorá je grafom funkcie =. Ž: Ale to je os. 3 = sin U: Funkciu f chápeme ako zjednotenie dvoch funkcií f = f f, kde f : = tg, ak sin a f : =, ak sin < Spojením oboch prípadov do jedného obrázka dostaneme výsledný graf. 3 5 3 7 4 = sin + sin cos 3 3 5 3 7 4
Ma-Go-8-6 List Príklad 6: Načrtnite graf funkcie f : = cotg cotg na intervale ;. Ž: Odstránim absolútnu hodnotu. Rozoberiem dva prípad: keď výraz v absolútnej hodnote je kladný a keď je záporný. U: Ak cotg, tak cotg = cotg. Pokračuj. Ž: Dosadím do predpisu: = cotg cotg = cotg cotg =. To je konštantná funkcia. Grafom je os. U: Iba časť osi. Funkciu = sme dostali za predpokladu, že cotg. Pomôžeme si grafom funkcie = cotg. Zohľadniť podmienku cotg znamená zostrojiť graf funkcie = iba pre tie reálne čísla, pre ktoré je graf funkcie = cotg nad osou. Ku kladným číslam priradíme aj nulu. = cotg 3 3 5 3 7 4 U: Vrieš druhý prípad. Ž: Ak cotg <, tak cotg = cotg. Dosadím do zadania: = cotg cotg = cotg + cotg = cotg. U: Pre tie reálne čísla, pre ktoré cotg <, graf funkcie = cotg sa nachádza pod osou. Vted podľa zadania zostrojíme graf funkcie = cotg. Ž: Ako sa to prejaví? U: Hodnot budú dvojnásobné v porovnaní s = cotg. Ak bola hodnota, bude. Všeobecne, ak bola f, bude f = f. Keďže cotg < pre funkciu f budú dvakrát menšie.
Ma-Go-8-6 List = cotg 3 3 5 3 7 4 = cotg U: Výsledný graf dostaneme spojením oboch obrázkov do jedného. Výsledná funkcia sa chápe ako zjednotenie dvoch funkcií, ktoré sme dostali v oboch analzovaných prípadoch. 3 3 5 3 7 4 = cotg cotg
Ma-Go-8-7 List 3 Príklad 7: Načrtnite graf funkcie f : = tg + a určte jej periódu. 3 U: Každý koeficient má v predpise funkcie svoj geometrický význam vzhľadom na graf elementárnej funkcie = tg, alebo treba predpis upraviť? Ž: Mali b sme upraviť výraz za tangensom. Vbrať pred zátvorku číslo. [ U: Po tejto úprave dostaneme: f : = tg + 6 ]. Každý koeficient v tomto predpise má svoj význam. Začnime grafom funkcie = tg a postupne aplikujme zmen určené jednotlivými číslami v predpise našej zloženej funkcie. Čím b si začal? Ž: Posunul b som graf pozdĺž osi doľava o 6. = tg+ 6 3 6 3 3 5 3 4 7 = tg U: Ideš na to dobre. Treba si všímať postupnosť krokov, ktoré musíme urobiť, ab sme vpočítali hodnotu našej funkcie. Posunutie vlastne zodpovedá výpočtu funkčnej hodnot pre + 6. V ďalšom kroku potrebuješ dvojnásobok tohto výrazu, teda +. Musíš to 6 ale vžd vnímať ako argument funkcie tangens. Čo to urobí s grafom, ak argument rastie dvakrát rýchlejšie? Ž: Pochopil som. Zmení sa perióda, bude dvakrát menšia. U: Áno, perióda bude číslo. Na každom intervale, kde máme základný motív tangentoid, ho teraz musíme načrtnúť dvakrát. 3 6 3 = tg+ 6 =tg[+ 6 ]
Ma-Go-8-7 List 4 U: V postupnosti výpočtov nám ostáva od toho, čo doteraz máme, odpočítať číslo. Ž: S tým nemám problém. Každá hodnota sa zmenší o. Preto posuniem posledný graf po osi dole o číslo. 6 5 =tg[+ 6 ] =tg[+ 6 ] U: Správnosť výsledku si môžeme skontrolovať nasledovne: Základným intervalom pre funkciu = tg je otvorený interval funkcia je tvaru = tgu, kde u = + 3 u ; < + 3 <. ;. Ale aj naša. Teda aj pre argument u platí základný interval:. Ak si zostavíme sústavu dvoch nerovníc, určíme aké bude. Nemal b bť problém pre teba ich vriešiť. Pokús sa ich riešiť naraz. Ž: Odstránim zlomk?
Ma-Go-8-7 List 5 U: Správne. Vnásob všetk výraz číslom 6. Ž: Vnásobím všetk výraz číslom 6, odpočítam a vdelím číslom. 3 < + < 3 5 < < 5 < < U: To je jeden z intervalov, na ktorom sme načrtli základný motív tangentoid. Aká je perióda zadanej funkcie? Ž: Dĺžka tohto intervalu, teda číslo.
Ma-Go-8-8 List 6 Príklad 8: Načrtnite graf funkcie f : = tg tg. Ž: Dosť komplikované zadanie. Odmocnina, zlomok a ešte aj absolútna hodnota. U: V komplikovaných zadaniach sa často skrývajú jednoduché poznatk, ktoré objavíme až po úpravách. Odstráňme preto najskôr absolútnu hodnotu. Ž: V tom potrebujem poradiť. U: Podľa definície absolútnej hodnot, jej výpočet závisí od toho, či ide o kladné alebo záporné číslo. Ak a >, tak a = a. V našom prípade: ak tg >, tak tg = tg. Ak a <, tak a = a. V našom prípade: ak tg <, tak tg = tg. Ž: Prečo neuvažujeme rovné nule? U: Výraz tg sa nachádza v menovateli zlomku, a ako vieme, v menovateli nemôže bť nula. Nulou nevieme deliť. Vráťme sa k odstraňovaniu absolútnej hodnot: Prvý prípad je, ak tg >. Vted tg = tg. Dosaď do zadania a uprav predpis funkcie. Ž: Tangens sa vkrátia a dostanem číslo. f : = tg tg = tg tg = U: V prípade, že tg >, zadaná funkcia predstavuje konštantnú funkciu =. Dúfam, že vieš čo je jej grafom. Ž: Priamka rovnobežná s osou, prechádzajúca na -ovej osi cez bod. U: Podmienku tg > nie je nutné vriešiť. V obrázku si načrtneme aj graf funkcie = tg a graf funkcie = načrtneme iba pre tie reálne čísla, pre ktoré je graf funkcie = tg nad osou. Vted sú funkčné hodnot kladné. = tg = tg tg 3 3 5 3 4 7 Ž: Prečo ste použili prázdne krúžk?
Ma-Go-8-8 List 7 U: Pre čísla { ; 3 ; ; ; 3 ; } { ; ; ; ; ; } nadobúda funkcia tangens hodnotu nula. nie je funkcia tangens definovaná a pre Ž: Pokúsim sa vriešiť druhý prípad: ak tg <, tak tg = tg. Dosadím do zlomku tg tg = tg =. Zlomok je pod druhou odmocninou. Hodnota zlomku je a druhá tg odmocnina zo záporného čísla neeistuje. U: Áno, odmocnina zo záporného čísla v množine reálnch čísel neeistuje. Čo to znamená pre našu funkciu? Ž: Nepriradíme nič. U: Pre tie reálne čísla, pre ktoré má platiť podmienka tg <, nepriradíme na grafe žiadnu hodnotu. Podmienke vhovuje tá časť grafu funkcie = tg, ktorá je pod osou. U: Výsledný graf je na poslednom obrázku: = tg = tg tg 3 3 5 3 4 7 U: Určite si si všimol, aký je definičný obor zadanej funkcie. Ž: Tvoria ho iba tie reálne čísla, pre ktoré sa graf funkcie = tg nachádza nad osou. tg U: Áno. Definičný obor funkcie f : = sa dá zapísať v tvare, ktorý je uvedený tg v rámčeku. Df = k Z k; + k