Karakteristične kontinualne funkcije Laplasova transformacija

Karakteristične kontinualne funkcije Laplasova transformacija

Signali Fizikalne karakteristike signala ćemo opisati matematičkim modelima koji će s dovoljno tačnosti prikazati osnovna svojstva realnih signala. Signali imaju prostornu i vremensku raspodelu. Informacija je sadržana u onom parametru signala koji poprima promenljivu vrednost. Ta promena zavisi od karaktera i količine informacije. Signali kod kojih su nosioci informacija samo koordinate mesta nazivamo konfiguracijama. Ako je informacija opisana samo vremenskom koordinatom ili vremensko prostornim koordinatama onda se signali kojima se prenose takve informacije nazivaju zbivanja. Pomoću tih koordinata opisujemo i fizikalna svojstva signala odnosno tako razlikujemo signale po njihovim fizikalnim svojstvima (pritisak zvuka, električni napon, temperatura itd.).

Signali Elementarne podprocese spajaju energetski, materijalni i informacioni tokovi tj. procesni signali. Procesne signale karakterišu pokazatelji stanja, kao što su: masa, protok, napon, struja, pritisak, temperatura itd. Pokazatelji stanja procesnih signala su merljive veličine. Signali su vremenske, prostorne funkcije koje pored svog fizičkog iznosa i konkretnog efekta na okruženje uvek nose sa sobom i informacije. Analizom informacionog sadržaja signala utvrđuje se stanje i ispunjenost tehnoloških zahteva u tehnološkom procesu. U tehničkim sistemima signal je uvek fizička veličina koja je usmerena tj. ima svoj izvor i odredište. Sa stanovišta upravljanja procesima značaj uvek ima informacioni, a ne materijalno-energetski karakter signala.

Informacija je deo saznanja kojim se smanjuje ili u potpunosti odstranjuje neka neizvesnost. Npr. neizvesnost u oceni stanja nekog tehnološkog procesa može se otkloniti samo ako se poseduje određena količina informacija o procesu. Informacije koje nosi signal kvantitativno se mogu iskazati preko parametara signala. Informacije iz signala dobijaju se odabirom i obradom podataka o parametrima signala. Podaci o signalima tj. stanjima tehnološkog procesa prikupljaju se posmatranjem, logičkim zaključivanjem i merenjem parametara signala. Povećavanje informatičkog sadržaja signala može se postići matematičkim preslikavanjem funkcionalnih zavisnosti signala iz vremenskog domena u neki drugi često imaginarni domen kao što je npr. kompleksna ravan.

Karakteristike rada sistema u vremenskom domenu su jako bitne, pošto se i ponašanje sistema automatskog upravljanja prati u toku vremena. Iz tog razloga odziv sistema u vremenskom domenu je od primarnog značaja, a sa njim i određene karakteristike. Pre svega, potrebno je utvrditi da li je sistem stabilan. Ako jeste, pobuđuje se određenim pobudnim signalom, meri se (registruje) odziv i na taj način se dolazi do podataka o određenim merama performansi. Pošto je stvarni pobudni signal nekog sistema unapred nepoznat, to se za određivanje mera performansi koriste standardni pobudni test signali.

Postoji nekoliko razloga koji opravdavaju ovakav postupak: postoji korelacija između odziva na test signal i ponašanja sistema u realnim uslovima; koristeći iste ulazne signale moguće je uporediti različita rešenja nekog problema i izabrati najbolje; realni ulazni signali su veoma slični standardnim test signalima.

Signal jediničnog skoka Ovo je signal koji je najlakše generisati i grafički predstaviti. Mnogi ulazni signali objekta upravljanja se mogu približno aproksimirati ovom funkcijom (uključivanje napona u električnom kolu, skokovita promena sile u mehaničkom sistemu, zakret kormila broda u cilju promene pravca ). Pretpostavka je da ovaj signal ima vrednost jedan od trenutka posmatranja (t=0) što je dato na sledećoj slici. Ovaj signal se obično opisuje sa: f ( t) 1: t f 0 = 0 : tp 0 Funkcija jediničnog skoka

Treba primetiti da funkcija nije definisana za t=0, jer je pretpostavka da se u tom trenutku vrednost skokovito promeni sa nula na jedan. To predstavlja matematičku idealizaciju jer je za takvu promenu neophodno neko, ma koliko kratko, vreme. Funkcija se često označava i sa 1(t). Napomena: Od interesa je navesti i zakašnjenu jediničnu funkciju za vrednost τ, gde je τ konstanta. Ova funkcija se zapisuje u obliku 1(t-τ), a predstavljena je grafički na slici.

Impulsna funkcija - impulsni signal Ova funkcija se jednostavno dobije diferenciranjem funkcije jediničnog skoka. Za lakše razumevanje oblika ove funkcije pogodno je poći od njene aproksimacije date na sledećoj slici. Aproksimacija impulsne funkcije

Ova aproksimacija odgovara razlici dve odskočne funkcije sa skokom 1/ε pri čemu je druga zakašnjena za ε u odnosu na prvu. U graničnom slučaju kada ε teži vrednosti nula dobija se impulsna funkcija. Ona se obično označava sa δ i piše u obliku: 0; t 0 δ = lim δ *( t) = ε 0 ; t = 0 δ ( t) dt = 1.

Iz zadnjeg se vidi da funkcija ima beskonačnu vrednost za t=0 ali je istovremeno površina ispod funkcije konačna i jednaka 1. Ona se grafički obično predstavlja kao na slici. Bez obzira na neuobičajenu matematičku definiciju ova funkcija je pogodna za aproksimaciju nekih signala. Signali intenzivnih smetnji koji su vrlo kratkog trajanja (snažni ali kratki udari vetra na letelicu, kratkotrajan kratak spoj u električnoj mreži i slično) mogu se dosta uspešno aproksimirati ovom funkcijom.

Linearna (rampa) funkcija Ako se uzme integral jedinične odskočne funkcije dobije se funkcija čija vrednost raste linearno u vremenu od vrednosti nula, koju ima u trenutku t=0. Ova funkcije se predstavlja izrazom: f ( t) t; t f 0 = 0; tp 0 Očigledno se takođe može predstaviti sa: f(t)=t*1(t). Grafički je ova funkcija predstavljena na sledećoj slici.

Sa dijagrama je očigledno zašto se ova funkcija naziva i brzinskom funkcijom. Ona je pogodna za predstavljanje signala koji se karakterišu konstantnom promenom (ugao zakreta osovine motora koja se obrće konstantnom brzinom). Specifičnost ove funkcije je to što sa vremenom njena vrednost teži prema beskonačnosti.

Eksponencijalna funkcija Polazi se od eksponencijalne funkcije at f ( t) = e ; af 0; e 2.718 Tangenta na krivu u t=0 ima nagib određen prema: df dt at d( e ) = = a. dt t= 0 t= 0

Kako je eksponent neimenovan broj zgodno je usvojiti T=1/, jer se dobije konstanta koja ima dimenziju vremena. Tada je: a df dt t= 0 = 1. T Očigledno za veće vrednosti T funkcija f(t) ima sporiju promenu (opadanje prema stacionarnoj vrednosti). Važi i obrnuto za poznat oblik f(t) može se odrediti vrednost T. Funkcija je grafički predstavljena na sledećoj slici.

Funkcija je očigledno različita od nule za t<0, pa je od većeg praktičnog značaja njena modifikacija data sa: f t e t T t/ T ( ) = (1 )1( ); f 0. Grafik ove funkciju je dat na sledećoj slici.

Tangenta na krivu u t=0 ima nagib određen prema: df d e dt dt T t/ T (1 ) 1 t= 0 = t= 0 =.

