Proiect cofiţt i Foul Socil Europe pri Progrmul Operţiol Sectoril Dezvoltre Resurselor Ume 7- prioritră Eucţi şi formre profesiolă î sprijiul creşterii ecoomice şi ezvoltării societăţii zte pe cuoştere Domeiul mjor e iterveţie cces l eucţie şi formre profesiolă iiţilă e clitte Titlul proiectului: TEEN PERFORM - Progrm iovtor e îmuătăţire rezulttelor şcolre î îvăţămâtul licel Cotrct umăr: POSDRU/5//S/66 Beeficir: Ispectortul Şcolr Jueţe Sucev Discipli MTEMTICĂ FIŞĂ DE LUCRU Tem/Uitte: Vectori î pl Geometrie litică Epert eucție: prof Moisuc Niculi Mihel, Colegiul Tehic Răăuți, Sucev Brevir teoretic Vectori î pl I Segmete oriette Noţiue e vector O pereche orotă, Be pucte le plului etermiă î mo uic: ) u segmet B cu lugime l (, B); ) o irecţie tă e rept B ; c) u ses t e semirept (B Defiiţie: O pereche orotă e pucte, B i pl se umeşte segmet oriett (vector legt)notţie: B Oservţii: Puctul se umeşte origie (puctul e plicţie) ir puctul B etremitte (vâful) segmetului oriett B ; Lugime segmetuluib se umeşte moulul segmetului oriett B ; Notţie: B Drept B se umeşte suportul segmetului oriett B ir irecţi ei se umeşte irecţi segmetului oriett B Defiiţie: Se umesc segmete echipolete ouă segmete oriette cre u ceeşi irecţie, celşi moul şi celşi ses Notţie: B ~ CD Defiiţie: Mulţime tuturor segmetelor oriette echipolete cu u segmet oriett t B se umeşte vector (vector lier) Notţie: B Oservţii: Orice segmet oriett i cestă mulţime se umeşte reprezett l vectorului B ; Vectorii lieri se pot ot şi cu litere mici,, u, v, Defiiţie: Doi vectori se umesc vectori egli că u ceeşi irecţie, celşi ses şi celşi moul Defiiţie: Doi vectori se umesc vectori coliiri că u ceeşi irecţie Defiiţie: Doi vectori se umesc vectori opuşi că u celşi moul, ceeşi irecţie şi sesuri iferite Oservţii: Vectorul ul este vectorul cre re moulul ir irecţi şi sesul sut eetermite; Vectorul uitr (versor, vector uitte) este vectorul cre re moulul Feerți Nțiolă socițiilor e Păriți - Îvățămât Preuiversitr
O Regul triughiului B II ure vectorilor Defiiţie: Fie, oi vectori şi O, B reprezetţi i cestorse umeşte sum celor oi vectori vectorul s cre re c reprezett OB Regul prlelogrmului O B Regul triughiului se etie l ure mi multor vectori şi se umeşte regul poligoului: Dcă tuci Proprietăţile uării vectorilor: Oricre r fi vectorii u, v, wu loc: u v v u (comuttivitte); u u u ( este elemet eutru); ( u v) w u ( v w) (socitivitte); 4 u ( u) ( u) u ( u este vectorul opus lui u ) Notţie: u v u v,oricre r fi vectorii u şi v III Îmulţire cu sclri vectorilor Defiiţie: Fie v u vector şi Vectorul v este vectorul Proprietăţi le îmulţirii cu sclri: cre re: Oricre r fi vectorii uv, şi, u loc: ceeşi irecţie cu v ; v su v ; celşi ses cu v c α> şi ses opus cu v că ; v v; ( ) v ( v) ; moulul egl cu v 4 ( )v v v ; 5 ( u v) u v IV Coliiritte oi vectori Teoremă: Vectorii u şi v sut vectori coliiri că şi umi că eistă α stfel îcât v u Oservţii: * Vectorii u şi v sut vectori coliiri că şi umi că eistă, stfel îcât uv ; Dcă u şi v sut vectori ecoliiri, tuci i orice relţie e form uv ; Puctele,B,C sut pucte coliire că şi umi că eistă α îcât B BC V Reper crtezi Coorotele uui vector Defiiţie: Fie o reptă î pl Se umeşte reper crtezi pe rept o pereche Oi, formtă itr-u puct O e pe reptă şi u versor i l irecţiei cestei repte Notţie: O, Oi, Oservţii: se umeşte ă ( e coorote), O se umeşte origie ir i versorul reperului; Dcă M tuci OM i ; se umeşte scis (coorot) vectorului OM Defiiţie: Fie O şi O ouă e ortogole î pl Se umeşte reper crtezi î pl tripletul O,, i j, Y j i ( X C Feerți Nțiolă socițiilor e Păriți - Îvățămât Preuiversitr
