Definicije i osobine sttičkog moment površine poprečnog presek z proizvoljn os Definicij - sttički moment površine z os Zbog ( ) ( ) immo je - sttički moment površine z os ( ) i i ( ) Ovo tkođe znči je sttički moment površine z težišn os jenk je nli ttički moment površine složenog presek ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5 ) i 5 i 5 5 5
U prethonim izrzim i i i s i koorinte težišt elementrnih površin i s njihove površine sme s lgebrske Preznk ispre čln koji srži je negtivn pošto se t površin ozim Definicije i osobine moment inercije površine poprečnog presek ( ) ( ) - ksijlni moment inercije površine z os - ksijlni moment inercije površine z os - entrifglni moment inercije površine ( ) z ose i ρ 0 - Polrni moment inercije površine z koorintni početk 0 ( ) Zbog kvrt i integrl ksijlni i polrni momenti inercije ne mog biti negtivni li nsprot tome centrifglni može biti i negtivn i pozitivn i jenk nli Pronlizirjmo li je centrifglni moment inercije površine z ose i prikzne n slici pozitivn ili negtivn? Kko se menj centrifglni moment inercije ko se promeni smer smo jene ose kko obe?
Ukpn površin poelimo n i p je: U ztom slčj (l) centrifglni momenti površin i morj biti pozitivni pošto je z svk tčk tih površin proizvo pozitivn lično tome centrifglni momenti površin i morj biti negtivni pošto je z svk tčk tih površin proizvo negtivn Zbog veličine i položj tih površin jsno je > > zbog čeg je > 0 Ukoliko se promeni smer smo jene o os (l i ) centrifglni moment inercije smo menj preznk Z i (l5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
entrifglni moment inercije z ose o kojih je br jen os simetrije mor biti jenk nli N prikznoj slici svkoj elementrnoj površini esno o ose ogovr ist tkv ko slik oglel levo o nje ( - ) Zbirni cenrtifglni moment inercije ove ve elementrne površine mor biti jenk nli jer je ' 0 ( ) Vez izmeđ ksijlnih i polrnog moment inercije Pošto z svk tčk površine vži ρ polrni moment inercije je 0 ( ) ρ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 jer je ( ) ( ) Polrni moment inercije onos n tčk 0 jenk je zbir ksijlnih moment inercije z ve međsobno prvne ose koje prolze kroz tčk 0
Vez izmeđ moment inercije z v prleln koorintn sistem Ove se porzmev se ri o vezi izmeđ moment inercije z težišne i njim prlelne ose Ove s težišne ose (ose koje prolze kroz težište ) i njim prlelne ose s i v Rstojnje izmeđ os i je v izmeđ os i v je vk elementrn površin im svoje vrenosti svih koorint ( i v) Veze izmeđ tih koorint s: v v v v v v ( v ) v v ( ) ( )( v ) v v v v v v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v ( ) ( ) ( ) v v v ( ) ( ) ( ) ( ) ŠJNEROV EORE v v
U prethonom izvođenj člnovi koji srže i jenki s nl jer s to sttički momenti površine z težišne ose Člnove Štjnerove teoreme v nzivmo: -oment inercije z težišn os (sopstveni moment inercije) v -Proizvo kvrt rstojnj os i površine (položjni moment inercije) Rečim iskzn Štjnerov teorem: oment inercije z os prleln težišnoj jenk je zbir sopstvenog i položjnog moment inercije ksijlni momenti inercije z prvogoni poprečni presek ( ) -oment inercije z os prleln težišnoj zveimo prvo po efiniciji moment inercije z os n kojoj leži strnic žine b: h v b v b v v ( ) 0 bh Oreimo s moment inercije prvogonik z težišn os koj je prleln s osom korišćenjem Štjnerove teoreme ( )
