Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema esu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija
Niz brojeva Definicija: Neka je S neki skup brojeva. Funkciju a : N S zovemo nizom brojeva iz S. Umjesto da se piše a(n), što je uobičajeno kod funkcija, piše se a n. Elementi a, a,, a n, se zovu članovi niza. Element a n se zove opći član niza. Primjer: Napisati prvih pet članova niza čiji je opći član 4 5 Rješenje:,,,,. 4 5 6 4 6 8 Primjer: Naći opći član niza, čiji su članovi,,,,... 5 7 n a n. n Rješenje: Prvi član ima u brojniku, drugi član ima u brojniku 4, treći član ima u brojniku 6, itd. U nazivniku je broj za jedan manji nego u brojniku.
n Prema tome a n. n Primjer: Naći opći član niza,,,... 4 6 Rješenje: a, a, a, a,... Tako je n. 4 Definicija: Kažemo da niz realnih brojeva (a n ) raste ako je a n a n, za svaki n N, strogo raste ako je a n > a n, za svaki n N, pada ako je a n a n, za svaki n N, strogo pada ako je a n < a n, za svaki n N. Niz zovemo monotonim ako raste ili pada. 7 8 Primjer: Dokazati da strogo pada niza čiji je opći član a n, n n. 5 a n n
Definicija: Kažemo da je niz realnih brojeva (a n ) ograničen odozgor ako postoji M R, takav da je a n M, za svaki n N, ograničen odozdol ako postoji m R, takav da je a n m, za svaki n N, ograničen ako je ograničen odozdol i odozgor, neograničen ako nije ograničen. n Primjer: Ispitati ograničenost niza čiji je opći član a n, n. n Rješenje: Budući da je brojnik veći od nazivnika, svaki član niza je veći od. Niz strogo pada, pa je prema tome a najveći element. Dakle niz je ograničen i odozgo i odozdo.
Limes niza. Konvergentni nizovi. Definicija: Kažemo da niz (a n ) realnih brojeva konvergira k L, ako za svaki ε > 0 postoji n 0 N tako da n > n 0 a n L < ε. U tom slučaju kažemo takoñer da niz ima es a 0, i pišemo a n n L. Za niz koji ima es kažemo da je konvergentan. Za niz, koji nema es tj. koji ne konvergira, kažemo da divergira ira, odnosno da je divergentan. Prema ovoj definiciji, u proizvoljno maloj okolini esa nalaze se svi članovi niza osim njih konačno mnogo. Dakle vrijedi sljedeca tvrdnja Tvrdnja: Ako niz konvergira, onda je on ograničen. Prema tome neograničen niz nema es. Primjer: Ispitati konvergenciju niza a n. n
Rješenje enje: Niz konvergira i 0. n n Primjer: Ispitati konvergenciju niza: n n a q. Rješenje enje: Ako je q >, onda je niz a n q neograničen, pa divergira. Ako je q 0, onda je svaki član niza jednak 0, pa niz konvergira, i es mu je 0. Ako n n je 0 < q <, niz a q konvergira i q 0. Ako je q, onda niz n n konvergira i es je, a ako je q -, onda imamo niz -,,-,,-,,... Unutar proizvoljno male okoline oko se doduše nalazi beskonačno mnogo članova niza, no i izvan nje se nalazi beskonačno mnogo članova. Tako nije es. Sličnim razmatranjem zaključujemo da niti - ne može biti es. Neki drugi broj ne moze biti es jer postoji interval oko njega u kojem se ne nalazi niti jedan član niza. Tvrdnja: Monoton i ograničen niz realnih brojeva konvergira. n Tvrdnja: Neka su nizovi (a n ) i (b n ) konvergentni, i neka je a n a0 b n b 0. Tada vrijedi sljedeće: n n i
. Niz (a n ± b n ) konvergira i n. Niz (a n b n ) konvergira i n. Niz ( λ a n ) konvergira i ( an ± bn ) an ± bn a0 ± b0 n n ( an bn ) an bn a0 b0 n n n ( an ) λ an λ a0 λ. n 4. Ako je b n 0 za svaki n N i b 0 0, niz (a n / b n ) konvergira i n a b n n n n a b n n a b 0 0...