ue i şi j sut versorii celor ouă e Notţie: O, O,, i j Oservţii: O se umeşte origie reperului, O se umeşte sciselor, ir O orotelor; Dcă (, ) este u puct i pl tuci O i j; ( se, ) umesc coorotele vectorului O Notţie: O (, ) Teoremă (escompuere vectorului B upă versorii i şi j ): Dcă (, ), B(, ) sut pucte i pl tuci B ( ) i ( ) j Proprietăţi: (, ), B(, ), C(, ) sut pucte ecoliire i pl tuci: Dcă B ( ) ( ) ; Dcă M este mijlocul segmetului B tuci M, ; Dcă G este cetrul e greutte l BC tuci G, Operţii cu vectori: Dcă u i j şi v i j tuci u loc: Teoremă: Vectorii u i j şi u v ( ) i ( ) j ; v i j sut vectori coliiri că u v ( ) i ( ) j ; şi umi că u i j, ;,, u 4 VI Vectorul e poziţie l uui puct î pl Defiiţie:Fie O u puct î pl Vectorul O se umeşte vectorul e poziţie l puctului şi se oteză r Teoremă: Dcă,B sut pucte isticte i pl tuci B rb r Teoremă: Dcă,B sut pucte isticte i pl şi M este mijlocul segmetului [B] r rb tuci rm M Teoremă: Fie şi B pucte isticte i pl şi M[B] stfel îcât kk, MB tuci r krb rm k M B r r M r B Teoremă: Dcă I este cetrul cercului îscris î r rb crc ri c Teoremă: Dcă I este cetrul cercului îscris î r rb crc ri c BC tuci BC tuci VII Cetre e greutte * Defiiţie: Fie,,,,, pucte i pl Se umeşte cetru e greutte l sistemului e pucte,,,, u puct G i pl cu propriette că G G G Feerți Nțiolă socițiilor e Păriți - Îvățămât Preuiversitr
* Teoremă (e uicitte şi eisteţă): U sistem,,,,, e pucte i pl mite u sigur cetru e greutte * Teoremă (relţi lui Leiiz): Dcă,,,,, este u sistem e pucte i pl, G cetrul său e greutte şi M u puct orecre i pl tuci M M M MG r rb rc Teoremă: Dcă G este cetrul e greutte l BC tuci rg Teoremă: Dcă G este cetrul e greutte l triughiului BC tuci G GB GC Teoremă: Dcă G este cetrul e greutte l BC tuci oricre r fi O u puct i pl re loc: OG ( O OB OC ) Teoremă (Pppus): Fie BC M B, N BC, P C împrt ceste segmete Dcă puctele î celşi rport tuci VIII lte teoreme remrcile î geometri plă BC şi MNP u celşi cetru e greutte Teoremă (Slvester): Dcă O şi H sut cetrul cercului circumscris, respectiv ortocetrul BC tuci: OH O OB OC Coseciţ : Îtr-u triughi cetrul cercului circumscris O, cetrul e greutte G şi ortocetrul H sut pucte coliire Oservţie: Drept pe cre se flă puctele O, G, H se umeşte rept lui Euler Coseciţ : Î orice triughi, cu otţiile uzule, u loc relţiile: ) H HB HC HG; ) H HB HC HO ' Coseciţ (relţi lui Euler): Fie BC şi O mijlocul segmetului OH tuci re loc relţi O OB OC OO Oservţie: Cercul cre trece pri mijlocele lturilor uui triughi, pri piciorele îălţimilor triughiului şi pri mijlocele segmetelor cre uesc vârfurile triughiului cu ortocetrul cestui se umeşte cercul lui Euler (cercul celor ouă pucte) Teoremă (Meelus): Fie triughiul BC şi, B, C trei pucte stfel îcât BC, B C, C B ' Dcă ', B ', C ' sut pucte coliire, tuci re loc relţi: B B C C C B C B Teoremă (Reciproc teoremei lui Meelus): Fie triughiul BC şi BC, B C, C B stfel îcât ouă itre puctele, B, C sut situte pe ouă lturi le triughiului, ir l treile puct este situt pe prelugire celei e- trei lturi su tote puctele, B, C sut situte pe prelugirile lturilor B B C C triughiului Dcă re loc relţi, tuci puctele, B, C sut pucte coliire C B C B Teoremă (Cev): Fie triughiul BC şi, B, C trei pucte stfel îcât,, BC B C C B Dcă reptele, BB, CC sut cocurete, tuci re loc relţi B B C C C B C B Teoremă (Reciproc teoremei lui Cev): Fie triughiul BC şi, B, C trei pucte stfel îcât 4 Feerți Nțiolă socițiilor e Păriți - Îvățămât Preuiversitr
