4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta savijanja. M = const, M y = M =0, T y = T =0, N=0

Čisto pravo savijanje To je slučaj kada je greda opterećena na krajevima simetrično samo spregovima sa momentima M (odnosno M y ), tj. spregovima koji leže u istoj ravni i savijaju gredu oko ose paralelne osi (ili y). Ravan yz (odnosno z) se naziva ravan savijanja grede. Ukoliko su ose i y glavne centralne ose inercije poprečnog preseka onda je to slučaj pravog savijanja grede. Čisto pravo savijanje je savijanje u jednoj od glavnih ravni inercije.

Čisto pravo savijanje Savijanje u jednoj od glavnih ravni inercije u ravni yoz

Čisto pravo savijanje

Čisto pravo savijanje

Pod dejstvom sprega M greda se deformiše tako da joj se gornja vlakna skraćuju a donja izdužuju. Vlakna koja ne menjaju dužinu, tj. njihova dilatacija je jednaka nuli, predstavljaju neutralnu površ grede. Svijena osa grede koja predstavlja presek neutralne površi sa ravni opterećenja - savijanja je elastična linija. Presek neutralne površi sa poprečnim presekom grede zove se neutralna osa.

Čisto pravo savijanje - primeri Čisto pravo savijanje na delu CD Čisto pravo savijanje na delu AB

Čisto pravo savijanje - primeri Čisto pravo savijanje na celoj konzoli

Čisto pravo savijanje - pretpostavke Ravni poprečni preseci ostaju pri deformaciji štapa ravni i upravni na savijenu osu štapa (Bernoullijeva hipoteza ravnih preseka). Materijal štapa se smatra homogenim i izotropnim. Stanje napona je jednoosno, tj. σ z 0, ostale komponente napona su jednake nuli (τ z =0, τ zy =0) Podužna vlakna ne deluju jedna na druge, tj. zanemaruju se naponi između podužnih vlakana. Normalna naprezanja proporcionalna su deformacijama - Hookeov zakon.

Čisto pravo savijanje - elastična linija A 1 B 1 - zategnuta vlakna A B - pritisnuta vlakna

Čisto pravo savijanje - neutralna površ

Čisto pravo savijanje dilatacija i napon Da bismo odredili veličinu napona u proizvoljnoj tački nekog vlakna na rastojanju y od neutralne ose, posmatraćemo deformaciju elementa CC 1 DD 1 ρ - poluprečnik krivine elastične linije

Čisto pravo savijanje dilatacija i napon Iz sličnosti površina: sledi: Dilatacija vlakna EE 1, na rastojanju y od neutralne ose, je E E 1 EE1 E2E 1 E2E 1 ε = = = EE E E O O 1 2 1 O 1 E2E 1 2 1 1 2 1 AO O 1 E E : O O = E O : O A = y : ρ y ε z = ρ y ε = z σ E σ z = ε z E = E ρ z z Hukov zakon: E σ = y ρ

Čisto pravo savijanje raspodela napona E y σ z = ρ Normalni napon σ z je linearno zavisan od rastojanja y od ose oko koje se vrši savijanje (osa ) (posledica Bernoulijeve hipoteze ravnih preseka). Normalni napon je linearno raspoređen duž ose koja je upravna na osu oko koje se vrši savijanje a konstantan duž pravca koji je sa tom osom paralelan.

Čisto pravo savijanje raspodela napona E y σ z = ρ Dijagram i aksonometrijski prikaz raspodele normalnog napona σ z duž poprečnog preseka grede pravougaonog poprečnog preseka

Čisto pravo savijanje napon i dilatacija y ε = z ρ E y σ z = ρ

Čisto pravo savijanje Sile u preseku Greda je opterećena momentima M na krajevima. U proizvoljnom poprečnom preseku grede, dejstvo uklonjenog dela grede biće nadoknađeno unutrašnjim silama (naponima) na presečenoj površini. Posmatra se deo grede opterećem je momentom M na levom kraju, kao i paralelnim silama σ z da koje deluju po površini A poprečnog preseka. Stanje napona je jednoosno, tj. σ z 0, ostale komponente napona su jednake nuli (τ z =0, τ zy =0).

Čisto pravo savijanje Sile u preseku Jednačine ravnoteže posmatranog dela grede napregnute na čisto savijanje: Z = 0 M = 0 M = 0 y

Čisto pravo savijanje Uslovi ravnoteže Prva jednačina ravnoteže posmatranog dela grede glasi: E E Z = 0 σ da = y da = y da = 0 S S =0 z ρ ρ A A A neutralna osa prolazi kroz težište poprečnog preseka

. Čisto pravo savijanje Uslovi ravnoteže Treća jednačina ravnoteže posmatranog dela grede glasi: E E M = 0 σ da = y da = y da = 0 y z ρ ρ A A A I y Iy = yda = 0 A ose i y su ujedno i glavne centralne ose inercije

Čisto pravo savijanje Uslovi ravnoteže Druga jednačina ravnoteže posmatranog dela grede glasi: M = 0 yσ da M = 0 z A E ρ A A E y yda M = 0 ρ y 2 da = M E 1 I = M = ρ ρ krivina grede pri savijanju M EI krutost grede na savijanje

Čisto pravo savijanje Izraz za normalni napon pri čistom savijanju Proizvod EI 1 = ρ M EI se naziva krutost grede na savijanje. Ako je I =const, tj. EI =const, kako je i M =const 1 M = = const ρ EI krivina je konstantna, tj. pri čistom savijanju elastična linija savijene grede je krug.

