Πανεπιστημιο Κυπρου Τμημα Ηλεκτρολογων Μηχανικων και Μηχανικων Υπολογιστων ΗΜΥ : Σηματα και Συστηματα για Μηχανικους Υπολογιστων Κεφάλαιο 5: Μετασχηματισμοί Fourier σε διακριτά σήματα!"#!"#! "#$%
Σημειώσεις διαλέξεων στο: http://www.eng.ucy.ac.cy/chadcha/ Οι σημειώσεις γράφτηκαν από τον καθηγητή Χαράλαμπο Δ. Χαραλαμπους (009). Τροποποιήθηκαν από τον επισκέπτη λέκτορα Θεμιστοκλή Χαραλάμπους (00).
Εισαγωγή Εστω x[.] μη περιοδικό. Κάτω από ορισμένες συνθήκες,το ξ[.] μπορεί να παρασταθεί με ολοκλήρωμα Fourier x[n] e jωn x[k] e jωk dω (.) <> }{{} X(e jω ) Τότε x[n] X(e jω ) e jωn dω (.) <> X(e jω ) } { } Σημειογραφία: x[n] F {X(e jω ), X(e jω ) F x[n] Δικαιολόγηση: (Μετάβαση από φασματική απεικόνιση σε ολοκλήρωμα Φουριερ) x[n]e jωn (.3) x[n] : x[n] aperiodic N N n N ~ x [ n ]: ~ x [ n ] periodic...... N N n x[.] έχει θεμελιώδη περίοδο Ν (ω o N ) x[n] x[n], n [ N, N ] Φασματική απεικόνιση του x[.]: α k N x[n] k<n> n<n> period. me per. N α k e jk N n (.4) x[n] e jk N n }{{} Αφού x[n] x[n] σε μια περίοδο που περιλαμβάνει το [ N, N ] N α k x[n]e jk N n N N n N x[n]e j N nk, x[n] 0 έξω από N n N
ΗΜΥ 30 Ορίζω X(e jω ) x[k] e jωn α k N X(ejkωo ), ω o N (α k s είναι ανάλογα των δειγμάτων του X(e jω ), ω διάστημα δειγμάτων στο πεδίο συχνοτήτων) x[n] N X(ejkωo )e jkωon Ορίζω ( ω k kωo, k I ω o ω k+ ω k ωk k<n> ) x[n] k<n> X(e jkωo )e jkωon ω o, N ω k 0 X(e jω k )e jω kn }{{} k<n> περιοδική: περίοδος Αξίζει να σημειωθεί ότι: N x[n] x[n] x[n] lim x[n] lim x[n] N ω k 0 X ω o N ( N ω o ω k ) ω k X(e jω )e jωn dω jk jn e e periodic in : period (.5) 0 X x[n] x[n] lim N jk jk0 e e 0 n ω k <> k<n> k 0 ( k ) X(e jω k )e jω kn ω k x[n] }{{} X(e jkωo ) ω k }{{} apeikonizei epifaneia tetragwnwn X(e jω )e jωn dω <> 0 lim ω k 0 x[n]
ΗΜΥ 30 3 Απορρέει κι από Συνεχή Μετασχηματισμό Fourier: Εστω x(t) μη περιοδική: X(ω) F{x(t)} x(t)e jωt dt Sampling: x(t) X n x ( t) x[ n] x( t) δ ( t nt) s n δ (t nt) (α) Μετασηματισμός Fourier Διακριτών Σημάτων X s (ω) F{x s (t)} X s (ω) x(nt )e jωt n x s (t)e jωt dt x(t)δ(t nt )e jωt dt έστω ω ωt X(e j ω ) F{x[n]} x[n]e j ωn (.6) e j ωn είναι περιοδική με περίοδο στην μεταβλητή ω { X(e j ω ) επίσης περιοδική με περίοδο } X(e j( ω+) ) x[n]e j( ω+)n x[n]e j ωn X(e j ω ) (β)αντίστροφος Μετασχηματισμός Διακριτών Σημάτων X(e j ω ) X(e j ω )e j ωn d ω <> <> X(e j ω )e j ωn d ω p j ωp x[p]e <> p <> p x[p]e j ωp e j ωn d ω x[p]e j ω(n p) d ω Υπενθύμιση: 0 e j ω(n p) d ω {, if n p 0, n p <> x[n] X(e j ω )e j ωn d ω <> p X(e j ω )e j ωn <> x[p]e j ω(n p) d ω x[n]
ΗΜΥ 30 4 Σύγκλιση Μετασχηματισμού Fourier Διακριτών Σημάτων. Εδώ θα δούμε πότε το ξ[.] μπορεί να γραφτεί σαν ολοκλήρωμα Fourier. Συνθήκες: (ι) x[n] < (x[n] είναι απόλυτα αθροίσιμη), π.χ., x < ή (ιι) x[n] < (x[n] έχει πεπερασμένη ενέργεια), π.χ., x < Παράδειγμα.. Διόρθωση: ω W (α) x[n] δ[n] X(e jω ) ˆx[n] W W ejωn dω W π δ(n) Διόρθωση: ω W, ˆx[n] W π sin W n W n W π ω n ωn ω n W n sin(ω n ), ω n W n ω n sin x x 3 0 x k, k,,... ^ x [ n ] /4 n0 n n n 4 n n 3,, 3, 4 4 n n3 n 0 n (n) n n
ΗΜΥ 30 5 ^ x [ n ] n0 / n, n n n n n4 0 n (n) n n n 3 ^ x [ n ] n0 n n n when ^ x[ n] x[ n] n n n (n) Σημείωση: Εστω ξ[ν] μη περιοδική. Προσέγγιση: ˆx[n] W X(e jω )e jωn dω, W π. Τότε ˆx[n] x[n], gia W π Μη φαινόμενο Gibb s W (β) x[n] α n u[n], α < X(e jω ) α n u[n]e jωn (αe jω ) n αe jω n0
ΗΜΥ 30 6 Διόρθωση: 0 < α <, α α X ( e j ) 0 periodic Low pass X ( e j ) 0 High pass Διόρθωση: < α < 0, α +α
ΗΜΥ 30 7 3 Μετασχηματισμός Fourier Περιοδικού Σήματος Στα σήματα συνεχούς χρόνου ο μετασχηματισμός Fourier (MF) του e jωot εκφράζεται με ένα παλμό στο ω ω o. Ο MF διακριτού χρόνου όμως πρέπει να είναι περιοδικός στο ω με περίοδο. Οπότε ο MF του x[n] e jωon πρέπει να έχει παλμούς στα ω o, ω +, ω + 4π και λοιπά. Δικαιολόγηση: x[.] είναι περιοδικό με θεμελιώδη συχνότητα ω o και φασματική απεικόνιση x[n] k<n> α ke jk N n Estw F{x[n]} ˆx[n] e jωon Upojetw : ˆX(e jω ) ~ X( e jω ) ( α k δ ω k ) N δ(ω ω o k)...... ω ω 0 0 ω + 0 0 0 ω ω Επαλήθευση: ˆX(e jω )e jωn dω <> l δ(ω ω o l)e jωn dω X(e jω ) e jωon Εστω x[n] F{x[n]} k<n> k<n> Στο διάστημα [0, ] : X(e jω ) α k e jk( N )n α k F{e jk( N )n } k<n> F{e jk( N )n } δ(ω k N ) α k δ(ω k ), 0 ω N Αφού X(e jω ) είναι περιοδική με περίοδο, επομένως X(e jω ) αποτελείται από σετ N παλμών ισχύς α k, k 0,,,..., N, και επαναλαμβάνεται στα διαστήματα N ω }{{} o. Οπότε N π.χ. Ν3 ή X(e jω ) N k0 α k δ(ω kω o ), ω
