ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 /6
Σήματα- συμβολισμοί 5 5 4 4 3 3 2 2 - -4-3 -2-2 3 4 5-2 3 4 5 6 7 8-2 -2-3 -3 x()=, x(-),x(), x(),. x()={,-2,-3,-,,, 2, 3, 4, } x()={x()}={,x(-),x(), x(),.} x()={,-2,-3, -,,, 2, 3, 4, } 2/6
Συμβολισμοί (συνέχεια) 5 4 3 2 x(5)= 2 x()=? x(5)=? x(-)? x(2)? - 2 3 4 5 6 7 8-2 -3 x()= -3 3/6
Βασικές ψηφιακές πράξεις Πρόσθεση {x ()}+{x 2 ()}={x ()+x 2 ()} Πολλαπλασιασμός Κλιμάκωση Μετατόπιση Αναδίπλωση {x ()}.{x 2 ()}={x ().x 2 ()} a{x()}={ax()}, x(/n) y()={x(-k)}, {x(+k)} y()={x(-)} Iσχύς σήματος E x =Σx()x * ()=Σ x() 2 Συσχέτιση - DFT Συνέλιξη φιλτράρισμα 4/6
Μετατόπιση y()=x(- d ) x() -3-2 - 2 3 x(-2) - 2 3 4 5 2 5/6
Αναδίπλωση y()={x(-)} 5 4 3 2-7 -6-5 -4-3 -2 - - 2 3 4 5 6 7 8-2 -3 6/6
Συσχέτιση Η ετεροσυσχέτιση r xy (k) των ακoλουθιών x() και y() είναι μια ακολουθία που ορίζεται ως εξής: Εάν y()=x() η συσχέτιση r xx ονομάζεται αυτοσυσχέτιση r xy (k) = x()y( + k) = x() rxx () = x()x() = = 5-2 4 6 8 2 4 6 y() ryy () = y()y() = = 5 x()*y() - 2 4 6 8 2 4 6.5 -.5 2 4 6 8 2 4 6 rxy () = x()y() = = 2.5 7/6
Συσχέτιση (συνέχεια) συντελεστής συσχέτισης ρ xy (k) είναι η τιμή της συσχέτισης κανονικοποιημένη ως προς τις τιμές r xx () και r yy () που είναι και οι μέγιστες τιμές των r xx (k) και r yy (k): ρ xy ( k) = [r xx r Συνήθεις εφαρμογές: αποκάλυψη της περιοδικότητας σε σήματα με θόρυβο, εύρεση της καθυστέρισης σε δύο όμοια σήματα (πχ. Radar) xy () r (k) yy ()] / 2 8/6
Συσχέτιση -Τυχαίοι αριθμοί 4 2 Η ακολουθία -2-4 2 4 6 8 5 5 5-4 -2 2 4-5 - -5 5 ιστόγραμμα συσχέτιση 9/6
Συσχέτιση -παράδειγμα.5 x().5 y() -.5 -.5-5 5-5 5 2 y()+oise.6.4.2 r xy (2) συσχέτιση - 5 5 -.2 5 5 Το μέγιστο της συσχέτισης είναι στο r xy (2). Δηλ το σήμα y() έχει 2 χρονικές στιγμές καθυστέρησης σχετικά με το x() 5 /6
Βασικά ψηφιακά σήματα Ένασήμαδιακριτούχρόνουx() είναι μία ακολουθία αριθμών και παριστάνεται ως : x()={x()}={,x(-),x(), x(),.} ={-3,-2,,, -, 2, -3, 4 } δ() Μοναδιαία κρούση (ώθηση) u() Μοναδιαία βαθμίδα Εκθετική ακολουθία πραγματικών x()=a ήμιγαδικώνx()=e (σ+jω) τιμών Ημιτονικό σήμα /6
δ() Μοναδιαία κρούση (ώθηση) δ() δ() = = δ( o ) = = o o δ() ο 2/6
δ() Μοναδιαία κρούση παράδειγμα Να σχεδιασθούν τα σήματα:.5 x()=δ()+δ(-)+δ(-2)+δ(-3) 2 4 3 x()=2δ()+3δ(-)-δ(-3) 2 2 4 3 3/6
δ() και x() Μία οποιαδήποτε ακολουθία x() μπορεί να παρασταθεί σαν ένα σταθμικό άθροισμα συναρτήσεων δ() x() = k= x(k)δ( k) x() 3 2 x()=δ()+3δ(-)+2δ(-2)+δ(-3) 2 4 4/6
u() - Μοναδιαία βαθμίδα u() u() = < u( ο ) = < ο ο u(-2) Σχέση u() και δ() : u( ) και = δ( m) m= δ( ) = u( ) u( ) 5/6
Μοναδιαία βαθμίδα -παράδειγμα u() Να σχεδιασθούν u(- ) x()=u(-) x()=u(2-) u(2- ) 3 6/6
παράδειγμα (συνέχεια) Να σχεδιασθεί το σήμα x()=u()-u(-2) x() 2 = u() u( 2) = δ(m) δ(m) = δ(m) m= m= m= = δ() + δ( ) u() u(-2) Γραφικά: x() 7/6
παράδειγμα (συνέχεια) Να σχεδιασθεί το σήμα x()=u()u(2-) u() Γραφικά: u(2- ) x() 3 8/6
παράδειγμα (συνέχεια) Να σχεδιασθεί το σήμα x()=u(-)+u(-2) u(- ) u(-2) x() 3 9/6
Εκθετική συνάρτηση (ακολουθία) Πραγματικών x()=α Ή μιγαδικών τιμών x()=α (σ+jω).8.6 x=.5.4.2 2 4 6 8 2 2/6
Ημιτονικό σήμα x()= )=Acos(ω ο ) Η ψηφιακή συχνότητα ω μετρείται σε rad/δείγμα Η αναλογική Ω μετρείται σε rad/sec x() = x(t) t= T = Α cos(ωt) t= s T s = Α cos(ωτ s ) = Αcos(ω) x() Τ s ω=ωτ s ω=2πf/f s 3 2/6
Περιοδικότητα ημιτονικού σήματος x() Υπάρχει περιοδικότητα?? Αe jω =Αe j(+n)ω e j(nω) ==e j2πm Nω=2πm ω=2πm/n. Εάν ω/2π δεν είναι ρητός αριθμός η μεν περιβάλλουσα αντιστοιχεί στο ημιτονικό σήμα, τα σημεία όμως του ψηφιακού σήματος δεν παρουσιάζουν περιοδικότητα. 22/6
Περιοδικότητα ημιτονικού σήματος - παραδείγματα x()=συν(2) Εδώ είναι ω=2 2π 2π = = π = άρρητος ω 2 μή περιοδικό x()=συν(3π/5) 2π ω = ω=3π/5 2π = 3π / 5 3 23/6
Ψηφιακά Συστήματα (Επεξεργαστές) x() διέγερση L[. ] y() απόκριση Γραμμικά συστήματα Αμετάβλητα με το χρόνο Αιτιατά Ευσταθή 24/6
Ψηφιακά Συστήματα (παράδειγμα) Τι είναι ένα σύστημα??? Παράδειγμα: Φίλτρο μέσης τιμής 3 σημείων L[. ] Πως περιγράφεται?? Παράδειγμα y() = x() + x( ) + 3 x( 2) 2 25/6
Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα (ΓΧΑ LTI) 26/6
Γραμμικά (liear) συστήματα Ορισμός: L[a x ()+a 2 x 2 ()]=a L[x ()]+a 2 L[x 2 ()] για κάθε a, a 2, x, x 2 x () Σύστημα y () x 2 () Σύστημα y 2 () x ()+x 2 () Σύστημα y ()+y 2 () 27/6
Γραμμικά (liear) συστήματα (παράδειγμα ) Το σύστημα που περιγράφεται από την Ε.Δ y()=3x()-4x(-) είναι γραμμικό διότι: Για x y =3x()-4x(-) Για x2 y2 =3x2()-4x2(-) Για x=x +x2 y=3[x()+x2()] 4 [x(-)+x2(-)] = [3x()-4x(-)] +[3x2()-4x2(-)] =y()+y2() 4 28/6
