1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje veličine koje ne možemo potpuno odrediti rojem, već je potreno zadati i njihov smjer. Na primjer urzanje, strujanje, vjetar, itd. Njih zovemo vektorskim veličinama. Vektor kao skup (klasa) usmjerenih dužina Neka su A,B dvije točke na pravcu, u ravnini ili u prostoru. Dužinu s krajevima AB. Duljinu dužine AB označavamo s AB ili ( A,B) označavamo s d. Usmjerena dužina AB je du žina za koju se zna početna točka A i završna točka B. Za dvije usmjerene dužine AB, CD kažemo da su ekvivalentne ako postoji translacija koja prvu prevodi u drugu, tj. ako je četverokut ABDC paralelogram. A, B Sl. 1 Reprezentanti vektora a Definicija Skup svih međusono ekvivalentnih usmjerenih dužina nazivamo vektorom. Dakle, vektor se može predočiti pomoću više različitih usmjerenih dužina reprezentanata ili predstavnika vektora. Često se za vektor upotreljava i naziv: klasa usmjerenih dužina. Zog jednost avn o sti ćemo ilo koju usmjerenu dužinu (reprezentantu vektora) nazivati vektorom i označavati AB, CD, ili a,,. Skup svih vektora nekog prostora označavat ćemo s V. Za naše potree V će iti jednodimenzionalni prostor V 1 (pravac), dvodimenzionalni prostor V 2 (ravnina) ili trodimenzionalni prostor V 3. Geometrijski, vektor je zadan sa: pravcem nosiocem na ko se vektor nalazi, jem duljinom ili modulom: d A,B, AB = ( ) orijentacijom na pravcu nosiocu. Ponekad se govori o smjeru vektora. Smjer ojedinjuje nosioca i orijentaciju. - 1 -
OPERACIJE S VEKTORIMA Potreni pojmovi: Nul vektor - vektor duljine 0, - oznaka: 0, - vrijedi: 0 = AA = BB =, - duljina (modul) nul vektora: 0 = 0. Jedinični vektor - vektor duljine 1, - za zadani vektor a, duljine a, jedinični vektor je definiran sa - a 0 je vektor koji ima isti smjer kao i a a duljina mu je 1. a = a a 0, Radijvektor (radijus vektor) Ako je T neka točka prostora a O ishodište koordinatnog sustava, vektor OT nazivamo radijvektor točke T. Zapisujemo ga i r T. Za svaki vektor možemo izarati njegovog predstavnika tako da mu početna točka ude aš točka O. Na taj se način doiva radijvektor neke (ilo koje) točke. Kolinearni vektori Vektori koji pripadaju istom ili paralelnim pravcima. Komplanarni vektori Vektori koji pripadaju istoj ili paralelnim ravninama. Sl. 2 Kolinearni vektori Projekcija vektora Ortogonalna projekcija u ravnini na pravac p je funkcija koja svakoj točki A ravnine pridružuje točku u kojoj okomica na p, koja prolazi točkom A, siječe pravac p. Ortogonalna projekcija u prostoru na pravac p je funkcija koja svakoj točki A prostora pridružuje točku u kojoj ravnina koja prolazi točkom A, a okomita je na p, siječe pravac p. Zadatak: Nacrtati vektorsku projekciju vektora na pravac p. a Sl. 3 Projekcija vektora na pravac - 2 -
I. Zrajanje vektora Neka su a i ilo kakvi vektori. Zrajanje vektora je funkcija a, pridružuje vektor a +. koja paru vektora ( ) Vektore zrajamo po pravilu trokuta ili po pravilu paralelograma. Sl. 4 Pravilo trokuta Svojstva operacije zrajanja: (1) ( a + ) + c = a + ( + c ), (2) a + 0 = 0 + a = a, (3) ( ) ( ) 0 a + a = a + a =, (4) a + = + a. Sl. 5 Pravilo paralelograma Oduzimanje vektora Oduzimanje vektora se definira kao operacija zrajanja a : = a +. sa suprotnim vektorom: ( ) Sl. 6 Oduzimanje vektora II. Množenje vektora sa skalarom (rojem) a λ realni roj. Množenje vektora sa skalarom je funkcija koja paru ( λ a) Neka je vektor i pridružuje vektor λ a. Za vektor λa vrijedi: a i λ a su kolinearni (imaju isti ili paralelni nosač), λ a = λ a, λ > 0 a i λ a su isto orijentirani, λ < 0 a i λ a su suprotno orijentirani., Svojstva opera c ije množenja sa skalarom: (5) λ ( a + ) = λa + λ, (6) ( λ + µ ) a = λa + µ a, (7) ( λµ ) a = λ( µ a) = λµ a, (8) 1 a = a, ( 1) a = a, 0 a = 0. Skup V s operacijama zrajanja i množenja sa skalarom te svojstvima (1) (8) tvori strukturu koju nazivamo vektorski (linearni) prostor, i koju zapisujemo (V, +, ). - 3 -
III. Skalarni produkt vektora (skalarni umnožak) Neka su a, dani vektori, i ϕ = ( a, ) kut među vektorima a i. Skalarni produkt (umnožak) vektora i (skalar) a R, definirana sa: a = a cosϕ. a je funkcija koja paru vektora ( a, ) pridružuje roj Pomoću skalarnog produkta izračunava se i projekcija vektora na vektor, tj. a 0 = a cosϕ = a fl skalarna projekcija vektora a na vektor, a 0 = cosϕ = a fl skalarna projekcija vektora na vektor a, Sl. 7 Skalarne projekcije vektora na vektor a 0 0 = a0 fl vektorska projekcija vektora a na vektor, a a = a fl vektorska projekcija vektora na vektor a. ( ) ( ) 0 0 a 0 Posljedice skalarnog množenja: 2 (1) a a = a a cos 0 = a, a = a a, (2) a a = 0, a = 0 a ili je arem jedan jednak 0, a (3) cos ϕ =,( 0 ϕ π). a Svojstva skalarnog množenja: (1) a a 0, a a = 0 a = 0, - nenegativnost (2) λ ( a ) = ( λa) = a( λ ), - homogenost (3) a = a, - komutativnost a + c = a + a. - distriutuvnost (4) ( ) c Primjer: Za vektore a, vrijedi: ( a = 5, = 30, a, ) = 45. Neka su e = 4 a, f = a + 3. Izračunati e f. e f ( ) ( ) = 4 a a + 3 = 4a a + 11a 3 = = 70 + 55 3. - 4 -
IV. Vektorski produkt vektora (vektorski umnožak) Neka su a, dani vektori, i ϕ = ( a, ) kut među vektorima a i. Vektorski produkt (umnožak) vektora a i je funkcija a, pridružuje vektor a. koja paru vektora ( ) Za vektor a vrijedi: a = a sinϕ Sl. 8 Modul vektorskog produkta Geometrijski, modul vektorskog produkta jednak je površini paralelograma što ga zatvaraju vektori a i. To vidimo iz: a = a sinϕ = a v. Vektor a je na vektor a i na vektor. a, kolinearni a = 0, a = 0 a, kolinearni ili je arem jedan od njh 0. Trojka vektora ( a,,a ) čini desnu trojku, tj. gledano iz vrha vektora a rotacija iz a u suprotna je gianju kazaljke na satu. Svojstva vektorskog množenja: (1) a a = 0, (2) λ ( a ) = ( λa) = a ( λ ), - homogenost (3) a = ( a), - antikomutativnost a + c = a + a. - distriutuvnost (4) ( ) c V. Mješoviti produkt vektora Neka su a, i c dani vektori. Mješoviti produkt (umnožak) vektora vektora ( a,,c ) pridružuje roj ( a ) c R. a c = a,,c Oznaka: ( ) ( ) a, i c je funkcija koja trojki Svojstva: (1) ( a ) c = ( c) a = ( c a) = ( a,,c), a c = a c = c a = a,,c. (2) ( ) ( ) ( ) ( ) - 5 -
Geometrijska interpretacija mješovitog produkta: Neka su a, i c = a,c zadani nekomplanarni vektori i a i. ϕ ( ) kut među vektorima ( ) c Tada je ( a ) c = a c cosϕ v cosϕ =, v = c cosϕ, B = a Sl. 9 c a c = B v = ±, tj. apsolutna vrijednost mješovitog produkta triju vektora ( ) V jednaka je volumenu paralelepipeda kojeg tvore ti vektori (vidi sliku 9). - 6 -