METODE DE ANALIZĂ STATISTICĂ A 0. LEGĂTURILOR DINTRE FENOMENE Asura feomeelor de masă studate de statstcă acţoează u umăr de factor rcal ş secudar, eseţal ş eeseţal, sstematc ş îtâmlător, obectv ş subectv, care se găsesc sau u î legătur recroce. Avâd î vedere fatul că statstca studază feomeele de masă r rsma leglor statstce care le guverează, ce se caracterzează r forma de tedţă, cuoscută ş verfcată uma la velul asamblulu, se mue î mod atural, aalza legăturlor dtre feomeele de masă studate de statstcă tot sub forma de tedţă a relaţlor de cauzaltate. Se cuoaşte că î domele ştţfce, tehce ş ale atur, u loc mortat îl ocuă studul legăturlor cauzale î care u feome sau ma multe determă î mod uvoc schmbarea uu alt feome. Î acest caz este vorba de o legătură fucţoală de forma: (0.) y = f(x), ude x, y ot f varable reale sau vectorale. Pe lâgă deedeţa a două sau ma multe feomee sau exsteţa uor legătur fucţoale, ître acestea ot să exste legătur de atură statstcă. Partculartatea acestu t de legătur costă î fatul că o caracterstcă X deumtă caracterstcă factorală, deedetă (exogeă sau cauză) exerctă o aumtă flueţă asura ue alte caracterstc Y, deumtă caracterstcă rezultatvă, deedetă (edogeă sau efect). Î cadrul legăturlor statstce, ue valor a caracterstc factorale X î coresude o dstrbuţe de valor a caracterstc rezultatve Y, d cauză că asura caracterstc deedete Y exerctă flueţă ş alţ factor (caracterstc), care d uctul de vedere al legătur dtre X ş Y se cosderă îtâmlător. Secfc legăturlor statstce (socale, ecoomce etc.) este fatul că legtăţle ce acţoează î cadrul acestora u ot f verfcate etru fecare caz î arte, c uma la velul îtregulu asamblu. Legăturle statstce se ot clasfca duă ma multe crter. Dacă se a î cosderare o sgură caracterstcă factorală, care determă o sgură caracterstcă rezultatvă, celalţ factor fd cosderaţ rezdual, suem că avem o legătură smlă. Câd se au î studu ma mult de două caracterstc factorale suem că avem o legătură multlă.
8 Metode de aalză statstcă a legăturlor dtre feomee - 0 De exemlu, dacă se studază deedeţa desfacer Y, de surafaţa comercală X, avem o legătură smlă, dacă se studază roftul ca fucţe de surafaţa comercală, mărmea stocurlor, valoarea desfacer etc., avem o legătură multlă. Duă drecţa legăturlor deosebm: a) legătur drecte, atuc câd la creşterea (descreşterea) valorlor caracterstc factorale î coresude creşterea (descreşterea) valorlor caracterstc rezultatve; b) legătur verse, atuc câd creşter (descreşter) valorlor ue caracterstc factorale î coresude descreşterea (creşterea) valorlor caracterstc rezultatve. De exemlu, ître volumul desfacer ş îcasărle resectve exstă o legătură drectă. Duă exresa aaltcă a legătur, deosebm legătur lare sau elare (arabolce, herbolce, exoeţale etc.). Duă tmul câd se roduce legătura, ot f legătur scroe (cocomtete) sau ascroe (cu decalaj). Studul ş aalza statstcă a legăturlor dtre feomee se face atât cu metode smle (elemetare), r care se verfcă exsteţa ş forma legătur dtre caracterstcle îregstrate, cât ş cu metode ma comlexe, utlzâd uele rezultate matematce d studul fucţlor, r care se măsoară testatea deedeţe statstce. 0.. Metode elemetare de caracterzare a legăturlor dtre varablele statstce Dtre metodele elemetare de cercetare a legăturlor statstce amtm: m ) metoda serlor statstce aralele m ) metoda gruărlor statstce m 3 ) metoda grafcă m 4 ) metoda tabelulu de corelaţe sau cotgeţă m 5 ) metoda aalze dsersoale. Metoda serlor statstce aralele rereztă u rocedeu smlu, ce costă î orgazarea î aralel a uor ser de date statstce, î ordea crescătoare sau descrescătoare a caracterstc factorale. Pr comararea serlor de valor astfel ordoate se oate stabl dacă exstă sau u aumte legătur ître ele, ş dacă da, care este drecţa acestora. Se ot comara î acest mod ser de dstrbuţe, croologce sau tertorale. Serle aralele se folosesc câd avem u umăr relatv mc de utăţ observate. Î cazul uu umăr ma mare de utăţ observate ş a ue varaţ de amltude mare se recurge la metoda gruărlor statstce. Metoda gruărlor îcearcă să surrdă asectele eseţale ale legăturlor dtre varablele statstce, duă ce utăţle colectvtăţ se gruează î fucţe de caracterstca factorală. Petru caracterstca rezultatvă se calculează dcator dervaţ (mărm relatve sau med) secfce fecăre grue.
