LEKCIJE IZ DISKRETNE MATEMATIKE

LEKCIJE IZ DISKRETNE MATEMATIKE Igor Ž. Milovanović Ružica M. Stanković Emina I. Milovanović Branislav M. Randjelović

Sadržaj 1 Elementi matematičke logike 5 1.1 Iskaz i predikat............................. 5 1.2 Iskazne rečenice............................ 7 1.3 Iskazne formule............................ 11 1.4 Argumenti i dokazi.......................... 16 1.5 Kompletnost.............................. 21 1.6 Normalne forme............................ 23 2 Indukcija 29 2.1 Empirijska indukcija.......................... 29 2.2 Matematička indukcija........................ 30 3 Skupovi 37 3.1 Predstavljanje skupova........................ 37 3.2 Operacije sa skupovima........................ 39 3.3 Partitivni skup. Princip uključenja-isključenja........... 42 3.4 Pokrivanje i razbijanje skupa..................... 47 4 Relacije. Funkcije 49 4.1 Dekartov proizvod skupova...................... 49 4.2 Relacije................................. 51 4.3 Kompozicija relacija. Zatvaranje relacije.............. 55 4.4 Relacija ekvivalencije......................... 68 4.5 Relacija uredjenja........................... 70 4.6 Funkcije................................ 75 5 Operacije 79 5.1 Grupa. Polje............................... 79 5.2 Bulova algebra............................. 84 5.3 Vektorski prostori........................... 87 1

2 SADRŽAJ 6 Specijalne matrice. Permanent 93 6.1 Binarne matrice............................ 93 6.2 Matrice uredjenosti.......................... 106 6.3 Stohastičke matrice.......................... 109 6.4 Permanent................................ 114 7 Brojevi 125 7.1 Deljivost brojeva............................ 125 7.2 Modularna aritmetika......................... 129 7.3 Euklidov algoritam........................... 137 7.4 Diofantove i modularne jednačine................... 144 7.5 Prosti brojevi.............................. 157 7.6 Mala Fermaova teorema. Ojlerova funkcija.............. 163 8 Funkcije generatrise 169 9 Rekurentni nizovi 177 10 Kombinatorika 191 10.1 Dirihleov princip............................ 191 10.2 Permutacije.............................. 193 10.3 Permutacije sa ponavljanjem elemenata............... 208 10.4 Permutacije totalne neuredjenosti.................. 211 10.5 Permutacije sa usponima i padovima................ 212 10.6 Permutacije sa inverzijama...................... 213 10.7 Permutacije na krugu......................... 214 10.8 Varijacije................................ 215 10.9 Kombinacije.............................. 217 10.10Kombinacije sa ponavljanjem..................... 220 10.11Varijacije sa ponavljanjem....................... 221 10.12Particije i kompozicije......................... 225 11 Blok šeme 231 11.1 Pojam kombinatorne konfiguracije.................. 231 11.2 Blok-šeme................................ 234 11.3 Uravnotežene nepotpune blok-šeme.................. 235 11.4 Sistemi Štajnera............................ 240 11.5 Simetrične blok-šeme.......................... 244 11.6 Formiranje blok-šema......................... 245

SADRŽAJ 3 12 Grafovi 251 12.1 Intuitivno shvatanje pojma grafa................... 251 12.2 Definicije grafa i srodnih struktura.................. 256 12.3 Stepeni čvorova............................. 262 12.4 Matrično predstavljanje grafa..................... 266 12.5 Delovi grafa. Putevi u grafu. Povezanost............... 276 12.6 Odredjivanje najkraćih puteva u grafu................ 285 12.7 Stablo.................................. 292 12.8 Planarni grafovi............................. 301 12.9 Bojenje grafa.............................. 305

4 SADRZ AJ

Glava 1 Elementi matematičke logike Logika, kao nauka o zaključivanju, čije je temelje postavio Aristotel, ima primenu u raznim oblastima, kao na primer u teologiji, filozofiji i matematici. Što se tiče matematike, ona predstavlja njen temelj. Na osnovu skupa osnovnih pretpostavki, koje se nazivaju aksiome, odredjuje se tačnost odgovarajućih matematičkih izraza. U ovom odeljku mi ćemo dati samo najosnovnije pojmove iz matematičke logike, neophodne za proučavanje elemenata Diskretne matematike. 1.1 Iskaz i predikat U matematičkoj logici iskaz ili sud je osnovni pojam, te se kao takav ne definiše. Intuitivno se prihvata da je iskaz deklarativna rečenica, koja ima smisla, i koja je tačna ili netačna. Iskaz zadovoljava dva principa: princip isključenja trećeg i princip kontradikcije. Naime, kako smo već napomenuli, on je ili tačan ili netačan i ne može imati neko treće istinitosno svojstvo, i ne može biti istovremeno i istinit i neistinit. Primer 1. Rečenica 4 2 = 16 je iskaz, i to istinit. Rečenica 21 = 4 2 je iskaz, i to neistinit. Rečenica x 2 = 16 je afirmativna i ima smisla, ali nije iskaz. Istinitosno svojstvo zavisi od vrednosti promenljive x. Rečenica Da li je 3 veće od 7? je upitna, a ne deklarativna, pa nije iskaz. 5

6 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATIČKE LOGIKE U daljem tekstu iskaze ćemo zvati i logičkim promenljivama. Oni se označavaju, najčešće, slovima neke azbuke, {p, q, r...} ili {A, B, C...} ili slično. Ako je neki iskaz istinit, označavamo to simbolom, koji se čita te ili tačno ili istinito. U literaturi se umesto ovog simbola koristi simbol 1. Ako je neki iskaz neistinit, označavamo to simbolom, koji se čita nete ili nije tačno ili nije istinito. Umesto njega se u literaturi koristi simbol 0. Simbole i zvaćemo logičkim konstantama. Definicija 1.1 Neka je S = {p, q, r...} skup iskaza, tj. Funkcija τ, τ: S {, }, definisana sa logičkih promenljivih. τ(p) = naziva se funkcijom istinitosti. {, ako je p istinito, ako je p neistinito, Primer 2. τ(p) = τ( 4 2 = 16 ) =, a τ(p) = τ( 21 = 4 2 ) =. Afirmativna rečenica koja ima smisla, koja sadrži jednu ili više promenljivih i koja postaje iskaz kada promenljivama dodelimo konkretne vrednosti, naziva se predikat. Primer 3. Rečenica x 2 = 16 je predikat, jer je afirmativna, ima smisla i sadrži promenljivu x. Ona postaje iskaz, i to istinit, kada je x = 4 ili x = 4. Za sve ostale vrednosti promenjive x, ona takodje postaje iskaz, ali neistinit. Rečenica x 2 +y 2 = 1 je predikat, jer sadrži dve promenljive x i y. Za x = 0 i y = 1 on postaje iskaz koji je tačan, a za x = 1 i y = 1, on postaje iskaz koji nije tačan. Broj promenljivih u predikatu odredjuje njegovu dužinu. Za promenljive u predikatu vezuju se kvantifikatori, i to: univerzalni, u oznaci, i egzistencijalni, u oznaci. Univerzalni kvantifikator čita se za svako, a egzistencijalni postoji ili egzistira. Primer 4. Neka je P (x) predikat dužine 1. Vezivanje kvantifikatora za promenljivu x može se obaviti na jedan od sledećih načina: ( x)(p (x)) - za svako x važi P (x), ( x)(p (x)) - postoji x za koje važi P (x). Ako želimo da naglasimo da x priprada nekom skupu R, ili ima svojstvo R, tada se vezivanje kvantifikatora moze obaviti na sledeće načine:

