Elektomagnetizam STACIONARNO MAGNETNO POLJE ELEKTROMAGNETNA SILA I VEKTOR MAGNETNE INDUKCIJE decemba 2013
Elektomagnetika- oblast elektotehnike u kojoj se poučavaju jedinstvene elektomagnetne pojave. Magnetne pojave, kao i elektične, odavno su uočene. Međutim, tek početkom XIX veka otkivena je njihova međuzavisnost. Godine 1821. Ested je otkio da magnetna igla (kompas) skeće sa pavca seve-jug, ako se u njenoj blizini nalazi povodnik koz koji potiče elektična stuja. Delovanje elektične stuje nije lokalizovano samo u elektičnom kolu (zagijavanje povodnika, hemijske eakcije u bateiji), već se to djelovanje osjeća i van povodnika. Kažemo da elektična stuja u okolnom postou stvaa magnetno polje. Ekspeimenti ukazuju da ovo magnetno polje, stvoeno stujom (elekticitetom u poketu), ima sve osobine magnetnog polja koje potiče od pemanentnog (stalnog) magneta.
Elektomagnetizam STACIONARNO MAGNETNO POLJE ELEKTROMAGNETNA SILA I VEKTOR MAGNETNE INDUKCIJE Čuveni naučnici toga doba, Ande-Mai Ampe(1775-1836) i Faadej Michael (1791-1867), na osnovu mnogobojnih ekspeimenata, uspijevaju da shvate zakonitosti elektomagnetnih pojava i dolaze do saznanja da nema elektične stuje bez magnetnog polja, niti, magnetnog polja bez elektične stuje. Te dvije pojave su delovi jedne jedinstvene elektomagnetne pojave.
U okolini stalnih magneta i povodnika koz koje potiče elektična stuja opažaju se kaakteistične, zajedničke, pojave: a) Magnetna igla teži da se postavi u odedeni položaj, a gvozdeni i uopšte feomagnetni pedmeti i stalni magneti su podvgnuti dejstvu mehaničkih sila; b) Povodnik koz koji potiče elektična stuja biva podvgnut dejstvu mehaničkih sila, koje nazivamo elektomagnetskim silama; c) U povodnicima koji se elativno keću u odnosu na stalne magnete ili stujna kola indukuju se elektomotone sile.
Magnento polje pedstavlja posebno stanje mateijalne sedine u okolini povodnika sa stujom, odnosno magneta, koje se manifestuje dejstvom magnetne sile na povodnik sa stujom, koji se unese u posto tog polja. Dugim ečima, kada se u povodniku koji se nalazi u stanom magnentom polju, uspostavi stacionana elektična stuja, na njega deluju mehaničke sile, koje teže da ga pokenu i defomišu. (vidljiva manifestacija magnentog polja od fudamentalnog je značaja za ad svih obtnih elektičnih mašina). Sile koje se javljau u pojavama ovakve vste nazivaju se elektomagnentnim silama F, je su ezultat uzajamnog delovanja elektične stuje i magnetnog polja.
Magnetizam u mateijalima
Magnetna polja koja se stvaaju usled potoka stuje koz povodnike navode nas da se pitamo šta to uzokuje da odeñeni mateijali pokazuju jake magnetne osobine. Videli smo da se, na pime, jedan solenoid koz koji potiče stuja ponaša kao da ima N i S pol magneta. Zapavo, svaka stujna petlja ili kontua stvaa magnetno polje i stoga ima magnetni moment dipola, uključujući i stujne kontue na atomskom nivou koje su definisane u nekim modelima atoma. Tako se magnetni momenti namagnetisanih mateijala mogu opisati polazeći od ovih stujnih petlji na nivou atoma. Za Boov model atoma, ove stujne petlje ili kontue se povezuju sa ketanjem elektona oko jezga po kužnim obitama. Takoñe, magnetni moment je svojstven elektonima, potonima, neutonima i ostalim česticama, a potiče od osobine koja se naziva spin, pa je ukupni magnetni moment jednak sumi obitalnog i spin magnetnog momenta.
