( i,j 1,n) = b ij = a ji,

- 34-0 Kvadrate matrice 0 Za kvadratu matricu A reda, tj za matrica A M uvodimo defiicije: Defiicija Ako za kvadratu matricu A važi A T =A, tada se A aziva simetriča matrica Defiicija 2 Ako za kvadratu matricu A važi A T = - A, tada se A aziva koso-simetriča matrica Defiicija 3 Ako za kvadratu matricu A važi A H =A, tada se A aziva hermitska matrica Primjedba Sa A H obilježavamo kojugovau i traspoovaa matricu matrice, tj ( A M (C)) (!B M (C)) B= A H df ( i,j,) = b ij = a ji, Defiicija 4 Ako za kvadratu matricu A važi A H = - A, tada se A aziva koso-hermitska matrica Defiicija 5 Ako za kvadratu matricu A važi A T A=E, tadase A aziva ortogoala matrica Defiicija 6 Ako za kvadratu matricu A važi AA H =E, tada se A aziva uitara matrica Defiicija7 Ako za kvadratu matricu A važi AA H =A H A, tada se A aziva ormala matrica Defiicija 8 Matrica B za koju vrijedi BA = E = AB () aziva se iverza matrica matrice A Iverzu matricu matrice A običo ozačavamo s A - Primjedba Provjerimo ajprije da je iverza matrica (ako postoji!) jedistvea Pretpostavimo da postoje dvije matrice, B' B" koje zadovoljavaju () Tad iz B'A = E, možeći sdesa matricom B" dobijamo (B'A)B" = EB" = B" Kako je po pretpostavci (B'A)B" = B'(AB") = B'E = B', odavde slijedi B'=B", što je protivo pretpostavci da je B' B" Defiicija9 Za matricu A kažemo da je regulara (ili esigulara) ukoliko postoji jea iverza matrica A -, u suprotom kažemo da je matrica sigulara (ili eregulara) Primjedba Osim toga iverza matrica e mora uvijek postojati Pri tora e mislimo samo a ula matricu, za koju je takva tvrdja očigleda Npr matrica A 0 = ema iverzu Zaista, iz uslova 0 0 0 x y 0 x y 0 AA - = E dobijemo = =, što je emoguće 0 0 z t 0 0 0 0 U astavku ćemo pokušati odgovoriti a sljedeća važa pitaja: Kad je matrica A regulara? Ako je A regulara, kako se račua jea iverza matrica A -? Jeda od mogućih odgovora a ova pitaja daje teorija determiati 02 Egzistecija iverza matrice Neka je data matrica A M Adjugovaa matrica matrice A, u ozaci adj A, dobija se kad se u traspoovaoj matrici A T svaki elemet zamjei odgovarajućim kofaktorom Drugim riječima,

- 35 - A A2 A A2 A22 A2 adj A = A A A 2 Tada, prema defiiciji možeja matrica i prema jedakostima (8! ) u osobii D7 determiate, izlazi: A(adj A) = aika jk = ij det A δ = (det A)E () k = Sličo se dokazuje i jedakost (adj A) A = (det A) E (2) Stav Potreba i dovolja uslov da kvadrata matrica A ima iverzu matricu A - je D=det A 0 U tom slučaju je A - = adja det A Dokaz Ako je det A 0, iz formula () i (2) dobijamo adja adja A = E= A, det A det A Odakle a osovu defiicija 8 iverze matrice, slijedi A - = adja det A Obrato, ako matrica A ima iverzu matricu A -, tada je A A - =E Odatle zbog dete=, koristeći svojstvo D0 (Biet -Cauchyjev stav) za determiate, zaključujemo da je (deta)(deta - ) =, odakle slijedi deta 0 a b Primjer ) Neka je A = matrica drugog reda čija determiata deta=ad-bd 0 Tada je c d d c d b adja = =, tj b a c a T d b A adja = = ad bc ad bc c a Zapisati iverzu matricu matrice trečeg reda A M 3 T 0 0 0 0 2 2 3 2 3 2 2 4 0 0 2) Provjeriti 4 2 4 2 0 0 = = 0 2 0 8 0 4 0 2 2 3 2 3 2 3 2 2 0 2 0 7 0 4 2 4 2 0 0 0 0 T Ostavljamo studetima da provjere (ili dokažu) slijedeće osobie kvadratih matrice A Stav Neka je A M Tada vrijedi: (i) Ako su p, q prirodi brojevi, tada važi A p A q =A pq (ii) Operacija traspoovaje matrica ima sledeće osobie: (ka) T =ka T (k reala broj), (A p ) T =(A T ) p (p priroda broj) (iii) Operacija iverzija kvadratih regularih matrica ima sledeće osobie:

