Kristalografske točkine grupe Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Travanj 2017. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 1 / 29
Elementi simetrije Elementi simetrije i simetrijske operacije Objekt u prostoru je simetričan ako posjeduje bar jedan element simetrije. Element simetrije može biti: 1 točka (centar inverzije), 2 ravnina (zrcalna ravnina), 3 pravac (os rotacije), 4 geometrijski vektor (vektor translacije). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 2 / 29
Elementi simetrije Elementi simetrije i simetrijske operacije Objekt u prostoru je simetričan ako posjeduje bar jedan element simetrije. Element simetrije može biti: 1 točka (centar inverzije), 2 ravnina (zrcalna ravnina), 3 pravac (os rotacije), 4 geometrijski vektor (vektor translacije). Zadatak Postoji li objekt s beskonačno mnogo ravnina simetrije? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 2 / 29
Elementi simetrije Elementi simetrije i simetrijske operacije Objekt u prostoru je simetričan ako posjeduje bar jedan element simetrije. Element simetrije može biti: 1 točka (centar inverzije), 2 ravnina (zrcalna ravnina), 3 pravac (os rotacije), 4 geometrijski vektor (vektor translacije). Zadatak Postoji li objekt s beskonačno mnogo ravnina simetrije? Zadatak Postoje li objekt i os takvi da za koji god kut objekt zarotiramo oko te osi, zarotirani položaj se poklapa s polaznim? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 2 / 29
Zadatak Nacrtajte 3D objekt koji nije poliedar i kao jedini element simetrije posjeduje (a) centar simetrije odnosno (b) samo jednu ravninu simetrije. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 2 / 29 Elementi simetrije Elementi simetrije i simetrijske operacije Objekt u prostoru je simetričan ako posjeduje bar jedan element simetrije. Element simetrije može biti: 1 točka (centar inverzije), 2 ravnina (zrcalna ravnina), 3 pravac (os rotacije), 4 geometrijski vektor (vektor translacije). Zadatak Postoji li objekt s beskonačno mnogo ravnina simetrije? Zadatak Postoje li objekt i os takvi da za koji god kut objekt zarotiramo oko te osi, zarotirani položaj se poklapa s polaznim?
Elementi simetrije i simetrijske operacije Simetrije (simetrijske operacije) Posjedovati element simetrije znači da se pomoću tog elementa može definirati preslikavanje koje promatrani objekt, recimo kristal, preslika sam na sebe, tako da nije vidljiva razlika prije i poslije preslikavanja. Takvo se preslikavanje onda zove simetrijom (simetrijskom operacijom): 1 inverzija, 2 zrcaljenje, 3 rotacija, 4 translacija. Ne, nisam zaboravila rotoinverziju, rotorefleksiju, simetriju klizne ravnine ni vijčane osi! :-) Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 3 / 29
Elementi simetrije i simetrijske operacije Simetrije (simetrijske operacije) Posjedovati element simetrije znači da se pomoću tog elementa može definirati preslikavanje koje promatrani objekt, recimo kristal, preslika sam na sebe, tako da nije vidljiva razlika prije i poslije preslikavanja. Takvo se preslikavanje onda zove simetrijom (simetrijskom operacijom): 1 inverzija, 2 zrcaljenje, 3 rotacija, 4 translacija. Ne, nisam zaboravila rotoinverziju, rotorefleksiju, simetriju klizne ravnine ni vijčane osi! :-) Centralna simetrija (inverzija) je simetrijska operacija odredena jednom točkom O (centrom simetrije). Preciznije, to je preslikavanje 1 takvo da za sve točke T vrijedi da je O polovište dužine koja spaja T i njenu zrcalnu sliku 1(T ). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 3 / 29
Elementi simetrije i simetrijske operacije Izometričnost; kiralnost Mijenja li se udaljenost dviju točaka ako na njih primijenimo operaciju inverzije? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 4 / 29
Elementi simetrije i simetrijske operacije Izometričnost; kiralnost Mijenja li se udaljenost dviju točaka ako na njih primijenimo operaciju inverzije? Sve simetrijske operacije su izometrije: Udaljenost bilo koje dvije točke prije i poslije primjene operacije je ista. Izometrije čuvaju i kutove i općenito oblik. Jednostavni primjer izometrije je trivijalna simetrija 1 koja sve točke ostavlja na mjestu. To je simetrija svakog objekta. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 4 / 29
Elementi simetrije i simetrijske operacije Izometričnost; kiralnost Mijenja li se udaljenost dviju točaka ako na njih primijenimo operaciju inverzije? Sve simetrijske operacije su izometrije: Udaljenost bilo koje dvije točke prije i poslije primjene operacije je ista. Izometrije čuvaju i kutove i općenito oblik. Jednostavni primjer izometrije je trivijalna simetrija 1 koja sve točke ostavlja na mjestu. To je simetrija svakog objekta. Ravninska simetrija (zrcaljenje s obzirom na ravninu) je izometrija m koja nije trivijalna, ali fiksira neku ravninu u prostoru (postoji ravnina Π takva da je m(π) = Π). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 4 / 29
Elementi simetrije i simetrijske operacije Izometričnost; kiralnost Mijenja li se udaljenost dviju točaka ako na njih primijenimo operaciju inverzije? Sve simetrijske operacije su izometrije: Udaljenost bilo koje dvije točke prije i poslije primjene operacije je ista. Izometrije čuvaju i kutove i općenito oblik. Jednostavni primjer izometrije je trivijalna simetrija 1 koja sve točke ostavlja na mjestu. To je simetrija svakog objekta. Ravninska simetrija (zrcaljenje s obzirom na ravninu) je izometrija m koja nije trivijalna, ali fiksira neku ravninu u prostoru (postoji ravnina Π takva da je m(π) = Π). Inverzija i ravninska simetrija zamjenjuju odnos lijevog i desnog, tj. mijenjaju kiralnost objekta. Za razliku od toga, trivijalna simetrija čuva odnos lijevog i desnog. Simetrijske operacije koje čuvaju odnos lijevog i desnog zovu se pomaci (ili: operacije prve vrste), a simetrije koje mijenjaju odnos lijevog i desnog zovu se operacijama druge vrste. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 4 / 29
