OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof dr Stanko Br i email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16
Sadrºaj 1 Sloºeno naprezanje grede 2 Primeri primene Metode sila
Sadrºaj 1 Sloºeno naprezanje grede 2 Primeri primene Metode sila
Sloºeno naprezanje grede Naprezanja grednog nosa a Naprezanja grednog nosa a mogu da se svrstaju u dve grupe 1 osnovna naprezanja 2 sloºena naprezanja U osnovna naprezanja grednog nosa a spadaju - aksijalno naprezanje - isto pravo savijanje - torzija - savijanje grede silama Ako je gredni nosa izloºen istovremenom dejstvu dva ili vi²e osnovnih slu ajeva naprezanja, onda je takvo naprezanje kombinovano ili sloºeno
Sloºeno naprezanje grede Naprezanja grednog nosa a Sve jedna ine kojima se opisuju osnovni slu ajevi naprezanja su linearne Prema tome, naponi i deformacije pri kombinovanom naprezanju dobijaju se primenom zakona superpozicije Na primer, isto koso savijanje je kombinacija dva ista prava savijanja Takože, ekscentri no naprezanje pretstavlja kombinaciju aksijalnog naprezanja i jednog ili oba ista prava savijanja
Primer sloºenog naprezanja Ose y i z su glavne centralne ose inercije popre nog preseka Pravo savijanje silama u dve ravni (to je koso savijanje silama) Aksijalno naprezanje
Sloºeno naprezanje grede Komponentalni naponi pri sloºenom naprezanju grede Posmatra se ²tap punog popre nog preseka Usvaja se da je osa ²tapa ozna ena sa x, dok sy y i z glavne centralne ose inercije popre nog preseka tap je izloºen proizvoljnom prostornom optere enju, tako da se u popre nim presecima javlja svih ²et sila u preseku: N, T y, T z, M t, M y, M z
Sloºeno naprezanje grede Komponentalni naponi pri sloºenom naprezanju grede Imaju i u vidu osnovna naprezanja, dobijaju se slede i komponentalni naponi: σ x = N A M z J z y + M y J y τ xy = T y Sz J z c(y) + M t Φ J t z τ xz = T z Sy J y b(z) M t Φ J t y z (1) gde je J t torziona konstanta popre nog preseka, a Φ je redukovana funkcija napona pri torziji
Sloºeno naprezanje grede Komponentalni naponi pri sloºenom naprezanju grede Kao ²to se uo ava, pri najop²tijem slu aju sloºenog (kombinovanog) naprezanja grednog nosa a, javljaju se samo dve komponente napona: - normalni napon σ x - smi u i napon τ u ravni popre nog preseka Smi u i napon τ je rezultuju i napon komponentalnih napona τ xy i τ xz Prema tome, stanje napona je ravansko, pa se glavni naponi odrežuju prema izrazima: σ 1,2 = 1 2 (σ x ± σ 2 x + 4τ 2 ) tan 2α 1 = 2τ σ x (2)
Primer sloºenog naprezanja: naponi u ta ki
Sloºeno naprezanje grede Komponentalni naponi pri sloºenom naprezanju grede Od posebnog je interesa, pre svega za dimenzionisanje nosa a, da se prvo odredi najopasniji (t.j. kriti ni) popre ni presek, a zatim da se naže kriti na ta ka u popre nom preseku Kriti na ta ka u popre nom preseku je ona u kojoj se o ekuju ekstremne vrednosti odreženih komponenti napona To se (obi no) vr²i probanjem, analiziraju i stanje napona u nekoliko karakteristi nih popre nih preseka i ta aka u njima
Sadrºaj 1 Sloºeno naprezanje grede 2 Primeri primene Metode sila
Deformacioni rad izraºen preko napona Speci na energija deformacije Ukupna energija deformacije koja se akumulira u grednom nosa u pri proizvoljno optere enju data je sa: U = U 0 dv (3) V gde je U 0 speci na energija deformacije, ili elasti ni potencijal Za linearno elasti no izotropno telo U 0 je dat u obliku: U 0 = U0 = 1 [ σ 2 2E x + σy 2 + σz 2 2ν (σ x σ y + σ y σ z + σ z σ x ) ] + 1 ( τ 2 2G xy + τyz 2 + τzx) 2
Deformacioni rad izraºen preko napona Speci na energija deformacije U zavisnosti od na ina naprezanja posmatrane grede (odn. posmatranog grednog nosa a), u izraz za speci nu energiju deformacije unose se odgovaraju i komponentalni naponi U slu aju najop²tijeg kombinovanog naprezanja grede, samo su komponente σ x, τ xy i τ xz razli ite od nule, tako da speci na energija deformacije ima oblik ( U 0 = 1 σx 2 2 E + τ ) xy 2 G + τ xz 2 (4) G
Deformacioni rad izraºen preko napona Speci na energija deformacije Imaju i u vidu izraze (3) i (4), integracija po zapremini svodi se na integraciju unutar popre nog preseka A i integraciju po duºini grede l: U = 1 [ l ( σx 2 2 0 A E + τ ) ] xy 2 G + τ xz 2 da dx (5) G U izraz (5) unose se izrazi (1) za komponentalne napone Ose y i z su glavne centralne ose inercije popre nog preseka, pa se, posle sreživanja, dobija kona an izraz za energiju deformacije, za proizvoljno sloºeno optere enje grede
Deformacioni rad izraºen preko napona Speci na energija deformacije Energija deformacije je data u obliku: U = 1 ( l N 2 2 0 E A + T y 2 + T z 2 G A y G A z ) + M 2 t G J t + M 2 y E J y + M 2 z E J z dx (6) gde su sa A y i A z ozna ene povr²ine smicanja popre nog preseka grede za y i za z pravac
Deformacioni rad izraºen preko napona Speci na energija deformacije Povr²ine smicanja date su izrazima: A y = A J 2 z ( S z c ) 2 da A z = A J 2 y ( S y b ) 2 da (7) Veli ine G A y i G A z nazivaju se krutost grede na smicanje u pravcu ose y, odn. z Vidi se da bilo koja sila u preseku vr²i rad samo na pomeranjima usled te iste sile Drugim re ima, rad bilo koje sile u preseku na pomeranjima usled ostalih sila u preseku jednak je nuli
Deformacioni rad izraºen preko napona Speci na energija deformacije Deo energije deformacije usled normalne sile i tansverzalnih sila obi no je manji od dela energije deformacije usled momenta torzije i momenata savijanja Imaju i to u vidu, taj deo se esto zanemaruje, pa izraz (6) ima oblik: U = 1 ( l Mt 2 + M ) y 2 + M z 2 dx (8) 2 0 G J t E J y E J z
Deformacioni rad izraºen preko napona Speci na energija deformacije Izraz (6) je prikazan posmatraju i samo jedan ²tap To moºe da se generali²e i za slu aj sistema ²tapova, odn. na nosa sloºenije strukture Dobija se izraz U = 1 ( N 2 2 s E A + T y 2 + T z 2 G A y G A z ) + M 2 t G J t + M 2 y E J y + M 2 z E J z gde se integral s... ds odnosi na sve ²tapove sistema ds (9)
Deformacioni rad izraºen preko napona Speci na energija deformacije Ako su popre ni preseci promenljivi duº ²tapova, onda su geometrijske karakteristike promenljive i ulaze u podintegralni izraz Ako se zanemari uticaj normalnih i transverzalnih sila kod posmatranog sloºenog nosa a (kod sistema ²tapova), energija deformacije data je u obliku U = 1 ( Mt 2 + M ) y 2 + M z 2 ds (10) 2 s G J t E J y E J z
Sadrºaj 1 Sloºeno naprezanje grede 2 Primeri primene Metode sila
Odreživanje generalisanih pomeranja Morov postupak Ugibi i nagibi grede izloºene savijanju silama mogu da se odrede - re²avanjem diferencijalne jedna ine elasti ne linije - primenom Mor-Maksvelove analogije Generalisana pomeranja proizvoljne ta ke linijskog nosa a mogu da se odrede preko energije deformacije sistema, primenom drugog Kastiljanovog stava Generalisana pomeranja mogu da se odrede i primenom Principa virtuelnih sila