-36- p ( ) ( ) ( ) ( ) T T ( A ) = ( A ) ; det A = det A 0, p p ka = k A ; AB = B A ; A = A = A ; det A gde je k 0 reala broj i p ceo broj (iv) Svaka reala simetriča matrica je hermitska Svaka reala koso-simetriča matrica je koso-hermitska Svaka reala ortogoala matrica je uitara 03 Rag matrice Defiicija Neka je A M m,, tj A je formata (m, ) Ako u toj matrici fiksiramo k vrsta i k koloa, tada elemeti a presjeku tih vrsta i koloa obrazuju kvadratu matricu reda k Determiata te matrice zove se mior k-tog reda m a t r i c e A Defiicija2 Broj r N 0 zove se rag matrice A ako: (i) postoji bar jeda mior r-tog reda različit od ule; (ii) svi miori reda r (i viših redova ako postoje) jedaki su uli (iii) Rag ula matrice je ula Rag matrice A ozačavamo sa r(a) Lako možemo zaključiti da je r(a) mi(m, ) Defiicija3 Neka matrica A ima rag r, tada: (i) svaki je mior r-og reda različit od ule, aziva se bazisi mior (ii) Vrste i koloe matrice A u presjeku kojih se alazi bazisi mior azivaju se bazise vrste i bazise koloe 0 Primjer Neka je A = 2 0, deta = 0, det = 2 0 r( A ) = 2 2 0 Bazise vrste matrice A su -va i 2-ga vrsta, bazise koloe su -va i 2-ga koloa matrice A Navedimo eke osove osobie raga matrice Stav 3 Slijedeće trasformacije e mijejaju rag matrice: ) Permutacija (zamjea) dvije vrste 2) Možeje elemeata jede vrste ekim skalarom različitim od ule 3) Dodavajem ekoj od vrsta eke druge vrste (pomožee evetualo skalarom) 4) Ako se iz matrice izostavi vrsta čiji su svi elemeti ule 5) Ako se iz je izostavi vrsta koja je lieara kombiacija drugih vrsta Dokaz Dokaz izlazi a osovu defiicije3 i a osovu osobia determiate Primjedba Osim toga, raga=raga T, te se u ) do 5) riječ vrsta može svuda zamijeiti sa rječju koloa Primjedba Trasformacije ) do 3) azivaju se elemetare trasformacije matrice (po vrstama, tj elemetare trasformacije po koloama ako umjesto rijči vrsta, svuda u ) do 3), stoji koloa) Elemetare trasformacije matrice A mogu se ostvariti možejem matrice A sa elemetarim

-37- matricama trasformacija Viditi o tome apr str-46-5-dop Defiicija4Za dvije matrice A i B kažemo da su ekvivalete (što ozačavamo sa A B), ako se mogu trasformisati jeda u drugu koačim brojem elemetarih trasformacija Dakle, stav3 možemo kraće zapisati u obliku: ( A,B) A B r( A) = r( B ) Defiicija5 Matrica A M m, aziva se kvazitrougaoa (kvazidijagoala) matrica reda r, ako je matrica A rastavljea a blokove: U V A = W Z pri čemu je U M r gorja trougaoa (dijagoala) matrica za koju vrijedi u u 22 u rr 0, dok su V, W, Z ula matrice odgovarajučeg formata, tj V=O r, -r, W=O m-r, r, Z=O m-r, -r Lako se dokazuje: Stav 4 Ako je A kvazitrougaoa (kvazidijagoala) matrica reda r tada je r(a) = r Stav5 Svaka matrica A može se svesti a ekvivaletu matricu koja je kvazitrougaoa (kvazidijagoala) matrica ekog reda Dokaz Vidjeti