Neki važni nizovi Razmotrit ćemo sada neke važne ese. Primjer: Može se dokazati da vrijede sljedeći esi: n n n. n n a n 0 n a, za a > 0. n!, za a R. Broj e: e. n n n
Limes funkcije U daljnjem tekstu koristimo i podrazumijevamo sljedeće oznake i pretpostavke: Neka je funkcije f: D(f) R R. Kada govorimo o esu funkcije yf() u točki a, tada za domenu D(f) podrazumijevamo sljedeće: ako je a R tada postoji barem jedan realan broj δ>0 takav da je skup (a-δ,aδ) \ {a} sadržan u domeni D(f); ako je a tada postoji barem jedan realan broj M>0 takav da je interval (M, ) sadržan u domeni D(f); ako je a - tada postoji barem jedan realan broj m<0 takav da je interval (-,m) sadržan u domeni D(f). Kada pišemo a, a ne navedemo da je a R, tada podrazumijevamo da točka a može biti i ±.
Definicija: Za realan broj L R kažemo da je es funkcije yf() u točki a R, ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da vrijedi: D(f), a, -a < δ f()-l < ε. U tom slučaju pišemo L f ( ) ili f() L kad a. a Ako nejednakosti -a < δ, f()-l < ε napišemo u intervalnom obliku, tada definiciju esa možemo napisati u drugom obliku: Definicija: Za realan broj L R kažemo da je es funkcije yf() u točki a R, ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da vrijedi: D(f), a, (a-δ, aδ) f() (L-ε, Lε). Ako točka a nije konačna, odnosno, ako je a±, tada za es funkcije imamo sljedeće definicije:
Definicija: Za realan broj L R kažemo da je es funkcije yf() u točki, ako za svaki ε > 0 postoji M > 0 tako da vrijedi: D(f), > M f()-l < ε. U tom slučaju pišemo L f ( ) ili f() L kad. Definicija: Za realan broj L R kažemo da je es funkcije yf() u točki -, ako za svaki ε > 0 postoji m < 0 tako da vrijedi: D(f), < m f()-l < ε. U tom slučaju pišemo L f ( ) ili f() L kad -. Tvrdnja A: Realan broj L je es funkcije yf() u točki a, ako i samo ako za svaki niz ( n ) iz D(f), takav da n a i n a, vrijedi f ( ) L. n n a
Primjer: Neki osnovni esi su a) za sve p > 0, 0; p fhl ê,ê 400000 00000 00000 00000-0. -0. 0. 0. -00000-00000 fhl 5, 4,, 50 b) za sve p > 0, 0; 0 p 00 50-0 -5 5 0-50 -00 7.5 c) e ±. 5.5 0 7.5 5.5-0 -5 5 0
Tvrdnja B: Ako za funkciju yf() postoji es u točki a, tada je on jedinstven. Dokaz: Pretpostavimo suprotno, tj. neka funkcija yf() ima dva esa L f ( ), L f ( ). Tada po definiciji esa za svaki ε > 0 postoje δ > a a 0 i δ > 0 takvi da vrijedi D(f), a, -a < δ f()-l < ε / i -a < δ f()-l < ε/. Sada za δmin{δ, δ } i za sve takve da je -a < δ imamo: L - L L f() f() - L f()-l f()-l < ε/ ε/ ε, odakle zbog toga što je ε > 0 proizvoljan slijedi da je L L. Q.E.D. Navest ćemo jedan primjer nepostojanja esa dane funkcije u točki a. Primjer: Neka je funkcija yf() definirana kako slijedi
sin, ( ) 5 za za 0, f 0. 5. 5 0. 0. 5-0. 5 - Tada ne postoji es ove funkcije u točki 0. Zaista, neka su (a n ) i (b n ) dva niza definirana na sljedeći način: a n π n π i b n π n, π nε N Nije teško provjeriti da je f(a n ) i f(b n ) -, n N, odnosno da vrijedi a n 0, f(a n ) i b n 0, f(b n ) -, kad n.
5 4-0.0 0.04 0.06 0.08 0. 0. Ako bi postojao es L funkcije yf() u točki 0 tada bi po TvrdnjiA istovremeno imati da je L i L-, što po TvrdnjiB nije moguće.
Primjer: Sljedeće funkcije nemaju es u točki a: - f ( ) u točki ; 5 0 5 4 6 8-5 -0-5 -0 60 f ) tg ( u točki π/;.5 40 0-0 -40-60.5 f ( ) cos u točki 0; - 0. 5-0. 5 0. 5-0. 5 -.5 f ) cth ( u točki 0; -0 0.5-5 5 0-0.5 - -.5
Ako je funkcija yf() definirana u točki a, odnosno, ako je a D(f), te ako postoji es L f ( ) tada se postavlja pitanje da li je L jednako f(a)? O a tome govori sljedeći primjer. Primjer: Neka je funkcija yf() definirana kako slijedi f ( ), za za 0, 0. Tada vrijedi f (0) f ( ). Zaista, nije teško vidjeti da postoji f ( ) 0 0 0 i da je f ( ) 0. S druge strane, iz definicije ove funkcije znamo da je f(0), pa zaključujemo da je f (0) f ( ). 0
Računanje esa U nastavku ćemo prezentirati neke metode računanja esa, a koje se temelje na svojstvima esa funkcija s obzirom na algebarske operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i potenciranja funkcija. Ova svojstva su iskazana u sljedećem rezultatu. Tvrdnja C: Neka postoje esi funkcija yf() i yg() u točki a. Tada su istinite sljedeće jednakosti:. [ f ( ) ± g( ) ] f ( ) ± g( ), a a a. [ f ( ) g( ) ] f ( ) g( ), a a a f ( ) f ( ) a., ako je g( ) 0, a g( ) g( ) a a
[ g( ) ] 4. f ( ) a a a f ( ) g( ), ako desna strana nije oblika 0 Dokaz: slijedi iz TvrdnjeA i svojstava konvergentnih nizova, ali ove jednakosti možemo dokazati direktno. Neka je L f ( ), L g( ). Tada po a a definiciji esa za svaki ε > 0 postoje δ > 0 i δ > 0 takvi da vrijedi -a < δ f()-l < ε / i -a < δ g()-l < ε/. Sada za δmin{δ, δ } i za sve takve da je -a < δ imamo: [f() g()] [L L ] [f() L ] [g() L ] f()-l g()-l < ε/ ε/ ε, odakle slijedi da postoji es funkcije fg u točki a i da je jednak L L. Time je dokazana prva jednakost u ovoj tvrdnji. Q.E.D. 0. Primjer:.
Uvijek treba uvrstiti broj kojem teži u funkciju čiji es računamo. Ako dobijemo kao rezultat realan broj, onda je upravo taj broj es. Uvrštavanjem možemo dobiti ili - kao jedan od članova. U tom slučaju imamo ova pravila:, ± a, - - -, - ± a -,, ± a 0,, a, ako je a ako je a > < 0, 0. Neodreñeni oblici Ako pri računanju esa dobijemo jedan od izraza: 0, 0,, 0, onda ne možemo ništa reći. Tada moramo raznim metodama svesti podintegralnu funkciju na oblik koji će nakon uvrštavanja dati realan broj ili jedan od gore rješenih izraza. Ako se tom prilikom kao es dobije ili, onda to znači da es ne postoji i da vrijednost funkcije postaje sve veća ili sve manja kada se nezavisna varijabla približava točki u kojoj računamo es. 0, 0 0,,
0 Neodreñeni oblici i 0 Kod računanja esa racionalnih funkcija možemo dobiti izraz f ( a) g( a) ili f ( a) g( a) 0 0. f ( ) g( ) (f() i g() su polinomi), Kod neodreñenog oblika, brojnik i nazivnik dijeo s najvećom potencijom. Na taj način od beskonačno velikih veličina, koje su se pojavile u brojniku i nazivniku, prelazimo na konačne i beskonačno male veličine, pa možemo primjeniti jedno od svojstava iz TvrdnjeC. Primjeri: 5 ( 5) / / 5 /. 4 ( 4) / / 4 /