0.. Metode elemetare de caracterzare a legăturlor dtre varablele statstce 9 Pr comararea varaţe caracterstc factorale cu cea a caracterstc rezultatve se ot aroxma: caracterul legătur, drecţa ş testatea e. Petru aalza legăturlor dtre feomee trebue să se obţă grue sufcete, etru a se desrde corect forma de terdeedeţă dtre caracterstcle luate î studu. Î geeral este dcat să se lucreze cu tervale de gruare egale etru fecare d caracterstcle mlcate î aalza de corelaţe. Metoda grafcă costă î costrurea grafculu de corelaţe (corelograme), e baza uu sstem de coordoate rectagular. Valorle caracterstc factorale X sau tervalele acestea se trec e abscsă, ar e ordoată se trec valorle caracterstc rezultatve Y sau tervalele acestea. Fecare utate observată, r valorle măsurate etru cele două caracterstc, va determa u uct de aceste coordoate e grafcul de corelaţe. Î fucţe de amltudea varaţe caracterstc factorale se stableşte scala de rerezetare e abscsă. Se recomadă, ca ş etru caracterstca rezultatvă Y, să se stablească acelaş umăr de dvzu al scăl. Metoda grafcă se ma umeşte ş metoda orlor de ucte ; ea stă la baza aleger fucţe aaltce î cazul regrese ş corelaţe. Corelograma dă osbltatea stablr atât a exsteţe legătur, a sesulu, a forme, a testăţ, cât ş a abseţe legătur. Fg.0..
30 Metode de aalză statstcă a legăturlor dtre feomee - 0 Î fg.0.. grafcul a) dcă abseţa ue legătur ître caracterstcle X ş Y, grafcul b) dcă o legătură drectă, ar grafcul c) dcă o legătură versă. 0.. Metoda tabelulu de cotgeţă Să cosderăm o oulaţe statstcă P avâd u umăr ft de utăţ statstce (card(p) = ), etru care, î urma ue observăr statstce, s-au îregstrat etru caracterstcle X, Y erechle de valor dstcte (x, y j ),,, cu frecveţele absolute j,,,,. j defeşte umărul de utăţ statstce etru care s-a îregstrat măsurătoarea x coresuzător caracterstc X ş y j coresuzător caracterstc Y. Frecveţele absolute (efectve) j satsfac relaţa: (0..) Aalza tabelelor de cotgeţă, r utlzarea dstrbuţe cu două dmesu, surrde corelaţa care exstă ître varablele studate X ş Y, cât ş testatea deedeţe dtre acestea. Î urma îregstrăr smultae a măsurătorlor asura utăţlor oulaţe, duă cele două caracterstc, se obţe tabelul de codgetă de forma: X Y j = Tabelul 0.. y... y j... y j. x... j.... M M x... j.... M M x... j..... j.. j... (=) Î tabelul 0.. j. rereztă umărul utăţlor statstce etru care, coresuzător caracterstc X, s-a îregstrat modaltatea x, fără a ţe seama de valorle caracterstc (varable) Y.. j defeşte umărul utăţlor statstce etru care, coresuzător varable Y, s-a îregstrat modaltatea y, fără a lua î cosderare valorle îregstrate etru caracterstca X. Numerele (0...) j = card{u P: X(u)=x ; Y(u)=y j } d terorul tabelulu de corelaţe se ma umesc efectve arţale. Serle
0.. Metoda tabelulu de cotgeţă 3 x y (0..3) ; ;.., j, rereztă dstrbuţle utăţlor oulaţe statstce duă o sgură caracterstcă X, resectv Y, frecveţele lor se ma umesc efectve margale etru varabla X, resectv Y, =.. rerezetâd umărul de utăţ ale oulaţe se umeşte efectv total. Ître efectvele defte ma sus exstă relaţle: (0..4) j =., j =. j =. Efectvele de ma sus sut, de fat, frecveţe absolute e baza lor se ot costru frecveţele relatve coresuzătoare. j (0..5) fj =,.. care defesc oderea fecăre îregstrăr (x, y j ) î raort cu efectvul total. Frecveţele arţale raortate la efectvele margale se umesc frecveţe arţale codţoate: j* j* (0..6) f / j* = f =, =,, j* =, fxat.. j* j* f defeşte roorţa utăţlor care au valoarea varable X îcadrată î modaltatea x, î raort cu efectvul utăţlor care au î comu modaltatea y j etru varabla Y. Î mod aalog se defesc ş frecveţele arţale codţoate * *j (0..7) f j / * = f j =, j =,, * =, fxat. *. Pr raortarea efectvelor margale la efectvul total se obţ frecveţele relatve margale etru varabla X, resectv Y:.. j f. =, =, ; f. j =, j =,.... Ître frecveţele relatve defte ma sus se stablesc relaţle: (0..8) f j =, f. =., f. j = * j* (0..9) f. f j = fj, f. j f = fj
3 Metode de aalză statstcă a legăturlor dtre feomee - 0 Aalza tabelulu de cotgetă curde î rmul râd aalza dstrbuţlor margale coresuzătoare celor două caracterstc X, resectv Y. Fecare d acestea oate f aalzată ca o sere udmesoală. Astfel, etru sera de frecveţe: x x... x (0..0) X :...... se oate calcula meda oderată:. x (0..) x = = f. x. Ţâd seama de relaţa. = j, această valoare mede este dată de asemeea r: (0..) x = x j.. Petru aceeaş dstrbuţe margală coresuzătoare caracterstc X se obţe varaţa (dsersa): (0..3) V ( X ) =. =. ( x x) ( x x) Abaterea mede ătratcă σ(x) se calculează ca rădăcă ătrată d varată, (V(X)=σ (X)), dec avem: (0..4) σ ( X ) = V ( X ), ar coefcetul de varaţe exrmat î rocete este deft r : σ (X ) (0..5) C(X) % = 00 x Aceleaş caracterstc umerce ot f calculate etru dstrbuţa margală coresuzătoare caracterstc Y. Fe acum o modaltate fxată y j coresuzătoare caracterstc Y, utlzâd frecveţele absolute (efectvele) coloae lu y j ş valorle caracterstc X se defeşte sera udmesoală a caracterstc X codţoată de modaltatea y j a caracterstc Y: f.