apr str44-2-prep Dakle, za praktičo određivaje raga matrice A dovoljo je odrediti joj ekvivaletu matricu B, koja kvazitrougaoa (kvazidijagoala) matrica reda r, tada da je r(a) = r ( = r(b) ) ZADACI ) Zadaci: 7; 8; 82; 9-3 str32-3-prep 2) Zadaci: 55 do 58 str39-3-prep 3) Zadaci:39; 323; 327 do 335 str06--dop 04 Napomee o ragu matrice Neki autori defiišu rag matrice a drugi ači Da bi to objasili uvedimo: Defiicija Neka je C= ( c c ) K je vektor vrsta koeficijeata i ( ) promjeljivih Tada se izraz oblika: k k k= L= L(C,X) = CX= c x = c x c x, T X x x = K je vektor koloa aziva lieara forma sa promjeljivih x,,x, gdje su c,,c dati skalari koeficijeti, tj (K) T Φ : = L(C,X) CX ckxk C K X K = =, k= je skup svih liearih formi sa promjeljivih Stav Neka su u Φ operacije: itero sabiraje i ekstero možeje vektora skalarom, defiisao sa ' '' ( (K) ' '' ' '' ' '' ' '' Φ ) = = = ( ) L,L L L L(C,X) L(C,X): L(C C,X) c c x, tj k= k k k

-38- ( Φ )( λ ) λ = λ ( ) = ( λ ) = ( λ ) L K L CX C X: c x k k k= Tada je skup Φ (K) lieari vektorski prostor ad poljem K Dokaz Dokaz je jedostava, te ga sami zapišite Primjedba Već smo defiisali lieare prostore: ) M m (K) := { (c j ) m, c j K} svih matrica koloa ad poljem K sa m vrsta (tj m elemeata); taj prostor je dimezije dimm m = m Vektore u tom prostoru kraće azivamo koloama 2) M (K) := { (c j ), c j K} svih matrica vrsta ad poljem K s koloa (elemeata); dimezije tog prostor je dimm = Vektore u tom prostoru kraće azivamo vrstama Lieari prostori M m (K) i K m (tj lieari prostori M (K) i K ) su izomorfi Viditi defiiciju liearog prostora R, tj K (2 sedmica astave) 3) Svaka se matrica može zapisati kao: a a2 L a a2 a22 a 2 A L =, ili A = (a ij ) m, () M M M am am2 L am (i) matrica koloa: A= (A A 2 A m ) T, gdje je A i = (a i a i2 a i ) i-ta vrsta matrice A, tj imamo bijekciju A (A A 2 A m ), kojom se matrici A M m, (K) pridružuje obostrao jedozačo određea m-torka vrsta iz liearog prostora M ; (ii) matrica vrsta: A=(A A 2 A ), gdje je A k = (a k a 2k a mk ) T k-ta koloa matrice A, tj imamo bijekciju A (A A 2 A ), kojom se matrici A M m, (K) pridružuje obostrao jedozačo određea -torka koloa iz M m Isto tako postoje bijekcije: i i ik k i i k= (ii) A (L L 2 L m ), gdje je L i = L(A,X) : = A X = a x = a x a x lieara forma sa epozatih pridružea i-toj vrsti matrice A; m j j kj k j mj m k= T (ii) A (L L 2 L m ), gdje je L j = L(A,Y) : = A Y = a y = a y a y lieara forma sa m epozatih pridružea j-toj koloi matrice A, ( Y= ( y y ) T m K je vektor koloa sa m promjeljivih) Stav2 Neka je A M m, Tada su slijedeće tvrdje su ekvivalete: (i) raga= r ; (ii) među vrstama (A A 2 A m ) matrice A ima (maksimalo) r liearo ezavisih vrsta, tj dim L(A A 2 A m ) = r ; (iii) među liearim formama (L L 2 L m ) pridružeim vrstama matrice A ima (maksimalo) r liearo ezavisih liearih formi, tj diml(l L 2 L m ) = r Primjedba U stavu2, ako umjesto matrice A posmatramo matricu A T, tada riječ vrsta treba svuda zamijeiti sa rječju koloa, tj aaloga stav vrijedi za koloe matrice A i za lieare forme pridružee koloama matrice A Dokaz Dokaz u ekoliko koraka: (ii) pošto je lieal L(A A 2 A m ) M i podprostor je prostora M, to iz dim L(A A 2 A m ) = r slijedi da među vrstama (A A 2 A m ) matrice A ima (maksimalo) r-torka liearo ezavisih vrsta, koje predstavljaju bazis podprostora L(A A 2 A m ), preostalih m-r vrste su ebazise vrste i svaka od jih je lieara kombiacija r bazisih vrsta; (ista

-39- (iii) (iv) tvrdja važi za koloe (A A 2 A m ) matrice A), tj a osovu osobie D9 za determiate, dokazali smo implikaciju (ii) (i); za obruta implikacija(i) (ii) vidjeti dokaz a str-392-2-prep; za ekvivaleciju (ii) (iii) vidjeti dokaz a str-40-2-prep ZADACI I Zadaci: 59 do 64 a str-320-3-prep; zadaci 08 do 0 a str-327-3-prep II Zadaci: 38, 328, 329, 330, str-56--dop III Zadaci: 4 do 48 str-7--dop

-40- IV SISTEMI LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNAČINA Rezultati iz prethodih glava primejei su u ovoj glavi a rješavaje sistema liearih (algebarskih) jedačia, problem iz koga je potekla lieara algebra Prvo su razmatrai takozvai kvadrati sistemi, tj sistemi kod koji je broj epozatih jedak broju m jedačia sistema, te a osovu teorije iz prethode glave utvrđei su uslovi za egzisteciju rješeja takvog sistema jedačia Rješeje je zatim eksplicito određeo a dva ačia (Kramerove formule i matriči metod) Da bi se ispitali pravougaoi sistemi, tj sistemi kod kojih je m, prvo su defiisae ekvivalete matrice i dokazao je da ekvivalete matrice imaju isti rag Zatim je, pomoću matrica rešeo pitaje egzistecije rješeja pravougaoog sistema liearih jedačia, koje je svedeo a ispitivaje raga dvije matrice koje su pridružee sistemu Gausov algoritam, izese u trećem delu, predstavlja praktiča metod za određivaje rešeja pravougaoog (i kvadratog) sistema liearih jedačia Uvoda razmatraja U ovom dijelu posmatraćemo sistem liearih algebarskih jedačia: a x a x a x h, 2 2 = a x a x a x h, 2 22 2 2 = 2 am x am x amx = h 2 2 m Koeficijeti a ij i slobodi člaovi h i u sistemu () su date skalare veličie, tj ( ) i,j i i =,m;j =, a, h K, gdje je K skalaro polje realo ili komlekso, x, x 2,x su epozate sistema Primjedbe ) Sistem () moguće je zapisati u kračoj formi: ( ) k= ik k i () i =,m a x = h, ( ' ) gdje je ideks i( =,m) redi broj jedačie 2) Sistem () moguće je zapisati kao matriču jedačiu: AX = H a a2 L a a2 a22 a 2 Matrica A L = ili A = (a i} ) m, aziva se matrica sistema (); H = ( h j ) m, je koloa M M M am am2 L am slobodih ćlaova sistema (); koloa X=[x i ], je koloa epozatih sistema (); proširea matrica ('') sistema () je matrica koja se dobije iz matrice A dodavajem koloe slobodih člaova A p a a h = A H = m, am am h m 3) Ako je koloa H = ( h j ) m, O m, (tj matrica koloa slobodih ćlaova sistema () ije ula-koloa), kažemo da je sistem () ehomoge, a ako je H = O m, kažemo da je homoge 4) Ako je broj jedačia jedak broju epozatih, tj m =, reći ćemo da je sistem kvadrata, a ako je m reći ćemo da je pravougao

