BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15

Sadržaj Čisto pravo savijanje 1 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje 2 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 3 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka

Sadržaj Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje 1 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje 2 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 3 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka

Slobodno i vezano dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Dimenzionisanje poprečnog preseka podrazumeva usvajanje oblika i dimenzija poprečnog preseka, uključujući i kvalitet betona, kao i vrstu, kvalitet, količinu i raspored armature u preseku, kako podužne, tako i poprečne (uzengija) Jednostruko armirani pravougaoni preseci Problem dimenzionisanja obuhvata dva osnovna slučaja: Slobodno dimenzionisanje preseka Vezano dimenzionisanje preseka

Slobodno i vezano dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Slobodno dimenzionisanje podrazumeva usvajanje oblika i dimenzija betonskog preseka, kao i određivanje potrebne količine armature Projektant slobodno bira vrstu loma preseka, odn. usvaja vrednosti dilatacija u betonu i armaturi Vezano dimenzionisanje podrazumeva određivanje potrebne količine armature za poznate dimenzije poprečnog preseka (iz nekih drugih uslova su poznate dimenzije preseka) Kod vezanog dimenzionisanja veličina dilatacija u betonu i armaturi je uslovljena geometrijskim i mehaničkim karakteristikama

Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci U slučaju slobodnog dimenzionisanja poznate su vrednosti momenata savijanja M i za odgovarajuća eksploataciona opterećenja (i = g, p, ). Broj nepoznatih veličina b, d, A a je veći od broja jednačina (dva uslova ravnoteže) Zbog toga se usvaja širina preseka b Za uobičajene dimenzije AB greda, širina poprečnog preseka se bira u granicama 25-50 cm, obično se usvaja b = 30cm Izbor širine zavisi od uslova pravilnog smeštanja armature

Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Dilatacije u betonu i zategnutoj armaturi ε b, ε a biraju se slobodno, uz uslov da barem jedna od njih dostigne graničnu vrednost: (1) ε b = 3.5 i 3.0 ε a < 10 (2) 0 ε b < 3.5 i ε a = 10 (3) ε b = 3.5 i ε a = 10 Ne vodi se (formalno, u pisanju) računa o znacima napona i dillatacija Od izbora dilatacija zavisi visina poprečnog preseka d

Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Na primer, ako se usvoji manja dilatacija u armaturi (ε a < 10 ), a maksimalna u betonu (ε b = 3.5 ), povećava se s, odn. visina pritisnute zone u betonu x Time se dobija i veća sila pritiska u betonu D bu, a iz uslova ravnoteže normalnih sila, veća je i sila u zategnutoj armaturi Z au = D bu Kako je M u zadata veličina, a unutrašnje sile sprega su veće, onda mora da bude manji krak sprega unutrašnjih sila z Time dolazi i do smanjenja visine preseka

Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Na taj način, izborom različitih dilatacija ε b i ε a, preseci različitih visina imaju istu graničnu nosivost Konstantan spoljašnji granični momenat savijanja može da se prihvati presecima različitih visina Ipak, smanjenje visine preseka, na račun povećanja armature bitno utiče na granična stanja upotrebljivosti (na veličnu ugiba, pojavu prslina) Ako ima više zategnute armature u preseku, postoje i problemi oko smeštaja armature i pravilnog ugrađivanja Za dilatacije ε a [7 10] dobijaju se tehnički i ekonomski opravdane dimenzije preseka i količine armature

Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci U zavisnosti od izabranih dilatacija određuju se parcijalni koeficijenti sigurnosti, pa se računa granični momenat savijanja: izabrana ε a γ ui M u = i γ ui M ui Usvaja se kvalitet materijala: marka betona i vrsta čelika poznate su računske čvrstoće f B i σ v Za usvojene dilatacije ε b i ε a iz tablica se određuju koeficijenti k i µ

Tablice - lom po betonu ε b = 3.5 Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje

Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Tablice - lom po armaturi ε a = 10.0

Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Potrebna statička visina h se određuje iz izraza: M u h = k b f B Potrebna površina armature se određuje iz izraza: A a = µ b h = µ b h σ v f B

Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Na osnovu sračunate površine armature A a bira se prečnik i broj profila Raspored armature se vrši tako što se poštuje minimalan razmak između šipki, koji omogućava dobro ugrađivanje betona i odgovarajuće zaštitne slojeve, uključujući i usvojene uzengije Izračuna se rastojanje a težišta zategnute armature do zategnute ivice preseka i dobija se ukupna visina preseka d = h + a Konačna dimenzija d se usvaja zaokruživanjem (na gore!) na cele santimetre (odn. na okruglu cifru )

Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Mehanički koeficijent armiranja µ zavisi samo od dilatacija u betonu i čeliku: µ = α b s Takođe, iz uslova ravnoteže normalnih sila dobija se µ = α b s = A a1 b h σ v f B = µ σ v f B gde je µ geometrijski koeficijent armiranja: µ = A a1 b h

Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Za grede je definisan minimalan koeficijent armiranja µ min : µ = A { a1 0.25% GA b h µ min gde je µ min = 0.20% RA Ni u jednom preseku AB grednog nosača ne sme da bude manje armature od minimalno propisane

Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 1 Odrediti visinu preseka i potrebnu količinu armature za presek pravougaonog oblika na koji deluju momenti savijanja usled stalnog (M g ) i povremenog (M p ) opterećenja. Dati su podaci: - momenti savijanja... M g = 60 knm, M p = 80 knm - širina poprečnog preseka... b = 25 cm - kvalitet materijala... MB 30, GA 240/360

Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 1 Granični momenat savijanja M u = 1.6 60 + 1.8 80 = 240 knm Za usvojeni materijal betona i čelika je: MB 30 f B = 2.05 kn/cm 2 RA 240/360 σ v = 24.0 kn/cm 2 Usvojene dilatacije u betonu i čeliku (simultani lom) ε b /ε a1 = 3.5/10 k = 2.311, µ = 20.988%, ζ b = 0.892

Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 1 Potrebna statička visina preseka M u 240 10 2 h = k = 2.311 = 50.0 cm b f B 25 2.05 Potrebna količina zategnute armature A a = µ b h f B 25 50 = 20.988 2.05 = 24.41 cm2 100 σ v 100 24

Slobodno dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 1 Alternativno, potrebna površina armature je A a = M u z σ v = M u ζ b h σ v = Usvojena armatura: 6Φ22 (22.80 cm 2 ) 240 10 2 = 22.42 cm2 0.892 50 24 Za širinu grede b=25cm ova armatura ne može da se smesti u jedan red

Usvojene dimenzije grede - primer 1 Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje

Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Alternativne dimenzije za različita granična stanja

Vezano dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Vezano dimenzionisanje podrazumeva određivanje potrebne količine armature za poznate dimenzije poprečnog preseka Kod vezanog dimenzionisanja veličina dilatacija u betonu i armaturi je uslovljena geometrijskim i mehaničkim karakteristikama Znači, kod vezanog dimenzionisanja poznato je: - momenti savijanja od eksploatacionih opterećenja M i - dimenzije poprečnog preseka b, d - usvojen kvalitet materijala f B, σ v Nepoznato je: - količina armature u preseku A a - stanje dilatacija u preseku s

Vezano dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Pretpostavlja se da je dilatacija u armaturi između 3 i 10 (naravno, zatezanje), pa se izračuna granični momenat savijanja M u (usvajaju se minimalne vrednosti γ ui ) Pretpostavlja se veličina a (rastojanje težišta zategnute armature od zategnute ivice preseka)... uobičajeno je a 0.1 d, pa se odredi statička visina h = d a Sa određenom statičkom visinom h izračunava se koeficijent k: k = h Mu iz tablica µ b f B

Vezano dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Iz tabela za dimenzionisanje se, na osnovu izračunatog k odredi mehanički koeficijent armiranja µ, pa se očitaju dilatacije ε b, ε a Kontroliše se da li su usvojene odgovarajuće vrednosti parcijalnih koeficijenata sigurnosti (provera da li je ε a > 3 ) Određuje se potrebna količina zategnute armature iz izraza: A a = µ b h f B σ v ili A a = M u z σ v = M u ζ b h σ v

Vezano dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci Usvaja se prečnik armature i dobijeni broj profila se raspoređuje u poprečnom preseku, vodeći računa o pravilnom rasporedu Sračunava se stvarni položaj težišta zategnute armature a, a time i stvarna statička visina h, pa se poredi sa pretpostavljenom U slučaju većeg odstupanja, proračun se ponavlja U slučju da je dilatacija u armaturi ε a < 3, presek se dvojno armira

Vezano dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 2 Odrediti potrebnu površinu armature za presek zadatog pravougaonog oblika na koji deluje granični momenat savijanja M u. Dati su podaci: - granični momenat savijanja... M u = 300 knm - dimenzije poprečnog preseka... b/d = 40/60 cm - kvalitet materijala... MB 30, RA 400/500

Vezano dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 2 Za usvojeni materijal betona i čelika je: MB 30 f B = 2.05 kn/cm 2 RA 240/360 σ v = 24.0 kn/cm 2 Za pretpostavljeno rastojanje težišta zategnute armature do zategnute ivice a 1 = 7cm, statička visina preseka je h = d a 1 = 60 7 = 53 cm

Vezano dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 2 Koeficijent k je dat sa: k = h Mu b f B = 53 300 10 2 40 2.05 = 2.711 Iz tablica se dobija: za ε a = 10, najbliža vrednost za k=2.711 je k=2.765, što odgovara dilataciji u betonu ε b = 2.425 Za te dilatacije se očitava i µ = 14.152%, kao i ζ b = 0.924

Vezano dimenzionisanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Jednostruko armirani pravougaoni preseci - primer 2 Potrebna količina zategnute armature A a = µ b h f B 40 53 = 14.152 2.05 = 15.38 cm2 100 σ v 100 40 Alternativno, potrebna površina armature je A a = M u z σ v = M u ζ b h σ v = Usvojena armatura: 6RΦ19 (17.01 cm 2 ) 300 10 2 = 15.31 cm2 0.924 53 40

Usvojena armatura grede - primer 2 Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje

Sadržaj Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje 1 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje 2 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 3 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka

Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvostruko armirani preseci U pritisnutu zonu betonskog preseka uvek se postavlja montažna (konstruktivna) armatura Smisao pritisnute armature je da poveže uzengije i da poveća žilavost pritisnute zone betona Prema tome, i jednostruko armirani preseci, sa računskom armaturom samo u zategnutoj zone preseka, imaju armaturu i u pritisnutom delu Međutim, pritisnuta konstruktivna armatura je relativno manjih preseka, pa se, i pored ove armature, preseci tretiraju kao jednostruko armirani

Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci Dvostruko (dvojno) armiranje se primenjuje u slučajevima kada jednostruko armiran presek nije u stanju da prihvati granični momenat savijanja sa dilatacijom u armaturi ε a 3 Kod dvostruko armiranih preseka, osim armature u zategnutoj zoni A a = A a1, računa se i armatura A a2 u pritisnutoj zoni Računska armatura u pritisnutoj zoni zahteva i dodatnu zategnutu armaturu A a1 kako bi uslovi ravnoteže bili zadovoljeni

Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci Granična vrednost momenta nosivosti preseka na savijanje pri punom iskorišćenju nosivosti jednostruko armiranog preseka, odn. nosivost preseka pri dilatacijama ε b = 3.5 i ε a = 3 je označena sa M bu : M bu = ( ) h 2 k b f B Vrednosti k i µ 1 određuju se iz tablica za dilatacije koje želimo da zadržimo: ε b = 3.5 i ε a = 3

Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci Ako je granični momenat savijanja spoljašnjih sila M u veći od momenta nosivosti jednostruko armiranog preseka M bu : M u = M u M bu > 0 onda je potrebno dvojno armiranje Razlika momenata M u se prihvata spregom unutrašnjih sila D au i Z au, odn. pritisnutom i dodatnom zategnutom armaturom

Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci Usvaja se da su obe armature ušle u prag tečenja: ε a2 ε q σ a2 = σ q = σ v ε a1 ε v σ a1 = σ v Čelik se ponaša praktično isto i pri zatezanju i pri pritisku

Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dijagram napon - dilatacija za armaturni čelik

Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci Prema tome, zategnuta armatura koja odgovara momentu nosivosti jednostruko armiranog preseka sa punim iskorišćenjem je data sa A a1 = µ 1 b h f B σ v ili A a1 = M bu z σ v = M bu ζ b h σ v gde je M bu momenat nosivosti jednostruko armiranog preseka M bu = ( ) h 2 k b f B Vrednosti k, µ 1, kao i ζ b ε b = 3.5 i ε a = 3 određuju se iz tablica za dilatacije

Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci Razlika momenata M u = M u M bu se prihvata spregom unutrašnjih sila D au i Z au, odn. pritisnutom i dodatnom zategnutom armaturom: M u = D au (h a 2 ) D au = M u (h a 2 ) Prema tome, potrebna površina pritisnute armature A a2 je data sa A a2 = D au M u = σ q σ v (h a 2 )

Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci Kako je, iz uslova ravnoteže unutrašnjih sila D au = Z au, to je potrebna dodatna zategnuta armatura data sa A a1 = M u σ v (h a 2 ) Prema tome, ukupna površina zategnute armature kod dvojno armiranog pravougaonog preseka je data sa A a1 = A a1 + A a1 = µ 1 b h f B + M u σ v σ v (h a 2 )

Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci Alternativno, ukupna zategnuta armatura može da se odredi i prema izrazu A a1 = M bu ζ b h σ v + M u σ v (h a 2 ) Potrebna pritisnuta armatura je A a2 = M u σ v (h a 2 )

Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje Dvostruko armirani pravougaoni preseci

Sadržaj Čisto pravo savijanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 1 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje 2 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 3 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka

Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet AB elementi opterećeni ekscentričnom normalnom silom pritiska, sa napadnom tačkom u osi simetrije, nalaze se u oblasti velikog ekscentriciteta ako se neutralna linija nalazi unutar preseka Znači, jedan deo preseka je zategnut, a drugi je pritisnut To je složeno savijanje, odn. istovremeni uticaj normalnih sila i momenata savijanja Normalna sila može da bude sila pritiska ili sila zatezanja

Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Potrebne veličine za dimenzionisanje pravougaonih preseka određuju se iz uslova ravnoteže na isti način kao i u slučaju čistog pravog savijanja Poznati su eksploatacioni uticaji M i i N i (i = g, p, ), odn. momenti savijanja i normalne sile za posmatrane slučajeve opterećenja Sile u preseku M i i N i su određene proračunom nosača na standardni način, pri čemu je osa nosača geometrijsko mesto težišta poprečnih preseka Odrede se granični uticaji (parcijalni koeficijenti su za ε a 3 ): M u = γ ui M i N u = γ ui N i

Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Ekscentrično pritisnuti elementi - proračunski model

Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Postavljaju se dva uslova ravnoteže, spoljašnjih sila M u i N u, kao i unutrašnjih sila D bu i Z au (rezultanta napona pritisaka u betonu i napona zatezanja u armaturi) Za redukcionu tačku u ravnoteži spregova bira se težište zategnute armature: N = 0 : Dbu Z au N u = 0 Ma1 = 0 : D bu z M au = 0 pri čemu je momenat spoljašnjih sila za težište zategnute armature dat sa ( ) d M au = M u + N u 2 a 1 (1)

Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Transformisanjem jednačina (1) na isti način kao i za slučaj čistog savijanja, dolazi se do analognih izraza Razlika je u tome što se umesto M u u svim izrazima kod složenog savijanja javlja M au Sve tabele koje se koriste za dimenzionisanje u slučaju čistog savijanja koriste se i u slučaju složenog savijanja Kao i kod čistog savijanja, u dimenzionisanju preseka za slučaj složenog savijanja javljaju se slučajevi - slobodnog dimenzionisanja - vezanog dimenzionisanja

Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Međutim, postupak slobodnog dimenzionisanja je iterativan, jer se u izrazu za M au pojavljuje i nepoznata visina preseka d Širina poprečnog preseka se, u uobičajenim slučajevima, usvaja u granicama od 30 do 50cm Za usvojene dilatacije u betonu i armaturi iz tabela se očitaju vrednosti koeficijenta k i mehaničkog procenta armiranja µ 1 Pošto visina preseka d nije poznata, usvaja se, u prvoj iteraciji, da je M au = M u

Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Potrebna statička visina u prvoj iteraciji h (1) određuje se iz izraza h (1) M u = k b f B Da bi se odredila visina preseka u prvoj iteraciji, prema relaciji d (1) = h (1) + a 1, pretpostavlja se da je rastojanje težišta zategnute armature do zategnute ivice preseka a 1 približno a 1 0.1 d Prema tome, visina preseka u prvoj iteraciji je d (1) = h (1) + 0.1 d (1) d (1) 1.1 h (1)

Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Sa tom visinom se određuje momenat spoljašnjih sila za težište zategnute armature: ( ) d (1) M au = M u + N u 2 a 1 Sa ovim se određuje statička visina preseka u drugoj iteraciji: h (2) M au = k d (2) = h (2) + a 1 b f B Ukoliko se dobijena vrednost d (2) razlikuje od prethodne vrednosti d (1) za više od 1cm, postupak se ponavlja do konvergencije

Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Kada se postigne zadovoljavajuća tačnost za visinu preseka d, potrebna površina armature se određuje iz izraza A a1 = µ 1 b h f B σ v N u σ v ili A a1 = M au z σ v N u σ v (2) Mehanički koeficijent armiranja µ 1 dobijen je iz tablica, kao i koeficijent k, za usvojene dilatacije ε a i ε b Prvi član u izrazu za armaturu A a1 identičan je kao i izraz za potrebnu armaturu u slučaju čistog savijanja Drugi član u izrazu za armaturu N u /σ v pretstavlja smanjenje površine zategnute armature zbog napona pritisaka koje normalna sila pritiska N u unosi u presek

Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet U slučaju vezanog dimenzionisanja poznato je: - statički uticaji (M i, N i )... sračunato je - kvalitet materijala (f B, σ v )... usvojeno je - dimenzije poprečnog preseka (b, d) Nepoznato je: - površina armature (A a ) - stanje dilatacija (s) Na osnovu procenjenog rastojanja težišta zategnute armature a 1 određuje se statička visina preseka h i sračunava granični momenat savijanja za težište zategnute armature M au

Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Sa određenim M au i statičkom visinom h, izračunava se koeficijent k: k = h M au ε b, ε a1, µ 1 b σ v Potrebna površina armature se određuje iz izraza (2): A a1 = µ 1 b h f B σ v N u σ v ili A a1 = M au z σ v N u σ v gde je z = ζ b h 0.9 h krak unutrašnjih sila D bu i Z au

Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Na osnovu dobijene potrebne površine zategnute armature usvoji se prečnik i broj šipki i raspoređuje se u poprečnom preseku, vodeći računa o pravilnom rasporedu Odredi se stvarni položaj težišta zategnute armature i stvarna statička visina Stavrna statička visina se poredi sa pretpostavljenom i u slučaju odstupanja (većeg od 5-10%) proračun se ponavlja sa tačnijom statičkom visinom

Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armiranje preseka Ako se dobije da je ε a < 3, presek se dvojno armira, isto kao i u slučaju čistog savijanja Za usvojene dilatacije u betonu i armaturi ε b = 3.5 i ε a1 = 3 iz tablica se očitaju vrednosti k i µ 1 Sa ovim se izračunava moment nosivosti jednostruko armiranog preseka M abu : M abu = ( ) h 2 k b f b

Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armiranje preseka Granični momenat koji treba da prihvate pritisnuta i dodatna zategnuta armatura M au je dat sa M au = M au M abu Ukupna površina zategnute armature (osnovne, koja odgovara nosivosti jednostruko armiranog preseka i dodatne) je data sa A a1 = µ 1 b h f B + M au σ v σ v (h a 2 ) N u σ v

Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armiranje preseka Alternativno, ukupna površina zategnute armature je data sa A a1 = M au + M au z σ v σ v (h a 2 ) N u σ v Potrebna površina pritisnute armature je data sa A a2 = M au σ v (h a 2 )

Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Ekscentrično pritisnuti elementi - dvojno armiranje

Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Ekscentrično pritisnuti elementi - veliki ekscentricitet Dvojno armiranje preseka - usvajanje armature U zavisnosti od dobijenih površina pritisnute i ukupne zategnute armature: 1 A a2 A a1... i zategnuta i pritisnuta armatura se usvajaju u skladu sa dobijenim površinama 2 A a1 A a2 1.5 A a1... obe zone se armiraju simetrično sa srednjom vrednošću zbira površina 3 A a2 > 1.5 A a1... presek se armira simetrično, ali se površina armature određuje primenom dijagrama interakcije M N

Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet - primer 3 Odrediti potrebnu površinu armature za presek zadatog pravougaonog oblika na koji deluju sile u preseku usled stalnog i povremenog opterećenja. Dati su podaci: - stalno opterećenje... M g = 485 knm, N g = 600 kn - povremeno opterećenje... M p = 680 knm, N p = 800 kn - dimenzije poprečnog preseka... b/d = 40/90 cm - kvalitet materijala... MB 40, RA 400/500

Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet - primer 3 Za usvojeni materijal betona i čelika je: MB 40 f B = 25.5 MP a = 2.55 kn/cm 2 RA 400/500 σ v = 400 MP a = 40.0 kn/cm 2 Granični uticaji M u i N u (u odnosu na težište) M u = 1.6 M g + 1.8 M p = 2000 knm N u = 1.6 N g + 1.8 N p = 2400 kn

Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet - primer 3 Za pretpostavljeno rastojanje težišta zategnute armature do zategnute ivice a 1 = 8cm, statička visina preseka je h = d a 1 = 90 8 = 82 cm Granična vrednost spoljašnjeg momenta savijanja u odnosu na težište zategnute armature: ( ) d M au = M u + N u 2 a 1 = 2888 knm

Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet - primer 3 Bezdimenzionalni koeficijent k je k = h = Mau b f B 82 2888 10 2 40 2.55 = 1.541 Iz tablica se za k = 1.541 očitava: ε b = 3.5, kao i ε a = 1.10 Kako je ε a = 1.10 < 3.0, presek se dvojno armira Iz tablica se, za ε b = 3.5 i ε a = 3.0, očitava: k = 1.719 i µ = 43.589%

Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet - primer 3 Granična nosivost jednostruko armiranog preseka za ε b = 3.5 i ε a = 3.0 tako da se dobija M abu = M abu = ( ) h 2 k bf B ( ) 0.82 2 0.40 25.5 10 3 = 2321 knm 1.719

Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet - primer 3 Razlika u graničnim momentima: M au = M u M abu = 2888 2321 = 567 knm se pokriva spregom pritisnute i dodatne zategnute armature Uz pretpostavku da je rastojanje težišta pritisnute armature do pritisnute ivice preseka jednako a 2 = 5cm, pritisnuta armatura je A a2 = M au 567 102 = = 18.41 cm2 σ v (h a 2 ) 40 (82 5)

Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet - primer 3 Ukupna površina zategnute armature je odnosno, A a1 = µ 1 b h f B + M au σ v σ v (h a 2 ) N u σ v A a1 = 43.589 100 40 82 2.55 40 + 18.41 2400 40 = 49.55 cm2 Prema tome, površine pritisnute i ukupne zategnute armature su: A a2 = 18.41 cm 2 A a1 = 49.55 cm 2

Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet - primer 3 Kako je A a2 < A a1, obe zone se armiraju prema izračunatim površinama armature Usvaja se sledeća armatura: zategnuta armatura: A a1 = 49.55 cm 2... usvojeno 8RΦ28 (49.26 cm 2 ) pritisnuta armatura: A a2 = 18.41 cm 2... usvojeno 3RΦ28 (18.47 cm 2 )

Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Usvojeno armiranje dvojno armiranog preseka

Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet U slučaju ekscentričnog zatezanja važe svi izrazi kao i za slučaj ekscentričnog pritiska Umesto pozitivne sile pritiska N u prikazane relacije sila zatezanja Z se unosi sa negativnim znakom Tako, na primer, granični momenat za težište zategnute armature, za ekscentrično zatezanje, dat je sa ( ) d M au = M u Z u 2 a 1

Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Statička visina preseka se određuje iz relacije M au h = k b f B dok se potrebna površina zategnute armature odrđuje iz izraza A a1 = µ 1 b h f B σ v + Z u σ v ili iz relacije A a1 = M au z σ v + Z u σ v

Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Veliki ekscentricitet (sila zatezanja) - primer 4 Odrediti potrebnu površinu armature za presek zadatog pravougaonog oblika na koji deluju granični momenat M u i sila zatezanja Z u. Dati su podaci: - granični uticaji... M u = 770 knm, Z u = 720 kn - dimenzije poprečnog preseka... b/d = 35/70 cm - kvalitet materijala... MB 30, RA 400/500

Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Veliki ekscentricitet (sila zatezanja) - primer 4 Za usvojeni materijal betona i čelika je: MB 30 f B = 20.5 MP a = 2.05 kn/cm 2 RA 400/500 σ v = 400 MP a = 40.0 kn/cm 2 Pretpostavlja se rastojanje težišta zategnute armature do zategnute ivice: a 1 = 0.1 d = 7 cm Statička visina preseka h = d a 1 = 70 7 = 63 cm

Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Veliki ekscentricitet (sila zatezanja) - primer 4 Granični momenat u odnosu na težište zategnute armature: M au = M u Z u ( d ( ) 0.70 2 a 1) = 770 720 2 0.07 Dobija se M au = 568.4 knm Koeficijent k je jednak: k = h = Mau b f B 63 568.4 10 2 35 2.05 = 2.238

Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Veliki ekscentricitet (sila zatezanja) - primer 4 Za k = 2.238 iz tablica se očitava ε b /ε a = 3.5/9.05, kao i µ 1 = 22.576% i ζ b = 0.884 Potrebna površina zategnute armature Zamenom vrednosti se dobija A a1 = 22.576 A a1 = µ 1 b h f B σ v + Z u σ v 35 70 100 2.05 40 + 720 = 43.51 cm2 40

Vezano dimenzionisanje Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet Veliki ekscentricitet (sila zatezanja) - primer 4 Alternativno, potrebna površina zategnute armature može da se odredi iz izraza A a1 = M au z σ v + Z u σ v = Usvaja se 9RΦ25 (44.18 cm 2 ) 568.4 102 0.884 63 40 + 720 = 43.52 cm2 40

Prikaz usvojenog armiranja Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet

Sadržaj Čisto pravo savijanje Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka 1 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje 2 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 3 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka

Grede T preseka Čisto pravo savijanje Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T preseka - opšte napomene U betonskim konstrukcijama, posebno u zgradarstvu, veoma česte su grede T ili Γ preseka Tipičan primer su AB ploče oslonjene na AB grede (monolitno izvedene) Uobičajeno je da su ploče iznad greda (mada ploče mogu da budu i okačene o grede) Takvi elementi se izvode u isto vreme i pretstavljaju monolitnu celinu Ukoliko su ploča i neki deo grede ispod ploče u pritisnutoj oblasti, onda se greda i odgovarajući deo ploče posmatraju kao grede T preseka

Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T preseka - opšte napomene Ukoliko je neki deo grede ispod ploče u pritisnutoj oblasti, onda se greda posmatra kao standardna greda pravougaonog preseka Kod tavanica koje čine AB ploče oslonjene na sistem greda, obično u dva ortogonalna pravca, na mestu ukrštanja greda nalaze se AB stubovi Delovi greda u polju, dakle u srednjim zonama između oslonačkih stubova, pretstavljaju grede T preseka (zategnuta je donja zona) Delovi istih greda u zonama iznad stubova pretstavljaju grede pravougaonog preseka (zategnuta je gornja zona)

Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T preseka - opšte napomene Ivične grede u tavanici (ploča je samo sa jedne strane grede) su grede Γ preseka Grede između ivičnih su grede T preseka Ako je debljina ploče označna sa d pl, a x je visina pritisnute zone preseka, za T preseke mora da bude ispunjen uslov x > d pl (neutralna osa mora da bude u gredi, odn. u rebru) Ako je x d pl u pitanju je greda pravougaonog preseka B/d (širina je jednaka širini ploče b ili B, a visina je jednaka d - visina ploče i rebra ispod)

Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T preseka - opšte napomene Odgovarajući deo ploče levo i desno od grede, koji se tretira kao deo grede T preseka, naziva se računska aktivna širina ploče B Monolitnost veze između ploče i rebra obezbeđuju naponi smicanja na spoju ploče i rebra Osim toga, monolitnost veze ploče i rebra se obezbeđuje i odgovarajućom armaturom u ploči upravno na pravac rebra (grede) Raspodena normalnih napona na delu ploče, levo i desno od rebra, je krivolinijska Intenzitet normalnih napona u ploči se smanjuje sa udaljenjem od rebra

Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Aktivna širina ploče grede T preseka

Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Aktivna širina ploče kod greda T preseka

Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Grede T preseka - opšte napomene Nosači T preseka proračunavaju se kao pravougaoni preseci u slučajevima kada se 1 neutralna linija nalazi u ploči x d pl 2 neutralna linija nalazi u rebru, ali se ploča nalazi u zategnutoj zoni preseka (npr. iznad oslonaca kod kontinualnih nosača) U drugim slučajevima, kada je neutralna osa u rebru, a ploča je pritisnuta, dimenzionsanje se vrši kao za T presek U zavisnosti od odnosa računske aktivne širine ploče B i širine rebra b, postoje različiti pristupi proračunu 1 za B/b > 5... uprošćeni postupak proračuna 2 za B/b 5... tačniji postupak proračuna

Sadržaj Čisto pravo savijanje Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka 1 Čisto pravo savijanje Čisto savijanje - slobodno i vezano dimenzionisanje 2 Ekscentrično zategnuti elementi - veliki ekscentricitet 3 Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka

Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Dimenzionisanje greda T preseka Kada je ispunjen uslov B/b > 5, grede T preseka se dimenzionišu po uprošćenom postupku Osnovna pretpostavka uprošćenog postupka je zanemarivanje nosivosti rebra: ukupna sila pritiska u preseku je sila pritiska u ploči D bu = D bpu Dodatna pretpostavka je da je napon pritiska po debljini ploče konstantan i jednak naponu u sredini debljine ploče σ bp (uprosečeni su naponi pritisaka po debljini ploče) Na osnovu toga, krak untrašnjih sila je poznat i iznosi z = h d p /2

Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Dimenzionisanje greda T preseka Greška koja se čini u uprošćenom proračunu je relativno mala, a proračun je jednostavniji Kada je B/b > 5, ili još više, zanemarena pritisnuta površina betona na delu rebra je relativno mala u odnosu na površinu pritisnute ploče Osim toga, u zoni pritisnutog rebra su i naponi σ b mali (blizina neutralne ose)

Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Dimenzionisanje greda T preseka Druga pretpostavka je osrednjavanje stvarnog dijagrama napona pritisaka u ploči na pravougaoni oblik Ordinata pravougaonog dijagrama napona je jednaka naponu σ bp ili σ bs u vlaknu na sredini debljine ploče (kome odgovara dilatacija u betonu ε bp = ε bs )

Uprošćeni proračun T preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka

Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Zbog relativno velike pritisnute površine betona, dilatacije u betonu retko prelaze vrednosti ε b 0.5 1.5 Zbog toga, T preseci (po pravilu) dostižu granično stanje loma po armaturi ε a = 10 Kao i kod običnih pravougaonih preseka, dimenzionisanje preseka u slučaju čistog ili složenog savijanja svodi se na - slobodno dimenzionisanje - vezano dimenzionisanje

Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Veličine potrebne sa slobodno dimenzionisanje T preseka dobijaju se iz dva uslova ravnoteže (kao i za dimenzionisanje pravougaonih preseka) Granična sila pritiska u ploči i granična sila zatezanja u armaturi su D bu = D bpu = B d p σ bp Z au = A a σ v Uslov ravnoteže normalnih spoljašnjih i unutrašnjih sila (za slučaj čistog pravog savijanja) je: N = o : B dp σ bp A a σ v = 0 (3)

Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Krak unutrašnjih sila, odn. krak sile pritiska do težišta zategnute armature je z = h d p /2 Uslov ravnoteže momenata spoljašnjih i unutrašnjih sila za težište zategnute armature M a1 = 0 je: D bpu z M u = 0 (4) ili, unošenjem izraza za D bp, kao i za krak sila B d p σ bp (h d p 2 ) = M u (5)

Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Ako se napon u sredini ploče σ bp unapred usvoji, onda se iz (5) dobija nepoznata staticka visina preseka: h = M u + d p σ bp B d p 2 (6) Napon u sredini ploče najčešće se bira u granicama 0.3 f B σ bp 0.75 f B Ove granice za napon u sredini ploče daju ekonomične i tehnički opravdane dimenzije preseka Veće iskorišćenje napona pritiska u betonu dalo bi manju visinu preseka, ali i veću količinu zategnute armature

Uprošćeni proračun T preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka

Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Položaj neutralne ose u odnosu na srednju ravan ploče x 0 može da se odredi iz sličnosti trouglova i izrazi preko dilatacija u betonu i armaturi (videti prethodnu sliku) x h 0 = ε bp ( x 0 + dp 2 ε a ) odakle se dobija ε bp x 0 = ε bp + ε a ( h d ) ( p = s 0 h d ) p 2 2 (7)

Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Osim toga, potrebno je da se proveri da li je zadovoljen uslov maksimalne dilatacije u pritisnutom vlaknu betona: ε b = ε bp x 0 + dp 2 x 0 3.5 (8) Napon pritiska u sredini ploče σ bp se usvaja u nekom iznosu, obično u intervalu 0.3 f B σ bp 0.75 f B Time je, takođe, usvojena i dilatacija ε bp u sredini debljine ploče, zbog veze σ ε za beton: σ b = { fb4 (4 ε b ) ε b za 0 ε b 2 f B za 2 ε b 3.5 (9)

Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Naime, rešavanjem veze (9) po ε b dolazi se do kvadratne jednačine po ε b : ε 2 b 4 ε b + 4 σ b f B = 0 Rešenja ove jednačine su ε 1,2 b = 2(1 ± 1 σ b f B ) Samo znak ima smisla, tako da je za usvojen napon u sredini ploče σ bp odgovarajuća dilatacija ε bp data sa ε bp = 2(1 1 σ bp ) (10) f B

Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Tako, na primer, za neke vrednosti napona σ bp u uobičajenom intervalu dobija se - za σ bp = 0.30 f B ε bp = 0.327 - za σ bp = 0.50 f B ε bp = 0.586 - za σ bp = 0.75 f B ε bp = 1.000

Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Slobodno dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Ako se neutralna osa nalazi u ploči, x 0 d p /2, presek se proračunava kao pravougaoni, širine B Ako je neutralna osa u rebru x 0 > d p /2, potrebna površina zategnute armature se određuje iz uslova ravnoteže normalnih sila: A a = B d p σ bp σ v ili A a = M u σ v ( ) h dp 2

Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak U slučaju vezanog dimenzionisanja poznato je: - statički uticaji za posmatrane kombinacije opterećenja (M i ) - geometrija poprečnog preseka (veličine B, b, d, d p ) - mehaničke karakteristike (MB, σ v ) Nepoznato je, odn. potrebno je da se odredi: - površina potrebne armature (A a ) - položaj neutralne linije, odn. napon u sredini ploče (σ bp )

Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Sračunaju se granični statički uticaji M u = γ ui M i Pretpostavi se rastojanje težišta zategnute armature do zategnute ivice a 1, pa se odredi statička visina h = d a 1 Iz uslova ravnoteže momenata (5) se odredi napon pritiska u sredini ploče: M u σ bp = ( ) B d p h dp 2

Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak U slučaju da se dobije da je σ bp > f B, postupak se prekida i vrši se tačniji proračun (sa uzimanjem u obzir i nosiosti rebra) Iz veze σ ε, prema relaciji (10), odredi se dilatacija u sredini ploče: ε bp = 2(1 1 σ bp ) ε a = 10 s 0 f B Položaj neutralne ose u odnosu na sredinu ploče je dat sa (7): x 0 = ε ( bp h d ) ( p = s 0 h d ) p ε bp + ε a 2 2

Uprošćeni proračun T preseka Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka x 0 se upoređuje sa polovinom debljine ploče: ako je x 0 > d p /2 neutralna osa je ispod ploče (u rebru)

Opšte napomene Uprošćeni proračun T preseka Vezano dimenzionisanje greda T preseka - uprošćeni postupak Dilatacija na gornjoj pritisnutoj ivici ploče mora da zadovolji uslov (8): x 0 + dp 2 ε b = ε bp 3.5 x 0 Naravno, ako je neutralna linija u ploči (x 0 d p /2), presek se dimenzioniše kao pravougaoni dimenzija B d Ako je neutralna linija u rebru, odn. za x 0 > d p /2, potrebna površina armature se određuje iz relacije (uslov ravnoteže normalnih sila) M u A a = ( ) σ v h dp 2