Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός Laplace διευρύνει την κλάση των συναρτήσεων για τις οποίες μπορεί να επιτευχθεί μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας. Υπάρχουν πολλές συναρτήσεις με πρακτική σπουδαιότητα για τις οποίες υπάρχει ο ML, ενώ αντίθετα ο MF δεν ορίζεται.. Με το ML παρέχεται η δυνατότητα μελέτης συστημάτων που δεν βρίσκονται σε αρχική κατάσταση ηρεμίας. Οι αρχικές συνθήκες ενσωματώνονται κατάλληλα στη μελέτη του συστήματος. 3. Η θεωρία γραμμικών συστημάτων εμπλουτίζεται, αλλά και απλοποιείται ταυτόχρονα, με τη χρήση του μιγαδικού πεδίου συχνότητας, την εισαγωγή των πόλων και μιγαδικών κλπ

Μετασχηματισμός Laplace (3.) (3.3) Το, στη γενική περίπτωση, είναι = σ + jω.

Μετασχηματισμός Laplace Παρατηρούμε ότι, για σ = 0 ο αριθμός της (3.3) συμπίπτει με το μετασχηματισμό Fourier της x(t) (εάν αυτός υπάρχει). Η σχέση(3.3) γράφεται και ως: { } σt jωt = () () X x t e e dt L x t (3.4) Από την (3.4) φαίνεται ότι ο αμφίπλευρος μετασχηματισμός Laplace της x(t) μπορεί να ερμηνευτεί και ως ο μετασχηματισμός Fourier της x(t)e -σt. Είναι λόγω αυτής της σχέσης με το MF που αναφερόμαστε στη μεταβλητή του ML και ως μιγαδική συχνότητα. Διαπιστώνουμε ότι η παρουσία του παράγοντα e -σt παρέχει τη δυνατότητα σύγκλισης του ολοκληρώματος (3.4) και κατά συνέπεια ύπαρξης του μετασχηματισμού Laplace, ακόμα κι όταν ο MF της x(t) δεν υπάρχει.

Μετασχηματισμός Laplace Μια ουσιαστική διαφορά μεταξύ των δύο ορισμών είναι ότι ο μονόπλευρος ML παρέχει τη δυνατότητα μελέτης συστημάτων που δεν βρίσκονται σε αρχική κατάσταση ηρεμίας. Ισοδύναμα, παρέχει τη δυνατότητα επίλυσης γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές και με ενσωμάτωση μη μηδενικών αρχικών συνθηκών. Επίσης, είναι πιο φυσική η χρήση του μονόπλευρου ML στη μελέτη αιτιατών συστημάτων για τα οποία ισχύει ότι η κρουστική τους απόκριση h(t) είναι ίση με το μηδέν για t < 0. Στο υπόλοιπο του μαθήματος θα ασχοληθούμε με το μονόπλευρο ML και σε ό,τι αφορά τον αμφίπλευρο θα περιοριστούμε σε ορισμένες αξιοσημείωτες διαφορές του από το μονόπλευρο.

Θεώρημα Ύπαρξης του ΜL Όπως έχουμε ήδη αναφέρει, εάν το γενικευμένο ολοκλήρωμα της (3.) συγκλίνει, τότε ο ML της συνάρτησης x(t) υπάρχει (το αν είναι και μοναδικός θα το δούμε αργότερα). Είναι απαραίτητο εδώ να δώσουμε τον ακόλουθο ορισμό πριν προχωρήσουμε στις ικανές συνθήκες ύπαρξης του ML. Ορισμός: Μια συνάρτηση x(t) είναι εκθετικής τάξης α (ή απλώςεκθετικής τάξης), εάν υπάρχουν δύο σταθερές Μ > 0 και α και μια ορισμένη τιμή t 0 του t τέτοιες at at ώστε να ισχύει: e x( t) < Μ ή x ( t) < Me για t t. 0 ct Για παράδειγμα, η x t = e co Ωt είναι εκθετικής τάξης c, διότι ct ct e co( Ωt) e για t> 0. t Αντίθετα, η συνάρτηση x t = e δεν είναι εκθετικής τάξης, διότι η () δεν φράσσεται από καμία θετική σταθερά. X t = x( t) e dt 0 e e = e at t t at

