METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar
|
|
- Θεοφάνια Πυλαρινός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15
2 Sadržaj Matrična analiza linijskih nosača u ravni 1 Matrična analiza linijskih nosača u ravni 2
3 Sadržaj Matrična analiza linijskih nosača u ravni 1 Matrična analiza linijskih nosača u ravni 2
4 Matrična analiza linijskih nosača u ravni Posmatra se puni štap tipa k u ravni OXY, dakle štap koji je kruto vezan na svojim krajevima i, k Lokalni sistem štapa u ravni nosača je xy, pri čemu je koordinatni početak u (prvom) čvoru i, a lokalna osa x je u pravcu ose štapa, sa smerom i k Kao što je rečeno, nepoznate veličine su čvorna pomeranja: - u čvoru i... u i, v i, ϕ i, ili, alternativno q 1, q 2, q 3 - u čvoru k... u k, v k, ϕ k, ili, alternativno q 4, q 5, q 6 Dakle, štap tipa k ( beam ), kao deo nosača u ravni, raspolaže sa 6 stepeni slobode (6 dof )
5 Matrična analiza linijskih nosača u ravni : čvorne sile i pomeranja Štap tipa k je dužine l i od materijala sa konstantnim modulom elastičnosti E Poprečni presek je konstantnog oblika sa karakteristikama: - površina preseka... F - momenat inercije... J
6 Matrična analiza linijskih nosača u ravni Štap tipa k, koji je kruto vezan na oba kraja, osnovni je element punog nosača u ravni Štap tipa k može da bude izložen - aksijalnom naprezanju - savijanju U linearnoj teoriji štapa (koja se usvaja), takva dva naprezanja su međusobno nezavisna i mogu da se posmatraju posebno Istovremeni uticaji aksijalnog naprezanja i savijanja dobijaju se superpozicijom
7 Matrična analiza linijskih nosača u ravni Vektori čvornih pomeranja i čvornih sila (u lokalnom sistemu) imaju po 6 elemenata sa utvrđenim redosledom, prvo za čvor i, pa za čvor k: q = q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 = u i v i ϕ i u k v k ϕ k R = R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 = N i T i M i N k T k M k Sa u i v su označene komponente pomeranja u pravcima osa x i y, dok je ϕ obrtanje oko ose z
8 Matrična analiza linijskih nosača u ravni Razdvajanje naprezanja kod punih štapova Aksijalno naprezanje i savijanje su međusobno nezavisni u linearnoj teoriji štapa Za istovremeno delovanje aksijalnih uticaja i savijanja koristi se princip superpozicije
9 Matrična analiza linijskih nosača u ravni Matrica krutosti i odgovarajuće relacije za štap izložen aksijalnom naprezanju su iste kao što je prikazano u razmatranju rešetkastih štapova Posmatra se štap tipa k izložen savijanju Za savijanje relevantna su čvorna pomeranja - u čvoru i... v i, ϕ i - u čvoru k... v k, ϕ k kao i čvorne sile - u čvoru i... T i, M i - u čvoru k... T k, M k
10 Matrična analiza linijskih nosača u ravni Analiza savijanja kod punih štapova U nezavisnom posmatranju savijanja štapa ima po dve nepoznate u svakom čvoru Radi jednostavnijeg pisanja, u analizi savijanja koriste se oznake q 1, q 2, q 3, q 4, za čvorna pomeranja, kao i R 1, R 2, R 3, R 4 za čvorne sile Kada se objedinjuje savijanje i aksijalno naprezanje vodi se računa o redosledu nepoznatih
11 Matrična analiza linijskih nosača u ravni - savijanje Pošto se savijanje posmatra odvojeno od aksijalnog naprezanja, čvorne sile i čvorna pomeranja, kao i druge veličine, označavaju se sa gornjim indeksom s Vektori čvornih pomeranja i čvornih sila (u lokalnom sistemu) imaju po 4 elementa: q 1 R 1 q s q = 2 R s R = 2 q 3 R 3 q 4 R 4
12 - savijanje Matrica krutosti štapa tipa k Matrica krutosti za slučaj savijanja K s može da se izvede na bazi fizičkog značenja elemenata matrice krutosti: Koeficijent matrice krutosti k ij pretstavlja čvornu silu R i obostrano uklještenog štapa usled jediničnog čvornog pomeranja q j = 1, pri čemu su sva ostala pomeranja q i = 0 jednaka nuli, i j Reakcije veza obostrano uklještene grede za jedinična pomeranja i obrtanja krajeva mogu da se odrede metodom sila
13 Matrica krutosti štapa tipa k, za q 1 = 1 Obostrano uklještena greda je dva puta statički neodređena (treća nepoznata, sila u pravcu ose štapa, jednaka je nuli za slučaj savijanja) Osnovni sistem je prosta greda i nepoznate su spregovi na krajevima štapa
