Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju jedan za drugim: a Sa vraćanjem, a redosled izabranih brojeva je bitan b Sa vraćanjem, a redosled izabranih brojeva nije bitan c Bez vraćanja, a redosled izabranih brojeva je bitan d Bez vraćanja, a redosled izabranih brojeva nije bitan a Elementarni dogadjaji su uredjene petorke brojeva a, b, c, d, e i ima ih 00 5 varijacije sa ponavljanjem 5-te klase od 00 elemenata b Elementarni dogadjaji su petočlani skupovi a, b, c, d, e} i ima ih 0 kombinacije sa ponavljanjem 5-te klase od 00 elemenata 5 c Elementarni dogadjaji su uredjene petorke brojeva a, b, c, d, e i ima ih 00 99 98 97 96 varijacije bez ponavljanja 5-te klase od 00 elemenata d Elementarni dogadjaji su petočlani skupovi a, b, c, d, e} i ima ih 00 kombinacije bez ponavljanja 5-te klase od 00 elemenata 5 2 Odrediti verovatnoću da se od slova i, l, s, t, formira jedna od reči list ili stil 2 3 Odrediti verovatnoće posmatranih dogadjaja ako se kocka numerisana brojevima,2,, 6 baca dva puta: a D = zbir dobijenih brojeva jednak 9 } b D 2 = zbir dobijenih brojeva veći od 5 a manji od 0 }
c D 3 = zbir dobijenih brojeva je paran broj } d D = prvi dobijeni broj je veći od drugog } e D 5 = veći od dobijenih brojeva je manji od } f D 6 = bar jedan od dobijenih brojeva je neparan } g D 7 = zbir kvadrata dobijenih brojeva je 25 } a P D = b P D 36 2 = P = 6+P = 7+P = 8+P = 9 = 20 c P D 36 3 = P = 2 + P = + + P = 2 = 2 d P D = 5 e P D 36 5 = 9 f P D 36 6 = P D 6 = 27 g 36 P D = 2 36 Kocka numerisana brojevima,2,, 6 baca se puta Odrediti verovatnoće da su: a svi dobijeni brojevi različiti b svi dobijeni brojevi jednaki c jedan od dobijenih brojeva jednak, a ostali jednaki medjusobno i različiti od a 6! 6 b c 6 6 5 6 5 Iz špila od 52 karte na slučajan način su izabrane karte Odrediti verovatnoću dogadjaja: a D = izabrane su desetke } b D 2 = izabrana je bar jedna desetka }
c D 3 = sve izabrane karte su različitog znaka } d D = sve izabrane karte su iste boje } a 52 b 8 52 c 3 3 3 3 52 d 26 2 52 6 U vezi sa rezultatima bacanja dve kocke definisani su dogadjaji: A = zbir dobijenih brojeva je paran broj }, B = broj na prvoj kocki je neparan }, C = broj na drugoj kocki je neparan } Da li su dogadjaji A, B i C nezavisni?
P AB = P BC = P AC = P ABC =, P A = P B = P C = pa su dogadjaji A, B i C zavisni a nezavisni su 2 u parovima 7 Date su dve kutije U prvoj se nalazi a belih, b crnih, u drugoj c belih i d crnih kuglica Iz prve kutije se prebacuje jedna kuglica u drugu kutiju Iz druge kutije se izvlači kuglica Naći verovatnoću da je ona bela Neka je A dogadjaj da se izvlači bela kuglica, H hipoteza da je prebačena bela, H 2 hipoteza da je prebačena crna P H = P A = a, P H a+b 2 = b a c+ + b c a+b c+d+ a+b c+d+, P A/H a+b = c+, P A/H c+d+ 2 = c, c+d+ 8 U tri istovetne kutije su bele i crne kuglice, i to: u prvoj kutiji bele i 2 crne, u drugoj kutiji 6 belih i 3 crne i u trećoj 7 belih i 2 crne Iz jedne od kutija je na slučajan način izabrana jedna kuglica Naći verovatnoću da je ona bela Ako je izabrana bela, oderditi verovatnoću da je izabrana iz prve kutije Neka je A dogadjaj da se izvlači bela kuglica, H hipoteza da je izabrana kuglica iz prve kutije, H 2 hipoteza da je izabrana kuglica iz druge kutije i H 3 hipoteza da je izabrana kuglica iz treće kutije Po formuli potpune verovatnoće dobijamo da je P A = 9 Po Bajesovoj 27 formuli je P H /A = 6 9 9 U kutiji su bele i tri crne kugle Iz nje se vade kugle do prvog pojavljivanja bele Napisati zakon raspodele slučajne promenljive X koja predstavlja broj izvlačenja kuglica 2 3 0 Diskretna slučajna promenljiva X data je zakonom raspodele 7 2 7 35 35 2 2 3 0, 08 0, 0, 32 0, 2 Naći verovatnoću dogadjaja A = X < 2, B = X < 3 i C = < X 3