Odreživanje generalisanih pomeranja Morov postupak Posmatra se proizvoljan nosa u prostoru, optere en sa proizvoljnim kombinovanim optere enjem Nosa je od linearno elasti nog materijala Ose y i z su glavne centralne ose inercije Potrebno je da se odredi generalisano pomeranje ξ i proizvoljne ta ke i nosa a u datom pravcu n i Generalisano pomeranje moºe da bude linijsko pomeranje u datom pravcu, ili obrtanje oko date ose
Odreživanje generalisanog pomeranja
Odreživanje generalisanih pomeranja Morov postupak Drugi Kastiljanov stav glasi: Ako se energija deformacije linearno elasti nog tela izrazi preko generalisanih sila, onda je parcijalni izvod energije deformacije po nekoj od generalisanih sila jednak odgovaraju em generalisanom pomeranju Dakle, primenom ovog stava mogu e je da se odredi pomeranje samo u ta kama u kojima deluju spolja²nje sile, pri tome samo u pravcima delovanja tih sila
Odreživanje generalisanih pomeranja Morov postupak Naravno, potrebno je da se odredi generalisano pomeranje bilo koje ta ke u bilo kom pravcu Da bi odredili pomeranje ξ i neke ta ke i u datom pravcu n i, u ta ki i se dodaje ktivna generalisana sila P i koja ima dati pravac n i Generalisana sila P i moºe da bude sila ili spreg Formira se izraz za energiju deformacije sistema usled delovanja spolja²njeg optere enja i ktivne sile P i
Odreživanje generalisanih pomeranja Morov postupak Prema drugom Kastiljanovom stavu, diferenciranjem energije deformacije po generalisanoj sili P i, a zatim unose i da je P i = 0, jer je ta sila ktivna, dobija se traºeno generalisano pomeranje Dakle, polazi se od drugog Kastiljanovog stava: U P i = ξ i (11)
Odreživanje generalisanih pomeranja Morov postupak Bilo koja sila u preseku, ozna ena sa S, moºe da se prikaºe u obliku S = S + S P i (12) gde je - S... ukupna sila u preseku - S... sila u preseku usled spolja²njeg optere enja - S... sila u preseku usled jedini ne generalisane sile Pi = 1 Oznaka S zamenjuje bilo koju silu u preseku: N, T y,..., M z
Odreživanje generalisanih pomeranja Morov postupak Prema izrazu (9), izraz za energiju deformacije sastoji se od integrala sa ²est lanova oblika U = 1 2 s S 2 B ds = 1 2 s (S + S P i ) 2 ds B gde je B oznaka za bilo koji od imenioca u integralu (to su odgovaraju e krutosti: aksijalna, smi u a, torziona ili na savijanje) Da bi se odredilo generalisano pomeranje, potrebno je da se diferencira izraz za energiju deformacije
Odreživanje generalisanih pomeranja Morov postupak Dobija se U (S + = S P i ) P i s B S ds Unose i sada u dobijen izraz da je P i = 0, jer je sila ktivna, dobija se U (S = S) P i s B ds
Odreživanje generalisanih pomeranja Morov postupak Imaju i u vidu ukupan izraz za energiju deformacije, dobija se izraz za traºeno generalisano pomeranje u obliku: ( N N ξ i = s E A + T y T y + T z T y G A y G A z + M t M t + M y M y + M z M ) (13) z ds G J t E J y E J z Ovaj integral se naziva Morov integral, a sam postupak odreživanja generalisanog pomeranja ξ i naziva se Morov postupak
Odreživanje generalisanih pomeranja Morov postupak Nadvu ene oznake za sile u preseku pretstavljaju sile u preseku usled jedini ne ktivne generalisane sile P i = 1 Izra unavanje integrala koji guri²u u izrazu za generalisano pomeranje ξ i ne vr²i se (osim izuzetno!) formalnom integracijom Pri tome treba da se ima u vidu da su sile u preseku usled ktivne jedini ne generalisane sile P i = 1 date kao linearni dijagrami Imaju i to u vidu, izra unavanje integrala u izrazu za ξ i vr²i se primenom postupka Vere² agina