-4- Defiicija Rješeje sistema jedačia () je bilo koja uređea -torka skalara χ = ( ξ ) takva da svaka jedačia sistema () postaje idetitet za X = χ K K, Sistem liearih jedačia () može imati ili beskoačo mogo rješeja, ili može imati samo jedo rješeje, ili da ema ijedo rešeje Defiicija 2 Ako sistem () ima bar jedo rješeje, (eoviso od toga da li ima samo jedo rješeje ili beskoačo mogo rješeja) kažemo da je sistem saglasa (rješljiv ili kompatibila); u suprotom ako sistem () ema rješeje oda za sistem kažemo da je esaglasa (erješljiv ili protivrječa) Stav Ako je sistem () saglasa i ima više od jedog rješeja, oda obavezo ima beskoačo mogo rješeja Dokaz Neka sistem () ima bar dva rješeja χ ' = ( ξ ' ) k K i χ '' =, ( ξ '' ) k K Tada je, ( ) beskoačo mogo vektora ( ) ( ) χ = aχ a χ = aξ a ξ K, (za svaki skalar a jeda ' '' ' '' k k, vektor), rješeje sistema: ' '' ' '' Aχ = A(aχ a χ ) = aaχ a Aχ = ah a H = H ( ) ( ) ( ) Primjedba Nije teško provjeriti da je homogei sistem (H=O, ) je uvjek saglasa, pošto je X=O, uvijek rješeje sistema Defiicija 3 Rješeje X=O, aziva se trivijalo rješeje homogeog sistema 2 Kvadrati sistem liearih jedačia Defiicija 4 Kod kvadratog sistema (m=) liearih jedačia uvodimo pojmove: (i) determiatom sistema D=detA (A je matrice sistema); (ii) D j je detrmiata epozate x j i ozačava determiatu koja se dobije tako da se u determiati sistema D umjesto j-te koloe A j, koja odgovara epozatoj x j, stavi koloa H slobodih člaova Stav2 (Kramerovo pravilo (G Cramer (704-752), švajcarski matematičar)) (i) Ako je determiata sistema deta=d 0, tada sistem ima jedistveo rješeje: D D D (x, x 2,, x ) = (, 2 D j,, ) (ili za sve j : x j = ); (*) D D D D (ii) Ako je determiata sistema D=0 i bar jeda determiata D j 0, tada je sistem protivrječa (iii) Ako je determiata sistema D=0 i sve determiata D j = 0, oda vrijedi samo jeda od mogučosti: (a) ili je sistem protivrječa, (b) ili sistem ima beskoačo mogo rješeja Za odgovor da li je (a) ili (b) potreba su dalja istraživaja Dokaz Neka sistem ima rješeje i eka je j jeda od mogučih ideksa Pomožimo i-tu jedačiu ( i =,) sa komplemetom A ij, te saberimo sve tako dobijee jedačie Izlazi A a x = A h, tj ij ik k ij i i= k= i= i x a A = A h, ( 2) k ik ij ij i k= i= i= i

-42- gdje smo do posljedje jedakosti došli a osovu idetiteta: m m Ostavljamo studetu da provjeri taj idetitet Sad a osovu svojstva D7, tj a osovu Laplasovih formula, imamo a A =δ D, A h = D, ik ij kj ij i j i= i= i gdje je δ kj Kroekerov simbol Uvrštavajem (**) u (2), dobijemo: ( j =,) Dx = j Dj Χ ij i= k= k= i= (3) Sistem (3) i () su ekvivaleti, tj oba imaju ili oba emaju rješeje Zato je: (**) Χ ij (id) (i) Ako sistem ima rješeje i ako je D 0, tada iz (3) dobijemo jedo (i samo jedo) rješeje (*) sistema Ostaje da provjerimo da je (*) rješeje sistema Zaista, uvrštavajem rješeja (*) u i-tu jedačiu sistema, dobijemo idetitete: Dk ( i =, ) aik aik hsa sk (determiata Dk razvijea po koloi H) k= D D k= s= hs aika sk (promjeje redoslijed sumiraja, idetitet (id)), D Dakle, (*) je rješeje sistema () s= k= h δ D h (primjejeo : a A = δ D) D s is i ik sk is s= k= (ii) (iii) Ako je determiata sistema D=0 i bar jeda determiata D j 0, tada je sistem protivrječa, jer j-ta od jedaćia (3) je protivriječa: 0x j = D j 0 U ovom slučaju, kad su sve determiate jedake uli, dodatim ispitivajem odredićemo da li astupa slučaj (a) ili (b) Primjer: Za raze vrijedosti parametra a R riješiti i diskuutovati rješeje sistema: ax y z =, x ay z =, x y az =2 2 Lako je sračuati determiate: D= ( a 2)( a ) ;D= D2 = ( a 2)( a ) ;D3 = 2( a 