Magnetni momenti atoma Razmatamo klasični model atoma u kome se elekton keće po kužnoj putanji oko mnogo masivnijeg centalnog dela, koje se naziva jezgo. U ovom modelu, elekton koji kuži oko jezga fomia tanku stujnu kontuu i magnetni moment elektona se povezuje sa ovim obitalnim ketanjem. Mada ovakav model ima mnogo nedostataka, njegova pedviñanja su u doboj saglasnosti sa tačnijom teoijom, definisanoj na nivou kvantne fizike. m Razmatamo ketanje elektona konstantnom bzinom v po kužnoj obiti polupečnika oko jezga. Kako elekton za veme T napavi pun kug (peñe put 2π), to je njegova bzina v = 2π / T. Stuja I koja se povezuje sa ovim kuženjem elektona jednaka je količniku njegovog naelektisanja e i peiode T, I=e/T. Kako je: 2π T = ; ω= ω v
to je: e eω ev I = = = T 2π 2π Magnetni moment ove stujne kontue je m=ia, gde je A=π 2 povšina zatvoena obitom, odnosno: ev m= I A= π 2π 2 = 1 2 ev S obziom da je intenzitet obitalnog ugaonog momenta elektona L= mev, magnetni moment se može izaziti i kao: e m= L 2 m e Magnetni moment elektona je popocionalan obitalnom ugaonom momentu. Kako je elekton negativno naelektisan to su vektoi m i L u supotnim smeovima, i oba vektoa su nomalna na avan obite. Fundamentalno otkiće u kvantnoj fizici je da je obitalni ugaoni moment 34 kvantovana veličina jednaka celobojnim umnošcima h= h / 2π = 1.05 10 Js, gde je h Plankova konstanta.
Najmanja nenulta vednost magnetnog momenta elektona koji potiče od njegovog obitalnog ketanja je: m = 2 Kako sve mateije sadže elektone, pitanje je zašto sve mateije nisu magnetne? Glavni azlog je što se, za najveći boj mateijala, magnetni moment jednog elektona u atomu poništava dugim, koji potiče od elektona koji se keće u supotnom smeu. Kao kajnji ezultat, za najveći boj mateijala je magnetni efekt, koji potiče od obitalnog ketanja elektona, ili jednak nuli ili je vlo slab. Elektoni imaju i svojstvenu osobinu, oketanje oko svoje ose (spin), koja takoñe dopinosi magnetnom momentu. Ugaoni moment spina (iz kvantne teoije) je: m spin 2 e m e h S = 2 3 h
Magnetni moment koji potiče od spina elektona je (naziva se još i Boov magneton): m spin eh = = mb 2m e = 9.27 10 Magnetni momenti atoma se mogu izaziti kao umnošci Boovog magnetona. U atomima koji sadže veliki boj elektona, paovi elektona obično imaju supotne spinove, pa se spin magnetni momenti poništavaju. Kod atoma koji imaju nepaan boj elektona, postoji najmanje jedan nespaeni elekton, te stoga i odeñeni spin magnetni moment. Ukupni magnetni moment atoma jednak je vektoskom zbiu obitalnih i spin magnetnih momenata. Jezgo atoma takoñe ima magnetni moment, usled postojanja potona i neutona. Meñutim, magnetni momenti potona i neutona su mnogo manji od magnetnog momenta elektona, zbog njihove značajno veće mase, i mogu se zanemaiti. 24 J/T
Vekto gustine magnetnog momenta i vekto jačine magnetnog polja Stanje namagnećenosti neke mateije se kaakteiše veličinom koja se naziva vekto gustine magnetnog momenta M (negde i vekto magnetizacije). Definiše se kao količnik ukupnog magnetnog momenta m po jedinici zapemine mateijala. Kao što se može očekivati, ukupna magnetna indukcija u nekoj tački unuta mateijala zavisi i od pimenjene (spoljašnje) magnetne indukcije i od magnetizacije samog mateijala. Posmatajmo neku oblast u kojoj stujni povodnik stvaa magnetno polje indukcije B 0. Ako se sad ta oblast ispuni nekim magnetnim mateijalom, ukupna magnetna indukcija B u oblasti je B= B 0 + Bm, gde je B m magnetna indukcija koja potiče od samog magnetnog mateijala. Ova magnetna indukcija se može izaziti peko vektoa gustine magnetnog momenta M, pa je ukupna magnetna indukcija: B m =µ 0 B = B + 0 µ 0 M
Kada se analizia magnetna indukcija koja potiče od magnetizacije mateijala, pogodno je uvoñenje jedne nove veličine, koja je nazvana jačina magnetnog polja H unuta mateije. Jačina magnetnog polja izažava efekt koji povodne stuje u povodnicima imaju na mateijal. Jačina magnetnog polja je vekto koji se definiše kao: H = B µ 0 0 = B µ 0 M Na osnovu ovog izaza, ukupna magnetna indukcija je: B=µ 0( H+ M ) U vakuumu je M = 0, pa izmeñu vektoa magnetne indukcije i vektoa jačine polja postoji posta veza: B=µ 0 H Jedinice za vekto gustine magnetnog momenta i vekto jačine magnetnog polja su iste, ampe po metu, A/m.