Odreživanje generalisanih pomeranja Postupak Vere² agina Posmatra se pravolinijski segment duºine l na kome je potrebno da se odredi integral proizvoda dve funkcije f(x) i g(x): J = l 0 f(x) g(x) dx Pri tome je funkcija f(x) proizvoljna, dok je funkcija g(x) linearna Prema tome, funkcija g(x) moºe da se prikaºe kao g(x) = a x + b gde su a i b odgovaraju e konstante
Postupak Vere² agina
Odreživanje generalisanih pomeranja Postupak Vere² agina Uno²enjem linearne funkcije g(x) u integral, dobija se J = a l 0 x f(x) dx + b l 0 f(x) dx Drugi integral pretstavlja povr²inu koja je ograni ena krivom f(x), dok je prvi integral stati ki momenat te povr²ine u odnosu na osu y: l l 0 f(x) dx = A f 0 x f(x) dx = S y = A f x T
Odreživanje generalisanih pomeranja Postupak Vere² agina Prema tome, integral moºe da se prikaºe kao: J = A f (a x T + b) = A f g(x T ) = A f g T gde je g(x T ) vrednost fukcije g(x) na mestu teºi²ta povr²ine A f Dakle, traºeni integral se odrežuje prema formuli: J = l 0 f(x) g(x) dx = A f g T
Odreživanje generalisanih pomeranja Postupak Vere² agina Iskazano re ima, Vrednost integrala J dobija se kao proizvod povr²ine A f koja je ograni ena krivom f(x), i vrednosti funkcije g(x) na mestu teºi²ta povr²ine A f Vrednosti integrala za nekoliko naj e² ih oblika funkcija f(x) i g(x) date su u slede oj tabeli
Postupak Vere² agina: karakteristi ni slu ajevi
Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede Odrediti maksimalni ugib w max proste grede raspona l, konstantne krutosti na savijanje EJ = const, kao i obrtanje oslona kog preseka α, optere ene ravnomernim raspodeljenim optere enjem q = const
Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede Da bi odredili maksimalni ugib posmatrane grede, koji je, zbog simetrije, u sredini preseka grede, posmatra se jedini na ktivna sila P = 1 koja deluje u sredini grede i upravno na gredu Ako je dijagram momenata savijanja proste grede, usled zadatog optere enja q = const, ozna en sa M, a dijagram momenata savijanja usled jedini ne sile P = 1 ozna en sa M, onda je ugib u pravcu i smeru sile P dat sa ξ = l 0 M M EJ dx
Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede Da bi odredili maksimalni ugib posmatrane grede, koji je, zbog simetrije, u sredini preseka grede, posmatra se jedini na ktivna sila P = 1 koja deluje u sredini grede i upravno na gredu Ako je dijagram momenata savijanja proste grede, usled zadatog optere enja q = const, ozna en sa M, a dijagram momenata savijanja usled jedini ne sile P = 1 ozna en sa M, onda je ugib u pravcu i smeru sile P dat sa ξ = l 0 M M EJ dx
Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede
Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede Momenti savijanja (karakteristi ne vrednosti): - Raspodeljeno optere enje: f = q l2 8 - Koncentrisana sila P = 1 u sredini: Ugib u pravcu sile P dat je sa ξ = f = P l 4 = l 4 l 0 M M EJ dx
Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede
Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede Za silu P na proizvoljnom rastojanju αl od levog kraje, odn. βl od desnog kraja, ordinata momenta savijanja u preseku sile jednaka je M max = f = P l α β Moºe da se pokaºe da je integral momenata usled raspodeljenog optere enja i koncentrisane sile u proizvoljnom preseku αl dat sa: EJ ξ = l 0 M M dx = l 3 f f (1 + αβ) gde su f i f max ordinate momenata savijanja za raspodeljeno optere enje i za koncentrisanu silu
Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede Imaju i ovo u vidu, za ugib proste grede usled raspodeljenog optere enja se dobija EJ ξ = l 3 ql2 8 l 4 (1 + 1 1 2 2 ) = 5 384 q l4 Prema tome, maksimalan ugib proste grede optere ene ravnomernim optere enjem q = const jednak je ξ = w max = 5 q l 4 384 EJ
Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede Obrtanje oslona kog preseka dobija se kada se kao ktivna sila upotrebi jedini ni spreg M = 1 u preseku gde se traºi obrtanje:
Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede Moºe da se pokaºe da je integral momenata usled raspodeljenog optere enja i koncentrisane sile u proizvoljnom preseku αl dat sa: EJ ξ = EJα = l 0 M M dx = l 3 f f gde su f i f max ordinate momenata savijanja za raspodeljeno optere enje i za koncentrisan spreg: f = ql2 8 f = 1
Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Ugib i obrtnje preseka proste grede Prema tome, dobija se da je obrtanje oslona kog preseka jednako: EJ α = l 3 ql2 8 1 = ql3 48 odnosno, α = ql3 48EJ Zbog simetrije, obrtanje drugog preseka je isto, ali promenjenog znaka β = α = ql3 48EJ
Primeri primene Metode sila Sadrºaj 1 Sloºeno naprezanje grede 2 Primeri primene Metode sila
Primeri primene Metode sila Nosa je stati ki neodrežen kada je prisutno vi²e veza nego ²to je minimalno potrebno da bi nosa bio nepokretan sistem Kada je nosa stati ki neodrežen, prvo je neophdno da se re²i stati ka neodreženost Postoje dve metode re²avanja stati ki neodreženih nosa a: 1 Metoda sila 2 Metoda deformacije U Metodi sila potrebno je da se prvo odrede sve stati ki nepoznate veli ine
Primeri primene Metode sila Stati ki nepoznate veli ine su izabrane sile veze X i koje odgovaraju usvojenom osnovnom sistemu posmatranog nosa a Osnovni sistem je izabrani stati ki odrežen nosa koji se dobija posle uklanjanja izabranih veza u stati ki neodreženom nosa u Postoji vi²e mogu nosti usvajanja razli itih osnovnih sistema Naravno, koji god osnovni sistem bio izabran, krajnji rezultat mora da bude uvek isti (postoji jednozna no re²enje) Za neke osnovne sisteme lak²e se odrežuju stati ki nepoznate veli ine nego ze neke druge osnovne sisteme
Primeri primene Metode sila Za usvojen osnovni sistem postavljaju se uslovne jedna ine, ijim re²avanjem se dobijaju stati ki nepoznate veli ine Uslovne jedna ine u Metodi sila pretstavljaju geometrijske uslove, odn. uslove kompatibilnosti deformacija (uslove kompatibilnosti pomeranja) Zna enje uslovnih jedna ina u metodi sila odgovara uklonjenim vezama (stati ki nepoznatim veli inama) U najve em broju slu ajeva, uslovne jedna ine su iskazi da su generalisana pomeranja, na mestima uklonjenih veza, jednaka nuli
Primeri primene Metode sila Zbog linearnosti svih jedna ina i veza, vaºi princip superpozicije Prema tome, svaka veli ina, stati ka ili deformacijaska, ozna ena sa S, moºe da se prikaºe u vidu superpozicije S = S 0 + n S i X i (14) i=0 gde je sa n je ozna en broj stati ke neodreženosti
Primeri primene Metode sila U izrazu (14) uvedene su oznake: - S 0 je posmatrana veli ina u osnovnom (stati ki odreženom) sistemu usled zadatog optere enja, pri emu su sve stati ki nepoznate jednake nuli X i = 0 - S i je posmatrana veli ina u osnovnom sistemu usled stanja X i = 1 Stanje X i = 1 pretstavlja jedini nu vrednost stati ki nepoznate veli ine X i, pri emu su sve ostale stati ki nepoznate jednake nuli Uslovne jedna ine metode sila pretstavljaju uslove da su generalisana pomeranja na mestima uklonjenih veza (stati ki nepoznatih veli ina) jednaka nuli (eventualno jednaka nekoj zadatoj vrednosti)
Primeri primene Metode sila Ako se sa δ i ozna i generalisano pomeranje koje odgovara uklonjenoj vezi X i, uslovne jedna ine mogu da se prikaºu kao δ i = 0 (i = 1, 2,..., n) Prema relaciji (14), generalisano pomeranje δ i moºe da se prikaºe kao δ i = δ i0 + n δ ij X j (i = 1, 2,..., n) (15) i=1
Primeri primene Metode sila U izrazu (15) uvedene su oznake: - δ i0... generalisano pomeranje δ i u osnovnom sistemu usled spolja²njeg optere enja (pri emu je X i = 0) - δ ij... generalisano pomeranje δ i u osnovnom sistemu usled stanja X j = 1 Prema tome, uslovne jedna ine δ i = 0 mogu da se napi²u u obliku: δ i = δ i0 + n δ ij X j = 0 (i = 1, 2,..., n) (16) i=1
Primeri primene Metode sila U razvijenom obliku uslovne jedna ine (16) glase: δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + + δ 1n X n = 0 δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + + δ 2n X n = 0. δ n0 + δ n1 X 1 + δ n2 X 2 + + δ nn X n = 0 (17) U matri nom obliku jedna ine (17) glase δ 0 + X = 0 (18) sa o iglednim oznakama za vektore i matricu
Primeri primene Metode sila Jedna ine (17) se nazivaju kanonske jedna ine metode sila Koecijenti δ ij uz stati ki nepoznate X i su Maksvelovi uticajni kooecijenti: Uticajni koecijenti eksibilnosti δ ij su generalisana pomeranja koja odgovaraju generalisanoj sili X i, u osnovnom sistemu, usled delovanja jedini ne generalisane sile X j = 1 Pokazano je da su uticajni koecijenti δ ij simetri ni: δ ij = δ ji
Primeri primene Metode sila Koecijenti δ i0 su slobodni lanovi u uslovnim jedna inama Metode sila Koecijenti δ i0 pretstavljaju generalisana pomeranja koja odgovaraju generalisanoj sili X i, u osnovnom sistemu, usled delovanja spolja²njeg optere enja Uvode se slede e oznake: - M 0... dijagram momenata savijanja u osnovnom sistemu usled zadatog spolja²njeg optere enja - M i... dijagram momenata savijanja u osnovnom sistemu usled stanja X i = 1 (jedini na vrednost stati ki nepoznate X i, pri emu su sve ostale stati ki nepoznate X j jednake nuli)
Primeri primene Metode sila Imaju i u vidu zna enja koecijenata u uslovnim jedna inama metode sila, koecijenti δ ij i δ i0 dati su sa izrazima: M i M j δ ij = E J dx δ M i M 0 i0 = dx (19) l E J l gde se podrazumeva integracija po svim ²tapovima posmatranog nosa a U najve em broju slu ajeva dominantan je uticaj momenata savijanja, kao ²to je i prikazano u izrazima (19), posebno kod grednih nosa a (npr. kod kontinualnih nosa a)
Primeri primene Metode sila Kod okvirnih nosa a moºe da bude zna ajan i uticaj normalnih sila, tako da bi u tom slu aju bilo: M i M j δ ij = E J dx + N i N j E A dx l δ i0 = l M i M 0 E J dx + l l N i N 0 E A dx (20) gde je N i dijagram normalnih sila u osnovnom sistemu usled X i = 1, dok je N 0 dijagram normalnih sila u osnovnom sistemu usled zadatog optere enja
Primeri primene Metode sila Sadrºaj 1 Sloºeno naprezanje grede 2 Primeri primene Metode sila
Primeri primene Metode sila Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Obostrano uklje²tana greda Odrediti dijagram momenata savijanja obostrano uklje²tene grede raspona l, konstantne krutosti na savijanje EJ = const, optere ene ravnomerno raspodeljenim optere enjem q = const
Primeri primene Metode sila Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Obostrano uklje²tana greda Obostrano uklje²tena greda je tri puta stati ki neodrežena Ukoliko ne postoji aksijalno optere enje, onda u gredi ne postoje normalne sile i greda je dva puta stati ki neodrežena Osnovni sistem je prosta greda, a stati ki nepoznate su momenti uklje²tenja
Primeri primene Metode sila Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Obostrano uklje²tana greda Dijagrami momenata savijanja u osnovnom sistemu, usled optere enja i stati ki nepoznatih su, redom: - kvadratna parabola sa ordinatom u sredini f = ql 2 /8 - trougaoni dijagrami sa ordinatama 1.0 na krajevima
Primeri primene Metode sila Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Obostrano uklje²tana greda Koecijenti uslovnih jedna ina dobijaju se "mnoºenjem momentnih povr²ina", odn. izra unavanjem integrala (19) Imaju i u vidu da je krutost na savijanje konstantna, EJ = const, dobija se EJ δ 11 = EJ δ 22 = l 3 1.02 EJ δ 12 = EJ δ 21 = l 6 1.02 EJ δ 10 = EJ δ 20 = l 3 1.0 f gde je f = ql 2 /8
Primeri primene Metode sila Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 1: Obostrano uklje²tana greda Uslovne jedna ine, napisane u matri nom obliku X = δ 0, glase: [ l ] { } { l l 3 6 X1 l l = 3 f } X l 6 3 2 3 f ili, posle skra ivanja sa l/3, u obliku: [ 1 1 2 1 2 1 ] { X1 X 2 Re²enje ovih jedna ina je jednako: } { f = f } X 1 = X 2 = 2 3 f = ql2 12
Primeri primene Metode sila Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 2: Kontinualna greda Odrediti dijagram momenata savijanja zadate kontinualne grede sa dva raspona l = 4.0m, konstantne krutosti na savijanje EJ = const. Greda je optere ena koncentrisanom silom u jednom rasponu i ravnomerno raspodeljenim optere enjem q = const u drugom rasponu
Primeri primene Metode sila Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 2: Kontinualna greda Posmatrana kontinualna greda je jednom stati ki neodrežena Za osnovni sistem se usvajaju dve proste grede, odnosno, stati ki nepoznata je momenat savijanja X iznad srednjeg oslonca
Primeri primene Metode sila Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 2: Kontinualna greda Dijagram momenata savijanja M 1 za stanje X = 1 u osnovnom sistemu Dijagram momenata M 0 u osnovnom sistemu usled zadatog optere enja
Primeri primene Metode sila Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 2: Kontinualna greda Uslovna jedna ina Metode sila je δ 11 X 1 + δ 10 = 0 Koecijent uz nepoznatu iznosi (po trougao u svakoj gredi): EJδ 11 = 2 1 3 4.0 1.02 = 8 3 Slobodan lan δ 10 na delu koncentrisane sile dobija se kao zbir proizvoda povr²ine dva trougla dijagrama M 0 i trougla i trapeza dijagrama M 1
Primeri primene Metode sila Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 2: Kontinualna greda Koecijent δ 10 je jednak: EJδ 10 = 1 3 2 2 0.5 = 8 3 + 1 6 2 2 (2 0.5 + 1.0) = 4 3 + 1 3 4 1 2.0 = 8 3 Dobija se δ 10 = 14 3, tako da je stati ki nepoznata jednaka X = δ 10 δ 11 = 14 3 8 3 = 14 3 = 1.75 [knm]
Primeri primene Metode sila Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 2: Kontinualna greda
Primeri primene Metode sila Odreživanje generalisanih pomeranja Primer 2: Kontinualna greda