ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ Τ.Ε.Ι. ΛΑΜΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ ρ. Κ ελήµπασης Ρ. Ν. Ασηµάκης ΛΑΜΙΑ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z ΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΧΩΡΟΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΣΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΠΕΡΙΟ ΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 3

ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Ένα σήµα διακριτού χρόνου είναι µία ακολουθία πραγµατικών ή µιγαδικών αριθµών που παριστάνεται ως συνάρτηση x της οποίας η ανεξάρτητη µεταβλητή παίρνει διακριτές ακέραιες τιµές. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 4

Το σήµα διακριτού χρόνου µπορεί να παριστάνεται ως x ή x[], όπου ακέραιος. Ένα σήµα διακριτού χρόνου παράγεται µε δύο τρόπους Με µία µαθηµατική σχέση xf Από ένα σήµα συνεχούς χρόνου xt, t πραγµατικός αριθµός, µέσω δειγµατοληψίας. ειγµατοληψία είναι η διαδικασία µέτρησης της τιµής ενός σήµατος σε διακριτές χρονικές στιγµές, οι οποίες ισαπέχουν: tts, όπου Ts η περίοδος δειγµατοληψίας. Για το δειγµατοληπτηµένο σήµα, xtxts x αφού Ts είναι σταθερά. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 5

Πραγµατικό σήµα διακριτού χρόνου πραγµατικές τιµές x διακριτές ακέραιες τιµές 3 x 0-0 -8-6 -4-0 4 6 8 0 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 6

Μιγαδικό σήµα διακριτού χρόνου x a + j b x e jφ πραγµατική συνιστώσα a φανταστική συνιστώσα b πλάτος x a + b / φάση φ ata b/a όπου e jφ cosφ + j siφ, e jφ Συζυγές µιγαδικό σήµα x* a - j b x e -jφ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 7

Σήµα µοναδιαίου δείγµατος ακολουθία µοναδιαίου δείγµατος δ 0, 0 0, 0 fuctio [x,]sigimp0,, % impulse sigal % d-0.. [:]; x[-00]; ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 8

Σήµα µοναδιαίου δείγµατος Παράδειγµα: δ, δ-, δ+4 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 9

Σήµα µοναδιαίου βήµατος µοναδιαία βηµατική ακολουθία u 0, 0, < 0 0 fuctio [x,]sigstep0,, % step sigal % u-0.. [:]; x[-0>0]; δ u u ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 0

Σήµα µοναδιαίου βήµατος Παράδειγµα: u, u-, u+4 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Πραγµατικό εκθετικό σήµα xr fuctio [x,]sigrexpr,, % real exp sigal % r^.. [:]; xr.^; ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Πραγµατικό εκθετικό σήµα Παράδειγµα: x0.9 x. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 3

Φανταστικό εκθετικό σήµα xe jω cosω+jsiω η πραγµατική συνιστώσα του σήµατος είναι cosω η φανταστική συνιστώσα του σήµατος είναι siω το πλάτος του σήµατος είναι η φάση του σήµατος είναι ω η ψηφιακή συχνότητα του σήµατος είναι ω σε rad fuctio [rex,imx,mx,fx,]sigiexpw,, % imagiary exp sigal % expjwcosw+jsiw.. [:]; rexcosw*; imxsiw*; mx.^; fxw*; ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 4

Φανταστικό εκθετικό σήµα Παράδειγµα: xe jπ/5 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 5

Μιγαδικό εκθετικό σήµα xr e jω r [cosω+jsiω] η πραγµατική συνιστώσα του σήµατος είναι r cosω η φανταστική συνιστώσα του σήµατος είναι r siω το πλάτος του σήµατος είναι r η φάση του σήµατος είναι ω η ψηφιακή συχνότητα του σήµατος είναι ω σε rad fuctio [rex,imx,mx,fx,]sigcexpr,w,, % complex exp sigal % r^*expjw r^*{cosw+jsiw} %.. [:]; mxr.^; fxw*; rexmx.*cosw*; imxmx.*siw*; ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 6

Μιγαδικό εκθετικό σήµα Παράδειγµα: x0.9 e j0.3 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 7

Ηµιτονοειδές σήµα x { jω+ φ Im e } si ω+ φ η συχνότητα του σήµατος είναι ω η φάση του σήµατος είναι φ fuctio [x,]sigsiw,f,, % siusoidal sigal % xsiw*+f.. [:]; xsiw.*+f; ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 8

Ηµιτονοειδές σήµα Παράδειγµα: xsi0.+π ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 9

ιάρκεια σήµατος διακριτού χρόνου Σήµα πεπερασµένου µήκους x, Σήµα απείρου µήκους - Ακολουθία δεξιάς πλευράς x, 0 - Ακολουθία αριστερής πλευράς x, 0 - Αµφίπλευρη ακολουθία x, - <<+ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 0

ΠΕΡΙΟ ΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Ένα σήµα διακριτού χρόνου είναι περιοδικό αν ισχύει η ακόλουθη σχέση: x x+n Η θεµελιώδης περίοδος του σήµατος είναι ο ελάχιστος ακέραιος θετικός αριθµός N για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Ισοδυναµία µεταξύ εκθετικής και Σχέση του Euler: ηµιτονικής αναπαράστασης e j θ cosθ+ j siθ, j Αντίστροφες σχέσεις του Euler jθ jθ e + e cosθ jθ jθ e e siθ j Κατά συνέπεια, το ηµιτονικό σήµα παράγεται από το φανταστικό µέρος Im του φανταστικού εκθετικού σήµατος, ενώ το συνηµίτονο παράγεται από το πραγµατικό µέρος Re του φανταστικού εκθετικού σήµατος ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Παράδειγµα Μπορεί να χρησιµοποιηθεί η σχέση του Euler για να αποδειχθούν οι παρακάτω τριγωνοµετρικές σχέσεις: cos si a+ b cos a cosb si asi a+ b si a cosb+ cos a si b b ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 3

Περιοδικό φανταστικό εκθετικό σήµα Το φανταστικό εκθετικό σήµα x e jω cosω + j siω είναι περιοδικό αν η ψηφιακή συχνότητα του σήµατος ω είναι ρητό πολλαπλάσιο του π Η θεµελιώδης περίοδος του περιοδικού φανταστικού σήµατος είναι N π/ω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 4

Περιοδικότητα φανταστικού εκθετικού σήµατος Το φανταστικό εκθετικό σήµα xe jω είναι περιοδικό αν xx+n, δηλαδή αν e jω e jω+ν ή αν e jω e jω e jων ή αν e jων ή αν cosων + j siων ή αν cosων και siων 0 ή αν ων kπ, όπου k φυσικός αριθµός ή αν ω π k/n δηλαδή αν η ψηφιακή συχνότητα του σήµατος ω είναι ρητό πολλαπλάσιο του π Για k προκύπτει η θεµελιώδης περίοδος Nπ/ω του περιοδικού φανταστικού σήµατος ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 5

Περιοδικό φανταστικό εκθετικό σήµα Παράδειγµα: xe jω ωπ/8 Νπ/ω6 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 6

Περιοδικό ηµιτονοειδές σήµα Το ηµιτονοειδές σήµα siω+φ είναι περιοδικό αν η συχνότητα του σήµατος ω είναι ρητό πολλαπλάσιο του π Η θεµελιώδης περίοδος του περιοδικού ηµιτονοειδούς σήµατος είναι N π/ω si ω ϕ si ω N ϕ + + + ω+ ϕ+ kπ ω+ ωn+ ϕ k kπ ωn ω π N ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 7

Περιοδικό ηµιτονοειδές σήµα Παράδειγµα: xsiω ωπ/4 Ν8 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 8

Άθροισµα περιοδικών σηµάτων Αν το σήµα x είναι περιοδικό µε θεµελιώδη περίοδο Ν και το σήµα x είναι περιοδικό µε θεµελιώδη περίοδο Ν τότε το σήµα xx+x είναι περιοδικό µε θεµελιώδη περίοδο ΝΝ N/ΜΚ N,N Παρατήρηση: Αν NN, τότε ΝΝΝ Παράδειγµα: xcosπ/ µε θεµελιώδη περίοδο Ν4 xsiπ/8 µε θεµελιώδη περίοδο Ν36 xx+xcosπ/+siπ/8 µε θεµελιώδη περίοδο ΝΝN/ΜΚ N,N4 36/7 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 9

Υποπερίπτωση αθροίσµατος περιοδικών σηµάτων Αν προσθέσουµε περιοδικά σήµατα µε την ίδια περίοδο, αλλά µε διαφορετικό πλάτος και φάση, προκύπτει περιοδικό σήµα µε την ίδια περίοδο N k A e k j φ k A k e j φ k ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 30

ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΛΑΤΟΥΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 3

Πράξεις Μετασχηµατισµού Πλάτους. πρόσθεση σηµάτων yx+x. πολλαπλασιασµός σηµάτων yxx 3. κλιµάκωση στο πλάτος ycx ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 3

Πρόσθεση Σηµάτων fuctio [y,]sigaddx,,x, % additio % yx+x mimi,mi:maxmax,max; yzeros,legth; yy; yfid>mi&<maxx; yfid>mi&<maxx; yy+y; ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 33

Πρόσθεση Σηµάτων: Παράδειγµα ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 34

Πολλαπλασιασµός Σηµάτων fuctio [y,]sigmultx,,x, % multiplicatio % yxx mimi,mi:maxmax,max; yzeros,legth; yy; yfid>mi&<maxx; yfid>mi&<maxx; yy.*y; ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 35

Πολλαπλασιασµός Σηµάτων: Παράδειγµα ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 36

Κλιµάκωση στο Πλάτος yc x όπου c πραγµατικός αριθµός ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 37

Κλιµάκωση στο Πλάτος: Παράδειγµα ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 38

Πράξεις Μετασχηµατισµού Χρόνου. µετατόπιση σήµατος yx-0 Αν 0>0, τότε έχουµε καθυστέρηση το σήµα µετατοπίζεται δεξιά Αν 0<0, τότε έχουµε πρωτοπορία το σήµα µετατοπίζεται αριστερά. αντιστροφή σήµατος yx- 3. κλιµάκωση στο χρόνο yxc Αν cm, τότε έχουµε διαίρεση συχνότητας Αν c/m, τότε έχουµε πολλαπλασιασµό συχνότητας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 39

Μετατόπιση fuctio [y,]sigshiftx,m,0 % shift % yx-0 m+0; yx; ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 40

Μετατόπιση: Παράδειγµα ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 4

Αντιστροφή fuctio [y,]sigfoldx, % fold % yx- yfliplrx; -fliplr; ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 4

Αντιστροφή: Παράδειγµα ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 43

Παράδειγµα: δείξτε ότι η µετατόπιση και η αντιστροφή δεν είναι µεταθετικές πράξεις Αντιστροφή: Axx- Μετατόπιση: Μ k xx-k Μ k Ax Μ k x-x--k AΜ k xax-kx-+k k ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 44

ιαίρεση Συχνότητας fuctio [y]sigscaldivc,x % frequecy divisio % x :l % yxc % c> llegthx; mfloorl/c; for i:m yixi*c; ed; ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 45

Πολλαπλασιασµός Συχνότητας fuctio [y]sigscalmulc,x % frequecy multiplicatio % x :l % yx/c % c> llegthx; ml*c; for i:m yi0; if modi,c0 yixi/c; ed; ed; ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 46

Κλιµάκωση στο Χρόνο: Παράδειγµα ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 47

Μετατώπιση και κλιµάκωση στο χρόνο Καθυστέρηση ιαίρεση x x x- 0 x x MxM- 0 ιαίρεση Καθυστέρηση x x xm x x - 0 xm- 0 M Προώθηση - ιαίρεση x x x+ 0 x x MxM+ 0 ιαίρεση Προώθηση x x xm x x + 0 xm+ 0 M Καθυστέρηση Πολλαπλασιασµός x x x- 0 x x /Mx/M- 0 Πολλαπλασιασµός Καθυστέρηση x x x/m x x - 0 x/m- 0 / M ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 48

Μετατώπιση και κλιµάκωση στο χρόνο ΕΝ αντιµετατίθονται. Τυχαία η αντιµετάθεση είναι δυνατό να ισχύει: Καθυστέρηση ιαίρεση 0 8, Μ x x x-8 x x x-8 ιαίρεση Καθυστέρηση 0 4, Μ x x x x x -4x-8 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 49

Μετατώπιση και Αντιστροφή Καθυστέρηση και Αντιστροφή x x x- 0 x x -x-- 0 Αντιστροφή και Καθυστέρηση x x x- x x - 0 x-+ 0 Προώθηση και Αντιστροφή x x x+ 0 x x -x-+ 0 Αντιστροφή και Προώθηση x x x- x x + 0 x-- 0 Μετατώπιση και Αντιστροφή: εν Αντιµετατίθενται ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 50

Παράδειγµα ίνεται το σήµα x[,,3,,],,,5. Υπολογίστε το x--. -7-6 -5-4 -3 - - 0 3 4 5 6 7 x 3 Καθυστέρηση x- 3 Καθ. Αντιστροφή x-- 3 Αντιστροφή x- 3 Αντιστροφή και Προώθηση x-- 3 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 5

Κλιµάκωση στο χρόνο και Αντιστροφή Αντιστροφή - ιαίρεση συχνότητας x x x- x x Mx-M ιαίρεση συχνότητας - Αντιστροφή x x xμ x x -x-m Αντιστροφή - Πολλαπλασιασµός συχνότητας x x x- x x /Mx-/M Πολλαπλασιασµός συχνότητας - Αντιστροφή x x x/m x x -x-/m Κλιµάκωση στο χρόνο και Αντιστροφή: Αντιµετατίθενται ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 5

Παραδείγµατα ίνεται το σήµα s[,,0,] ορισµένο στο διάστηµα [0,4]. Να εκφραστεί σα γραµµικός συνδυασµός συναρτήσεων δ, µε χρήση µετασχηµατισµών πλάτους και χρόνου sδ-δ-+ δ-3 Να υπολογιστεί το -s Να υπολογιστεί το s-3 Να υπολογιστεί το s/ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 53

Παράδειγµα ίνεται Υπολογίστε: yx- yx+ x 3 x 3 0 otherwise y/3x-+x+x+ ymediax-+x+x+ ίνεται: x u Υπολογίστε: y x k x k + x k y + k k k 0 + ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 54

Παράδειγµα ίνεται η ακολουθία x6-*[u-u-6]. Υπολογίστε και σχεδιάστε την ακολουθία yx-3 Πρώτα διαιρούµε τη συχνότητα µε το. Μετά κάνουµε µετατόπιση προς τα δεξιά κατά 3 θέσεις yx4- Πρώτα µετατόπιση κατά +4 αριστερά και µετά αντιστροφή όχι ανάποδα. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 55

ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Ένα πραγµατικό σήµα διακριτού χρόνου είναι άρτιο αν xx- Ένα πραγµατικό σήµα διακριτού χρόνου είναι περιττό αν x-x- ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 56

Άθροισµα τιµών συµµετρικού πραγµατικού σήµατος άρτιο σήµα xx- + + + + 0 x x x x 0 + + + + x x x x περιττό σήµα x-x- ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 57 + + + + + + 0 0 x x x x x 0 0 0 0 + + + + + + + + x x x x x x x για 0 είναι: x0-x-0-x0 οπότε x00 άρα: x00

Γινόµενο άρτιου σήµατος επί περιττό σήµα Αν το σήµα x είναι άρτιο και το σήµα x είναι περιττό, τότε το σήµα xx x είναι περιττό Απόδειξη: xx- x-x- xx x x-x- x- x -x - x x -x ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 58

Ανάλυση σε άρτιο και περιττό σήµα Κάθε πραγµατικό σήµα διακριτού χρόνου x µπορεί να αναλυθεί σε άθροισµα άρτιου σήµατος xe και περιττού σήµατος xo: xxe+xo όπου xe½ [x+x-] xo½ [x-x-] Μπορούµε εύκολα να επιβεβαιώσουµε ότι: x x x e o e xe xo + x x o ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 59

Παράδειγµα ανάλυσης σε άρτιο και περιττό σήµα Αναλύστε σε άρτιο και περιττό σήµα τη µοναδιαία βηµατική συνάρτηση u. u e 0 u + u + δ 0 u o u u u δ e ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 60

Παράδειγµα ανάλυσης u σε άρτιο και περιττό σήµα ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 6

Παράδειγµα Ισχύς ενός σήµατος x ορίζεται ως: P + x Εστω ότι το άρτιο µέρος του σήµατος είναι Αν P5 να βρεθεί η ισχύς του περιττού µέρους του x. + + e o e o x + x x + x + x x P e + + + e + xo + o x x x Ο 3 ος όρος είναι 0, διότι το γινόµενο άρτιου * περιττό είναι περιττό σήµα, ενώ ο ος όρος υπολογίζεται ως 5/3. 0 0 xe 0 + 0 0 e + 4 5 + 3 3 4 o x e ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 6

Συµµετρία µιγαδικού σήµατος Ένα µιγαδικό σήµα διακριτού χρόνου είναι συζυγές συµµετρικό αν xx*- Ένα µιγαδικό σήµα διακριτού χρόνου είναι συζυγές αντισυµµετρικό αν x-x*- ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 63

Παράδειγµα συµµετρικού µιγαδικού σήµατος Το σήµα xje jπ/4 είναι συζυγές αντισυµµετρικό Απόδειξη: xje jπ/4 j [cosπ/4 + j siπ/4] -siπ/4] + j cosπ/4 x- j [cos-π/4 + j si-π/4] j [cosπ/4 - j siπ/4] siπ/4] + j cosπ/4 -x- -siπ/4] - j cosπ/4 -x*- -siπ/4] + j cosπ/4 x ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 64

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ: ΟΡΙΣΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΙΑΦΟΡΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 65

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ: ΟΡΙΣΜΟΙ Ένα σύστηµα διακριτού χρόνου είναι ένας µετασχηµατισµός. x T y είσοδος µετασχηµατισµός έξοδος απόκριση: ytx ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 66

Μνήµη συστήµατος Σύστηµα χωρίς µνήµη Η έξοδος για 0 εξαρτάται µόνο από την είσοδο για 0 Παράδειγµα: yx Σύστηµα µε µνήµη Η έξοδος για 0 εξαρτάται από τις εισόδους για 0 Παράδειγµα: yx+x- ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 67

Αρχή της επαλληλίας αρχή της υπέρθεσης T[x+x] T[x] + T[x] Παράδειγµα: yt[x]x+x- Ισχύει η αρχή της επαλληλίας υπέρθεσης: T[x+x] x+x + x-+x- x+x- + x+x- T[x] + T[x] ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 68

Οµογένεια T[c x] c T[x] Παράδειγµα: yt[x]x /x- Το σύστηµα είναι οµογενές: T[c x] c x / c x- c x /x- c T[x] ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 69

Γραµµικό Σύστηµα Liear System T[c x + c x] c T[x] + c T[x] Ισχύει η αρχή της επαλληλίας και η οµογένεια Παράδειγµα: yt[x]xsiπ/ Το σύστηµα είναι γραµµικό: T[c x + c x] c x + c x siπ/ c x siπ/ + c x siπ/ c T[x] + c T[x] ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 70

Παράδειγµα: ελέγξτε την γραµµικότητα των παρακάτω συστηµάτων + + + + + y T x x T a x a x a x a x T a x T a x a T x a T x a x a x To σύστηµα είναι γραµµικό y T x x T x x at x + at x ax + ax T x x T a x + a x a x + a x a x + a x + a x a x To σύστηµα δεν είναι γραµµικό ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 7

ymediax,x-,x- ymaxx,x-,x- ylogx yx+ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 7

Σύστηµα Αµετάβλητο Κατά τη Μετατόπιση Time Ivariat system Αν yt[x], τότε y- 0 T[x- 0 ] ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 73

Ελεγχος της αµεταβλητότητας µετατώπισης µε εναλλαγή στη σειρά των υποσυστηµάτων Καθυστέρηση κατά 0 x-0 Σύστηµα T Εξοδος x Σύστηµα T y Καθυστέρηση κατά 0 y-0 Συγκρίνουµε την Εξοδο µε το y- 0. Αν είναι ίσα, τότε το T είναι χρονικά αµετάβλητο. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 74

Είναι το σύστηµα χρονικής αναστροφής yx- αµετάβλητο στη µετατώπιση? Είναι το σύστηµα χρονικής αναστροφής yx αµετάβλητο στη µετατώπιση? ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 75

Γραµµικό Αµετάβλητο Κατά τη Μετατόπιση ΓΑΚΜ Σύστηµα Liear Time Ivariat LTI System νεια οµογ δ ας επαλληλ αρχ δ των λυση σηµ αν δ έ h k x k k x ί ή k k x ά ά k k x T x T y k k k k k + + + + + Τ Τ ] [ ] [ ] [ ] [ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 76 πιση τη µετατ βλητο κατ αµετ ό ά ά k h k x k ] [ ] [ ] [ ] [ 0 0 ί ό ό ή h h k T k h T h x T y x T y k σοδοδ κρισηγιαε απ κριση απ κρουστικ δ δ + k έ ή h x k h k x y λιξη συν γραµµικ *

Αιτιότητα Η έξοδος για 0 εξαρτάται από τις εισόδους µέχρι 0, y x k h k h k k > k LTI αιτιατό: h0, <0 Παράδειγµα: Αιτιατό: yx+x- ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 77

Ευστάθεια Bouded Iput Bouded Output BIBO stability Αν x <A, τότε y <B LTI ευσταθές: + h p C Απόδειξη της αναγκαίας συνθήκης για ευστάθεια LTI συστήµατος: y x k h k x k h k A h k h k B k k k k Παράδειγµα: Ευσταθές: ha u αν a < ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 78

Αντιστρεψιµότητα Αν x x, τότε y] y Η είσοδος µπορεί να προσδιοριστεί από την έξοδο µε µοναδικό τρόπο ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 79

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΝΕΛΙΞΗ Η συνέλιξη αποτελεί πράξη µεταξύ σηµάτων x, h που ορίζεται στην θέση ως εξής: + k y h * x x k h k Η µεταβλητή k είναι βοηθητική µεταβλητή της άθροισης. fuctio [y,y]sigcovx,x,h,h % liear covolutio % yx*h ybx+h; yexlegthx+hlegthh ; y[yb:ye]; ycovx,h; ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 80

Ιδιότητες Γραµµικής Συνέλιξης ταυτοτικό στοιχείο της συνέλιξης είναι η το σήµα δ x*δx αντιµεταθετική ιδιότητα x*xx*x προσεταιριστική ιδιότητα x*[x*x3][x*x]*x3 επιµεριστική ιδιότητα x*[x+x3]x*x+x*x3 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 8

l h l x h x y l * + Αλλαγή µεταβλητής k l x k x l x k x k x x x x x l k k 3 3 3 * * * Αλλαγή Απόδειξη της αντιµετάθεσης Απόδειξη της προσεταιριστικότητας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 8 x h k x k h k h k x k k l * + + µεταβλητής k-l x x x q x l q x l x q x l q x l x q x l q x l x q l q l l q l k 3 3 3 3 * * Αλλαγή µεταβλητής kq-l

Γραµµική Συνέλιξη σηµάτων πεπερασµένου µήκους Όταν τα σήµατα είναι πεπερασµένου µήκους, τότε η συνέλιξή τους είναι και αυτή ένα σήµα πεπερασµένου µήκους: Αν το σήµα h είναι πεπερασµένου µήκους L h στο διάστηµα [M h,n h ] και το σήµα x είναι πεπερασµένου µήκους L x στο διάστηµα [M x,n x ], τότε το σήµα y h*x είναι πεπερασµένου µήκους L y στο διάστηµα [M y,n y ], όπου L y L x +L h - M y M x +M h N y N x +N h ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 83

Υπολογισµός Γραµµικής Συνέλιξης σηµάτων πεπερασµένου µήκους - - 0 3 4 5 6 3 x [,3] 3 h [-,] 3 h- 3 3 y0 + 0+3 0 3 y + +3 0 3 y 3+ +3 3 y3 0+ 3+3 3 y4 0+ 0+3 3 3 4 0 9 9 yx*h [0,4] ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 84

Υπολογισµός γραµµικής συνέλιξης µε µήτρα Toeplitz Ο πίνακας Toeplitz έχει κάθε στοιχείο της κύριας διαγωνίου του σταθερό. Αν yx*h και το x ορίζεται στο [,] το x γίνεται στήλη και το h πίνακας Toeplitz µε διαστάσεις Lx+ Lh Lx y 0 0... 0 4 y 3. 0... 0 3 3 y + Lh 0 0 3 9 Ly Lx * Lx ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 85

Υπολογισµός Γραµµικής Συνέλιξης σηµάτων πεπερασµένου µήκους µε τη µέθοδο του πολυωνυµικού πολλαπλασιασµού 0 3 4 5 6 7 x 4 6 4 3 0 0 0 h 3-6 8 6 0 0 0 0 - -4-6 -4-0 0 0 0 4 5 8 4 0 0 0 0 4 6 4-6 -0-8 -3-8 - -8 - ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 86

Γραµµική Συνέλιξη: Παράδειγµα ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 87

Παράδειγµα - Συνέλιξη ίνεται το σήµα x[,,] µε [0,]. Υπολογίστε τη συνέλιξη x*x. δ + δ + δ x δ δ δ δ δ δ x * x k + k + k k + k + k k k k k k k k δ δ + δ δ + δ δ + k k k k k k k k k δ δ + δ δ + δ δ + k k k k k k k k k δ δ + δ δ + δ δ k k k + + 3 + 3 + 4 [,, 3,, ], [ 0, 4] δ + δ + δ + δ + δ + δ 3 + δ + δ 3 + δ 4 δ δ δ δ δ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 88

Παράδειγµα - Συνέλιξη Σας δίνεται η κρουστική απόκριση και η είσοδος ενός συστήµατος. Βρείτε την έξοδο του 6 x u h u 6 3, 3 x * h x k h k u k u k 3 6 3 k k 3 k6 k 6 3 k k 3 k 6 k6 6 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6 k k 0 k 0 k 0 6 6 6 6 4, 3 3 3 Για <3 η συνέλιξη είναι ίση µε 0, όπως προκύπτει και από το πεδίο ορισµού των x, h. Χρησιµοποιούµε την ακόλουθη σειρά: N 0 a N a a ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 89

Παράδειγµα - Συνέλιξη Σας δίνεται η κρουστική απόκριση και η είσοδος ενός συστήµατος. Βρείτε την έξοδο του 3, x u h u k x * h x k h k k3 u k u k k 0 k k + + 3 3 3 k k 3 k3 k + k 0 3 9 9 3 + + 4 3 3 3 3 3 3 4 3 + + +, 3 3 3 4 3 Η συνέλιξη είναι ίση µε 0 για >, όπως προκύπτει και από το πεδίο ορισµού των σηµάτων. Χρησιµοποιούµε την ακόλουθη σειρά: N 0 a N+ a N N a Na + a ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 90

r xy Ετεροσυσχέτιση Cross-correlatio + x k y + k x k y k x * y k + k ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 9

r x Αυτοσυσχέτιση Autocorrelatio + x k y + k x k y k x * x k + k ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 9

Παράδειγµα εφαρµογής της συσχέτισης Εστω το x[,,,,,], 0,,,5 και h[,,],,3,4. Να υπολογιστεί η συσχέτιση τους, καθώς και η συνέλιξη x-*h. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 93

ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ Η είσοδος x και η έξοδος y ενός συστήµατος γραµµικού αµετάβλητου κατά τη µετατόπιση Liear Time Ivariat LTI συνδέονται µε τη σχέση: yx*h όπου h είναι η κρουστική απόκριση του συστήµατος, δηλαδή η έξοδος του συστήµατος για είσοδο xδ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 94

Συστήµατα συνδεδεµένα σε σειρά Αν ένα σύστηµα που έχει είσοδο x, κρουστική απόκριση h και έξοδο w συνδεθεί σε σειρά µε ένα σύστηµα που έχει κρουστική απόκριση h και έξοδο y, δηλαδή: yw*h wx*h τότε το συνολικό σύστηµα έχει είσοδο x, έξοδο y και κρουστική απόκριση hh*h όπου yx*h ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 95

Συστήµατα συνδεδεµένα παράλληλα Αν ένα σύστηµα που έχει είσοδο x, κρουστική απόκριση h και έξοδο w συνδεθεί παράλληλα µε ένα σύστηµα που έχει που έχει είσοδο x, κρουστική απόκριση h και έξοδο v προσθέτοντας τις εξόδους των φίλτρων, δηλαδή: yw+v wx*h vx*h τότε το συνολικό σύστηµα έχει είσοδο x, έξοδο y και κρουστική απόκριση hh+h όπου yx*h ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 96

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΙΑΦΟΡΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ Κάθε γραµµικό χρονικά αµετάβλητο σύστηµα φίλτρο περιγράφεται µε µία γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές ΓΕ ΣΣ: y M k 0 b k x k N k a k y k Η κρουστική απόκριση του φίλτρου h είναι η λύση της εξίσωσης διαφορών για xδ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 97

Κατηγορίες Φίλτρων Τα γραµµικά χρονικά αµετάβλητα φίλτρα χωρίζονται σε δύο κατηγορίες ανάλογα µε το µήκος της κρουστικής τους απόκρισης: τα φίλτρα πεπερασµένης κρουστικής απόκρισης Fiite-duratio Impulse Respose FIR τα φίλτρα άπειρης κρουστικής απόκρισης Ifiite-duratio Impulse Respose IIR ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 98

Φίλτρα πεπερασµένης κρουστικής απόκρισης Τα FIR φίλτρα περιγράφονται από την εξίσωση διαφορών: M k k x k b y 0 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 99 k 0 Movig Average MA Κρουστική Απόκριση φίλτρων FIR M k k k b h 0 δ

Φίλτρα άπειρης κρουστικής απόκρισης Τα IIR φίλτρα περιγράφονται από τις εξισώσεις διαφορών: N k k y k a x y ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 00 Auto Regressive AR Auto Regressive Movig Average ARMA N k M k k y k a k x k b y 0

Επίλυση ΓΕ ΣΣ FIR Φίλτρων Υπολογισµός κρουστικής απόκρισης h yx*h Παράδειγµα yx-x- xu hδ-δ- yu--u-x*h ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 0

FIR MA Παράδειγµα: yx-x- ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 0

Επίλυση ΓΕ ΣΣ IIR Φίλτρων yy p +y h Η µερική λύση y p ικανοποιεί τη ΓΕ ΣΣ για τη δεδοµένη είσοδο x µε µηδενικές αρχικές συνθήκες: ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Η οµογενής λύση y h αντιστοιχεί στην απόκριση του φίλτρου για µηδενική είσοδο x0 µε τις δεδοµένες αρχικές συνθήκες: ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 03

Μερική Λύση Όρος στην είσοδο x Μερική Λύση c c c c +c c a c a c cosω c cosω+c siω c siω c cosω+c siω c δ 0 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 04

Οµογενής Λύση y h z Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο z N + a z N + a z N +... + a N z + a N 0 Αν το Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο έχει απλές ρίζες, τότε N h k k k y A z Οι συντελεστές A k υπολογίζονται έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 05

Παράδειγµα Επίλυσης ΓΕ ΣΣ φίλτρου IIR y ay + x, y 0 για x δ Να βρεθεί η κρουστική απόκριση h. p ay Μερική λύση y 0 Οµογενής λύση y 0 y z z az 0 z z a 0 z a y h Aa p h δ + y 0 y 0 + y 0 A 0 + ay A h y y y a p h Παρατηρούµε ότι η κρουστική απόκριση έχει άπειρο µήκος. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 06

kljkhg Παράδειγµα Επίλυσης ΓΕ ΣΣ y y + x, y 0 Να βρεθεί η κρουστική απόκριση h. Μερική λύση y 0 p για x δ z x y a k y k Οµογενής λύση y, 0 + 0 0 h Α λλά N, a yh A Υπολογισµός του Α βάσει οριακών συνθηκών: y 0 y + δ 0 y 0 A A A Τ ελικά : h y p + yh h N k ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 07

Παράδειγµα Επίλυσης ΓΕ ΣΣ IIR Φίλτρου 4 5 4 5 5 5 + + Μ y c c c x c c y ύ ή p p ση λ ερικ h h h y y x z y ύ ή 0 5 Ο και ση λ ς µογεν 0,, 5 u x y y x y + ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 08 h A y z z z z 0 5 5 5 h p y A A y A y y x y A y A y y y 0 0 0 0 0 0 5 4 4 5 4 4 5 4 5 5 0 5 4 5 5 4 5 + + + + + + +

Συνέχεια προηγούµενου παραδείγµατος: Εναλλακτική προσέγγιση Εναλλακτικά, επιλύουµε το ίδιο LTI σύστηµα για είσοδο xδ, υπολογίζουµε το h και στη συνέχεια για οποιαδήποτε είσοδο πχ xu, υπολογίζουµε τη συνέλιξη x*h: y x + y, y 0 5 x δ Μερική λύση: y 0 Οµογενής λύση: y yh A 5 p h k 0 k 0 z z z z z 0 Χαρακτηριστικό πολυώνυµο 5 5 Υπολογισµός του Α: y 0 0 + h 5 5 A x y y u δ h u Εξοδος για x : y k + + k 5 5 5 5 5 + + Εξοδος για x u : y x * h x k h k u k u k 5 k 5 5 5 5 5 + 5 5 4 4 4 5 4 5 4 4 5 k ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 09 k

Παράδειγµα Επίλυσης ΓΕ ΣΣ IIR Φίλτρου 3 y y y + x x Αρχικ έςσυνθ ήκες y y 0 4 8 δ αρχικ ς συνθ κες x, έ ή y 0 3 yh z, x 0 z z+ 0 z, z 4 8 4 yh A + A 4 p 0 y 0 A + A y y p + yh y A + A 4 Από τον ορισµό του y 3 y 0 y y + δ 0 δ 4 8 Α, Α 3 3 y y 0 y + δ δ 0 4 8 4 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 0

Παράδειγµα Επίλυσης ΓΕ ΣΣ IIR Φίλτρου µε χαρακτηριστικό πολυώνυµο µε µιγαδικές ρίζες + 0.5 0.5, 0.5 y y y y y x x x u Αρχικές συνθήκες 0.5, 0.75 Μερική λύση: p x 0.5 u, y c 0.5 Αντικαθιστούµε στη ΓΕ ΣΣ: c 0.5 c 0.5 c 0.5 + 0.5 u 0.5 0.5 u, 0 c c c + c y p 0.5 Οµογενής λύση: y z, x 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 z z z + 0 h j 3 z + e z j 3 e π j 3 π j 3 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

π π y 0 0.5+ A + A j j 3 3 y y p + yh 0.5 + A e + A e y 0.5+ A e + A e Από τις αρχικές συνθήκες του y 0 0 π π j j 3 3 0 y 0 y y + 0.5 0.5 u 0 + 0.5 0.5 u 0.75 0.5+ 0.5+ 0 y y 0 y + 0.5 0.5 u + 0.5 0.5 u 0 0. 75+ 0.5+ 0.5 π j 3 3 e A 0.5 A 3 4 j π 0.5 j e e 3 3 e + 4 π π j j 3 3 A A ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

IIR AR Παράδειγµα: yx+0.5y- ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 3

IIR ARMA Παράδειγµα: yx-x-+0.5y- ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 4

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ DTFT ΟΡΙΣΜΟΣ DTFT ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΕ ΣΣ ΜΕ DTFT ΦΙΛΤΡΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 5

ΟΡΙΣΜΟΣ DTFT Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου Discrete Time Fourier Trasform DTFT ενός σήµατος x ορίζεται ως ακολούθως: X e jω + x e jω Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου του σήµατος x υπάρχει αν ισχύει η σχέση: + x < Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου είναι περιοδικός ως προς ω µε περίοδο π S ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 6