ože se tkođe reći prem Štjnerovoj teoremi v v oment inercije z težišn os jenk je moment inercije z njoj prleln os mnjen z položjni moment inercije bh h bh bh v bh zrčnvnje moment inercije z složeni presek oment inercije složene površine z nek os (neke ose ko se ri o centrifglnom) jenk je lgebrskom zbir moment inercije elementrnih površin z ist os (iste ose) N primer složen površin je sčinjen o elementrne ( i ) tko se kpn složen površin rčn po formli i Z momente inercije složene površine vžili bi izrzi: i i i
ksijlni momenti inercije z kržni i polkržni presek momenti inercije z kržni presek 0 0 6 0 π π r momenti inercije z polkržni presek Gornj polovin kržnog presek je onj Ukpn kržni presek je zbir ov v: 8 8 π π r opstveni moment inercije polkržnog presek π π π π 9 6 8 r r r r 9 8 8 r π π
ksijlni i centrifglni momenti inercije z trogoni presek ksijlni momenti inercije z težišn os 8 5 h b bh 9 9 bh h h bh h h bh ξ bh bh 6 bh ξ zveen forml vži z m koji oblik trogl istih imenzij b i h jer se ri o jenkim vrenostim elementrnih površin n jenkim rstojnjim o ose
ksijlni momenti inercije z os h entrifglni moment inercije bh 6 b h b h v 0 b h v b h ξη b h v v v h 9 bh bh bh bh ξη b 7 b h 9 b h 9 b 9 h h 0 je centrifgkni moment inercije prvogonik z težišne ose zto što s one ose simetrije
entrifglni momenti inercije menj smo preznk pri promeni smer jene o os: l b 7 h l b h 7 l b h 7 l b h 7 ( )
omenti inercije z zkrent koorintni sistem Koorinte elementrne površine zkrentom v korintnom sistem izržene preko gl zkretnj φ i njenih i koorint s: v sin ϕ cosϕ cosϕ sin ϕ N osnov obijenih vez obijmo pomoćne izrze: sin ϕ cos ϕ sin ϕcosϕ v v ( sin ϕ cosϕ) ( cosϕ sin ϕ) cos ϕ sin ϕ sin ϕcosϕ ( sin ϕ cosϕ)( cosϕ sin ϕ) ( ) sin ϕcosϕ (cos ϕ sin ϕ) N osnov efinicij i osnovnih mtemtičkih ientitet obijmo: ϕ ϕ ϕ v sin cos sin v ( ) ( ) ( ) ( ) sin ϕ cos ϕ sin ϕ
v cos ϕ sin ϕ sin ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) cos ϕ sin ϕ ( ) ( ) sin ϕ sin ϕ v cos ϕ v ( ) ( ) v sin ϕ cos ϕ Glvni momenti inercije presek i njihov položj Glvne momente inercije ćemo obiti trženjem minimm i mksimm fnkcije ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ ( ) Z tržen rešenjφ α / prvi izvo mor biti jenk nli: sin ϕcosϕ ϕ sin ϕ ϕ ϕ ϕα / ϕ α sin ϕcosϕ ( ) cosϕ / 0 cosϕ
ϕ ϕ α / ( ) α cos α 0 sin / / tn α / rctn α π tn α tn α α α π α α Dobijeni izrzi efiniš prvce glvnih os inercije Z oređivnje sins i kosins o α / iskoristimo i zmišljeni prvogli trogo s slike: cos α cos α sin α ( ) ( ) sin α ( ) ( )
( ) ( ) cos sin α α ( ) ( ) cos sin α α Z oređivnje kvrt sins i kosins preko kosins vostrkog gl iskoristimo mtemtičke formle: ( ) ( ) cos cos α α ( ) ( ) cos cos α α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Prvi glvni moment inercije je zφα : ( ) ϕ ( ) ϕ α ϕ