0.. Metoda tabelulu de cotgeţă 33 x x... x (0..6) X : j, j =, j j... fxat j Coresuzător aceste dstrbuţ codţoate de varablă X î coresude: mede codţoată: xj xj (0..7) x j = = = xf / j*,.j etru fecare, fxat; varaţă codţoată: (0..8) V (X) = j j ( x x ) j j = j / j* =. j ( x x ) f, j, ; abatere stadard: (0..9) σ j ( X) = V j(x), j =, fxat; u coefcet de varaţe: (0..0) % σ j(x) C j (X) = 00, x j j =, fxat. Dacă se fxează o modaltate x a caracterstc X, atuc aceleaş caracterstc umerce ot f costrute etru dstrbuţle codţoate ale varable Y, de modaltăţle x,, fxat: (0..) y : y y... y.... Vom obţe: (0..) y = j = y. j, V ( Y ) = j = ( y y ) % σ (X) (0..3) σ (Y) = V (Y) C (Y) = 00. y. j
34 Metode de aalză statstcă a legăturlor dtre feomee - 0 Valorle umerce rezetate ateror caracterzează varablele statstce margale ş codţoate, ca ser udmesoale de varablă X, resectv Y, fără a stabl legătur ître aceste caracterstc. Pord de la fatul că ître efectvele acestor ser udmesoale exstă relaţle de legătură (0..4), vom arăta că acestea coduc la aumte relaţ de legătură ître aceste caracterstc umerce. Dacă etru fecare, asocem mede codţoate a varable X, x j dată de (0..7) frecveţa absolută margală.j obţem o ouă sere udmesoală. x (0..4) X = x... x....... Dacă etru această sere statstcă calculăm valoarea mede, atuc aceasta rereztă o mede a medlor codţoate ale varable X, cu oderle margale coresuzătoare acestea, ş care oate f terretată ca meda varable X, rezetată rtr-u tablou cu dublă trare. O otăm cu x ş avem: x j. j (0..5) x = = x j f. j.. Î mod asemăător se defeşte meda etru varabla Y. Avem: y. (0..6) y = = y f... j Varaţa sere (0..4) oartă umele de varaţa medlor codţoate etru varabla (caracterstca) X. Notăm cu V( x ) această varaţă ş avem: (6..7) j = ( x j x) j =. j. j j = j =. j. j ( ) V ( X ) = = x x j.
r: (6..8) 0.. Metoda tabelulu de cotgeţă 35 Abaterea stadard a medlor codţoate este σ( X )= ( X ) V. Î mod asemăător etru varabla Y varaţa medlor codţoate este dată V ( y j y) j =. j ( ).. ( Y ) = = y. y ar abaterea stadard a medlor codţoate este σ(y )= ( y) V. Dacă etru varabla X, dată r tabelul de covaraţă, cosderăm varaţa totală dată r: (0..9) V(X) = ( x x) f., ar meda varaţelor codţoate: (0..30) atuc ord de la relaţa: V j(x).j ( x