Funkcija 5 5 ) ( 4 f nema es u točki. Zaista,. 5 / / / / / 5 5) / ( ) / (5 5 5 4 4 4 4 4. 0 / / / 4 / / ) / ( ) / 4 ( 4 4 4 4 4 4 4 Kod neodreñenog oblika 0 0, potrebno je brojnik i nazivnik skratiti. Primjer Primjer Primjer Primjeri: 9 ) ( ) )( ( 0 0 9 6 5,. cos cos sin sin 0 0 sin sin 0 0 0
Neodreñeni oblik Kod računanja esa razlike funkcija f() g(), možemo dobiti da je izraz f(a) g(a). U ovom slučaju potrebno je razliku funkcija f() g() transformirati u racionalnu funkciju. Primjeri: ( ) ( ) / / / 00, ( ) 00 ( ) / ( ) /
00 00. Neodreñeni oblik Kod računanja esa funkcije oblika f() g(), možemo dobiti da je izraz f(a) g(a). U ovom slučaju potrebno je primjeniti transformaciju oblika: f ( a) g( a) ln g ( a) ( f ( a) ) g( a)lnf ( a) e e. Primjeri: 4 4 4
, 4 4) ( 4 e. Imamo: / /,. Prema tome je 0. e e.
Na kraju navodimo rezultat o supstituciji u esu. Stavak D: Neka postoji es funkcije yf() u točki a i neka je L f ( ). a Nadalje, neka je f(d(f)) D(g) i neka funkcija yg() ima es u točki L takav da je g( L) g( y ). Tada vrijedi: Primjeri: 0 y L ( ) ln y 6 y ln 0 a ( g f )( ) g( y ) o. y y y y L y 0 y y ( )( ) y y y, ( y )( y ) y ( ) ln ln e y e e y y prema prethodnom primjeru. 0 0 y 0 y 0ln( y ) y,
Jednostrani esi Kao što smo vidjeli u prethodnom predavanju, domena neke funkcije je nerijetko bila unija disjunktnih otvorenih intervala D(f) (a,b ) «(a,b ) ««(a m,b m ). Pri tome se točke a k i b k, za k,,,m, nazivaju rubne točke domene D(f). Primjeri: Funkcija f ( ) ima za domenu skup D(f) (,) «(, ). Točka je rubna točka domene D(f). Funkcija f ( ) arctg ima za domenu skup D(f) (,) «(, ). Točka je rubna točka domene D(f). Funkcija f ( ) arcth ima za domenu skup D(f) (,-) «(, ). Točke - i su rubna točke domene D(f).
Postavlja se pitanje kakvo je ponašanje funkcije yf() blizu rubnih točaka domene D(f)? Prije toga definirajmo pojmove jednostranih esa. Definicija: Za realan broj L R kažemo da je desni es funkcije yf() u točki a R, ako za svaki ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da vrijedi: D(f), > a, ( -a < δ f()-l < ε). U tom slučaju pišemo L f ( ). a Definicija: Za realan broj L R kažemo da je lijevi es funkcije yf() u točki a R, ako za svaki ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da vrijedi: D(f), < a, ( -a < δ f()-l < ε). U tom slučaju pišemo L f ( ). a
Primjeri: Jednostrani esi funkcija iz prethodnog primjera u rubnim točkama njihovih domena su:, 0 0. arctg arctg arctg( ) 0 arctg arctg arctg 0 ( ) π, π. 0 arcth ln ln ln 0, arcth ln ln ln. 0
Limes i jednostrani esi funkcije yf() mogu biti povezani na sljedeći način: Tvrdnja D: Neka je a R. a) a) Ako postoji es funkcije yf() u točki a, tada postoje i jednostrani esi f ( ) i f ( ), te vrijedi: b) a a a f ( ) f ( ) f ( ). a b) Ako postoje jednostrani esi f ( ) c) a a i f ( ) a i jednaki su, odnosno f ( ) f ( ), tada postoji i es funkcije yf() u točki a, koji je a a jednak tim esima. c) Ako ne postoji jedan od jednostranih esa f ( ) a i f ( ) a ili ako oba postoje ali su različiti, odnosno f ( ) f ( ), tada ne postoji es funkcije yf() u točki a. a a Dokaz: slijedi neposredno iz definicije esa i jednostranih esa.