2)( a ) Prema Kramerovom pravilu: 0 Za D=(a2)(a - ) 2 0 a {-2, } sistem ima jedistveo rješeje D D D ( x,y,z ) 2 3,, 2 = =,, D D D a a a 2 0 Za a= - 2 zbir jedačia svodi se a idetitet 0=0, tako da je, apr posljedja jedačia posljdica prve dvije jedaćie, tj sistem se svodi a dvije jedačie sa tri epozate: 2x y z =, x 2y z=, što je ekvivaleto sa: y z= 2x, 2y z= x, gdje za epozatu x biramo proizvolju vrijedost x= t R Rješavaje tog sistema dobijemo: ( t R) ( x,y,z) = ( t,t, t), tj za a=- 2 sistem im beskoačo mogo rješeja 3 0 Za a= je D=D =D 2 =D 3 =0, ali je tada treča jedačia x y z=2 protivriječa sa prve dvije jedačie x y z=, te je sistem esaglasa Kao direkta posljedica Kramerovog pravila proislazi stav za homogei kvadrati sistem: Posljedica (i) Ako je determiata D 0, tada homogei sistem ima jedistveo rješeje, te je trivijalo rješeje homogeog sistema jedio rješeje sistema; (ii) Akko je D=0 (i sve determiate epozatih su obavezo jedake uli, jer je H=O), te tada (i

samo tada:) homogei sistem ima beskoačo mogo rješeja, tj ima rješeja koja isu trivijala Jaso, D=0 isključuje mogučost da sistem ima jedistveo rješeje Primjer Za homogei(kvadrati sistem 3x3): x y z=0, 2x y z= 0, 4x y 3z =0, izlazi D=0, te sistem ima etrivijalih rješeja: (x, y, z) = (2t, t, - 3t) Netrivijala rješeja dobijemo rješavajući dvije jedačie sa dvije epozate: apr prve dvije jedačie sa bazisim epozatim x, z gdje preostalu ebazisu epozatu y=t biramo proizvoljo Jaso, što ije teško provjeriti, treču jedačiu (koja je posljedica prve dvije jedačie) dobijemo kad a prvu jedačiu pomožimo sa dva, te a dobijeu jedačiu dodamo drugu jedačiu ZADACI Zadaci: 63-7 str-322-3-prep 2 Zadaci: 96-986 str-90-4-prep 3 Zadaci: 53-5 str20--dop 3 Gausova elimiacija Za rješavaje sistema jedačia () ako je broj epozatih veći od tri, običo koristimo Gausov metod elimiacija Posmatraćemo sistem a x a x a x h, 2 2 = a x a x a x h, 2 22 2 2 = 2 () am x am x amx = h 2 2 m i pretpostaviti da je a 0 Ova pretpostavka e umajuje geeralost metode, pošto je bar jeda od koeficijeata a i 0 (u suprotom u sistemu ije zastupljea epozata x ), te zamjeom i-te i -ve jedačie ostvarimo pretpostavku a 0 Sad pomoću -ve jedačie elimiišemo (otuda aziv metode) -vu epozatu x iz preostalih jeačia Opišimo taj prvi korak metode: ai Pomožimo -vu jedačiu sa (redom za i = 2, 3,, m) prije ego je dodamo i-toj jedačii Na taj a ači dobijemo sistem ekvivaleta sistemu (): a x a x a x a x h, 2 2 3 3 = ( ) ( ) ( ) ( ) a x a x a x = h, 22 2 23 3 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) a x a x a x = h, ( ) 32 2 33 3 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) a x a m m x a x m = h, 2 2 3 3 m tj sistem (2) ima isto (ili ema) rješeje kao i sistem () () Sad predpostavljamo da je a 22 0, te isti postupak elimiacije primjeimo a sistem od m posljedjih jedačia sistema (2): pomoću 2-ge jedačie elimiišemo 2-gu epozatu x 2 iz m - 2 posljedjih jeačia, te dobijemo ov sistem jedačia ekvivaleta sa (2): a x a x a x a x h, 2 2 3 3 = () () () () a x a x a x = h, 22 2 23 3 2 2 ( 2) ( 2) ( 2) a33 x3 a x = h, ( 3) 3 3 ( 2) ( 2) ( 2) am x a x m = h 3 3 m Poslije ( - )-ve elimiacije, u slučaju kad je < m, dobije se sistem jedačia: -43-