Rotacijske simetrije Elementi simetrije i simetrijske operacije Rotacijska simetrija (rotacija) je pomak koji fiksira jedan pravac. Taj pravac zove se os simetrije. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 5 / 29
Rotacijske simetrije Elementi simetrije i simetrijske operacije Rotacijska simetrija (rotacija) je pomak koji fiksira jedan pravac. Taj pravac zove se os simetrije. Ako objekt posjeduje os simetrije, onda ili je rotacija za svaki kut oko te osi simetrija (govorimo o kružnoj simetriji) ili postoji najmanji kut α > 0 za koji je rotacija oko te osi simetrijska operacija na objektu. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 5 / 29
Rotacijske simetrije Elementi simetrije i simetrijske operacije Rotacijska simetrija (rotacija) je pomak koji fiksira jedan pravac. Taj pravac zove se os simetrije. Ako objekt posjeduje os simetrije, onda ili je rotacija za svaki kut oko te osi simetrija (govorimo o kružnoj simetriji) ili postoji najmanji kut α > 0 za koji je rotacija oko te osi simetrijska operacija na objektu. U drugom slučaju je i rotacija za svaki cjelobrojni višekratnik kα takoder rotacijska simetrija istog objekta. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 5 / 29
Rotacijske simetrije Elementi simetrije i simetrijske operacije Rotacijska simetrija (rotacija) je pomak koji fiksira jedan pravac. Taj pravac zove se os simetrije. Ako objekt posjeduje os simetrije, onda ili je rotacija za svaki kut oko te osi simetrija (govorimo o kružnoj simetriji) ili postoji najmanji kut α > 0 za koji je rotacija oko te osi simetrijska operacija na objektu. U drugom slučaju je i rotacija za svaki cjelobrojni višekratnik kα takoder rotacijska simetrija istog objekta. Kako je rotacija za 360 simetrija svakog objekta, ako je α > 0, postoji n N takav da je α = 360 n i odgovarajuću rotaciju označavamo s C n ili jednostavno s n. Govorimo o rotaciji reda n. Rotacija za 360 je reda 1 i to je isto što i trivijalna simetrija. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 5 / 29
Rotacijske simetrije Elementi simetrije i simetrijske operacije Rotacijska simetrija (rotacija) je pomak koji fiksira jedan pravac. Taj pravac zove se os simetrije. Ako objekt posjeduje os simetrije, onda ili je rotacija za svaki kut oko te osi simetrija (govorimo o kružnoj simetriji) ili postoji najmanji kut α > 0 za koji je rotacija oko te osi simetrijska operacija na objektu. U drugom slučaju je i rotacija za svaki cjelobrojni višekratnik kα takoder rotacijska simetrija istog objekta. Kako je rotacija za 360 simetrija svakog objekta, ako je α > 0, postoji n N takav da je α = 360 n i odgovarajuću rotaciju označavamo s C n ili jednostavno s n. Govorimo o rotaciji reda n. Rotacija za 360 je reda 1 i to je isto što i trivijalna simetrija. Zadatak Nacrtajte 3D objekt koji nije poliedar i kao jedini element simetrije posjeduje rotaciju za 36. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 5 / 29
A što s ovime? Elementi simetrije i simetrijske operacije Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 6 / 29
A što s ovime? Elementi simetrije i simetrijske operacije U ovakvim slučajevima govorimo o translacijskoj simetriji: Objekt se može pomaknuti za neki (nenul-)vektor tako da se poklopi sam sa sobom. Ako se to može učiniti u tri smjera koja nisu paralelna istoj ravnini govorimo o prostornoj translacijskoj simetriji. Zadatak Može li ograničen objekt imati netrivijalnu translacijsku simetriju? Zadatak Je li istina: Ako objekt posjeduje translacijsku simetriju obzirom na vektor, onda ju posjeduje i obzirom na svaki njegov cjelobrojni višekratnik? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 6 / 29
Elementi simetrije i simetrijske operacije Kompozicija simetrija Uzastopno izvodenje simetrijskih operacija zove se njihovom kompozicijom. Ako prvo provedemo operaciju A pa onda operaciju B, njihovu kompoziciju označavamo s BA. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 7 / 29
Elementi simetrije i simetrijske operacije Kompozicija simetrija Uzastopno izvodenje simetrijskih operacija zove se njihovom kompozicijom. Ako prvo provedemo operaciju A pa onda operaciju B, njihovu kompoziciju označavamo s BA. Zadatak Objasnite zašto je kompozicija simetrijskih operacija istog objekta ponovno njegova simetrija. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 7 / 29
Elementi simetrije i simetrijske operacije Kompozicija simetrija Uzastopno izvodenje simetrijskih operacija zove se njihovom kompozicijom. Ako prvo provedemo operaciju A pa onda operaciju B, njihovu kompoziciju označavamo s BA. Zadatak Objasnite zašto je kompozicija simetrijskih operacija istog objekta ponovno njegova simetrija. Zadatak Opišite centralnu simetriju kao kompoziciju rotacije i zrcaljenja. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 7 / 29
Elementi simetrije i simetrijske operacije Kompozicija simetrija Uzastopno izvodenje simetrijskih operacija zove se njihovom kompozicijom. Ako prvo provedemo operaciju A pa onda operaciju B, njihovu kompoziciju označavamo s BA. Zadatak Objasnite zašto je kompozicija simetrijskih operacija istog objekta ponovno njegova simetrija. Zadatak Opišite centralnu simetriju kao kompoziciju rotacije i zrcaljenja. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 7 / 29