Da bi bolje azumeli ove elacije, azmatajmo oblast tousa kod tousnog namotaja koz koji potiče stuja I. Ako je ta oblast vakuum, onda je M = 0 (zato što nije pisutan magnetni mateijal), pa je ukupna magnetna indukcija jednaka onoj koja potiče od stuje B= B0 = µ 0 H. Kako je u oblasti tousa B = 0 n I, gde je n boj navojaka po jedinici dužine, to je: 0 µ B0 µ 0n I H = = = µ µ 0 U ovom slučaju, magnetna indukcija u oblasti tousa je usled stuje u namotaju tousa. Ako je sad tous od nekog mateijala, pi čemu i dalje potiče ista stuja I koz namotaj, jačina magnetnom polja H u tousu ostaje nepomenjena (je zavisi samo od stuje) i ima vednost ni. Ukupna magnetna indukcija B se, meñutim, azlikuje od one kada je u tousu bio vakuum. Deo magnetne indukcije µ 0 H potiče od potoka stuje koz namotaj, a deo µ 0 M potiče od magnetizacije mateijala od kojeg je tous napavljen. 0 n I
Klasifikacija magnetnih mateijala U zavisnosti od svojih magnetnih osobina, svi mateijali se mogu podeliti na ti gupe: paamagnetici; dijamagnetici; feomagnetici. Atomi mateijala paamagnetika i feomagnetika imaju stalne magnetne momente. Atomi dijamagnetika nemaju stalne magnetne momente. Kod paamagnetika i dijamagnetika, vekto gustine magnetnog momenta je popocionalan jačini magnetnog polja. Ako se ovi mateijali nalaze u pisustvu spoljašnjeg magnetnog polja, za njih važi: M = χ H gde je χ bezdimenziona veličina koja se naziva magnetna susceptibilnost. M
Za paamagnetike, χ je pozitivno i vektoi M i su u istom smeu. Za dijamagnetike, χ je negativno pa je M H u supotnom smeu od. Važno je napomenuti da je ova lineana zavisnost izmeñu M H i H ne važi za feomagnetike. Vekto magnetne indukcije se može izaziti i peko susceptibilnosti: B = µ H+ M ) = µ ( H+ χh ) = µ (1+ 0( 0 0 χ B=µ H =µ µ 0 Konstanta µ se naziva magnetna (apsolutna) pemeabilnost i ima istu fizičku piodu kao µ 0 : µ = µ 0 (1+ χ) Konstanta µ se naziva elativna magnetna pemeabilnost mateijala, neimenovan je boj, i za sve magnetne mateijale, sem za dijamagnetike, je veća od 1: H µ = 1 + χ = µ / µ 0 ) H
Vednost elativne magnetne pemeabilnosti za pojedine gupe magnetnih mateijala su: za paamagnetike je > 1 za dijamagnetike je za feomagnetike je µ µ µ < 1 >> 1 Magnetni efekti dijamagnetnih i paamagnetnih mateijala su zanemaljivo mali. Za elektotehniku, posebno važnu gupu magnetnih mateijala čine feomagnetici, u koje spadaju gvožñe, nikl i kobalt.
Feomagnetizam Pod feomagnetnim se podazumeva mala gupa mateijala, kod kojih atomi imaju stalne magnetne momente i pokazuju jake magnetne efekte. Ovi mateijali imaju atomske magnetne momente koji teže da se postave paalelno jedni dugima, čak i u slučajevima slabih magnetnih polja. Nakon što se magnetni momenti postave u odeñenom smeu, mateija će ostati namagnetisana i nakon ukidanja spoljašnjeg polja. Ovo pisutno uavnjavanje ili upavljivanje je posledica jakih spega izmeñu susednih momenata, što se može objasniti samo na nivou kvantne fizike. Kaakteistično za feomagnetike je to što se odlikuju velikim vednostima elativne magnetne pemeabilnosti, čak i peko 100000 za neke specijalne legue. Takoñe, magnetna pemeabilnost feomagnetika nije konstantna veličina za dati mateijal, je ne postoji lineana zavisnost izmeñu vektoa B i H, kao kod paamagnetika i dijamagnetika.
Svi feomagnetni mateijali se sastoje od mikoskopskih oblasti koje se zovu domeni. Domen je oblast u kojoj su svi vektoi magnetnih momenata poavnati. Ovi domeni imaju zapeminu oko 10 12 do 10 8 m 3 i sadže 10 17 do 10 21 atoma. Domeni azličitih ojentacija magnetnih momenata su meñusobno odvojeni ganicama domena. U nemagnetisanom uzoku, domeni su poizvoljno ojentisani tako da je ukupni magnetni moment jednak nuli. Kada se uzoak nañe pod uticajem spoljašnjeg magnetnog polja, magnetni momenti domena teže da se postave u smeu polja, što za ezultat ima namagnetisani uzoak.
Istaživanja su pokazala da se domeni, koji su u početku imali ojentaciju u pavcu kasnije uspostavljenog spoljašnjeg magnetnog polja B 0, šie na ačun onih domena sa dugačijom ojentacijom vektoa magnetnog momenta. Nakon što se ukloni spoljašnje magnetno polje, uzoak može zadžati ukupnu gustinu magnetnog momenta u smeu spoljašnjeg polja. Pi uobičajenim tempeatuama okoline, vibacije kistala usled tempeatue nisu dovoljne da nauše ovu željenu ojentaciju magnetnih momenata. Metod za ekspeimentalno odeñivanje kaakteistika magnećenja: Mateijal koji se ispituje se koisti za pavljenje tousa, oko koga se namota N navojaka žice. Navojci koji su cno obojeni na slici se odnose na pimani namotaj. Sekundani namotaj (cvena boja), koji je povezan sa galvanometom, se koisti za meenje ukupnog magnetnog fluksa koz tous (posebna vsta galvanometaa koji se još naziva i teslameta se koisti za meenje magnetne indukcije). Magnetna indukcija u tousu se mei povećavanjem jačine stuje u tousnom namotaju od 0 do I.
Sa pomenom stuje u pimanom namotaju, menja se magnetni fluks BA koz sekundani namotaj, gde je A povšina popečnog peseka tousnog namotaja. Usled pomene magnetnog fluksa, u sekundanom namotaju se indukuje elektomotona sila koja je popocionalna bzini pomene fluksa. Ako je galvanometa odgovaajuće kalibisan, može se izmeiti odgovaajuća vednost magnetne indukcije B koja odgovaa bilo kojoj vednosti stuje koz pimani namotaj. Magnetna indukcija B se mei pvo u odsustvu tousa (jezga), a zatim sa tousom (jezgom). Magnetne osobine tousa se dobijaju poeñenjem ezultata ova dva meenja. Neka je tous napavljen od nemagnetisanog gvožña. Ako se stuja u pimanom namotaju povećava od 0 do neke vednosti I, jačina magnetnog polja H će se lineano povećavati sa I pema izazu: H = n I
Vednost magnetne indukcije B se takoñe povećava sa povećanjem stuje, što je na slici pikazano kivom od tačke O do tačke a. U tački O, domeni gvožña su poizvoljno ojentisani ( B m = 0 ). Kako poast stuje u pimanom namotaju uzokuje povećanje spoljašnjeg polja B 0, domeni se upavljaju u smeu tog polja sve dok se svaki od njih ne usmei ka smeu B 0 (tačka a). U ovoj tački je magnetna indukcija u jezgu od gvožña dostigla satuaciju, uslov koji se postiže kad se svi domeni u gvožñu poavnaju. Kiva magnećenja feomagnetnog mateijala
Neka se sad stuja koz pimani namotaj smanji na nulu, što znači da će nestati i spoljašnjeg polja B 0. B(H) kiva, ili kiva magnećenja, sad sledi put ab na kivoj magnećenja. U tački b, magnetna indukcija nije jednaka nuli iako je spoljašnje polje B 0 =0. Ovo je usled toga što je gvožñe sada namagnetisano, veliki boj domena je upavljen, pa je B=B m. Za ovu tačku se kaže i da gvožñe ima zaostali ili emanentni magnetizam, a indukcija u toj tački je emanentna indukcija i često se označava sa B. Ako stuja u pimanom namotaju pomeni sme, menja se i sme jačine spoljašnjeg magnetnog polja i magnetne indukcije, domeni se peojentišu sve dok uzoak ponovo ne bude nemagnetisan (tačka c), kada je B=0. Jačina magnetnog polja pi kojoj se to dešava se naziva koecitivno polje H c. Povećanje invezne stuje uzokuje da se gvožñe magnetiše u supotnom smeu, sve dok indukcija ne dostigne satuaciju u tački d. Slična sekvenca dogañaja se dešava kada se stuja sada vaća na nulu i dalje povećava u pozitivnom smeu. U ovom slučaj, kiva magnećenja sledi put def sa slike. Ako se stuja dovoljno poveća, kiva magnećenja se vaća u tačku a, u kojoj je uzoak maksimalno namagnetisan.
Opisani ciklus, koji se naziva magnetni histeezis ili ciklus histeezisa, pokazuje da magnetizacija feomagnetnog mateijala zavisi od istoije mateijala, kao i od pimenjenog polja. Još se i kaže da feomagnetik ima memoiju zato što ostaje namagnetisan i kad se ukloni izvo spoljašnjeg magnetnog polja. Zatvoena petlja na B(H) kivoj se naziva i histeezisna petlja. Njen oblik i veličina zavisi od feomagnetnog mateijala i od maksimalne jačine pimenjenog polja. Razlikuju se tvdi (slika a) i meki feomagnetici (slika b):
Za tvde feomagnetike je kaakteistično da imaju šioku histeezisnu petlju i veliku vednost emanentne indukcije. Takvi mateijali se teško demagnetizuju pomoću spoljašnjih polja. Pogodni su za izadu pemanentnih magneta. Meki feomagnetici imaju usku histeezisnu petlju i malu vednost emanentne magnetne indukcije, pa ih je lako namagnetisati i demagnetisati (azmagnetisati). Idealni mek feomagnetik ne pokazuje histeezisno ponašanje, te stoga nema emanentnu indukciju. Najčešće se koiste za izadu tansfomatoa i elektičnih mašina, je su gubici usled histeezisa sazmeni povšini njegovog ciklusa. Feomagnetni mateijal se može azmagnetisati povoñenjem mateijala koz nekoliko histeezisnih petlji, pi čemu se svaki put menja maksimalna jačina spoljašnjeg magnetnog polja.
Definicije magnetne pemeabilnosti feomagnetika Kada se nactaju ciklusi histeezisa za azličite vednosti maksimalne jačine magnetnog polja H m i njihovi vhovi u pvom kvadantu povežu, dobija se kiva koja se naziva osnovna kiva magnećenja. Odnos magnetne indukcije i jačine polja na osnovnoj kivoj magnećenja definiše nomalnu pemeabilnost feomagnetika: µ = Difeencijalna pemeabilnost se definiše kao difeencijalni količnik u nekoj tački kive magnećenja: µ = B H db dh
Početna pemeabilnost je difeencijalna pemeabilnost pvobitne kive magnećenja u koodinatnom početku. Kad se pilikom snimanja kive magnećenja poces pomene jačine polja za tenutak zaustavi i jačina polja pomeni za malu vednost H u supotnom smeu i zatim vati na pvobitnu vednost, obazovaće se jedna mala histeezisna petlja. Količnik: µ definiše evezibilnu pemeabilnost. u = B H
Paamagnetizam Paamagnetni mateijali imaju malu, ali pozitivnu vednost magnetne susceptibilnosti koja potiče od pisustva atoma koji imaju stalne magnetne momente. Ovi momenti meñusobno slabo eaguju i u odsustvu spoljašnjeg polja su poizvoljno ojentisani. Kada se paamagnetni mateijal nañe u pisustvu spoljašnjeg magnetnog polja, magnetni momenti atoma (ili jona) teže da se upave u smeu polja. Ovaj poces se odvija istovemeno sa temičkim ketanjem atoma koje teži haotičnoj aspodeli magnetnih momenata. Piee Cuie je ekspeimentalno pokazao da je, pod odeñenim (i ne tako malobojnim) uslovima, magnetizacija (odnosno gustina magnetnog momenta) paamagnetnog mateijala popocionalna pimenjenom magnetnom polju i obnuto popocionalna apsolutnoj tempeatui: M = C Ova elacija je poznata kao Kiijev zakon, a C je Kiijeva konstanta. B T 0