stom procerom rgi glvni moment inercije je ϕ zφα : ( ϕ) ϕ α ( ) ( ) ( ) Dkle glvne momente inercije oređj formle: / ± Dokžimo s centrifglni moment inercije z glvne ose inercije mor be jenk nli Uvrstimo fnkcij v ( ϕ) sin ϕ cos ϕ glove α i α mesto φ kko bi obili centrifglni moment inercije z glvne ose inercije : v ϕ ϕ v v ( ϕ) ( ϕ) ϕ α ϕ α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α v ϕ α ϕ 0 0
nvrijnte moment inercije ( ) ) ( ( ) ) ( nvrijnte moment inercije izveimo iz izrz z glvne momente inercije birnjem izrz () i () obij se prv invrijnt: Zbir ksijlnih moment inercije z m koje ve međsobno prvne ose je konstntn (PRV NVRJN) Jenkost proizvo levih i esnih strn izrz () i () je rg invrijnt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] (DRUG NVRJN) Ov invrijnt se često koristi z izrčnvnje centrigglnog moment inercije n osnov ksijlnih i
Kriterijmi z oređivnje os mksimlnog i minimlnog moment inercije štinsk log tvrđivnj li fnkcij (φ) z nđeno φα ili φ α minimm ili mksimm im njen rgi izvo N osnov poznte fnkcije (φ) ili njenog prvog izvo obij se fnkcij rgog izvo: cos ϕ sin ϕ sin ϕ ( ) sin ϕ cosϕ ϕ ( ) cosϕ sin ϕ ϕ inimm immo z onj go α z koji je rgi izvo pozitivn mksimm z rgi go α z koji je rgi izvo negtivn N primer ko je z go α oređen po formli α rctn rgi izvo negtivn tj ϕ ϕ α ( ) cos α sin α < 0 on je z tj go α α fnkcij mksimm tj ϕα m
vijnje gree: efinicij moment svijnj i trnsverzln sil Zmislimo je štp opterećen n svijnje sčinjen o zžnih vlkn prlelnih s osom štp
Štp (gre konzol) se svij po ejstvom spegov i opterećenj poprečnom prvc Po opterećenjem os štp iz prvolinijskog prelzi krivolinijski oblik j krivolinijski oblik nosi nziv ELČN LNJ Poprečni presek je simetričn onos n os tko je centrifglni moment inercije 0 ose i s glvne ose Rvn opterećenj z je rvn simetrije U netrlnoj površini z leže vlkn čij žin nije promenjen (ni ztegnt ni pritisnt) Netrln os se nlzi presek netrlne površine i rvni poprečnog presek jene strne netrlne ose olzi o zteznj vlkn s rge o pritisk Veom je vžno oređivnje trnsverzlnih sil i moment svijnj (tkođe crtnje njihovih ijgrm) jer o njih zvise nponi O moment svijnj zvise i eformcije (oblik elstične linije it)
Čisto svijnje: efinicij rspore npon netrln os Kočistog svijnj nem trnsverzlnih sil jer jeino spregovi ejstvj n štp Elementrnom el žine z vlkn koj prolze kroz netrln os nkon svijnj ne menjj žin sz Džin vlkn n ljenj o netrlne ose je s s ( ρ ) ϕ( ) s s s ρϕ() () () s s ϕ() () : () s σ E ρ ρ s s ε σ E Nponi σ se proporcionlno povećvj s rstojnjem o netrlne ose Netrln os ovj eo poprečnog presek kojem s nponi n zteznje o el s pritiskom N njoj normlnih npon nem ρ-polprečnik krivine elstične linije
Oređivnje normlnih npon pri čistom svijnj U poprečnom presek postoji smo moment svijnj koji leži z rvni (l) i koji je posleic normlnih npon (l) Ekvivlentnost tih ejstv je: l l ( ) X i X i 0 0 Jenkosti ientički zovoljene l l ( ) Y i Yi 0 0 l l E ( ) Z i Zi 0 σ 0 0 ρ l l ( ) i l l ( 5) i l l ( 6) zi i i zi σ E ρ ( ) 0 0 ( ) ( ) E σ ρ ( ) 0 σ 0 ( ) ( ) E ρ Netrln os je težišn 0 σ i s glvne ose inercije Zovoljeno jer je os simetrije