Elementi simetrije i simetrijske operacije Važne komponirane simetrije Rotoinverzija: kompozicija rotacije s inverzijom obzirom na centar koji se nalazi na osi rotacije; ako je kut rotacije α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s n; Rotorefleksija: kompozicija rotacije sa zrcaljenjem obzirom na ravninu okomitu na os rotacije; ako je kut rotacije α = 2π n, onda se pripadna rotorefleksija označava s ñ; Simetrija klizne ravnine: kompozicija zrcaljenja obzirom na neku ravninu s translacijom u smjeru paralelnom toj ravnini; Vijčana simetrija: kompozicija rotacije oko neke osi s translacijom u smjeru te osi. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 8 / 29
Elementi simetrije i simetrijske operacije Važne komponirane simetrije Rotoinverzija: kompozicija rotacije s inverzijom obzirom na centar koji se nalazi na osi rotacije; ako je kut rotacije α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s n; Rotorefleksija: kompozicija rotacije sa zrcaljenjem obzirom na ravninu okomitu na os rotacije; ako je kut rotacije α = 2π n, onda se pripadna rotorefleksija označava s ñ; Simetrija klizne ravnine: kompozicija zrcaljenja obzirom na neku ravninu s translacijom u smjeru paralelnom toj ravnini; Vijčana simetrija: kompozicija rotacije oko neke osi s translacijom u smjeru te osi. Zadatak Je li kompozicija rotoinverzije n sa zrcaljenjem m obzirom na ravninu okomitu na os rotoinverzije operacija prve vrste ili druge vrste? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 8 / 29
Početak primjera Elementi simetrije i simetrijske operacije Navedite neki objekt čija kristalna klasa ima Schönflies-ov simbol D 3h. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 9 / 29
Početak primjera Elementi simetrije i simetrijske operacije Navedite neki objekt čija kristalna klasa ima Schönflies-ov simbol D 3h. Odaberite u stereografskoj projekciji klase D 3h neku točku T 1 općeg položaja. Kamo se ona preslika ako primijenimo operaciju 3m h, a kamo ako primijenimo m h 3? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 9 / 29
Početak primjera Elementi simetrije i simetrijske operacije Navedite neki objekt čija kristalna klasa ima Schönflies-ov simbol D 3h. Odaberite u stereografskoj projekciji klase D 3h neku točku T 1 općeg položaja. Kamo se ona preslika ako primijenimo operaciju 3m h, a kamo ako primijenimo m h 3? Dakle, kod komponiranja simetrijskih operacija trebamo paziti na redoslijed (komponiranje nije komutativno). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 9 / 29
Elementi simetrije i simetrijske operacije Neka važna svojstva kompozicije simetrija Za svaku od 12 točaka općeg položaja utvrdite koje simetrijske operacije treba primijeniti na T 1 da bismo ih dobili. Zaključite koliko različitih simetrijskih operacija odgovara klasi D 3h. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 10 / 29
Elementi simetrije i simetrijske operacije Neka važna svojstva kompozicije simetrija Za svaku od 12 točaka općeg položaja utvrdite koje simetrijske operacije treba primijeniti na T 1 da bismo ih dobili. Zaključite koliko različitih simetrijskih operacija odgovara klasi D 3h. Svaki objekt posjeduje trivijalnu simetriju 1 ( ništa ne raditi, identiteta). Odaberite neku drugu točku općeg položaja. Kojom simetrijskom operacijom primijenjenom na T 1 je ona dobivena? Koju simetrijsku operaciju možemo na nju primijeniti da dobijemo T 1? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 10 / 29
Elementi simetrije i simetrijske operacije Neka važna svojstva kompozicije simetrija Za svaku od 12 točaka općeg položaja utvrdite koje simetrijske operacije treba primijeniti na T 1 da bismo ih dobili. Zaključite koliko različitih simetrijskih operacija odgovara klasi D 3h. Svaki objekt posjeduje trivijalnu simetriju 1 ( ništa ne raditi, identiteta). Odaberite neku drugu točku općeg položaja. Kojom simetrijskom operacijom primijenjenom na T 1 je ona dobivena? Koju simetrijsku operaciju možemo na nju primijeniti da dobijemo T 1? Ako smo na objekt primijenili neku njegovu simetrijsku operaciju, možemo li ju uvijek poništiti nekom od njegovih simetrijskih operacija? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 10 / 29
Elementi simetrije i simetrijske operacije Neka važna svojstva kompozicije simetrija Za svaku od 12 točaka općeg položaja utvrdite koje simetrijske operacije treba primijeniti na T 1 da bismo ih dobili. Zaključite koliko različitih simetrijskih operacija odgovara klasi D 3h. Svaki objekt posjeduje trivijalnu simetriju 1 ( ništa ne raditi, identiteta). Odaberite neku drugu točku općeg položaja. Kojom simetrijskom operacijom primijenjenom na T 1 je ona dobivena? Koju simetrijsku operaciju možemo na nju primijeniti da dobijemo T 1? Ako smo na objekt primijenili neku njegovu simetrijsku operaciju, možemo li ju uvijek poništiti nekom od njegovih simetrijskih operacija? Kažemo: svaka simetrijska operacija je invertibilna, tj. ako je A simetrijska operacija za neki objekt, onda postoji njegova simetrijska operacija B takva da je BA = 1. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 10 / 29
Što su grupe? Rezime uvodnog dijela Za odabrani objekt, označimo s G skup svih njegovih simetrija. 1 Te simetrije možemo komponirati i pritom uvijek dobivamo simetriju istog objekta, dakle kompozicija elemenata iz G je element iz G: Komponiranje je binarna operacija na skupu G. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 11 / 29
Što su grupe? Rezime uvodnog dijela Za odabrani objekt, označimo s G skup svih njegovih simetrija. 1 Te simetrije možemo komponirati i pritom uvijek dobivamo simetriju istog objekta, dakle kompozicija elemenata iz G je element iz G: Komponiranje je binarna operacija na skupu G. 2 Komponiranje simetrija je asocijativno (A(BC) = (AB)C). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 11 / 29
Što su grupe? Rezime uvodnog dijela Za odabrani objekt, označimo s G skup svih njegovih simetrija. 1 Te simetrije možemo komponirati i pritom uvijek dobivamo simetriju istog objekta, dakle kompozicija elemenata iz G je element iz G: Komponiranje je binarna operacija na skupu G. 2 Komponiranje simetrija je asocijativno (A(BC) = (AB)C). 3 Koji efekt ima komponiranje 1 s bilo kojom drugom simetrijom? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 11 / 29
Što su grupe? Rezime uvodnog dijela Za odabrani objekt, označimo s G skup svih njegovih simetrija. 1 Te simetrije možemo komponirati i pritom uvijek dobivamo simetriju istog objekta, dakle kompozicija elemenata iz G je element iz G: Komponiranje je binarna operacija na skupu G. 2 Komponiranje simetrija je asocijativno (A(BC) = (AB)C). 3 Koji efekt ima komponiranje 1 s bilo kojom drugom simetrijom? G obzirom na komponiranje ima neutralni element 1. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 11 / 29
Što su grupe? Rezime uvodnog dijela Za odabrani objekt, označimo s G skup svih njegovih simetrija. 1 Te simetrije možemo komponirati i pritom uvijek dobivamo simetriju istog objekta, dakle kompozicija elemenata iz G je element iz G: Komponiranje je binarna operacija na skupu G. 2 Komponiranje simetrija je asocijativno (A(BC) = (AB)C). 3 Koji efekt ima komponiranje 1 s bilo kojom drugom simetrijom? G obzirom na komponiranje ima neutralni element 1. 4 Nadalje, svaku simetriju možemo poništiti ako je A simetrija nekog objekta, onda postoji simetrija B istog objekta takva da je BA = 1. Kažemo da svaka simetrija A ima svoj inverz B (kojeg dalje označavamo s A 1 ). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 11 / 29
Što su grupe? Definicija grupe Grupa je (neprazan) skup G skupa s binarnom operacijom koja dvama elementima x, y G pridružuje element x y S, i to tako da vrijede sljedeća tri svojstva: 1 (x y) z = x (y z) za sve x, y, z G (asocijativnost) 2 postoji element e G takav da za sve x G vrijedi x e = e x = x (e zovemo neutralni element); 3 za svaki x G postoji y G takav da je x y = y x = e (taj y označavamo s x 1 i zovemo inverz od x). Ako još dodatno vrijedi da ne treba paziti na redoslijed (x y = y x za sve x, y G), govorimo o govorimo o komutativnoj (Abelovoj) grupi. Red grupe je broj elemenata grupe. Trivijalna grupa je jednočlana grupa koja se sastoji samo od svog neutralnog elementa. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 12 / 29
Grupe simetrija Što su grupe? Prema prethodnom vidimo: Skup svih simetrijsa pravilne trostrane prizme je (nekomutativna) grupa reda 12. Simetrije nekog objekta X uvijek čine grupu obzirom na kompoziciju kao operaciju. To je grupa simetrija objekta X. Objekt X je simetričan ako mu je grupa simetrija netrivijalna (Objekt smatramo simetričnim ako posjeduje bar jednu netrivijalnu simetriju). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 13 / 29
Grupe simetrija Što su grupe? Prema prethodnom vidimo: Skup svih simetrijsa pravilne trostrane prizme je (nekomutativna) grupa reda 12. Simetrije nekog objekta X uvijek čine grupu obzirom na kompoziciju kao operaciju. To je grupa simetrija objekta X. Objekt X je simetričan ako mu je grupa simetrija netrivijalna (Objekt smatramo simetričnim ako posjeduje bar jednu netrivijalnu simetriju). Grupe simetrija općenito nisu komutativne. Zadatak Neka je r rotacija oko neke osi, m zrcaljenje obzirom na ravninu okomitu na tu os, a m zrcaljenje obzirom na ravninu koja sadrži os. Za svaki od moguća tri para simetrija odredite komutira li. Možete li naći dva primjera simetrija koje komutiraju sa svim drugim simetrijama? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 13 / 29
Točkine grupe Točkine vs. prostorne grupe Koja je glavna karakteristika unutrašnje grade kristala? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 14 / 29
Točkine grupe Točkine vs. prostorne grupe Koja je glavna karakteristika unutrašnje grade kristala? Kristalna struktura kao temeljno simetrijsko svojstvo posjeduje translacijsku simetriju u tri nekomplanarna smjera. Grupe svih simetrija kristalnih struktura zovu se prostorne grupe. O njima ćemo nešto više reći kasnije. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 14 / 29
Točkine grupe Točkine vs. prostorne grupe Koja je glavna karakteristika unutrašnje grade kristala? Kristalna struktura kao temeljno simetrijsko svojstvo posjeduje translacijsku simetriju u tri nekomplanarna smjera. Grupe svih simetrija kristalnih struktura zovu se prostorne grupe. O njima ćemo nešto više reći kasnije. Točkina grupa je grupa simetrija nekog objekta u kojoj sve operacije simetrije koje tom objektu fiksiraju jednu točku. Kako translacije za nenul-vektor nemaju fiksnih točaka, slijedi da translacije ne mogu biti elementi točkinih grupa. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 14 / 29
Točkine grupe Mogu li točkine grupe biti beskonačne? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 15 / 29