Θεώρημα Ύπαρξης του ΜL Για να υπάρχει ο Μετασχηματισμός Laplace μιας συνάρτησης x(t) πρέπει: Η x(t) να είναι τμηματικά συνεχής σε πεπερασμένο διάστημα 0 t b Η x(t) να είναι εκθετικής τάξης α για t> b Ο ML της x(t) υπάρχει για Re() > α

Μετασχηματισμός Laplace Στοιχειωδών Συναρτήσεων 1. Έστω x(t) = u(t). Τότε σύμφωνα από τον ορισμό έχουμε: Για μειώνεται εκθετικά με το χρόνο και το ολοκλήρωμα υπάρχει με ταre συνηθισμένη > 0, η έννοια. e t Το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης είναι:. Έστω x(t) = t, t > 0. Τότε έχουμε: 1 t 0 X = e dt { ()} 1 L u t = X =, Re ( ) = σ > 0 t t L( x( t) ) = t e dt = lim te dt 0 b 0 Εφαρμόζοντας την ολοκλήρωση κατά παράγοντες και παίρνοντας το όριο για έχουμε τελικά: b = 1, Re = σ > 0 {} ( ) L t 3. Έστω x(t) = δ(t). O ΜL της κρουστικής συνάρτησης είναι: L = b t ( δ ( t) ) δ ( t) e dt = 1, Re > 0

Μετασχηματισμός Laplace Στοιχειωδών Συναρτήσεων (). at 4. Έστω x t = e u t Ξεκινώντας και πάλι από τον ορισμό έχουμε: b at t ( + ) { ()} lim a t L xt e e dt e dt 0 b 0 = = = 1, Re + a = σ > a Στο Σχήμα 3.1 βλέπουμε την περιοχή σύγκλισης του ML της περίπτωσης 4. Σχήμα 3.1 Περιοχή σύγκλισης του ML του σήματος at = x t e u t Το ανώμαλο σημείο της συνάρτησης (δηλαδή το α) βρίσκεται έξω από την περιοχή σύγκλισης.

Μετασχηματισμός Laplace Στοιχειωδών Συναρτήσεων Η τρίτη στήλη του πίνακα καθορίζει ην περιοχή σύγκλισης του ML, δηλαδή την περιοχή του επιπέδου στην οποία υπάρχει ο μετασχηματισμός Laplace της αντίστοιχης συνάρτησης. Για παράδειγμα, ο ML της co(ω 0 t)u(t) υπάρχει για κάθε t τέτοιο ώστε Re() > 0.

Μερικοί Μετασχηματισμοί Laplace Συνάρτηση f(t) δ(t) 1 u(t) 1/ Μετασχηματισμός Laplace Συνάρτηση f(t) in(bt) b/( +b ) co(bt) /( +b ) Μετασχηματισμός Laplace t 1/ e -at in(bt) b/((+a) +b ) t n n!/ n+1 e -at co(bt) (+a)/((+a) +b ) e -at 1/(+a) t in(bt) b/( +b ) t n e -at n!/(+a) n+1 t co(bt) ( -b )/( +b )

Η περιοχή Σύγκλισης του Μετασχηματισμού Laplace Αν η X() μπορεί να γραφτεί σε μορφή ρητής συνάρτησης, δηλαδή ως λόγος N δύο πολυωνύμων του, X = τότε οι ρίζες του D() (που είναι D, μεμονωμένα ανώμαλα σημεία της Χ()) ονομάζονται πόλοι (pole) της X() που προφανώς στα σημεία αυτά η X() μηδενίζεται. at Έτσι για παράδειγμα, ομlτης xt = e ut, a> 0, 1 που είναι X = + a (βλ. Πίνακα 3.1) έχει έναν πόλο στο σημείο 0 = -α.

Η περιοχή Σύγκλισης του Μετασχηματισμού Laplace Γενικά όπως μπορεί να διαπιστωθεί και από τον Πίνακα 3.1, πόλοι στο αριστερό ημιεπίπεδο του αντιστοιχούν σε σήματα στο πεδίο του χρόνου πολλαπλασιασμένα με e-αt, α >0. Πόλοι στο δεξιό ημιεπίπεδο του αντιστοιχούν σε σήματα πολλαπλασιασμένα με e -αt, α > 0. Απλοί πόλοι στο φανταστικό άξονα αντιστοιχούν σε σήματα των οποίων το πλάτος ούτε αυξάνεται ούτε μειώνεται σε σχέση με το χρόνο. Πολλαπλοί πόλοι στο φανταστικό άξονα αντιστοιχούν σε σήματα πολλαπλασιασμένα με δυνάμεις του t.

Η περιοχή Σύγκλισης του Μετασχηματισμού Laplace Μιγαδικοί συζυγείς πόλοι αντιστοιχούν σε συναρτήσεις που υφίστανται ταλάντωση (περιέχουν ημιτονοειδείς όρους). Εάν, βέβαια, το πραγματικό μέροςτωνσυζυγώνπόλωνείναιμηδέν(συζυγείς στο φανταστικό άξονα), τότε έχουμε συντηρούμενη ταλάντωση. Αλλιώς η ταλάντωση είναι ή εκθετικά φθίνουσα ή εκθετικά αύξουσα. Τα παραπάνω φαίνονται στο Σχήμα 3.. Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού Laplace μιας συνάρτησης δεν περιλαμβάνει πόλους. Αυτό είναι αποτέλεσμα μιας χρήσιμης ιδιότητας του ML σύμφωνα με την οποία ο ML X() της x(t) είναι αναλυτική συνάρτηση στην περιοχή σύγκλισής του.

Η περιοχή Σύγκλισης του Μετασχηματισμού Laplace Σχήμα 3.. Σχέση μεταξύ της θέσης των πόλων στο επόμενο και της μορφής του σήματος στο πεδίο του χρόνου. (α) Ένας πραγματικός πόλος. (β) Δύο συζυγείς φανταστικοί πόλοι.

Η περιοχή Σύγκλισης του Μετασχηματισμού Laplace

Ιδιότητες και Θεωρήματα του ΜL

Ιδιότητες και Θεωρήματα του ΜL

Ιδιότητες και Θεωρήματα του ΜL

Ιδιότητες και Θεωρήματα του ΜL

Ιδιότητες και Θεωρήματα του ΜL

Ιδιότητες και Θεωρήματα του ΜL t y( t) = x( τ ) dτ

Θεώρημα της Αρχικής Τιμής Έστω η συνάρτηση x(t), η οποία δεν περιέχει κρουστικές συναρτήσεις στο t = 0, και έστω { } = X L x t ο ML της με ΠΣ Re() > σ 0. Τότε ισχύει: + x lim X 0 = (3.14) Παράδειγμα 3.: Έστω x(t) = u(t) co(ω 0 t). Να υπολογιστεί η τιμή της x(t) για t = 0 +. Λύση: Από τον Πίνακα 3.1 έχουμε ότι: =, Re > 0 +Ω { ()} L x t 0 Η συνάρτηση x(t) δεν περιέχει κρουστικές συναρτήσεις στο t = 0. Εφαρμόζοντας επομένως το θεώρημα αρχικής τιμής παίρνουμε: x 0 = lim = 1 +Ω + 0 Πίνακας 3.1 co ( t) u( t) Ω0 + Ω0 Re( ) > 0

Θεώρημα της Τελικής Τιμής 10. Το θεώρημα τελικής τιμής Έστω ότι ο ML της x(t) είναι X() για Re()>σ 0 και έστω ότι η X() είναι αναλυτική συνάρτηση στον φανταστικό άξονα και στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο. Τότε ισχύει: lim x t t lim X = (3.15) 0 Απόδειξη: dx( t) dx t = dt = dt ( 0 ) t L e dt X x 0 t 0, e 1. 0, Όταν τότε Συνεπώς, παίρνοντας το όριο για στην παραπάνω σχέση, οδηγούμαστε στην και τελικά: 0 dx t dt dt = lim X x 0 lim x t t = lim X 0

Θεώρημα της Τελικής Τιμής Το θεώρημα της τελικής τιμής δεν ισχύει εάν η X() έχει πόλους στο δεξιό ημιεπίπεδο ή στον φανταστικό άξονα. Εάν υπάρχουν πόλοι στο δεξιό ημιεπίπεδο, αυτοί αντιστοιχούν σε συναρτήσεις της μορφής e αt, α > 0, των οποίων το όριο για t δεν υπάρχει. Στην περίπτωση που υπάρχουν πόλοι στον φανταστικό άξονα, τότε τα όρια για t μπορούν να οριστούν μόνο με χρήση της θεωρίας γενικευμένων συναρτήσεων. Το θεώρημα τελικής τιμής χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό τιμών ισορροπίας (και μόνιμης κατάστασης) στημελέτησυστημάτων. t x t 1 e u t. = x( t) Παράδειγμα 3.3: Έστω Να υπολογιστεί το lim. t Λύση: 1 1 1 L 1 e u t = =, Re > 0 t () { } + 1 ( + 1) Εφαρμογή του θεωρήματος τελικής τιμής δίνει: 1 lim x() t = lim X = lim = 1 t 0 0 + 1

Πίνακας Ιδιοτήτων και Μετασχηματισμοί Laplace ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΕΠΙ e at ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΕΠΙ -t ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΚΑΤΑ C ΑΛΛΑΓΗ ΚΛΙΜΑΚΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Ως ΠΡΟΣ ΤΟ ΧΡΟΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΡΟΣ ΤΟ ΧΡΟΝΟ ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΗΜΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΙΜΑ ΤΕΛΙΚΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΧΕΣΗ L{ ax( t) } = ax () () { + } = + L x t y t X Y at { } = ( ) L e x t X a { } = ' L t x t X c { ( )} = L x t c e X { } L x at 1 = X a a L x t = X x () () ( 0 ) t { ( τ) τ } L x d = X { () } = L x t y t X Y 0 { ()} L x t X T = 1 e T () = lim lim x t X t + lim x t t + () = lim ( X ) 0 e e e ΣΗΜΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE u() t 1 () t δ 1 () u t at 1 + a () v v! tu t v = 1,,... v 1 + + a co at u t bt a + a in at u t co( at) u( t) in ( at) u( t) + b + b + a a bt + b + a tco( at) u( t ) ( + a ) tin ( at) u( t) in co te te bt bt ( at) u ( t) ( at) u ( t) co( at) u ( t) in ( at) u ( t) a a ( + a ) + a ( + 4a ) a ( + 4a ) + b a + b + a ( + b) a + b + a

Πίνακας Ιδιοτήτων και Μετασχηματισμοί Laplace e e e ΣΗΜΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE u() t 1 () t δ 1 () u t at 1 + a () v v! tu t v = 1,,... v 1 + + a co( at) u ( t) bt bt a + a in at u t co( at) u( t) in ( at) u( t) + b + b + a a + b + a tco( at) u( t ) ( + a ) tin ( at) u( t) in co te te ( at) u ( t) ( at) u ( t) a a ( + a ) + a ( + 4a ) a ( + 4a ) + b a bt co( at) u ( t ) ( + b) + a bt a in ( at) u ( t) ( + b) ( + b) + a ΣΧΕΣΗ L{ ax( t) } = ax () () { + } = + L x t y t X Y at { } = ( ) L e x t X a { } = ' L t x t X c { ( )} = L x t c e X { } L x at 1 = X a a L x t = X x () () ( 0 ) t { ( τ) τ } L x d = X { } = L x t y t X Y 0 { ()} L x t X T = 1 e T = lim ( ) lim x t X t + lim x t t + = lim ( X ) 0

Παράδειγμα Μετασχηματισμού Laplace Ο Μετασχηματισμός Laplace του δίνεται από τον παρακάτω τύπο: e at e ( at + ) at t ( a+ ) t 1 F () = e e dt= e dt= = + a + a 0 0 0

Άσκηση 1 Ζητείται ο Μετασχηματισμός Laplace του x(t)=3u(t-) Λύση: Tο σήμα 3u(t-) προέρχεται από μετατόπιση του σήματος x(t) = 3u(t). 1 L{ x() t } = L{ 3u() t } = 3L{ u() t } = 3 3 3 L{ x() t } = X = Σύμφωνα με τη γνωστή ιδιότητα: { } c = L x t c e X για c= παίρνουμε: 3 e { } { } L x t = e X = e L 3u t = 3

Άσκηση Ζητείται ο Μετασχηματισμός Laplace του x(t)=(t-1) u(t-1) Λύση: Tο σήμα (t-1) u(t-1) προέρχεται από μετατόπιση του σήματος t u(t). Όμως από τον πίνακα των μετασχηματισμών Laplace έχουμε: { ν ()} ( ν ) L t u( t) L t u t () { } L t u t ν! { }! = = = ν + 1 + 1 = 3 { }, c Σύμφωνα με τη γνωστή ιδιότητα: L x t c = e X για c=1 παίρνουμε: { } { 1 1 1 ( 1) ( 1) } e L t u t = e L t u t = 3 3

Άσκηση 3 Ζητείται ο Μετασχηματισμός Laplace του x(t)=u(t-6)-3u(t-8) Λύση: Είναι: { } { } { } L u t 6 3u t 8 = L u t 6 3L u t 8 1 Όμως είναι: L{ u() t } και σύμφωνα με την ιδιότητα: { } = L u( t c) = e c παίρνουμε: e 6 { ( 6 )} =, L u( t 8) L u t { } = e 8 Άρατελικάέχουμε: 6 8 e e L{ u( t 6) 3u( t 8) } = 3 6 8 e 3e L{ u( t 6) 3u( t 8) } =

Άσκηση 4 Ζητείται ο Μετασχηματισμός Laplace του x(t)=e - (t-3) u(t-3) Λύση: Το σήμα e - (t-3) u(t-3) προέρχεται από το σήμα e - (t) u(t) μετά από μετατόπιση. Από τον πίνακα μετασχηματισμών Laplace έχουμε: at 1 t 1 L{ e u() t } = ( a= ) L{ e u( t) } = + a + Σύμφωνα με την ιδιότητα c { ( )} =, L x t c e X για c=3, παίρνουμε: { ( t ) ( 3) } L e u t = e 3 1 3 +

Άσκηση 5 Ζητείται ο Μετασχηματισμός Laplace του x(t)=in(t-π/4) u(t) Λύση: π Στοσήμα in t u() t, παρατηρούμεότιστοσυντελεστήτουu(t) ο χρόνος 4 π εμφανίζεται στη μορφή της ποσότητας t. 4 Μετασχηματίζουμετοσυντελεστήαυτόώστεναεξαρτάταιαπότοχρόνοt, όπως και στη u(t). Είναι: π π π in t = in tco cotin = in t cot 4 4 4 in(a-b)=ina cob - coa inb

Άσκηση 5(συνέχεια) Ζητείται ο Μετασχηματισμός Laplace του x(t)=in(t-π/4) u(t) Άρα είναι: π in t u() t = in t u() t cot u() t 4 π L in t u() t = L{ in () t u() t } L{ co() t u() t } 4 π 1 L in t u() t = 4 + 1 + 1 ( ) π 1 L in t u() t = 4 1 ( + ) in(a-b)=in(a) co(b) - co(a) in(b) αφού, όπως είναι γνωστό έχουμε: a L{ in ( at) u( t) } =, L{ co( at) u( t) } = + a + a

Άσκηση 6 Ζητείται ο Μετασχηματισμός Laplace του x(t)=e -t u(t-3) Λύση: Παρατηρούμε ότι στο μοναδιαίο βηματικό σήμα ο χρόνος εμφανίζεται στη μορφή της ποσότητας t-3. Μετασχηματίζουμε το σήμα ώστε παντού να εμφανίζεται η ποσότητα t-3. Είναι: t { t ( 3) } 6 { ( t 3) ( 3) } { t ( 3) } 6 ( t 3) ( 3) { } t 3+ 3 t 3 6 6 t 3 e u t e u t e u t e e u t 3 = 3 = 3 = 3 L e u t = L e e u t L e u t = e L e u t (1) Όμως, το σήμα e - (t-3) u(t-3) προέρχεται από το σήμα e - t u(t), μετά από μετατόπισή του.

Άσκηση 6(συνέχεια) Ζητείται ο Μετασχηματισμός Laplace του x(t)=e -t u(t-3) Από τον πίνακα των μετασχηματισμών Laplace έχουμε: at 1 t 1 L{ e u() t } = L{ e u() t } = + a + και σύμφωνα με τη γνωστή ιδιότητα παίρνουμε: ( t 3) { u( t 3) } L e c { } = L x t c e X 3 e = + Τελικά από τη σχέση (1) παίρνουμε: ( ) 3 t 6 e t e L{ e u( t 3) } = e L{ e u( t 3) } = + + 3 +