,, BC B C C B Dcă re loc relţi, BB, CC sut cocurete B B C C, tuci reptele C B C B Teoremă (V uel): Fie triughiul BC şi puctele ' BC, C C ', B B ' Dcă reptele ' ' B C P, CB, BC sut cocurete îtr-u puct P, tuci re loc relţi B C C B P IX Prousul sclr oi vectori Defiiţie: Fie u şi v vectori Se umeşte prous sclr l vectorilor u şi v umărul rel u v cos( u, v) Notţie: u v= u v cos( u, v) Teoremă (eprimre î coorote prousului sclr): Dcă u i j şi v i j tuci u v Oservţie: i i, j j, i j j i Teoremă: Fie u şi v vectori u v Proprietăţi: Fie vectorii u, vw, şi m tuci u loc: u u u ; u v v u (comuttivitte); mu v muv u mv ; 4 u v u v 5 uv petru cos (, ) uv şi uv petru cos ( uv, ) ; 6 u v w u v u w (istriutivitte fţă e ure vectorilor); Elemete e geometrie litică Distţ itre ouă pucte, şi B, : B Pt reptei B : m B, Coorotele mijlocului M l segmetului B : B M, B M 4 Coorotele puctului N cre împrte segmetul B î rportul k : 5 Coorotele ortocetrului G l BC k N, k N ue,, B,, C G,, : G 6 Ecuţi reptei etermită e u puct şi o irecţie: Fie, : r r tv, t M, ue r vectorul e poziţie l puctului Oservţie: uv cos ( uv, ) u v M şi vectorul, k k v tuci M, ir r vectorul e poziţie l puctului 5 Feerți Nțiolă socițiilor e Păriți - Îvățămât Preuiversitr
t 7 Ecuţii prmetrice le reptei : :, t t 8 Ecuţi crteziă reptei : :, şi 9 Ecuţi geerlă reptei : : c, su, ue m pt reptei Ecuţi eplicită reptei : : m, ue m este pt reptei şi este orot l origie Ecuţiile reptelor prlele cu ele e coorote : :, reptă verticlă, :, reptă orizotlă Ecuţi reptei pri tăieturi : :, şi ue, şi B, reprezită puctele e itersecţie le reptei cu ele e coorote Ecuţi reptei etermite e puctul M, şi pt m : m 4 Ecuţi reptei etermite e ouă pucte isticte, şi B, : : :, şi SU 5 Ughiul ouă repte î pl Fie : c şi : c tuci ughiul reptelor este ughiul formt e vectorii lor irectori şi este etermit e relţi: cos 6 Poziţi reltivă ouă repte î pl Dreptele : c şi : c sut : ) prlele c m m ) cofute c c c c) cocurete ) perpeiculre m m Coiţi e prlelism: m m Coiţi e perpeiculritte: m m 7 Distţ e l puctul, M l rept h : c : 8 ri triughiului cu vârfurile,, B,, C SU BC, ue c M, h BC, BC BC, : 9 Coiţi e coliiitte puctelor,, B,, C, : 6 Feerți Nțiolă socițiilor e Păriți - Îvățămât Preuiversitr
BC, CERCUL, SU Ecuţi cercului este: r, ue C, este cetrul cercului, ir r, rz cercului Dcă C, O, ecuţi cercului este: Ecuţi geerlă cercului este: r m m p, ue,, este r p Tipuri e itemi (ivel : tehologic-t, știițele turii-ș, mtemtică iformtică-m) T Fie triughiul BC și M mijlocul lturii BC Să se rte că M B C B, BC, T Î triughiul BC puctele M, N, P sut mijlocele lturilor C Să se rte că M P N T Să se emostreze că î ptrulterul BCD re loc relți B CD D CB T4 Fie triughiul BC și M, N, P sut mijlocele lturilor BC, C, B, ir O u puct î pl Să se rte că O OB OC OM ON OP T5 Se cosieră pătrtul BCD și O cetrul său Să se clculeze O OB OC OD T6 Î triughiul BC se cosieră puctele D și E stfel îcât D DB, E BC Să se rte că reptele BC și DE sut prlele T7 Fie triughiul BC și M BC stfel îcât BC BM Să se rte că M B C T8 Pe lturile B și C le triughiului BC se iu puctele M și N stfel îcât M MB și N C Să se rte că vectorii MN și BC sut coliiri 4 T9 Î reperul O,, i j se cosieră vectorii u i j și v 5i j Să se etermie coorotele vectorului 5u v T Î reperul crtezi O se u vectorii O, și, petru cre vectorul O 5OB re coorotele, T Să se etermie Rștii că vectorii u 4i j și v i j sut coliiri T Să se etermie m Rstfel îcât vectorii u m 4i m j și iă celși moul T Să se etermie m R stfel îcât puctele,, B,4, C m, m OB Să se etermie umerele rele, v m i m j să să fie coliire 7 Feerți Nțiolă socițiilor e Păriți - Îvățămât Preuiversitr