Točkine grupe Mogu li točkine grupe biti beskonačne? Kristalne klase su skupovi svih kristala sa istom točkinom grupom. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 15 / 29
Točkine grupe Mogu li točkine grupe biti beskonačne? Kristalne klase su skupovi svih kristala sa istom točkinom grupom. Hessel je 1830. dokazao da postoji samo 14 tipova točkinih grupa (u prostoru), no zbog kristalografske restrikcije ne odgovara svakoj neka kristalna klasa. tip kristalografske t. g. tip kristalografske t. g. C n C 1, C 2, C 3, C 4, C 6 D n D 2, D 3, D 4, D 6 T T O O I C nh C 2h, C 3h, C 4h, C 6h D nh D 2h, D 3h, D 4h, D 6h T h O h I h S 2n C nv D nd T d T h O h S 2 = C i, S 4, S 6 = C 3i C s = C 1v, C 2v, C 3v, C 4v, C 6v D 2d, D 3d T d Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 15 / 29
Točkine grupe Red elementa grupe Oznaka A n u kontekstu grupa simetrija predstavlja n puta uzastopno provedenu simetriju A. Zadatak Ako je m zrcaljenje, m 2 = m 4 = m 6 =... = 1? Koji broj treba pisati na mjestu i u formuli n i = 1 ako je n rotacija n-tog reda? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 16 / 29
Točkine grupe Red elementa grupe Oznaka A n u kontekstu grupa simetrija predstavlja n puta uzastopno provedenu simetriju A. Zadatak Ako je m zrcaljenje, m 2 = m 4 = m 6 =... = 1? Koji broj treba pisati na mjestu i u formuli n i = 1 ako je n rotacija n-tog reda? Ako je A 1 i A 2 = 1, kašemo da je A idempotentna simetrija (odnosno, simetrija drugog reda). Općenitije, ako je A 1, A i = 1 i pritom je i najmanji eksponent s tim svojstvom, onda i zovemo redom simetrije A. Zadatak Kojeg su reda m, 1, 2, 3, 4, 6, 2, 3, 4, 6? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 16 / 29
Inverzne simetrije Točkine grupe Za operaciju A reda n vrijedi: A 1 = A n 1. Npr, 6 1 = Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 17 / 29
Inverzne simetrije Točkine grupe Za operaciju A reda n vrijedi: A 1 = A n 1. Npr, 6 1 = 6 5. Što je inverz od 6 2 u grupi D 3h? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 17 / 29
Inverzne simetrije Točkine grupe Za operaciju A reda n vrijedi: A 1 = A n 1. Npr, 6 1 = 6 5. Što je inverz od 6 2 u grupi D 3h? Zadatak Ako pravilnu trostranu prizmu prvo zarotiramo oko vertikalne osi za 120 pa zrcalimo preko horizontalne ravnine, što trebamo učiniti da bismo ju vratili u početni položaj? Ako su A i B dvije simetrije istog objekta, što je inverz od AB? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 17 / 29
Inverzne simetrije Točkine grupe Za operaciju A reda n vrijedi: A 1 = A n 1. Npr, 6 1 = 6 5. Što je inverz od 6 2 u grupi D 3h? Zadatak Ako pravilnu trostranu prizmu prvo zarotiramo oko vertikalne osi za 120 pa zrcalimo preko horizontalne ravnine, što trebamo učiniti da bismo ju vratili u početni položaj? Ako su A i B dvije simetrije istog objekta, što je inverz od AB? Zadatak (AB) 1 = B 1 A 1 U grupi D 3h se nalaze elementi A = 6 i B = m 1 (jedno od tri vertikalna zrcaljenja). Što je B 1 AB, a što je A 1 BA? Odredite i inverze operacija B 1 AB i A 1 BA. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 17 / 29
Generatori Točkine grupe U konačnoj grupi svaki element mora imati konačan red. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 18 / 29
Točkine grupe Generatori U konačnoj grupi svaki element mora imati konačan red. Ako se svi elementi grupe mogu dobiti primjenjujući operaciju (konačno mnogo puta) na njene elemente x, y,... i njihove inverze, te elemente zovemo generatorima grupe. Pišemo G = x, y,.... Primjerice: C 6v = 6, m. Zadatak Odredite generator(e) grupa C 6 i D 3h. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 18 / 29
Točkine grupe Generatori U konačnoj grupi svaki element mora imati konačan red. Ako se svi elementi grupe mogu dobiti primjenjujući operaciju (konačno mnogo puta) na njene elemente x, y,... i njihove inverze, te elemente zovemo generatorima grupe. Pišemo G = x, y,.... Primjerice: C 6v = 6, m. Zadatak Odredite generator(e) grupa C 6 i D 3h. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 18 / 29
Izvod 32 točkine grupe Točkine grupe prve i druge vrste Mogući elementi točkinih grupa koji su prve vrste: 1, 2, 3, 4, 6. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 19 / 29
Izvod 32 točkine grupe Točkine grupe prve i druge vrste Mogući elementi točkinih grupa koji su prve vrste: 1, 2, 3, 4, 6. Mogući elementi točkinih grupa koji su druge vrste: m, 1, 2, 3, 4, 6. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 19 / 29
Izvod 32 točkine grupe Točkine grupe prve i druge vrste Mogući elementi točkinih grupa koji su prve vrste: 1, 2, 3, 4, 6. Mogući elementi točkinih grupa koji su druge vrste: m, 1, 2, 3, 4, 6. Uočimo: 2 = m (obzirom na ravninu okomitu na rotoinverznu digiru) 3 = 13 i 6 = m3. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 19 / 29
Izvod 32 točkine grupe Točkine grupe prve i druge vrste Mogući elementi točkinih grupa koji su prve vrste: 1, 2, 3, 4, 6. Mogući elementi točkinih grupa koji su druge vrste: m, 1, 2, 3, 4, 6. Uočimo: 2 = m (obzirom na ravninu okomitu na rotoinverznu digiru) 3 = 13 i 6 = m3. Zadatak Koje vrste je kompozicija dviju operacija prve vrste? Dviju druge vrste? Jedne prve s jednom druge vrste? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 19 / 29
Izvod 32 točkine grupe Točkine grupe prve i druge vrste Mogući elementi točkinih grupa koji su prve vrste: 1, 2, 3, 4, 6. Mogući elementi točkinih grupa koji su druge vrste: m, 1, 2, 3, 4, 6. Uočimo: 2 = m (obzirom na ravninu okomitu na rotoinverznu digiru) 3 = 13 i 6 = m3. Zadatak Koje vrste je kompozicija dviju operacija prve vrste? Dviju druge vrste? Jedne prve s jednom druge vrste? Koje vrste je inverz operacije prve vrste? Operacije druge vrste? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 19 / 29
Izvod 32 točkine grupe Točkine grupe prve i druge vrste Mogući elementi točkinih grupa koji su prve vrste: 1, 2, 3, 4, 6. Mogući elementi točkinih grupa koji su druge vrste: m, 1, 2, 3, 4, 6. Uočimo: 2 = m (obzirom na ravninu okomitu na rotoinverznu digiru) 3 = 13 i 6 = m3. Zadatak Koje vrste je kompozicija dviju operacija prve vrste? Dviju druge vrste? Jedne prve s jednom druge vrste? Koje vrste je inverz operacije prve vrste? Operacije druge vrste? Zadatak Može li grupa simetrija sadržavati samo operacije druge vrste? Zašto? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 19 / 29
Izvod 32 točkine grupe Točkine grupe prve i druge vrste Mogući elementi točkinih grupa koji su prve vrste: 1, 2, 3, 4, 6. Mogući elementi točkinih grupa koji su druge vrste: m, 1, 2, 3, 4, 6. Uočimo: 2 = m (obzirom na ravninu okomitu na rotoinverznu digiru) 3 = 13 i 6 = m3. Zadatak Koje vrste je kompozicija dviju operacija prve vrste? Dviju druge vrste? Jedne prve s jednom druge vrste? Koje vrste je inverz operacije prve vrste? Operacije druge vrste? Zadatak Može li grupa simetrija sadržavati samo operacije druge vrste? Zašto? Točkine grupe prve vrste su one koje sadrže samo simetrije prve vrste. Ostale točkine grupe zovemo točkinim grupama druge vrste. Je li grupa D 3h prve ili druge vrste? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 19 / 29
Izvod 32 točkine grupe Točkine grupe prve i druge vrste Mogući elementi točkinih grupa koji su prve vrste: 1, 2, 3, 4, 6. Mogući elementi točkinih grupa koji su druge vrste: m, 1, 2, 3, 4, 6. Uočimo: 2 = m (obzirom na ravninu okomitu na rotoinverznu digiru) 3 = 13 i 6 = m3. Zadatak Koje vrste je kompozicija dviju operacija prve vrste? Dviju druge vrste? Jedne prve s jednom druge vrste? Koje vrste je inverz operacije prve vrste? Operacije druge vrste? Zadatak Može li grupa simetrija sadržavati samo operacije druge vrste? Zašto? Točkine grupe prve vrste su one koje sadrže samo simetrije prve vrste. Ostale točkine grupe zovemo točkinim grupama druge vrste. Je li grupa D 3h prve ili druge vrste?koliko operacija prve vrste, a koliko njih druge vrste sadrži D 3h? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 19 / 29
Izvod 32 točkine grupe Teorem U svakoj grupi druge vrste ima jednako mnogo operacija prve i druge vrste. Posebno, sve su grupe druge vrste parnog reda. Dokazom ovog teorema vidjeli bismo: Odaberemo li u grupi druge vrste jedan element D druge vrste, svi elementi druge vrste mogu se dobiti kao DP, gdje su P-ovi redom elementi prve vrste u toj grupi. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 20 / 29
Izvod 32 točkine grupe Teorem U svakoj grupi druge vrste ima jednako mnogo operacija prve i druge vrste. Posebno, sve su grupe druge vrste parnog reda. Dokazom ovog teorema vidjeli bismo: Odaberemo li u grupi druge vrste jedan element D druge vrste, svi elementi druge vrste mogu se dobiti kao DP, gdje su P-ovi redom elementi prve vrste u toj grupi. Stoga se sve točkine grupe druge vrste mogu naći tako da u pojedine grupe prve vrste dodajemo po jedan element druge vrste (koji mora fiksirati sve postojeće prave osi rotacije). Zbog već navedene ekvivalencije, jedine simetrije druge vrste koje ima smisla dodavati u grupe prve vrste su m, 1 i 4. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 20 / 29
Izvod 32 točkine grupe Dodavanje inverzije, zrcaljenja ili 4 Centar inverzije očigledno možemo dodati samo jedan i to u središtu. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 21 / 29
Izvod 32 točkine grupe Dodavanje inverzije, zrcaljenja ili 4 Centar inverzije očigledno možemo dodati samo jedan i to u središtu. Ravnine simetrije koje fiksiraju osi rotacije moraju ih ili sadržavati ili biti na njih okomite, dakle dodavanje m je moguće duž bilo koje u grupama prve vrste postojeće osi rotacije ili pak okomito na nju. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 21 / 29
Izvod 32 točkine grupe Dodavanje inverzije, zrcaljenja ili 4 Centar inverzije očigledno možemo dodati samo jedan i to u središtu. Ravnine simetrije koje fiksiraju osi rotacije moraju ih ili sadržavati ili biti na njih okomite, dakle dodavanje m je moguće duž bilo koje u grupama prve vrste postojeće osi rotacije ili pak okomito na nju. Ako pak dodamo rotoinverznu tetragiru, onda je i rotacija drugog reda sigurno simetrija kristala, odnosno 2= 4 2. Stoga se rotoinverzna tetragira mora postaviti duž neke od di-, tetra- ili heksagira grupa prve vrste. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 21 / 29
Izvod 32 točkine grupe Dodavanje inverzije, zrcaljenja ili 4 Centar inverzije očigledno možemo dodati samo jedan i to u središtu. Ravnine simetrije koje fiksiraju osi rotacije moraju ih ili sadržavati ili biti na njih okomite, dakle dodavanje m je moguće duž bilo koje u grupama prve vrste postojeće osi rotacije ili pak okomito na nju. Ako pak dodamo rotoinverznu tetragiru, onda je i rotacija drugog reda sigurno simetrija kristala, odnosno 2= 4 2. Stoga se rotoinverzna tetragira mora postaviti duž neke od di-, tetra- ili heksagira grupa prve vrste. Ako bismo ju postavili duž heksagire, slijedilo bi da imamo i rotaciju reda 12, što je nemoguće. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 21 / 29
Izvod 32 točkine grupe Dodavanje inverzije, zrcaljenja ili 4 Centar inverzije očigledno možemo dodati samo jedan i to u središtu. Ravnine simetrije koje fiksiraju osi rotacije moraju ih ili sadržavati ili biti na njih okomite, dakle dodavanje m je moguće duž bilo koje u grupama prve vrste postojeće osi rotacije ili pak okomito na nju. Ako pak dodamo rotoinverznu tetragiru, onda je i rotacija drugog reda sigurno simetrija kristala, odnosno 2= 4 2. Stoga se rotoinverzna tetragira mora postaviti duž neke od di-, tetra- ili heksagira grupa prve vrste. Ako bismo ju postavili duž heksagire, slijedilo bi da imamo i rotaciju reda 12, što je nemoguće. Ako bismo pak neku tetragiru pretvorili u rotoinverznu, to je isto kao da smo dodali ravninu simetrije okomito na tetragiru, pa ne treba razmatrati taj slučaj. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 21 / 29
Izvod 32 točkine grupe Dodavanje inverzije, zrcaljenja ili 4 Centar inverzije očigledno možemo dodati samo jedan i to u središtu. Ravnine simetrije koje fiksiraju osi rotacije moraju ih ili sadržavati ili biti na njih okomite, dakle dodavanje m je moguće duž bilo koje u grupama prve vrste postojeće osi rotacije ili pak okomito na nju. Ako pak dodamo rotoinverznu tetragiru, onda je i rotacija drugog reda sigurno simetrija kristala, odnosno 2= 4 2. Stoga se rotoinverzna tetragira mora postaviti duž neke od di-, tetra- ili heksagira grupa prve vrste. Ako bismo ju postavili duž heksagire, slijedilo bi da imamo i rotaciju reda 12, što je nemoguće. Ako bismo pak neku tetragiru pretvorili u rotoinverznu, to je isto kao da smo dodali ravninu simetrije okomito na tetragiru, pa ne treba razmatrati taj slučaj. Dakle, rotoinverznu tetragiru možemo dodati samo duž neke od digira grupa prve vrste ili pak u trivijalnu grupu. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 21 / 29
Cikličke grupe Izvod 32 točkine grupe Grupa je ciklička ako ima samo jedan generator, tj. to je grupa tipa G = A = {1, A, A 2,..., A n 1 }. Ovisno o tom je li taj generator prve ili druge vrste, takva će biti i ciklička grupa. Kako smo već rekli, 3 i 6 iz praktičnih razloga gledamo kao komponirane simetrije. Cikličke grupe prve vrste su C 1 = 1, C 2 = 2, C 3 = 3, C 4 = 4, C 6 = 6. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 22 / 29
Cikličke grupe Izvod 32 točkine grupe Grupa je ciklička ako ima samo jedan generator, tj. to je grupa tipa G = A = {1, A, A 2,..., A n 1 }. Ovisno o tom je li taj generator prve ili druge vrste, takva će biti i ciklička grupa. Kako smo već rekli, 3 i 6 iz praktičnih razloga gledamo kao komponirane simetrije. Cikličke grupe prve vrste su C 1 = 1, C 2 = 2, C 3 = 3, C 4 = 4, C 6 = 6. Cikličke grupe druge vrste su C i = 1, C s = m, S 4 = 4. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 22 / 29
Eulerova konstrukcija Izvod 32 točkine grupe Ako u točkinoj grupi postoje dvije rotacije oko različitih osi, postoji i treća: Kompozicija dviju rotacija oko osi koje se sijeku u točki O je rotacija oko osi koja prolazi kroz O. Red komponirane rotacije ovisi o kutu ψ medu osima i redovima pripadnih rotacija. Dvije rotacije drugog reda uvijek generiraju rotaciju oko osi okomite na obje digire. Pritom, ako je kut medu tim digirama ψ, one generiraju rotaciju za kut 360 2ψ. Iz kristalografske restrikcije proizlazi da su jedini dopustivi kutovi medu dvjema digirama 90 (tad je komponirana rotacija reda 2), 120 (tad je komponirana rotacija reda 3), 135 (tad je komponirana rotacija reda 4) ili 150 (i tad je komponirana rotacija reda 6). 2 i n, gdje je n-gira okomita na digiru, generiraju dodatne rotacije reda 2: Digira nije jedinstvena, već ih je 2, 3, 4, 6 za n = 2, 3, 4, 6 (i sve su okomite na n-giru). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 23 / 29
Izvod 32 točkine grupe Diedralne i ostale grupe prve vrste Diedralne grupe su grupe prve vrste s dva generatora, od kojih je jedan rotacija reda 2, a drugi reda n. Prema prethodnom slijedi da su to grupe reda 2n i ima ih četiri: D 2 = 222, D 3 = 32, D 4 = 422 i D 6 = 622. D 3 je najmanja nekomutativna grupa. Analizom mogućih odnosa medu osima rotacije, Eulerovom konstrukcijom i sfernom trigonometrijom moguće je pokazati da osim spomenutih devet kristalografskih točkinih grupa prve vrste postoje još samo dvije takve: tetraedarska i oktaedarska grupa rotacija (T, reda 12, i O, reda 24). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 24 / 29
Izvod 32 točkine grupe Točkine grupe druge vrste redova 4 do 6 Sve kristalografske točkine grupe redova 1 do 4 su komutativne. Ne postoje kristalografske točkine grupe neparnih redova većih od 3 zašto? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 25 / 29
Izvod 32 točkine grupe Točkine grupe druge vrste redova 4 do 6 Sve kristalografske točkine grupe redova 1 do 4 su komutativne. Ne postoje kristalografske točkine grupe neparnih redova većih od 3 zašto? 1 Točkinu grupu druge vrste reda 4 možemo dobiti tako da dodamo centar inverzije ili ravninu simetrije duž digire u C 2 ili pak rotoinverznu tetragiru u C 1. Prvo je isto kao da smo dodali ravninu simetrije okomito na digiru, tj. dobijemo C 2h = {1, 2, m, 1}, C 2v = {1, 2, m 1, m 2 } i S 4 = {1, 4, 4 2 = 2, 4 3 }. 2 Grupe druge vrste reda 6 možemo dobiti dodavanjem elementa druge vrste (inverzije ili zrcaljenja) u C 3. Tako dobijemo S 6 = C 3i, C 3h odnosno C 3v. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 25 / 29
Izvod 32 točkine grupe Postupcima poput opisanih u prethodnom dijelu pokazuje se da postoji 21 kristalografska točkina grupa drugog reda. Uz već spomenute to su još: C 4h, C 4v, D 2h, D 2d (reda 8) C 6h, C 6v, D 3h, D 3d (reda 12) D 4h (reda 16) D 6h, T h, T d (reda 24) O h (reda 48) Koje od 32 točkine grupe su komutativne? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 26 / 29
Izvod 32 točkine grupe Postupcima poput opisanih u prethodnom dijelu pokazuje se da postoji 21 kristalografska točkina grupa drugog reda. Uz već spomenute to su još: C 4h, C 4v, D 2h, D 2d (reda 8) C 6h, C 6v, D 3h, D 3d (reda 12) D 4h (reda 16) D 6h, T h, T d (reda 24) O h (reda 48) Koje od 32 točkine grupe su komutativne? Sve one redova 1, 2, 3, 4 (njih 10), zatim C 6, S 6 te C 3h, C 4h, C 6h. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 26 / 29
Kristalne forme Kristalne forme Svaka simetrija iz točkine grupe kristala pojedinu plohu kristala preslikava u njoj sukladnu (zašto?). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 27 / 29
Kristalne forme Kristalne forme Svaka simetrija iz točkine grupe kristala pojedinu plohu kristala preslikava u njoj sukladnu (zašto?). Kažemo: točkina grupa djeluje na plohe kristala. Primjerice, grupa D 3h djeluje na pravilnu trostranu prizmu tako da svaki od njenih 12 elemenata na odredeni način preslika njene plohe: 1 sve plohe fiksira, 3 fiksira baze, a ciklički pomiče strane, m h fiksira strane i zamijeni baze, i t. d. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 27 / 29
Kristalne forme Kristalne forme Svaka simetrija iz točkine grupe kristala pojedinu plohu kristala preslikava u njoj sukladnu (zašto?). Kažemo: točkina grupa djeluje na plohe kristala. Primjerice, grupa D 3h djeluje na pravilnu trostranu prizmu tako da svaki od njenih 12 elemenata na odredeni način preslika njene plohe: 1 sve plohe fiksira, 3 fiksira baze, a ciklički pomiče strane, m h fiksira strane i zamijeni baze, i t. d. Kristalna forma je skup svih kristalnih ploha nekog kristala koje se djelovanjem njegove točkine grupe mogu dobiti iz samo jedne plohe. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 27 / 29
Kristalne forme Kristalne forme Svaka simetrija iz točkine grupe kristala pojedinu plohu kristala preslikava u njoj sukladnu (zašto?). Kažemo: točkina grupa djeluje na plohe kristala. Primjerice, grupa D 3h djeluje na pravilnu trostranu prizmu tako da svaki od njenih 12 elemenata na odredeni način preslika njene plohe: 1 sve plohe fiksira, 3 fiksira baze, a ciklički pomiče strane, m h fiksira strane i zamijeni baze, i t. d. Kristalna forma je skup svih kristalnih ploha nekog kristala koje se djelovanjem njegove točkine grupe mogu dobiti iz samo jedne plohe.skup svih ploha danog kristala može se rasporediti u forme (svaka ploha u svojoj formi i nikoje dvije u istoj) objasnite zašto! Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 27 / 29
Opće forme Kristalne forme Djelovanje točke grupe zovemo tranzitivnim ako za svake dvije plohe postoji simetrija koja preslikava jednu na drugu. Drugačije rečeno: djelovanje točkine grupe kristala na njegove plohe je tranzitivno točno ako taj kristal posjeduje samo jednu formu. Primjerice, grupa T djeluje tranzitivno na plohe pravilnog tetraedra. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 28 / 29
Opće forme Kristalne forme Djelovanje točke grupe zovemo tranzitivnim ako za svake dvije plohe postoji simetrija koja preslikava jednu na drugu. Drugačije rečeno: djelovanje točkine grupe kristala na njegove plohe je tranzitivno točno ako taj kristal posjeduje samo jednu formu. Primjerice, grupa T djeluje tranzitivno na plohe pravilnog tetraedra. Stabilizator plohe kristala (obzirom na djelovanje odgovarajuće točkine grupe) je skup (zapravo, podgrupa) svih simetrija koje tu plohu fiksiraju. Primjerice, stabilizator donje (i isto tako gornje) baze pravilne trostrane prizme obzirom na djelovanje D 3h je Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 28 / 29
Opće forme Kristalne forme Djelovanje točke grupe zovemo tranzitivnim ako za svake dvije plohe postoji simetrija koja preslikava jednu na drugu. Drugačije rečeno: djelovanje točkine grupe kristala na njegove plohe je tranzitivno točno ako taj kristal posjeduje samo jednu formu. Primjerice, grupa T djeluje tranzitivno na plohe pravilnog tetraedra. Stabilizator plohe kristala (obzirom na djelovanje odgovarajuće točkine grupe) je skup (zapravo, podgrupa) svih simetrija koje tu plohu fiksiraju. Primjerice, stabilizator donje (i isto tako gornje) baze pravilne trostrane prizme obzirom na djelovanje D 3h je C 3v = {1, 3, 3 2, m v,1, m v,2, m v,3 }. Što možemo zaključiti o plohama koje imaju trivijalne stabilizatore {1}? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 28 / 29
Opće forme Kristalne forme Djelovanje točke grupe zovemo tranzitivnim ako za svake dvije plohe postoji simetrija koja preslikava jednu na drugu. Drugačije rečeno: djelovanje točkine grupe kristala na njegove plohe je tranzitivno točno ako taj kristal posjeduje samo jednu formu. Primjerice, grupa T djeluje tranzitivno na plohe pravilnog tetraedra. Stabilizator plohe kristala (obzirom na djelovanje odgovarajuće točkine grupe) je skup (zapravo, podgrupa) svih simetrija koje tu plohu fiksiraju. Primjerice, stabilizator donje (i isto tako gornje) baze pravilne trostrane prizme obzirom na djelovanje D 3h je C 3v = {1, 3, 3 2, m v,1, m v,2, m v,3 }. Što možemo zaključiti o plohama koje imaju trivijalne stabilizatore {1}? Ako je stabilizator neke plohe trivijalan, govorimo o plohi opće forme. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj 2017. 28 / 29