1.2. ISKAZNE REČENICE 7 ( x R)(P (x)) - za svako x iz R važi P (x), ( x R)(P (x)) - postoji x iz R za koje važi P (x). Ako u razmatranje uvedemo i logički veznik, koji označava negaciju, a o kome će biti više reči u sledećem odeljku, tada se kvantifikatori mogu vezati za promenljivu x u predikatu P (x), na sledeće načine: ( x)(p (x)) - nije tačno da za svako x važi P (x), ( x)(p (x)) - nije tačno da postoji x za koje važi P (x), ( x R)(P (x)) - nije tačno da za svako x iz R važi P (x), ( x R)(P (x)) - nije tačno da postoji x iz R za koje važi P (x). 1.2 Iskazne rečenice Iskazne rečenice grade se od iskaza i logičkih veznika, tj. logičkih operacija. Za nas su interesantne unarne i binarne logičke operacije. Kako se skup {, } sastoji od dva elementa, ukupan broj unarnih logičkih operacija je 2 21 = 4. Njihove oznake su, O 1, O 2 i O 3, pri čemu je negacija, O 1 identička istina, O 2 identička laž i O 3 unarni identitet. Tablice istinitosti ovih logičkih operacija, tj. logičkih veznika, date su na sledećoj slici. O 1 O 2 O 3 Slika 1. Od navedenih veznika za nas je interesantna samo negacija. Definicija 1.2 Iskaz p je negacija iskaza p. On je tačan kada je iskaz p netačan. Iskaz O 1 p je uvek tačan, iskaz O 2 p je uvek netačan, dok iskaz O 3 p ima istu istinitosnu vrednost kao iskaz p. Na sledećoj slici date su istinitosne vrednosti iskaza p, O 1 p, O 2 p i O 3 p, u zavisnosti od istinitosti iskaza p. p p O 1 p O 2 p O 3 p Slika 2.

8 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATIČKE LOGIKE Primer 5. Ako iskaz p glasi: Pera voli jabuke, tada iskaz p glasi: Pera ne voli jabuke ili Nije tačno da Pera voli jabuke. Iskaz O 1 p glasi: Pera voli jabuke, iskaz O 2 p glasi: Pera ne voli jabuke, a iskaz O 3 p glasi: Pera voli jabuke. Ukupan broj binarnih logičkih operacija, tj. binarnih logičkih veznika, je 2 22 = 16. Za nas je interesantno sledećih pet: konjunkcija (u oznaci ), inkluzivna disjunkcija (u oznaci ), ekskluzivna disjunkcija (u oznaci ), implikacija (u oznaci ) i ekvivalencija (u oznaci ). Istinitosne tablice ovih operacija, na skupu {, }, date su na slici 3. Slika 3. Čitaocu prepuštamo da prouči osobine binarnih logičkih operacija sa slike 3, na skupu {, }, koje se odnose na komutativnost, asocijativnost, distributivnost i slično. Definicija 1.3 Iskaz p q naziva se konjunkcija iskaza p i q. On je istinit ako i samo ako su oba iskaza p i q istinita. Čita se p i q. Primer 6. Neka su iskazi p i q definisani sa p: Pera voli jabuke i q: Danas je ponedeljak. Iskaz p q glasi: Pera voli jabuke i danas je ponedeljak Ovaj iskaz je tačan samo ako je zaista istina da pera voli jabuke i da je danas ponedeljak. Kao što će biti slučaj i kod drugih iskaznih rečenica, nas interesuje samo istinitosna vrednost iskaza p q, a ne i to ima li ili ne smisla. Definicija 1.4 Iskaz p q naziva se inkluzivnom disjunkcijom iskaza p i q. On je istinit ako i samo ako je bar jedan od iskaza p ili q istinit. Čita se p ili q. Primer 7. Neka su iskazi p i q definisani sa p: π je racionalan broj i q: π je veći od jedinice. Iskaz p q glasi: π je racionalan broj ili je veći od jedinice. Ovaj iskaz je istinit. Inkluzivnu disjunkciju treba razlikovati od veznika ili u svakodnevnom govoru. On je u svakodnevnom govoru isključiv, ne dozvoljava istovremenu tačnost. Njemu, u matematičkoj logici, odgovara veznik pod nazivom ekskluzivna disjunkcija, koja će biti definisana u narednoj definiciji.

1.2. ISKAZNE REČENICE 9 Definicija 1.5 Iskaz p q naziva se ekskluzivnom disjunkcijom iskaza p i q. On je istinit ako i samo ako je bar jedan od iskaza p ili q istinit, ali ne istovremeno. Čita se ili p ili q. Primer 8. Neka su iskazi p i q definisani sa p: π je realan broj i q: π je veći od jedinice. Iskaz p q glasi: Ili je π realan broj ili je π broj veći od jedinice. On nije istinit, jer su oba iskaza, i p i q, istinita. Definicija 1.6 Iskaz p q naziva se implikacijom iskaza p i q. On jedino nije istinit ako je p istinit, a iskaz q nije istinit. Čita se ako p onda q. Iskaz p, u implikaciji p q, naziva se premisom ili pretpostavkom, a iskaz q naziva se zaključkom. Primer 9. Neka su iskazi p i q definisani sa p: 3 + 3 = 5 i q: 3 + 4 = 9. Iskaz p q glasi: Ako je 3+3 = 5 tada je i 3+4 = 9. Ovaj iskaz je istinit, jer je implikacija koja sledi iz neistinitog iskaza uvek istinita. Primer 10. Neka su iskazi p i q definisani sa p: Prvi dan u nedelji je ponedeljak i q: Na severnom polu postoji večiti led. Iskaz p q glasi: Ako je ponedeljak prvi dan u nedelji tada na severnom polu postoji večiti led. Sa stanovišta matematičke logike, ovaj iskaz je istinit, ali teško ga je spojiti sa zdravom logikom. Implikacija se značajno može razlikovati od upotrebe ako... onda... u svakodnevnom govoru. Naime, kod iskaza p q, kao i kod drugih iskaza, nas interesuje samo njegova istinitosna vrednost, ali ne i suština ovog iskaza. To se najbolje vidi iz Primera 9. i 10. Ujedno, to je jedan od ključnih razloga što nije moguća formalna definicija pojma iskaz, kako smo naveli u prethodnom odeljku. Definicija 1.7 Iskaz p q naziva se ekvivalencijom iskaza p i q. On je istinit ako i samo ako iskazi p i q imaju istu istinitosnu vrednost. Čita se p je ekvivalentno sa q. Primer 11. Neka su iskazi p i q definisani kao u primeru 9. Iskaz p q glasi: Ako je 3+3 = 5 tada je i 3+4 = 9, i ako je 3+4 = 9 tada je 3+3 = 5. Ovaj iskaz je istinit, jer iskazi p i q imaju istu istinitosnu vrednost, oba nisu istinita. Pomoću ekvivalencije se često definišu novi pojmovi od već poznatih. To ćemo ilustrovati u sledećem primeru.

10 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATIČKE LOGIKE Primer 12. Pretpostavimo da su nam poznati pojmovi: vektor i skalarni proizvod dva vektora. Pojam ortogonalnosti dva vektora ćemo definisati preko sledeće ekvivalencije: Dva vektora, različita od nula vektora, ortogonalna su ako i samo ako je njihov skalarni proizvod jednak nuli. U tabeli na slici 4. su date istinitose vrednosti za iskaze p q, p q, p q, p q i p q, u zavisnosti od istinitosti iskaza p i q. p q p q p q p q p q p q Slika 4. Simboli koje smo iskoristili da označimo navedene binarne logičke operacije, tj. logičke veznike, nisu jedinstveni. Tako se, na primer, u literaturi, umesti simbola koriste i & i, umesto simbola koriste simboli i, a umesti simbola koriste se simboli, i. Čitanje iskaznih rečenica, definisanih u ovom odeljku, takodje nije jedinstveno. Tako, na primer, iskaz p q može da se čita i: iz p proizilazi q, na osnovu p sledi q, p je potreban uslov za q, q je neophodan uslov za p i slično. Naveli smo da postoji 16 binarnih operacija, od kojih smo pomenuli samo pet. U nastavku ćemo definisati još dve, dok definisanje preostalih prepuštamo čitaocima. Binarne logičke operacije Šefer, u oznaci, i Lukašjevič (Pirson), u oznaci, definisane su sledećim tablicama. Nije teško pokazati da je Slika 5. p q (p q) i p q (p q). Zbog navedenih ekvivalencija logički veznik se naziva nili (ne ili), a ni (ne i). Napomenimo da su za implikaciju p q, dva iskaza p i q, tesno povezani sledeći iskazi: q p - konverzija,

1.3. ISKAZNE FORMULE 11 p q - inverzija, q p - kontrapozicija. Istinitosne vrednosti ovih iskaza date su u sledećoj tabeli. p q p q p q q p p q q p Slika 6. 1.3 Iskazne formule Daćemo formalnu definiciju iskazne formule. Definicija 1.8 i) Iskazne konstante i iskazna slova (promenljive) su iskazne formule; ii) Ako su A i B iskazne formule, α proizvoljna unarna operacija, a β proizvoljna binarna operacija, tada su i α A i (Aβ B) iskazne formule; iii) Iskazne formule mogu se formirati jedino konačnim brojem primena i) i ii) ove definicije. Primer 13. Iskazi, tj. iskazne rečenice, p, (p q), (p ), (p (p q)) su iskazne formule. Izrazi p, (p ( q)) i p q nisu iskazne formule. Poslednji iskaz, u strogom smislu definicije 1.8. nije iskazna formula, jer nedostaju zagrade. Da je to malo prestrogo, videćemo u daljem tekstu. Definicija 1.9 Stepen iskazne formule A je ukupan broj pojavljivanja logičkih operacija u njoj. Primer 14. Stepen iskazne formule (p (q p) ((p q) (p q)) je 7. Prilikom formiranja iskaznih formula koriste se i zagrade, i to male. One omogućavaju da se precizno definiše redosled izvršenja logičkih operacija. Medjutim, cilj je da logička formula sadrži minimalan mogući broj zagrada. Navešćemo dva postupka da se ovo ostvari. Način da se smanji broj upotrebljenih zagrada prilikom prezentacije iskazne formule je poštovanje sledećeg, hijerarhijskog niza prioriteta logičkih operacija:

12 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATIČKE LOGIKE,,,,. Ovaj niz je opadajući po snazi vezivanja. Treba napomenuti da zagrada ima veći prioritet u odnosu na logički veznik koji stoji ispred nje. Tako, na primer, logička operacija je najvećeg prioriteta, ali samo pod uslovom da ne stoji ispred zagrade. Primer 15. Poštujući hijerarhijski niz prioriteta logičkih operacija, iskazna formula p (( q) r) može se predstaviti u drugom obliku, bez zagrada, kao p q r. Negacija (p q) se ne može napisati u obliku p q. Drugi postupak za oslobadjanje od zagrada koji ćemo pomenuti, poznat je pod nazivom poljska notacija. Za njegovu primenu, neophodna nam je sledeća, nova definicija iskazne formule. Definicija 1.10 i) Logičke konstante i logičke promenljive su iskazne formule; ii) Ako je A iskazna formula i α proizvoljna unarna operacija, tada je i αa iskazna formula; iii) Ako su A i B iskazne formule i α proizvoljna binarna logička operacija, tada je i αab iskazna formula; iv) Iskazne formule mogu se formirati jedino konačnim brojem primena i) ii) i iii) iz ove definicije. Iskazna formula zapisana na osnovu prethodne definicije predstavljena je u poljskoj notaciji. Primer 16. Iskazna formula ( p) q u poljskoj notaciji glasi pq. Iskazna formula (p q) u poljskoj notaciji glasi pq. Iskazna formula (((p q) (q r)) (p r)) (q s) u poljskoj notaciji glasi pq qr pr qs. Iskazna formula (p q) ( (p q)) u poljskoj notaciji glasi p q pq. Iskazna formula ((p q) r) (p (q r)) u poljskoj notaciji glasi pqr p qr. Primer 17. Iskazna formula, data u poljskoj notaciji p p pq u standardnoj formi glasi p (p (p q)). Iskazna formula, data u poljskoj notaciji pq pr qr pq u standardnoj formi glasi (((p q) (p r)) (q r)) ( p q).

1.3. ISKAZNE FORMULE 13 Definicija 1.11 Dve iskazne formule A i B su logički ekvivalenti, ako imaju iste logičke promenljive i iste tablice istinitosti. To ćemo označavati sa A B. Važnije logičke ekvivalencije su navedene u sledećoj teoremi. Teorema 1.1 Ako su p, q i r proizvoljni iskazi, tada važe sledeći ekvivalenti: 1. p p p, p p p - idempotentnost, 2. p (q r) (p q) r, p (q r) (p q) r - asocijativnost, 3. p q q p, p q q p - komutativnost, 4. (p q) p q, (p q) p q, - De Morganova pravila, 5. ( p) p - dvostruka negacija, 6. p p, p p, 7. p, p, 8. p p, p p - komplementarnost, 9. p q q p - zakon kontradikcije, 10. p q p q - zakon implikacije, 11. p q (p q) q - zakon disjunkcije, 12. p q (p q) - zakon konjunkcije, 13. (p q) p q - zakon negacije implikacije, 14. (p q) (p q) (q p) - zakon ekvivalencije, 15. p q r p (q r) - zakon unošenja-iznošenja, 16. p (p q) p, p (p q) p - zakon apsorpcije, 16. p (q r) (p q) (p r), p (q r) (p q) (p r) - zakon distributivnosti. Dokaz. Ilustracije radi, dokazaćemo pomoću tablica istinitosti ekivalencije 6,7,10 i 11. Ostale dokaze prepuštamo čitaocu. p p p p p p p p q p p q p q (p q) ( p q) p q p q p q (p q) q (p q) ((p q) q) Slika 7.

14 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATIČKE LOGIKE Kako smo već pominjali istinitost iskazne formule, u zavisnosti od istinitosti iskaza koji je čine, može se ispitati pomoću istinitosne tablice. To ćemo ilustrovati u sledećem primeru. Primer 18. (p q). Ispitati istinitosnu vrednost formule F ( p q r) p q r p p q p q r p q F Slika 8. Medjutim, često nas interesuje vrednost neke iskazne formule, ali samo za neki konkretni slučaj istinitosne vrednosti iskaza koji u njoj učestvuju. U tom slučaju nepotrebno je ispisivati kompletnu tablicu istinitosti. Dovoljno je posmatrati samo konkretan slučaj, tj. konkretna interpretacija pri čemu se koriste tablice za logičke veznike date na slikama 2 i 3. Ovaj postupak je opisan u sledećem primeru. Primer 19. Za iskaznu formulu iz prethodnog primera, pretpostavimo da je τ(p) =, τ(q) = i τ(r) =. Odredićemo τ(f ). τ(f ) = τ(( p q r) (p q)) = (τ( p q) τ(r)) τ(p q) = ((τ( p) τ(q)) τ(r)) (τ(p) τ(q)) = (( τ(p) ) ) ( ) = (( ) ) = (( ) ) = ( ) = =. Uporedjivanjem dobijenog rezultata sa odgovarajućom interpretacijom u tablici istinitosti vidimo da se oni poklapaju. Definicija 1.12 Iskazna formula A, koja je identički istinita A, tj, τ(a) =, za bilo koju istinitosnu vrednost iskaza koji je čine, naziva se tautologijom. To se označava sa A ili =A. Formula A, koja je identički neistinita A, tj, τ(a) =, naziva se kontradikcijom.