Očigledno za veće vrednosti T funkcija f(t) ima sporiji porast prema stacionarnoj vrednosti. Važi i obrnuto; za poznat oblik f(t) može se odrediti vrednost T. Takođe iz izraza: f T 1 ( ) = 1 e = 1 0.368 = 0.632 se vidi da funkcija za t=t ima vrednost 63.24% od vrednosti ( stacionarnog stanja). f ( ) = lim f ( t) t

Sinusna funkcija Ova funkcija u slučaju jedinične amplitude se može napisati u obliku: f ( t) sin ωt; t f 0 = 0; t p 0 Funkcija je osnova za kompletnu frekvencijsku analizu. Fenomeni oscilovanja promenljive bilo da se radi o ulaznom delovanju, smetnji ili signalu koji generiše sam sistem od posebnog su interesa. Veličine bitne za kompletno predstavljanje ovih funkcija su: amplituda, frekvencija i fazni pomak.

U odnosu na osnovnu funkciju (sa jediničnom amplitudom, jediničnom frekvencijom i nultim faznim pomakom) na sledećim slikama su dati prikazi iste za: amplitudu 1.5, dvostruko veću frekvenciju i fazno kašnjenje za jedan radijan, respektivno. Napomena: Režim oscilacija sa konstantnom amplitudom je samo specijalan slučaj režima oscilovanja sa promenljivom amplitudom (rastućom ili opadajućom).

Transformacija - definicija Transformacija -- matematička konverzija iz jednog načina razmišljanja u drugi kako bi se olakšalo rešavanje problema problem u originalnom načinu razmišljanja transformacija rešenje u transformisanom načinu razmišljanja inverzna transformacija rešenje u originalnom načinu razmišljanja

problem u vremenskom domenu Laplasova transformacija rešenje u s domenu inverzna Laplasova transformacija Rešenje u vremenskom domenu Druge transformacije Fourijeova z-transformacija wavelets (talasići)

Laplasova transformacija Korisno je a vrlo često i jako važno analizirati performanse i stabilnost novoprojektovanog sistema pre nego što se on napravi i implementira. Većina tehnika za analizu oslanja se na korišćenje transformisanih promenljivih kako bi se olakšao matematički pristup problemu. U analizi vremenski kontinualnih dinamičkih sistema dominira korišćenje Laplasove transformacije. Primena Laplasove transformacije je analogna korišćenju logaritma da se uproste neki tipovi matematičkih manipulacija i rešenja. Primenom logaritma brojevi se transformišu u stepene broja 10 ili neke druge osnove, npr. prirodni logaritam. Kao rezultat te transformacije, matematičko množenje i deljenje se zamenjuju sabiranjem i oduzimanjem respektivno.

Slično tome, primenom Laplasove transformacije u analizi sistema koji mogu da se opišu linearnim diferencijalnim jednačinama prevazilaze se neki od problema kompleksnosti rešenja takvih jednačina u vremenskom domenu. Laplasova transformacija se koristi za pretvaranje relacija iz vremenskog domena u skup jednačina koje se izražavaju preko članova Laplasovog operatora 's'. Stoga, rešavanje originalnog problema se Laplasovom transformacijom prevodi u jednostavne algebarske manipulacije po 's' u Laplasovom domenu.

u(t) Diferencijalna jednačina sistema y(t) U(s) Prenosna funkcija sistema Y(s) Definicija -- prenosna funkcija je izraz koji povezuje izlaz sa ulazom u s-domenu

Vremenski domen linearna diferencijalna jednačina rešenje u vremenskom domenu Laplasova transformacija inverzna Laplasova transformacija Laplasova transformisana jednačina algebra Laplasovo rešenje Laplasov domen ili domen kompleksne frekvencije

Problemi analize i sinteze svakog dinamičkog elementa/sistema redovno su vezani za rešavanje diferencijalnih jednačina. Jedan od najjednostavnijih postupaka rešavanja tih jednačina je vezan za primenu Laplasove transformacije. Iz tog razloga biće ukratko date teoretske osnove ove transformacije i neke jednostavnije primene. Definicija Za posmatrani kontinualan signal (funkciju) f (t), 0 t p, Laplasova transformacija je definisana sa st L f ( t) F( s) e f ( t) dt. { } = = 0

Nakon operacije integracije nestaje nezavisna promenljiva t, pa ostaje samo zavisnost od promenljive s. Kompleksna promenljiva s = σ + jω je takva da izraz e st u zadnjoj jednačini predstavlja prigušenje. Navedeni integral će konvergirati ako realna vrednost promenljive s zadovoljava uslov σ f σ a, gde je σ a realna pozitivna konstanta za koju važi sat e f ( t) dt p. 0

Za većinu signala u sistemima upravljanja ne mora se posebno voditi računa o ovom problemu. Uvedena transformacija prevodi funkciju f(t) (original) definisanu u vremenu u kompleksno područje F(s) (slika). Napomenimo još da je transformacija ograničena na funkcije koje zadovoljavaju uslov f(t)=0, t<0. Takve se funkcije nazivaju kauzalnim. Za poznatu funkciju F(s) korišćenjem inverzne Laplasove transformacije moguće je odrediti original prema { ( )} st L F s = f ( t) = e F( s) ds 2π j 1 1 σ + j σ j

Koristeći definicioni izraz može se odrediti Laplasova transformacija funkcija f(t) koje se pojavljuju u sistemima. Za složenije originale je računanje definicionog integrala složeno. Iz tog razloga se određivanje Laplasove transformacije složenijih funkcija svodi na izračunavanje preko transformacije elementarnih funkcija uz korišćenje pravila koja važe za Laplasovu transformaciju.

Laplasova transformacija elementarnih funkcija Funkcija jediničnog skoka U skladu sa definicijom Laplasove transformacije važi: st st 1 st 1 0 1 F( s) = L{ 1( t) } = e 1( t) dt = e dt = e = ( e e ) = s 0 s s 0 0 Napomena: Na isti način se može pokazati da za Laplasovu transformaciju odskočne funkcije nejediničnog skoka a važi a L{ a1( t) } = F( s) =. s

Impulsna funkcija Prema definiciji Laplasove transformacije i impulsne funkcije važi: { } F( s) L δ ( t) e st δ ( t) dt δ ( t) dt 1 = = = = 0 0 Na sličan način se mogu odrediti Laplasove transformacije složenijih funkcija. U tim slučajevima moguće su računske greške kod izračunavanja odgovarajućih integrala. Iz tog razloga se često koriste tablice Laplasovih transformacija elementarnih funkcija.

Tablica Laplasove transformacije elementarnih funkcija

Osobine Laplasove transformacije 1. Linearnost l l L ai fi ( t) = aifi ( s) i= 1 i= 1 2. Vremensko (transportno) kašnjenje sτ L f ( t τ ) = e F( s) { }

3. Pomeranje kompleksnog lika (prigušenje originala) { at } L e f ( t) = F( s + a) 4. Laplasova transformacija izvoda L = s F s s k k i 1 d f ( t) k k i d f ( t) ( ) k i 1 dt i= 1 dt

Specijalno u slučaju prvog izvoda je očigledno df ( t) L = sf( s) f ( t) t dt = 0 5. Laplasova transformacija integrala t 1 L f ( τ ) dτ = F( s) s 0

6. Izvod kompleksnog lika k d F( s) k ds { k } k = ( 1) L t f ( t). Isto svojstvo se češće koristi u obliku tako da odgovara množenju originala linearnom funkcijom. Tada je prethodnu jednačinu zgodno transformisati na k { k } k d F( s) L t f ( t) = ( 1). k ds k =1 Specijalno za važi ( ) L{ tf ( t) } = ( 1) df s ds

7. Teorema početne vrednosti lim f ( t) = lim F( s) t 0 s 8. Teorema konačne vrednosti lim f ( t) = lim sf( s) t s 0

Odrediti Laplasovu transformaciju funkcija datih u narednim primerima 2 f ( t) = a + bt + ct, a, b, c = const Rešenje: Prema osobini linearnosti i izvodu kompleksnog lika imamo 2 { ( )} = { 1( )} + { } + { } L f t L a t L bt L ct 1 d( ) 1 L{ bt} = bl{ t1( t) } = b s = b 2 ds s 1 d( ) 2 2 1 L{ ct } = cl{ t * t} = c s = c 3 ds s F( s) = a + b + c. 2 3 s s s

f ( t) = cos( at) Rešenje: d(sin at) dt = a cos at odatle sledi 1 d(sin at) cos at =. a dt Sada je očigledno da važi: 1 d(sin at) 1 a s L at L s a dt a s + a s + a { cos } = = = 2 2 2 2

Inverzna Laplasova transformacija Već je navedeno da je za poznatu funkciju F(s) korišćenjem inverzne Laplasove transformacije moguće odrediti original prema { ( )} st ( ) ( ) L F s = f t = e F s ds 2π j 1 1 σ + j σ j Računanje inverzije po ovom izrazu je veoma komplikovano pa se ista određuje na drugi način. Kao osnova se koristi poznavanje inverzne Laplasove transformacije elementarnih funkcija, već datih tabelom Laplasove transformacije.

Dalje ćemo posmatrati likove koji su oblika količnika polinoma: ( ) F s ( ) ( ) P s b s +... + b s + b = = n Q s s + a s + + a s + a m m 1 0 n 1 n 1... 1 0 n f m gde je jer se u teoriji sistema najčešće susreću ovakve funkcije. Podsetimo da su nule polinoma P(s) i Q(s) nule i polovi funkcije F(s), respektivno.

Za nalaženje inverzne Laplasove transformacije su od posebnog interesa polovi funkcije koji predstavljaju rešenja jednačine: Q s = s + a s +... + a s + a = 0 ( ) n n 1 n 1 1 0 Zavisno od tih polova se razlikuje nekoliko slučajeva kod određivanja inverzne Laplasove transformacije koji su dalje navedeni.

Svi polovi su realni i prosti (jednostruki) U ovom slučaju se F(s) može napisati u obliku: ( ) F s = ili u obliku : P( s) ( s s )( s s ) ( s s ) 1 2... n ( ) F s K K 1 2 = + + + ( s s ) ( s s ) ( s s ) 1 2 Kn... n K i Koeficijenti se lako određuju metodom neodređenih koeficijenata. Nakon toga se inverzna Laplasova transformacija direktno dobija iz tablice Laplasovih transformacija.

Postoje konjugovano kompleksni polovi Pretpostavimo da pored realnih postoje i kompleksni polovi funkcije F(s). U tom slučaju F(s) se može predstaviti u obliku: K s + K K K = + +... = + +... 1 2 ( ) F ( s) F s 3 3 2 1 s + as + b s s1 s s1 Određivanje inverzne Laplasove transformacije od F(s) je sada specifično samo za komponentu F1 ( s) koja ima par konjugovano kompleksnih polova. Istu je potrebno svesti na oblik ( ) F s = K s + K 1 2 1 2 2 ( ) s + α + β

α α β 2 α ; α β 2 2 = a + = Vrednosti i je lako odrediti iz. Za poznate i se F s lako napiše u obliku: ( ) F s β ( ) ( + α ) + ( s ) ( s ) K s K α K = + + α + β + α + β 1 2 1 1 2 2 2 2 1 b Obe komponente funkcije su sada u obliku da se direktno mogu odrediti njihovi originali.

Postoje višestruki polovi Uzmimo da F(s) ima trostruki realan pol u jednostruki. Tada F(s) treba napisati u obliku: s = s 1 a da su ostali polovi ( ) F s K K K = + + + 11 12 13 2 3 1 1 1 ( s s ) ( s s ) ( s s ) ( ) R s gde R(s) odgovara komponentama koje su posledica svih preostalih polova. Očigledno se računanje u ovom slučaju svodi na korektnu primenu osobine o diferenciranju kompleksnog lika jer je svaki član koji odgovara trostrukom polu, oblika diferencijala prethodnog.

Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcija datih u narednim primerima s + 1 F ( s) = 2 s + 2s Rešenje: Funkcija ima dva realna i prosta pola direktno napisati u obliku: F s = K K s + s + 2 ( ) 1 2 s = 0, s = 2 1 2 pa se može

Postupkom neodređenih koeficijenata lako se dobije: s + 1 K K = + 2 2 1 2 2 s + s s s + 1 1 K1 = ; K2 = 2 2 1 1 1 1 f ( t) = L + = 1( t) + e 2s 2( s + 2) 2 2 1 2 t ( ) ( s + 1) = K s + 2 + K s 1 2 s + 1 = K s + 2K + K s 1 1 2 ( ) s + 1 = s K + K + 2K 1 = 2K K = 1 1 1 2 1 1 2 1 = K + K K = 1 2 2 1 2

( ) = 2 F s s s + 5 + 2s + 10 Rešenje: Polovi funkcije su: s = 1+ j3, s = 1 j3 1 2 Funkciju treba transformisati u oblik ( ) F s = s + 5 ( ) 2 2 s + α + β

Tada je 2α = 2 α = 1; 2 2 α β β + = 10 = 3. ( ) F s s + 5 s + 1 4 = = + + 1 + 3 + 1 + 3 + 1 + 3 ( s ) ( s ) ( s ) 2 2 2 2 2 2 4 ( ) t t f t e = cos3t + e sin 3t 3

Operacije Laplasove transformacije - podsetnik f ( t ) F( s ) f '( t ) sf( s) f (0) t f ( t ) dt F( s) 0 s αt e f ( t) F( s α) f ( t T) u( t T) st e F( s) f (0) lim sf( s) lim f ( t) t O-1 O-2 + O-3 O-4 s lim sf( s) s 0 *Poles of sf( s) must have negative real parts. * O-5 O-6

Operacije kod rešavanja diferencijalnih jednačina L[ f '( t)] = sf( s) f (0) 2 L[ f "( t)] = s F( s) sf (0) f '(0) L t f ( t) dt = 0 F( s) s

Procedura rešavanja diferencijalnih jednačina 2 d y dy 2 1 0 b + b + b y = f ( t) 2 dt dt 2 d y dy L b2 + b 2 1 + b0 y = L f ( t) dt dt 2 b2 s Y s sy y [ ] 1 0 [ ] ( ) (0) '(0) + b sy ( s) y(0) + b Y ( s) = F( s) Y ( s) F( s) sb y(0) + b y '(0) + b y(0) = + b s b s b b s b s b 2 2 1 2 2 2 + 1 + 0 2 + 1 + 0

Primer: dy 2y 12 dt + = y (0) = 10 dy L + 2L[ y] = L[ 12] dt 12 sy ( s) 10 + 2 Y ( s) = s 12 ( s + 2 ) Y ( s) = 10 + s Y ( s) 10 12 = + s + 2 s( s + 2)

12 A 1 A2 = + s( s + 2) s s + 2 12 12 = = = A s 1 s ( s 2) s 2 + s= 0 + s = 0 6 A 2 12 12 = ( s + 2) 6 s( s 2) = = s + s= 2 s= 2 Y ( s) 10 6 6 6 4 = + = + s + 2 s s + 2 s s + 2 y( t) = 6 + 4 2t e

t=0:.01:.5; y=6+4*2.71.^(-2*t); plot(t,y); grid t=0:.01:5; y=6+4*2.71.^(-2*t); plot(t,y); grid

?? * Materijal pripremljen za korišćenje u nekomercijalne obrazovne svrhe u skladu sa Članom 44. Zakona o autorskim i srodnim pravima - ("Sl. glasnik RS", br. 104/2009 i 99/2011)