ΗΜΥ 30 8 N N... α α α 0 α α α 0 α α... ω 0 ω 0 0 ω 0 3 ω 0 3 3ω 0 3 3 point ω N 3 Με άλλο τρόπο: x[n] k<n> X(e jω ) α k δ(ω N k), ω α k e jk( N )n α 0 + α e j( N )n + α e j( N )n + + α N e j(n )( N )n F{α 0 } F{e jω0n } ω00 l α 0 δ(ω l) α0 α N α0 α 0 α N α k α K+N...... 0 ω F{α e j( N )n } l α δ(ω N l) α N+... πα α πα α N+... α k α K+N ( N +) N N ( N +) N ω
ΗΜΥ 30 9 F{α e j( N )n } l α δ(ω N l) πα α α N+ πα α N+...... ( N + ) N N ( N + ) N ω F{α N e j(n )( N )n } l α N δ(ω (N ) N l) ( N ) N N ( N ) N...... ω N α N πα α N N πα πα α N α α 0 α α N πα N +............... 0 N N ( N + ) N ω Παράδειγμα 3.. x[n] cos ω 0 n ejω0n + e jω0n, ω 0 5 X(e jω ) πδ(ω ω 0 l) + πδ(ω + ω 0 l) l l X(e jω ) πδ(ω ω 0 ) + πδ(ω + ω 0 ), π ω < π και X(e jω ) επαναλαμβάνεται περιοδικά με περίοδο Παράδειγμα 3.. Περιοδική Παλμοσειρά: x[n] δ[n kn]
ΗΜΥ 30 0 X( e jω ) π + ω0 ω0 ω 0 0 ω ω 0 0 + + ω0 ω x[n] N 0 N N n α k N n<n> x[n]e jk N n N n<n> l α k, [διάστημα αθροίσματος 0 n N ] N x[n] ejk N n N X(e jω ) k<n> δ(ω N N k) δ[n ln]e jk N n X( e jω )... N... 0 N ω 0 ω 4 Ιδιότητες Διακριτού Μετασχηματισμού Fourier Σημείωση: F{x[n]} X(e jω ) x[n] F {X(e jω )} x[n] F.T. X(ejω )
ΗΜΥ 30 Περιοδικότητα: X(e j(ω+) ) X(e jω ) Απόδειξη X(e j(ω+) ) x[n]e jωn Γραμμικότητα: Απόδειξη n } {{ } X(e jω ) e jn F{α x [n] + α x [n]} α X (e jω ) + α X (e jω ), α, α C F{α x [n] + α x [n]} α Μετατόπιση Χρόνου και Συχνότητας: (α) F{x[n n 0 ]} e jωn0 X(e jω ), n 0 I (β) F{e jω0n x[n]} X(e j(ω ω0) ), ω 0 R Απόδειξη (a) F{x[n n 0 ]} (b) F{e jω0n x[n]} π.χ. Εστω F{h L [n]} H L (e jω ) x[n n 0 ]e jωn e jω0n x[n]e jωn H L( e (α x [n] + α x [n])e jωn x [n]e jωn + α jω ) ń ń x [n]e jωn x[ń]e jωń e jωn0, ń n n 0 }{{} X(e jω ) x[n]e j(ω ω0)n X(e jω ) ω ω ω0 ω c + ω c π ωc ωc π ωc + ωc Αφού H H (e jω ) H L (e j(ω π) ) π.χ., H H (e jπ ) H L (e j(π π) ) H L (e j0 ) h H [n] e jπn h L ( ) n h L [n] Συζυγής Συμμετρία: (a) x [n] F.T. X (e jω ) { Αν x[n] πραγματικός, (b) π.χ., x[n] x [n] } F.T. { X ( e jω ) X (e jω ) } (c) πραγματικό{x(e jω )} άρτια συνάρτηση του ω μηγαδικό{x(e jω )} περιττή συνάρτηση του ω αν x[n] πραγματικός
ΗΜΥ 30 Κατασκευή Βαθυπερατού Φίλτρου: H H ( e jω ) π ω c π π + ω c π ωc π π + ωc ω Απόδειξη (a) F{x [n]} x [n]e jωn ( ( X (e jωn ) x[n]e jωn ) x[n]e j( ω)n ) ω ω (b) F{x[n]} x[n]e jωn ( X (e jωn ) x[n]e jωn ) (c) X(e jω ) Re{X(e jω )} Im{X(e jω )} x[n]e jωn x[n] cos(ωn) j x[n] sin(ωn) x[n] cos(ωn) άρτια συνάρτηση του ω x[n] sin(ωn) περιττή συνάρτηση του ω Άθροισμα και Διαφορά: (α) x[n] x[n ] F.T. ( e jω )X(e jω ) (β) n m x[m] F.T. ( e jω ) X(ejω ) + πx(e j0 ) δ(ω k)
ΗΜΥ 30 3 π.χ. x[n] u[n] F.T. ( e jω ). + π Απόδειξη δ(ω k) Αντιστροφή Χρόνου: F.T. δ[n] G(e jω ) n u[n] δ[m] F{u[n]} F{ m n m δ[m]} ( e jω ). + π δ(ω k) x[ n] F.T. X(e jω ) Απόδειξη: F{x[ n]} x[ n]e jωn m m x[m]e jωm x[m]e j( ω)m }{{} X(e jω ) ω ω Χρονική επέκταση: Ορίζω { x[ n x (k) [n] k ], αν n είναι πολλαπλάσιο του k(n rk) 0, αν n δεν είναι πολλαπλάσιο του k x (k) [n] καθυστερημένη έκδοση του x[n] και x (k) [n] X(e jkω ) X (k) (e jω ) F{x (k) [n]} r r x (k) [n]e jωn x (k) [rk] }{{} x[r] e jωrk [n rk] x[r]e j(ωk)r X(e jkω )
ΗΜΥ 30 4 X[n] X_3[n] -3 - - 0 3 n 0 3 4 5 6 n Παράδειγμα 4.. x[n]...... - - 0 n X(e^j) - - 0
ΗΜΥ 30 5 Παράδειγμα 4.. X_()[n] n -4-3 - - 0 3 4 X_()(e^j)(e^j) Παράδειγμα 4.3. - -/ 0 / X_(3)[n] n -3 - - 0 3 4 5 6 X_(3)(e^j)(e^j3) -/3 -/3 0 /3 /3
ΗΜΥ 30 6 Παράγωγος Συχνότητας: nx[n] F.T. j d dω X(ejω ) Απόδειξη: X(e jω ) d dω X(ejω ) x[n]e jωn x[n]( jn)e jωn j nx[n]e jωn Σχέση Parseval: Απόδειξη: x[n] X(e jω ) dω ( x X(ejω ),[0,] ) <> x[n] x[n]x [n] x[n](f {X(e jω )}) x[n]( <> X(e jω )e jωn dω } <> {{ } x[n] ) x[n] X (e jω )e jωn dω <> X (e jω ) X(e jω ) dω <> x[n]e jωn dω } {{ } X(e jω ) π.χ. x[n] cos ω 0 n ejω0n + e jω0n πδ(ω ω 0 ) + πδ(ω + ω 0 ), π ω π Ιδιότητα Συνέλιξης: x[n] y[n] X(e jω )Y (e jω ) Απόδειξη: F(x[n] y[n]) x[k] x[k]y[n k]e jωn y[n k]e jωn }{{} F{y[n k]}y (e jω )e jωk x[k]e jωk Y (e jω ) } {{ } X(e jω )
ΗΜΥ 30 7 Παράδειγμα 4.4. x[n] LTI y[n] h[n][n-n_0] H(e jω ) δ[n n 0 ]e jωn e jωn0 Y (e jω ) e jωn0 X(e jω ) y[n] x[n n 0 ] Παράδειγμα 4.5. (e^j) - - -_0 0 _0 h[n] π H(e jω )e jωn dω π ω0 e jωn dω ω 0 sin ω 0n πn ω 0 π sin ω 0 n ω 0 n
ΗΜΥ 30 8 Παράδειγμα 4.6. X(e^j) H(e^j) Y(e^j) όπου X(e jω ) βe jω, H(e jω ), α <, β <, αe jω α β Y (e jω ) αe jω βe jω A αe jω + B βe jω A Y (e jω )( αe jω ) /αe jω α α β B Y (e jω )( βe jω ) /βe jω β α β Y (e jω ) α α β αe jω β α β βe jω F {Y (e jω )} α α β F { αe jω } β α β F { βe jω } y[n] α α β αn u[n] + β α β βn u[n] Διόρθωση Εαν α β, Y (e jω) ) ( αe jω ) αe jω + αe jω ( αe jω ) αe jω + αe jω ( αe jω ) Διαμόρφωση (Συνέλιξη στο πεδίο συχνότητας): y[n] x [n]x [n] F{x [n]} X (e jω ) F{x [n]} X (e jω ) F{y[n]} <> X (e jθ )X (e j(ω θ) )dθ X (e jω ) X (e jω )
ΗΜΥ 30 9 Απόδειξη Y (e jω ) y[n]e jωn x [n]x [n]e jωn x [n]{ X (e jθ )e jθn dθ}e jωn <> X (e jθ )[ x [n]e j(ω θ)n ]dθ <> } {{ } X (e j(ω θ) ) X (e jθ )X (e j(ω θ) )dθ <> όπου Εστω x[n] x [n]x [n], x [n] X(e jω ) <>[ π,π] (μη περιοδική συνέλιξη) ˆX (e jω ) X(e jω ) 3πn sin( 4 ) πn x [n] sin( πn ) πn X, (e jθ )X (e j(ω θ) )dθ { X (e jω ), π < ω π 0, διαφορετικά ˆX (e jω )X (e j(ω θ) )dθ
ΗΜΥ 30 0 X_(e^j) - -/ / _(e^j) - -3/4 0 3/4 5 Ανάλυση συνελικτικών συστημάτων με μετασχηματισμό Fourier Ανακεφαλαίωση : x[n]e^jn LTI y[n] H(e^j)e^jn H(e jω ) h[n] h[n]e jωn [Μετασχηματισμός Fourier] Η απόκριση συχνότητας ενός ΓΧΑ συστήματος είναι ο μετασχηματισμός Fourier της κρουστικής απόκρισης.
ΗΜΥ 30 x[n] h[n] y[n] Συνελικτικό Σύστημα: y[n] (h x)[n] F{y[n]} F{(h x)[n]} F{h[n]}F{x[n]} Y (e jω ) H(e jω )X(e jω ) (5.7) H(e jω ) είναι η απόκριση συχνότητας του συστήματος γιατί για x e jω0n έχουμε y[n] h[k]e jω0(n k) F{h[n]}e jω0n H(e jω0 )e jω0n h[k]e jω0k e jω0n Συμπέρασμα: Η συμπεριφορά εισόδου-εξόδου ενός συνελικτικού συστήματος με κρουστική απόκριση, h[n],έχει μετασχηματιμό Fourier (π.χ., h < ορ h < ) καθορίζεται από την απόκριση συχνότητας. Παράδειγμα 5.. H(e jω ) F{h[n]} N α k y[n k] k0 M β k x[n k] k0 N M F{ α k y[n k]} F{ β k x[n k]} k0 N α k e jkω Y (e jω ) k0 (Γραμμικό, Χρονική Μετατόπιση) H(e jω ) Y (ejω ) X(e jω ) k0 M β k e jkω X(e jω ) k0 M k0 β ke jkω N k0 α ke jkω Παράδειγμα 5.. h[n] α n u[n], α < H(e jω ) α n e jωn αe jω n0 H(e jω ) + α α cos ω H(e jω ) tan α sin ω α cos ω
ΗΜΥ 30 (e^j) /(-) /(+) - - Phase of (e^j) tan a a - - /(+) tan a a Παράδειγμα 5.3. Αξιώνω: x[n] e jω0n, ω 0 αυθαίρετο [όχι απαραίτητα περιοδικό] X(e jω ) m δ(ω ω 0 m) Στο διάστημα [0, ], X(e jω ) αποτελείται από δ συναρτήσεις ισχύος που συμβαίνει στο ω ω 0 ] X(e jω ) είναι περιοδική επέκταση με περιορισμό το [0, ] Αιτιολόγηση: x[n] F {X(e jω )} π X(e jω )e jωn dω π π δ(ω ω 0 m)e jωn dω x[n] e jωon π m
ΗΜΥ 30 3 X(e^j) _0-4 _0-0 _0 _0+ Τροποποίηση: x[n] e jkω0n, ω 0 N [περιοδικό] X(e jω ) δ(ω kω 0 m) m X(e jω ) m δ(ω kω 0 Nω 0 m) [ Nω 0 ] X(e^j)...... (-)_0 (-)_0 _0 (+)_0 (+)_0
ΗΜΥ 30 4 Παράδειγμα 5.4. H(e jω ) {, ω ωc 0, ω c < ω < π (e^j) - -_c _c -_c+ _c+ h[n] ωc e jωn dω ω c sin ω cn πn h[n] ω c π e jωn jn ωc ω c sin ω c n ω c n e jωcn e jωcn jn h[n] _c/4 _n_cn _n(n)
ΗΜΥ 30 5 Παράδειγμα 5.5. h[n] δ[n] sin(πn/8) πn x[n] cos( πn 9 ) + sin( πn 7 + ) } x[n] h[n] y[n] Υπολογίστε το y[n]. Λύση: Διόρθωση x [n] cos πn 9 περιοδική N 8 x [n] sin( πn 7 + ) περιοδική N 4 Αν p, q ακέραιοι pn qn N, τότε x[n] είναι περιοδική. N 6 [θεμελιώδης συχνότητα] ω 0 6 } x[n]είναι περιοδική ανx[n + N] x [n + N] + x [n + N] x[n] jπn [e 9 + e jπn 9 ] + j [ej +j πn 7 e j j πn 7 ] x[n] ej7ω0n + ej j ej9ω0n e j j ej7ω0n + ej9ω0n [Αφού kω 0 αντιστοιχεί (N k)ω 0 οπότε π 7 7ω 0, π 9 9ω 0] 7ω 0 π 9, 9ω 0 π 7, α k α N+k, α 7 α 9 α 7, α 9 α 7 e j j, α 9 α7 α k 0, 0 k 5
ΗΜΥ 30 6 Από F{e jωon } δ(ω ω 0 k) X(e jω ) { δ(ω 7ω 0) + ej j δ(ω 9ω 0) e j j δ(ω 7ω 0) + δ(ω 9ω 0)}, 0 ω H(e jω ) sin πn/8 F{ } πn πn/8 F{sin 8 πn/8 } πn/8 F{sin 8 πn/8 } H N (e jω ), π ω π όπου H N (e jω ) H(e jω ) Παράδειγμα 5.6. {, 0 ω π 8 π 0, 8 { ω < π, π 5π 8 ω < 8 0, εκτος Y (e jω ) H(e jω )X(e jω ) [ ej j δ(ω 9ω 0) e j j δ(ω 7ω 0)] y[n] ej j ej9ω0n e j j ej7ω0n, 9ω 0 π 7, 7ω 0 9ω 0 π 7 y[n] sin( πn 7 + ) y[n] 3 4 y[n ] + y[n ] x[n] 8 H(e jω ) ( e jω )( 4 e jω ) H(e jω 4 ) e jω 4 e jω h[n] 4( n ) u[n] ( nu[n] 4 )
ΗΜΥ 30 7 6 Συνδέσεις (α) Παράλληλη x[n] h_[.] + + y[.] X H_ + Y + (H_+H_) h_[.] H_ (β) Σειριακά x h_ h_ y X H_ H_ Y x y h_*h_ X H_.H_ Y (ς) Αντίστροφα x h_ h_ x h *h X H_ H_ Y H H
ΗΜΥ 30 8 Παράδειγμα 6.. (-)^n (-)^n x H_lp(e^j) w_(n) x w_3(n) x(n) + y(n) H_lp(e^j) w_4(n) Να βρεθεί η απόκριση συχνότητας του συστηματος στο σχήμα. -/4 \4 w (n) ( ) n x(n) e jπn x(n) W (e jω ) X(e j(ω π) ) w (n) w (n) h lp (n) W (e jω ) W (e jω )H LP (e jω ) X(e j(ω π) )H LP (e jω ) w 3 (n) ( ) n w (n) e jπn w (n) W 3 (e jn ) W (e j(ω π) ) X(e j(ω ) )H LP (e j(ω π) ) W 3 (e jω ) X(e jω )H LP (e j(ω π) )(από περιοδικότητα) w 4 (n) x(n) h lp (n) W 4 (e jω ) X(e jω )H LP (e jω ) y(n) w 3 (n) + w 4 (n) Y (e jω ) W 3 (e jω ) + W 4 (e jω ) Y (e jω ) X(e jω )[H LP (e j(ω π) ) + H LP (e jω )] }{{} Απόκριση συχνότητας (e^j) - -3/4 -/4 /4 3/4