Matematički modeli realnih sustava 1. i 2. dio Realni sustavi promatraju se sustavi koji su česti u praksi matematički modeli konačne točnosti Pretpostavke za izradu matematičkog modela: dostupan realni sustav dostupna nadomjesna shema
Podjela sustava: mehanički sustavi procesi zasnovani na mehanici fluida (protoci i miješanje fluida) toplinski procesi električni procesi i elektromehanički procesi Nema nuklearnih procesa, mehaničkih procesa valjanja i oblikovanja Podjela mehaničkih sustava: s linearnim gibanjem s rotacijskim gibanjem s kombiniranim gibanjem Podjela električnih sustava: elektronički sustavi sustavi prijenosa električne energije procesi pretvorbe električne energije u mehaničku energiju procesi pretvorbe mehaničke energije u električnu energiju
Podjela elektroničkih sustava: pasivne elektroničke mreže aktivne elektroničke mreže s operacijskim pojačalima aktivne elektroničke mreže s elektroničkim pojačalima snage (tranzistorski i tiristirski usmjerivači, izmjenjivači i ciklopretvarači) Elektromehanički procesi motori generatori Mehanički sustavi s linearnim gibanjem Primjer 1. Određivanje matematičkog modela mehaničkog sustava prema slici:
Jednadžbe ravnoteže (ravnoteža momenata gibanja) Fenomenološke jednadžbe Određivanje prijenosne funkcije Diferencijalne jednadžbe u vremenskoj domeni Nakon prebacivanja u Laplaceovo (donje) područje
Sređivanjem jednadžbi kontinuiteta i fenomenoloških jednadžbi u donjem području dobije se: Prijenosna funkcija
Blokovska shema Mehanički sustavi s rotacijskim gibanjem Primjer 2. Dvomaseni rotacijski sustav, povezan elastičnim vratilima, prikazan je slikom. Promjenom brzine vrtnje ω u, uzrokovan je prijelazni proces promjena brzina vrtnje ω 1 i ω 2.
Zadano je: c f1 = 4,9 10 4 Nm/rad koeficijent torzije prvog vratila c f2 = 9,8 10 4 Nm/rad koeficijent torzije drugog vratila J 1 = 19,2913 kgm moment inercije prve rotacijske mase J 2 = 52,9354 kgm moment inercije druge rotacijske mase ω u = 10S(t) rad/s ulazna brzina vrtnje φ - kut torzije vratila m zakretni moment na vratilu Uz zanemarenje inercije vratila, potrebno je odrediti: matematički model i blokovsku shemu sustava diferencijalnu jednadžbu brzine vrtnje druge mase (ω 2 ) kao funkciju ulazne brzine vrtnje ω u prijenosnu funkciju G S (S)=Ω 2 (S)/ Ω u (S) prikaz sustava u prostoru stanja simulacijsku shemu za Matlab
Jednadžba dinamičke ravnoteže (ravnoteža momenata rotacijskih masa) Fenomenološke jednadžbe Zakretni moment prvog vratila Kut torzije prvog vratila Zakretni moment drugog vratila Kut torzije drugog vratila
Pretvorba integralnih jednadžbi u diferencijalne Blokovska shema Određivanje prijenosne funkcije
Diferencijalna jednadžba Prikaz sustava u prostoru stanja
Polovi sustava i periodi osciliranja (iz bikvadratne jednadžbe) Simulacijski model u Matlabu
Vremenski odzivi Mehanika fluida Pod fluidima podrazumijevamo tekućine i plinove. Za njih vrijede slični modeli, odnosno zakonitosti. Elementi procesa protoka fluida: spremnici crpke (za tekućine) kompresori (za plin) ventili cijevi
Crpke su izvor protoka ili tlaka. Obično se modeliraju kao idealne bez unutarnjeg otpora. Cjevovod predstavlja otpor protjecanju fluida i izaziva pad tlaka. Usljed otvaranja dodatnih ventila raste protok i pada tlak. Ventili imaju nelinearnu karakteristiku. Sustavi koji se ovdje promatraju su u realnosti nelinearni i opisani su nelinearnim diferencijalnim jednadžbama. Međutim, sustavi se lineariziraju, odnosno predstavljaju linearnim modelima. Zakonitosti: Bernoulijeva jednadžba (ravnoteža tlakova) jednadžba dinamičke ravnoteže tlakova u cjevovodu jednadžba dinamičke ravnoteže (mase ili volumena) fluida u spremniku karakteristike crpki, kompresora i ventila Linearizacija prije simuliranja. Npr. tlak u vodovodu je oko 8 bara. Oko ovog tlaka se sustav linearizira i simulira se njegovo ponašanje za mali signal.
Bernoulijeva jednadžba Bernoulijeva jednadžba vrijedi za laminarna strujanja fluida. Za opis turbulentnog strujanja potrebno je uzeti u obzir određene koeficijente. Suma hidrostatskog tlaka (ovisan o razlici visina početka i kraja cijevi) i dinamičkog tlaka je konstantna. Ukoliko je masa fluida zanemariva (ili je brzina konstantna) vrijedi: gdje je: P u ulazni tlak P i izlazni tlak g gravitacijska konstanta v - brzina tekućine u cijevi H razlika visine početka i kraja cijevi ρ - gustoća fluida
Odnos između protoka i brzine tekućine u cijevi: gdje je: A površina poprečnog presjeka cijevi d promjer cijevi Iz Bernoulijeve jednadžbe i jednadžbe odnosa protoka i brzine fluida dobije se izraz za protok fluida: Uzimanje u obzir mase fluida Kod promatranja dinamičkih pojava mora se uzeti u obzir i masa, odnosno inercija fluida. To će dovesti do diferencijalne jednadžbe ravnoteže količine gibanja. Promatra se sustav kao da je koncentriranih parametara. Polazi se od zakonitosti za kruta tijela kod kojih je promjena količine gibanja jednaka sumi sila. Sile koje djeluju na masu tekućine u cijevi odgovaraju umnošku površine poprečnog presjeka cijevi i sume tlakova:
gdje je: m masa tekućine u cijevi (ulazna veličina ako se mijenja temperatura fluida) V volumen tekućine u cijevi Iz jednadžbe dinamičke ravnoteže proizlazi: Uzimajući u obzir da je V = A l, jednadžba dinamičke ravnoteže poprima oblik: Odnosno:
Kod realnih sustava koeficijent prigušenja K osim o promjeru cijevi ovisi i o omjeru njene duljine i promjera i kvaliteti površine cijevi, pa je iskustveno određeno: Gdje je λ konstanta ovisna o vrsti materijala i tipu površine cijevi, a za čelične cijevi iznosi 0.02136. Jednadžba dinamičke ravnoteže volumena fluida u spremniku: