6. STREDNÁ ELIPSA CHÝ Na rozdiel od kaitoly 4.4 uebnice itterer L.: Vyrovnávací oet kde ú araetre eliy trednej chyby odvodené alikáciou zákona hroadenia tredných chýb v tejto kaitole odvodíe araetre trednej eliy chýb zo vzahov riešenia norálnych rovníc. V ka. 5. ú uvedené vzahy na výoet tredných chýb vyrovnaných úradníc bodu P(y x y a x (5.6 δ a x δ kde a ú váhové koeficienty ktoré ležia na y diagonále inverznej atice váhových koeficientov (5.7 a σ je jednotková tredná chyba (aoteriórna A T yx ( ( N. xy Váhové koeficienty viee tiež vyoíta riešení neznáych dy a dx z rovnice (5. T PAz A PA. S ohado na oi vektorov a atíc nar. v ka. 5. ajú norálne rovnice tvar ( dy ( dx ( dy ( bb dx a b. (6. Neznáe dy a dx vyoítae eliinanou etódou. Prvú rovnicu vynáobíe koeficiento a rioítae k druhej rovnici (6.. Druhú rovnicu vynáobíe koeficiento bb a rioítae k rvej rovnici (6.. Striedavo vylúie dy a dx dx b a dy a b. (6. bb bb Zjednodušený zái rovníc (6. bude ( dx ( dy bb. b.. a.. Poda vety koeficient neznáej v olednej redukcii je zárove jej váhou latí re váhy neznáych y x bb... (6.3 Rovnice (5.6 ôžee oto tiež naía y σ σ. 66
x σ σ. (6.4 bb. Urave rvé leny rovníc (6. bb. bb bb.. (6.5 Rovnice (6.4 ktoré vyjadrujú tredné chyby úradníc ohado na rovnice (6.5 zaíšee y σ σ bb x σ σ. (6.6 Stredná olohová chyba bude σ ( bb y x. (6.7 Ak za koeficienty a b z ka. 5. doadíe coϕ i cc a i ρ a i b inϕ i cc i ρ dotanee re výraz v zátvorke rovnice (6.7 i bb ρ ( co ϕ in ϕ ( co ϕ in ϕ... n ρ.... (6.8 n Podobne je ožné uravi aj výraz v enovateli rovnice (6.7 i ke bude zložitejší. Konštantná hodnota v rovnici (6.7 znaená že bude lnená re rôzne hodnoty tredných chýb úradníc. Výraz v zátvorke rovnice (6.7 je závilý iba od vzdialenotí i oderaných o urený bod. Podobne aj výraz je závilý od vzdialenotí a erníkov ϕ i. Chcee vedie ako a ení tredná chyba v jednotlivých eroch a kde leží jej axiálna hodnota. Predokladáe že extréne hodnoty ležia na úradnicových oiach ootoeného úradnicového ytéu Y X o uhol ψ oroti ytéu Y X (obr. 6.. V alších vzahoch v záuje zjednodušenia rovníc nebudee uvádza váhový koeficient. Pre túto olohu otoeného úradnicového ytéu o uhol ψ budú erové koeficienty co ρ ( ϕ ψ a ich úet štvorcov in ρ ( ϕ ψ ( ϕ ψ co ( ϕ ψ ( ϕ ψ co co n ρ.... n Najrv rovnice (6.9 rozviniee oda ravidiel gonioetrických funkcií re rozdiel uhlov uocníe a oítae (6.9 67
ρ ( coϕ inϕ a b a a co ψ ab b in ψ ( co ψ ( ab in ψ ( in ψ a bb. (6. Podobne dotanee Obr. 6.. Stredná elia chýb ( ϕ ψ in ( ϕ ψ ( ϕ ψ in in n ρ... n ρ b ( inϕ coϕ b a b b co ψ ab a in ψ ( bb co ψ ( ab in ψ ( in ψ b. (6. Stredné chyby re ootoený úradnicový yté Y X o uhol ψ budú σ y σ ( bb co ψ ( in ψ ( ab in ψ (6. σ σ ( co ψ ( bb in ψ ( ab in ψ x. Aby hodnoty tredných chýb na ounutých oiach ali extréne hodnoty ich rvá derivácia uí by rovná nule. Za tý úelo otaí derivova itateov v rovniciach (6.. (6.3 Po derivácii rovníc (6. a (6. dotanee 68
( ( ab co ψ ( bb Po úrave oboch derivácií vyoítae uhol ψ ( in ψ ( ab co ψ ( bb in ψ ( in ψ ( ab co ψ bb ab tgψ. (6.4a ( bb ( ( ab co ψ ( bb in ψ ( in ψ ( ab co ψ ( bb in ψ ( ab co ψ ab tgψ. (6.4b Uhol ootoenia hlavnej oi trednej eliy chýb bude ψ arctg ab ab yx arctg bb bb arctg.. (6.5 V záuje vyriešenia rovníc (6. urave gonioetrické funkcie tak aby e využili funkcie (6.5. Do rovníc (6. doadíe výrazy co ψ co ψ in ψ co ψ ke (6.6 co ψ tg ψ ab ( 4( ab ( ( 4( ab C (6.7 C 4 ab. kde ( ( Z rovníc (6.4 a (6.7 vyjadríe funkciu ab ab in ψ tgψ co ψ. (6.8 C C alšie funkcie ú 69
co ψ C C bb in ψ C co ψ C C bb co ψ. (6.9 C Rovnice (6. a (6. o doadení funkcií budú C ab C bb ab bb C C C C( bb ( 4( ab ( bb C ( bb C C C bb C (6. ke ( ( ( C 4 ab. Analogicky uríe bb C b. (6. Stredné chyby v novo úradnicovo ytée oda rovníc (6.6 budú bb C y σ. (6. bb x σ C Stredná olohová chyba bude rovnaká ako v rovnici (6.7 σ ( y x bb. Hodnota výrazu C (6.7 je vždy kladná. Maxiu z rovníc (6. bude a tá rovnica v ktorej je C a bb C ax σ re er hlavnej olooi ψ ψ (6.3 a iniu -C b bb C in σ re er vedajšej olooi g ψ ψ. (6.4 Elia vyjadrená araetrai a b v rovniciach (6.3 a (6.4 a nazýva tredná elia chýb. Ak budee otune eni er ψ úradnicového ytéu eliy trednej chyby a hodnoty y x vyoítané z rovníc úätnice eliy y a co ψ b in ψ (6.5 7
x a in ψ b co ψ zobrazíe na úradnicových oiach dotanee uzavretú krivku ktorá zobrazuje trednú chybu urenia olohy bodu vo všetkých eroch. Grafické zobrazenie rozloženia trednej chyby okolo uritého bodu zjednodušene zobrazujee eliou araetrai a b z ktorej je odvodená úätnica. Ak ri vyrovnaní oužívae aticové riešenie je výhodné vyoíta olooí eliy tredných chýb a b oužití váhových koeficientov (5.6 y σ x σ. (6.6 Poda rovnice (6.4 je (6.4 dotanee a b σ bb a. Po doadení a do rovníc (6.3 a σ (6.7 rio je vždy > (kladné a rovná a ( (. (6.8 4 yx Ser ψ vyjadríe vzaho yx tgψ. (6.9 Kvadrant erníka hlavnej oloi trednej eliy chýb závií od znaienka yx v atici N - (kovariancie σ yx. Ak hodnota yx je kladná er hlavnej olooi trednej eliy chýb je. alebo 3. kvadrante. Ak hodnota yx je záorná je. alebo 4. kvadrante. Poocou rovníc (6.7 vyoítae araetre eliy a b aj re body vyrovnané kuinovo nar. ri výote olygónu vyrovnaní MNŠ. Pre rvý bod oužijee váhové koeficienty. Pre druhý bod 33 44 34 a odobne aj re alšie body. Ak a b ide o trednú kružnicu chýb oloero r a b. Príklady na výoet araetrov trednej eliy chýb nájdee v kaitole 5. 7