Na kraju promatramo usporedni kriterij za ese funkcija: Tvrdnja E: Pretpostavimo da postoji δ > 0 takav da vrijedi: f() g() h(), (a,aδ), te da je a f ( ) u točki a i vrijedi a h( ) g( ) L. a L R. Tada postoji i desni es funkcije yg() Dokaz: slijedi iz TvrdnjeA. Analogno se iskazuje usporedni kriterij za lijeve ese. sin Primjer: Jedan od važnih esa je. Zaista, 0 vrijedi da je P óoaa P kružnog isječkaoaa P óobb, odnosno sin cos tg.
sin Slijedi cos za sve 0, π. Primjenom usporednog kriterija i cos sin parnosti funkcije slijedi traženi es. Primjeri: sin 0 sin sin y 0 0 0 y 0 y tg 0 sin 0 0 0 cos 0 cos 0 arcsin 0 0 y 0 sin y 0 y., sin,
Asimptote Neka se točka T neprekinuto giba po grafu Γ f funkcije f tako da barem jedna od njezinih koordinata teži u ili. Ako pri tom njena udaljenost do pravca p teži k nuli, onda se taj pravac naziva asimptota funkcije. Postoje dva osnovna načina na koji se može ostvariti ovakva situacija: (a) varijabla teži prema konačnom broju c (s lijeve ili s desne strane), a funkcijska vrijednost teži u ili ; (b) varijabla teži u ili.
Vertikalne asimptote Ako za funkciju f vrijedi c f ( ) ± ili c f ( ) ± onda je pravac c njezina vertikalna asimptota. Horizontalne asimptote Drugi tip asimptota javlja se pri proučavanju ponašanja funkcije f kad ±. Slijede dvije interesantne mogućnosti.
Ako postoji l f ( ) onda se pravac y l naziva desna horizontalna asimptota funkcije f. Ako postoji l f ( ) onda se pravac y l naziva lijeva horizontalna asimptota funkcije f. Primjeri: Prisjetimo se:. Funkcija f ( ) arctg ima desnu π horizontalnu asimptotu y, π a lijevu horizontalnu asimptotu y. y π/.5 0.5-0 -5 5 0-0.5 - -.5 y y - π/
. Eksponencijalna funkcija f ( ) ima lijevu horizontalnu asimptotu y 0, a desnu horizontalnu asimptotu nema. y 5.5 0 7.5 5.5. Funkcija f ( ) ima horizontalnu asimptotu (istovremeno lijevu i desnu) y0. Vertikalna asimptota je pravac 0. -4-4 y 40 0 - - -0-40 4. Funkcija f ( ) ima vertikalnu asimptotu 0, a horizontalnu y. 00 50 - -50 y -00
Kose asimptote Desna kosa asimptota funkcije f je pravac y k l za koji vrijedi [ f ( ) k l] 0. ( ) Ako ovakav es postoji kada asimptoti., onda govorimo o lijevoj kosoj Ako kosa asimptota postoji tada vrijedi ( ), pa pogotovo vrijedi: f ( ) l 0 [ f ( ) k l] k. f ( ) Tako dobivamo da je: k. Koeficijen l računamo iz ( ): l [ f ( ) k].
Horizontalne asimptote su poseban slučaj kosih, s k0. Zato, ukoliko nije odmah vidljivo ponašanje funkcije, pri traženju asimptota najprije ispitujemo postoje li kose asimptote. Primjeri: Odredi asimptote funkcije y. Vertikalnih asimptota nema, jer je nazivnik razlomka uvijek pozitivan. Odredimo kose asimptote: y k, ± ± ( ) y Kosa asimptota - - - - - - -4 l ± ± ± ( y k ) Pravac y je desna i lijeva asimptota ove funkcije..