Γραμμικά συστήματα (παράδειγμα 2) x() Σύστημα y() =[x()] 2 Το σύστημα αυτό δεν είναι γραμμικό διότι: Για x () y ()= [x ()] 2 Για x 2 () y 2 ()= [x 2 ()] 2 Για x()=x ()+x 2 () y()= [x ()+ x 2 ()] 2 Αλλά : [x ()] 2 +[x 2 ()] 2 [x ()+ x 2 ()] 2 Διατήρηση της συχνότητας (αντι)παράδειγμα: x()=si(ω) y()= si 2 (ω) = ½ +½ cos(2ω) 29/6
Συστήματα χρονικά αμετάβλητα (time-ivariat systems) Oρισμός: Εάν y()=l{x()} y(-k)=l{x(-k)} Σχηματικά: x() Σύστημα y() x(-κ) Σύστημα y(-κ) 3/6
Άλλες ιδιότητες Αιτιατότητα : h()= για < Ευστάθεια: φραγμένη είσοδος φραγμένη έξοδος BIBO stability αναγκαία και ικανή συνθήκη: h() < 2 4 6 8 3/6
Πως περιγράφονται τα LTI συστήματα 32/6
Περιγραφή ΓΧΑ (LTI) συστημάτων Τα συστήματα που θα περιγράψουμε θεωρούμε ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητα της χρονικής μετατόπισης (liear timeivariat) ΓΧΑ (LTI) Περιγράφονται: Με την κρουστική απόκριση - συνέλιξη Με την εξίσωση διαφορών Με την συνάρτηση μεταφοράς (πεδίο z) 33/6
Τι είναι δ() Σύστημα h() 34/6
Υπολογισμός της h() Άμεσα: από την εξίσωση διαφορών Παράδειγμα y()=.5y(-)-.85y(-2)+x() Αρα για x()=δ() y()=h() h()=δ()= h()=.5h()+=.5 h(2)=.5 h()-.85h()=. Παρατήρηση: =.5 x.5-.85 x =.4 Δεν είναι υποχρεωτικό να βρίσκεται η h() από την εξίσωση διαφορών. δ() h() 35/6
y() Συνέλιξη - εισαγωγικά = x() h() y() = + k= x(k)h( k) αφορά ΓΧΑ-LTI συστήματα x ()+x 2 () Σύστημα y ()+y 2 () x() = k= x(k)δ( k) Σύστημα y() = k= x(k)h( k) 36/6
Συνέλιξη ΔΗΛΑΔΗ Για συστήματα ΓΧΑ (LTI) ηέξοδοςβρίσκεται ως η συνέλιξη της εισόδου με την κρουστική απόκριση: y() = κ= x(k)h( k) 37/6
Γραφική θεώρηση της Συνέλιξης y() = κ= x(k)h( k) x(k) h(k) h(-k) x(k)*h(-k) y() = x(k)h( k) κ= = = 38/6
Γραφική θεώρηση της Συνέλιξης y() = κ= x(k)h( k) x(k) h(-k) x(k)*h(-k) y() = x(k)h( k) κ= = +.5 =.5 39/6
Γραφική θεώρηση της Συνέλιξης y() = κ= x(k)h( k) 2 = y( ) x(k)h( 2 k) = +. 5 + (. 5) = κ=... y( 7 ) = Μήκος συνέλιξης =μ+ν- 4/6
υπολογισμός συνέλιξης - παράδειγμα x()=.5.5.5.5.5 h()=.3.25.2.5..5 --- ----------------------------------------------------------------------------- x(k) =.5.5.5.5.5 h(-k) =.5..5.2.25.3 y()=x.3=.3 h(-k) =.5..5.2.25.3 y()=x.25+x.3=.55 h(2-k) =.5..5.2.25.3 y(2)=x.2+x.25+x.3 y(3)=..9 y(4)=...85 y(5)=...775 y(6)=...675 y(3)=.5x.5=.25 4/6