T4 Fie r i j, rb i j și rc i j vectorii e poziție i vârfurilor triughiului BC Să se etermie vectorul e poziție l cetrului e greutte l triughiului m, m 8, 5 C m, Să se etermie umerele rele m, T5 Se cosieră puctele, B, stfel îcât vectorul e poziție l cetrului e greutte l triughiului BC să fie vectorul ul, B, Să se etermie istț itre T6 Î reperul crtezi O se cosieră puctele și și B T7 Se cosieră puctele, m, B-m, Să se etermie m R T8 Î reperul crtezi O se cosieră puctele,, B, și 4,5 etermie vlorile lui petru cre triughiul este reptughic î T9 Să se etermie, R știi că rept e ecuție 5 B -,4 T Să se etermie istț e l puctul, : 8 stfel îcât B 4 C, ue R Să se, și trece pri puctele O l puctul e itersecție l reptelor : și Ș Fie triughiul BC Să se etermie kz stfel îcât BC C k B M C Să se etermie k Rstfel îcât Ș Fie G cetrul e greutte l triughiului BC și GM BC, GM kbc Ș Se cosieră puctele,, B, 4, C 6, și M BC vectorul M Ș4 Fie triughiul BC și puctele M B și N C stfel îcât MB BC 4 Să se etermie stfel îcât vectorii MN și BC sut coliiri Dcă M 4, BM m, N m și CN 6, să se etermie m N Ș5 Să se etermie coorotele simetricului puctului fță e mijlocul segmetului B (,), C (,) Ș6 Se cosieră puctele 6,, B 6,9,, u B BC Ș7 Să se clculeze B C CD BC că,4 C Să se etermie coorotele vectorului î czul 4,5, B 4,, C,,,6 D, Ș8 Să se etermie m R petru cre reptele : m și : m 5 sut prlele Ș9 Se cosieră î pl puctele, CD sut prlele, B,, C,, D, Ș Î reperul crtezi O se cosieră puctele,, B, și C, Să se verifice că reptele B și coorotele puctului D stfel îcât ptrulterul BCD să fie prlelogrm Ș Să se etermie m R petru cre puctele să fie coliire :,5,5,, B, m+ Să se etermie ), B, C m ; ),,, Ș Să se etermie ecuți meiei use i vârful C l triughiului BC î czurile :, 5,6,,, C m ), B, C ; ), B, C, Ș Să se etermie lugime îălțimii use i vârful O l triughiului MON, ue M 4,,, N și 8 Feerți Nțiolă socițiilor e Păriți - Îvățămât Preuiversitr
O, Ș4 Să se etermie coorotele vârfurilor triughiului BC știi că suporturile lturilor triughiului sut reptele e ecuții :, : 4 și : Ș5 O reptă re pt reptă cre re orot eglă cu 7 m și coție puctul, M rătți că ughiul vectorilor u i j și v i j este otuz Să se etermie scis puctului P e pe M Puctele, B, C, D verifică relți B C D rătți că B, C, D sut coliire,, C, M Clculți istț e l puctul l rept etermite e puctele B și M4 Scrieți ecuți reptei cre coție puctul, M5 Î sistemul e coorote O se cosieră puctele, puctul M,5 l meitore segmetului B M și este perpeiculr pe rept : 5 și B, Determiți istț e l M6 Determiți Rpetru cre istț itre reptele : 5 și : să fie eglă cu M7 Determiți Rpetru cre reptele isticte : 4, : 4 și : 4 sut echiistte M8 Determiți Rpetru cre reptele :, : și : sut cocurete M9 Determiți ecuți reptei știi că reptele și : 4 sut simetrice fță e O M Să se etermie știi că reptele : și : coici M Fie puctele, M Fie, și, B, B 4,6 și,- M Fie puctele, și G,4 C flți lugime isectorei i triughiului BC B Determiți ecuțiile reptelor cre trec pri și sut situte l istț e coorotele mijlocului lturei BC,, C,, ue, Z M4 Fie puctele, B și Dcă G este cetrul e greutte l triughiului BC, etermiți ) rătți că, că, tuci puctele, B și C sut ecoliire ) rătți că că este umăr pr, tuci ri triughiului BC este u umăr turl impr M5 Î reperul crtezi O se cosieră puctele log,log9 și B -,, N ) Să se etermie ecuți reptei B și B ) Să se rte că B, oricre r fi N c) Să se emostreze că petru orice N, puctul prție reptei 9 Feerți Nțiolă socițiilor e Păriți - Îvățămât Preuiversitr