ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Α3 Έστω μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο ; Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με τη λέξη ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ. α. Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ β. Μία συνάρτηση f είναι -, αν μόνο αν, για κάθε στοιχείο ψ του συνόλου τιμών της η εξίσωση f έχει ακριβώς μία λύση ως προς. ΣΩΣΤΟ γ. Αν είναι m f τότε δ. ΣΩΣΤΟ, -, ΛΑΘΟΣ f κοντά στο. ε. ΛΑΘΟΣ f g d f g f g d όπου f, g συνεχείς στο [α,β]. Μονάδες: Α 7, Α 4, Α3 4, Α4 (5=) ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ
Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί και u για τους οποίους ισχύουν: ΘΕΜΑ B Re Ο u είναι φανταστικός. Β Να αποδείξετε ότι: α. β. Re Β Αν, είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς, να δείξετε ότι: 4. Β3 Να αποδείξετε ότι αν w, N τότε: α. Οι αριθμοί w είναι πραγματικοί. β. Για, οι εικόνες των αριθμών w ανήκουν σε ευθύγραμμο τμήμα μήκους 4. Μονάδες: Βα 4, Ββ 3, Β 6, Β3α 6, Β3β 6 ΘΕΜΑ Γ Έστω f :, συνάρτηση με f () παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει. 3 f, Γ Να βρείτε την f. Γ Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και στη συνέχεια να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό, ώστε e 5. Γ3 Να λύσετε την ανίσωση f f. Γ4 Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό, συνέχεια να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέτοιο ώστε f και στη ge μόνο σημείο καμπής. Μονάδες: Γ 5, Γ 7, Γ3 5, Γ4 8 n έχει ένα
ΘΕΜΑ Δ Έστω η συνάρτηση f :,e παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει, όπου f Re είναι ρίζα της εξίσωσης Δ Να δείξετε ότι υπάρχει,e τέτοιο ώστε f Δ Αν 3 f f f f. Re να δείξετε ότι υπάρχει,e, *,. f f e. τέτοιο ώστε Δ3 Αν ισχύει e Re( ) Im( ) d e d να βρεθεί ο μιγαδικός Im. Μονάδες: Δ 7, Δ 8, Δ3
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 53 Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 9 Α3 Σχολικό βιβλίο σελίδα 58 Α4 α ΣΩΣΤΟ β ΣΩΣΤΟ γ ΛΑΘΟΣ δ ΛΑΘΟΣ ε ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑ Β Β α. Αφού u φανταστικός, θα έχουμε διαδοχικά: u u αφού, Re από τα δεδομένα. β. Αφού, οι εικόνες του ανήκουν στον κύκλο με κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ =. Επομένως αν είναι Re. Β Είναι () και Re Re () και έχουμε: () Re Re 4 Re Re λόγω της (). 4 Re Re 4
Β3 ` α. Έχουμε: () w w Άρα w w w β. Για έχουμε μιγαδικούς. w και έστω w, w δύο από τους παραπάνω () και w Re Τότε w Re Έχουμε: λόγω της (). w w Re Re Re Re Re Re λόγω της (). 4 Αν Α η εικόνα του w και Β η εικόνα του w w 4 AB 4 και αφού w, άρα A,B, οπότε οι w εικόνες των w ανήκουν σε ευθύγραμμο τμήμα μήκους 4. ΘΕΜΑ Γ Γ Έχουμε: 3 3 f f f 3 4 n n Δηλαδή: f n f n c (`)
και () f n c c c, f n,. οπότε από () πάλι Γ Είναι f, 3 3 αφού το τρίγωνο P, και P έχει Δ = -4< και α = >, οπότε 3 για >. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο,. Έχουμε Είναι: m f m n m m n n n m mn m m m m m άρα: m f m f m n m n m m. Επομένως f, m f, m f, αφού f γνησίως αύξουσα και συνεχώς στο, Έχουμε: Αρκεί η εξίσωση 5 5 e n n e n 5 n 5 n 5 f 5. f 5 να έχει μοναδική λύση.
Επειδή 5= στο f. και η f είναι γνησίως αύξουσα (επομένως και -),, άρα υπάρχει μοναδικό, ώστε f 5. Γ3 Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, επομένως: f f f. Για να ορίζεται η ανίσωση πρέπει: που ισχύει και. Άρα το σύνολο λύσεων της ανίσωσης είναι το διάστημα (,). Γ4 Η f είναι συνεχής στο διάστημα, και f n 4 4 n 4 f () n, δηλαδή f f, οπότε από Bolano υπάρχει μοναδικό, ώστε f, αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο,. Η συνάρτηση g e n είναι φορές παραγωγίσιμη στο, και e g e n e n e n e n, και e e g e n e n e e e e e e n e n. g e n ή Άρα g e f,
g, να έχει μοναδική λύση στο (, ), πράγμα που συμβαίνει, αφού g e f όπου αυτό που βρήκαμε στο Αρκεί εξίσωση,. Είναι: και ανάλογα f f f e f g g, δηλαδή η g αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του. Τέλος η g δέχεται εφαπτομένη στο, αφού είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. Άρα η A,g. C g έχει μοναδικό σημείο καμπής το ΘΕΜΑ Δ Δ Έχουμε Re Re. Επομένως Re. και f Re f f, οπότε f γνησίως Είναι φθίνουσα στο [,ε]. Επομένως f,e f e,f και επειδή f f e f e f, η f ως συνεχής παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ f(e) και f(). Επομένως από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει,e ώστε f f e f ( ).
Δ Είναι Re επομένως αρκεί αν δείξουμε ότι υπάρχει,e ώστε: f f f f τέτοιο f f f. Θεωρούμε τη συνάρτηση g f,, e H g είναι συνεχής στο [,e] ως γινόμενο συνεχών. Η g είναι παραγωγίσιμη στο (,e) ως γινόμενο παραγωγίσιμων. 3 3 g f f f και 3 3 3 3 3 g f f f.. Άρα 3 g g 3. Επομένως από θεώρημα Rolle υπάρχει,,e f ώστε g f και αφού 3,. Δ3 Από το ερώτημα Δ είναι, Re και Επομένως: e e Im Re d d e d Im Im. e e e e e d e d e d
Έστω: u d du d du du d du d και άρα:, u, u Im u du u e d e e du u e e e e. Επομένως από την αρχική σχέση προκύπτει ότι: e e e n e e e e και. e Άρα: n. e