Otporni moment Dimenzionisnje kočistog svijnj Pošto netrln os mor prolzi kroz težište prvo se očv li se zn položj težišt (n primer zbog simetrije onos n os) ili se mor nći težište bi se zno položj ose Čim se orei ntrln os trži se moment inercije z nj n neki o nčin Prlelno s tim tvrđje se n kom rstojnj m se nlzi tčk presek koj je s bilo koje o strn mksimlno ljen o netrlne ose Ztim se oređje otporni moment po formli W m ko je pitnj imenzionisnje n primer imenzij c efiniše veličin poprečnog presek lko je mogće bi moment inercije i otporni moment bili oblik B c W B c ge s B i B konstnte Neophono je pročiti i sttički eo nosč kko bi se oreio mksimlni moment svijnj pošto je mksimlni npon n nosč efinisn izrzom m σm W m Ztim se iz slov zovoljenj nejenkosti σ m σ onosno σ W m obij W što z je σ W B c m c B σ σ je ozvoljeni normlni npon osnov imenzionisnj je σm σ
ncilnih npon Ko i kočistog svijnj n osnov oblik eformisnog elementrnog el (hipotez rvnih presek) obij se se normlni nponi σ proporcionlno povećvj s rstojnjem o netrlne ose σ E ρ vijnje silm: efinicij Kže se je nosč izložen svijnj silm ko n njeg ejstvj opterećenj poprečnom prvc ge osim njih može biti i spregov opterećenj s ili smo sile ili osim njih i kontinlno opterećenje U opštem slčj proizvoljnom poprečnom presek postoje i moment svijnj i trnsverzln sil F zbog kojih se tčkm presek očekje postojnje kko normlnih tko i tnge Posetimo se je ovom izrz E- mol elstičnosti ρ-polprečnik krivine elstične linije D li i ko svijnj silm ko ko čistog svijnj netrln os prolzi kroz težište it vieće se nrenom pitnj
Oređivnje normlnih npon pri svijnj silm U poprečnom presek postoji osim moment svijnj koji leži z rvni i trnsverzln sil F prvc ose (l) oment je posleic normlnih npon trnsverzln sil tngencijlnih (l) Ekvivlentnost moment svijnj i sil sle normlnih nponσ ko i slčjčistog svijnj zbog σ ( E ρ) je: Z i Z l l i i l l i i l l i E 0 σ 0 ρ ( ) ( ) ( ) E σ ρ ( ) 0 0 σ 0 ( ) ( ) E ρ Netrln os je težišn 0 o je zovoljeno zto što je os simetrije σ Ovo znči s i glvne ose inercije
ngencijlni nponi pri svijnj silm N elementrni eo gree žine z (l) presek levo ejstvje moment svijnj ( z) presek esno ( z z) Normlne npone (l) tčkm presek koji je levo oređje forml σ ( z) σ tčkm presek koji je esno σ( z z) σ ' D bi nšli tngencijlni npon proizvoljnoj tčki (l) iskoristimo jenčin rvnoteže sil z prvc koje ejstvj n elementrni eo prikzn n l: σ σ τξz 0 ( σ σ) τξz τξz ( ) ( ) ( ) ( )
Pri izvođenj gornje formle iskorišćeno je je s je oznčen sttički moment površine z netrln os onosno ξ τ z ξ τ F ξ τ F ( ) z F Primer Oreiti mtemtičk zvisnost promene tngencijlnog npon s ljenjem o netrlne ose ko prvogonog presek širine b visine h? τ 6 8 h bh F h F h h b h b 8 b bh ξ b bh m 0 F bh F τ τ 0 τ τ h h
Primer Oreiti mtemtičk zvisnost promene tngencijlnog npon s ljenjem o netrlne ose ko presek prikznog n slici? z i < < ξ 0 z < τ τ z < < τ τ 0 z i < ξ F i s konstnte ( ) ( ) ( ) 5 5 τ F F ( ) ( ) ( ) ( ) τ F F
