UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta

UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fkult ÚSTAV MATEMATICKÝCH VIED Ondrej HUTNÍK URČITÝ INTEGRÁL Učebné tety Košice

URČITÝ INTEGRÁL Vysokoškolské učebné tety ÚSTAV MATEMATICKÝCH VIED PRÍRODOVEDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH c Ondrej Hutník Recenzenti: doc. RNDr. Božen Mihlíková, CSc. doc. RNDr. Ján Hlušk, CSc. Vydvteľ: Univerzit Pvl Jozef Šfárik v Košicich Umiestnenie: http://www.upjs.sk/prcovisk/univerzitn-kniznic/e-publikci/ pf Dostupné od: jnuár Všetky práv vyhrdené. Toto dielo ni židnu jeho čsť nemožno reprodukovť, ukldť do informčných systémov lebo ink rozširovť bez súhlsu mjiteľov práv. Z odbornú jzykovú stránku tejto publikácie zodpovedá utor. Rukopis neprešiel redkčnou ni jzykovou úprvou. ISBN 978-8-797-99-7

Obsh Úvod 4 O vývoji pojmu integrál 6 Newtonov integrál 3 Riemnnov integrál 9 3. Kritériá R-integrovteľnostifunkcie... 5 3. R-integrálkolimitintegrálnychsúčtov... 35 3.3 Triedy R-integrovteľnýchfunkcií........... 4 3.4 Zákldnévlstnosti R-integrálu............ 48 3.5 R-integrálkofunkcihornejmedze......... 54 3.6 Ostrednýchhodnotáchintegrálnehopočtu...... 63 4 Aplikácie určitého integrálu 7 4. Plošnýobshrovinnéhoútvru............ 73 4. Objemrotčnéhoteles...... 75 4.3 Dĺžkrovinnejkrivky....... 77 4.4 Plošnýobshrotčnejplochy............. 8 5 Nevlstný Riemnnov integrál 83 5. R-integrálnneohrničenomintervle........ 84 5. R-integrál z neohrničenej funkcie n ohrničenom intervle..... 85 5.3 Všeobecnýprípdnevlstného R-integrálu...... 87 Litertúr 9

Úvod Nejestvuje nič, čo by neprekonl usilovná prác vytrvlé úsilie. Senec Pojem integrálu je jedným z njvýznmnejších pojmov v mtemtike vôbec. V njprimitívnejšej podobe ho používli už strí Gréci pri tvorbe euklidovskej geometrie. No ž po Descrtovom diele o nlytickej geometrii z roku 637 mohli mtemtici zčť povžovť integrál z predmet nlýzy. Descrtov prác priprvil podmienky pre objv infinitezimálneho počtu Leibnizom Newtonom okolo roku 665. V tom čse vznikol veľký spor o prvenstvo tohto objvu, čo rozdelilo učencov Nemeck Anglick do dvoch bojujúcich táborov, z ktorých kždý fndil svojmu fvoritovi. Dnes vieme, že Newtonov prác o fluiách fluentoch bol o niečo skorši, le Leibnizovo oznčenieprístupsvmtemtickomsveteujlivicsymboly dspoužívjú dodnes. Stručný prierez históriou integrálu bude uvedený v Kpitole. Dnes eistuje celá hromd skrípt, učebníc, či kníh venovných výkldu pojmu integrál. Preto pred prvú otázku, či npísť ďlší tet o tejto problemtike, je postvený kždý potenciálny utor. Nás ku kldnej odpovedi n túto otázku doviedl požidvk študentov nájsť v určitej ucelenej podobe prednášnú problemtiku čsti zimného semestr druhého ročník. Druhou motiváciou je trochu odlišný prístup k problemtike. Ak si totiž uvedomíme, ktoré metódy s zvyčjne používjú pri riešení úloh získvní rutiny z určitého integrálu, ide hlvne o Newtonovu-Leibnizovu formulu čstokrát n výpočet určitého(riemnnovho) integrálu pomocou definície nezostáv veľ čsu. Preto sme zrdili pojednnie o Newtonovom integráli v Kpitole, ktorý reflektuje túto skutočnosť má primy súvis s neurčitým integrálom, ktorého rôznym metódm výpočtu s venuje reltívne veľ pozornosti v predchádzjúcom semestri. Až z tým v Kpitole 3 vybudujeme teóriu Riemnnovho integrálu, uvedieme kritériá jeho eistencie, triedy integrovteľných funkcií, zákldné vlstnosti nkoniec vzťh s Newtonovým integrálom. Otázky prevžne geometrických plikácií riešime v Kpitole 4 v poslednej kpitole s venujeme rozšíreniu Riemnnovho integrálu pre neohrničené funkcie neohrničené intervly. Ako sme už uviedli, cieľom tohto učebného tetu je poslúžiť študentom pri štúdiu mtemtickej nlýzy, hlvne pri jej štúdiu v učiteľských kombináciách, čo všk nevylučuje jeho použitie j v iných študijných odboroch. To ovplyvnilo j spôsob výkldu, kde popri ektných metódch čstokrát upozorňujeme j n historické spekty súvislosti preberného učiv. Veríme, že motiváci k niektorým zvedeným pojmom množstvo príkldov poslúži študentom k lepšiemu pochopeniu uvedomeniu si niektorých súvislostí, ktoré miestmi len nznčíme, pretože tento tet ni zďlek nevyčerpáv obsh problemtiky.

5 Je milou povinnosťou utor poďkovť recenzentom doc. RNDr. Božene Mihlíkovej, CSc. doc. RNDr. Jánovi Hluškovi, CSc. z viceré cenné pripomienky, ktorými prispeli k celkovému vylepšeniu učebného tetu. Tktiež ptrí utorovo poďkovnie Mgr. Lenke Hlčinovej z strostlivé prečítnie korekciu predchádzjúcich verzií tetu. Npokon utor ďkuje kolektívu vydvteľstv UPJŠ z konečné úprvy tejto učebnice. Košice, december Autor

Kpitol O vývoji pojmu integrál Strovek predpokldy vzniku Obshy niektorých rovinných útvrov s uči deti počítť už v zákldnej škole. Mlýmproblémomje,žekždýtkýtoútvrmásvojvlstnývzorec.VKpitole4 s okrem iného budeme zoberť j spresnením pojmu obsh pre ohrničené rovinné útvry. Dovtedy budeme pojem obsh rovinného útvru chápť len intuitívne. Práve potreb určeni veľkosti plôch objemov rôznych útvrov bol jednou z hybných síl vzniku vývoj mtemtiky. Históri mtemtických techník, ktoré súvisi s týmito otázkmi, je veľmi strá. Npríkld Herodotos(njstrší grécký dejepisec) v 5. storočí pred nším letopočtom popisovl situáciu, ko bol poľnohospodársk pôd pozdĺž Nílu v strom Egypte zdňovná podľ plošnej veľkosti ko boli kždý rok povodňmi odplvovné čsti pozemkov. Mjiteľ pôdy tk pochopiteľne židl zníženie dní úlohou vyberteľov dní bolo zistiť, koľko pôdy odplvil vod, prípdne koľko jej zostlo. To si vyždovlo isté zememerčské pozntky, pretože skrotiť veľkú vodu nebolo možné z poľnohospodárskej pôdy odhrýzl neprvidelné, rôzne zkrivené útvry. V strom Grécku s techniky vymerivni stále zdokonľovli. Princíp určovni obshu útvrov so zkrivenými hrnicmi s pripisujeeudoovi,ktorýbolžikompltónovejakdémievaténch.eudoovprincíp s niekedy nzýv i ehustívny(t.j. princíp postupného vyčerpávni). Z intuitívnych dôvodov bolo Eudoovi jsné, že plošný obsh útvrov v rovine je monotónnyvtomzmysle,žekútvr Aječsťouútvru B,potomplošnýobsh útvru Anemôžebyťväčšíkoobshútvru B,žemávlstnosťditivity,t.j.k útvr C je zjednotením dvoch neprekrývjúcich s útvrov A B, tk plošný obsh útvru C je súčtom plošných obshov útvru A útvru B. Pre dný rovinný útvr A s krivočirou hrnicou s potom Eudoos snžil určiť jeho plošný obsh tk, že útvr A postupne vyčerpávl mnohouholníkmi(polygónmi) M, M,...,ktorédoňpostupnevpisovltk,žezpôvodnéhoútvru Azostávlo stále menej nevyčerpnej čsti. Plošný obsh polygónu dokázli Gréci určiť. Určenie obshu útvru A tk vlstne spočívlo v určení limity postupnosti plošných obshovpolygónov M n pre n. K tomu, by sme tieto úvhy Grékov mohli korektne popísť, by bolo treb presne povedť, čo rozumieme pod rovinným útvrom. Kým to neurobíme mtemticky EudooszKnidu(si48 355prednšímletopočtom)

O vývoji pojmu integrál 7 sin π 3 sin π 6 Obr..:Výpočetobshukruhupomocouvpísných s n -uholníkov(n=) presnevkpitole4,uspokojímesstým,žerovinnýútvrječosi,čoby(prieventuálnom zväčšení) mohol egyptský poľnohospodár povžovť z obrobiteľné pole. Celý popis má okrem iných ešte jeden háčik: pojem limity bol pre Grékov neznámy. Išlo okciu,ktorámlzreteľneniečospoločnésnekonečnomtkémuniečomusvstromgréckusnžilivyhnúťzovšetkýchsíl(mohlibysmetonzvť hororznekonečn ). Podsttou ich postupu bolo vlstne to, že plošný obsh rozdielu útvru A vpísnéhopolygónu M n sdáurobiťľubovoľnemlým,keďszvolídosttočneveľké n, t.j. keď s do A vpíše dosttočne bohtý polygón. Týmto spôsobom Gréci obišli styk s nekonečnom sformulovli vlstne podsttu proimácie veľkosti plošného obshuútvru A.PríslušnýpostuppresnepopíslEuklides. Demonštrujme si túto myšlienku ehustácie n jednoduchom prípde kruhu, viď Obr.. Obr... S nšimi súčsnými vedomosťmi vieme elegntne skonštruovť postupnosť s n =3 n, n=,,...,vpísnýchpolygónov(s n udávpočetstrán n-tého vpísného polygónu), ktorých obsh je n = s nsin π s n, n=,,.... Keďže( n ) jerstúczhorohrničenápostupnosť(dokážte!),podľvetyokonvergencii monotónnej ohrničenej postupnosti pre kruh s polomerom dostávme π= lim n.podobnemôžemepostupovťopisovnímpolygónov(viďobr..),čím n dostávme klesjúcu postupnosť ich obshov b n = s n tg π s n, n=,,..., ktorá je ohrničená zdol(dokážte!), ted opäť konvergentná. MetóduehustáciepodsttnerozvinulplikovlArchimedes 3,ktorýju(okreminých)použilnurčeniehodnotyčísl π.vtejdobeboliužpozntkyokrivkách n vysokej úrovni. Pomocou Eudoovej metódy určil Archimedes npríkld plošný obsh rovinného útvru ohrničeného prbolou primkou. Geometri bol vtedy Euklides(si365 3prednšímletopočtom) 3 ArchimedeszoSyrkúz(87 prednšímletopočtom)

O vývoji pojmu integrál 8 tg π 6 tg π Obr..:Výpočetobshukruhupomocouopísných s n -uholníkov(n=) všetkým i číselné vyjdrenie obshu rovinného útvru bolo chápné geometricky. N Archimedovom náhrobku bol vytesná guľ, ktorej bol opísný vlec, ktorého výšk s rovnl priemeru gule. Bolo to symbolické vyjdrenie Archimedovho pozntkuovzájomnompomereobjemugulevlcovzájomnompomereobshupovrchu týchto dvoch telies. Trduje s, že Archimedov náhrobok bol objvený v čse, keď bol rímsky rečník Cicero kvestorom n Sicílii. Cicero nechl náhrobok s týmito geometrickými symbolmi obnoviť, čo bol snáď njväčší príspevok Rimnov k mtemtike,oktorúinkneprejvovlizáujem(všksimtojvymstilo kiežbytobolo poučením pre dnešných duchplných postmodernistov!). Rím predurčil v mtemtike dlhodobé temno, do ktorého trochu svetl vniesl ž renesnci nstupujúci novovekv6.storočí.vtejdobesobjvilitechnikyinfinitezimálnehopočtu(kepler 4 Cvlieri 5 ),ktorémlisvojzákldvštúdiuprácestrýchgrékovpostupnevnášli svetlo do mtemtických úvh súvisicich s určovním veľkosti rôznych útvrov. Infinitezimálne techniky tej doby sú prvými krokmi v smere výstvby dnešnej teórie techník integrovni. 7.8.storočie 7. storočie bolo obdobím, kedy n uchovných troskách odhľovní chytrosti strých Grékov definitívne zčl rásť nová mtemtik. Svetu ju dli dve výrzné postvydejínvedy:newton 6 Leibniz 7.Bolotostoročie,vktorommtemtiku formovlitkíľudikoglileo 8,Descrtes 9,Pscl,čiKepler.Newtonrozpoznl, že problém určeni veľkosti plochy(integrovni) súvisí s problémom určeni dotyčnice ku krivke, lebo povedné dnešnými slovmi, že integrovnie je opčná operáci k derivovniu(čstokrát j nie celkom správne oznčovná ko inverzná operáci). Leibniz s prestl báť nekonečn, bez predsudkov sčítl nekonečne veľ ne- 4 JohnnesKepler(57 63) 5 BonventurFrncescoCvlieri(598 647),,čítj Kvlieri 6 IscNewton(643 77),čítj Njútn 7 GottfriedWilhelmvonLeibniz(646 76),čítj Ljbnyc 8 GlileoGlilei(564 64) 9 RenéDescrtes(596 65),čítj Dekárt BlisePscl(63 66),čítj Pskl

O vývoji pojmu integrál 9 konečne mlých veličín vytvoril mtemtickú symboliku, ktorú používme dodnes. Spoločne tk Newton Leibniz vytvorili prát modernej mtemtickej nlýzy. Ten bol vo svojej zárodočnej podobe dlho zákldom mtemtického uvžovni búrlivo s rozvíjl v 8. storočí. Leibniz s Newtonom prepojili nvzájom integrovnie derivovnie. Oproti historickému vývoju s prvotnými stli diferenciálne metódy, môže z to hlvne záujem o fyziku objv toho, že dotyčnic(deriváci) súvisí s okmžitou rýchlosťou. Integrál funkcie f :, b R s počítl n záklde fundmentálneho vzťhu mtemtickej nlýzy(tiež oznčovný ko Newtonov-Leibnizov formul) f()d=f(b) F(), kde F:, b Rjeprimitívnfunkcikfn, b. Vytvárné mtemtické metódy boli primo zvizné s potrebmi fyziky, postupnesobjvovlpojemfunkcie,vyvíjlsnázornto,čovlstnefunkcije vládlo všeobecné presvedčenie, že skôr či neskôr bude doriešené všetko, čo s mtemtickou nlýzou súvisí. Prejvovlo s to konkrétne npríkld v presvedčení, že kždú funkciu je možné derivovť tiež integrovť použitím Newtonovej-Leibnizovej formuly.aksnámdnestkétopresvedčeniezdábyťprehnné,jetositým,že máme inú predstvu o tom, čo je funkci. Newtonovo presvedčenie mlo zdrvý zákldvtom,žejehofunkciebolivpodsttepolynómy. 8. storočie s nieslo v znmení veľkej ofenzívy mtemtickej nlýzy do oblstí, ktoré by sme dnes oznčili ko plikácie mtemtiky. Vtedy le nebolo možné odlíšiť mtemtikodfyzik.predstviteľomtkejto integrálnej vedyjeeuler.reprezentuje obdobie konsolidácie použiti veľkých objvov Newton Leibniz zo 7. storoči.eulerovsúčsníkd Alembert bolzástncomhesl postupujmevpred, presvedčenie s doství neskôr. S plynúcim čsom všk používnie mtemtických metód vo fyzike stále vic nrušovlo ideálne predstvy o mtemtických objektoch, ktoréjedôležitéštudovť.zhľdisknášhozáujmustotýklohlvnetoho,čoje vlstne funkci. Predstv, ktorá s medzitým vžil(totiž že funkci musí byť dná tým istým nlytickým výrzom všde tm, kde s vyšetruje) bol z hľdisk použiti vo fyzike nerelistická. V poslednom desťročí vedecky mimoridne plodného 8. storočifourier 3 nrušilvžitépredstvyotom,žefunkciemusibyťspojité.vhistorických pojednnich s dosť špekuluje o tom, ko jednotliví mtemtici n prelome 8. 9. storoči chápli pojem funkcie. Niektoré Fourierove vyjdreni k tejto téme (npr. v jeho diele Théorie nlytique de l chleur ) môžu byť dnešnému mtemtikovi z istého hľdisk blízke, pretože si ich môžeme vyložiť ko určenie funkcie pomocou predpisu, ktorým je bodu v definičnom obore prirdená jediná funkčná hodnot f().ajkeďjepojemfunkcietktozvedenýdosťvšeobecne,zdáshlvne podľ toho, ko s s funkcimi nráblo, že funkcie používné v tej dobe boli prinjhoršom po čstich hldké s nnjvýš konečným počtom bodov nespojitosti v kždom konečnom intervle. Pojem spojitosti bol rovnko skôr intuitívny súvisel(povedné v dnešnej terminológii) s predstvou súvislosti grfu funkcie. LeonhrdEuler(77 783),čítj Ojler JenleRondd Alembert(77 783),čítj Dlmbért 3 JenBptisteJosephFourier(768 83),čítj Furier

O vývoji pojmu integrál 9..storočie Do 9. storoči vstúpil mtemtická nlýz dosť neisto pokiľ ide o predstvu o objektoch, ktoré skúml. Bol zjvná potreb presnejšie vymedziť pojmy, s ktorými s prcuje. Npríkld presná formuláci pojmu spojitosti funkcie pochádz od Bolzn 4.Upresňovnébolijďlšiepojmy:Cuchy 5 zopkovlbolznovudefiníciu spojitosti funkcie v roku 8, le nie je celkom isté, či vzhľdom k Bolznovej izolácii v Prhe jeho prácu poznl. Cuchy s venovl j upresneniu pojmu integrál. V 8. storočí bol integrál jednoducho povžovný z opčnú operáciu k derivovniu funkcie s integrovli pomocou Newtonovej-Leibnizovej formuly. N Eudoovu ehustívnu metódu s koby zbudlo, bol všk občs použitá pri proimácii veľkosti plochy pod krivkou v krteziánskom systéme v rovine, keď k dnej funkcii nebolo vhodné lebo možné určiť primitívnu funkciu. V roku 83 Cuchy sformulovl novú definíciu integrálu zoberl s jeho eistenciou pre pomerne širokú triedu funkcií. Tento jeho prístup(integrál ko limit integrálnych súčtov prislúchjúcich funkcii, deleniu intervlu výberu reprezentntov) bude vysvetlený v Oddieli 3.. Cuchyho definíci integrálu ml pochopiteľne dobové chyby. Je potrebné povedť,ževtejdobeneboloničznámeoúplnostireálnychčísel,tkvlstneboloi nekorektné posudzovť, či pri limitnom prechode cez zjemňujúce s deleni integrálne súčty skutočne k nejkému reálnemu číslu konvergujú. N zčitku 9. storoči totiž eštenebolzreládobnto,bybolireálnečíslchápnévdnešnomzmysle(ichúplnosť bol pokldná z geometrických dôvodov z smozrejmosť). Až v roku 87 boli publikovné prvé práce, ktoré s týkli konštrukcie reálnych čísel. Cuchymu všk nemožno odoprieť nemlý príspevok k zpočtému procesu ritmetizácie nlýzy. Ďlšíveľký prínoskvybudovniu pojmuintegrálptríriemnnovi 6,všk tktiež s nebudeme o ňom podrobnejšie zmieňovť n tomto mieste, nkoľko je jeho teórii integrálu venovná znčná čsť nsledujúceho tetu. N záver ešte spomeňme, že Riemnnov integrál bol v. storočí rôznymi spôsobmi zovšeobecnený modifikovný. Snáď njdôležitejšie zovšeobecnenie vybudovl vroku9lebesgue 7.LebesgueovintegrálLebesgueovmier,ktorúdefinovl v roku 94, urobili mnohé problémy integrálneho počtu priezrčnejšími. Ich podrobnejší popis všk preshuje možnosti tohto tetu. Ib spomeňme, že pomocou Lebesgueovej miery je možné elegntne popísť celú triedu Riemnnovsky integrovteľných funkcií, viď Poznámku 3.5. N záver dodjme, že ni Lebesgueovým integrálom s príbeh integrálu nekončí, pozri koniec Kpitoly 3. Záujemcov o hlbšie štúdium prierezu históriou integrálu odkzujeme n knihu[]. Vicsohistóriinlýzykocelkumožnodozvedieťnpr.zknihy[5]. 4 BernrdBolzno(78 848) 5 AugustinLuisCuchy(795 857),čítj Kóši 6 GeorgFriedrichBernhrdRiemnn(86 866),čítj Rímn 7 HenriLéonLebesgue(875 94),čítj Lebég

Kpitol Newtonov integrál Pri objsňovní pojmu primitívn funkci, viď npríkld[7], sme venovli množstvo pozornosti nájdeniu primitívnej funkcie k zdnej funkcii, všk menej nás zujíml otázkkedykkýmfunkciámviemeprimitívnufunkciunájsť.ajtejtootázkesbudeme venovť n nsledujúcich strnách. Zrejme nš snh vedieť nájsť primitívnu funkciubymlmťurčitýzmyselvyužitie.tietosukážuvsúvislostistzv.určitým integrálom, k vybudovniu ktorého budeme sledovť dve cesty: prvá z nich bude kopírovť myšlienky Isc Newton pri vytvární infinitezimálneho počtu, kde vidieť zrejmý súvis medzi diferenciálom(deriváciou) integrálom. Druhou cestou budovni integrálu bude tá historicky strši, kde ukážeme, že ide o všeobecnú metódu, ktorá pokrýv stáročné snhy rôznych mtemtikov o určenie obshu, objemu, povrchu ďlších kvntittívnych ukzovteľov geometrických útvrov(le nielen ich). Ukážeme tiež, že obe cesty s stretjú poskytujú veľmi silný nástroj pre popisovnie jvov okolo nás. Nechted fjenezápornáspojitáfunkcinintervle, b.prekždé t, b oznčme P(t)obshútvru {[, y]; t, y f()}.premlé h >máme, že P(t+h) P(t)jeobshútvru {[, y]; t t+h, y f()}(môžemepísť t nmiesto t <,pretožeobshúsečkyjenulový).zospojitostifunkcie f s hodnoty f()f(t)pre t t+hmálolíši,presnejšiekukždému ε >eistuje δ >tké,žeprevšetky t t+δje f() f(t) ε.pretopre<h<δpltí zčohopoúprvemáme h(f(t) ε) P(t+h) P(t) h(f(t)+ε), P(t+h) P(t) h Zuvedenéhovyplýv,žepre t < bpltí P(t+h) P(t) lim h + h f(t) ε. = f(t). Anlogickysodvodílimitzľvpre < t b.vovnútornýchbodochintervlu, b tedpltí P (t)=f(t),t.j. Pjeprimitívnfunkcikf.Zrejme Pjetáfunkci zneurčitéhointegrálu f(t)dt,prektorúpltí P()=.Tktosmevcelkujednoducho objvili metódu n určenie obshu P(t). Vzhľdom n uvedenú ilustrtívnu úvhu zvedieme nsledujúci pojem.

Newtonov integrál Definíci..Nech I Rjeľubovoľnýintervl,, b I Fjeprimitívnfunkci kfunkcii f nintervle I.Číslo F(b) F()nzývmeNewtonovurčitýintegrál (skrátene N-integrál) funkcie fnintervle, b oznčujemeho(n) f()d. Akeistuje N-integrálfunkcie fn, b,hovoríme,žefunkci fjenewtonovsky integrovteľná(skrátene N-integrovteľná) n intervle, b. Množinu všetkých N- integrovteľných funkcií n intervle, b oznčujeme symbolom N, b. Poznámk..Rozdiel F(b) F()szvyknečstozpisovťskrátenevtvre [F()] b,ted (N) f()d=[f()] b = F(b) F(). V súvislosti s eistenciou primitívnej funkcie n intervle ľubovoľného typu poznmenjme,že N-integráljemožnézviesťjninomtypeintervlukojeuzvretý.Ak funkci Fjeprimitívnoufunkcioukfn(, b)niejedefinovnávkrjnýchbodoch, potomjutrebdodefinovťlimitou(niejeťžkéukázť,žespojitáfunkcin(, b) má v krjných bodoch vlstné jednostrnné limity práve vtedy, keď je rovnomerne spojitán(, b))n-integrálzfunkcie fn(, b),kde < b +,môžeme zviesť ko (N) k rozdiel n prvej strne má zmysel. f()d= lim F() lim F(), b + Prirodzene vyvstáv otázk korektnosti definície N-integrálu, pretože vieme, že k Fjeprimitívnoufunkcioukfunkcii fnintervle I,potomj G()=F()+c, c R,jeprimitívnoufunkcioukfunkcii fnintervle I.Nšťstie, (N) f()d=f(b) F()=(F(b)+c) (F()+c)=G(b) G(), čiže N-integrál nezávisí n výbere primitívnej funkcie. Príkld.3. Vypočítjte N-integrály nsledujúcich funkcií n zdných intervloch:.) f()= 3 + 3,kde, b =, 4.Keďže F()= 4 + 3jeprimitívnou funkcioukfn R,potom [ ] (N) ( 3 4 + 3)d= 4 + 3 = 79 64. { sin π π.) g()= cos π,, kde, b =, π.snájdenímprimitívnej funkcie to terz nebude tké jednoduché ko v predchádzjúcom príklde., = Skúsmepre derivovťfunkciu G()= sin π,t.j.prekždé R \ {}pltí tentointegráljepomenovnýprávenpočesťiscnewton,ktorývzťhmedzidiferenciálnym integrálnym počtom postrehol medzi prvými; smotný pojem integrál pochádz od Jcob Bernoulliho(654 75), čítj Bernuli