Odredi asimptote funkcije y. Nule nazivnika su ±. U tim točkama funkcija nije definirana. Imamo,, 0 0,. 0 0 dakle, vertikalne asimptote su - i. y 0 5-4 - 4-5 -0 y Odredimo kose asimptote: k, ± ± ( ) l ± ± ± ± ( y k ) 0 Pravac y je desna i lijeva asimptota ove funkcije..
Neprekinute funkcije i esi Ovdje ćemo promatrati pojmove neprekinutosti i prekinutosti realne funkcije realne varijable, te njihov odnos prema esu funkcije. Definicija: Neka je a R. Funkcija yf() je neprekinuta u točki a ako je a D(f) i ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da vrijedi: D(f), -a < δ f()-f(a) < ε. Ako funkcija yf() nije neprekinuta u točki a tada kažemo da je yf() prekinuta u točki a. Definicija: Neka je skup I otvoren interval ili unija otvorenih intervala ili I R. Kažemo da je funkcija yf() je neprekinuta na skupu I ako je ona neprekinuta u svakoj točki tog skupa. Kažemo da je funkcija yf() je neprekinuta na segmentu [a,b] ako je neprekinuta na intervalu (a,b).
Funkcija f neprekinuta u točki a Funkcija f prekinuta u točki a Primjeri: Konstanta f() c je neprekinuta funkcija na cijelom R. Zaista, neka je a R proizvoljan i ε > 0 proizvoljan. Tada za proizvoljan δ > 0 vrijedi a < δ f() f(a) c c 0 < ε. Prema tome funkcija je neprekinuta u točki a. Kako je a R proizvoljan, to je f neprekinuta u svakoj točki iz R, dakle na cijelom R.
Funkcija f() je neprekinuta na cijelom R. Zaista, neka je a R proizvoljan i ε > 0 proizvoljan. Tada za ε δ > 0 vrijedi a < δ f() f(a) a < δ ε. Prema tome funkcija je neprekinuta u točki a. Kako je a R proizvoljan, to je f neprekinuta u svakoj točki iz R, dakle na cijelom R. U nastavku ćemo dokazati da su elementarne funkcije neprekinute funkcije na svojim domenama. Slijedi tvrdnja o operacijama s neprekinutim funkcijama. Tvrdnja F: (i) Neka su y f() i y g() neprekinute funkcije u točki a, tada je u toj točki neprekinuta i funkcija: f() ± g(), f() g(), f()/g() (uz uvjet da je g(a) 0). (ii) Neka su y f() i y g() dvije funkcije za koje je f(d(f)) D(g). Ako je funkcija y f() neprekinuta u točki a, a funkcija y g() neprekinuta u točki f(a), tada je funkcija y g(f()) neprekinuta u točki a.
Primjer: Iz TvrdnjeF slijedi da su potencije neprekinute funkcije na R. Zaista, iz neprekinutosti funkcije f (), slijedi da je neprekinuta funkcija f (), jer je f () f () f (). Nadalje je neprekinuta i funkcija funkcija f () f () itd. Polinomi su neprekinute funkcije na R kao kompozicija neprekinutih funkcija. Budući da su racionalne funkcije kvocijenti neprekinutih funkcija (polinoma), one su neprekinute funkcije u točkama u kojima je nazivnik različit od nule. Slijedi da je svaka racionalna funkcija neprekinuta na svojoj prirodnoj domeni Slijedi tvrdnja o neprekinutosti monotonih funkcija. Tvrdnja G: Neka je f strogo monotona funkcija definirana na konačnom ili beskonačnom otvorenom intervalu I, i neka je njezina slika konačan ili beskonačan otvoreni interval. Tada je f neprekinuta funkcija na I. Zatim postoji inverzna funkcija f - i ona je neprekinuta na svojoj domeni (slici funkcije f). Primjer: Na temelju TvrdnjeG imamo sljedeće zaključke: Eksponencijalne funkcije su neprekinute na R, jer su definirane na beskonačnom otvorenom intervalu (, ), i slika im je beskonačan otvoreni interval (0, ) i strogo su monotone.