-44- a x a x a x a x h, 2 2 3 3 = ( ) ( ) ( ) ( ) a x a x a x = h, 22 2 23 3 2 2 ( 2) ( 2) ( 2) a33 x3 a x = h, 3 3 ( ) ( ) a x = h ( ) ( ) a x, = h a x h ( ) ( ) m = m ( 4 ) Gorji ideks uz koeficijet k (=, 2,, ) pokazuje da je taj koeficijet dobije poslije k-te primjee elimiacije Prelazak od sistema () a ekvivaleti sistemu (4) izvede je uz predpostavku () ( 2) ( 2) a a a a 0 22 33, (k ) Ako je međutim, a (k ) kk = 0, gde je a kk prvi u izu brojeva a,a (),a ( 2),,a ( 2), koji je ula, 22 33, prije ego što se pređe a k-tu elimiaciju, treba zamijeiti k-tu jedačiu u sistemu dobijeom posle k (k ) elimiacija i-tom jedačiom (i = kl, k 2,, m) koju treba tako izabrati da je a ik 0 Ako je međutim (k ) (k ) (k ) a = a = = a =, kk k,k mk 0 epozatu x k treba uzeti proizvoljo i sistem () posmatrati kao sistem od m jedačia sa epozatih Sistem (), u slučaju m >, ima rešeja ako i samo ako je ( ) ( ) ( ) h h hm = = = ( 5) ( ) ( ) ( ) a a a, m Ako je m > i jedakosti (5) e važe, sistem () ema rješeja Ako je m <, postupak elimiacije je isti, ali tada možemo da odredimo ajviše m epozatih u fukciji preostalih - m epozatih Primjeri ) Primjeom Gaussovog algoritma riješimo sistem jedačia: x 2y z t = 4, 2x3y 4z t =, x y z 3t =, 2x 3y 2t = 5, x 2y 2z t = 5 Lijevoj i desoj strai druge jedačie dodajemo odgovarajuće strae prve jedačie pomožee sa 2 Trećoj jedačii dodajmo prvu pomožeu sa Četvrtoj jedačii dodajmo prvu posle možeja sa 2 Petoj jedačii dodajmo prvu pomožeu sa Na taj ači dobijamo: x 2y z t = 4, y 6z 3t =7, y 2z 2t =3, y 2z 4t =3, z 2t = Ovaj sistem jedačia ekvivaleta je sistemu () Oduzmimo sada od treće i četvrte jedačie drugu jedačiu ovoga sistema Tada dobijamo

x 2y z t = 4, y 6z 3t =7, 4z 5t = 4, 4z t = 4, z 2t = Najzad, umesto ovoga sistema jedačia možemo posmatrati sistem x 2y z t = 4, y 6z 3t =7, 4z 5t = 4, 6t = 0, 3t = 0, gdje smo epozatu z elimiisali iz četvrte i pete jedačie pomoću treće jedačie Kako iz četvrte i pete 0 0 jedačie slijedi = ( =t, ) sistem () ima rješeje Rješavajem posljedjeg sistema uazad 3 6 dobijemo redom: iz četvrte jedačie t=0, iz treće z=, iz druge y= -, te a kraju iz prve jedačie x= Dakle, rješeje sistema () je (x, y, z, t) = (, -,, 0) Provjeriti! 2) Sistem liearih jedačia x y 3z= 4 2x y z= 3, ekvivaleta je, a osovu Gausovog trougaoog algoritma, sa sistemima: 3x y 4z= x 2y 3z= x y 3z= 4 x y 3z= 4 x y 3z= 4 y 7z= 5 ; y 7z= 5 ; y 7z = 5, 4y 5z= 23z = 9 23z = 9 y 3z= 3 23z = 8 0 = te je esaglasa, jer je posljedja jedačia protivrječa: 0= a Primjeom Gausovog algoritma dobijemo ekvivalete sisteme: x 2y 3z 4t = 5, x 2y 3z 4t = 5, x 2y 3z 4t = 5, 2x 2y z 2t = 6, 2y 7z 6t = 4, 2y 7z 6t = 4, 3x 2 y az bt= c; 4y ( 9 a) z ( 2 b) t= 5 c; ( 5 az ) bt= c 7 Zato je (i) za a = - 5, b = 0, c 7 sistem protivrječa; (ii) za a = - 5, b = 0, c = 7 sisteem se svodi a dvije jedačie sa četeri epozate (dvije bazise i dvije ebazise; aprimjer za proizvoljo z = p, t = q ) Rješavajem uazad dobijemo rješeje sistema: ( p,q R) ( x,y,z,t) 7 = 4p 2q, 2 p3q,p,q 2-45- Primjedba Opišimo glave karakteristike Gaussove metode Precizije, riječ je o metodi, koja se u matematičkoj literaturi spomije pod imeom Gauss-Jordaova metoda