Iskazna logika se bavi rečenicama kao celinama, i ne zalazi u njihovu unutrašnju strukturu, ne razlikuje njihove posebne elemente.

Zadatak predikatske logike Iskazna logika se bavi rečenicama kao celinama, i ne zalazi u njihovu unutrašnju strukturu, ne razlikuje njihove posebne elemente. Zbog toga se pomoću iskaznih formula ne može izraziti sve ono što inače izražavamo u matematici. Na primer, iskaznom formulom se ne može izraziti postoji element u skupu X koji nije u skupu Y. Za simboličko izražavanje takvih rečenica očito nisu dovoljni samo iskazna slova i iskazni veznici. Pored toga, postoje primeri logičke argumentacije koji izgledaju savršeno ispravni, ali se ne mogu izraziti korišćenjem iskazne logike. Matematička logika 2 Predikatska logika - I deo

Zadatak predikatske logike Primer 1: 1. Svi mačori imaju repove. 2. Tom je mačor. Iz ovih dveju rečenica trebalo bi da smo u stanju da zaključimo sledeće: 3. Tom ima rep. Da bi pokazali da je ova argumentacija ispravna, moramo biti u stanju da identifikujemo individue, kao što je Tom, zajedno sa njihovim svojstvima i predikatima. To je zadatak predikatske logike. Matematička logika 3 Predikatska logika - I deo

Zadatak predikatske logike Generalno, predikati se koriste da se opišu izvesna svojstva i odnosi izmed u individua i objekata. Primer 2: U Petar i Marko su braća, izraz su braća je predikat. Entiteti povezani na ovakav način, kao što su Petar i Marko, nazivaju se termi. Naziv term bi se mogao prevesti kao izraz. Med utim, kako se pojam izraz ovde koristi u opštijem i neformalnom smislu, to se kod nas naziv term odomaćio baš u takvom obliku. U predikatskoj logici termi igraju ulogu sličnu onoj koju u prirodnom jeziku igraju imenice i zamenice, a predikati ulogu sličnu glagolima. Matematička logika 4 Predikatska logika - I deo

Zadatak predikatske logike Pored terma i predikata, u predikatskoj logici koriste se i kvantifikatori ili kvantori. Njihova uloga je da naznače koliko često je neko tvrd enje tačno. Univerzalni kvantifikator se koristi da naznači da je tvrd enje uvek tačno. Sa druge strane, egzistencijalni kvantifikator se koristi da naznači da je tvrd enje ponekad tačno. Primer 3: U Svi mačori imaju repove, rečju svi ističe se da je tvrd enje mačori imaju repove univerzalno tačno. Matematička logika 5 Predikatska logika - I deo

Zadatak predikatske logike Predikatska logika je uopštenje iskazne logike. Zbog toga, pored terma, predikata i kvantifikatora, jezik predikatske logike sadrži i iskazne promenljive, konstante i veznike. Značajnu ulogu igraju i funkcije, koje su ključne kada se razmatraju jednačine. Matematička logika 6 Predikatska logika - I deo

Predikatska logika u Informatici Predikatska logika predstavlja osnovu jezika logičkog programiranja, kakav je Prolog. Predikatska logika se sve više korisiti u specificiranju zahteva računarskih aplikacija. U oblasti verifikacije korektnosti programa, predikatska logika omogućava da se precizno utvrdi pod kakvim uslovima program daje korektan izlaz. Matematička logika 7 Predikatska logika - I deo

Domen Primer 4: Razmotrimo sledeću argumentaciju: 1. Marija je Petrova majka. 2. Marija je Markova majka. 3. Svake dve muške osobe koje imaju istu majku su rod ena braća. 4. Petar i Marko su rod ena braća. Med utim, istinitist tvrd enja Marija je Petrova majka može se proceniti samo unutar odred enog konteksta. Postoji puno osoba koje se zovu Marija i Petar, i bez preciznijih informacija tvrd enje se odnosi na mnogo različitih ljudi, što ga čini višesmislenim. Matematička logika 8 Predikatska logika - I deo

Domen Da bi se sprečile takve višesmislenosti uvodi se sledeći pojam: Domen ili univerzum razmatranja je kolekcija svih osoba, ideja, simbola, struktura podataka, itd., na koje se odnosi logička argumentacija koju razmatramo. U ranijem primeru o Mariji, Petru i Marku, višesmislenost se može izbeći ako domen ograničimo na osobe koje žive u odred enoj kući, stambenoj zgradi i slično. Mnoge argumentacije uključuju brojeve, i u takvim slučajevima moramo precizirati da li je domen skup prirodnih, celih, racionalnih, realnih ili kompleksnih brojeva. Matematička logika 9 Predikatska logika - I deo

Domen Istinitost tvrd enja može zavisiti od domena koji smo izabrali. Na primer, tvrd enje postoji najmanji broj je tačno ako je domen skup prirodnih brojeva, ali nije tačno ako je domen skup celih brojeva. Elemente domena nazivamo individue. Individua može biti osoba, broj, struktura podataka, ili bilo šta drugo što zahteva da se o njemu rasud uje. Da bi se izbegao trivijalan slučaj, dogovorićemo se da svaki domen mora da sadrži bar jednu individuu. Umesto naziva individua ponekad se koristi naziv objekat. Matematička logika 10 Predikatska logika - I deo

Domen Da bi uputili na izvesnu konkretnu individuu ili objekat, koristimo identifikatore koje nazivamo individualne konstante. Ako se domen sastoji od osoba, individualne konstante mogu biti njihova imena. U slučaju prirodnih brojeva, individualne konstante su cifre koje predstavljaju te brojeve. Svaka individualna konstanta mora jednoznačno da identifikuje jednu konkretnu individuu, i nijednu drugu. Matematička logika 11 Predikatska logika - I deo

Predikati Generalno, predikatima se izražavaju tvrd enja o individuama, kao u Petar i Marko su rod ena braća. Ana je Markova majka. Tom je mačak. Zbir brojeva 2 i 3 je 5. U ovim primerima individue smo označili plavom bojom. U svakom od ovih tvrd enja postoji lista individua, koja je zadata listom argumenata, zajedno sa frazama koje opisuju izvesna svojstva ili relacije izmed u individua navedenih u listi argumenata. Ta svojstva ili relacije nazivamo predikatima. Matematička logika 12 Predikatska logika - I deo

Predikati U tvrd enju Petar i Marko su rod ena braća lista argumenata sa satoji od Petar i Marko, tim redom, dok je predikat opisan frazom su rod ena braća. Sliņo, tvrd enje Tom je mačak ima listu argumen ata sa samo jednim elementom Tom, a predikat je opisan sa je mačak. Elemente liste argumenata nazivamo argumentima. Argumenti mogu biti ili promenljive, ili individualne konstante, ali pošto još uvek nismo govorili o promenljivim, zadržaćemo našu pažnju samo na slučajeve kada su svi argumenti individualne konstante. Matematička logika 13 Predikatska logika - I deo

Predikati U predikatskoj logici, svaki predikat je zadat svojim imenom, za kojim sledi lista argumenata, koja je ograd ena malim zagradama. Na primer, da bi izrazili tvrd enje Ana je Markova majka možemo izabrati identifikator, recimo majka da izrazi predikat je majka od, tako što ćemo pisati majka(ana, Marko). Da bi pojednostavili pisanje, najčešće koristimo samo jedno slovo kao ime predikata ili konstante. Tako umesto majka(ana, Marko) možemo pisati M(a, m), gde je M ime predikata je (čija) majka, dok su a i m imena individualnih konstanti Ana i Marko. Matematička logika 14 Predikatska logika - I deo

Predikati Primetimo da je redosled argumenata izuzetno bitan. Na primer, predikati majka(ana, M arija) i majka(m arija, Ana) imaju potpuno drugačiji smisao, dok za predikat majka(m arko, Ana) možemo čak reći i da je besmislen. Broj elemenata u listi argumenata nazivamo arnost ili dužina predikata. Na primer, predikat majka(ana, Marko) ima arnost 2. Arnost predikata je fiksirana. Na primer, isti predikat ne može imati dva argumenta u jednom slučaju, a tri argumenta u drugom slučaju. Predikati sa različitom arnošću su različiti. Matematička logika 15 Predikatska logika - I deo

Predikati Ilustrujmo ovo sledećim primerom: Suma brojeva 2 i 3 je 5. Suma brojeva 2, 3 i 4 je 9. Da bi ovo izrazili na jeziku predikatske logike, možemo koristiti dva imena predikata, na primer zbir2 i zbir3, čime dobijamo predikate zbir2(2, 3, 5) i zbir3(2, 3, 4, 9). Druga mogućnost je da, jedn ostavnosti radi, za oba ova predikata koristimo isto ime, na primer zbir, pri čemu implicitno podrazumevamo da su zbir(2, 3, 5) i zbir(2,3, 4, 9) različiti predikati. Matematička logika 16 Predikatska logika - I deo

Predikati Predikat arnosti n nazivamo n-mestni predikat. Jednomestan predikat nazivamo svojstvo. Drugim rečima, arnost predikata se može shvatiti kao broj mesta u zapisu predikata na koja se stavljaju odgovarajući argumenti. Primer 5: U Tom je mačak imamo da je mačak jeste jednomestan predikat, tj. svojstvo. U Ana je Markova majka predikat je majka od je dvomestan. U Suma brojeva 2 i 3 je 6 predikat je suma brojeva je tromestan. Matematička logika 17 Predikatska logika - I deo

Atomične formule Ime predikata, praćeno listom argumenata u zagradama, nazivamo atomičnom formulom. Atomične formule mogu se kombinovati pomoću logičkih veznika, poput iskaza, odnosno iskaznih formula. Na primer, ako su cat(t om) i hastail(t om) dve atomične formule, kojima je izraženo da je Tom mačak, odnosno da ima rep, onda možemo formirati složenu formulu cat(t om) hastail(t om) koja izražava tvrd enje da ako je Tom mačak, onda on ima rep. Matematička logika 18 Predikatska logika - I deo

Atomične formule U slučaju kada su svi argumenti predikata individualne konstante, što je jedini tip predikata koje smo do sada razmatrali, tada rezultujuća atomična formula mora biti ili tačna ili netačna. To je deo definicije predikata. Na primer, ako se domen sastoji od individua Dejan, Ana, Marko i Petar, tada za svaki ured eni par individua treba da znamo da li je na tom paru dvomestni predikat je majka od tačan ili ne. To može biti urad eno u obliku tabele. Metod koji svim mogućim kombinacijama individua predikata pridružuje istinitosne vrednosti naziva se dodeljivanje. Matematička logika 19 Predikatska logika - I deo

Atomične formule Na primer, sledeća tabela je dodeljivanje za predikat je majka od. Dejan Ana Marko Petar Dejan 0 0 0 0 Ana 0 0 1 1 Marko 0 0 0 0 Petar 0 0 0 0 Matematička logika 20 Predikatska logika - I deo

Atomične formule Drugi primer dodeljivanja je sledeći. Domen se sastoji od brojeva 1, 2, 3 i 4, a predikat veći je ta v can ako je prvi argument veći od drugog argumenta. Na primer, predikat veći(4, 3) je tačan, a predikat veći(3, 4) je netačan. Prema tome, dodeljivanje za predikat veći je 1 2 3 4 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 3 1 1 0 0 4 1 1 1 0 Matematička logika 21 Predikatska logika - I deo

Atomične formule U slučaju konačnog domena, dodeljivanja za n-arne predikate mogu se predstaviti n-dimenzionalnim nizovima. Primetimo i da matematičke relacije <,, > i jesu predikati. Ipak, te predikate obi v cno pišemo u infiks notaciji, pod čime podrazumevamo da su znaci kojima ih označavamo smešteni izmed u argumenata, a ne ispred argumenata. Na primer, da bi smo izrazili da je 2 veće od 1, radije pišemo 2 > 1 nego > (2, 1). Matematička logika 22 Predikatska logika - I deo

Promenljive Često se ne želi da se kao argumenti atomičnih formula razmatraju konkretne individue. U takvim prilikama, umesto individualnih konstanti koriste se promenljive. Za označavanje promenljivih najčešće se koriste poslednja slova latiničnog alfabeta: x, y i z, sa ili bez donjih indeksa. Primer 6: cat(x) hastail(x) dog(y) brown(y) grade(x) (x 0) (x 100) Prva i treća formula sadrže promenljivu x, a druga promenljivu y. Matematička logika 23 Predikatska logika - I deo

Promenljive Kao i u iskaznom računu, formulama možemo dati imena. Na primer, možemo definisati A sa A = cat(x) hastail(x) Gledano sa aspekta sintakse, promenljive je moguće koristiti na svim mestima na kojima je dozvoljeno koristiti individualne konstante. Prema tome, pojam term se koristi da predstavi ilikonstantu, ili promenljivu. Uopšteno govoreći, term je bilo šta što se može koristiti umesto individua. Matematička logika 24 Predikatska logika - I deo

Promenljive Često se javlja potreba da se sva pojavljivanja neke konkretne promenljive u formuli zamene termom. Na primer, u izrazu cat(x) hastail(x) može se javiti potreba da se sva pojavljivanja promenljive x zamene termom Tom, što daje cat(t om) hastail(t om). Neka je sa A označena formula, sa x promenljiva a sa t term. Tada sa S x t A označavamo formulu dobijenu zamenom svih pojavljivanja promenljive x u formuli A termom t. S x t A se naziva instancijacija formule A, a za t se kaže da je instanca promenljive x. Matematička logika 25 Predikatska logika - I deo

Promenljive Primer 7: Neka su a, b i c individualne konstante, neka su P i Q jednomestni predikati i neka su x i y promenljive. Tada: S x a (P(a) Q(x)) = P(a) Q(a); S y a (P(y) Q(y)) = P(a) Q(a); S y a (Q(a)) = Q(a); S y a (P(x) Q(x)) = P(x) Q(x). S X t je zapravo operacija koja se može vršiti nad predikatima. Matematička logika 26 Predikatska logika - I deo

Kvantifikatori Razmotrimo sledeća tri tvrd enja: Sve mačke imaju repove. Neki ljudi vole sirovo meso. Svako mora jednom da se odmori. Sva ova tvrd enja ukazuju na to koliko često su neke stvari tačne. U predikatskoj logici se za takve potrebe koriste kvantifikatori: univerzalni kvantifikator egzistencijalni kvantifikator Matematička logika 27 Predikatska logika - I deo

Univerzalni kvantifikator Neka A predstavlja formulu a x promenljivu. Ako želimo da ukažemo da je formula A tačna za sve moguće vrednosti promenljive x, onda pišemo ( x)a ili x A, pri čemu kažemo sledeće: ( x)a je univerzalni kvantifikator; formula A je oblast dejstva ovog kvantifikatora; promenljiva x je vezana ovim kvantifikatorom; simbol čitamo za svaki, za svaku, za svako ili za sve. Matematička logika 28 Predikatska logika - I deo

Univerzalni kvantifikator Kvantifikator i vezana promenljiva koja sledi treba da se tretiraju kao celina, i ta celina deluje poput unarnog veznika. Tvrd enja koja sadrže reči svaki, svako, svi, bilo koji, ma koji i slično, obično ukazuju na univerzalnu kvantifikaciju. Takva tvrd enja se mogu preformulisati tako da počnu sa za svaki x, što se potom prevodi u x. Na primer, neka je T ranije razmatrani predikat imati rep. Tada je sa T(x) označeno tvrd enje x ima rep. Prema tome, tvrd enje svaka mačka ima rep se može izraziti sa ( x)t(x). Matematička logika 29 Predikatska logika - I deo

Univerzalni kvantifikator Naravno, ovde se podrazumevalo da domen, gde promenljiva x uzima svoje vrednosti, jeste kolekcija mačaka. Med utim, ako domen nismo tako odredili, onda moramo da uvedemo i predikat C: biti mačka, odnosno C(x): x je mačka, i onda se svaka mačka ima rep se može izraziti sa ( x)(c(x) T(x)). U ovom slučaju formula A, tj. oblast dejstva kvantifikatora, je A = C(x) T(x). Matematička logika 30 Predikatska logika - I deo

Egzistencijalni kvantifikator Neka A predstavlja formulu a x promenljivu. Ako želimo da ukažemo da je formula A tačna za bar jednu vrednost promenljive x, onda pišemo pri čemu kažemo sledeće: ( x)a ili x A, ( x)a je egzistencijalni kvantifikator; formula A je oblast dejstva ovog kvantifikatora; promenljiva x je vezana ovim kvantifikatorom; simbol čitamo postoji, odnosno ( x)a čitamo postoji x tako da važi A ili postoji x tako da A. Matematička logika 31 Predikatska logika - I deo

Egzistencijalni kvantifikator Tvrd enja koja sadrže reči neki, za neki, bar jedan i slično, obično ukazuju na egzistencijalnu kvantifikaciju. Takva tvrd enja se mogu preformulisati tako da počnu sa postoji x tako da, što se potom prevodi u x. Na primer, neka je V predikat voleti sirovo meso. Tada je ( x)p(x) oznaka za Postoje ljudi koji vole sirovo meso ili Neki ljudi vole sirovo meso. Matematička logika 32 Predikatska logika - I deo

Napomene o kvantifikatorima Kao što smo već rekli, x i x se mogu shvatiti kao unarni veznici. Poput negacije, kvantifikatori su višeg prioriteta u odnosu na binarne veznike, što znači da prvo primenjujemo kvantifikatore, pa tek onda binarne veznike. Na primer, neka P(x) znači x je živo a Q(x) znači x je neživo. Tada ( x)(p(x) Q(x)) ukazuje na to da je bio šta ili živo ili neživo. Sa druge strane, ( x)p(x) Q(x) znači da je bilo šta živo, ili da je x neživo. Matematička logika 33 Predikatska logika - I deo

Napomene o kvantifikatorima Promenljiva x u izrazu x ili x je samo nešto što bi se na engleskom jeziku moglo nazvati placeholder (držac, nosilac mesta). To znači da ako imamo formulu ( x)a, odnosno ( x)a, gde je A oblast dejstva kvantifikatora, onda u x, odnosno x, i svuda u A, promenljivu x možemo zameniti bilo kojom drugom promenljivom y koja se ne javlja u A, i pri tome se ništa neće promeniti. Naime, formule ( x)p(x) i ( y)p(y) imaju isto značenje, one su logički ekvivalentne. Matematička logika 34 Predikatska logika - I deo

Napomene o kvantifikatorima Drugim rečima, promenljiva x je zajedničko ime za sve individue iz datog domena, pa se značenje predikatskih formula se neće promeniti ako to ime, svuda gde se ono koristi, zamenimo nekim drugim, koje se ne koristi za neke druge individue. Za formulu kažemo da je varijanta formule ( x)a ako je oblika ( y)s x y A, gde je y bilo koja promenljiva, a Sx ya je formula dobijena iz A zamenom svih pojavljivanja promenljive x sa promenljivom y. Na potpuno isti način se definiše i varijanta formule ( x)a Matematička logika 35 Predikatska logika - I deo

Napomene o kvantifikatorima Kvantifikatori mogu biti ugnježdavani (engleski nested). To ilustrujemo sledećim primerom. Rečenicu Postoji neko ko poznaje svakog prevesti na jezik predikatske logike. Koristiti oznaku K(x, y) za x poznaje y. Najbolje je da se ovo uradi postupno. Neformalno pišemo ( x)(x poznaje svakog). Izraz x poznaje svakog je i dalje u govornom jeziku, i znači da za svako y važi da x poznaje y. Prema tome, x poznaje svakog se može izraziti sa ( y)k(x, y). Matematička logika 36 Predikatska logika - I deo

Napomene o kvantifikatorima Dakle, postoji neko ko poznaje svakog se može izraziti sa ( x)( y)k(x, y). Tvrd enje Niko nije savršen takod e uključuje kvantifikator niko koji ukazuje na odsustvo individue koja ima odred eno svojstvo. U predikatskoj logici činjenica da niko nema svojstvo P se može izraziti direktno. Naime, činjenica da ne postoji x za koje važi A se može izraziti bilo sa ( x)a ili sa ( x) A. Ako sa P označimo svojstvo biti savršen, onda i ( x)p(x) i ( x) P(x) ukazuju na to da niko nije savršen. Matematička logika 37 Predikatska logika - I deo

Vezane i slobodne promenljive Za pojavljivanje promenljive x u samom zapisu kvantifikatora x ili x, ili u oblasti dejstva jednog od tih kvantifikatora, kažemo da je vezano pojavljivanje, a za promenljivu x da je vezana. Na primer, u izrazu ( x)(p(x) Q(x)) promenljiva x se javlja tri puta, i sva tri pojavljivanja su vezana. Pojavljivanje promenljive koji nije vezano naziva se slobodno pojavljivanje, a promenljiva se naziva slobodnom. Kasnije ćemo videti da ista promenljiva u jednoj formuli može imati i vezana i slobodna pojavljivanja. U takvim slučajevima je neophodno jasno istaći poziciju na kojoj se javlja promenljiva o kojoj govorimo. Matematička logika 38 Predikatska logika - I deo

Vezane i slobodne promenljive Primer 8: Odrediti slobodne promenljive u ( z)(p(z) Q(x)) ( y)q(y). Samo je promenljiva x slobodna, dok su sva pojavljivanja promenljivih y i z vezana. Primetimo da se status promenljive može promeniti kada se iz formule izdvoji podformula. Na primer, u ( x)p(x) promenljiva x se javlja dva puta, oba puta kao vezana. Ova formula sadrži P(x) kao podformulu, i u njoj je x slobodna promenljiva. Matematička logika 39 Predikatska logika - I deo

Vezane i slobodne promenljive Instancijacija, zamena promenljive termom, utiče samo na slobodne promenljive. Preciznije, ako je A formula, onda S x t pojavljivanja promenljive x u A. A utiče samo na slobodna Na primer, S x y ( x)p(x) je ( y)p(y), a to je sa aspekta logike, kako smo već napomenuli, isto što i ( x)p(x). Dakle, ovom zamenom nismo ništa promenili. Sa druge strane, S x y (Q(x) ( x)p(x)) daje Q(y) ( x)p(x). Matematička logika 40 Predikatska logika - I deo

Vezane i slobodne promenljive Prema tome, instancijacija se prema promenljivim odnosi različito, zavisno od toga da li su slobodne ili vezane, čak i ako se ista promenljiva javlja dva puta u istom izrazu, jednom kao slobodna a drugi put kao vezana. Očigledno, dve stvari su identične samo ako uvek imaju identičan tretman. To povlači da, ako se promenljiva javlja i kao slobodna i kao vezana u istoj formuli, onda mi zapravo imamo dve različite promenljive za koje se samo desilo da imaju isto ime. Zbog toga se treba truditi da promenljive, koje su faktički različite, različito i označavamo. Matematička logika 41 Predikatska logika - I deo

Napomene o promenljivim Vezane promenljive možemo tretirati kao lokalne u okviru oblasti dejstva kvantifikatora, upravo onako kako su parametri i lokalno deklarisane promenljive u PASCAL-u lokalne u procedurama u kojima su deklarisane. Analogija sa PASCAL-om se može dalje proširiti i ako razmatramo ime promenljive u kvantifikatoru kao deklaraciju. Ova analogija takod e sugeriše da, ako nekoliko kvantifikatora koristi istu vezanu promenljivu za kvantifikaciju, tada su sve te promenljive lokalne u okviru oblasti dejstva odgovarajućeg kvantifikatora, i prema tome, različite su. Matematička logika 42 Predikatska logika - I deo

Napomene o promenljivim Kada se formiraju varijante, preba paziti da se ne remete lokalne definicije. Da bi smo ilustrovali ovo, razmotrimo tvrd enje y ima majku. Ako sa M označimo predikat je majka od, tada se to tvrd enje može izraziti sa ( x)m(x, y). Jasno je da u ovoj formuli promenljivu x ne smemo zameniti sa y, jer u tom slučaju dobijamo ( y)m(y, y), što znači da je y sebi majka. Sa druge strane, ilegalna je i instancijacija S y x (( x)m(x, y)) jer i ona daje ( x)m(x, x). Matematička logika 43 Predikatska logika - I deo

Napomene o promenljivim Iz svega napred rečenog zaključujemo da za instancijacije (zamene promenljivih termima) moraju da postoje neka ograničenja. Instancijacija koje dovodi do toga da promenljiva koja je imala slobodno pojavljivanje postane vezana naziva se sukob promenljivih. Jasno, svi sukobi promenljivih se moraju izbeći. Matematička logika 44 Predikatska logika - I deo

Restrikcija kvantifikatora Ponekad se kvantifikovanje vrši samo nad podskupom domena. Na primer, uzmimo da je domen kolekcija svih životinja. Kako izraziti rečenice poput Svi psi su sisari ili Neki psi su rid i? Razmotrimo prvo tvrd enje Svi psi su sisari. Kako kvantifikator treba da se ograniči na pse, možemo preformulisati tvrd enje sa Ako je x pas, onda je x sisar, što dovodi do formule ( x)(p(x) S(x)). Generalno, ta formula može da se prevede sa Sve individue sa svojstvom P(x) imaju svojstvo S(x). Matematička logika 45 Predikatska logika - I deo

Restrikcija kvantifikatora Razmotrimo sada drugo tvrd enje Neki psi su rid i. To znači da postoje neke životinje koje su psi i koje su rid e. Jasno, tvrd enje x je pas i x je rid se prevesti u P(x) R(x) pa se postoje neki rid i psi može prevesti u ( x)(p(x) R(x)). Generalno, ta formula može da se prevede sa Neke individue sa svojstvom P(x) imaju takod e i svojstvo R(x). Matematička logika 46 Predikatska logika - I deo

Restrikcija kvantifikatora Prema tome, kada univerzalni kvantifikator treba da primenimo samo na individue sa datim svojstvom, onda koristimo implikaciju da bi ograničili domen. Ako na sličan način želimo da ograničimo primenu egzistencijalnog kvantifikatora, onda koristimo konjunkciju. Umesto ( x)(p(x) Q(x)) obično pišemo ( x D) Q(x), gde je D = {x P(x)} skup svih individua sa svojstvom P(x), dok umesto ( x)(p(x) Q(x)) pišemo ( x D) Q(x). Matematička logika 47 Predikatska logika - I deo

Jezik predikatske logike Posle objašnjenja osnovnih koncepata predikatske logike, stigli smo i do formalne definicije jezika predikatske logike. Jezik predikatske logike, u oznaci L p sastoji se od sledećih osnovnih simbola: znaci konstanti: a 1, a 2, a 3,... U slučajevima kada radimo sa manjim brojem konstanti, umesto ovih možemo koristiti i znake a, b, c,... znaci promenljivih: x 1, x 2, x 3,... Kada radimo sa ne velikim brojem promenljivih, možemo koristiti i znake x, y, z,... Matematička logika 48 Predikatska logika - I deo

Jezik predikatske logike Ponegde se koristi i konvencija da se vezane i slobodne promenljive označavaju drugačije, na primer, za vezane promenljive koriste se znaci x, y, z,..., ili sa odgovarajućim indeksima, za slobodne promenljive koriste se znaci u, v, w,..., ili sa odgovarajućim indeksima. funkcijski znaci: f 1 1, f1 2,..., f2 1,..., fj i,... Dozvoljeni su i neki drugi znaci, kao što su f, g, h,... Ovi znaci se koriste za označavanje funkcija proizvoljnih arnosti (dužine), pomoću kojih gradimo složenije terme. Matematička logika 49 Predikatska logika - I deo

Jezik predikatske logike predikatski ili relacijski znaci: R 1 1, R1 2,..., R2 1,..., Rj i,... ili P, Q, R,... Ovi znaci se koriste za označavanje relacija, odnosno predikata, takod e proizvoljnih arnosti. logički veznici:,,,,, kvantifikatori:, pomoćni znaci: zagrade ( i ), zapeta, Matematička logika 50 Predikatska logika - I deo

Jezik predikatske logike Svaka posebna matematička teorija ima svoj specifičan jezik, svoj skup polaznih simbola oznaka konstanti, funkcijskih i relacijskih znaka. Kada se zadaje takav specifičan jezik, onda se za svaki funkcijski znak, odnosno relacijski znak, mora jasno odrediti njegova arnost (dužina, broj argumenata). Kada se to učini, onda će se znati da se funkcijskim znakom arnosti n označavaju samo operacije iste te arnosti, a relacijskim znakom arnosti n samo relacije iste te arnosti. U označavanju funkcijskih i relacijskih znaka sa f j i, odnosno Rj i, gornji indeks označava arnost tog znaka, a donji služi za razlikovanje znakova iste dužine, kada radimo sa više takvih znakova. Matematička logika 51 Predikatska logika - I deo

Jezik predikatske logike Ipak, kod znakova konstanti, promenljivih, funkcijskih i relacijskih znaka često i ne pišemo gornje ili donje indekse gornji se izostavljaju ako je jasno koja je arnost razmatranih simbola, a donji se izostavljaju ako na neki drugi način možemo da napravimo razliku izmed u tih simbola. Logički simboli i promenljive su svuda isti, uz napred već izrečenu napomenu da promenljive mogu biti i slova bez indeksa (na primer x, y, z), velika slova, slova grčkog alfabeta itd. U mnogim slučajevima razmatrani jezik će sadržati i binarni relacijski znak =, koji interpretiramo upravo kao jednakost. Matematička logika 52 Predikatska logika - I deo

Jezik predikatske logike Primer 9: U strogom zasnivanju strukture prirodnih brojeva, sa operacijama sabiranja i množenja i uobičajenom relacijom poretka, imamo sledeće: Simbol konstante je samo broj 1, Operacijski znaci su f 2 1 i f2 2, i označavaju se redom sa + (plus) i (puta), Relacijski znaci su R 2 1 i R2 2, a njihove uobičajene oznake su redom = i. Dakle, ovde uzimamo da je jedina konstanta 1, dok ostale prirodne brojeve dobijamo na sledeći način: 2 def = 1 + 1, 3 def = 2 + 1, 4 def = 3 + 1,... Matematička logika 53 Predikatska logika - I deo

Jezik predikatske logike U manje formalnom (ali češćem) izlaganju, konstantom se smatra oznaka svakog prirodnog broja. Isto važi i za druge strukture brojeva. Tako je i u primerima koji slede. Matematička logika 54 Predikatska logika - I deo

Termi Definicija terma je induktivna: (i) Promenljive i znaci konstanti su termi. (ii) Ako je f n m funkcijski znak (arnosti n), a t 1,..., t n su termi, onda je term i izraz f n m (t 1,..., t n ). (iii) Termi su oni i samo oni izrazi koji se mogu formirati primenom pravila (i) i (ii) konačan broj puta. Prema tome, termi se grade samo od konstanti, promenljivih i funkcijskih znaka. Matematička logika 55 Predikatska logika - I deo

Termi Primer 10: Primeri terma su: f 1 1 (x 1), f 3 1 (x 1, x 2, f 1 1 (x 2)), f 2 2 (x 1, f 2 1 (x 2, a 1 )). Na jeziku prirodnih brojeva uobičajeno je da se, na primer, term f 2 2 (x 1, f 2 1 (x 2, a 1 )) beleži sa x(y + 1) i sl. Matematička logika 56 Predikatska logika - I deo

Atomične formule Kao što je rečeno, od terma se do rečenica (formula) dolazi tek kada se termi povežu simbolima relacija. Kada se termi povežu odgovarajućim relacijskim znakom, dobijaju se najjednostavnije formule koje se nazivaju atomarne ili atomične formule. Naime, neka R n i jeste n-arni relacijski znak i t 1,..., t n su termi. Tada se izraz oblika R n i (t 1,..., t n ) naziva atomična formula. Matematička logika 57 Predikatska logika - I deo

Atomične formule Primer 11: Atomične formule su, na primer R 3 1 (f1 1 (x 2), x 1, f 2 1 (x 2, x 3 )), R 2 2 (a 1, f 1 1 (x 2)), R 1 1 (f3 1 (x 1, x 1, x 2 )). U jeziku teorije skupova jedna atomična formula je X Y Z, a u strukturi prirodnih brojeva je to, na primer, x y + z. Prema dogovorima o označavanju, obe ove formule su u stvari uobičajeni zapisi, u odgovarajućem jeziku, jedne iste formule R 2 1 (x 1, f 2 1 (x 2, x 3 )). Matematička logika 58 Predikatska logika - I deo

Atomične formule Primer 12: U jeziku algebarskih struktura obično postoji relacijski znak dužine 2, koji se označava sa = i interpretira se kao jednakost. Atomična formula t 1 = t 2, gde su t 1 i t 2 termi naziva se identitet ili algebarski zakon. Identiteti su, na primer, x + y = y + x i x(y + z) = xy + xz za brojeve, kao i A (B A) = A za skupove, i sl. Matematička logika 59 Predikatska logika - I deo

Predikatske formule Definicija predikatske formule je takod e induktivna: (i) Svaka atomična formula je predikatska formula. (ii) Ako su F i G predikatske formule, a x je promenljiva, onda su i sledeći izrazi predikatske formule: F, (F G), (F G), (F G), (F G), (( x)f), (( x)f). (iii) Prediktske formule su oni i samo oni izrazi koji se mogu formirati konačnim brojem primena pravila (i) i (ii). Jednostavnosti radi, nadalje ćemo govoriti samo formule. Matematička logika 60 Predikatska logika - I deo

Predikatske formule Primer 13: Primeri formula su: (( x 1 )(( x 2 )R 2 2 (x 1, x 2 ))), ((( x 2 )R 2 1 (x 1, f 2 2 (x 1, x 2 ))) (( x 1 )R 2 2 (f2 2 (x 1, x 2 ), x 2 ))) Prva od ovih formula se u jeziku strukture prirodnih brojeva beleži sa ( x)( y)(x y). Kao i kod iskaznih formula, podformula predikatske formule se definiše se svaki podniz (podreč) formule koji je i sam formula. Matematička logika 61 Predikatska logika - I deo

Oblast dejstva kvantifikatora Oblast dejstva kvantifikatora ( x), odnosno ( x), koji se pojavljuje u formuli, je sam kvantifikator zajedno sa najmanjom podformulom koja neposredno sledi iza njega. Primer 14: U formuli ((( x 1 ) R 2 1 (x 1, x 2 )) R 1 1 (x 2)), oblast dejstva kvantifikatora ( x 1 ) je formula (( x 1 ) R 2 1 (x 1, x 2 )). Matematička logika 62 Predikatska logika - I deo

Oblast dejstva kvantifikatora U formuli ( x)(x 1 ( y)(y x)) oblast dejstva kvantifikatora ( x) je formula ( x)(x 1 ( y)(y x)), a oblast dejstva kvantifikatora ( y) je formula ( y)(y x). Matematička logika 63 Predikatska logika - I deo

Brisanje zagrada Kao što smo već rekli, jednostavnosti radi, funkcijski znaci se često označavaju bez indeksa, i to sa f, g, h,..., a relacijski malim slovima grčkog alfabeta. U jezicima pojedinih matematičkih teorija se, med utim, koriste već poznati funkcijski i relacijski znaci (+,,, = itd.) i ustaljena pravila o zagradama. Pri zapisivanju predikatskih formula se prihvataju isti dogovori o izostavljanju zagrada navedeni za iskazne formule, pri čemu su kvantifikatori iza veznika i, koji su iza veznika i. Matematička logika 64 Predikatska logika - I deo

Brisanje zagrada Primer 15: (a) Na osnovu dogovora o izostavljanju zagrada, umesto ((( x 1 ) R 2 1 (x 1, x 2 )) R 1 1 (x 2)) piše se ( x 1 ) R 2 1 (x 1, x 2 ) R 1 1 (x 2). (b) U formuli ( x)( y)((α(x, y) α(f(x, y), f(y, x))), α je relacijski, a f funkcijski znak, oba dužine 2. Matematička logika 65 Predikatska logika - I deo

Brisanje zagrada (c) I u formuli ( x)( y)(x y y x + 1), i + su redom relacijski i funkcijski znak dužine 2. Drugi relacijski znak dužine 2 je =, ali je umesto (y = x + 1), zabeleženo kraće y x + 1. Ovo su uobičajene oznake u jezicima struktura brojeva. Matematička logika 66 Predikatska logika - I deo

Vezane i slobodne promenljive Pojavljivanje promenljive x u nekoj formuli je vezano ako se x javlja u oblasti dejstva nekog od kvantifikatora ( x) odnosno ( x). Slobodno pojavljivanje promenljive u formuli je ono koje nije vezano. Primer 16: (a) U formuli ( x)α(x) (( y)β(x, y) γ(y)) prva dva pojavljivanja promenljive x su vezana, a treće je slobodno; prva dva pojavljivanja promenljive y su vezana, a treće je slobodno. (b) U formuli ( x)(α(x) (( y)β(x, y) γ(y))) sva tri pojavljivanja promenljive x su vezana, prva dva za y su vezana a treće je slobodno. Matematička logika 67 Predikatska logika - I deo

Vezane i slobodne promenljive (c) U formuli ( x)(α(x) ( y)(β(x, y) γ(y))) su sva pojavljivanja obeju promenljivih vezana. Promenljiva x je slobodna ili vezana u formuli A ako u njoj ima redom slobodno ili vezano pojavljivanje. Kao što se vidi iz prethodnih primera, promenljiva može biti i vezana i slobodna u istoj formuli. Matematička logika 68 Predikatska logika - I deo