x j) j V (x) = =,.j j ( x x j) + ( x x j) x x = se obţe relaţa (0..3) V (X) = V(x) + V(x), adcă varaţa totală a caracterstc X este suma dtre meda varaţelor dstrbuţlor codţoate ş varaţa medlor dstrbuţlor codţoate. Idcator calculaţ ma sus e baza datelor dtr-u tabel cu dublă trare au fost calculaţ e baza serlor uvarate obţute d tabel. Aalzâd smulta varaţa celor două caracterstc îregstrate îtr-u tabel cu dublă trare, ot f troduş alţ dcator statstc, dtre aceşta covaraţa măsoară testatea legătur dtre cele două varable. Exemlul. Să resuuem că etru două varable ecoomce (X,Y) datele îregstrate sut coţute î tabelul 0. cu dublă trare (bvarat).,
36 Metode de aalză statstcă a legăturlor dtre feomee - 0 X Y 60 70 80 90. Tabelul 0. 50 3 4-8 60 7 7 7 70 3 5 4 3 80-3 8.j 5 5 6 4 50 Să se calculeze caracterstcle umerce (mede, dserse, varaţă, coefcet de varaţe) etru dstrbuţle margale ş codţoate duă varablele X ş Y. Petru varabla X avem dstrbuţa margală: 50 60 70 80 X :, 8 7 3 etru care se obţ dcator: valoarea mede x =65,8, varaţa V(X)=04,36, abaterea mede stadard σ(x)= V (X) =0, ş coefcetul de varaţe C(X)=6,6%. Hstograma d fg.0.. reztă dstrbuţa de frecveţe margale duă caracterstca X. 8 6 4 0 8 6 4 0 50 60 70 80 Fg.0.. Dstrbuţa de frecveţe margale duă varabla Y este: 60 70 80 90 Y :, 5 5 6 4
0.. Metoda tabelulu de cotgeţă 37 etru aceasta se obţ dcator: valoarea mede y =77,8, varaţa V(X)=93,6, abaterea mede stadard σ(y)=9,65, coefcetul de varaţe C(Y)=,4% ş hstograma de frecveţe d fg.0.3. 6 4 0 8 6 4 0 60 70 80 90 Fg.0.3. Petru a calcula dcator meţoaţ etru dstrbuţle codţoate duă varabla X este utl să costrum u tabel de forma: Tabelul 0.3. Y 60 70 80 90 X (x) x x x x 3 3 x 3 x 4 4 x 4 x 50 3 450 67500 4 600 90000 50 500 0 0 0 60 60 5600 7 0 7900 7 0 7900 30 500 70 70 8900 3 50 86700 5 850 44500 4 680 5600 80 0 0 0 80 3400 3 540 9700 8 440 5900 Total 5 780 000 5 40 388300 6 660 443400 4 440 46000 Pe baza datelor d Tabelul 0.3 se obţ dcator dstrbuţlor de frecveţe 780 duă varabla X, codţoate de modaltăţle varable Y. Avem: x = = 56, 5 000 V (X) = 56 = 64, σ I (X)=8 ş C (X)=5,%; 5 x =60,7, V (X)=6,8, σ (X)=7,89 ş C (X)=4,9%; x 3 =66,5, V 3 (X)=73,4, σ 3 (X)=8,57 ş C (X)=5,5%; x 4 =74,3, V 3 (X)=48,08, σ 4 (X)=6,93 ş C (X)=3,98%.
38 Metode de aalză statstcă a legăturlor dtre feomee - 0 Aalzâd coefcetul de varaţe observăm că dstrbuţa codţoată de modaltatea y =90 este cea ma omogeă. Î mod aalog se calculează dcator med ş a varaţe etru dstrbuţle de frecveţe codţoate duă varabla Y. 0.3. Covaraţă etru două varable statstce Î aragraful recedet, ord de la tabelul cu dublă trare etru două varable X, Y (tabelul 0.), folosd serle uvarate margale ş codţoate, au fost calculaţ dferţ dcator. Pe baza aceluaş tabel de cotgeţă ot f calculaţ dcator de aalză a varaţe smultae a celor două caracterstc X ş Y. Dtre aceşta vom rezeta mometele smle, mometele cetrate ş covaraţa. Petru u ş v umere aturale, coresuzător varablelor X ş Y se calculează e baza datelor d tabelul de cotgeţă mometele smle de ordul u ş v r relaţa: u v (0.3.) M u,v (X,Y) = x y j j Petru u= ş v=0 M,0 (X,Y)= x, ar etru u=0 ş v= M 0, (X,Y)= y. Mometele cetrate de ordul u ş v se calculează ca ş mometele smle etru varablele cetrate X- x ş Y- y, adcă avem relaţa: u v (0.3.) m u,v (X,Y) = x x y j y j Covaraţa ue varable bdmesoale (X,Y) se utlzează ca dcator termedar î măsurarea legătur lare dtre cele două varable X ş Y. Calculul covaraţe se face cu relaţa: (0.3.3) cov (X,Y) = ( x x) ( y j y) j, adcă cov (X,Y)=m, (X,Y). D (0.3.3) se obţe următoarea formulă echvaletă de calcul a covaraţe: (0.3.4) cov (X,Y) = xyjj x y = m, (X,Y) x y.
0.3. Covaraţă etru două varable statstce 39 D formulele de calcul a covaraţe rezultă următoarele roretăţ ale acestea: a) Covaraţa este u dcator smetrc, adcă are loc: cov (X,Y) = cov (Y,X). b) Covaraţa este o fucţe omogeă î ambele varable, adcă: cov (αx,βy) = αβ cov (X,Y) orcare ar f α,β 3. c) Dacă ua d varable este costată, atuc: cov (X,Y) = 0. d) Dacă X, X sut două varable deedete ş α,β două umere reale, atuc cov(αx +βx, Y) = α cov(x,y) + β cov(x Y) e) cov( X,Y) V(X)V(Y) Să rerezetăm grafc r ucte de coordoate (x, y ) valorle îregstrate etru varablele X, Y. Vom obţe u grafc (fg.0.4) ce se umeşte orul de ucte al varable bdmesoale (X,Y). fg.0.4. Puctele stuate î cadraele I ş III arată o legătură drectă ître cele două varable X ş Y, ar cele d cadraele II ş IV u î evdeţă o legătură drectă. Cu cât redomă uctele dsuse, î ua sau alta d cele două erech de cadrae, î lugul uea, resectv altea d cele două bsectoare, cu atât acea legătură este ma utercă. Îtrucât covaraţa u este u dcator ormalzat ş dede de utăţle de măsură e cele două axe, ea u se oate utlza drect etru arecerea testăţ
40 Metode de aalză statstcă a legăturlor dtre feomee - 0 legătur, dar, ord de la covarată, se costrueşte coefcetul lar de corelaţe, ca dcator de măsură a testăţ legătur dtre două varable. Exemlul. Să se calculeze covaraţa etru varablele X, Y etru care datele îregstrate sut rezetate î tabelul 0.3 de cotgeţă (exemlul d.0..). Se va utlza formula (0.3.4), ar calculele ot f arajate ca î tabelul următor: Tabelul 0.4 X Y 4 4 (y ) 60 70 80 90. x. x. y j j x y jj (x ) 50 3 4-8 00 80000 540 8000 60 7 7 7 70 43500 90 06400 70 3 5 4 3 0 375700 030 7500 80-3 8 60 388800 030 85400.j 5 5 6 4 50 890 379700 - - y j.j 300 050 80 60 3890 y j.j 8000 73500 0400 3400 307300 4 x j 780 40 660 440-4 j y x 46800 68700 800 9600 - j Se obţe cov (X,Y)=58,76, ce arată că ître cele două varable exstă o legătură oztvă (drectă). 0.4. Grafcul de corelaţe. Curba de regrese. Raortul de corelaţe Să resuuem că etru o sere bvarată (X,Y) s-au îregstrat culur de valor (x, y ),,. Dacă fecăre erech de valor (x, y ) se asocază u uct dtr-u la, raortat la u sstem de axe cartezee, atuc suem că s-a realzat rerezetarea grafcă a sere bvarate. Pozţoarea uctelor î la dă o mage a sere bvarate, î fucţe de care se oate stabl tutv gradul de dsersare a utăţlor, recum ş forma legătur dtre cele două varable. Grafcul astfel trasat oartă umele de grafc de corelaţe sau grafcul orulu de ucte. Petru a obţe o cocluze cât ma verdcă trebue ca umărul de valor îregstrate să fe sufcet de mare.
0.5. Metoda regrese 4 Exemlul. Să resuuem că varablele X ş Y rereztă cheltuelle de reclamă ş resectv volumul vâzărlor. Pe arcursul a 0 lu s-au îregstrat aceste cheltuel ş vâzăr, obţâdu-se astfel următoarele erech de valor (î aceleaş utăţ băeşt): (,; 0), (0,8; 9), (,00; 0), (,3; 0), (0,7; 90), (0,8; 8), (,0; 93), (0,6; 75), (0,9; 9), (,; 05). Folosd aceste date se obţe tutv legătura dtre cheltuelle de reclamă ş volumul vâzărlor r grafcul de corelaţe d fg.0.5. Fg.0.5. Se observă clar, de e grafc, că la o creştere a lu x coresude o creştere a lu y. Ma mult, lasâd o le dreată rtre aceste ucte, ea oate f folostă la o revzue asura evoluţe vâzărlor, coresuzătoare ue evoluţ a cheltuellor de reclamă. Curba de regrese asgură o stetzare, duă aumte regul de calcul, a orulu de ucte (grafcul de corelaţe) r marcarea î laul de rerezetare al orulu de ucte a grafculu ue fucţ aaltce. Petru aalza deedeţe statstce, dtre varablele X ş Y se costruesc două curbe de regrese: a) Curba de regrese a varable Y î fucţe de X se costrueşte e baza erechlor de umere (x, y ), ude y este meda dstrbuţe codţoate a varable Y etru modaltatea x. b) Curba de regrese a varable X î fucţe de Y se costrueşte e baza erechlor ( x j, y j ), ude x j este meda dstrbuţe codţoate a varable X etru modaltatea y j.
4 Metode de aalză statstcă a legăturlor dtre feomee - 0 Î cazul a) curba de regrese ueşte uctele (x, y ),,, ude y = yj j.. Î cazul b) curba de regrese ueşte uctele ( x j, y j ),,, ude x j = j x.. j Petru datele d Exemul curba de regrese F y/x (a lu Y î fucţe de X) ş F x/y (a lu X î fucţe de Y) ueşte uctele resectve d grafcul de corelaţe deoarece la fecare x coresude u sgur y j ş recroc,,,0. Petru datele d Exemlul,.0.. curbele de regrese F x/y ş F y/x au forma d fg.0.6. Fg.0.6. Dtre toate curbele de ajustare a evoluţe descrse de orul de ucte, cea ma buă aroxmare este asgurată de curba de regrese, F Y/X î sesul că, dacă ŷ =f(x) este o curbă de ajustare a orulu de ucte, atuc: fj j (0.4.) ( y ŷ ) este mm câd F Y/X =f(x). F X/Y se bucură de aceeaş roretate. Aalza terdeedeţe dtre feomeele ecoomce, socale etc. este deosebt de dfclă. Î secal, defrea coexu cauzale dtre feomeele ecoomce trebue făcută ţâd seama de codţle cocrete î care aar. Î geeral, r coexue cauzală îţelegem fatul că aarţa uu evemet A determă aarţa uu evemet B, evdet î aumte codţ, ş eaarţa evemetulu A atrage duă se eaarţa evemetulu B. Aalza coexu cauzale resuue î rmul râd o aalză caltatvă ş ao ua cattatvă, etru a măsura atât forma cât ş testatea legătur.
0.5. Metoda regrese 43 Duă testatea coexu cauzale dstgem: deedeţa totală sau lsa de legătur, legătur fucţoale sau totale ş legătur relatve sau statstce. Dacă etru varablele statstce X ş Y s-au îregstrat datele îtr-u tabel cu dublă trare, atuc caracterstca X este deedetă de Y dacă dstrbuţle codţoate ale varable X de modaltăţle varable Y sut detce ître ele ş de asemeea sut detce cu dstrbuţa margală duă varabla X. Coexuea statstcă este tul de legătură cel ma des îtâlt î studul feomeelor d domeul ecoomc ş socal. Partculartatea rcală a acestu t de legătură este că la o valoare dată a varable factorale X î coresude o dstrbuţe de valor ale caracterstc rezultatve Y. O deedeţă statstcă se reztă sub forma: (0.4.) f j = f(x ) + ε j, ude ε j rereztă comoeta aleatoare, care se datorează altor factor decât a varable X. Pe baza grafculu orulu de utere se determă curba de regrese. Forma legătur dtre cele două varable se determă tutv r modul de dsuere a uctelor î laul de rerezetare grafcă. Ca tur de legătur dstgem legătur lare ş elare. Cele elare ot f la râdul lor de dferte forme: arabolce, exoeţale etc. Î fg.0.7. a) ş b) rereztă o legătură lară drectă (oztvă), resectv versă (egatvă), c) ua arabolcă, ar d) ua exoeţală. Să revem asura relaţe (0..3) umtă egaltatea varaţelor (0.4.3) V (X) = V(x) + V(x) etru varabla X, îtr-u tabel cu dublă trare. Prmul terme, varaţa margală a caracterstc X, (0.4.4) V (X) = x x... este rezultatul tuturor factorlor, atât a factorulu de gruare cât ş a factorlor aleator. Ea măsoară dsersa globală a caracterstc X. Varaţa medlor dstrbuţlor codţoate: (0.4.5) V (x) = ( x j x).. rereztă dsersa medlor codţoate ale varable X, ea este varaţa care rezultă d gruarea alcată ş se umeşte varaţă exlcată r gruare..j
44 Metode de aalză statstcă a legăturlor dtre feomee - 0 Fg.0.7. Meda varaţelor codţoate (0.4.6) V (x) = Vj( X).j.. rereztă dsersa uctelor d orul de ucte î jurul curbe de regrese F X/Y. Ea se umeşte varaţă rezduală. Raortul de corelaţe (R ) rereztă u dcator ormalzat al arecer testăţ legătur dtre cele două varable ale tabelulu de cotgeţă. El se calculează duă relaţa: V(x) V(x) (0.4.7) R X / Y = =, V(x) V(x) etru exlcarea lu X î fucţe de Y ş duă relaţa: V(y) V(y) (0.4.8) R Y / X = =, V(y) V(y) etru exlcarea lu Y î fucţe de X.