11 ELEKTROMAGNETICKÉ VLNY Z pohadu alekej budúcnosti udsta poedzme desatisíc roko bude Maxwello obja zákono elektrodynamiky hodnotený ako najäší obja 19. storoia. Americká obianska ojna edená tom istom desaroí bude poronaní s touto dôležitou edeckou udalosou hodnotená ako bezýznamná proinciálna šarátka. "Feynmanoe prednášky z fyziky" 11.1 PODSTATA ELEKTROMAGNETICKÝCH VN Ak sa elektrické náboje pohybujú priestore tak, že ich rýchlos je periodickou funkciou asu, ytárajú sojom okolí elektromagnetické pole, ktoré má lnoý charakter, t. j. je periodické ase i priestore a šíri sa priestore istou konenou rýchlosou. Konenú rýchlos, ktorou sa elektromagnetické rozruchy o ákuu šíria, zykneme nazýa rýchlosou setla, oznaujeme ju unierzálne písmenom c 1 a je predpokladom pre existenciu elektromagnetických n (nekonená rýchlos by znik lny neumožoala). Každú lnu, a teda aj elektromagnetickú, charakterizujú da parametre: frekencia jej kmito f = ω/(π) a jej lnoá džka λ. Tieto parametre sú nazájom iazané zahom λ = c f (11.1) Rýchlos setla c je jedna z unierzálnych prírodných konštánt a jej meraniu sa budeme enoa odseku 11.7. Myšlienku o existencii elektromagnetických n a možnosti ich šírenia priestore ysloil už Faraday a o niekoko desaroí neskôr, rokoch 1864 až 1873 anglický fyzik James Clerk Maxwell, tieto myšlienky sojimi teoretickými prácami zdôodnil. Maxwelloa teória elektromagnetizmu umožuje na základe jej zákono napísa diferenciálne ronice lnoé ronice, ktorých riešenie neohranienom priestore predstauje elektromagnetické lny, a ktorých rýchlos šírenia o ákuu sa roná práe rýchlosti setla. alšie teoretické práce ukázali, že lastnosti elektromagnetických n odraz, lom, prípadne rozptyl sú ronaké, aké boli experimentálne zistené pre setelné lny. Na základe týchto skúseností Maxwell usúdil, že setelné lny sú tiež elektromagnetické lny, ibaže emi krátkych lnoých džok, ktorým zodpoedajú extrémne ysoké frekencie. Na rozdiel od iných lnoých proceso (akustických, graitaných) elektromagnetické lny pozostáajú z doch lnoých polí, ktoré sú nerozlune spojené a nemôžu existoa oddelene. V neohranienom ákuu sú obide tieto dielie lny priene (transerzálne) k smeru ich šírenia a roiny kmito ich ektoro elektrického 1 Poda latinského sloa "celeritas" = rýchlos. 505
a magnetického poa sú tiež nazájom kolmé. Kolmos ektoro môže by porušená anizotropných látkoých prostrediach. V ohraniených prostrediach, napr. trubicoých lnoodoch, môžu zniknú aj pozdžne (longitudinálne) lny. V smere šírenia lny sa prenáša aj jej elektromagnetická energia resp. hybnos. V bezstratoých prostrediach zostáajú amplitúdy polí ronaké celom priestore, stratoých prostrediach amplitúdy smere šírenia klesajú tak, ako sa as energie lny premiea na teplo prostredí. Treba šak pripomenú, že bezstratoých prostredí takmer niet, pretože aj prostrediach bez jouloských strát existujú ždy dielektrické straty spojené s periodickou zmenou polarizácie materiálu. Význam elektromagnetických n je obroský. Na nich je založená prakticky šetka diakoá komunikácia, ktorá sa uskutouje obroskom interale frekencií. Dosloa sme ponorení "mori" signálo šetkých možných frekencií produkoaných umelými aj prirodzenými zdrojmi, ako to idie z tabuky 0. Z nej si možno urobi predstau o šírke celého, dnes známeho elektromagnetického spektra. Dolnou hranicou použitených kmito sú frekencie okolo 10 Hz a najyššie dnes detegoané frekencie sú rádu 10 Hz. Pomer týchto frekencií iní 10 1 70, teda elektromagnetické spektrum pokrýa 70 oktá. Z týchto 70 oktá iditené setlo s frekenciami od cca 3,9.10 14 Hz (λ = 769 nm) do 7,7.10 14 Hz (λ = 389 nm) nepokrýa ani celú jednu oktáu, priom táto necelá oktáa má rozhodujúci ýznam pre žiot na Zemi. Na jednej strane je udské oko citlié iba na u, a na druhej strane, setelné žiarenie zo Slnka je podmienkou pre proces torby uhoodíko z kysliníka uhliitého a ody rastlinnej ríši. Tento proces sa nazýa fotosyntéza. Energie E = hf uedené prom stpci tabuky sú energie fotóno odpoedajúcich daným frekenciám, priom h je Planckoa konštanta. Elektromagnetické lny experimentálne objail na unierzite Karlsruhe roku 1887 nemecký fyzik Heinrich Hertz, žiak a chránenec fyzika, fyziológa, filozofa a znalca umenia Hermanna on Helmholtza (181 1894). Hertz prý uril aj lnoú džku meraním zdialenosti susedných miním ybudenej stojatej lny. Z lnoej džky a známej frekencie (urenej z hodnôt L a C rezonanného obodu) yužitím ýrazu (11.1) stanoil rýchlos danej elektromagnetickej lny na hodnotu 3,.10 8 m/s. Sám o tomto ýsledku skepticky yhlásil, že ho treba poažoa iba za rádoý odhad. Vidíme šak, že jeho odhad bol blízky k dnes použíanej hodnote rýchlosti setla c, a to bola podpora Maxwelloej teórie, poda ktorej elektromagnetické lny a setlo majú ronakú podstatu a neohranienom onom priestore (o ákuu) sa šíria ronakou rýchlosou. 11. VLNOVÉ ROVNICE Po tomto úode o podstate a niektorých lastnostiach elektromagnetických n sa pokúsime matematicky preskúma ich lastnosti tak, ako plynú z Maxwelloej teórie elektromagnetizmu. Predpokladajme, že neohranienom, elektricky homogénnom a izotropnom prostredí (s konštantnými íselnými hodnotami ε a µ) existujú nenuloá intenzita elektrického poa E a magnetická indukcia B. Vektory E a B sú o šeobecnosti funkciami polohy a asu. alej budeme predpoklada, že prostredie je lineárne, t. j. také, že om platí Ohmo zákon, a hustota náboja sa roná nule. Tieto predpoklady sú takmer o šetkých praktických prípadoch splnené. Úlohou tomto odseku je na základe 506
507
Maxwelloých roníc napísa diferenciálne ronice pre ektory E a H = B/µ. 1 Štyri Maxwelloe ronice formuloané odseku 8.6 za uedených predpoklado nadobudnú tar rot E = µ H (11.a) rot H = σe ε E di E = 0 (11.b) (11.c) di H = 0 (11.d) V týchto roniciach treba separoa ektory E a H. Najjednoduchšie sa to dá urobi tak, že napr. na ronicu (11.a) aplikujeme ešte raz operáciu rotácie, takže dostaneme ronicu rot rot E = µ roth (11.3) Pre operáciu rot rot na aej strane tejto ronice poda tabuky platí identita rot rot grad di a s jej yužitím možno ronicu (11.3) prepísa do taru grad di E E = σµ E εµ E Ronicu, ak ezmeme do úahy ronicu (11.c), možno ešte zjednoduši a napísa konenom tare E σµ E εµ E = 0 (11.4a) Formálne úplne ronakými operáciami na ronici (11.b) yužitím yššie uedenej operátoroej identity a roníc (11.a) a (11.d) dostaneme ronicu pre ektor H o formálne ronakom tare H σµ H εµ H = 0 (11.4b) 1 Môže zniknú opránená otázka, preo sa chystáme yjadroa elektromagnetické lny ektormi E a H, a nie ektormi E a B. Príinou toho, na prý pohad paradoxného prístupu je skutonos, že teraz predmetom záujmu nebude siloé pôsobenie polí na náboje, ale tok ýkonu elektromagnetickej lne, ktorý je daný práe ektoroým súinom ektoro E a H (pozri alej Poyntingo ektor). 508
Parciálne diferenciálne ronice (11.4a,b) sa nazýajú lnoé ronice pre ektory E a H. Na úroni základného kurzu elektromagnetizmu možno o nich poeda iba toko, že ich možným riešením sú elektrické a magnetické lny, ktoré ase a priestore zanikajú. Budeme sa zaobera niektorými jednoduchšími prípadmi lnoých polí. Predošetkým sa obmedzíme na ase harmonické lny, pre ktoré môžeme s ýhodou yuži symbolicko-komplexnú metódu známu z teórie striedaých prúdo. Túto metódu možno yuži pre šetky periodické lny, pretože sú superpozíciou harmonických n. Zobrazíme teda trigonometrické funkcie sinω t, resp. cosω t komplexnej reprezentácii komplexným asoým faktorom e jωt lny, kde ω je frekencia oakáanej lny a komplexné amplitúdy záislé od polohy danej polohoým ektorom r budú potom E(r) a H(r) (pozor sú to komplexné ektory!). Obrazmi poa sú teda komplexné ektory E(r, t) = E(r)e jωt H(r, t) = H(r)e jωt (11.5a) (11.5b) ktoré možno dosadi do roníc (11.4a,b). Po ich úprae a ydelením s e jωt dostaneme ronice pre komplexné amplitúdy polí tare E(r) jωµ (σ jωε)e(r) = 0 H(r) jωµ (σ jωε)h(r) = 0 (11.6a) (11.6b) Sú to Helmholtzoe parciálne diferenciálne ronice pre komplexné amplitúdy elektromagnetickej lny stratoom prostredí (σ 0). astejšie sa zapisujú tare kde K je koeficient šírenia lny daná ýrazom E(r) K E(r) = 0 (11.6a) H(r) K H(r) = 0 (11.6b) K = jωµ(σ jωε) (11.8) Možno si šimnú, že ýraz zátorke je komplexná konduktiita y prostredia definoaná už odseku 9.5.1 zah (9.47). Výraz (11.8) možno napísa aj tare kde K = jωµ y = ω µε * ε * = ε σ = ε(1 j tgδ) = ε ' jε " (11.9) jω je elektrotechnickej literatúre asto uádzaná komplexná permitiita materiálu, ktorá opisuje dielektrické a odiostné lastnosti materiálu záislosti od frekencie. Analýza harmonických n sa znane zjednoduší bezstratoých prostrediach, prípadne o ákuu (alebo i o zduchu). V takých prostrediach σ = 0, a teda aj tgδ = 0, ε " = 0, ε * = ε a 509
Konštanta K = β = ω εµ (11.10) 1 β = ω [ rad.m ] εµ (11.11) je fázoý koeficient lny. V prípade bezstratoého prostredia sa zjednodušia aj Helmholtzoe ronice na tar E(r) β E(r) = 0 (11.1a) H(r) β H(r) = 0 (11.1b) Tieto ronice sa nazýajú tiež ronicami membrány, pretože ak je dojrozmerný Laplaceo operátor, opisujú aj kmity pružných blán (membrán). 11.3 ROVINNÁ ELEKTROMAGNETICKÁ VLNA Najastejšie praxi sa yskytujúce lnoé polia sú guoé lny a roinné lny. Guoá lna sa ytára blízkom okolí zdroja lnoého poa, ktorým môže by elektrický ibrátor (dipól), prípadne malá prúdoá sluka. Toto pole o emi ekej zdialenosti r od zdroja prechádza na pole roinnej lny. Pod roinnou elektromagnetickou lnou budeme rozumie lnoé pole, ktorom ektory intenzít poa záisia iba od jednej súradnice a asu. Budeme tiež predpoklada, že prostredie je homogénne, izotropné a neohraniené a pre jednoduchos budeme tiež predpoklada, že je aj bezstratoé, teda jeho konduktiita je nuloá (σ = 0). Nech praouhlom súradnicoom systéme xyz záisia ektory intenzít poa iba od súradnice z, takže E(r, t) = E x (z, t)i E y (z, t)j E z (z, t)k = E T (z, t) E z (z, t)k H(r, t) = H x (z, t)i H y (z, t)j H z (z, t)k = H T (z, t) H z (z, t)k (11.13a) (11.13b) kde E T (z, t) = E x (z, t)i E y (z, t)j H T (z, t) = H x (z, t)i H y (z, t)j sú ektoroé zložky elektrického a magnetického poa priene na smer súradnice z (alej už funknú záislos od z nebudeme ypisoa). Pr, než sa pokúsime nájs ýrazy pre ektory intenzít poa (11.13) riešením roníc (11.1), posúdime niektoré ich lastnosti priamym yužitím Maxwelloých roníc (11.). Zistíme, že oakáané riešenia budú ma emi zaujímaé a dôležité lastnosti. Pre tieto úely predošetkým prepíšeme ronice (11.c) a (11.d) do operátoroého taru. E = 0 (11.14a). H = 0 (11.14b) 510
a operátor nabla napíšeme tare sútu prieneho operátora T a jeho pozdžnej zložky ( / z)k, teda = x i y j z k = T z k (11.15) Ak dosadíme (11.15) a ýrazy (11.13) do (11.14), po ykonaní formálnych skalárnych súino dostaneme ronice T T E T H T E z H Pré leny týchto roníc sa identicky ronajú nule, lebo elektrické a magnetické pole záisí od z a T je operátor prienych súradníc x a y. Platí teda z = 0 = 0 Ez = 0 z Hz = 0 (11.16) z t. j. z-oé zložky elektrického a magnetického poa nezáisia od súradnice z a tomto ohade sú konštanty. Ak podobne prepíšeme ronice (11.a) a (11.b) do formálneho taru (pre σ = 0) E = µ H H = ε E a dosadíme sem yjadrenia (11.13) a (11.15), po úprae dostaneme ronice k E T z = µ H T µ H z k (11.17) k H T z = ε E T ε E z k (11.18) Ronice (11.17) a (11.18) majú zláštnu štruktúru. Vektory na ich aých stranách sú priene, pretože sú ýsledkom ektoroého súinu pozdžneho ektora k a prieneho ektora E T / z, resp. H T / z. Pré leny na praých stranách sú priene ektory, ktoré sa musia rona aým stranám, pretože druhé leny sú pozdžne ektory, ktoré sa tým pádom musia rona nule. Takto sa každá z uažoaných roníc rozpadne na de ronice nasledoných taro 511
k E T z = µ H T (11.19a) Hz = 0 (11.19b) k H T z = ε E T (11.0a) Ez = 0 (11.0b) Z roníc (11.19b) a (11.0b) idíme, že z-oé zložky poa sú nezáislé nielen od súradnice, ale aj od asu. Sú to teda statické elektrické a magnetické polia smere osi z, t. j. E z = konšt. H z = konšt. (11.1) Vzniká otázka, ako interpretoa takýto na prý pohad prekapujúci ýsledok našej analýzy. Z matematického hadiska je taký ýsledok prípustný, pretože ak sa pozrieme na ronice (11.), nuloé a statické priestoroo homogénne polia týmto roniciam pri σ = 0 yhoujú. Z fyzikálneho hadiska im yhoujú aj superpozície statických a iných, nestatických im yhoujúcich polí. Statické riešenia (11.1) teda možno poažoa za superpozíciu nazájom nesúisiacich statických polí "obroského kondenzátora so statickým nábojom a obroskej cieky so stálym prúdom". Pri analýze iba lnoých proceso môžeme tieto polia z analýzy ylúi. Z týchto záažných úah plynie, že našom zápise ektoro elektrického a magnetického poa (11.13) roinnou elektromagnetickou lnou musia by ektory E T a H T, a teda možno yhlási, že: roinná elektromagnetická lna je prienou (transerzálnou) elektromagnetickou lnou, pretože jej ektory E T a H T kmitajú roine prienej ( roine xy) k smeru jej šírenia z. V literatúre sa asto oznauje ako TEM-lna (transerzálne elektromagnetická lna). Využitím lnoých roníc (11.1) nájdeme teraz amplitúdy roinnej lny E T (z) a H T (z), ak asoá záislos je harmonická, teda e jω t. Keže ronice sú symetrické, staí rieši prú, priom laplacián možno nahradi obyajnou druhou deriáciou poda súradnice z, teda d E T dz β E T = 0 Riešenie tejto ronice možno napísa tare a podobne pre magnetickú zložku poa E T (z) = E T e jβ z E T e jβ z 51
H T (z) = H T e jβ z H T e jβ z Ak napokon posledné da ýrazy ynásobíme faktorom e jω t, dostaneme kompletné hadané riešenie lnoých roníc pre roinnú elektromagnetickú lnu tare E T (z, t) = E T e j(ω t β z) j(ω t β z) E T e (11.a) H T (z, t) = H T e j(ω t β z) j(ω t β z) H T e (11.b) Každé z týchto riešení pozostáa z doch astí s lnoými (asoo-pozdžnymi) faktormi e j(ω t ± β z) a so zaiatonými amplitúdami E T, E T, resp. H T, H T. Vlna, ktorá postupuje zápornom smere osi z s lnoým faktorom e j(ω t β z) sa zykne nazýa odrazenou lnou a praxi môže skutone predstaoa odrazený signál od nejakej prekážky. Odrazenú lnu bez ujmy na šeobecnosti môžeme z našich úah ylúi a riešenia (11.) iba pre postupujúcu lnu napíšeme tare j(ω t β z) E T (z, t) = E T e (11.3a) j(ω t β z) H T (z, t) = H T e (11.3b) Argument exponenciálnych funkcií posledných ýrazoch možno yuži na urenie fázoej rýchlosti lny f. Ak argument (fázu) položíme roný konštante a zdiferencujeme dostaneme pre fázoú rýchlos ω dt ± β dz = 0 dz ω 1 = = ± = ± dt β εµ Vo ákuu, kde ε = ε 0 a µ = µ 0 je fázoá rýchlos f 0 = ± 1 ε 0µ 0 = ±c (11.4) teda ekosou sa roná rýchlosti setla c. Rýchlos c je maximálna limitná rýchlos pohybu fáze neohranienom ákuu. V látkoom neohranienom prostredí pre lnu postupujúcu kladnom smere osi z platí, že f = c ε µ kde ε r a µ r sú relatína permitiita a permeabilita prostredia. 1 r r < c (11.5) 1 V ohranienom ákuu, napr. trubicoých lnoodoch, je fázoá rýchlos ždy äšia ako c a môže dosahoa nekonených hodnôt. Táto skutonos nie je rozpore s teóriou relatiity, pretože fázoou rýchlosou sa prenáša iba tar lny. Informácia, teda energia lny, sa prenáša grupoou rýchlosou, ktorá je naopak ždy menšia ako c (pozri napr. Tirpák, A.: Elektronika emi ysokých frekencií, Vydaatesto UK Bratislaa 001) 513
Elektromagnetické lny sú dané reálnymi alebo imaginárnymi asami ýrazo (11.3), teda napr. E T (z,t) = E T sin(ωt βz) H T (z,t) = H T sin(ωt βz) (11.6a) (11.6b) Ak na okamih zmrazíme as, ýrazy (11.6) predstaujú sínusoé funkcie pozdž osi z s džkou jednej periódy z plynúcej z ýrazu β z = π. Džka jednej periódy je lnoou džkou λ = z, z oho λ = π β = π f ω = S yužitím fázoej rýchlosti, resp. lnoej džky, možno lnoý faktor napísa troch taroch f f j( ω t ± β z ) z jω t ± π j ω t ± z λ f e = e = e (11.7) Nakoniec zostáa zodpoeda ešte na jednu otázku: V akom zájomnom zahu sú amplitúdy elektrickej a magnetickej zložky elektromagnetickej lny? Zatia ieme, že obida ektory ležia prienej roine. Vzájomný zah týchto ektoro udáajú ronice (11.19a) a (11.0a). Ak do nich dosadíme ýrazy (11.3) dostaneme zahy Ak si uedomíme, že k βe T = ωµh T βh T k = ωεe T ωµ β = = β ωε µ ε (11.8a) (11.8b) potom ýrazy (11.8) možno prepísa na tary k E T = µ ε H T µ ε H T k = E T Vidíme, že obide ronice poskytujú ronakú informáciu: priene ektory E T, H T spolu s pozdžnym jednotkoým ektorom k sú nazájom kolmé a sledujú praotoiý súradnicoý systém. Pomer prienych zložiek E / H je reálna eliina T T Z = ET H T = µ ε [Ω] (11.9) 514
a nazýa sa charakteristická (lnoá) impedancia prostredia. Reálna hodnota tejto eliiny znamená, že elektrický a magnetický ektor roinnej elektromagnetickej lne bezstratoom prostredí sú o fáze. Charakteristická impedancia ákua Z 00 = µ 0 ε 0 = µ 0 c = 376,73 Ω je podobne ako c jedna z prírodných konštánt. Ak priestoroo neohranienom ákuu existuje elektromagnetická lna s amplitúdou magnetickej zložky H T = 1 A/m, potom jej elektrická zložka má amplitúdu E T = Z 0 H T = 376,73 V/m. Roinná elektromagnetická lna aj s jej parametrami je schematicky znázornená na obr. 11.1. Obr. 11.1 Ak je prostredie stratoé, ýpoet lnoého poa sa stáa zložitým. Amplitúdy polí smere šírenia budú o šeobecnosti klesa, elektrická a magnetická lna nebudú o fáze a charakteristická impedancia bude komplexná, daná ýrazom Z = µ (11.30) kde ε je komplexná permitiita prostredia definoaná ýrazom (11.9). Relatíne jednoduchý je prípad malých strát (kalitné dielektriká) alebo naopak, prípad prostredí s ekými stratami (dobré odie), ktorý edie na porchoý ja, alebo skinefekt. Budeme sa ním zaobera odseku 11.5. 515
11.4 TOK VÝKONU V ELEKTROMAGNETICKEJ VLNE. POYNTINGOV VEKTOR Pri práci so stálymi jednosmernými prípadne nízkofrekennými prúdmi je zykom spája prenos elektrickej energie s prúdom, ktorý teie odimi medzi zdrojom a spotrebiom. Na ysokých a emi ysokých frekenciách táto koncepcia prenosu zlyháa, pretože ysokofrekenné prúdy sa riadia sojimi zákonitosami a ich smery nemusia ždy udáa smer prenosu energie. Okrem toho, také prúdy majú o äšine prípado zložitý plošný prípadne objemoý charakter a sú prakticky nemeratené. Prenášanú energiu treba teda poíta z elektromagnetických polí, ktoré sú dôsledkom týchto prúdo. Možno teda poeda, že energia sa prenáša "bezdrôtoo" prostredníctom poa. Tento prístup k prenosu elektromagnetickej energie nie je nijako prekapiý celkom prirodzene prijímame elektromagnetickú energiu zo Slnka, tepelnú i setelnú, bez akéhokoek odiého spojenia zdroja (Slnka) a spotrebia (Zeme). K posúdeniu otázky prenosu elektromagnetickej energie priestore treba urobi energetickú bilanciu poa na základe Maxwelloých roníc. Predpokladajme teda, že nejakom objeme τ priestoru uzaretom plochou A sú nenuloé elektrické a magnetické polia dané sojimi ektormi E a H, ktoré sú funkciami polohy a asu. Tieto polia yhoujú Maxwelloým roniciam rot E = µ H rot H = J ε E Vynásobme skalárne prú ronicu s H a druhú s E a odítajme druhu od prej. Dostaneme H. rot E E. rot H = εe E µh H J. E = ε E µ H J. E (11.31) aá strana ýrazu (11.31) sa dá yjadri ako di (E H) (pozri tabuku ), teda di (E H) = ε E µ H J. E (11.3) Výraz zátorke na praej strane ronice je objemoá hustota energie elektromagnetického poa w elmag = ε E µ H ktorý sme už predtým získali zláš pre statické elektrické a statické magnetické polia. Teraz idíme, že platí aj pre asoopremenné polia. Druhý len J. E na praej strane ýrazu (11.3) je objemoá hustota tepelného (Jouloho) ýkonu, s ktorým sa elektromagnetická energia mení na teplo prostredí. 516
Ak ýraz (11.3) integrujeme cez objem τ a na integrál na aej strane ronice použijeme Gaussou etu, ktorou sa objemoý integrál premení na plošný, po úprae dostaneme ronicu kde dw = ( E H ). da d J.E dτ t A W = τ w elmag dτ τ (11.33) je celkoá elektromagnetická energia uzaretá objeme τ. Ronica (11.33) udáa energetickú bilanciu poa objeme τ a nazýa sa Poyntingoa eta. 1 Poda Poyntingoej ety sa asoý úbytok elektromagnetickej energie W objeme τ roná sútu energie yžiarenej z objemu τ plochou A (prý integrál na praej strane ronice) a energie spotreboanej na teplo objeme τ (druhý integrál na praej strane ronice). Hodnota druhého integrálu môže by kladná, ak ektory J a E majú ronaký smer, ale aj záporná, ak J a E majú opaný smer (o je napr. zdrojoch elektrickej energie). Vektoroý súin E H prom lene na praej strane ronice, ktorý sa integruje po uzaretej ploche A, je dôležitou ýkonoou eliinou poa S = E H [W.m ] (11.34) ktorá sa nazýa Poyntingo ektor S, a ktorý udáa plošnú hustotu toku ýkonu (alebo hustotu toku energie jednotkoou plochou za jednotku asu). Smer šírenia energie alebo ýkonu je kolmý na roinu, ktorej ležia ektory E a H. V roinnej elektromagnetickej lne je tento smer totožný so smerom šírenia lny, teda je to smer fázoej rýchlosti f. Neskôr uidíme, že ak sa lna šíri pozdž nejakého edenia (koaxiálny kábel, dojodioé edenie alebo trubicoý lnood), Poyntingo ektor má smer osi edenia. Na Poyntingoom ektore je kuriózne to, že jeho koncepcia nezlyháa ani prípade nazájom nezáislých statických elektrických a magnetických polí, ktoré sú dôsledkom asoo stálych prúdo a otára nám noé neobyklé pohady na toky elektromagnetickej energie. Spomete si na kondenzátor, ktorý sme nabíjali odseku 3.7.3, a tým zyšoali jeho energiu. Zopakujme tento postup a pomaly nabíjajme kondenzátor na obr. 11. postupným prenosom nábojo dq. Pri každom prenesení náboja dq sa zýši energia kondenzátora s kapacitou C = ε 0 πa /h na obr. 11. o hodnotu dw = hedq = h CEdE [pozri tiež ýraz (3.36)]. Energia kondenzátora narastá s ýkonom W P = d he q t = d t = h CE d E d d d t (11.35) 1 Poda amerického fyzika Johna Henryho Poyntinga (185 1914). Oznaenie S pochádza z nemeckého názu Strahlungsektor ektor žiarenia. 517
Pôod tohto ýkonu je práci sily, ktorá prenáša náboje medzi doskami. Dalo by sa teda poeda, že energia postupuje príodnými odimi tak, ako sa kondenzátor postupne nabíja. Pozrime sa šak, o nám prináša Poyntingoa eta. Predošetkým kondenzátore je J = 0, teda aj Joulo tepelný ýkon J.E = 0. Elektrické pole s intenzitou E, smeruje na obrázku zhora nadol, a poas nabíjania kondenzátora je om aj magnetické pole, ktorého intenzita H na okraji kondenzátora má azimutálny smer a jej ekos plynie z Ampéroho zákona H. d l = I p (11.36) l Obr. 11. priom sa integruje po kruhoom obode kondenzátora na polomere r = a. Veliina I p = πa ε d E 0 dt je celkoý posuný prúd kondenzátore. Po dosadení do (11.36) dostaneme ýraz πah = πa ε d E 0 dt z oho intenzita magnetického poa má ekos H = ε 0a a smeruje azimutálne s orientáciou ako na obrázku. Vektory E a H sú nazájom kolmé a ektoroý súin E H, teda Poyntingo ektor, smeruje zo šetkých strán do nútra kondenzátora. Jeho ekos je na obode kondenzátora šade ronaká s hodnotou de dt S = EH = ε 0a E de dt 518
Celkoý tok Poyntingoho ektora t. j. ýkon stupujúci do kondenzátora sa roná súinu S a obodoej plochy πah, teda P = πahs = ε 0 πa he d E dt = h CE d E dt Výsledok je fascinujúci energia stupuje do kondenzátora štrbinou zo šetkých strán a rastie ronako rýchlo ako udáa ýraz (11.35), len nepostupuje odimi, ale stupuje do kondenzátora jeho obodom. Iným príkladom je ýkon asoo stáleho prúdu spotreboaný na teplo odpore. Ak má odporoý odi alcoý tar a prúd teie pozdž jeho osi, na jednej strane sa energia prenáša "tlaením" elektróno pozdž osi, ale na druhej strane, poda Poyntingoej koncepcie, stupuje do odia jeho plášom a o nútri sa mení na teplo. itate sa o tom môže presedi riešením úlohy 97 a úlohe 98 sa dozie, že koaxiálnom kábli energia nepostupuje odimi prostredníctom prúdu, ale dutinou kábla, resp. jeho dielektrikom o forme elektromagnetického poa smerom k záaži. Naskytá sa otázka, ako sa lastne prenáša elektromagnetická energia. Možno iba poeda, že pri statických poliach a pri nízkych frekenciách je otázka spôsobu prenosu energie otázkou kusu. V takých prípadoch je šak prirodzenejšie iaza prenos energie na prúd, lebo tedy aj poda Feynmana je "Poyntingo prístup príliš blázniý". Pri emi ysokých frekenciách sa naopak Poyntingomu ektoru nemožno yhnú. Ak je elektromagnetické pole harmonické pole, potom jeho ektory možno yjadri jeho komplexnými obrazmi E(r, t) = E(r)e jωt H(r, t) = H(r)e jωt a zaies komplexný Poyntingo ektor S kompl (r) = 1 E(r) H * (r) (11.37) ku ktorému sa možno formálne dopracoa ronako, ako k pojmu komplexný ýkon odseku 9.5. Veliina H * (r) je komplexne združená amplitúda intenzity magnetického poa. Reálna as ýrazu (11.37) udáa strednú hodnotu Poyntingoho ektora, teda strednú hodnotu toku ýkonu harmonickej elektromagnetickej lne. V roinnej elektromagnetickej lne bezstratoom prostredí elektrické a magnetické ektory E T a H T sú priene, nazájom kolmé, o fáze a nazájom iazané lnoou impedanciou Z. Stredný Poyntingo ektor takého poa je 1 1 1 S = Skompl = ET HT = ET k = Z HT k Z Výkon roinnej elektromagnetickej lne sa šíri smere osi z a je úmerný štorcu amplitúdy elektrického alebo magnetického poa. 519
11.5 POVRCHOVÝ JAV (SKINEFEKT) 11.5.1 Jednorozmerný roinný prípad Teraz sa budeme zaobera šírením elektromagnetických n prostredí, ktoré je na rozdiel od dobrých dielektrík ysoko odié, ako je napríklad äšina koo. Na základe jednoduchých energetických úah možno oakáa, že elektromagnetická lna bude takomto prostredí smere sojho šírenia silne tlmená dôsledku strát energie premenou na teplo. Pod úinkom elektromagnetickej lny budú totiž takom prostredí tiec elektrické prúdy. Ich prúdoá hustota J(r, t) izotropnom odiom prostredí s konduktiitou σ na základe Ohmoho zákona je J(r, t) = σe(r, t) (11.38) Elektrické pole je teda úmerné prúdoej hustote prostredí. Ak je prúd harmonický, je harmonické aj elektromagnetické pole a ýraz (11.38) možno prepísa pre komplexné amplitúdy záislé od súradníc, teda J(r) = σe(r) Vidíme, že elektrická lna kopíruje prúdoú lnu prostredí, takže Helmholtzou ronicu (11.6a) možno prepísa pre lnu prúdoej hustoty do taru Ak je prostredie ysoko odié, také, že J(r) jωµ (σ jωε)j(r) = 0 (11.39) σ» ωε možno ronici (11.39) konduktiitu posuného prúdu ωε zanedba a prepísa ronicu do taru J(r) jωµσj(r) = 0 (11.40a) Podobným spôsobom možno prepísa aj ronicu (11.6b) H(r) jωµσh(r) = 0 (11.40b) Všeobecné riešenia týchto roníc sú formálne ronaké a líšia sa iba charakterom hraniných podmienok. Budeme sa zaobera riešením prej z roníc. Najjednoduchší je prípad, ak prúdoá hustota záisí iba od jednej z praouhlých súradníc, napríklad od súradnice x. Vodié prostredie nemôže by celom nekonenom priestore, ale musí ma nejakú hranicu konene. Nech je rozhraním roina yz pre x = 0 a odié prostredie je nekonený polpriestor x 0. Nech naiac má prúdoá hustota smer osi z, potom J(r) = J z (x)k a ronica (11.40a) prejde na tar 50
Substitúciou J d z ( x) j ωµσ J z ( x) = 0 (11.41) dx γ = jωµσ (11.4) prejde ronica (11.41) na konený tar d J z ( x) J ( x) z = 0 (11.43) dx Ronica (11.43) má tar ronice edenia tepla alebo ronice difúzie ( stacionárnom prípade), a preto aj jej riešenie musí ma charakter funkcie, ktorá so súradnicou x exponenciálne klesá. Všeobecné riešenie ronice možno napísa tare J z (x) = J z0 e γ x J' z0 e γ x (11.44) kde J z0 a J' z0 sú integrané konštanty a fyzikálne predstaujú hraniné hodnoty (pre x = 0) doch amplitúd prúdoej hustoty, z ktorých jedna smerom do odia klesá a druhá rastie. Je prirodzené oakáa, že celkoá prúdoá hustota musí smerom do nútra materiálu klesa, o znamená, že druhá integraná konštanta J' z0 = 0. Riešenie (11.44) možno teda zapísa tare J z (x) = J z0 e γ x (11.44a) Komplexná konštanta šírenia γ sa dá napísa tare γ = α jβ = j j jωµσ = 1 1 ωµσ = δ (11.45) kde α je koeficient útlmu udáaný m 1, alebo neperoch na meter (Np/m jednotku šak SI-sústaa nepripúša), prípadne decibeloch na meter (db/m) a β je už zaedený fázoý koeficient udáaná radiánoch na meter (rad/m). Veliina 1 1 δ = = = α β ωµσ [m] (11.46) je hbka niku (skinoá hbka skin depth 1 ). Je to charakteristická hbka, s ktorou prúdoá hustota a súasne elektrické aj magnetické pole exponenciálne klesajú smerom do nútra prostredia (materiálu). V hbke δ poklesnú amplitúdy šetkých troch eliín na 1/e-tinu ich porchoých hodnôt. Tento ja sa nazýa porchoým jaom alebo skinefektom. Na základe uedenej analýzy možno napísa riešenie pre prúdoú harmonickú lnu ynásobením ýrazu (11.44a) s faktorom e jωt a yužitím substitúcií (11.45), (11.46) takto 1 Skin je anglický názo pre "kožu" alebo "šupku". 51
J z (x, t) = J z0 e x e j x ωt δ δ (11.47) Skutoná prúdoá hustota prostredí je reálnou asou ýrazu (11.47), teda J z (x, t) = J z0 e x δ x cosωt (11.48) δ Z ýrazu (11.48) idíme, že ide o silne tlmenú lnu prúdoej hustoty, ktorá postupuje do nútra materiálu. Prúdoá hustota ase kmitá s frekenciou ω. Pre dobré odie je hbka niku emi malá a záisí od frekencie. V medi (σ = 5,8.10 7 S/m, µ µ 0 = 4π.10 7 H/m) už pri pomerne nízkej frekencii f = 1 MHz je δ iba δ 6,6.10 5 m Obr. 11.3 Vidíme, že ysokofrekenné prúdy teú iba o emi tenkej rste (šupke) pod porchom odia a smerom do jeho nútra sa emi rýchlo exponenciálne tlmia. Na obr. 11.3 je znázornená záislos normoanej prúdoej hustoty od pomeru x/δ pre niekoko ybraných zlomko periódy T. Je to silne tlmená prúdoá lna. Nakoniec treba zodpoeda otázku, aké je elektromagnetické pole prostredí. Jeho elektrická zložka je formálne daná ronakými ýrazmi ako (11.47), resp. (11.48), ktorých treba zameni J E. Magnetickú zložku poa možno principiálne získa riešením ronice (11.40b), jednoduchšie a pounejšie je šak jej yjadrenie cez impedanciu prostredia. Poda ýrazu (11.30) impedancia Z s odiého (stratoého) prostredia je daná zahom 5
Z s µ = kde ε * je komplexná permitiita stratoého materiálu daná ýrazom (11.9), teda ε * = ε j σ ω Pre ysokoodié prostredia σ» ωε, takže komplexná permitiita je daná približným ýrazom ε * j σ ω Dosadením do ýrazu pre impedanciu dostaneme kde Z π ωµ 1 j ωµ 1 j j (1 j) e 4 s = = = = = Z s σ σ Z s = = σδ σδ ωµ σ σδ e π j 4 je absolútna hodnota stratoej impedancie. Magnetickú zložku poa možno potom na základe zahu (11.9) napísa tare H E E = = Z Z e j s Využitím tohto zahu a zaho (11.38), (11.47) a (11.48) možno ýrazy pre harmonickú elektromagnetickú lnu dobre odiom prostredí napísa tare E ( x, t) = E e δ e j z z0 s x π 4 x ω t δ (11.49a) H y Ez ( x, t) = e δ e j Z x x π ω t 0 δ 4 s (11.49b) alebo pomocou reálnych funkcií E z (x, t) = E z0 e x δ x cosωt (11.50a) δ H y (x, t) = E z Z s 0 x x e δ cos ω t π δ 4 (11.50b) 53
Vidíme, že elektrické a magnetické ektory ležia prienej roine, smerom do nútra odia sú tlmené s charakteristickou hbkou δ a sú fázoo nazájom posunuté o uhol π/4 = 45. 11.5. Porchoý ja o alcoom odii Analýza jednorozmerného porchoého jau s roinným nekoneným rozhraním nezodpoedá reálnym prúdoým rozloženiam, je šak matematicky jednoduchá. Prakticky dôležitejší je prípad prúdu alcoým odiom umiestneným dielektriku (o zduchu), alebo prúdu dutej kooej trubici s nútorným odiom (koaxiálny kábel), prípadne bez nútorného odia (trubicoý cylindrický lnood). Obr. 11.4 Naznaíme preto riešenie problému ysokofrekenného prúdu o alcoom odii s polomerom a, ak prúd teie smere osi odia z. Problém treba rieši cylindrických súradniciach r, ϕ, z. Nech má oakáaná prúdoá hustota komplexnú amplitúdu J z (r), kde r je zdialenos od osi odia (pozri obr. 11.4). V takomto prípade treba ronicu (11.40a) napísa pre cylindrickú súradnicu r (problém nezáisí od ϕ ani od z), pre ktorú má Laplaceo operátor tar (pozri tabuku 3) 1 r r r r 1 = = r r r r Ak prúdoú hustotu oznaíme J z (r), prejde ronica (11.40a) na tar d J z( r) 1 dj z ( r) j ωµσ J z( r) = 0 dr r dr a líši sa formálne od ronice (11.41) iba lenom (1/r)dJ z (r)/dr, ktorý šak spôsobí, že jej riešenie sa nedá yjadri pomocou elementárnych funkcií. Po úprae ronica nadobudne tar 54
kde r d J z( r) dj z( r) r k r J z( r) = 0 (11.51) dr dr ωµσ k = j = j δ Ronica (11.51) je matematickej literatúre známa ako Besseloa diferenciálna ronica 1 nultého rádu. Jej riešenie je dané nekonenými radmi nazýanými Besseloe funkcie prého a druhého druhu komplexného argumentu kr. Funkcia druhého druhu ale dierguje pre r 0, takže sa riešení neobjaí. Prúdoá hustota je potom daná Besseloou funkciou prého druhu nultého rádu a má šeobecný tar nekoneného radu 4 6 ( kr) ( kr) ( kr) J z (r) = J z (kr) = J 00 1 (11.5). 4. 4. 6 Výraz zátorke (11.5) konerguje pre šetky konené reálne aj komplexné hodnoty argumentu kr. Hodnotu J 00 treba uri z hraninej podmienky na porchu odia. Ak zaedieme alšiu substitúciu kde kr = j = j δ r u u = δ r rozpadne sa riešenie (11.5) na da nekonené rady, ktoré sú reálnou a imaginárnou asou komplexnej funkcie prúdoej hustoty argumentu u. Riešenie má tar 4 8 6 10 J z = J u u 00 1 4 4 6 8 4 6 4 6 8 10 u u u j (11.53).......... Funkcie hranatých zátorkách ýrazu (11.53) majú špeciálne mená a ich tabuky sa nachádzajú o ybraných matematických prírukách. Prá sa olá a druhá teda ber u Besseloa (funkcia) reálna argumentu u bei u Besseloa (funkcia) imaginárna argumentu u 4 ber u = u u 1 4 4 6 8.... 8 (11.54a) 1 Pozri napr. Rektorys, K.: Pehled užité matematiky, SNTL Praha 1981 Pozri napr. Jahnke, E., Emde, F., Lösch, F.: Tafeln höherer Funktionen, B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Stuttgart, 1960 55
6 bei u = u u u. 4. 6. 4. 6. 8. 10 10 (11.54b) Výraz pre amplitúdu prúdoej hustoty cylindrickom odii možno teda napísa tare alebo J z = J 00 (ber u j bei u) (11.55) J z (r) = J r r 00 ber j bei δ δ (11.56) Na porchu odia pre r = a je amplitúda prúdoej hustoty J z (a) = J za = J a a 00 ber j bei δ δ takže riešenie (11.56) možno nakoniec yjadri tare J z (r) = J za ber ber r r j bei δ δ a a j bei δ δ (11.57) Reálna amplitúda prúdoej hustoty normoaná k jej porchoej hodnote je daná ýrazom ber J z( r) = J za ber r r bei δ δ a a bei δ δ 1 (11.58) Výraz je implicitne funkciou parametro µ a σ odia, frekencie prúdu f = ω /(π) a explicitne funkciou zdialenosti r od osi odia. Numerická analýza takého ýrazu je úloha pre poíta. Pre medený alcoý odi s polomerom a = mm a pre tri frekencie 900 Hz, 6,4 khz a 90 khz boli poítaom spracoané a na obr. 11.5 grafmi znázornené normoané prúdoé hustoty poda ýrazu (11.58). iarkoane sú obrázku nakreslené záislosti amplitúd prúdoej hustoty pre tie isté frekencie, ale roinnom prípade, pre ktorý sú prúdoé hustoty dané ýrazom (11.48). Z obrázka predošetkým idie, že so zyšoaním frekencie je prienik prúdu do nútra alcoého odia stále menší a prúd teie pod porchom odia stále menšej hbke. Zatia o pri pomere a/δ = 0,9 (f = 900 Hz) je prúd rozložený na priereze odia prakticky ronomerne, pri a/δ = 9 (f = 90 khz) prúdoá hustota klesá približne na 1/e-tinu (0,368) porchoej hodnoty pod porchom už hbke cca δ 0, mm. Je zrejmé, že nútrajšok odia je pri týchto a yšších frekenciách úplne neyužitý, o zyšuje efektíny odpor odia. Ak sa má efektíny odpor zníži, potom namiesto jedného hrubého odia treba 56
použi zäzok nazájom izoloaných tenších odio, ím sa zýši efektína prierezoá plocha a zníži sa ysokofrekenný odpor. Taký zäzok odio sa nazýa "ysokofrekenné lanko" a použía sa napr. na inutie cieok pre ysokokalitné LC obody. Hrubé odie na ysokých frekenciách by sa teoreticky mohli tiež nahradi rúrkami kôli úspore materiálu. Obr. 11.5 Druhá ec, ktorú si možno na obrázku šimnú, je hbka niku prúdu roinnom prípade poronaní s alcoým prípadom. Ak je pomer a/δ ~ 1 a menej (nízka frekencia), prúd efektínejšie preniká do alcoého odia ako do roinného. Ak je pomer a/δ podstatne äší ako 1, ako je to prípade f = 90 khz na obrázku, ke a/δ 9, záislos prúdoej hustoty od hbky r je prakticky ronaká pre roinný aj alcoý prípad. V takých prípadoch zložitú analýzu alcoého prípadu možno nahradi jednoduchším roinným prípadom. 57
11.6 ZÁKLADY TEÓRIE DLHÝCH VEDENÍ 11.6.1 Prúdoé a napäoé lny na dojodioých edeniach Pod pojmom "dojodioé edenie" máme na mysli signáloý alebo energetický prenosoý systém pozostáajúci z doch odio spájajúcich zdroj signálu (generátor) a spotrebi (záaž), priom istom okamihu a istej prienej roine prúd jedným odiom teie k záaži a druhým naopak, ku generátoru. Jednoduchými príkladmi dojodioých edení, analyzoanými už pri inej príležitosti, sú dojodioý symetrický kábel (dojlinka) a koaxiálny kábel. Pri prenose jednosmerných a nízkofrekenných elektrických signálo resp. ýkono sú takéto edenia jedinými a ýhradnými prenosoými médiami a môžu slúži na prenos signálo až do frekencií desiatok gigahertzo (GHz). Menej jednoznaným je pojem "dlhé edenie", pretože tento súisí s frekenciou prenášaného signálu. Ak na stupe edenia istej džky l pôsobí generátor signálu s frekenciou f, bude sa tento napäoo-prúdoý signál šíri pozdž edenia s istou konenou rýchlosou ronou fázoej rýchlosti f elektromagnetickej lny danom dielektrickom prostredí kábla, pretože s napätím a prúdom sú nerozlune spojené ich elektrické a magnetické polia. Pri danej frekencii znikne na edení okrem elektromagnetickej aj prúdoá a napäoá lna s lnoou džkou λ = f /f. Ak je džka l edenia oea äšia ako lnoá džka λ, edenie nazýame dlhým. V praxi sa za dlhé poažujú už edenia, pre ktoré je splnená podmienka l λ/4 Vidíme, že pojem "dlhé edenie" je relatíny. Napríklad edenie ysokého napätia energetickej sieti je dlhým až pri džke rádoo tisíco kilometro, o súisí s nízkou frekenciou napätia energetickej siete (50 Hz). Na druhej strane, úsek kábla ureného na prenos teleízneho signálu pri frekencii 1000 MHz je už "dlhý" ke má iba 10 centimetro. Pri dlhom edení sa súasne yžaduje, aby jeho priene rozmery boli menšie ako štrtina praconej lnoej džky. Dlhé edenia sa niekedy nazýajú aj edenia s rozloženými parametrami. Pri prenose signálo sa totiž okrem ich pozdžneho odporu a prienej odiosti uplatujú aj pozdžna reaktancia a priena susceptancia, ktoré možno chápa ako spojito rozložené pozdž edenia, na rozdiel od sústredených parametro, akými sú odpory rezistoro, induknosti cieok a kapacity kondenzátoro, z ktorých pozostáajú diskrétne obody na nízkych frekenciách. Rozložené parametre edenia sa uplatujú pri ekej džke edenia alebo pri ysokej frekencii prenášaného signálu. Každé dojodioé edenie charakterizujú štyri primárne parametre: a) pozdžny odpor edenia na jednotku džky R [Ω/m] spôsobený nenuloou odiosou odia a skin efektom; b) pozdžna induknos edenia na jednotku jeho džky L [H/m] spôsobená induktínymi lastnosami odia; c) priena odios edenia na jednotku džky G [S/m] spôsobená neideálnym dielektrikom, ktoré torí izoláciu medzi odimi; d) priena kapacita edenia na jednotku džky C [F/m] predstaujúca kapacitné lastnosti dojice odio. 58
Nekonene krátky úsek edenia dz má potom pozdžny odpor jedného odia Rdz, prienu odios Gdz, pri frekencii ω pozdžnu induktínu reaktanciu ω Ldz a prienu kapacitnú susceptanciu ω Cdz. Treba ma na pamäti, že dôsledku skinefektu sú aj pozdžny odpor aj priena odios záislé od frekencie. Vedenie, ktorého parametre pozdž jeho džky zostáajú konštantné, sa nazýa homogénne alebo regulárne. V našej teórii sa budeme zaobera iba lastnosami homogénnych edení. Z nehomogénnych edení je dôležité najmä exponenciálne edenie, ktorého úseky sa asto použíajú ako spojoacie lánky medzi edeniami s rôznymi parametrami. Obr. 11.6 Na obr. 11.6 je zobrazený infinitezimálny úsek edenia džky dz. Predpokladajme, že na stup edenia je pripojený generátor napätia, ktoré záisí od asu, a nemusí by neyhnutne harmonické. Pozdž edenia sa ytorí napätie záislé od asu t a zdialenosti z. Funkné záislosti napätia a prúdu pozdž edenia oznaíme u = u(z, t) a i = i(z, t). Na ybraný úsek edenia môžeme aplikoa Kirchhoffoe zákony. Na stupe medzi bodmi A a B ybraného úseku edenia je napätie u a prúd bode B pozdž edenia je i. Na jeho ýstupe medzi bodmi C a D je napätie u ( u/ z)dz, bode C je pozdžny prúd i ( i/ z)dz. Bez ujmy na šeobecnosti môžeme odpor a induknos spätného, spodného odia sústredi do horného a spodný poažoa za bezodporoý a bezindukný. Poda druhého Kirchhoffoho zákona pre uzaretý obod ABCDA platí i u u Ri L d z u dz = 0 z Poda prého Kirchhoffoho zákona rozdiel prúdo bode B a C sa roná zodoému prúdu cez odios G a kapacitu C na džke úseku dz, teda u i i Gu C d z i dz = 0 z Z týchto roníc po úprae dostaneme u = Ri L i z i = Gu C u z (11.59a) (11.59b) V roniciach (11.59) možno separoa u a i. Deriujme ronicu (11.59a) poda súradnice z a dosame za i/ z z ronice (11.59b). Dostaneme 59
u = R i i L = RGu RC u i L z z z z (11.60) Deriujme alej ronicu (11.59b) poda asu i = G u C u z a dosame do ronice (11.60). Po úprae dostaneme diferenciálnu ronicu pre napätie u tare u u u = RGu ( RC GL) LC t z Podobným postupom dostaneme symetrickú ronicu pre prúd i (11.61a) z i i i = RGi ( RC GL) LC (11.61b) Z historických dôodo sa ronice (11.59), resp. (11.61) nazýajú telegrafné ronice, pretože boli ododené a analyzoané ase zniku drôtoej telegrafie. 1 Ich riešením pri zadaných zaiatoných a hraniných podmienkach dostaneme napätia a prúdy na edení pre ubooné asoé priebehy stupného napätia. V praxi sú najdôležitejšie periodické alebo jednoduché harmonické napäoé a prúdoé priebehy, ktoré komplexnom yjadrení majú tar U(z)e jωt a I(z)e jωt, kde U(z) a I(z) sú komplexné amplitúdy napätia a prúdu na edení. Ak roniciach (11.59) nahradíme prúd a napätie uedenými komplexnými obrazmi, dostaneme po úprae diferenciálne ronice pre komplexné amplitúdy tare d U = (R jωl)i = ZI dz (11.6a) d I = (G jωc)u = YU dz (11.6b) kde Z = R jωl je pozdžna impedancia edenia na jednotku jeho džky a Y = G jωc je jeho priena admitancia na jednotku džky. V roniciach (11.6) možno tiež separoa premenné. Ich derioaním poda z a kombináciou ýsledku deriácie s pôodnými ronicami dostaneme ronice d U z d I = γ U (11.63a) d dz = γ I (11.63b) 1 Kirchhoff, G. R.: ber die Bewegung der Elektrizität in Drähten, Pogg. Ann., Bd. 100 (1857) Heaiside, O.: On the Extra Current, Phil. Mag., ol. (1876), p. 53 Poincaré, H.: Sur la propagation de l electricité, Comptes rendus, ol. 17 (1897), p. 107 530
kde γ = ZY = ( R j ωl)( G j ω C) (11.64) je konštanta šírenia napäoých a prúdoých n. Ronice (11.63) sú telegrafné ronice pre harmonické napäoé a prúdoé priebehy. Z matematického hadiska sú to obyajné diferenciálne ronice druhého rádu, ktorých šeobecné riešenia majú tar U(z) = I(z) = U0 e γ z U0 e γ z I0 e γ z I0 e γ z (11.65a) (11.65b) Vzhadom na to, že konštanta šírenia γ je o šeobecnosti komplexné íslo a asoý faktor je e jωt, každé z riešení predstauje tlmenú napäoú resp. prúdoú lnu ako superpozíciu doch komponent šíriacich sa nazájom opaných smeroch pozdž osi edenia (osi z). Integrané konštanty U 0, U0, I0, I0 predstaujú komplexné amplitúdy postupujúcich a odrazených napäoých a prúdoých n referennej roine z = 0 a treba ich uri z hraniných podmienok, napríklad z prúdu a napätia na stupe a ýstupe edenia. Našastie poet integraných konštánt možno redukoa na poloicu, pretože prúdy a napätie nie sú nezáislé, ale sú iazané ronicami (11.6). Skutone, yužitím ronice (11.6a) môžeme napísa I(z) = 1 Z du dz a riešenia (11.65) nadobudnú tar = γ Z ( U 0 e γ z U0 e γ z ) = 1 ( U0 e γ z Z U0 e γ z ) Veliina U(z) = I(z) = Z U0 e γ z U0 e γ z U 0 e γ z Z Z Z = = = γ Y U 0 Z e γ z R jωl G jωc (11.66a) (11.66b) (11.67) je charakteristická (lnoá) impedancia edenia, ktorá, ako idíme, záisí iba od primárnych parametro edenia a od frekencie ω. Neskôr uidíme, že udáa pomer komplexných amplitúd napätia a prúdu iba postupujúcej lny od zdroja k záaži. Integrané konštanty U 0 a U 0 treba uri z okrajoých podmienok. Ako okrajoé podmienky možno zoli napríklad stupné napätie U st a stupný prúd I st. Nech sa teda stup edenia nachádza roine z = 0 ako na obr. 11.7, kde U = U st a I = I st. Z ýrazo (11.66) plynie, že 0 U st = U 0 U a Z I st = U 0 U 0 Riešením tejto sústay roníc pre konštanty U 0 a U 0 dostaneme 531
U 0 U = st ZI st U 0 U = st ZI st (11.68) Dosadením za integrané konštanty o ýrazoch (11.66) a yužitím hyperbolických funkcií sinh γ z = e γ z e γ z cosh γ z = e γ z e γ z (11.69) dostaneme ýrazy pre komplexné amplitúdy napätia a prúdu tare U(z) = U st cosh γ z Z I st sinh γ z (11.70a) I(z) = I st cosh γ z U st Z sinh γ z (11.70b) Obr. 11.7 Druhá možnos oby hraniných podmienok je ybra ich ako ýstupné eliiny na konci edenia džky l (pozri obr. 11.7). Nech teda pre z = l je U = U ýst a I = I ýst. Využitím ýrazo (11.66) dostaneme pre konštanty U 0 a U 0 systém roníc z oho U U Z U ýst = Z I ýst = U0 e γl U0 e γl U0 e γl U0 e γl ýst ýst γl ýst ýst γl 0 = e 0 = e I U Z I U (11.71) Dosadením konštánt do ýrazo (11.66) dostaneme pre amplitúdy napätia a prúdu ýrazy U(z) = U ýst cosh γ (l z) Z I ýst sinh γ (l z) (11.7a) I(z) = I ýst cosh γ (l z) U ýst Z sinh γ (l z) (11.7b) Namiesto zdialenosti od zaiatku edenia je tomto prípade ýhodnejšie mera zdialenos d od konca edenia, teda d = l z, (pozri obr. 11.7) a ýrazy (11.7) prepísa do taru 53
U(d) = U ýst cosh γ d Z I ýst sinh γ d (11.73a) I(d) = I ýst cosh γ d U ýst Z sinh γ d (11.73b) Všimnime si ešte konštantu šírenia γ (11.64), ktorá záisí od primárnych parametro edenia a od frekencie ω. Je to sekundárny parameter edenia, o šeobecnosti komplexné íslo, ktoré možno napísa tare γ = α jβ (11.74) kde α [m 1 ] je koeficient útlmu a β [rad.m 1 ] je fázoý koeficient. Poronaním (11.64) a (11.74) dostaneme zah α jβ = ( R j ωl)( G j ω C) z ktorého môžeme ypoíta α a β. Umocníme ronicu na druhú a oddelíme reálne a imaginárne asti. Získame systém doch roníc, ktorých riešením dostaneme zložité ýrazy pre koeficient útlmu a fázoý koeficient α = β = 1 1 ( R ω L )( G ω C ) ( RG ω LC) (11.75a) ( R ω L )( G ω C ) ( RG ω LC) (11.75b) Ak frekencia klesá k nule, t. j. ak potom limitná hodnota koeficientu útlmu ω = 0 (11.76) a fázoý koeficient α = RG (11.77a) β = 0 (11.77b) Je to prípad prenosoého edenia pracujúceho s konštantným napätím, ktorý už bol analyzoaný kapitole 5 (pozri úlohu 10). Ak naopak, frekencia rastie a platí, že ω L» R a ω C» G (11.78) s yužitím Newtonoho binomického zorca možno písa 1 R 1 G ω L R ωl ω C G ωc ωl ωc 533
Dosadením týchto ýrazo do zaho (11.75) a zanedbaním leno so súinmi RG dostaneme ýrazy pre ysokofrekenné hodnoty koeficientu útlmu a fázoého koeficientu taroch R C G α L L C (11.79a) β ω LC (11.79b) V limitnom prípade bezstratoého edenia, ak je R = 0 G = 0 α = 0 (11.80a) β = ω LC (11.80b) Tento prípad dôležitý pre prax bude analyzoaný odseku 11.6.3. 11.6. Impedancia na edení a koeficient odrazu Dôležitá eliina na edení je impedancia. Impedancia uboonej prienej roine edenia udáa pomer komplexných amplitúd napätia U(z) a prúdu I(z). Na stupe a ýstupe edenia je impedancia daná ýrazmi Z Z st ýst U st = (11.81a) I st U ýst = (11.81b) I Ak je daná stupná impedancia, potom impedanciu Z(z) uboonej roine o zdialenosti z od stupu edenia dostaneme delením ýrazu (11.70a) s (11.70b), priom yužijeme zahy (11.81a). Dostaneme ýst Z Z Z st ( z) = Z Z Z st tghγ z tghγ z (11.8) V prípade, že je daná ýstupná impedancia, ydelíme zah (11.73a) ýrazom (11.73b) a yužijeme zah (11.81b), ím dostaneme ýraz pre impedanciu o zdialenosti d = l z od konca edenia tare Z Z Z ýst ( d) = Z Z Z ýst tghγ d tghγ d (11.83) 534
Výrazy (11.8) a (11.83) umožujú získa transformané zahy medzi stupnou a ýstupnou impedanciou na edení. Ak o zorci (11.8) položíme z = l, dostaneme ýstupnú impedanciu na edení tare Z Z Z st Z ýst = Z Z st tghγ l tghγ l (11.84) alebo z ýrazu (11.83) pre d = l ýraz pre stupnú impedanciu Z Z Z ýst Z st = Z Z ýst tghγ l tghγ l (11.85) Pri analýze dlhých edení sa popri pojme impedancie asto pracuje s jej prerátenou hodnotou, admitanciou Y. Je to hodné najmä tedy, ak je na dlhom edení zapojených iac elektrických prko paralelne. Admitanné zahy získané ako podiel komplexných amplitúd prúdu a napätia sú formálne zhodné s ýrazmi (11.8) až (11.85), ak nich urobíme zámenu Y 1 Z Pre opis lnoého poa na edení je hodné zaies komplexnú eliinu záislú od polohy na edení nazýanú koeficient odrazu. Koeficienty odrazu sa definujú zláš pre napäoú a zláš pre prúdoú lnu, líšia sa šak iba znamienkom. Uažujme riešenia (11.65) telegrafných roníc, ktoré sú superpozíciou postupujúcej () a odrazenej ( ) lny a možno ich napísa tare U(z) = U (z) U (z) = U0 e γ z U0 e γ z (11.86a) kde I(z) = I (z) I (z) = U 0 e γ z Z U 0 Z e γ z (11.86b) U (z) = U0 e γ z I (z) = sú amplitúdy postupujúcej napäoej a prúdoej lny a U 0 e γ z (11.87) Z U (z) = U e γ z I U 0 (z) = e γ z (11.88) 0 sú amplitúdy odrazených n. Napäoý koeficient odrazu ρ u (z) na edení definujeme ako pomer odrazenej a postupujúcej napäoej lny, teda Z kde U ( z) U0 ρ ( z) = = U ( z) U0 u e γ z = ρ 0u e γ z (11.89) 535
ρ 0u U = U 0 0 je napäoý koeficient odrazu referennej roine z = 0. Podobne možno pre prúdoú lnu definoa prúdoý koeficient odrazu ρ i (z) I = I ( z) U = ( z) U 0 0 e γ z = ρ 0u e γ z = ρ u (z) (11.90) ktorý sa od napäoého koeficientu odrazu skutone líši iba znamienkom. Treba si uedomi, že s pojmom odraz elektromagnetických alebo prúdoo napäoých n je spojený reálny odraz asti energie smerom ku generátoru. Pre obida koeficienty odrazu je hodné zaies spoloné oznaenie ρ(z) zahom Ak sú konštanty (11.68), potom a alej ρ(z) = ρ u (z) = ρ i (z) U 0, U 0 dané stupnými amplitúdami napätia a prúdu, teda ýrazmi U 0 Zst Z ρ 0u = = = ρ st (11.91) U Z Z 0 st Zst Z ρ(z) = e γ z = ρ st e γ z Z Z st (11.9) Z ýrazu (11.91) idie, že koeficient odrazu na stupe edenia súisí so stupnou impedanciou a poda ýrazu (11.9) sa transformuje pozdž edenia. Netreba zláš zdôrazoa, že koeficient odrazu je bezrozmerné komplexné íslo definoané komplexnej roine na kruhu s polomerom 1. S yužitím ýrazo (11.86) možno nájs šeobecné zahy medzi impedanciou a koeficientom odrazu uboonej roine z na edení. Platí totiž U ( z) U Z( z) = = I( z) I Z ýrazo (11.87) plynie, že ( z) U ( z) U = ( z) I ( z) I U 1 ( z) U ( z) I 1 I ( z) ( z) ( z) ( z) U ( z) = Z (11.93) I ( z) a s použitím ýrazo (11.89) a (11.90) môžeme zah pre impedanciu napísa tare z oho koeficient odrazu 1 ρ( z) Z(z) = Z 1 ρ( z) (11.94) 536
Z( z) Z ρ ( z) = Z( z) Z (11.95) Z ýrazu (11.95) plynie zaujímaá a dôležitá skutonos: na edení roine z nebudú žiadne odrazy, teda koeficienty odrazu sa budú rona nule [ρ(z) = 0] tedy, ak sa bude danej roine impedancia Z(z) rona charakteristickej impedancii edenia Z, t. j. ak Z(z) = Z V takom prípade hooríme o režime prispôsobenia na edení, kedy celý ýkon bez odrazo postupuje roine z od generátora smerom k záaži. Vo šetkých ostatných prípadoch na edení existuje postupujúca aj odrazená lna, ktoré spolu interferujú a ytárajú charakteristické konfigurácie napäoých a prúdoých n, ktoré sa nazýajú stojaté lny. Ich lastnosti budeme analyzoa odseku 11.6.4. 11.6.3 Bezstratoé dlhé edenia Bezstratoé edenia sú také, ktorých pozdžny odpor R a priena odios G sú nuloé, teda R = 0, G = 0. Reálne edenia majú ždy urité straty, ale mnohých prípadoch sú tak malé, že ich možno zanedba, ím sa teoretická analýza edení znane zjednoduší. Konštanta šírenia γ daná ýrazom (11.64) sa na bezstratoom edení redukuje na tar z oho yplýa, že koeficient útlmu γ = ω LC = jω LC = j β a fázoý koeficient α = 0 (11.96a) ω β = = ω LC f (11.96b) Fázoá rýchlos prúdoo-napäoých n na edeniach je teda daná ýrazom f = 1 LC [m.s 1 ] (11.97) Charakteristická impedancia definoaná ýrazom (11.67) sa stáa reálnou a prejde na jednoduchý tar Z L = [Ω] (11.98) C Z ýrazo (11.96) plynie, že postupujúca aj odrazená prúdoo-napäoá lna majú konštantné amplitúdy nezáislé od súradnice z a z ýrazu (11.98) idie, že prúdy a napätia týchto n sú o fáze zhadom na reálnos Z. Reálna eliina Z daná 537