1.3. ISKAZNE FORMULE 15 Ako je iskazna formula tautologija, tada je njena negacija kontradikcija, i obrnuto. Logički ekvivalent dve iskazne formule A i B, A B, možemo zameniti činjenicom da je iskazna formula A B tautologija. U sledećoj teoremi navedene su neke važnije tautologije. Teorema 1.2 Neka su p, q i r iskazi. Tada su sledeće iskazne formule tautologije: 1. p p - zakon isključenja trećeg, 2. (p q) (q r) (p r) - tranzitivnost implikacije ili zakon silogizma, 3. (p p) - zakon neprotivurečnosti, 4. p (p q) q - zakon odvajanja, 5. p (p q) p, 6. p (p q) q, 7. p q p - zakon pojednostavljenja, 8. ((p q) q) p - Pirsov zakon, 9. ( p p) p - zakon zaključivanja iz suprotnog, 10. p (p q) - iz lažnog proizvoljno, 11. p (q p) - istina iz proizvoljnog, 12. (p (q q)) p - svodjenje na apsurd. Dokaz. Ilustracije radi, dokazaćemo da su iskazne formule 4,5 i 6 tautologije. p q p q p (p q) p (p q) q p q p p q p (p q) p (p q) p p q p p q p (p q) p (p q) q Slika 9.

16 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATIČKE LOGIKE 1.4 Argumenti i dokazi Svaka matematička disciplina gradi se na osnovu pojmova, definicija, aksioma i teorema. Osnovni pojmovi se, najčešće ne definišu, već se podrazumeva da su intuitivno jasni. To su na primer iskaz (sud) u matematičkoj logici, skup i elementi skupa u teoriji skupova. Definicije služe da se opišu pojmovi, ili njihove osobine, neophodni za razvoj odredjene discipline. Aksiome, koje nisu obavezno prisutne u svakoj matematičkoj disciplini, su iskazi koji ne podležu proveri, dokazivanju, tj. sumnji u njih. Podrazumeva se da su apriori tačni. Aksiome čine sistem. On mora biti pun, što znači da se na osnovu njih može dokazivati svako tvrdjenje koje je tačno, u posmatranoj disciplini. Takodje, nijedna od njih ne može se izvesti, dokazivati, na osnovu preostalih. Sistem aksioma neke discipline ne mora biti jedinstven. Moguće je neku aksiomu u sistemu zameniti nekom drugom, ali uvek postoji minimalan broj aksioma u punom sistemu. Na osnovu sistema aksioma, korišćenjem logičkih pravila, dokazuju se drugi iskazi neke matematičke discpline. Svaki važeći (tačan) iskaz, tj. teorema, ima ulogu aksiome u daljem razvoju ove discipline. Retko se teoreme, osim u početnoj fazi razvoja neke discipline, dokazuju na osnovu sistema aksioma, već na osnovu odredjenih, već poznatih teorema. Suština dokazivanja je izvodjenje posledice na osnovu datih aksioma. Ako se posledica izvodi samo na osnovu istinitosti aksioma ona je semantička, a ako istinitost nije važna već samo izvodjenje korišćenjem dozvoljenih pravila, ona je sintaktička. Nas ovde interesuju samo semantičke posledice. Zvaćemo ih čisto posledicama. Dat sistem hipoteza H 1, H 2,..., H n i zaključak C, pri čemu su u pitanju iskazne formule, zajedno čine argumenat. On je valjan, ako je za sve interpretacije za koje su hipoteze istinite, istinit i zaključak. U tom slučaju zaključak postaje posledica. Argumenat se označava sa H 1 H 2. H n hipoteze C } zaključak. (1.1) Simbol se čita: važi, stoga, tada je i slično. Valjanost ovog argumenta se proverava na više načina. Jedan od načina je da se formira tablica istinitosti,

1.4. ARGUMENTI I DOKAZI 17 na osnovu koje se utvrdjuje da li je C tačno, kada su sve hipoteze H 1, H 2,..., H n tačne. Ekvivalentno ovom je provera da li je iskaz H 1 H 2... H n C (1.2) tautologija. Ako jeste, argument je valjan, u protivnom nije. Primer 20. Za argument tablica istinitosti je p q q r p p q r p q r p q q r p p q r 1 2 3 4 5 6 7 8 Slika 10. Sve hipoteze su tačne samo u slučaju 1. Tada je tačan i zaključak, pa je argument valjan. Valjanost ovog argumenta smo mogli utvrditi tako što bi dokazali da je iskaz R = (p q) (q q) p (p q r) tautologija. To se vidi iz sledeće tablice. p q r p q q r (p q) (q r) (p q) (q r) p p q r R Slika 11.

18 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATIČKE LOGIKE Primer 21. Za argument p q q r r p tablica istinitosti je data na Slici 12. Sve tri hipoteze su tačne u slučajevima 1, 5 i 7. Zaključak je, u ovim slučajevima, tačan samo u slučaju 1, te argument nije valjan. Zaključak nije posledica ovih hipoteza. p q r p q q r r p 1 2 3 4 5 6 7 8 Slika 12. Da posmatrani argument nije valjan, može se zaključiti na osnovu činjenice da iskaz R = (p q) (q q) r p nije tautologija. To se vidi na osnovu sledeće tablice. p q r p q q r (p q) (q r) r R Slika 13.

1.4. ARGUMENTI I DOKAZI 19 Navešćemo neke valjane argumente, koji su u literaturi pozanati kao pravila izvodjenja. Dokaz njihove valjanosti prepuštamo čitaocu, vežbe radi. 1. zakon odvajanja 2. silogizam 3. modus tolens (modus ponens) p q p q p q p q r q q p r p 4. dodavanje 5. specijalizacija 6. konjunkcija p p q p p q p q p q 7. slučajevi 8. eliminacija slučaja 8. kontradikcija (reductio ad absurdum) p p (p s) p q p q p (r r) p (r r) s q q p q Primer 22. Saopštena je sledeća vremenska prognoza za naredni dan: 1. Biće vedro ili hladno ili će duvati vetar. 2. Ako bude vedro i duva vetar, biće hladno. 3. Ako ne bude vedro i bude hladno, duvaće vetar. Da li se može zaključiti da ako ne bude vedro, neće biti hladno? Označimo sa p, q i r sledeće iskaze: p: biće vedro, q: biće hladno, r: duvaće vetar. Na osnovu 1, 2 i 3 treba proveriti valjanost sledećeg argumenta p q r p r q

20 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATIČKE LOGIKE Tablica istinitosti je p q r p q. p q r p q r p r q p q r p q 1 2 3 4 5 6 7 8 Slika 14. Na osnovu 5.reda tablice, argument nije valjan te nismo mogli izvesti navedeni zaključak. Napomenimo da smo u razmatranjima posmatrali posledicu kao semantičku posledicu. Vodilo se računa samo o istinitosti argumenata. Kod sintaksne posledice, koje nismo razmatrali, nas ne zanima istinitost hipoteza, već samo da li se u toku izvodjenja koriste dozvoljena pravila. Primer 23. Premise su: Ako se Šojić kandiduje na izborima (p), on će postati premijer (q). Ako Šojić dodje na sastanak Stranke Zdravog Razuma (r) biće kandidovan za premijera (q), Šojić će otići na sastanak Stranke Zdravog Razuma (r), ili će otići na rekreaciju (s). Šojić se ne rekreira ( s). Da li će Šojić biti premijer? Odgovorajući argument je: p q r p r s s q.