Dimenzionisnje nosč slčj svijnj silm Dimenzionisnje nosč slčj svijnj silm vrši se n isti nčin ko i ko čistog svijnj kle zimjći obzir smo normlne npone iko postoje i tngencijlni Grbo rečeno vrenosti tngencijlnih npon posebno kko će se vieti njihov rspore ž presek imj olčjć log njihovom znemrivnj pri imenzionisnj Ukrtko nkon oređivnj vrenosti z i m oređje se otporni moment po formli W m N primer ko imenzij c efiniše veličin poprečnog presek on s vrlo verovtno moment inercije i otporni moment oblik B c W B c ge s B i B konstnte kođe je neophono se proči i sttički eo nosč kko bi se oreio mksimlni moment svijnj pošto je mksimlni normlni npon n nosč efinisn izrzom σm W m Poželjno je crtnje ijgrm trnsverzlnih sil i moment svjj Korišćenjem osnove imenzionisnj σ σ koj je m σ m obij se W što z je σ W B c m c B σ je ozvoljeni normlni npon σ m W
Nosč ielnog oblik: efinicij nčin oređivnj U opštem slčj moment svijj je fkcij koorinte z tj promenljiv je ž nosč ilj je i poprečni presek cilj štee mterijl be tkođe promenljiv ž nosč i svkom poprečnom presek mksimlni normlni npon be jenk ozvoljenom: σ m ( z ) const σ ( ) ( z ) z W σ W ( z) σ ( z) Primer Z prost gre s slike kržnog poprečnog presek oreiti ielni oblik? W ( z) σ ( z) 6Fz πσ ( z) ( z) π Fz σ 0 < z l
Primer Z konzol s slike oreiti ielni oblik ob slčj? slčj-konstntn je širin presek W ( z) σ ( z) h 6 h ( z) qz σ q σ ( z) z slčj-konstntn je visin presek W b ( z) σ ( z) ( z) q z σ ( z) b qz 6 σ Npomen: Zbog tngencijlnih npon mor se korigovti sženje konzole n levom krj
Glvni nponi pri svijnj gree Pri svijnj gree svkoj tčki poprečnog presek prem izrzim F σ τ efinisni s normlni i tngencijlni nponi ξ Kroz tčk može se povći beskončno mnogo rvni i z svk o njih efinisti normlni i tngencijlni npon (σ α i τ α ) n nčin kko je to rđeno teoriji rvnog stnj npon ge z elementrne eliće s slike vže formle: σ α σ cos α σ sin α τsin α σ σ τ α sin α τcos α σ σ σ σ σ/ ± ( σ σ ) τ τm Z slčj svijnj silm ko specijlni slčj rvnog stnj npon ge je σ iz gornje slike jenko σ σ 0 (vieti onj slik) gornje formle j: σ σ σ cos α α τsin α τ α sin α τcos α σ σ/ ± σ τ τm σ τ
z strktre obrzc z glvni npon vii se je on veći o normlnog npon istoj tčki poprečnog presek p se time može posviti pitnje li postpk primenjen z imenzionisnje gree prem mksimlnom normlnom npon isprvn Prorčn je bzirn n zovoljenj slov je normlni npon njljenijim o netrlne ose tčkm presek s mksimlnim momentom svijnj mnji o ozvoljenog Pošto s bš tim tčkm tngencijlni nponi jenki nli vrenosti glvnog npon i mksimlnog normlnog s jenke i smim tim je i tkv postpk imenzionisnj isprvn eđtim ostlim tčkm presek tngencijlni nponi imj neke svoje vrenosti p je potrebno nekim tčkm presek proveriti li s glvni nponi i mksimlni tngencijlni nponi grnicm njihovih ozvoljhenih vrenosti σ i τ N primer z poprečni presek s slike treb nći mksimlni glvni npon tčki D m kom presek nosč zvisnosti o npnih moment i trnsverzlnih sil on bio i proveriti li je mnji o ozvoljenog normlnog npon σ kođe bi treblo oreiti mksimlni tngencijlni npon tčki K m kom presek nosč zvisnosti o trnsverzlnih sil on bio i proveriti li je mnji o ozvoljenog tngencijlnog npon τ U slčj provere ne j obre rezltte imenzije poprečnog presek treb korigovti