Oa se sastoji u tome da se sistem () elemetarim trasformacijama svede a ekvivaleta kvazi-trougaoi (ili dijagoali) oblik, iz kojega ćemo moći lako odrediti jegovo rješeje Dva sistema azivamo ekvivaletim ukoliko imaju isti skup rješeja Pri svođeju sistema a ekvivaleta koristit ćemo se istim elemetarim trasformacijama kao i pri određivaju raga matrice Prisjetimo se, to su operacije zamjea dvije vrste, možeje vrste skalarom različitim od ule, dodavajem ekoj vrsti druge vrste pomožee skalarom različitim od ule Ako je (x,,x ) rješeje sistema (), tad je očito ta -torka rješeje i sistema dobiveog bilo kojom od ovih trasformacija (i obrato!) Dakako da ćemo trasformacije primjejivati e samo a lijevoj strai sistema (), već istovremeo i a desoj strai Pritom se pokazuje da je epotrebo ispisivati jedačia u obliku (), dovoljo je ispisati samo matriče koeficijete, posto položaj tih koeficijeata određuje i imea epozatih koje dolaze uz odgovarajući koeficijet Zapravo, postoji bijekcija između sistema AX = H i takozvae proširee matrice tog sistema (A H)

Primjer Riješi sistem x 3y z =4, x 2y 3z = 5, 2x y z = 6 Napišimo prošireu matricu sistema i svedimo matricu A a kvazi-dijagoalu formu: 3 4 3 4 3 4 III II III II I II ( ) II : II 2 2 3 5 III I III 0 5 2 5 0 2 III : III 5 5 2 6 5 0 5 3 4 0 0 3 23 0 I II I 3 5 5 0 0 2 2 I III III II III II 0 0 0 0 5 5 0 0 3 0 0 3 Ovim je postupak trasformacija završe i treba još očitati rješeje Dobijei sistem ekvivaleta je početome, uz matriče koeficijete leže odgovarajuće varijable Matrica sistema svedea je a jediiču Tako gorji matriči zapis daje ove jedačie: x = 2, y =, z = 3, iz kojih zapravo očitavamo tražeo rješeje početog sistema -46- Gauss-Jordaova metoda za određivaje iverze matrice Gorji postupak može da posluži za određivaje iverze matrice matrice A reda Zapravo, problem određivaja iverze matrice X = A -, svodi se a rješavaje matriče jedačie AX = E, (6) koja je opet ekvivaleta rješavaju sistema jedačia: AX = E, AX 2 = E 2,, AX = E, (7) gdje su X j j-ta koloa iverze, tj E j j-ta koloa jediiče matriceprema tome, kako svi sistemi (6) imaju zajedičku matricu sistema, to i proširee matrice svih sistema možemo zapisati zajedo (A E) (8) Kada, koristeći elemetare trasformacije, dobijemo (A E) (E X), (9) tada je X = A - Jaso, ako je A sigulara matrica, tada sistemi (7) emaju rješeje, tj elemetare trasormacije e dovode do ekvivalecije (9) Primjeri ) Na osovu Gauss-Jordaovog algoritma izlazi: 3 0 0 0 0 0 0 0 0 AE = II I II ( I II ) 0 0 0 3 0 0 3 ( III I III) 0 2 3 0 2 2 2 3 0 0 2 2 3 0 0 0 2 5 0 2 0 0 0 0 0 2 5 I III I ( III 2I III ) 0 2 3 0 ( II III II) 0 0 5 2, 2 0 0 2 4 0 0 2 4 2 5 tj A je zaista regulara matrica i jea iverza matrica je A = 5 2 2 4

3 2) Neka je A = 0 Koristeći se Gauss-Jordaovim algoritmom provjeriti da li je A (e-)regulara 2 2 2 matrica i ako je regulara odrediti jeu iverzu matricu 3 0 0 0 0 0 0 0 0 II I II AE ( I II) 3 0 0 0 3 0 0 III I III 0 2 3 0 2 2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 0 2 4 0 2 0 0 0 ( III 2II III ) 0 2 3 0 0 0 0 2 2 Dakle, A je sigulara matrica, tj sistemi (7) emaju rješeje, tako da elemetare trasormacije e dovode do ekvivalecije (9) -47-