Παράδειγμα 2 Δίνεται x()=u()-u(-) και h()=.9 u() Ζητείται η απόκριση y() H συνέλιξη των δύο σημάτων είναι 9 k y() = ()(.9) u( k) =.9.9 k= 9 k= k u( k) < Στην περίπτωση αυτή u(-k)= για κ 9 y()= <9 Εχουμε u(-k)= για κ y() =.9.9.9.9 (+ ) k + =.9 = (.9 k= ) 9 Στην περίπτωση αυτή u(-k)= για κ 9 y() =.9 9 k=.9 k =.9 9 k= (.9 ) k =.9.9.9 =.9 9 (.9 ) 42/6
Υπολογισμός συνέλιξης με πίνακα.5..5.2.25.3 h Χ.5.5.5.5.5.3.3.3.3.3.5.5.5.5.5.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.2.2.2.2.2......5.5.5.5.5.75.75.75.75.75......5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.25.25.25.25.25 To άθροισμα σε κάθε λωρίδα αποτελεί τα σημεία της h() h()=.3, h()=.25+.3 h(3)=.25 43/6
Απόδειξη (ερμηνεία) της συνέλιξης -σύνοψη Βασίζεται στα εξής: Κάθε σήμα αναλύεται σε άθροισμα Επειδή το σύστημα είναι ανεξάρτητο του χρόνου για κάθε επιμέρους απόκριση ισχύει L[δ()]=h() x() = k= L[δ(-k)]=h(-k) x(k) δ( k) x(k)δ(-k) L[. ] x(k)h(-k) Επειδή το σύστημα είναι γραμμικό για το άθροισμα των όρων ισχύει y() = = x(k)h( k) 44/6
συνέλιξη - κάτι ακόμη.. Αν h() = γιά < και x() = γιά < Τα όρια της συνέλιξης γίνονται: y() = = + k = + k = x (k )h( x (k )h( k ) k ) = k = x (k )h( k ) 45/6
Συνδυασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σε σειρά: y()= h ()* h 2 ()*x()= h 2 ()* h ()* x() (προσεταιριστική ιδιότητα) x() h () h 2 () y() Παράλληλα: y()= [h ()+ h 2 ()]*x()= h ()*x()+ h 2 ()*x() (επιμεριστική ιδιότητα) x() h () h 2 () y() 46/6
αποσυνέλιξη Εστω y()=x()*h() x() x() x(2)..x(k) h() h() h(2)..h(k) x() x() x(2)..x(k) h(k).. h(2) h() h() h(k).. h(2) h() h() h(k).. h(2) h() h() y()=x()h() y()=x()h()+x()h() y(2)=x()h(2)+x()h()+x(2)h() h(k).. h(2) h() h() y()=x()h()+x()h(-)+. h () = x() h () = x() y() { y() x()h() } = h() x() y() k= x( k)h(k ) 47/6
Παράδειγμα x =2 3 4 y =2 7 4 7 3 6 h () = x() y() = 2 / 2 = { y() x()h() } = { 7 3 } 2 h() = x() 2 = { y(2) x()h() x(2)h() } = { 4 3 2 4} 2 h(2) = x() 2 = { y(3) x(3)h() x(2)h() x()h(2) } = { 7 4 2 3 2} h(3) = x() 2 = Τελικά h= 2 2 48/6
Εξισώσεις Διαφορών (Ε Δ) Ένα LTI σύστημα περιγράφεται από μία γενική εξίσωση διαφορών N M ak y( k) = b mx( m) k= m= y()-.5y(-)+.85y(-2)=x() ισοδύναμα γράφεται y() = M m= b N m x( m) a k y( k) k = y()=.5y(-)-.85y(-2)+x() 49/6
Η εξίσωση συστήματος διαφορών δίνει την πλήρη Οι αρχικές συνθήκες y(-k) γενικά είναι μη μηδενικές περιγραφή του 5/6