Čisto pravo savijanje Izraz za normalni napon pri čistom savijanju Normalni napon pri čistom savijanju oko ose : M σ z = = = ρ EI E y E y y Izraz za normalni napon pri čistom savijanju oko ose. σ = z Ukoliko bi čisto savijanje bilo u odnosu na drugu centralnu osu inercije - osu y, normalni napon bi se računao korišćenjem izraza M y I M I σ = z M y I y

σ = z M y I 1. U proizvoljnom preseku grede je pa normalni napon M I = const linearno zavisi od rastojanja y, tj. normalni napon se linearno menja po visini preseka u zavisnosti od rastojanja vlakna od ose. 2. U tačkama na osi (y=0), normalni napon je jednak nuli (σ=0); ove tačke u poprečnom preseku čine neutralnu osu. 3. Tačke podjednako udaljene od neutralne ose imaju istu vrednost normalnog napona.

Čisto pravo savijanje Znak normalnog napona Normalni napon u donjem delu poprečnog preseka (ispod ose ) istog je znaka kao moment savijanja u tom preseku, a sa druge strane preseka (iznad ose ) znak je suprotan. Ako je u nekom preseku grede moment savijanja pozitivan, u donjem delu tog preseka biće i napon savijanja pozitivan (zatežući), a u gornjem delu negativan (pritiskajući). Pozitivan normalni napon (kao vektor) deluje od preseka, a negativan ka preseku. Neutralna linija deli poprečni presek na dva dela. U jednom delu normalni napon ima pozitivan znak, a u drugom negativan. M M Dijagram normalnog napona za proizvoljan presek za M>0.

Čisto pravo savijanje - Otporni moment Zbog linearne zavisnosti normalnog napona od rastojanja y od ose oko koje se vrši savijanje (osa ), normalni napon dostiže ekstremne vrednosti na gornjim i donjim vlaknima tačkama koje su na najvećem rastojanju od neutralne ose, dok je na neutralnoj osi njegova vrednost jednaka nuli. Označimo ekstremne vrednosti normalnog napona sa σ z1 i σ z2 :

Čisto pravo savijanje - Otporni moment,,.. i σ = M e 1 z 1 I σ = M e 2 z 2 I W 1 = I e 1 W 2 = I e 2 Otporni moment preseka za vlakno 1 i 2 Dimenzija otpornog momenta L 3 (cm 3 )

Čisto pravo savijanje - Otporni moment. σ = M 1 z W1 σ = M 2 z W2 Ako je presek simetričan u odnosu na neutralnu osu, tada je e 1 =e 2 =e, W 1 = W 2 =W pa je: σ = ± M 1,2 z W

Čisto pravo savijanje - Dimenzionisanje Najveći napon po apsolutnoj vrednosti nastaje u vlaknu koje je na najvećem rastojanju od neutralne ose, pa se zbog toga za određivanje najvećeg napona koristi izraz za najmanji otporni moment: W 1 = I e 1 W = W = Dimenzionisanje poprečnog preseka štapa koji je napregnut na čisto savijanje vrši se na osnovu uslova da najveća vrednost normalnog napona po apsolutnoj vrednosti ne sme da prekorači vrednost dozvoljenog napona σ doz. σ = M M y = σ M W,potr. σ ma ma doz I W min I y ma doz

Čisto pravo savijanje - Otporni moment Primer 1: Odrediti ekstremne vrednosti normalnog napona grede pravougaonog poprečnog preseka. I = bh 12 I 2 W 12 1 = W2 = = = h h 6 3 bh 2 2 3 bh M M 6M σ = ± = ± = ± 1,2 z 2 2 W bh bh 6

Čisto pravo savijanje - Otporni moment Primer 2: Odrediti ekstremne vrednosti normalnog napona grede kružnog poprečnog preseka. I = 4 r π 4 I 3 W 4 1 = W2 = = = r r 4 r 4 π r π M M 4M σ = ± = ± = ± 1,2 z 3 3 W r π r π 4

Čisto pravo savijanje - Otporni moment

Čisto pravo savijanje - Dimenzionisanje Pri dimenzionisanju grede, oblik poprečnog preseka treba izabrati tako da se što manjom površinom preseka postigne što veći otporni moment. To se može postići, na primer, udaljavanjem delova poprečnog preseka od neutralne ose.

Primer Odrediti normalni napon u naznačenom preseku date proste grede Reakcije veza: X = 0 H = 0 1 Moment inercije preseka: A Y = 0 V + V 5 6 = 0 A A M = 0 V 6 5 6 3 = 0 V = 15kN A A A 3 3 2 30 25 2 I = + 2 + 25 2 16 = 30133,33cm 12 12 2 4

Sile u preseku a a i normalni naponi N = X = 0 T = Y = 0 M = M = 15 3 15 1,5 = 22,5 knm L M 22,5 10 σ = σ = = = = 2 ma D 2 yd 17 1,27 kn / cm 12,7 MPa I 30133,33 M 22,5 10 2 2 σ B = yb = ( 15) = 1,12kN / cm = 11,2MPa I 30133,33

M 22,5 10 σ = σ = = = = ma D 2 2 yd 17 1, 27 kn / cm 12,7 MPa I 30133,33 B 2 M 22,5 10 2 yb ( 15) 1,12kN / cm I 30133,33 11, 2MPa σ = = = =