Logaritamske funkcije, kao inverzne od eksponencijalnih, su neprekinute. Funkcija sinus je strogo monotona na(π/, π/), taj otvoreni interval preslikava na (,), pa je neprekinuta na (π/, π/). Kosinus je na isti način neprekinuta funkcija na (0, π). Funkcije sinus i kosinus su neprekinute na R kao kompozicija neprekinutih funkcija. Funkcije tangens i kotangens su kvocijenti neprekinutih funkcija, pa su i same neprekinute na svojim domenama. Arkus funkcije su inverzne od strogo monotonih, pa su neprekinute. Da su arcsin i arccos neprekinute i na rubovima segmenta [-,] dokazuje se posebno. Funkcije dobivene od gore navedenih pomoću konačno mnogo operacija zbrajanja, množenja, dijeljenja, komponiranja, invertiranja zovu se elementarne funkcije. Tako imamo važan zaključak: elementarne funkcije su neprekinute na svojim domenama.
Svojstva neprekinutosti i prekinutosti funkcija mogu se izraziti pomoću esa, lijevog i desnog esa kako slijedi. Tvrdnja H: Neka je a R. i) Neka je yf() neprekinuta funkcija u točki a. Tada postoji es funkcije yf() u točki a i vrijedi f ( a) f ( ). a ii) Neka postoji es funkcije yf() u točki a, te neka je a D(f) i f ( a) f ( ). Tada je yf() neprekinuta funkcija u točki a. a iii) Ako ne postoji es funkcije yf() u točki a, tada je yf() prekinuta funkcija u točki a. iv) Neka je yf() prekinuta funkcija u točki a, te neka postoje i neka su konačni jednostrani esi f ( ) i f ( ). Tada za veličinu prekida a a (skoka) S(a) funkcije yf() u točki a vrijedi:
S( a) f ( ) f ( ) > 0. a a Primjeri: Funkcija f ( ) sin 0,, za za 0, 0, je neprekinuta na R. Takozvana Heavisideova funkcija (čitaj Hevisajdova) f ( ), 0, za za < 0, 0, je prekinuta u točki 0.
Svojstva neprekinutih funkcija Na kraju, bez dokaza iznosimo neke važne rezultate o neprekinutim funkcijama. Tvrdnja K (nultočke neprekinutih funkcija): Neka je I otvoren interval ili I R. Neka je funkcija yf() neprekinuta u I, te neka za dvije proizvoljne dane točke a I i b I, a < b, vrijedi: f(a) f(b) < 0 ( odnosno f(a) > 0 i f(b) < 0 ili f(a) < 0 i f(b) > 0 ). Tada postoji točka c (a,b), takva da je f(c) 0. Tvrdnja L (Rolleov teorem za neprekinute funkcije): Neka je I otvoren interval ili I R. Neka je funkcija yf() neprekinuta u I, te neka postoje dvije točke a I i b I, a < b, takve da vrijedi: f(a) f(b) 0. Tada u intervalu [a,b] postoji barem jedna točka lokalnog ekstrema za funkciju
yf(), to jest postoji točka lokalnog maksimuma M [a,b] (za koju vrijedi f( M ) f() za sve [a,b]) ili lokalnog minimuma m [a,b] (za koju vrijedi f( m ) f() za sve [a,b]). Tvrdnja M (Postojanje točaka lokalnog maksimuma i lokalnog minimuma): Neka je funkcija yf() neprekinuta na zatvorenom intervalu [a,b], f: [a,b] R. Tada u intervalu [a,b] postoje točke lokalnog maksimuma ili lokalnog minimuma za funkciju yf(), odnosno postoje M [a,b] i m [a,b] takvi da je f( M ) f() i f( m ) f() za sve [a,b].