P A = 0, 8, P B = 0, 72 i P C = 0, 52 Diskretna slučajna promenljiva X data je zakonom raspodele 2 2 3 0, 2 0, 25 0, 3 0, 5 0, Naći zakon raspodele slučajnih promenljivih Y = 2X i Z = X 2 Y : 2 2 6 0, 2 0, 25 0, 3 0, 5 0, i Z : 9 0, 3 0, 5 0, 2 2 Dati su zakoni raspodele slučajnih promenljivih X i Y : 2 3 0, 3 0, 5 0, 2 i Y : 2 0, 0, 6 Naći zakon raspodele slučajnih promenljivih Z = X + Y i W = X Y i W : Z : 0 2 0, 2 0, 38 0, 38 0, 2 6 3 2 0, 08 0, 2 0, 2 0, 2 0, 8 3 Diskretna slučajna promenljiva X data je zakonom raspodele 2 0 2 3 0, 0, 2 0, 25 0, 5 0, 0, 2 Naći matematičko očekivanje i varijansu slučajnih promenljivih X, 2X i X 2
EX = 0, 55, V ar X = 2675, E 2X =, V ar 2X = 0, 59, EX 2 = 295, V ar X 2 = 075 Data je funkcija raspodele neke slučajne promenljive X 0, x < 3, F x = x 32, 3 x < 5,, x > 5 Naći gustinu raspodele fx i verovatnoću P X [3, P X [3, = 0, x < 3, fx = x 3, 3 x < 5, 2 0, x > 5, 5 Za koju vrednost parametra C funkcija C, x, fx = x 0, x <, predstavlja gustinu raspodele neke slučajne promenljive X? Naći P < X < 5 C = 3, P < X < 5 = 2 25 6 Data je gustina raspodele slučajne promenljive X 3, x, fx = x 0, x <, Naći funkciju raspodele F x i skicirati grafike funkcija fx i F x F x = 0, x,, x 3 x > 7 Data je gustina raspodele slučajne promenljive X 3, x, fx = x 0, x < Naći matematičko očekivanje i varijansu slučajne promenljive X EX = 9 29, V ar X = 3 85
8 Data je gustina raspodele slučajne promenljive X 0, x < 0, fx = 8 x, 0 x < 0, x Naći matematičko očekivanje i varijansu slučajne promenljive X EX = 8 3, V ar X = 8 9 9 Data je gustina raspodele slučajne promenljive X fx = Naći A, EX, i V ar X 0, 25 A, x [0, ], 0, x / [0, ] Iz uslova normiranosti imamo da je A = pa X ima uniformnu raspodelu na [0, ] Iz toga sledi da je EX = 2 i V ar X = 3 20 Data je gustina raspodele slučajne promenljive X fx = Naći λ, EX, i V ar X λ e x, x 0, 0, x < 0, Iz uslova normiranosti imamo da je λ = pa X ima eksponencijalnu raspodelu Iz toga sledi da je EX = i V ar X = 6 2 Dvodimenzionalna diskretna slučajna promenljiva je zadata zakonom raspodele Naći: X\Y 2 3 0,6 0,2 0,08 2 0,28 0, 0,25 a Zakone raspodele slučajnih promenljivih X i Y b Ispitati zavisnost slučajnih promenljivih X i Y c EX i EY
d V ar X i V ar Y e Covar X, Y i ρx, Y a 2 0, 36 0, 6, Y : 2 3 0, 0, 23 0, 33 b Zavisne c EX =, 6, EY =, 89; d V ar X = 0, 230, V ar Y = 0, 7579; e Covar X, Y = 0, 00, ρx, Y = 0, 0096732 22 Dvodimenzionalna diskretna slučajna promenljiva je zadata zakonom raspodele X\Y -2 0 2 0,2 0,03 0,05 0,2 0,6 0,5 0,30 0,35 Naći uslovno matematičko očekivanje EX Y = 2 EX Y = 2 = 23 7 23 Gustina dvodimenzionalne neprekidne slučajne promenljive je zadata sa fx = C y xy, x, y D, 0, x, y / D, gde je D = x, y 0 x, 0 y } a Naći koeficijent C b Naći gustine raspodela slučajnih promenljivih X i Y c Naći P X, Y D, gde je D = x, y 0, 7 x 3, 0 y 0, 3} d Ispitati zavisnost slučajnih promenljivih X i Y e Naći parcijalne funkcije raspodele slučajnih promenljivih X i Y f Naći EX i EY g Naći V ar X i V ar Y ;
h Naći Covar X, Y i ρx, Y a C = ; b f x = 2 x, x [0, ], 0, x / [0, ], f 2 y = 2y, y [0, ], 0, y / [0, ] ; c 0,008; d Nezavisne; e 0, x 0, F x = 2x x 2, 0 < x,, x >, 0, y 0, F 2 y = y 2, 0 < y,, y > ; f EX =, EY = 2 ; g V ar X =, V ar Y = ; h Covar X, Y = 3 3 8 8 0, ρx, Y = 0