Zakon pokazuje da je za B 0 =0 gustina magnetnih momenata jednaka nuli, M=0, što odgovaa poizvoljnoj ojentaciji magnetnih momenata. Kako odnos B 0 /T postaje veći, M dostiže svoju satuacionu vednost, što odgovaa potpunoj upavljenosti magnetnih momenata, i jednačina više nije opavdana. Kad tempeatua feomagnetika dostigne ili pevaziñe Kiijevu tempeatuu, mateijal gubi svoju peostalu magnetizaciju i postaje paamagnetik. Ispod Kiijeve tempeatue, magnetni momenti su upavljeni i mateijal je feomagnetik. Iznad Kiijeve tempeatue, dominantno je temičko ketanje koje uzokuje poizvoljnu ojentaciju momenata. mateijal gvožñe kobalt nikl gadolinijum Fe 2 O 3 T Cuie (K) 1043 1394 631 317 893
Dijamagnetici Pimenom spoljašnjeg magnetnog polja na dijamagnetni mateijal, pojavljuje se slabi magneti moment u smeu koji je supotan pimenjenom polju. Ovo uzokuje da dijamagnetni mateijali budu slabo odbijeni od magneta. Iako je ovaj efekt pisutan u svim mateijalima, mnogo je manji od efekata kaakteističnih za paamagnetike ili feomagnetike, i postaje uočljiv jedino kada dugi efekti ne važe. Kod klasičnog modela atoma, petpostavimo da dva elektona kuže oko jezga u supotnim smeovima, ali istom bzinom. Kako su magnetni momenti elektona jednaki po intenzitetu, ali supotnih smeova, oni se meñusobno poništavaju. Kada se pimeni spoljašnje magnetno polje, na elektone ne deluje više samo elektostatička sila usled potona u jezgu, već i dodatna sila qv B. Ova dodatna sila, zajedno sa elektostatičkom, povećava obitalnu bzinu elektona čiji je magnetni moment antipaalelan polju i smanjuje bzinu elektona čiji je magnetni moment u smeu polja. Magnetni momenti elektona više se ne poništavaju, a mateijal ima ukupni magnetni moment koji je supotan pimenjenom polju.
Dijamagnetici su: dvo, voda, piolitički gafit, bizmut, sebo, zlato,...
Ganični uslovi na azdvojnoj povšini mateijala sa azličitim magnetnim osobinama A n 1 B 2 B 1 n 2 B da= A B Da bi odedili ponašanje nomalnih komponenata vektoa magnetne indukcije, pimenićemo zakon o konzevaciji magnetnog fluksa. Ako h teži nuli, fluks vektoa magnetne indukcije se svodi samo na osnovice valjka, pa je: 1 n1 A+ B2 n2 A= Ako se uvede zajednički jedinični vekto n1= n2= n, onda je: B n= B n 1 2 0
odnosno: B n B2n 1 = 1. uslov Nomalne komponente vektoa magnetne indukcije s jedne i duge stane ganične povšine su jednake. 2 1 l 2 l 1 Ponašanje tangencijalnih komponenata jačine magnetnog polja se može lako odediti ako se Ampeov zakon pimeni na elementanu pavougaonu kontuu ABCD. ABCD H dl = H 1 l1+ H 2 l2 = Ako je l1= l 2= l, pethodna elacija je: H l = H l 1 2 0
Jednačina može biti zadovoljena samo ako su tangencijalne komponente vektoa jačine magnetnog polja jednake: H tg H 2tg 1 = 2. uslov Pošto u lineanim i izotopnim magneticima važi veza B=µ H, 1. uslov se može napisati u fomi: µ = 3. uslov 1 H1n µ 2H 2n Nomalne komponente vektoa jačine magnetnog polja skokovito se menjaju pi polasku koz ganičnu povšinu. Ganični uslov 2 se može napisati u fomi: B1 tg B2tg = 4. uslov µ µ 1 2
Tangencijalne komponente vektoa elektične indukcije se skokovito menjaju koz ganičnu povšinu. B1tg B2tg tg α1 = tgα 2 = α B 1 1 B B µ 1 µ 2 B 2 α 2 1n tg α 1 = tgα Pi pelazu iz sedine sa većom magnetnom pemeabilnošću u sedinu sa manjom magnetnom pemeabilnošću, linije magnetnog polja se piklanjaju ka nomali. 2 µ µ 1 2 2n Deobom ova dva izaza i uz ganične uslove 1 i 4, dobija se zakon pelamanja linija magnetnog polja: