Lector univ dr Cristin Nrte Cursul 4 Mtrice Rngul unei mtrice Rezolvre sistemelor de ecuţii linire Metod eliminării lui Guss Definiţie O mtrice m n este o serie de mn intrări, numite elemente, rnjte în m linii şi n colone În czul în cre o mtrice se noteză cu A, elementul din rândul i şi colon j se noteză cu ij şi mtrice se scrie Exemple de mtrice Mtrice x 2 Mtrice x Mtrice 2x2 Mtrice x 2 5 6 2 4 0 0 2 4 5 2 A m n O mtrice pătrtică este o mtrice în cre numărul de linii m este egl cu numărul de colone n Eglitte două mtrice Eglitte două mtrice însemnă că, dcă A şi B sunt egle, tunci fiecre este o copie identică celeillte mn Ex A 2 0 2 şi 2 B Aflţi x stfel încât A=B 0 x 2 Adunre două mtrice Adunre de mtrice A şi B este definită numi în czul mtricele u celşi număr de rânduri şi cu celşi număr de colone Să considerăm A i j şi
Lector univ dr Cristin Nrte B b i j să fie mtrice m n Mtrice m n formtă încât elementul din lini i şi colon j este ij bij pentru fiecre i şi j este mtrice A + B Ex Pentru 2 0 A, B, 4 2 2 AB 2 5 Înmulţire unei mtrice cu sclri Să considerăm mtrice m n, A i j şi λ un sclr (rel su complex) În czul în cre A este înmulţit cu λ, şi se scrie λa, fiecre element din A este înmulţit cu λ pentru obţine mtrice m n, A i j Ex Pentru =2 şi A 2 2 4 6, A 0 2 0 2 4 Înmulţire mtricelor Este importnt să observţi că, tunci când produsul AB este definit, produsul BA este în generl diferit su pote să nici nu fie definit Se pot înmulţi mtrice de tip mxn cu mtrice nxp, ir rezulttul este o mtrice de tip mxp Ex 0 2 A, B 2 4 5 Rezulttul este 02 2 7 AB ( ) 42 5 22 5 0 0 Tem Fie A, B, C, D 4 2 2 0 Determinţi cre înmulţiri pot fi 0 efectute şi în cest cz clculţi: AB, BA, AC, CA, ABC, CAB, AD, DA, CD, DC, ACD, DAC Trnspus unei mtrice Să considerăm mtrice m n, nottă de nxm, T A A Atunci trnspus lui A, T A este mtrice obţinută schimbând liniile în colone pentru produce o mtrice ji i j Ex 2 T A, A 4 2 4
Lector univ dr Cristin Nrte 2 0, T A A 0 2 Determinntul unei mtrice Fiecre mtrice pătrtică, re c element socit un singur număr determinnt l lui A Dcă A este o n n mtrice, determinntul lui A este indict prin fişre elementelor lui A între două bre verticle, după cum urmeză: n n nn Ex Determinnt de ordinul 2 2 ( 4) 2 5 4 5 4 Determinnt de ordinul 0 2 4 6 22 ( ) 0 4 ( ) 4 2 60 2 8 4 8 7 2 6 0 2 4 Rngul unei mtrice Fie A M mn, o mtrice nenulă Spunem că mtrice A re rngul r şi notăm rng A r, dcă A re un minor nenul de ordin r, ir toţi minorii lui A de ordin mi mre decât r (dcă există) sunt nuli Aplicţie Clculţi rngul mtricelor 0 2 A 0, 2 2 B 0 4, C 0 2 4, 0 D 4 2 Invers unei mtricedcă det A 0, tunci A este inversbilă şi A det A A * Ex Clculţi invers mtricei A 2
Lector univ dr Cristin Nrte 2 det A 6 5 0, deci A este inversbilă T A 2 Complemenţii lgebrici ( ) ( ) 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 22 2 22 * 2 A 2 2 A 5 5 5 5 5 Aplicţie Clculţi invers mtricei 0 2 A 2 0 4 Aplicţie l spţii vectorile Fie B={ e (,), e 2 (2,) } şi B ={ f (,), f 2 (,8) } ) Să se verifice dcă sistemele de vectori B şi B formeză bze b) Să se găsescă mtrice de trecere din bz B în bz B c) Dcă x[ B'] (2,), găsiţi coordontele lui x în bz B d) Dcă x[ B] (, 0), găsiţi coordontele lui x în bz B Sisteme de ecuţii linire Form generlă unui sistem de m ecuţii linire cu n necunoscute este: x 2 x2 nxn b 2x 22x2 2nxn b2 x x x b m m2 2 mn n m () unde: x, x, 2 x n sunt necunoscutele sistemului,
Lector univ dr Cristin Nrte numerele ij, i, m, j, n sunt coeficienţii necunoscutelor, b, b, 2 b m sunt termenii liberi i sistemului Unui sistem linir îi sociem următorele mtrice: 2 A m 2 22 m2 n 2n mtrice sistemului, mn b b2 mtrice termenilor liberi b m x x2 mtrice necunoscutelor, x n ~ 2 A m 2 22 m2 n 2n mn b b2 mtrice extinsă sistemului cre se obţine b m dăugând l mtrice A colon termenilor liberi Definiţi Se numeşte soluţie sistemului de ecuţii linire un sistem ordont de n numere, 2, t n stfel încât înlocuind necunoscutele x, x2, xn respectiv prin,, 2 n este verifictă fiecre din ecuţiile sistemului Definiţi 2 Un sistem este comptibil dcă re cel puţin o soluţie, comptibil determint dcă re soluţie unică, comptibil nedetermint dcă re o infinitte de soluţii, incomptibil dcă nu re soluţii Metode de rezolvre sistemelor linire
Lector univ dr Cristin Nrte ) Metod lui Crmer permite rezolvre sistemelor linire de n ecuţii cu n necunoscute vând determinntul socit mtricei sistemului nenul Teorem Dcă sistemul x 2 x2 nxn b x x x b x x x b 2 22 2 2n n 2 n n2 2 nn n n (2) re determinntul nenul, tunci soluţi s utilizând metod lui Crmer este x,, x, n unde x xi, i n, x i, i, n fiind determinntul obţinut din prin înlocuire colonei i, corespunzătore coeficienţilor necunoscutei x i, i, n cu colon termenilor liberi, dică n 2 n2, i n, i b n, i 2 22 2, i b2 2, i 2n xi b n, i n nn 2) Metodă de rezolvre sistemelor linire de m ecuţii cu n necunoscute ) Se determină rng A 2) Se lege un minor principl p 2 r 2 22 2r r r 2 rr ) Se precizeză: necunoscutele principle x,, xr şi secundre x r, xr 2, xn şi de semene ecuţiile principle (ecuţiile,2, r ) şi ecuţiile secundre (celellte m r ecuţii) Dcă există ecuţii secundre se clculeză minorii crcteristici (minorul obţinut din minorul principl, prin bordre cestui cu elementele corespunzătore le colonei termenilor liberi şi câte un din liniile rămse); numărul minorilor crcteristici este egl cu numărul ecuţiilor secundre şi este egl cu m r