1.5. KOMPLETNOST 21 Tablica istinitosti je p q r c p q r p r s s q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Slika 15. Sve premise su tačne za interpertacije u slučajevima 2 i 10. U ovim slučajevima je i zaključak tačan, te je on posledica. Možemo zaključiti da će Šojić postati premijer. Napomenimo da je ovaj primer prepev primera iz rada [XX]. 1.5 Kompletnost Od svih logičkih veznika, po značaju se izdvaja sedam, definisanih skupom V = {,,,,,, }. Postavlja se pitanje baze ovog skupa, tj. koje i koliko veznika možemo izdvojiti iz ovog supa, tako da se u iskaznim formulama svi drugi veznici, uključujući i one koji nisu obuhvaćeni skupom V, mogu izraziti preko njih. Uočimo skup B 1 = {, }, koji je podskup skupa V. Na osnovu ekvivalencija p q ( p q), p q (p q), p q (p q) ( p q), p q (p q), p q p q,

22 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATIČKE LOGIKE zaključujemo da je skup B 1 = {, } skup generatora skupa V. Slično, skup B 2 = {, }, koji je takodje podskup skupa V, na osnovu ekvivalencija p q ( p q), p q p q, p q ( ( p q) (p q)), p q p q, p q (p q), skup generatora skupa V. Primer 24. Na osnovu ekvivalencija p q ( (p q) ( p q)) i p q (p q) ( p q)), vidimo kakvu prezentaciju ima veznik u skupovima B 1 i B 2, respektivno. Primer 25. Iskazna formula p q ( p q) u skupovima B 1 i B 2 ima ekvivalentne forme, redom ( p q) ( p q) i (p q) (p q). Uočimo skup B 3 = { }, koji je takodje podskup skupa V. Na osnovu ekvivalencija p p p i p q (p q) (p q) i činjenice da je skup B 1 = {, }, skup generatora skupa V, zaključujemo da skup B 3 čini jednu bazu skupa V. To znači da se svaka iskazna formula može predstaviti i u ekvivalentoj formi, u kojoj učestvuje samo veznik ni,. Ostali veznici skupa V imaju sledeće prezentacije u skupu B 3.n p q (p p) (q q), p q ((p p) (p p)) (q q), p q (((p p) (p p)) (q q)) (((p p) (p p)) (q q)) (((q q) (q q)) (p p)) (((q q) (q q)) (p p)), p q ((p p) (q q)) ((p p) (q q)).

1.6. NORMALNE FORME 23 Slično, uočimo skup B 4 = { }, koji je takodje podskup skupa V. Na osnovu ekvivalencija p p p i p q (p q) (p q) i činjenice da je skup B 1 = {, }, skup generatora skupa V, zaključujemo da skup B 4 čini jednu bazu skupa V. Za preostale veznike skupa V važe ekvivalencije. p q (p p) (q q), p q ((p p) q) ((p p) q, p (q (p (q q)) ((p (q q)) ((p (q q)) ((p (q q)) ((q (p p)) ((q (p p)) ((q (p p)) ((q (p p)). Na osnovu navedenih ekvevalencija nije teško zaključiti da predstavljanje iskazne forme, u bazama B 3 i B 4, nije jednostavno, a i da su odgovarajuće forme znatno duže. Ali je to malo važno u poredjenju sa činjenicom da su za praksu, naročito u računarstvu i elektrotehnici, ove mogućnosti od ogromnog značaja. 1.6 Normalne forme Definicija 1.13 Neka su M 1, M 2,..., M r proizvoljne iskazne formule. Za iskaznu formulu M 1 M 2 M r kažemo da je data u konjunktnoj formi, a za iskaznu formulu M 1 M 2 M r da je u disjunktnoj formi. Definicija 1.14 Složeni iskaz oblika x 1 x 2 x r, gde je x i = p i ili x i = p i, a p i su logičke promenljive ili konstante, naziva se konjunktom. Za iskaznu formulu kažemo da je data u disjunktnoj normalnoj formi ako je oblika M 1 M 2 M r, pri čemu su M 1, M 2,.., M r konjunkti. Definicija 1.15 Složeni iskaz oblika x 1 x 2 x r, gde je x i = p i ili x i = p i, a p i su logičke promenljive ili konstante, naziva se disjunktom. Za iskaznu formulu ka žemo da je data u konjunktnoj normalnoj formi ako je oblika M 1 M 2 M r, pri čemu su M 1, M 2,.., M r disjunkti. U prethodnom odeljku smo videli da su skupovi B 1 = {, } i B 2 {, } skupovi generatora za skup V = {,,,,,, }. Samim tim je i skup B = {,, } skup generatora ovog skupa. Na osnovu toga, direktno sledi sledeći rezultat. Teorema 1.3 Za svaku iskaznu formulu postoji konjunktivna i disjunktna normalna forma.

24 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATIČKE LOGIKE Ova teorema govori samo o egzistenciji, ali ne i broju i načinu formiranja ovih formi.što se tiče broja, svakoj iskaznoj formuli odgovara, praktično, beskonačno ovakvih formi. Naravno, od interesa je naći najprostije. Time, medjutim, nećemo opterećivati ovaj tekst. Primer 26. Iskazna formula ima konjunktivnu normalnu formu, a disjunktivnu normalnu formu. (p q r) ( p r) (p q r) (p q) ( p q r) (q p) Ukazaćemo na dva načina kako se data iskazna formula prevodi u normalnu formu. Prvi je korišćenjem logičkih ekvivalencija, a drugi je korišćenjem istinitosnih tablica. Ilustrovaćemo to u sledećem primeru. Primer 27. Posmatrajmo iskaznu formulu Na osnovu ekvivalencija i A = (p q) r. A = (p q) r (p q) r ( p q) r (p q) r, A = (p q) r (p q) r (p r) (q r), dobijamo, redom, njenu disjunktnu i njenu konjuktnu normalnu formu. Posmatrajmo sada istinitosnu tablicu iskazne formule A. p q r q p q A = (p q) r 1 2 3 4 5 6 7 8 Slika 16.

1.6. NORMALNE FORME 25 Uočimo samo one interpretacije za koje je iskazna formula tačna, tj. τ(a) =. To su slučajevi 1, 2, 3, 5 i 7. Za svaki od ovih slučajeva, ponaosob, formirajmo konjunkt, koji ima osobinu da je za ovaj slučaj tačan, a u ostalih sedam slučajeva netačan. Za slučajeve 1, 2, 3, 5 i 7 to su redom konjunkti: p q r, p q r, p q r, p q r, p q r. Tražena disjunktna normalna forma iskazne formule A je A = (p q r) (p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r). Slično, uočimo samo one interpretacije za koje je iskazna formula netačna, tj. τ(a) =. To su slučajevi 4, 6 i 8. Za svaki od ovih slučajeva, ponaosob, formirajmo disjunkt, koji je za ovaj slučaj netačan, a u svim preostalim, sedam, slučajeva tačan. To su za slučajeve 4, 6 i 8, redom: p q r, p q r, p q r. Tražena konjunktivna normalna forma iskazne formule A je A = ( p q r) (p q r) (p q r). Primer 28. Posmatrajmo iskaznu formulu A = (p q) q. Formirajmo najpre istinitosnu tablicu za nju. Tablici dodajmo još dve kolone. U prvoj dodatoj koloni, svakoj interpretaciji odredimo konjunkt koji ima osobinu da je tačan za nju, ali je netačan za sve preostale. U drugoj dodatoj koloni, svakoj interpretaciji odredimo disjunkt koji je netačan za nju, ali je tačan za sve preostale. Napomenimo da svaki konjunkt, tj. disjunkt, mora sadržati obe promenljive p i q, sa ili bez veznika, i to tačno jedanput. p q q p q A = (p q) q konjunkt disjunkt 1 p q p q 2 p q p q 3 p q p q 4 p q p q Slika 17.

26 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATIČKE LOGIKE Uočimo one konjunkte koji odgovaraju slučajevima τ(a) =. To je samo slučaj 4, a odgovarajući konjunkt je: p q. Tražena disjunktna normalna forma je A = p q. Uočimo one disjunkte koji odgovaraju slučajevima τ(a) =. To su slučajevi 1, 2 i 3. Njima, redom, odgovaraju disjunkti: p q, p q, p q. Tražena konjunktivna normalna forma je A = ( p q) ( p q) (p q). Postupak nalaženja normalnih formi, za datu iskaznu formulu, pomoću tablica istinitosti, korišćen u primerima 27 i 28, može se uopštiti za svaku iskaznu formulu, bez obzira na broj logičkih promenljivih koje u njoj učestvuju. To se može opisati na sledeći način. Posmatrajmo iskaznu formulu A, u kojoj učestvuje n logičkih promenljivih p i, i = 1, 2,..., n, i za koju je formirana tablica istinitosti. Tablica sadrži 2 n interpretacija S i, i = 1, 2,..., 2 n. Za svaku interpretaciju S i formirajmo konjunkt C i, za koji je τ(c i ) =, dok je τ(c i ) = za svaku interpretaciju S j, j = 1, 2,..., 2 n, j i. Svaki konjunkt je oblika x 1 x 2... x n, pri čemu je x i = p i, ili x i = p i, i = 1, 2,..., n. Izdvojimo sve one konjunkte C i1, C i2,..., C ir, sa osobinom da je τ(c ij ) = τ(a), j = 1, 2,..., r. Tražena disjunktna normalna forma iskazne formule A je A = C i1 C i2... C ir. Svakoj interpretaciji S i, i = 1, 2,..., 2 n pridružimo disjunkt d i, oblika x 1 x 2... x n, pri čemu je x i = p i, ili x i = p i, i = 1, 2,..., n, za koji je τ(d i ) =, dok je za ostale S j, j = 1, 2,..., 2 n, j i, τ(d j ) =. Izdvojimo sve one disjunkte d i1, d i2,..., d it, sa osobinom da je τ(d ij ) = τ(a), j = 1, 2,..., t. Tražena konjunktivna normalna forma iskazne formule A je A = d i1 d i2... d it. Pretpostavimo da za neku nepoznatu iskaznu formulu znamo istinitosne vrednosti za sve moguće interpretacije. Broj interpretacija mora biti oblika 2 n, pa lako zaključujemo da je broj logičkih promenljivih koje učestvuju u njoj n. Koristeći tablice istinitosti, opisanim postupcima za formiranje normalnih formi, možemo da ustanovima i o kojoj je iskaznoj formuli reč. To ćemo ilustrovati u sledećim primerima.

1.6. NORMALNE FORME 27 Primer 29. Neka je nepoznata iskazna formula A data tablicom istinitosti, pri čemu postoje četiri interpretacije. Svakoj interpretaciji odredimo disjunkte i konjunkte sa ranije opisanim osobinama: p q A konjunkt disjunkt 1 p q p q 2 p q p q 3 p q p q 4 p q p q Slika 18. Konjunkti čija je istinitosna vrednost jednaka istinitosnoj vrednosti iskazne formule A su u slučajevima 2 i 3. Zbog toga je disjunktna normalna forma ove formule A = (p q) ( p q). Disjunkti čija je istinitosna vrednost jednaka istinitosnoj vrednosti iskazne formule A su u slučajevima 1 i 3. Zbog toga je konjunktna normalna forma ove formule A = ( p q) (p q). Primer 30. Tablicu istinitosti nepoznate iskazne formule A, u kojoj učestvuju tri logičke promenljive, proširimo konjunktima i disjunktima, po već ranije opisanim kriterijumima: Na osnovu nje je i p q r A konjunkt disjunkt 1 p q r p q r 2 p q r p q r 3 p q r p q r 4 p q r p q r 5 p q r p q r 6 p q r p q r 7 p q r p q r 8 p q r p q r Slika 19. A = (p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r), A = ( p q r) ( p q r) (p q r) (p q r).

28 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATIČKE LOGIKE

Glava 2 Indukcija 2.1 Empirijska indukcija Indukcija je logički način zaključivanja od posebnog ka opštem. Ona leži u osnovi načina ljudskog razmišljanja. Posmatrajući pojedinačne slučajeve neke pojave, čovek teži da donese generalni zaključak o njoj. Bez obzira što on i ne mora biti ispravan, ovakav postupak zaključivanja, koji uključuje prethodno iskustvo, moć zapažanja i intuiciju pojedinca, je od neprocenjive vrednosti za razvoj nauke, a može se slobodno reći i ljudskog uma. Reč indukcija izvedena je od latinskog prevoda izraza na grčkom epagoge, koji je uveo Aristotel. Sam izraz znači da su obuhvaćeni svi slučajevi nedeterminističkog zaključivanja, u kojoj istinitost premisa ne povlači za sobom istinitost zaključaka, iako često pretenduje da bude dovoljan razlog za verovanje u to. U zavisnosti od vrste stavova, na osnovu kojih se izvodi induktivan zaključak, kao i prema samom zaključku, postoje razne podele indukcije. Mi ćemo se u ovoj lekciji osvrnuti, u kraćim crtama, na empirijsku i matematičku indukciju. Empirijska ili nepotpuna indukcija leźi u osnovi naučnog zaključivanja. U suštini, zasniva se na principu da se na osnovu velikog, ali konačnog broja, posmatranja neke pojave donese opšti zaključak o njoj. Naravno, ovakav zaključak predstavlja samo sumnju. Da bi postao zakon, naučna istina, potreban je egzaktan dokaz. Ilustracije radi, navešćemo kroz sledeće primere, zaključke do kojih su došli veliki matematički umovi, ali koji su se kasnije pokazali kao netačni. Naravno, nama nije cilj da ovim primerima umanjimo stepen genijalnosti dotičnih matematičara. Dovoljno je istaći da su mnogi pogrešni zaključci bili motiv velikih otkrića drugih istraživača. Primer 1. Nemački matematičar Lajbnic proučavao je brojeve oblika n k n, u skupu prirodnih brojeva. Uočio je da su brojevi oblika n 3 n deljivi sa 3, 29

30 GLAVA 2. INDUKCIJA brojevi oblika n 5 n deljivi sa 5, brojevi oblika n 7 n deljivi sa 7.Posumnjao je da su brojevi oblika n k n deljivi sa k, kada je k neparan broj. Medjutim, ubrzo je sam otkrio da to ne važi za k = 9. Kasnije je dokazano da su brojevi oblika n k n deljivi sa k, kada je k prost broj. Primer 2. Na osnovu činjenice da su brojevi oblika F n = 2 2n + 1,za n = 0, 1, 2, 3, 4 prosti, francuski matematičar Ferma je zaključio da to važi za svako n 0. Ojler je pokazao da je F 5 složen broj. Landru je dokazao da je F 6 složen broj. Danas je poznato da su F 7,..., F 16 složeni brojevi. Postoji sumnja da su svi brojevi F n za n 5 složeni. Ipak, brojevi ovog oblika igraju značajnu ulogu u raznim matematičkim disciplinama. Tako je, na primer, Gaus dokazao da se pravilan m-tougao može konstruisati samo pomoću lenjira i šestara, ako i samo ako je m prost broj oblika F n = 2 2n + 1. Primer 3. Još pre više od 25 vekova kineski matematičari su posumnjali da je prirodan broj n prost ako i samo ako je broj 2 n 2 deljiv sa n. Lajbnic je došao do istog zaključka. Naime, on je bio mišljenja da broj 2 n 2 nije deljiv sa n ako n nije prost broj. Pokazalo se da su ova mišljenja tačna za n < 341, ali da za n = 341 to ne važi. Primer 4. Ruski matematičar Grave je mislio da za svaki prost broj p broj 2 p 1 1 nije deljiv sa p 2. Pokazalo se da to nije tačno za p = 1093. Nakon ovih primera treba napomenuti da razlog što je empirijska indukcija navela na pogrešan zaključak nije samo u izostanku dokaza, koga je inače često teško konstruisati. Ovde se radi i o velikim brojevima, pa poteškoće nastaju u proveri neke intuitivne sumnje. Tako, na primer, nije ni malo jednostavno proveriti da li je broj 8695847692153748506785746 prost ili nije. 2.2 Matematička indukcija Pretpostavimo da neki iskaz P (n) zavisi od broja n, n N 0. Osnovni princip matematičke indukcije u proveri, tj. dokazivanju istinitosti ovog iskaza može se opisati sledećim koracima. Korak 1: Pokaže se da je P (0) tačno, tj. da je iskaz P (n) istinit kada se promenljivoj n dodeli vrednost 0, tj. n := 0. P (0) je baza indukcije. Baza indukcije može biti i P (1), tj. P (k) za fiksirano k 0. Broj k se naziva baznim elementom. Ako baza P (k) nije istinita ni za jedno k, tj. ako nismo u stanju da pronadjemo konačno k tako da je P (n) istinito za n := k, besmisleno je sprovoditi dalji postupak matematičke indukcije.

2.2. MATEMATIČKA INDUKCIJA 31 Korak 2: Pretpostavićemo da je iskaz P (n) tačan za neko fiksirano n, veće od baznog elementa k. P(n) se naziva induktivnom pretpostavkom ili hipotezom. Može se uvesti i više hipoteza. Naime, može se pretpostaviti da je iskaz P (n) tačan kada se promenljivoj n redom dodeljuju vrednosti n k, n k+1,..., n, gde je k bazni elemenat, koji se još naziva i prag baze. Drugim rečima, pretpostavimo da je iskaz P (n k)... P (n) istinit (tačan). Korak 3: Na osnovu tačnosti baze i induktivne pretpostavke dokazuje se istinitost iskaza P (n + 1), tj. iskaza P (n), za n := n + 1. Drugim rečima dokazuje se istinitost jedne, od implikacija P (n) P (n + 1) ili P (n k) P (n k + 1)... P (n) P (n + 1). Za k = 0 princip matematičke indukcije može da se opiše sledećom teoremom. Teorema 2.1 Za svako n, n N 0, iskaz P (n) je istinit (tačan) ako su ispunjeni sledeći uslovi: 1. P (0) je istinit (tačan) iskaz, 2. Za svako n, n N, P (n) P (n + 1) je istinita (tačna) implikacija. Znamo da je implikacija p q istinita uvek kada je p neistinito. Zbog toga P (0) mora biti istinito, jer u protivnom, ne možemo uvesti pretpostavku da je P (n) istinito za neko fiksirano n, n > 0. Primer 5. Dokazaćemo da za svako n N 0 i svako x 1, važi nejednakost (1 + x) n 1 + nx, u literaturi poznata pod nazivom Bernulijeva nejednakost. Neka je n =: 0. Tada je 1 1, što znači da je P (0) istinito. Takodje, za n := 1 važi 1 + x 1 + x te je i P (1) istinito. Medjutim, ni n := 0 ni n := 1 ne možemo uzeti za prag baze, jer je istinito i 1 1 i 1 + x 1 + x. Za n := 2 važi nejednakost 1 + 2x + x 2 1 + 2x, jer je x 2 0, te sada možemo usvojiti da je P (0), P (1) i P (2) istinito. Pretpostavimo da je nejednakost istinita za neko fiksirano n, n > 0, n := n, tj. da je P (n) istinito. Tada je (1 + x) n+1 = (1 + x) n (1 + x) (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx 2.

32 GLAVA 2. INDUKCIJA Kako je n > 0 i x 2 > 0, to je i nx 2 > 0, konačno dobijamo (1 + x) n+1 1 + (n + 1)x, tj. da je i P (n + 1) istinito. Primer 6. Dokazaćemo da za svako n, n N, važi jednakost 1 2 + 2 2 + + n 2 = n(n + 1)(2n + 1). 6 Označimo sa P (n) iskaz da ova jednakost važi za svako n, n N. Za n := 1 jednakost postaje 1 = 1 2 3 što je tačno. Samim tim, iskaz P (1) 6 je istinit. Pretpostavimo da ova jednakost važi za neko fiksirano n := n, n > 1, tj. da je iskaz P (n) istinit. Tada za n := n + 1 važi jednakost 1 2 + 2 2 + 3 2 + + n 2 + (n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) = + (n + 1) 2 6 = n + 1 (n(2n + 1) + 6(n + 1)) 6 = n + 1 (2n 2 + 7n + 6) 6 (n + 1)(n + 2)(2n + 3) =, 6 pa je iskaz P (n + 1) istinit. Primer 7. Dokažimo da postoji prirodan broj k tako da za svako n, n k, važi nejednakost 2 n > n 2. Neka je P (n) iskaz da ova nejednakost važi. Direktnom proverom otkrivamo da ova nejednakost ne važi za n = 2, n = 3 i n = 4, ali da važi za n = 5. Zbog toga uzimamo da je prag baze k = 5, tj. da je iskaz P (5) istinit. Pretpostavimo da ova nejednakost važi za neko fiksirano n := n, n 5, tj. da je iskaz P (n) istinit. Tada za n := n + 1 važi 2 n+1 = 2 2 n > 2 n 2 = n 2 + 2n + 1 + n 2 2n 1 = (n + 1) 2 + (n 1) 2 2.

2.2. MATEMATIČKA INDUKCIJA 33 Kako je za n 5, (n 1) 2 2, to konačno dobijamo da je 2 n+1 > (n + 1) 2, tj. da je iskaz P (n + 1) istinit. Možemo da zaključimo da posmatrana nejednakost važi za svaki prirodan broj n 5. Primer 8. Dokazaćemo da je za svako n, n N 0, elemenat niza (a n ), n N 0, koji zadovoljava linearnu rekurentnu relaciju a n+2 4a n+1 + 3a n = 0, sa početnim uslovima a 0 = 0 i a 1 = 2, oblika a n = 3 n 1. Označimo sa P (n) iskaz koji predstavlja ovo tvrdjenje. Za n := 0 i n := 1 iskaz P (n) je istinit, tj. iskazi P (0) i P (1) su istiniti, jer su a 0 = 0 i a 1 = 2 oblika a n = 3 n 1. Pretpostavimo da je iskaz P (n) tačan za neko n, n > 1, tj. da je a n koje zadovoljava rekurentnu relaciju, oblika a n = 3 n 1. Tada, na osnovu rekurentne relacije, imamo a n+1 = 4a n 3a n 1 = 4(3 n 1) 3a n 1. Da bismo nastavili induktivni postupak neophodna nam je pretpostavka i za a n 1. Mi smo već pomenuli da induktivni proces može sadržati više pretpostavki, tj. hipoteza. Zbog toga uvodimo i hipotezu da je iskaz P (n 1) takodje istinit, tj. da je a n 1 = 3 n 1 1, za n 1. Sada je a n+1 = 4(3 n 1) 3(3 n 1 1) = 4 3 n 3 3 n 1 4+3 = 9 3 n 1 1 = 3 n+1 1, pa je iskaz P (n) istinit za svako n, n 0. U sledećem primeru ukazaćemo da moramo biti veoma obazrivi prilikom izbora baze, tj. praga baze. Primer 9. Pokušaćemo da dokažemo da za svako n, n N 0, važi jednakost n 2 2n.

34 GLAVA 2. INDUKCIJA Neka je P (n) iskaz da ova nejednakost važi. Za n := 0 ova nejednakost glasi 0 0, pa zaključujemo da je iskaz P (0) istinit. Zanemarimo činjenicu da bismo do istog zaključka došli i ako bismo želeli da dokažemo nejednakost n 2 2n, što automatski isključuje da je P (0) baza. Pretpostavimo da ova nejednakost važi za neko fiksirano n, n := n, veće od nule, tj. da je iskaz P (n) istinit. Za n := n + 1 dobijamo (n + 1) 2 = n 2 + 2n + 1 2n + 2n + 1 2n + 1 + 1 2(n + 1), tj. da je iskaz P (n+1) takodje istinit, kada je 2n > 1. Ali ovo važi za n := 0, a n := 0 nije prag. Naravno, ovaj zaključak je pogrešan. Nejednakost ne važi ni za n := 1. Takodje smo iskoristili nejednaost 2n > 1, koja za n := 0 ne važi, što nismo smeli. P (0) nije prag, koji i ne postoji. Često se koristi i takozvana regresivna indukcija, koju ćemo definisati u sledećoj teoremi. Teorema 2.2 Iskaz P (n) je istinit za svako n N, ako su ispunjeni sledeći uslovi: 1. P (n) je istinit za beskonačno mnogo prirodnih brojeva. 2. Za proizvoljno n, n 1, važi implikacija P (n) P (n 1). Primer 10. Primenom regresivne indukcije dokazaćemo poznatu AG-nejednakost izmedju aritmetičke i geometrijske sredine realnih nenegativnih brojeva a 1, a 2,..., a n a 1 + a 2 + a n n n a 1 a 2 a n. Označimo sa P (n) iskaz da je AG-nejednakost tačna za n, n N. Za n := 1 AG-nejednakost je tačna, jer je a 1 a 1, pa je iskaz P (1) istinit. Kako je a 1 + a 2 2 a 1 a 2 = 1 2 (a 1 a 2 ) 2 0, to je AG-nejednakost tačna za n := 2, tj. iskaz P (2) istinit.