παράδειγμα y()-y(-)+.5y(-2)=x() διέγερση: x()=si(2π/6+π/6) u() αρχικές συνθήκες y(-)=y(-2)= 2 το σήμα εισόδου x() - -2-2 2 4 6 8 2 4 6 8 2 2 Η απόκριση y() - -2-2 2 4 6 8 2 4 6 8 2 2 5/6
Οι δύο αποκρίσεις 2 y() - -2-2 2 4 6 8 2 4 6 8 2 ημερικήλύσηπουείναι ένα ημίτονο με πλάτος=2 και η λύση της ομογενούς 2 2 y(μερική) - y(ομογενής) - -2-2 -2 2 4 6 8 2 4 6 8 2-2 2 4 6 8 2 4 6 8 2 --> 52/6
Μεταβατικές αποκρίσεις Η λύση της ομογενούς Ε.Δ σχετίζεται με τα φαινόμενα που εμφανίζονται στην αρχή (ή στο τέλος) ενός σήματος Ουσιαστικά αυτή είναι η μεταβατική απόκριση και "επισκιάζει" την σταθερή απόκριση που συνήθως είναι και η επιθυμητή x() y() Το σήμα του σχήματος (α) είναι ένα συνημίτονο με περιόδους (2 σημεία) που εμφανίζεται την χρονική στιγμή =2. Όπως φαίνεται στο (β) η απόκρισηείναι ουσιαστικά μόνο η μεταβατική απόκριση που εμφανίζεται στην αρχή και στο τέλος του σήματος. 53/6
Εξισώσεις διαφορών και διαγράμματα βαθμίδων Μία εξίσωση διαφορών παριστάνεται και με ένα διάγραμμα βαθμίδων όπου τα στοιχεία είναι αθροιστές, πολλαπλασιαστές και καθυστερητές y()=.8y(-)+x() x() y().8 T 54/6
Άλλο παράδειγμα Ποιό είναι το διάγραμμα βαθμίδων για την Ε.Δ: y() = 2 [x() + x( )] 55/6
Κρουστικήαπόκρισηκαιεξ. διαφορών Εάν δίνεται η h() μπορεί να βρεθεί η Ε.Δ?? Παράδειγμα Να βρεθεί η Ε.Δ όταν δίνεται η κρουστική απόκριση h()=δ()+.5δ(-)+.δ(-2) Αντικαθιστώντας h() y() και δ() x() έχουμε: y()=x()+.5x(-)+.x(-2) 56/6
Παράδειγμα 2 Δίνεται η h()=a u() Να βρεθεί η y()~x() h(-)=a - u(-) ah(-)=a u(-) h()-ah(-)=a u()- a u(-) = a [u()-u(-)] = a δ() = δ() (?) y()-ay( ay(-)= x() 57/6
Εξισώσεις διαφορών και διαφορικές εξισώσεις Oι Ε.Δ μπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχονται από Διαφ. Εξισώσεις Όπως ένα ψηφιακό σύστημα από ένα αναλογικό Παράδειγμα R Το RC κύκλωμα περιγράφεται από την dy(t) x(t) Διαφ. Εξίσωση: RC + y(t) = x(t) dt Προσέγγιση της παραγώγου δίνει: y() y( ) RC + y() = x() T Που μπορεί βέβαια να γραφεί σαν ΕΔ ως εξής: y()=ay(-)+bx() C + y(t) _ 58/6
Βηματική απόκριση μπορεί να υπολογισθεί από την εξίσωση διαφορών θέτωντας x()=u() απότηνκρουστικήαπόκρισηδ() βάσει της σχέσεως m= u ( ) = δ ( m) s( ) = h( m) m= 59/6
FIR (Fiite Impulse Respose) y() M = b m= m x( m) h() IIR (Ifiite Impulse Respose) y() = M m= b N m x( m) aky( k) k= h() 6/6