4) Se stbileşte dcă sistemul () este comptibil Lector univ dr Cristin Nrte Teorem 2 (Teorem lui Rouche) Un sistem de ecuţii este comptibil dcă şi numi dcă toţi minorii crcteristici sunt nuli Teorem (Teorem Kronecker Cpelli) Condiţi necesră şi suficientă c sistemul să fie comptibil este c rnga rnga 5) Dcă sistemul este comptibil soluţi s se obţine prin rezolvre sistemului principl formt din ecuţiile rezultte trecând în membrul drept termenii cre conţin necunoscutele secundre şi tribuind cestor necunoscute secundre vlori rbitrre): - dcă numărul necunoscutelor secundre este 0 sistemul este comptibil determint; - dcă există necunoscute secundre, sistemul este comptibil nedetermint; numărul necunoscutelor secundre rtă grdul de nedeterminre ) Metod trnsformărilor elementre (Metod eliminării lui Guss) Metod trnsformărilor elementre este de fpt procedeul de reducere necunoscutelor, scris, eventul, sub formă mtricelă În czul sistemelor de două ecuţii cu două necunoscute, cestă metodă este de fpt metod reducerii Există tipuri de trnsformări elementre Schimbre două ecuţii; Înmulţire unei ecuţii cu un sclr nenul; Adunre unei ecuţii înmulţite cu un sclr l o ltă ecuţie 2xy 4 Exemplul Rezolvţi sistemul x y 5 Sistemul Mtrice extinsă şi trnsformările elementre 2xy 4 x y 5 2 4 5
Lector univ dr Cristin Nrte 2xy 4 5 y 7 2 L L 2 2 2 4 5 0 7 2 42 2x 4 5 4 y 5 22 2x 5 4 y 5 x y 5 4 5 Exemplul 2 Rezolvţi sistemul x y z x y 2z 2 x 2y z Soluţie x y z x y 2z 2 x 2y z x y z 2y z 5 y 4z 8 2 2 2 L 2 L L L 0 2 5 0 4 8 L L 2 2
Lector univ dr Cristin Nrte x y z 2y z 5 25 9 z 2 2 0 2 5 25 9 0 0 2 2 24 25 9 x y 25 x 9 2y 5 y 25 9 z z 25 4 25 9 25 Clculul inversei unei mtrice prin metod trnsformărilor elementre Aplicţie Să se determine inversele mtricelor ) b) A 2 5 2 A 2 5 2 0 2 2 0 L2 L2 L L2 L2 2 Soluţie ) 5 5 0 0 2 2 2 6 2 0 2 0 2 L L 0 L L L 2 5 2 0 5 2 0 0 5 2 Deci A 5 2
Lector univ dr Cristin Nrte L2 L2 L 2 0 0 2 0 0 2 5 7 2 2 b) L L L 2 0 0 0 0 L L L 2 2 2 0 0 5 5 0 0 2 2 2 2 0 0 2 0 0 2 7 5 7 L2 L2 7 2 L2 L2 L 5 5 0 0 0 0 2 2 2 5 5 5 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 0 0 5 5 8 7 8 7 L L L L L2 L 2 0 0 0 0 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 5 5 8 7 0 0 8 7 Deci A 5 5 5 5 0 0 Clculul rngului unei mtrice prin metod trnsformărilor elementre Se efectueză trnsformări elementre supr mtricei până când tote elementele devin nule cu excepţi unor elemente de pe digonl principlă cre devin unu Rngul mtricei este numărul elementelor de pe digonl principlă Aplicţie Determinţi rngul mtricelor ) A 2 4 ; b) A 2 2 8 ; c) 2 A 2 2 Soluţie ) 2 2 2 2 L L L L L 2 2 C2 C2 2C 0 rng A=2 4 0 2 0 0
Lector univ dr Cristin Nrte b) c) 2 2 4 0 2 8 0 0 0 0 0 0 2 L2 L2 L L L C2 C2 4C 2 2 L 5 2 L2 2L L L L L 2 L L 2 0 7 2 0 5 5 L2 L2 2 2 L L 20 7 C2 C2 2C 0 7 0 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 7 2 7 C C C C C C 0 0 0 0 rng A = 0 0 0 0 0 0 rng A= În prctică, pentru rezolvre unui sistem de ecuţii linire, procedăm stfel: se efectueză trnsformări elementre supr mtricei extinse până când tote elementele de sub digonl principlă devin nule Pe prcursul lgoritmului pot păre următorele situţii: coeficienţii unei ecuţii devin toţi nuli, ir termenul liber corespunzător este nenul, cz în cre sistemul este incomptibil; coeficienţii unei ecuţii sunt toţi nuli şi termenul liber corespunzător este nul, tunci ecuţi respectivă este consecinţă celorllte (deci inutilă) Metod trnsformărilor elementre constă în reducere sistemului (2) l un sistem mi simplu, urmând pşii Psul Se schimbă ecuţiile între ele stfel încât prim necunoscută x re coeficientul nenul în prim ecuţie, dică 0 Psul 2 Pentru fiecre i>, se plică operţi L L L i i i
Lector univ dr Cristin Nrte Adică se înlocuieşte ecuţi i cu ecuţi obţinută din înmulţire primei ecuţii cu i, înmulţire celei de i ecuţii cu şi dunre cestor Se obţine sfel o formă echivlentă sistemului (ie re ceeşi soluţie) x x 2 2 nxn b x x b ' ' ' 2 j2 j 2 2n n 2 x x b ' ' ' mj2 j 2 mn n m x j 2 este prim necunoscută cu coeficient nenul dintr-o ltă ecuţie în fră de prim Se continuă procedeul până când se junge l form echivlentă x x 2 2 nxn b x x b 2 j2 j 2 2n n 2 x x b rjr j r rn n r () Am nott coeficienţii cu celeşi litere c în sistemul (2), dr în mod evident ei reprezintă lţi sclri Aplicţi Să se rezolve sistemul x2y x6y9 Soluţie 2 L2L 2 6 9 0 0 0 Deorece ultim linie este numi cu zerouri, însemnă că ecuţi corespunzătore este inutilă În cest cz, r=<2=n, deci sistemul este comptibil nedetermint cu 2-= necunoscute secundre Fie cest y Atunci soluţi sistemului re form 2 y, y, y
Lector univ dr Cristin Nrte Aplicţi 2 Să se rezolve sistemul x 2y 4 x 6y 9 Soluţie 2 4 L2L 2 6 9 0 0 Sistemul este incomptibil Aplicţi Să se rezolve sistemul 2x y 2z w x 2y z 2w 4 x y z w 5 Soluţie L L2 L 2 2 2 2 L2 L 2L2 L L 2L 2 2 4 0 4 5 5 5 0 2 5 7 2 2 0 4 5 5 Sistemul este deci incomptibil 0 0 0 0 8 Aplicţi 4 Să se rezolve sistemul x 2y z 4 x y z 2x5y4z 2x 6y 2z 22 Soluţie 2 4 2 4 L2 L L2 L 2L L L4 2L 0 4 7 L4 2 5 4 0 2 5 2 6 2 22 0 2 8 4 2 4 L L L L4 2L 0 4 7 2 L4 0 0 2 2 0 0 0 0
Lector univ dr Cristin Nrte x 2y z 4 Deci, sistemul este echivlent cu y4z 7 Din ultim ecuţie, flăm z= Înlocuind în 2z 2 dou ecuţie, se obţine y=, ir poi, din prim ecuţie x= Deci, sistemul re soluţie unică, ir soluţi sistemului este,, Aplicţi 5 Să se rezolve sistemul x 2y 2z w 2 2x 4y z 4w 5 5x 0y 8z w 2 Soluţie L 2L2 L 2 2 2 2 2 2 L2 2L L2 L 5L L 2 4 4 5 0 0 2 5 0 8 2 0 0 2 4 2 2 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 Deci r=2<4=n Avem 4-2=2 necunoscute secundre Sistemul re form echivlentă x 2y 2z w 2 z2w Soluţi sistemului este 4 2 y w, y, 2 w, w, y, w Interpretre geometrică Pentru un sistem de două ecuţii cu două necunoscute pot păre trei situţii ) Sistemul este incomptibil; b) Sistemul re soluţie unică; x b y c x b y c 2 2 2
Lector univ dr Cristin Nrte c) Sistemul este comptibil nedetermint Reprezentre grfică în pln unei ecuţii de form x by c este o dreptă Interpretre geometrică situţiilor de mi sus este ) Cele două drepte sunt prlele; b) Cele două drepte se intersecteză într-un singur punct; c) Cele două drepte coincid Temă Să se rezolve sistemele ) b) c) d) x 2y z x y 2z 7 ; 5x y 4z 2 2x y 2z 0 x 2y 2z ; 5x 4y z 4 x 2y z 6 2x y 4z 2 4x y 2z 4 x y 4z 2w 5 2y 5z w 2 yz 4