Ζευγάρια DTFT σήµα µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου x διακριτού χρόνου DTFT Xe jω δ δ- 0 e -jω0 πδω e jω0 πδω-ω 0 a u, -<a< /-ae -jω + a u, a < j ae ω cosω 0 πδω+ω 0 +πδω-ω 0 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 7

DTFT Παράδειγµα: x0.9 e jπ/3 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 8

Παράδειγµα: Υπολογισµός DTFT x a u, a < + + + x a u a 0 a < X e jω + + + + jω jω jω jω x e a u e a e ae 0 0 ae jω ae jω a e jω a cos ω + j si ω a a < ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 9

Ιδιότητες DTFT ιδιότητα µετασχηµατισµού Fourier διακριτού χρόνου DTFT σήµα διακριτού χρόνου x µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου DTFT Xe jω γραµµικότητα c x + c x c Xe jω + c Xe jω µετατόπιση στο χρόνο x- 0 e -jω0 Xe jω αντιστροφή στο χρόνο x- Xe -jω µετατόπιση στη συχνότητα e -jω0 x Xe jω-ωo συνέλιξη στο χρόνο x*x Xe jω Xe jω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 0

Οµογένεια υπέρθεση Μετατόπιση στο χρόνο Απόδειξη Ιδιοτήτων DTFT jω jω jω c x + c x e c x e + c x e jω jω + c X e c X e jω jω jω jω x 0 e x e e e X e Αντιστροφή στο χρόνο * j jω 0 0 0 jω 4444443 αλλαγ ήµεταβλητ ής ω jω DTFT x x e x e X e ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Συνέλιξη jω Y e FT y x k h k e k jω x k h k e e k k jω k jωk jωk jω jω jω k x k e h k e X e H e ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Μετατόπιση στη συχνότητα Παράδειγµα: xcosπ/ ye jπ/4 x ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 3

Συµµετρία στον DTFT Μιγαδική συζυγία FT x x e x e FT x jω + jω * jω x X e FT µίας πραγµατικής συνάρτησης xr x + x FT xr FT x + FT x Χ e +Χ e Για + + + jω jω z z z zr zi zr zi + + z z z z R R I I 44443 44443 eve odd Το φάσµα µίας πραγµατικής συνάρτησης έχει άρτιο πραγµατικό µέρος και περιττό φανταστικό µέρος ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 4

FT µίας φανταστικής συνάρτησης jω jω x y y Y e Y e Για + + z z z zr zi zr zi + + zr zr zi zi 44443 44443 odd eve Το φάσµα µίας φανταστικής συνάρτησης έχει άρτιο πραγµατικό µέρος και περιττό φανταστικό µέρος ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 5

Συµµετρία συνέχεια jω jω cos ω + si ω X e x e x j x x πραγµατική και άρτια: Χe jω πραγµατική και άρτια jω cos ω + si ω cos ω X e x j x x 4444443 άρτια * περιττ ή περιττ ή jω jω cos ω X e x X e x φανταστική και περιττή Χe jω πραγµατική και άρτια jω + άρτια* περιττ ή περιττ ή jω jω Re si ω X e j Re x cos ω j j Re x si ω Re x si ω 444444443 X e x X e ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 6

jω jω cos ω + si ω X e x e x j x x πραγµατική και περιττή: Χe jω φανταστική και άρτια jω cos ω + si ω si ω X e x j x j x 4444443 άρτια* περιττ ή περιττ ή jω jω si ω X e j x X e x φανταστική και άρτια Χe jω φανταστική και άρτια jω cos ω + si ω cos ω X e j x j j x x jω jω cos ω X e x X e 44 444443 άρτια* περιττ ή περιττ ή ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 7

Να βρεθεί ο DTFT της Να βρεθεί ο DTFT της x*- Παράδειγµα x u + u δ 4 4 4 jω X e + jω jω e e DTFT x x e x e x e X e 4 44443 * * j ω * * j ω j ω j ω αλλαγ ήµεταβλητ ής * ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 8

Υπολογισµός αντίστροφου DTFT Ο αντίστροφος DTFT IDTFT υπολογίζει το σήµα x, δεδοµένου του µετασχηµατισµού Xe jω. Προσοχή: ο DTFT προυποθέτει διακριτό χρόνο και συνεχή συχνότητα ω ο IDTFT παράγεται µε ολοκλήρωµα αντί για διακριτό άθροισµα. jω jωk jω jω jωk jω X e x k e e X e x k e e k k π π π jω jω jωk jω jωk jω e X e d x k e e d x k e e d π π k k π π π jωk jω k e e dω 0 k π jω jω jω jω e X e dω π x x e X e dω π π ω ω ω Ορθογωνιότητα των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων π π ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 9

Παράδειγµα υπολογισµού συνέλιξης στο πεδίο του χώρου και της συχνότητας Υπολογισµός της συνέλιξης στο πεδίο του χρόνου δ + δ x + + x * x x k x k k + k k + k k δ δ δ δ k + + + + k k k k k k k k δ δ + δ δ + δ δ + δ δ k k k k + + + + + δ δ δ δ δ δ δ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 30

Εφαρµογή FT και υπολογισµός της συνέλιξης ως γινόµενο jω δ δ x + H e + e * + + + + x x H e H e e e e e Αντίστροφος FT του Χe jω.xe jω jω jω jω jω jω jω jω jω jω jω jω + + δ + δ + δ H e H e e e Παράδειγµα της ισοδυναµίας συνέλιξης πολλαπλασιασµού στο πεδίο συχνότητας ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 3

Παράδειγµα υπολογισµού συνέλιξης στο πεδίο του χώρου και της συχνότητας Υπολογισµός της συνέλιξης στο πεδίο του χρόνου h a u, a < x b u, b < + + k k * h x h k x k a u k b u k u k k 0 k u k k k a k h * x a b b b a k 0 k 0 b b a b + k k + + k k a b b a ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 3

Εφαρµογή FT και υπολογισµός της συνέλιξης ως γινόµενο jω jω jω h a u, a < H e a u e ae ae 0 jω x b u, b < X e jω be jω jω h * x H e X e j j ω ae ω be Μετατροπή του He jω.xe jω σε άθροισµα γνωστού FT jω jω X e H e jω jω A B A+ B Ab+ Ba e + jω jω jω jω jω jω ae be ae be ae be A+ B b a B, A Ab+ Ba 0 a b a b a b x * y IFT + a b j j ae ω a b be ω a b a b a b a b a b + + a u b u u Απόδειξη της ορθότητας της ιδιότητας της συνέλιξης µέσω παραδείγµατος ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 33

Παράδειγµα Να βρεθεί ο αντίστροφος DTFT της jω X e cos ω X e e e e e 4 4 4 jω jω jω jω jω + + + δ + δ + + δ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 34

Παράδειγµα: κλιµάκωση συχνότητας Εστω η y που αποτελεί κλιµάκωση συχνότητας της x. y x, kl L 0, kl jω jω jωl jωl jωl Y e y e y L e x e X e Χρησιµοποιώντας την παραπάνω ιδιότητα, να βρεθεί ο αντίστροφος DTFT της συνάρτησης: X e x u j0ω e 3 3 0 jω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 35

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου DTFT He jω της κρουστικής απόκρισης h ονοµάζεται απόκριση συχνότητας: H e jω + h e jω Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου DTFT Xe jω της εισόδου x και ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου DTFT Ye jω της εξόδου y του φίλτρου συνδέονται µε τη σχέση: Ye jω He jω Xe jω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 36

Εστω σύστηµα Τ µε κρουστική απόκριση h που δέχεται για είσοδο το ηµιτονοειδές e iω. Τότε η έξοδος θα είναι jω jkω jω jω h * x h k x k e h k e H e e y k k όπου H e jω + h e jω Αρα, αν και µόνο αν το x είναι ηµιτονοειδές, τότε y jω H e x Η απόκριση συχνότητας Η είναι µιγαδικός και µπορεί να γραφεί σαν µέτρο και φάση µιγαδικού ένα ηµιτονοειδές που διέρχεται από το Τ θα υφίσταται αλλαγή του πλάτους και της φάσης του, αλλά όχι της συχνότητας του. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 37

Ιδιότητες της απόκρισης Η FIR Περιοδικότητα µε περίοδο π: Συζηγής συµµετρία: ισχύει όταν hk πραγµατικός, δηλ ω ω π ω π ω π ω j k k j k k j k j k k j j e H e k h e e k h e k h e H + + hk h * k: ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 38 ω ω ω ω ω j k k j k k j k k j j e H e k h e k h e k h e H + * * *

Απόδειξη του Η απόκριση συχνότητας Η είναι µιγαδικός και µπορεί να γραφεί σαν µέτρο και φάση µιγαδικού ένα ηµιτονοειδές που διέρχεται από το Τ θα υφίσταται αλλαγή του πλάτους και της φάσης του, αλλά όχι της συχνότητας του. Εστω ΓΑΚΜ µε πραγµατική κρουστική απόκριση h που δέχεται είσοδο xcosω 0. Τότε: jω 0 jω0 x e + e jω0 jω 0 jω0 jω0 y H e e + H e e jω 0 jω0 * jω0 jω0 H e e + H e e jh j Φ ω0 jhφ jω0 H M e e + H M e e jω0+ HΦ jω0 HΦ H M e + e H M cos ω0 + H Φ Αντίστροφη σχέση Euler Υπέρθεση Συζηγής συµµετρία της Η Η Μ και Η Φ το µέτρο και η φάση της Η ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 39

Παράδειγµα Εστω FIR µε b k {,,}. Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας. ω ω ω ω 0 + + j j k k j k j e e e b e H Μέτρο: +cosω Φάση: -ω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 40 ω ω ω ω ω cos + + + j j j j e e e e

Εστω ότι στο προηγούµενο FIR δίνουµε ως είσοδο το xcosπ/3- π/. Να υπολογιστεί η έξοδος. + 3 3 *cos 3 3 3 3 π π ω π π π ω ω e e e H e H x e H y j j j j j Πολλαπλασιασµός µέτρου και πρόσθεση φάσης. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 4 + + + + + 3 3 3cos 3 3 3 cos 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 π π π π π π π π π π π π π π π π π ω e e e e e e x e H j j j j j j j

Παράδειγµα: Υπολογισµός απόκρισης συχνότητας δ + 5δ + 4δ h + jω jω 0 jω j ω + + 0 H h e h e h e h e k jω + 5e + 4e 4 + j ω u h + jω jω jω H e h e u e 4 + + jω jω jω e e e 4 4 6 4 + + + 0 jω jω jω e e e 6 0 4 4 4 6 4 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 4 e jω j 4 e ω

Παράδειγµα: Υπολογισµός απόκρισης συχνότητας του φίλτρου τρέχουσας µέσης τιµής M M y x k h δ k M + M + k 0 k 0 M M j M+ ω jω jω jkω e H e δ k e e jω M + M + M + e k 0 k 0 M+ M+ M+ M + j ω + j ω j ω e e e si M ω j ω e M + jω + jω jω M + ω e e e si ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 43

Παράδειγµα Εστω σύστηµα µε είσοδο x και έξοδο y. Να βρεθεί η απόκριση συχνότητας και η κρουστική απόκριση και να επιβεβαιωθεί η ορθότητα της συνέλιξης x u y u 4 jω x u X e jω e, j ω y u Υ e 4 jω e 4 jω jω e Υ e jω jω Η e e h u u jω e jω jω Χ jω e e e 4 4 4 4 4 + + k k + k k h * x h k x k u k u k u k u k k k 4 4 k k k k k k 4 4 4 k 4 u k 0 k k 0 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 44

Παράδειγµα Εστω σύστηµα µε είσοδο xu και έξοδο yδ. Να βρεθεί η απόκριση συχνότητας και η κρουστική απόκριση και να επιβεβαιωθεί η ορθότητα της συνέλιξης jω x u X e e jω δ jω Υ e jω jω Χ e y Υ e jω Η e jω e h jω e * δ δ k + + k k δ δ h x h k x k k u k + + k u k k u k 0 u 0 u u u δ δ δ δ δ k ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 45

Εστω LTI µε x u Παράδειγµα 3 y u u 3 3 3 Να βρεθεί η συνάρτηση µεταφοράς και η κρουστική απόκριση x + u u j ω e jω X e FT + u FT u j ω ae ae e + e 4 jω jω 3 jω Y e e e jω e 3 jω jω jω jω H e jω jω Y e X e jω 3 jω jω jω e e e + e 4 jω 3 jω 3 3 jω 4 jω e e e e j j + ω ω jω 4 8 e e e 3 3 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 46

ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΕ ΣΣ ΜΕ DTFT Αν γνωρίζουµε την ΓΕ ΣΣ ενός LTI, µπορούµε άµεσα να υπολογίσουµε την µορφή της απόκρισης συχνότητας He jω. Στη συνέχεια µε αντίστροφο DTFT µπορούµε να υπολογίσουµε την κρουστική απόκριση h. Προυπόθεση αποτελεί να µην υπάρχουν µη µηδενικές αρχικές συνθήκες. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 47 + N k jk M k jk j j j e k a e k b e X e Y e H 0 0 ω ω ω ω ω N k M k k y k a k x k b y 0

Απόδειξη του προηγούµενου τύπου Λαµβάνουµε τον DTFT της ΓΕ κατά µέλη, εφαρµόζουµε την ιδιότητα της µετατόπισης στο χρόνο και υπολογίζουµε το πιλήκο He jω Ye jω / Xe jω M y b k x k a k y k k 0 k N M N jω FT y y e b k x k a k y k k 0 k M jω jω b k x k e a k y k e k 0 k M k 0 N k jωk jω b k e x k e a k y k e N jω k k jω jω M N Y e b k e jω jωk jω jωk jω k 0 X e b k e Y e a k e H e N k 0 k X e + a k e M k jωk jωk ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 48

Απόδειξη του προηγούµενου τύπου Β τρόπος Γνωρίζουµε ότι ένα LTI αν έχει απόκριση συχνότητας He jω και έχει είσοδο xe jω0, τότε παράγει έξοδο e jω0 He jω Εφαρµόζοντας εν προκειµένω: M N y k b k x k a k y k M N jω jω j ω k jω j ω k jω k 0 k H e e b k e a k H e e H e M + k 0 N k 0 k k b k e a k e jωk jωk ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 49

Παράδειγµα Επίλυσης ΓΕ ΣΣ µε DTFT ω ω ω ω ω j j j j j e e e X e Y e H 4 4 Εστω LTI σύστηµα µε ΓΕ και είσοδο. Να βρεθεί η έξοδος του συστήµατος. y x x y x + δ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 50 4 4 u u y j x X e ω δ ω ω ω ω j j j j e e e e Y 4 4

Παράδειγµα ίνεται LTI µε απόκριση συχνότητας: Να βρεθεί η εξίσωση διαφορών που υλοποιεί το σύστηµα jω jω jω 0.5 0.5 Y j e ω + e + e j ω j ω j ω j ω j ω e + 0,5e 0.5e + 0.5e X e jω jω jω jω jω jω jω jω 0.5 0.5 0.5 0.5 H e jω H e 0.5 0.5 + 0.5 + 0.5 jω + e jω e + 0,5e Y e e Y e + e Y e X e + e X e y y y x x jω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 5

Παράδειγµα π ίνεται LTI µε κρουστική απόκριση : h cos u 4 3 Να βρεθεί η απόκριση συχνότητας και η εξίσωση διαφορών που υλοποιεί το σύστηµα j 3 3 3 3 π j π j π j h e e u e u π + + e u 4 4 4 jω H e j j 3 jω 3 jω e e + e e + 4 4 π π j j π π 3 jω 3 jω j j 3 jω 3 jω e e e e e e e e 4 4 4 4 π π j j jω 3 3 e e + e jω π e cos jω 3 Y e π π jω j j jω j j 3 3 jω ω π ω cos X e e e + e + e e + e 4 4 3 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 5 π π

jω jω π jω jω jω jω jω π jω Y e e cos Y e e Y e + X e e cos X e 3 3 jω jω π jω jω jω jω jω π jω Y e e cos Y e e Y e + X e e cos X e 4 3 4 3 π π y y y x x 3 3 0.5cos + 0.5cos ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 53

ίνεται LTI Παράδειγµα + + y bx x ay a, b, a < Για ποια συνθήκη των a,b θα ισχύει iω H e iω b+ e ae a a cos jω jω ω ω j H e ω jω jω b + + b e + e jω + jω iω iω iω b+ e b+ e H e H e H e ae ae + a + a e + e b + + b cos + + H e ab jω + jω jω jω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 54

Παράδειγµα Αποδείξτε την ορθότητα του παρακάτω ζεύγους DTFT: + a u, a < j ae ω h * h a u * j j a u ω ω ae ae jω ae + + k k k k + h k h k a u k a u k a a a a u k k k 0 k 0 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 55

Συστήµατα συνδεδεµένα σε σειρά Αν ένα σύστηµα που έχει είσοδο x, απόκριση συχνότητας He jω και έξοδο w συνδεθεί σε σειρά µε ένα σύστηµα που έχει απόκριση συχνότητας He jω και έξοδο y, δηλαδή: Ye jω He jω We jω We jω He jω Xe jω τότε το συνολικό σύστηµα έχει είσοδο x, έξοδο y και απόκριση συχνότητας He jω He jω He jω όπου Ye jω He jω Xe jω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 56

Συστήµατα συνδεδεµένα παράλληλα Αν ένα σύστηµα που έχει είσοδο x, απόκριση συχνότητας He jω και έξοδο w συνδεθεί παράλληλα µε ένα σύστηµα που έχει που έχει είσοδο x απόκριση συχνότητας He jω και έξοδο v προσθέτοντας τις εξόδους των φίλτρων, δηλαδή: Ye jω We jω Ve jω We jω He jω Xe jω Ve jω He jω Xe jω τότε το συνολικό σύστηµα έχει είσοδο x, έξοδο y και απόκριση συχνότητας He jω He jω + He jω όπου Ye jω He jω Xe jω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 57

ΦΙΛΤΡΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Τα ιδανικά φίλτρα επιλογής συχνοτήτων έχουν κατά τµήµατα σταθερό πλάτος απόκρισης συχνότητας χαµηλοπερατά φίλτρα Low Pass He jω για ω [-ωc,ωc] όπου 0<ωc<π υψηπερατά φίλτρα High Pass He jω για ω [-ωc,ωc] όπου 0<ωc<π ζωνοπερατά φίλτρα Bad Pass He jω για ω [-ω,-ω] και για ω [ω,ω] µε 0<ω<ω<π ζωνοφρακτικά φίλτρα Bad Stop He jω για ω [-ω,-ω] και για ω [ω,ω] µε 0<ω<ω<π ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 58

Ιδανικό χαµηλοπερατό φίλτρο Ideal Low Pass χαµηλοπερατά φίλτρα Low Pass, He jω για ω [-ω c,ω c ] όπου 0<ωc<π. Γραφική παράσταση του µέτρου, πραγµατικού και φανταστικού µέρους σαν συνάρτηση της συχνότητας ω εκφρασµένη σε ακτίνια. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 59

High Pass ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 60

Bad Pass ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 6

Bad Stop ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 6

Παράδειγµα: Το ιδανικό χαµηλοπερατό φίλτρο συχνοτήτων Το ιδανικό χαµηλοπερατό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής ω c έχει απόκριση συχνότητας He jω He jω 0.5 j H e ω -ω c ω ω c ω < ωc 0 ω ωc h 0. 0.5 0. 0.05 0-0.05-0. -0.5-0. -50-40 -30-0 -0 0 0 0 30 40 50 samples Η κρουστική απόκριση h για ω c π/4 jω jω h X e e dω π ω c jω jω ωc e dω e π π j ωc ω c π π ω si c jω, 0 c jω c e e π π j, 0 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 63

Παράδειγµα: Ιδανικό υψηπερατό φίλτρο: υπολογισµός κρουστικής απόκρισης Να βρεθεί η κρουστική απόκριση ενός LTI συστήµατος που έχει την ακόλουθη απόκριση συχνότητας He jω 3π π π jω jω jω jω jω π jω 3π 4 ω ω ω π π 3π 4 π 3π π π j π j π π 4 4 He jω -π -3π/4 3π/4 π ω h X e e d e d + e d e + e 3π 3π 3π 3π 3π 3π j j j j j π j π jπ 4 4 jπ 4 4 jπ 4 4 e e + e e e + e e e + e π j π j π j π π π si j π j π π π 4 4 j j jπ jπ 4 4 4 e e + e e e + e π j π j π π hlowpass ωc 4 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 64

Παράδειγµα: Ιδανικό υψηπερατό φίλτρο: Β τρόπος υπολογισµού κρουστικής απόκρισης Παρατηρούµε ότι η απόκριση συχνότητας H προκύπτει από την απόκριση συχνότητας του ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου, µετατοπισµένη προς τα δεξιά κατά π. Βάσει των ιδιοτήτων του DTFT: jπ lowpass π jω j ωπ H e Hlowpass e h e h si π ω c 4 π 4 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 65

Παράδειγµα: Ιδανικό φίλτρο Bad pass Να βρεθεί η κρουστική απόκριση LTI που έχει την ακόλουθη απόκριση συχνότητας He jω π He jω 3π π 4 4 jω jω jω jω -3π/4 -π/4 π/4 3π/4 ω h X e e d ω e d ω e d ω π π + π π π 3π 4 4 3π 3π π π 3 4 4 j j j j jω π jω π 4 4 4 4 e + e e e e e π j π 4 π j 3π 4 π j π j 3π π si si 4 4 hlowpass 3π h π π lowpass π ωc ωc 4 4 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 66

Παράδειγµα: Ιδανικό ολοπερατό φίλτρο Το ιδανικό ολοπερατό φίλτρο έχει απόκριση συχνότητας:, jω H e c ω Παράδειγµα ολοπερατού φίλτρου jω H e jω e a j ae jω * jω jω ω jω jω e a e a j ω j ω ae ae H e H e H e ω ω jω jω ae ae + a + a a cos jω jω ae ae + a + a a cos Η κρουστική απόκριση υπολογίζεται ως:. h a u a a u ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 67

Παράδειγµα: Ιδανικό ζωνοφρακτικό φίλτρο Badstop He jω Το ιδανικό ζωνοφρακτικό φίλτρο έχει απόκριση συχνότητας: ω ω π j H e ω -π -ω -ω ω ω π ω ω ω 0 αλλού Το ιδανικό ζωνοφρακτικό φίλτρο υλοποιείται σαν παράλληλη σύνδεση ενός βαθυπερατού µε ω c ω και ενός υψηπερατού µε ω c ω µε ω > ω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 68

Παράδειγµα: διασύνδεση LTI Θεωρείστε τα ακόλουθα δύο LTI µε την απεικονιζόµενη διασύνδεση. Να βρεθεί η έξοδος, αν ισχύει: δ h H j e ω, π, ω π 0, < ω π π π k π π x π π jω jω si h H e e dω π h kπ w H e jω si y h w h k w k δ k δ k π si π si π k y ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 69

Παράδειγµα: διασύνδεση LTI Θεωρείστε την ακόλουθη διασύνδεση σύστηµα ανάδρασης. Υπολογίστε την συνολική απόκριση συχνότητας. x w y f + * w x g y jω jω jω jω + jω jω jω Y e F e W e jω F j e ω jω X j j e ω ω G e F e W e X e G e Y e Y e g jω jω jω jω jω jω Y e F e X e + F e G e Y e ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 70

Παράδειγµα Η είσοδος ενός LTI µε κρουστική απόκριση h, είναι x. Να βρεθεί η έξοδος του. π si π 3π π cos 3si, + + 4 4 8 π h x π si h h, π όπου h είναι η κρουστική απόκριση του ιδανικού χαµηλοπερατού φίλτρου + + + + j + ω jω H e h e h e h e e h e e H e H e jω jω jω jω jω jω jω jω π e, ω π 0, < ω π ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 7

Παράδειγµα Εστω h η κρουστική απόκριση ενός ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου µε συχνότητα αποκοπής ω c 3π/4. Αν η είσοδος και η έξοδος πολλαπλασιαστούν διαµορφωθούν µε τον παράγοντα -, ποια είναι η απόκριση συχνότητας του συστήµατος που προκύπτει? + k y h * x h k x k k + + k k k h k x k h k x k h * x k Η απόκριση συχνότητας υπολογίζεται ως εξής + + + jω jω jπ jω Η απόκριση συχνότητας είναι αυτή του ιδανικού χαµηλοπερατού φίλτρου, µετατωπισµένη δεξιά στον άξονα των συχνοτήτων κατά π. Η νέα ΓΕ ΣΣ υπολογίζεται ως εξής: ω π ω π G e h e e h e h e H e j j ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 7

jkω jω b k e jω Y e k 0 H e jω N X e jkω + a k e ω π H e M k 0 M M M jk ωπ jkπ jkω jkω k b k e e b k e b k e j k 0 k 0 k 0 N N N jk ωπ jkπ jkω jkω k + a k e + e a k e + a k e k 0 k 0 k 0 Οι περιττοί όροι των ak και bk γίνονται αρνητικοί. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 73

Αντίστροφα συστήµατα Το αντίστροφο ενός συστήµατος µε κρουστική απόκριση h είναι ένα σύστηµα µε κρουστική απόκριση g, τέτοια ώστε h*gδ Ισοδύναµα: j ω j ω e G e G e j ω Η Το αντίστροφο σύστηµα ενδέχεται: jω H e Να µην υπάρχει, πχ στην περίπτωση του ιδανικού χαµηλοπερατού φίλτρου Να µην είναι αιτιατό, πχ: H e e G e g u e jω jω jω jω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 74

Παράδειγµα αντίστροφου συστήµατος Να βρεθεί η κρουστική απόκριση ενός LTI που είναι αντίστροφο του jω G e jω H e e 4 + e jω jω jω + e jω + e jω H e jω jω jω e e e 4 4 4 g u u 4 4 + ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 75

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ ΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 76

ΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο δίπλευρος µετασχηµατισµός z bilateral z-trasform ενός σήµατος διακριτού χρόνου x ορίζεται ως ακολούθως: + X z x z όπου η µιγαδική µεταβλητή z ονοµάζεται µιγαδική συχνότητα και είναι ίση µε z z e jω όπου ω είναι η πραγµατική συχνότητα. Κατά συνέπεια, ο Ζ είναι DTFT της ακολουθίας x z -. + + jω X z x z z x e DTFT z x ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 77

Περιοχή Σύγκλισης Περιοχή Σύγκλισης ΠΣ Regio Of Covergece - ROC είναι το σύνολο των τιµών της µεταβλητής z για το οποίο υπάρχει η Xz. + x z < Η σχέση z ή ze jω ορίζει το Μοναδιαίο Κύκλο Uit Circle στο µιγαδικό επίπεδο. Αν η Περιοχή Σύγκλισης περιέχει το Μοναδιαίο Κύκλο, τότε η Xz υπολογίζεται πάνω στο Μοναδιαίο κύκλο και ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου Xe jω αποτελεί ειδική περίπτωση του µετασχηµατισµού z Xz. X z j z e ω X e jω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 78

Ιδιότητες της Περιοχής Σύγκλισης - αν x είναι ακολουθία δεξιάς πλευράς: x0, <0 τότε η ΠΣ είναι η εξωτερική επιφάνεια ενός κύκλου z >a - αν x είναι ακολουθία αριστερής πλευράς: x0, >0 τότε η ΠΣ είναι η εσωτερική επιφάνεια ενός κύκλου z <b - αν x είναι αµφίπλευρη ακολουθία τότε η ΠΣ είναι η δακτυλιοειδής επιφάνεια a< z <b - αν x είναι ακολουθία πεπερασµένου µήκους: x0, << τότε η ΠΣ είναι ολόκληρο το µιγαδικό επίπεδο z εκτός ίσως από τα σηµεία z0 και z αν >0 τότε το σηµείο z0 δεν ανήκει στην ΠΣ αν <0 τότε το σηµείο z δεν ανήκει στην ΠΣ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 79

Ζευγάρια Μετασχηµατισµού z σήµα διακριτού χρόνου x µετασχηµατισµός z Xz περιοχή σύγκλισης δ z a u /-az - z > a -a u-- /-az - z < a a u az - /-az - z > a -a u-- az - /-az - z < a cosω 0 u -cosω 0 z - /-cos ω 0 z - +z - z > siω 0 u siω 0 z - /-cos ω 0 z - +z - z > ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 80

Απόδειξη ζευγών Ζ a u x + + + X z x z a z az 0 0 Περιοχή σύγκλισης: az - < z >α z az z a Αρα η ΠΣ είναι η εξωτερική επιφάνεια του κύκλου στο µιγαδικό επίπεδο µε ακτίνα ίση µε α. Επειδή ο µοναδιαίος κύκλος περιέχεται στην ΠΣ, υπάρχει ο DTFT της x. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 8

Εναλλακτικός τρόπος απόδειξης του ζέυγους Ζ µε χρήση ιδιοτήτων: + z x a u X z az z a Υπολογισµός του µετασχηµατισµού Ζ του u, Uz και εφαρµογή της ιδιότητας µετατόπισης στη συχνότητα: 0 u u δ U z z U z U z z a u az ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 8

Ιδιότητες Μετασχηµατισµού z ιδιότητα µετασχηµατισµού z σήµα διακριτού χρόνου x µετασχηµατισµός z Xz περιοχή σύγκλισης γραµµικότητα c x +c x c X z+c X z Rx Rx µετατόπιση στο χρόνο x- 0 z -0 Xz R x αντιστροφή στο χρόνο x- Xz - / R x µετατόπιση στη συχνότητα a x Xa - z a R x συνέλιξη στο χρόνο x * x X z X z R x R x µιγαδική συζυγία x* X*z* R x ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 83

Απόδειξη Ιδιοτήτων Μετασχηµατισµού z Γραµµικότητα + + + a x + a x z a x z + a x z + + Χρονική καθυστέρηση + + a x z a x z a X a X Χρονική αντιστροφή 0 0 0 x z z x z z X Z 0 0 x z x z X z ROC : a z b z b a ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 84

Μιγαδική συζυγία * jω * * jω Μετατόπιση στη συχνότητα * * X z x z x z e x z e x z X z * * * * Συνέλιξη a x z x a z X a z, ROC : a z < a< z * y x h h k x k k k x h k Y z h k x k z h k z x k z H z X z k k ROC Y z R R ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 85

Παράδειγµα συνέλιξης στο πεδίο Ζ ίνονται οι συναρτήσεις και ζητείται ο Ζ της συνέλιξης τους a u δ + δ x h a X z ROC : x a< z az H z az ROC < z h : 0 Y z X z H z az az Η ΠΣ της Y είναι όλο το επίπεδο Ζ. Γενικά, όταν εξουδετερώνεται ένας πόλος µε ένα µηδενικό της Υ, δηλ. όταν απλοποιείται ένας παράγοντας του αριθµητή µε ένα παράγοντα του παρονοµαστή, τότε η ΠΣ που προκύπτει είναι υπερσύνολο των ΠΣ των πολλαπλασιαστέων. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 86

Παράδειγµα συνέλιξης στο πεδίο Ζ ίνονται οι συναρτήσεις και ζητείται ο Ζ της συνέλιξης τους. Επιβεβαιώστε την ορθότητα της σχετικής ιδιότητας του µετασχηµατισµού Z. 3δ δ δ δ 3+ x x X z z X z z 3+ 6+ 6δ + δ δ X z X z z z z z Υπολογισµός της συνέλιξηςβάσει του ορισµού της: x * x x k x k 3 k k k k k + k + + δ δ δ δ k 6δ k δ k 3δ k δ k + 4δ k δ k δ k δ k + 6δ δ δ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 87

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 88

Παράδειγµα Να υπολογιστεί ο Ζ της ακολουθίας x a u x a u a u, z > a u, z > az a a z a Αντιστροφή στο χρόνο: a u a u, z > a + a z Παραγώγιση: a a z d d za x -z X z a u z z + dz dz a z a z f x Σηµείωση: Για την παράγωγο κλάσµατος ισχύει: g x f x + g f x g x g x ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 89

Παράδειγµα υπολογισµού της Xz από δεδοµένη ακολουθία x Έστω ότι δίνεται αριθµητικά η x. Τότε η Ζ υπολογίζεται άµεσα. Παράδειγµα <- - 0 3 4 5 >5 x 0 0 4 6 4 0 0 δ 4δ 6δ 4δ 3 δ 4 3 4 + 4 + 6 + 4 + x + + + + X z z z z z ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 90

Πόλοι και Μηδενικά Έστω Xz είναι ρητή συνάρτηση του z: XzBz/Az Οι ρίζες του Bz καλούνται µηδενικά zeros της Xz Οι ρίζες του Az καλούνται πόλοι poles της Xz Στο διάγραµµα πόλων-µηδενικών στο µιγαδικό επίπεδο τα µηδενικά συµβολίζονται µε το σύµβολο o και οι πόλοι µε το σύµβολο x Η Περιοχή Σύγκλισης δεν περιλαµβάνει τους πόλους ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 9

Υπολογισµός Πόλων και Μηδενικών X z 8 0 z zplaeb,a z z 8 0 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 9

Υπολογισµός Μετασχηµατισµού z z a z z x z X u a x + + + 0 0 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 93 a z ή az a z z az az > < + 0 αν

Παραδείγµατα ζευγών Ζ Επιβεβαιώστε τα παρακάτω ζεύγη Ζ 3δ + δ + δ + 3+ + x X z z z 9 9 0 k z x u u 0 δ k X z z, ROC z > z kπ j 0 0 k z k 0 k 0 Ρίζες του z : z e, k 0,,...,9 9 kπ j 0 e z 9 kπ k 0 j 0 k X z e z ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 94

Απόδειξη ζεύγους Ζ Χρήσιµο ζεύγος: a u az m m a u a u z a z a z m m + + m m m a z a z a z m m 0 a z a z az RoC : a z < z < a ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 95

Παραδείγµατα ζευγών Ζ 3 z 3z x u + 3 u X z + + z z z z ROC : z > z > 0 x u u u u + + 3 4 + + 3 4z 3 X z + z ROC : z < z > 3 z + ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 96

Σήµατα µε ίδιο Μετασχηµατισµό Z ιαφορετικά σήµατα µπορούν να έχουν την ίδια συναρτησιακή µορφή µετασχηµατισµού z µε διαφορετική Περιοχή Σύγκλισης ΠΣ. Αρα, για να βρούµε τον αντίστροφο Ζ πρέπει να δίνεται και η ΠΣ. 0.5 u, z < 0.5 0.5z u, z < z x 0.5 u u X z + 0.5z z µεπεριοχήσύγκλισης 0.5 u, z > 0.5 0.5z u, z > z x 0.5 u + u X z + 0.5z z µεπεριοχήσύγκλισης z > 0.5 z < 0.5< z < z > 0.5 z > z > ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 97

Θεώρηµα Αρχικής Τιµής 0... 0 0 0 0, 0, 0 x z x z x x z x z z x z X x z X ό x z z + + + + < Α + + τε τ ν ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 98 0... 0... 0 0 0, 0, 0 0 0 x x z x z x z z x z x z X x z X ό x z z + + + + + > Α + + τε τ ν

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Αν η Xz είναι ρητή συνάρτηση του z µε πόλους p k, k,,,n τότε για τον υπολογισµό του αντίστροφου µετασχηµατισµού z χρησιµοποιείται η µέθοδος ανάπτυξης της Xz σε άθροισµα µερικών κλασµάτων. X z B z A z M k 0 N k b k z a k z k k ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 99

Αν Ν>Μ και οι ρίζες του παρονοµαστή είναι απλές, τότε η ανάπτυξη της Xz σε άθροισµα µερικών κλασµάτων γίνεται ως εξής: p k z k k N k k k z X z p R z p R z X ] [ Αν Ν<Μ και οι ρίζες του παρονοµαστή είναι απλές, τότε οι συντελεστές C k υπολογίζονται εκτελώντας τη διαίρεση Bz/Az ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ 00 p k z k k N M k k k N k k k z X z p R z C z p R z X + ] [ 0