Newtonov integrál 3 G ()=sin π π cos π,čoznmená,že Gjeprimitívnoufunkcioukgnmnožine R \ {}.Ostávnámvyšetriťsprávniesfunkcie Gvbode =.Zospojitosti máme G()=lim G()=,ted G G() G() sin π ()=lim =lim =lim sin π =, { sin π, preto hľdná primitívn funkci má tvr G() = Potom, =. (N) π g()d=g(π) G()=π sin. π 3.) h()=sgn,kde, b =,.Kebyfunkcisgnmlprimitívnufunkciu Hnintervle,,potomby H nemohlmťbodnespojitostiprvéhodruhu, čovškfunkcisgnmávbode =,tedneeistujeprimitívnfunkci,zčoho vyplýv,ženedokážemevypočítť(n) sgn()d,resp. N-integrálneeistuje. Akosmeužuviedli, N-integrálúzkosúvisísprimitívnoufunkciou,tedsneurčitým integrálom. Pýtme s preto, či nemôžeme využiť metódy, ktoré sme ndobudli pri štúdiu neurčitých integrálov n výpočet N-integrálu. Kldnú odpoveď poskytneme v nsledujúcich tvrdenich. Vet.4(zákldnévlstnosti N-integrálu).Nech I R,, b, c I f, gmjú primitívne funkcie n I. Potom (i)(n) f()d=,(n) f()d= (N) b f()d; (ii)k α R,tk(N) αd=α(b ); (iii)k α, α R,tk (N) (α f() ± α g())d=α (N) (iv)(n) f()d=(n) c f()d+(n) c f()d. f()d ± α (N) g() d; Dôkz. Nech F jeprimitívnoufunkcioukfunkcii f Gjeprimitívnoufunkciou kfunkcii gnintervle I.Potom (i)(n) f()d = F() F() = (N) f()d = F(b) F() = (F() F(b))= (N) f()d. b (ii) Keďže H() = α je primitívnou funkciou k h() = α n R, potom (N) αd=αb α=α(b ). (iii)zrejme α F ± α Gjeprimitívnfunkcikα f ± α gn I,ted (N) (α f() ± α g())d=α F(b) ± α G(b) α F() α G() = α (F(b) F()) ± α (G(b) G()) = α (N) f()d ± α (N) g() d.

Newtonov integrál 4 (iv)(n) f()d=f(b) F()=F(b) F(c)+F(c) F()=(N) f()d+ c (N) c f()d. Poznámk.5. Posledne dve uvedené tvrdeni možno mtemtickou indukciou rozšíriť n ľubovoľný konečný počet(urobte to!), t.j. (iii )k α i Rf i mjúprimitívnufunkciun I, i=,,..., n, n N,tk ( b n ) n (N) α i f i () d= α i (N) f i ()d; i= (iv )k j I, j=,,..., nfmáprimitívnufunkciun I,tk j= i= n n j+ (N) f()d= (N) f()d. j Vet.6.Nech I R,, b I, < bf, gmjúprimitívnefunkcien I.Ak prekždé, b pltí f() g(),potom(n) f()d (N) g()d. Dôkz. Nech F jeprimitívnoufunkcioukfunkcii f Gjeprimitívnoufunkciou kfunkcii gnintervle I,t.j.prekždé Ipltí F ()=f()g ()=g(). Potomprekždé Ije(F G) ()=(f g)(),čoznmená,žefunkci F G jeneklesjúcn I,preto(N) (f g)()d=(f G)(b) (F G)(). Podľ Vety.4(iii) máme výsledok. Dôsledok.7.Nech I R,, b, c, d Itké,že b c d.ak fmáprimitívnu funkciun I prekždé, d je f(),potom(n) d f()d (N) c f()d (N) d f()d. b Dôkz. PrváčsťplyniezVety.6pre g() n I.Druháčsťjedôsledkom Vety.4(iv), t.j. d c d (N) f()d=(n) f()d+(n) f()d+(n) f()d b c (N) c b f()d. Poznáme už niekoľko zákldných vlstností N-integrálu, le čstokrát je dôležitejšie vedieť ho vypočítť. K nájdeniu primitívnej funkcie sme využívli dve metódy redukcie neurčitého integrálu n jednoduchší. Z úzkeho súvisu medzi N-integrálom neurčitým integrálom veľmi jednoducho dostávme nsledujúce metódy. Vet.8(substitučná metód pre N-integrál). Nech ϕ je diferencovteľná n I ϕ() J Rprekždé I.Ak fmáprimitívnufunkciun J, b I,potom (N) f(ϕ())ϕ ()d=(n) ϕ(b) ϕ() f(t)dt.

Newtonov integrál 5 Dôkz. Podľ vety o substitúcii pre neurčité integrály, z podmienok vety je F ϕ primitívnoufunkcioukf ϕ ϕ n I,kde Fjeprimitívnoufunkcioukfunkcii fn J. Potom ted ϕ(b) (N) f(ϕ())ϕ ()d=f(ϕ(b)) F(ϕ())=(N) f(t)dt. ϕ() Príkld.9.Vypočítjte(N) 5 d.položme ϕ()= f(t)= 6.Potom + +t 5 (N) 5 + d=(n) 6 + d= t= = t= 5 t= 4 = 5 =(N) 5 4 6 +t dt, pretože ϕjediferencovteľnán R(s ϕ ()=),tedjnintervle, 5 ϕ() R\{ }pre, 5.Keďže fmán R\{ }primitívnufunkciu F(t)=6ln +t, posledný N-integrál je potom (N) 5 4 6 +t dt=6[ln(+t)]5 4 =6ln 9 4. Grfický význm substitučnej metódy je n obrázku, ktorý ilustruje použitú substi- y y = + y rovnký obsh u = 6 +t d dt = d.5 4 6.5 túciu t= funkcie 6.Body + spritejtosubstitúciizobrzujú + +t dobodov t= t+ t= + +.Pretopre mjúzvýrznené obdĺžniky rovnké obshy, ted ob N-integrály rovnkú hodnotu. Vet.(metód per prtes pre N-integrál). Nech u, v sú diferencovteľné n I Ru vmáprimitívnufunkciun I.Ak, b I,potom (N) u()v ()d=[u()v()] b (N) u ()v()d.

Newtonov integrál 6 Dôkz. Z predpokldov vety podľ per prtes pre neurčité integrály má funkci uv primitívnufunkciu ψ=uv φn I,kde φjeprimitívnoufunkcioukfunkcii u v n I.Potom (N) u()v ()d=ψ(b) ψ()=u(b)v(b) φ(b) u()v()+φ() = u(b)v(b) u()v() (φ(b) φ()) =[u()v()] b (N) u ()v()d. Príkld.. Vypočítjte (N) 3 rccotg d. Položme v () = u() = rccotg.potom v()=u ()=,tedsúsplnenépredpokldyvety., + čiže 3 (N) rccotg d=[rccotg] 3 + 3 (N) + d. Posledný N-integrálvypočítmepomocousubstitúcie+ = t(viďvet.8),ted celkový výsledok je (N) 3 3 4 (N) + d=(n) t dt=[ln t]4 rccotgd=[rccotg ] 3 + [ln t]4 = π 6 3+ln. Úlohy n precvičenie Nájditevšetky α R,prektoréeistuje(N) f()d,k { α, f()= c, =, c R. Vypočítjte(N) m{, 4 }d. Zistite,čifunkci { gje N-integrovteľnánintervle,,,,, k g()=,, =. Niekoľko poznámok k Newtonovmu integrálu (i) Výhodou N-integrálu je jeho zrejmý súvis s diferenciálnym počtom, nkoľko pre funkcie, ku ktorým eistuje primitívn funkci, je tento integrál definovný. Ztiľ sme le neriešili otázku, ktoré funkcie sú N-integrovteľné, resp. ká veľká

Newtonov integrál 7 je množin N-integrovteľných funkcií(spomenuli sme len, že po vybudovní potrebného prátu ukážeme, že kždá spojitá funkci má primitívnu funkciu, viď Vet 3.76, ted je N-integrovteľná). Ďlšou komplikáciou je fkt, že tento teoretickývýsledokneumožňujevypočítťnpríkld N-integrály(N) e dlebo (N) 5 +3 d,pretožehľdnéprimitívnefunkciesíceeistujú,leniesúelementárne. (ii) Komplikovnejšou otázkou je otázk eistencie primitívnej funkcie k nespojitej funkcii. V tomto prípde odpoveď jednoznčná nie je, pretože ko sme uviedli, funkci sgnnemáprimitívnufunkciunľubovoľnomintervle, b obshujúcombod =, le funkci g v Príklde.3 primitívnu funkciu ml. Ted vlstnosť mť primitívnu funkciu je čstokrát obmedzujúc pri výpočte plochy pod grfom funkcie. V litertúre, viď npr.[3], s môžeme stretnúť s možným zoslbením tejto podmienky npr. uvžovním zovšeobecnenej primitívnej funkcie k funkcii f n I, t.j. k pre kždé I \ Mpltí F ()=f(),kde M IjekonečnámnožinFjespojitáfunkci n I. V tkomto prípde funkci f() = sgn má zovšeobecnenú primitívnu funkciu F()= nľubovoľnomintervle I RN-integrálbysmedefinovlinlogicky. Pre výpočtovú stránku všk nemá toto reltívne jednoduché zovšeobecnenie veľký zmysel. Poznmenjme, že je možné prcovť j so spočítteľnou výnimočnou množinou M. Dá s zostrojiť dokonc rstúc funkci, ktorá nemá zovšeobecnenú primitívnu funkciu(robí s to pomocou nekonečných rdov). Smozrejme, kždá spojitá funkci má zovšeobecnenú primitívnu funkciu(opäť s odkzujeme n Vetu 3.76 o eistencii primitívnej funkcie k spojitej funkcii). (iii) Ďlším výrzným súvisom medzi diferenciálnym počtom N-integrálom je fkt, ktorý sme použili bez zdôvodňovni hlbšieho komentár, ted oznčenie (N) f()d(smotnýsymbol f()dpochádzžzroku8odfourier). Symbol d sme už použili v diferenciálnom počte n oznčenie diferenciálu pochádz od Leibniz. Ako túto skutočnosť interpretovť? Ilustrujme si to n nsledujúcej jednoduchej úvhe. Leibniz prvdepodobne ko prvý použil symbol,ktorýpreňhoznmenlsúčetnekonečne mlých útvrov(t.j. sumu, odtiľ j tento symbol ko pretihnuté písmeno S), čo reflektuje idey výpočtov obshov objemov od Archimed. Nšou úlohou je určiť obsh kruhu s polomerom r. Rozdeľme tento kruh n nekonečne tenké trojuholníky. Dĺžk kružnice prislúchjúcej nekonečnemlejzmeneuhldϕje rdϕ,preto ploch tkéhoto elementárneho trojuholník je r dϕ.obshkruhuspolomerom r ted dostneme sčítním obshov týchto elementárnych trojuholníkov cez celý kruh, ted π y π r dϕ ϕ r r dϕ= π r dϕ= r [ϕ] π = πr,

Newtonov integrál 8 kdeuvedenýintegrálniejeničinéko N-integrál(využilismetopridosdeníhornej dolnej hrnice do primitívnej funkcie). Tkýto postup j dnes vhodne využívjú fyzici pri riešení rôznych úloh. Z uvedenej úvhy vyplýv zujímvý fkt: Ludolfovo číslo π môžeme definovť ko hodnotu integrálu, t.j. π=4(n) d. Tátodefinícivškniejeveľmivhodná,kschcemeotomtočísledozvedieťvic (npr. ircionálnosť, trnscendentnosť pod.). Ak s ted vrátime k počitkom diferenciálneho integrálneho počtu, smotný Newton Leibniz si uvedomili, že uvedená metód môže poslúžiť ko všeobecná k vyšetrovniu obshu, objemu pod., ted otázkm, ktoré trápili mtemtikov rôznych kultúr dôb. Avšk ztiľ nestčí, pretože sme videli, že pomocou N-integrálu nedokážeme vypočítť obsh tkého jednoduchého útvru, ký je ohrničený grfom funkcie sgn n intervle,. Preto je potrebné zlepšiť túto konštrukciu, by sme to dokázli. A to je práve cieľom nsledujúcej kpitoly, v ktorej s budeme zoberť konštrukciou integrálu, ktorá s zdá byť nezávislá n diferenciálnom počte umožní nám integrovť j tkéto omnoho horšie funkcie.

Kpitol 3 Riemnnov integrál Ako sme už prezrdili n konci predchádzjúcej čsti, budeme s venovť konštrukcii určitého integrálu, ktorá je historicky omnoho strši ko Newtonov, le ž v 9. storočí s dostáv znov k slovu pri zvedení pojmu integrál v prácch Riemnn neskôrvnázornejgeometrickejinterpretáciivprácchdrbou Du-Bois Reymond. Ako sme mohli vidieť v motivčnom príklde n úvod predchádzjúcej kpitoly, súvis medzi diferenciálnym integrálnym počtom by mohol poslúžiť n účel určeni obshu plochy pod grfom funkcie. Nevenovli sme tomu ďlej veľkú pozornosť, čo terz nprvíme ukážeme, že tieto myšlienky vyústili do všeobecnej metódy, pomocou ktorej je možné vypočítť nielen obshy rovinných útvrov, le j objemy povrchy telies ešte oveľ vic. Myšlienk výpočtu obshu kruhu pomocou vpisovni opisovni polygónov, viď Kpitolu, s dá zovšeobecniť nsledujúcim spôsobom. Nech f je kldná ohrničená funkcinintervle, b.zujímnásobshplochy Ppodgrfomfunkcie fohrničenýprimkmi =, =by=,viďobr.3..sledujúcpostupuvedenýpriobshukruhurozdeľmeintervl, b n nčstíbodmi = < < < n = b. Je ľhko vidieť, že plošný obsh celého útvru je rovný súčtu obshov týchto n čistkových útvrov. Podobne ko v prípde kruhu robíme horný dolný odhd tejto plochy.nech I i = i, i je i-tyčistočnýintervl, i=,,..., n,splochou P i dĺžkou i.keďže fjeohrničenán, b,tkjeohrničenánkždomčistočnom intervle I i,pretoeistujúčísl m i =inf I i f(), M i =sup I i f(). Potom m i i jeploch i-tehovpísnéhoobdĺžnikm i i jeploch i-tehoopísnéhoobdĺžnik,ted m i i P i M i i.sčítnímtýchtoobdĺžnikovdostávme odhd n n m i i P M i i, i= Jen-GstonDrbou(84 97),čítj Drbú PulDvidGustvDuBois-Reymond(83 889),čítj DuboáRejmond,mldšíbrt Emil(88 896), zkldteľ eperimentálnej elektrofyziológie i=

3 Riemnnov integrál y y = f() P b Obr. 3.: Obsh plochy P pod grfom funkcie kde tieto dolné horné súčty sú prirodzenými odhdmi plochy P. Terz presne sformulujeme jednotlivé kroky tejto konštrukcie. V nsledujúcom stále uvžujeme funkciu f definovnú ohrničenú n intervle, b. Definíci 3.. Delením intervlu, b nzývme kždú konečnú množinu bodov D = {,,..., n, n N} tkých, že = < < < n = b. Čísl i, i=,,..., n,nzývmedelicimibodmideleni Dintervly,,,,..., n, n čistočnýmiintervlmideleni D.Množinuvšetkýchdelení D intervlu, b oznčme D, b. Poznámk 3.. Je dobré si uvedomiť, že pri definícii deleni používme určitú nepísnú dohodu: delením intervlu, b je jeho konečná podmnožin prvkov vrátne usporidni, pričom jej etrémy splývjú s krjnými bodmi intervlu. Prekždé i=,,..., noznčme i dĺžku i-tehočistočnéhointervlu I i = i, i položme m i =inf f(), M i =sup f().čísl I i I i s(f, D)= n m i i i= S(f, D)= n M i i, i= viď Obr. 3., nzveme dolný horný Drbouov súčet prislúchjúci funkcii f deleniu D. Definíci3.3.Hovoríme,žedelenie D jezjemnenímdeleni D,kk D D.Delenie Djespoločnýmzjemnenímdelení D D,kk D=D D. Predchádzjúc definíci vlstne hovorí, že delenie D je spoločným zjemnením delení D D,kkkždýdeliciboddeleni D D jedelicimbodomdeleni D. Špeciálne, kždé delenie je zjemnením seb smého. Zujímvé je si všimnúť, že zvádzme určité usporidnie medzi delenimi. Treb si všk dť pozor, pretože nvzájom môžeme porovnávť len niektoré deleni(nepltí ted dichotómi). Nsledujúc lem nám objsní správnie s dolných horných Drbouových súčtov pri zjemnení deleni.

3 Riemnnov integrál y y y = f() y = f() M i m i i s(f, D) = n i= m i i b i S(f, D) = n i= M i i b Obr. 3.: Dolné horné Drbouove súčty Lem3.4.Nech f:, b RjeohrničenáfunkciD, D D, b.potom (i) s(f, D) S(f, D); (ii)k D D,tk s(f, D) s(f, D )S(f, D) S(f, D ); (iii) s(f, D) S(f, D ). Dôkz. Nech D={,,..., n }jedelenieintervlu, b. (i)triviálne,stčísiuvedomiť,žeprekždé i {,...,n}pltí m i M i i >,ted m i i M i i.sčítnímcezvšetkyintervlydostávmetvrdenie. (ii)nech D = {y, y,...,y m }.Keďže D jezjemnenímdeleni D,potomčistočnýintervl I i, i=,,..., n,jebuďčistočnýmintervlomdeleni D,lebos rozpdnenniekoľkočistočnýchintervlovdeleni D.VprvomprípdesúpríspevkykS(f, D )rovnkéko S(f, D),vdruhomprípdeprenejké j, s {,...,m} je i = y j i = y s,kde s > j,ted M i i M j y j+ M j+ y j++ +M s y s, kde M k =sup J k f()j k = y k, y k, k=,..., m.potomle S(f, D )= m M j y j j= n M i i = S(f, D). Anlogicky pre dolné Drbouove súčty. (iii)nech D = D D.Keďže D jespoločnýmzjemnenímdelení DD,tk podľčsti(i)(ii)máme čo sme chceli dokázť. i= s(f, D) s(f, D ) S(f, D ) S(f, D ),

3 Riemnnov integrál y y = f() y y = f() b b s(f, D) s(f, D ) Obr. 3.3: Zjemnenie deleni dolné Drbouove súčty Poznámk 3.5. Lem chce vlstne povedť, že pre ľubovoľné dve deleni s dolný horný Drbouov súčet správjú vždy rovnko(v zmysle usporidni). Tktiež pridním deliceho bodu nrstie dolný Drbouov súčet(lebo s nezmení), viď Obr.3.3zmenšíshornýDrbouovsúčet(lebosnezmení),viďObr.3.4. y y = f() y y = f() b b S(f, D) S(f, D ) Obr. 3.4: Zjemnenie deleni horné Drbouove súčty Lem3.6.Nech f:, b RjeohrničenáfunkciD D, b.potom kde m= inf f()m= sup f().,b,b m(b ) s(f, D) S(f, D) M(b ),

3 Riemnnov integrál 3 y y Obr.3.5:Grfyfunkcií gχzpríkldu3.7 Dôkz. Nech D = {, }jedelenieintervlu, b.keďže s(f, D )=m(b ), S(f, D )=M(b )kždéiné D D, b jezjemnením D,podľLemy3.4 máme m(b )=s(f, D ) s(f, D) S(f, D) S(f, D )=M(b ), čo je náš poždovný výsledok. Vráťmesnchvíľuktvrdeniu(iii)Lemy3.4.Podľtohtotvrdeniprekždú ohrničenú funkciu f n, b je množin A všetkých dolných Drbouových súčtov ohrničená zhor ľubovoľným horným Drbouovým súčtom množin B všetkých horných Drbouových súčtov je ohrničená zdol ľubovoľným dolným Drbouovým súčtom. Keďže sú to neprázdne množiny, tk sup A inf B, t.j. sup s(f, D) inf S(f, D). D D,b D D,b Nsledujúc Drbouovukonštrukciu R-integrálupoložmesup A = f()d nzvime túto hodnotu dolný Riemnnov integrál (skrátene dolný R-integrál) inf B= f()dhornýriemnnovintegrál(skrátenehorný R-integrál)funkcie fnintervle, b. 3 Zrejmeprekždúohrničenúfunkciu f:, b Reistuje dolnýhorný R-integrálpltí f()d f()d. Príkld3.7..)Nech f()=αjekonštntnáfunkcin, b.potompreľubovoľné delenie D={,,..., n }intervlu, b pltí m i = M i = α,tkže s(f, D)=S(f, D)= n α i = α(b ), i= ted αd= αd=α(b ). 3 Poznmenjme,žetietopojmyneptriDrbouovi,lezviedolichroku88VitoVolterr (86 94).

3 Riemnnov integrál 4 {,,.) Nech g :, R je dná predpisom g() = ) (,,, = viď Obr. 3.5. Je ľhké vidieť, že pre kždé D D, je s(g, D) =, ted g()d =.Preurčeniehorného R-integráluuvžujmedelenie D = {,,..., n }intervlu, i, i prenejké i {,,..., n}.potom S(g, D) m{ i ; i=,,..., n}.keďženeustálemôžemezjemniťdelenie D tk,bym{ i ; i=,,..., n}boloľubovoľnemlé,potom g()d= inf S(g, D)== D D,b g() d. 3.)Nech χjedirichletovfunkcin, b,viďobr.3.5.prekždédelenie D= {,,..., n }intervlu, b pltí m i =, M i =,ted s(χ, D)= n i =, S(χ, D)= i= n i = b. i= Potomle χ()d= χ()d=b. Tieto príkldy ukzujú, že v nerovnosti medzi dolným horným R-integrálom môže nstť rovnosť, le j ostrá nerovnosť. Z geometrických úvh zo zčitku kpitolybymlobyťzrejmé,ženásbudúzujímťtiefunkcie,prektorénstnerovnosť dolného horného R-integrálu. Definíci 3.8. Nech f :, b R je ohrničená funkci, pre ktorú pltí f()d= f()d.potomhovoríme,žefunkci fjeriemnnovskyintegrovteľná(skrátene R-integrovteľná) n, b túto spoločnú hodnotu horného dolného R-integrálu nzývme Riemnnov integrál(skrátene R-integrál) funkcie f n intervle, b. Oznčujeme f()d. Množinu všetkých R-integrovteľných funkcií n intervle, b oznčujeme R, b. Poznámk 3.9. Ted funkci je R-integrovteľná, kk eistuje jediné číslo, ktoré oddeľuje dolné horné Drbouove súčty, t.j. je väčšie lebo s rovná kždému dolnému je menšie lebo s rovná kždému hornému Drbouovmu súčtu(spomínné číslo je R-integrál dnej funkcie n dnom intervle). V opčnom prípde eistuje celý nedegenerovný intervl tkých čísel tká funkci nie je R-integrovteľná(uvedený príkld Dirichletovej funkcie), resp. hovoríme, že R-integrál neeistuje. Z uvedenej konštrukcie tktiež vyplýv, že oznčenie nezávislej premennej písmenom nie je podsttné,ted f()d= f(y)dy= f(t)dt(keistuje).hodnot R-integrálu v podstte závisí od funkcie f intervlu, b.

3. Kritériá R-integrovteľnosti funkcie 5 Poznámk 3.. Drbouov definíci R-integrálu vlstne hovorí, že k R-integrál funkcie f eistuje, t.j. tkprekždé D D, b pltí f()d= sup s(f, D)= inf S(f, D), D D,b D D,b s(f, D) f()d S(f, D). To je v zhode s nšou motiváciou s kruhom(obsh vpísných n-uholníkov je menší lebosrovnáobshukruhu,ktorýjemenšílebosrovnáobshuopísných n- uholníkov). Pri kruhu sme potom zobrli limitu vpísných opísných n-uholníkov, kde táto spoločná hodnot oboch limít bol presne obshom kruhu. Ukážeme neskôr, že tento postup s dá plikovť j v prípde R-integrálu(pozri limitné kritériá R- integrovteľnosti R-integrál ko limit integrálnych súčtov). Z uvedeného príkldu vyplýv, že kždá konštntná funkci je R-integrovteľná n ľubovoľnom intervle, b. N záklde príkldu Dirichletovej funkcie vidíme, že R- integrál nezhŕň všetky(ni dokonc ohrničené) funkcie, le ukážeme, že tried R- integrovteľných funkcií je dosttočne široká postčujúc nšim potrebám. Otázku integrovteľnosti Dirichletovej funkcie rieši ž Lebesgueov integrál, ktorého konštrukci je komplikovnejši je obshom iného kurzu. Spomeňme len, že v prípde Dirichletovejfunkcieje(L) χ()d=. Úlohy n precvičenie Skonštruujte delenie intervlu, n rovnkých čstí. Skonštruujte delenie intervlu 5, s delicimi bodmi tvoricimi konečnú geometrickú postupnosť. Pre funkciu f vypočítjte dolný horný Drbouov súčet n zdnom intervle pomocou jeho deleni n n rovnkých čstí, k () f()= 3 pre,3 ; (b) f()= pre, ; (c) f()= pre,. 3. Kritériá R-integrovteľnosti funkcie Vo všeobecnosti je n záklde definície ťžké rozhodnúť, či nejká ohrničená funkci je R-integrovteľná. V tejto čsti odvodíme niekoľko nutných postčujúcich podmienok R-integrovteľnosti funkcie, ktoré môžeme povžovť z ekvivlentné zvedenie R-integrálu. Nsledujúce kritérium bude pre nás dôležité z teoretického hľdisk, všk nehovorí nič o hodnote R-integrálu. V určitom zmysle ide o nlogické kritérium ku Cuchyho-Bolznovmu kritériu konvergencie postupnosti(premyslite si to!).

3. Kritériá R-integrovteľnosti funkcie 6 y y = f() S(f, D) s(f, D) b Vet3.(Drbouovokritérium).Nech f:, b Rjeohrničenáfunkci. Potom f R, b právevtedy,keď ( ε >)( D D, b ) S(f, D) s(f, D) < ε. Dôkz. Pre f R, b položme I= f()d,ted I= sup s(f, D)= D D,b S(f, D).Zvlstnostisupreminfimkľubovoľnému ε >eistujú D, D inf D D,b D, b tké,že s(f, D ) > I ε S(f, D ) < I+ ε. Nech D = D D.PotompodľLemy3.4pltí s(f, D) s(f, D ) > I ε S(f, D) S(f, D ) < I+ ε.odčítnímtýchtonerovnostídostávme S(f, D) s(f, D) < I+ ε ( I ε ) = ε = ε. Keďže f()d s(f, D) f()d S(f, D)preľubovoľné D D, b, potom f()d f()d S(f, D) s(f, D) < ε. Keďže εjeľubovoľné,potom f()d f()d=,t.j. f()d= f()d,ted f R, b. Príkld{ 3.. Rozhodnite o R-integrovteľnosti funkcie f n intervle,, k f()=,,)., =

3. Kritériá R-integrovteľnosti funkcie 7 y Obr. 3.6: Grf funkcie z Príkldu 3. Uvžujmedelenie { D={, n,,...,,}.potom m n n i= pre i=,,..., n, i=,,..., n M i =.Keďže i = n, i=n,potom s(f, D)= n m i i = S(f, D)= n M i i = i= n i= i= i+ n = n + n n = + n, preto S(f, D) s(f, D)=.Keďžekukždému ε >eistujepodľarchimedovej n vlstnosti n Ntké,že < ε,potompodľdrbouovhokritéri f R,. n Poznámk 3.3. Pomocou Drbouovho kritéri vieme jednoducho dokázť, že Dirichletov funkci χ nie je R-integrovteľná n židnom intervle, b. Totiž,k D = {,,..., n }jedelenieintervlu, b,tkpodľpríkldu3.7je S(f, D)=b s(f, D)=.Potomtedeistuje ε (, b )tké,žeprekždé D D, b pltí S(f, D) s(f, D) ε,ted χ / R, b. Akprekždé n Njednédelenie D n D, b,tkhovoríme,žejednápostupnosťdelení(d n ) intervlu, b,skrátenezpisujeme(d n ) D, b.povžujeme z potrebné upozorniť, že inde n nemusí súvisieť s počtom delicich bodov deleni D n! Vet3.4(limitnékritérium).Nech f:, b Rjeohrničenáfunkci. (i)ak f R, b,tkeistuje(d n ) D, b tká,že lim s(f, D n)= n f()d lim n S(f, D n )= f()d. (ii)akeistuje(d n ) D, b tká,že lim s(f, D n ) = lim S(f, D n ),potom n n f R, b pltí lim s(f, D n)= n f()d= lim n S(f, D n ).

3. Kritériá R-integrovteľnosti funkcie 8 Dôkz. (i)nech f R, b položme I= f()d.potomprekždé n N eistujú D n, D n D, b tké,že s(f, D n) > I S(f, D n n) < I+.Položme n D n = D n D n.potomprekždé n Npltí I n < s(f, D n ) s(f, D n) S(f, D n ) S(f, D n ) < I+ n. Podľvetyozovretí I I I+ Ipre n,tedj s(f, D n n n) I S(f, D n ) Ipre n. (ii)necheistuje(d n ) D, b tká,že lim s(f, D n )=I= lim S(f, D n ), n n tedprekždé ε >eistujú P, P D, b tké,že s(f, P ) > I ε S(f, P ) < I+ ε.nech P= P P.Potom s(f, P) s(f, P ) > I ε S(f, P) S(f, P ) < I+ ε.odčítnímtýchtonerovnostídostávme S(f, D) s(f, D) < I+ ε ( I ε ) = ε = ε. Podľ Drbouovho kritéri f R, b. Keďže(D n ) D, b jetká,že lim n s(f, D n)=i= lim n S(f, D n )s(f, D n ) f()d S(f, D n),potompodľvetyozovretípltí,že I= f()d. Príkld 3.5. Rozhodnite o R-integrovteľnosti funkcie f() = sgn n,. Prekždé n Nuvžujmedelenie D n = {, +,.. n., +3n, n +3n=}. n Potom s(f, D n )=[( )+( )+ +( )] + }{{} n n n sčítncov S(f, D n )=[( )+( )+ +( )] + }{{} n n n sčítncov +[++ +] }{{} n sčítncov +[++ +] }{{} nsčítncov n = n n = + n, ted lim s(f, D n )= lim S(f, D n )=,zčohopodľlimitnéhokritérivyplýv,že n n f()=sgn je R-integrovteľnán, pltí sgn d=. Poznmenjme, že v tomto prípde sme mohli uvžovť j postupnosť delení D n = {, n,,,}lebo D n n={, n,,}(vyskúšjte!). n Príkld3.6.Vypočítjte π sin d.keďže f()=sin jerstúcfunkci n, π,uvžujmepostupnosťdelení D n={,,..., n },kde i = iπ.potom n n s(f, D n )= sin i i = π ( sin+sin π ) n n +sinπ )π + +sin(n n n tiež i= S(f, D n )= n sin i i = π n i= ( sin π ) n +sinπ n +sin3π nπ + +sin. n n

3. Kritériá R-integrovteľnosti funkcie 9 y sgnd = y π sind = π - Keďže S(f, D n ) s(f, D n )= πsin π= π podľarchimedovejvlstnostikukždému ε > eistuje n N tké, že π < ε, tk podľ Drbouovho krité- n n n ri f R, π (neskôr ukážemevšeobecne, žekždámonotónnfunkcije R- integrovteľná n príslušnom intervle, viď Vet 3.4). Prekždé α Rtké,žesin α pltí k j= sin jα= sin α k sin jα sin α. j= Použitímvzorcsinsin y=cos( y) cos(+y)dostávme sin α+sinα+ +sin kα = sin α = sin α ( cos α cos3α +cos3α cos5α ( cos α ) cos(k+)α, + +cos(k )α cos (k+)α ) pomocou čoho už ľhko vypočítme π sin d= lim n S(f, D n )= lim n π cos π 4n cos(k+)π 4n n sin π π = lim cos π 4n cos(π+ π) 4n n 4n sin π = lim n 4n 4n π 4n sin π 4n t =lim t sin t =. Poznámk 3.7. Limitné kritérium R-integrovteľnosti môžeme formulovť nsledovne: f R, b právevtedy,keďeistujenenulovápostupnosť(d n ) D, b tká, že odpovedjúce postupnosti dolných horných Drbouových súčtov konvergujú k spoločnej hodnote. To nám všk nedáv židnu informáciu o tom, kú postupnosť zobrť, by sme R-integrovteľnosť funkcie vyšetrili. Dokonc niekedy tká nenulová postupnosť delení ni neeistuje(vyskúšjte to pre funkciu f() = n intervle,!). Preto by sme potrebovli mť k dispozícii niečo lepšie. Ak si dobre všimneme,vpredchádzjúcompríkldesmenvýpočetintegrálu π sin duvžovlidelenieintervlu, π nzhodnédieliky.tolevôbecniejenáhod,pretože tké postupnosti delení budú pre nás dôležité.

3. Kritériá R-integrovteľnosti funkcie 3 Definíci3.8.Nech D={,,..., n }jedelenieintervlu, b.normoudeleni Dnzývmečíslo ν(d)=m{ i ; i=,,..., n}.postupnosť(d n ) D, b nzývme normáln postupnosť delení intervlu, b, kk lim n ν(d n )=. Poznámk 3.9. Inými slovmi, normou deleni D rozumieme njväčšiu z dĺžok čistočných intervlov deleni D. Niekedy je to študentmi mylne interpretovné ko njväčší z dielikov. Preto zdôrzňujeme: norm deleni je číslo, nie intervl(dielik)! Tktiež poznmenjme, že niektorí utori používjú pojem nulová postupnosť delení nmiesto pojmu normáln postupnosť delení. Príkld3...)Ak D n = {,,..., n },kde i = +i b,t.j. n-tédelenie n intervlu, b rozdelí, b n n rovnkých čstí(tzv. ekvidištnčné lebo prvidelné delenie),potom ν(d n ) = b b keďže lim =,jetkátopostupnosť(d n n n n ) normáln..)ak D n = {,,..., n }jedelenieintervlu, b,<<b,kde i = q i pre q= n b (delicebodysúčlenmigeometrickejpostupnosti),tk ( ν(d n )=m {q i ) ( ; i=,,..., n }=q n ) = b ( ) n. q q b n Pretože lim =,jepostupnosť(d n b n) normáln. Nšim nsledujúcim cieľom bude zlepšiť limitné kritérium pre tie postupnosti delení, ktoré sú normálne. Prv ko vyslovíme príslušnú vetu, vyslovíme nsledujúcu pomocnúlemu.zlemy3.4vieme,žepre D zjemneniedeleni DshornýDrbouov súčet S(f, D )nezväčšíoproti S(f, D).Otázkoubytedmohlobyťurčeniedolného odhdu,okoľkoszmenší S(f, D )oproti S(f, D).Smozrejme,nsledujúcivýsledok s dá formulovť j pre dolné Drbouove súčty(urobte to!). Poznámk3..Pripomeňme,že M =sup,b f(), m=inf,b f().číslo M m v nsledujúcej leme s zvykne oznčovť ko osciláci funkcie f n intervle, b. Všimnime si, že s osciláciou funkcie n čistočných intervloch sme s stretli už pri Drbouovom kritériu, pretože S(f, D) s(f, D)= n M i i i= n m i i = i= n (M i m i ) i, i= ted rozdiel medzi horným dolným Drbouovým súčtom je vyjdrený pomocou oscilácií M i m i nčistkovýchintervloch.niekedyspretopríslušnétvrdeni nzývjú j oscilčnými kritérimi R-integrovteľnosti. Lem3..Nech f:, b Rjeohrničenáfunkciδ>.Ak D, D D, b, kde ν(d) < δd D snnjvýš Ndelicimibodminvyše,potom S(f, D ) S(f, D) N(M m)δ.

3. Kritériá R-integrovteľnosti funkcie 3 Dôkz. Nech D={,,..., n }bod cjeprvýdeliciboddeleni D,ktorý niejedelicimbodomdeleni D,t.j.eistuje i {,,..., n}tké,že i < c < i. Oznčme D = D {c}skúmjme S(f, D ).Tietoslíšiod S(f, D)opríspevok (c i ) sup f()+( i c) sup f() i,c c, i nmiesto( i i )sup i, i f()=m i i.zvlstnostísupreminfimpltí, žesup i,c f() msup c,i f() m(pretože mjenjväčšiedolnéohrničenie fn, b ).Potom S(f, D ) S(f, D) =(c i ) sup f()+( i c) i,c sup f() ( i i ) c, i sup f() i, i (c i )m+( i c)m M( i i )=m( i i ) M( i i ) =(m M) i = (M m) i (M m)δ, pretože ν(d)=m{ i ; i=,,..., n} < δ.ztohoteddostávme S(f, D ) S(f, D) (M m)δ,tedpridnímjednéhodelicehobodukdeleniu Dshorný Drbouov súčet nezmenší o vic ko(m m)δ. Ak tento proces zopkujeme(n )- krát, dostávme, že horný Drbouov súčet(prislúchjúci funkcii f deleniu D) s nezmenšíovicko N(M m)δ,t.j. S(f, D ) S(f, D) N(M m)δ. Terz sme priprvení dokázť vylepšené limitné kritérium využívjúce ib tie postupnosti delení, ktoré sú normálne. Vet 3.3 (limitné kritérium normáln postupnosť delení). Nech f :, b Rjeohrničenáfunkci(D n ) D, b jenormálnpostupnosťdelení. (i)ak f R, b,tk lim s(f, D n )= n f()d= lim n S(f, D n). (ii) Ak eistujú lim s(f, D n ), lim S(f, D n ) lim s(f, D n )=I= lim S(f, D n ), n n n n potom f R, b f()d=i. Poznámk 3.4. Všimnime si njprv, že čsť (ii) je špeciálnym prípdom Vety 3.4(ii), ted podmienk normálnej postupnosti je tu nvyše. Preto ib čsť(i) závisí od tejto podmienky. Nozj, k by sme ju vynechli, vet nepltí! Npr. f()=je R-integrovteľnán, d= (zdôvodnite!).akvezmemepostupnosťdeleníintervlu, stálerovnkú,t.j. D n = {,}, n=,,..., potomprekždé n Nje S(f, D n )=s(f, D n )=,ted = lim s(f, D n ) n = Pristúpme terz k dôkzu vety. d lim n S(f, D n )=. Dôkz. (i)nech f R, b (D n ) jenormálnpostupnosťdeleníintervlu, b.položme I = f()dukážme,že lim S(f, D n)=i(nlogickys n ukáže pre dolné Drbouove súčty).

3. Kritériá R-integrovteľnosti funkcie 3 Keďže f R, b,prekždé n Nzoberme P n D, b tké,že S(f, P n ) < I+ n oznčmepočetdelicichbodovtohtodeleni N n.nech δ= zoberme N n(m m)n tké D n,že ν(d n ) < δ(pripomeňme,žepostupnosť(d n ) jenormáln,pretosto dáurobiť).akterzpoužijemelemu3.ndelenie D n (nmiesto D)D n=d n P n (nmiesto D ),potom S(f, D n ) S(f, D n) N n (M m)δ= S(f, D n ) n, pretože D n mánnjvýš N ndelicichbodovnvyšeoprotideleniu D n.ztohodostávme, že S(f, D n ) S(f, D n)+ n S(f, P n)+ n < I+ n, tedprekždé n Nje I S(f, D n ) < I+ n.podľvetyozovretímáme S(f, D n) Ipre n,čosmechcelidokázť. Príkld3.5.Vypočítjte e d.zvoľmepostupnosťekvidištnčnýchdelení intervlu, b,t.j. D n = {,,..., n },kde i = +i b, i=,,..., n.keďže n e jerstúcfunkcinkždom, b,potom kde = b n Keďže s(e, D n )= n i= podobne S(e, D n )= e i b n n i= e i b n = b n e ( +e +e + +e (n ) ), = b n e ( e +e + +e n ). b lim n s(e, D n )= lim ( n n e +e +e + +e (n ) ) = lim (b )(e b e ) = lim =e b e n n(e b n ) b n n nlogicky lim n S(e, D n )=e b e,potom e d=e b e. e en e Príkld 3.6.Vypočítjte d,<<b.nech D n = {,,..., n }je postupnosťdeleníintervlu, b,kde i = q i pre q= n b.keďže jeklesjúc funkcinkždom, b (,+ ),potom S ( ), D n = n i= podobne ( ) s, D n = i i = n i= n i= i i = q q i (q i q i )= n (q )=n(q ) i= n (q )= ( ) q S, D n = i= n(q ). q

3. Kritériá R-integrovteľnosti funkcie 33 y y e d = e b e d = lnb ln b b Keďže b=q n,tkln b=ln +nln q,zčohomáme n= ( ) lim S n, D q n = lim n(q )=(ln b ln )lim n q + ln q Podobným spôsobom vypočítme lim s (, D n n lnb ln. Z predchádzjúceho príkldu vyplýv jedno zujímvé zistenie týkjúce s geometrickej interpretácie Eulerovho čísl e: číslo e je jediné reálne ln b ln,ted lnq =ln b ln. ) =ln b ln,preto číslo,prektoré dt =,t.j.obshplochypodgrfomhyperboly nintervle,e t je rovný (môžeme to povžovť z ekvivlentnú definíciu čísl e). Ak s terz vrátime k poznámke o čísle π n konci Kpitoly, vidíme ďlší krásny súvis medzi dôležitými číslmi mtemtickej nlýzy integrálnym počtom. Z uvedených príkldov vyplýv, že spôsob výpočtu R-integrálu pre jednoduché(elementárne) funkcie je znčne komplikovný vôbec nie tký príjemný ko výpočet N-integrálu. Postupne s doprcujeme k rozumnejšiemu výpočtu. Ztiľ spomeňme, že uvedený spôsob môže vhodne poslúžiť n iné účely. ( Príkld 3.7. Vypočítjte lim ) + + + n n n n n.keďže n = n n + n+ + = n n y e ( n + n + + n n dt t = ), d = uvžujmepostupnosťdelení D n = {, n,...,,}intervlu, f()=.keďže n n (D n ) jenormálnf R,,potom n lim i n= lim n n n n = lim S(, D n)= d= n. i=

3. Kritériá R-integrovteľnosti funkcie 34 Výsledok celej tejto čsti o kritériách R-integrovteľnosti môžeme zhrnúť do nsledujúceho(jednoduchého) tvrdeni. Tvrdenie3.8.Ak f:, b Rjeohrničenáfunkci,potomnsledujúceštyri tvrdeni sú ekvivlentné: (i) f R, b ; (ii)prekždúnormálnupostupnosťdelení(d n ) D, b pltí lim n (S(f, D n ) s(f, D n ))=; (iii)eistuje normáln postupnosť delení (D n ) lim (S(f, D n) s(f, D n ))=; n D, b, pre ktorú pltí (iv)eistujepostupnosťdelení(d n ) D, b,prektorúpltí lim n (S(f, D n ) s(f, D n ))=. Dôkz. Čsť(i) (ii) vyplýv z Vety 3.3(i), implikácie(ii) (iii) (iv) sú triválne čsť(iv) (i)smedokázlivovete3.4. N záver tejto čsti spomeňme ešte jedno užitočné kritérium R-integrovteľnosti, ktoré je prepisom Drbouovho kritéri pre normálnu postupnosť delení. Nezávisle ho dokázli v roku 875 Drbou Du Bois-Reymond. Vet3.9(DuBois-Reymond,Drbou875).Nech f:, b Rjeohrničenáfunkci.Potom f R, b právevtedy,keď ( ε >)( δ >)( D D, b, ν(d) < δ) S(f, D) s(f, D) < ε. Dôkz. Postčujúc podmienk R-integrovteľnosti plynie z Drbouovho kritéri. Ak f R, b, potom podľ Drbouovho kritéri pre ľubovoľné(le pevné) ε >zoberme D D, b, D = {,,..., N }tké,že S(f, D ) s(f, D ) < ε. Keďže D mákonečnýpočetdelicichbodov,zobermeľubovoľné D D, b tké, že ν(d) < δ,kde δ= ε (N )(M m).potom D = D Dobshujennjvýš N delicich bodov nvyše oproti deleniu D podľ Lemy 3.(zhŕňme j horné, j dolné Drbouove súčty) máme S(f, D) s(f, D) (N )(M m)δ S(f, D ) s(f, D ) S(f, D ) s(f, D ) < ε, ted S(f, D) s(f, D) <ε. Úlohy n precvičenie Nech D, D D, b D D.Čopltípreichnormy? Zistite,kýjeminimálnypočetdelicichbodovdeleni D D, b,k ν(d)=,kde p N. b p Nech(D n ) D, b d n jepočetdelicichbodovdeleni D n tký,že lim n d n = +.Je(D n ) normálnpostupnosťdelení? Do Tvrdeni 3.8 s primo ponúk doplniť tvrdenie: Pre kždú postupnosť (D n ) D, b pltí lim (S(f, D n) s(f, D n ))=.Jetomožnéurobiť? n