2.2. MATEMATIČKA INDUKCIJA 35 Na osnovu nejednakosti a 1 + a 2 + + a 2n 2n = 1 ( a1 + + a n + a ) n+1 + + a 2n 2 n n a1 + + a n n a n+1 + + a 2n n n ( n a 1 a n n a n+1 a 2n ) 1/2 = = 2n a 1 a 2n, zaključujemo da iz činjenice da su iskazi P (1) i P (2) istiniti i pretpostavke da je iskaz P (n) istinit za neko fiksirano n, n := n, n > 2, važi da je i iskaz P (2n) istinit. Kako je AG-nejednakost tačna za n := 2 i n := 2n, to zaključujemo da je ona tačna i za n := 2 n. Kako za svako k, k N, postoji prirodan broj n, tako da je 2 n > k, to znači da je AG-nejednakost tačna za beskonačno mnogo vrednosti prirodnih brojeva. Pretpostavimo da je iskaz P (n), n > 2, istinit, i da to povlači istinitost iskaza P (n 1). a 1 + + a n 1 n 1 pa je tj. = a 1 + + a n 1 + a1+ +an 1 n 1 n ( a1 + + a n 1 n 1 a 1 + + a n 1 n 1 a n 1 + + a n 1 a 1 a n 1, n 1 ) 1 1 n (a1 a n 1 ) 1 n, n 1 a 1 a n 1. Na osnovu Teoreme 2.2 zaključujemo da AG-nejednakost važi za svako n N.

36 GLAVA 2. INDUKCIJA

Glava 3 Skupovi 3.1 Predstavljanje skupova Pojam skupa spada u fundamentalne pojmove matematike, ali i u one koji nemaju definiciju. Ne postoji definicija ni pojma elemenat skupa. Intuitivno se podrazumeva da je skup proizvoljna, ali lepo opisana, sveukupnost objekata, koji se proučavaju. Skupovi se, najčešće, obeležavaju velikim slovima abecede, a elementi malim. Ako elemenat x pripada skupu X to se označava sa x X, a u suprotnom x / X. Za skupove koje mi proučavamo ne postoji mogućnost da neki element istovremeno priprada i ne pripada istom skupu. Skup se sastoji od medjusobno različitih elemenata, i njihov redosled u nabrajanju nije bitan. Rodjak skupa, u kome se neki elementi ponavljaju, i to tačno onoliko puta koliko je to neophodno za proučavanje nekog problema, naziva se kolekcijom. Ako se kao elementi skupa pojavljuju i skupovi, on se naziva familijom ili klasom ili skupom skupova, što ćemo najčešće koristiti u daljem tekstu. Dva osnovna skupa su prazan skup, u oznaci, i univerzalni skup, u oznaci U. Prazan skup uvek postoji, i on ne sadrži nijedan element. Za univerzalan skup to ne mora da važi, tj. ne mora uvek postojati ili je teško utvrditi njegovu egzistenciju. Tako na primer, ako proučavamo neke pojave vezano za učenike odredjene škole, univerzalni skup su svi učenici te škole. Ako te pojave proučavamo na nivou grada, univerzalni skup čine svi učenici grada. Proučavanje odredjene osobine nad skupovima, koji pripadaju nekom univerzalnom skupu, za koji pretpostavljamo da postoji, a on u biti ne postoji, može prouzrokovati pojavu neotklonjivih paradoksa prilikom zaključivanja. Tako, na primer, ne postoji kao univerzalni skup skup svih skupova. Polazeći od činjenice da takav skup postoji, britanski matematičar i filozof Bertran Rasel došao je do 37

38 GLAVA 3. SKUPOVI neotklonjivog paradoksa, koji ćemo opisati u sledećem primeru. Primer 1. Neka je Y skup svih skupova koji ne sadrže samog sebe kao elemenat Y = {X X / X}. (3.1) Postavlja se pitanje da li Y pripada ili ne ovom skupu. Ako pretpostavimo da Y Y tada na osnovu (3.1) sledi da Y / Y. Ako pretpostavimo da Y / Y tada na osnovu (3.1) sledi da Y Y. U oba slučaja se dolazi do neotklonjivog paradoksa. Primer 2. I ovaj paradoks dolazi od Bertrana Rasela. Vojni frizer šiša sve vojnike koji ne šišaju sami sebe. Postavlja se pitanje: treba li on, kao vojnik, da šiša samog sebe? Razmatranje ovog zadatka prepuštamo čitaocu. Kako smo pomenuli, veoma je bitno da svaki konkretan skup precizno definišemo pomoću njegovih elemenata. To se najčešće obavlja: nabrajanjem elemenata, navodjenjem osobina koje poseduju elementi ili pomoću procedure koja kompletno generiše elemente. 1. Nabrajanjem elemenata X = {x 1, x 2,..., x n }, X = {x 1, x 2,..., x n,...}. 2. Neka elementi skupa X poseduju osobinu P (x). Tada je X = {x x P (x)}, i čita se: X je skup svih elemenata x sa osobinom P (x). 3. Navodjenjem procedure X = {x x := f}. Čita se: X je skup elemenata x koji se generišu pomoću procedure f. Primer 3. Neka je X skup svih nenegativnih neparnih brojeva. Njega možemo definisati na sledeće načine: 1. X = {1, 3, 5,...}, 2. X = {x x = 2k + 1, k N }, N - skup prirodnih brojeva, 3. X = {x x := 1, x := x + 2}.

3.2. OPERACIJE SA SKUPOVIMA 39 Za neke skupove postoje, u literaturi, standardizovane oznake. Tako se, na primer, sa N označava skup prirodnih brojeva, sa N 0 skup prirodnih brojeva kome je pridružena nula, sa Z skup celih brojeva, sa Q skup racionalnih brojeva, sa I skup iracionalnih brojeva, sa R skup realnih brojeva i sa C skup kompleksnih brojeva. 3.2 Operacije sa skupovima U daljem tekstu podrazumeva se da svi posmatrani skupovi pripadaju istom univerzalnom skupu. Definicija 3.1 Skup A je podskup skupa B, u oznaci A B, ako svaki element skupa A pripada skupu B, A B ( x)(x A) (x B). Ako je A B i B A skupovi A i B su jednaki, A = B. Ako je A B i A B, A je pravi podskup skupa B. Definicija 3.2 Komplement skupa A, u oznaci Ā, je skup koji sadrži sve elemente univerzalnog skupa U, koji ne pripadaju skupu A, Ā = {x x U x / A}, tj. a Ā (x U) (x / A). Definicija 3.3 Pod unijom dva skupa A i B, u oznaci A B, podrazumeva se skup koji sadrži sve elemente koji pripadaju ili skupu A, ili skupu B, ili i jednom i drugom skupu, A B = {x x A x B}, tj. ( x)(x A B) (x A) (x B). Definicija 3.4 Pod presekom dva skupa A i B, u oznaci A B, podrazumeva se skup koji sadrži sve elemente koji istovremeno pripadaju i skupu A i skupu B, A B = {x x A x B}. Ako za dva skupa A i B važi A B = oni su disjunktni.