14 Uticaji u osnovnom sistemu
15 Dobijene reakcije vezaza za q 1 = 1 Reakcije veza za q 1 = 1: elementi prve kolone matrice krutosti
16 Matrica krutosti štapa tipa k Reakcije veza za svako od jediničnih pomeranja pretstavljaju odgovarajuću kolonu matrice krutosti K s Isprekidanom linijom prikazana je elastična linija štapa (ugibi)
17 - savijanje Matrica krutosti štapa tipa k Matrica krutosti K s je kvadratna, simetrična i singularna matrica reda 4 Elementi matrice krutosti dati su sa K s = EJ l l 12 6l 6l 4l 2 6l 2l l 12 6l 6l 2l 2 6l 4l 2 (1)
18 - savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja usled savijanja Q s u lokalnom sistemu, dat je kao vektor sa 4 elementa Q 1 Q s Q = 2 Q 3 Q 4 Elementi vektora ekvivalentog opterećenja jednaki su negativnim vrednostima reakcija obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja
19 Vektor ekvivalentnog opterećenja Za jednostavna opterećenja postoje gotova rešenja za reakcije veza obostrano uklještene grede Za proizvoljno opterećenje p y (x) reakcije veza se određuju primenom metode sila (za dva puta statički neodređen nosač)
20 Vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja za jednakopodeljeno opterećenje p y (x) = p = const
21 - savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja usled savijanja Q s u lokalnom sistemu, za slučaj jednakopodeljenog opterćenja p y (x) = p = const dat je sa: Q s p = pl 2 pl 2 12 pl 2 pl2 12 = pl 2 1 l 6 1 l 6
22 Vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa k usled temperaturne razlike t
23 - savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja Q s u lokalnom sistemu, za slučaj temperaturne razlike t dat je sa: Q s t = E J α t t h Sa α t je označen koeficijent temperaturne dilatacije, dok je h visina preseka nosača
24 Matrica krutosti štapa tipa k
25 Matrica krutosti štapa tipa k Matrice krutosti za aksijalno naprezanje K a i za savijanje K s određuju se nezavisno Ukupna matrica krutosti štapa tipa k je kvadtratna matrica reda 6 Elemeti matrica krutosti K a i K s smeštaju se na odgovarajuće pozicije
26 Matrica krutosti štapa tipa k
27 Čvorna pomeranja i čvorne sile štapa tipa k
28 Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa k
29 Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa k Istovremeno ravnomerno aksijalno i transverzalno opterećenje konstantnih intenziteta
30 - savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja usled savijanja Q s u lokalnom sistemu, za slučaj jednako-podeljenog aksijalnog opterćenja p x (x) = const, kao i istovremenog jednako-podeljenog transverzalnog opterćenja p y (x) = const, dat je sa: Q s p = p xl 2 p yl 2 p yl 2 12 p xl 2 p yl 2 pyl2 12
31 - savijanje Štap tipa g Posmatra se štap tipa g, dakle, štap koji je na jednom kraju, u čvoru i, kruto vezan, a na drugom kraju, čvor g, zglobno vezan Prema tome, takav štap ima 5 stepeni slobode: 3 u krutom čvoru i, i 2 nepoznate u zglobu g (obrtanje ϕ g nije nepoznata veličina, jer može da se odredi iz uslova M g = 0)
32 - savijanje Štap tipa g Dakle, vektori čvornih pomeranja i čvornih sila, u lokalnim koordinatama, imaju po pet elemenata: q 1 u i R 1 N i q 2 v i R 2 T i q = q 3 = ϕ i R = R 3 = M i q 4 u g R 4 N g q 5 v g R 5 T g Kao i kod štapova tipa k, u linearnoj teoriji aksijalno naprezanje je nezavisno od savijanja
33 Razdvajanje aksijalnog naprezanja i savijanja U linearnoj teoriji štapa aksijalno naprezanje (kao i torzija za 3D) je nezavisno od savijanja
34 - savijanje Matrica krutosti štapa tipa g Bez obzira na redosled u ukupnom vektoru čvornih nepoznatih, u razdvojenom posmatranju aksijalnog naprezanja i savijanja, u analizi savijanja tri nepoznate se označavaju sa q 1, q 2 i q 3
35 - savijanje Matrica krutosti štapa tipa g Matrica krutosti za aksijalno naprezanje K a je ista kao i za rešetkasti štap Matrica krutosti za savijanje K s određuje se direktnim putem, na osnvu fizičkog značenja koeficijenata matrice krutosti Koeficijent k ij matrice krutosti za savijanje štapa tipa g je reakcija R i jednostrano uklještenog štapa sa pokretnim osloncem na drugom kraju, usled jediničnog pomeranja q j = 1
36 Matrica krutosti štapa tipa g Elementi matrice krutosti K s štapa tipa g su reakcije jednostrano uklještenog štapa, sa zglobnom vezom na drugom kraju, usled jediničnih čvornih pomeranja Isprekidanom linijom je prikazana odgovarajuća elastična linija (ugib)
37 - savijanje Matrica krutosti štapa tipa g Elementi matrice krutosti pri savijanju štapa tipa g dobijaju se u obliku: K s = E F 3 3l 3 l 3 3l 3l 2 3l 3 3l 3 Kao što se vidi, matrica krutosti za savijanje štapa tipa g je kvadratna, simetrična i singularna matrica reda 3
38 - savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g izloženog savijanju ima tri elementa u lokalnom sistemu Q 1 Q = Q 2 Q 3 Elementi vektora ekvivalentnog opterećenja su jednaki negativnim vrednostima reakcija jednostrano uklještene grede i zglobno vezane na drugom kraju, usled zadatog opterećenja
39 Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Elementi vektora ekvivalentnog opterećenja su jednaki negativnim vrednostima reakcija veza usled posmatranog opterećenja
40 Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Elementi vektora ekvivalentnog opterećenja za jednakopodeljeno opterećenje p y (x) = p = const
41 - savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g za uticaj jednakopodeljenog opterećenja p y (x) = p = const dobija se u obliku: 5 8 pl 1 Q p = 8 pl2 3 8 pl = p l l 3
42 Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Elementi vektora ekvivalentnog opterećenja za temperaturnu promenu t
43 - savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g za uticaj temperaturne promene t dobija se u obliku: Q t = 1.5 E J α t t h 1 l 1 1 l
44 Matrica krutosti štapa tipa g Matrice krutosti za aksijalno naprezanje K a i za savijanje K s određuju se nezavisno Ukupna matrica krutosti štapa tipa k je kvadtratna matrica reda 5 Elemeti matrica krutosti K a i K s smeštaju se na odgovarajuće pozicije
45 Matrica krutosti štapa tipa g
46 Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g
47 Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Istovremeno ravnomerno aksijalno i transverzalno opterećenje konstantnih intenziteta
48 - savijanje Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa g za uticaj jednako-podeljenog opterećenja u pravcu ose štapa p x (x) = const, kao i jednako-podeljenog opterećenja upravno na štap p y (x) = const, dobija se u obliku: Q = 1 2 p xl 5 8 p yl 1 8 p yl p xl 3 8 p yl
49 Sadržaj Matrična analiza linijskih nosača u ravni 1 Matrična analiza linijskih nosača u ravni 2
50 Transformacija koordinata za štap tipa k Štap tipa k, u sastavu nosača u ravni, zauzima proizvoljan položaj u odnosu na globalni koordinatni sistem Položaj štapa u posmatranom nosaču, koji pripada globalnoj ravni OXY, određen je sa položajem prvog čvora i štapa i k, kao i orjentisanim uglom α = (X, x) koji zaklapa lokalna osa štapa x prema globalnoj osi X Transformacije vektora iz lokalnog u globalni sistem i obrnuto određene su matricom transformacije T
51 Globalni i lokalni sistem Čvorna pomeranja i čvorne sile štapa tipa k u lokalnom i globalnom sistemu
52 Transformacija koordinata za štap tipa k Vektori čvornih pomeranja i čvornih sila imaju po 6 koordinata, koje se u vektore unose u istom redosledu Vektori izraženi u globalnim koordinatama imaju i gornji indeks (..) u svojoj oznaci: q 1 R 1 q1 q 2 R 2 q =. q 6 R =. R 6 q q = 2. q 6 R = R 1 R 2. R 6
53 Globalni i lokalni sistem Prikazi vektora čvornih pomeranja i čvornih sila štapa tipa k u lokalnom i globalnom sistemu
54 Transformacija koordinata za štap tipa k Matrica transformacije štapa tipa k dobija se kada se, npr., čvorne sile u lokalnom sistemu R i izraze preko čvornih sila u globalnom sistemu R i Imajući u vidu da je α = (X, x), dobijaju se sledeće relacije, posmatrajući čvorne sile u čvoru i: R 1 = R 1 cos α + R 2 sin α R 2 = R 1 sin α + R 2 cos α (2) R 3 = R 3
55 Transformacija koordinata za štap tipa k Prikazano u matričnom obliku, relacije (2) mogu da se napišu kao R 1 R 2 R 3 = cos α sin α 0 sin α cos α R 1 R 2 R 3 Relacije (3) mogu da se napišu u skraćenom obliku: (3) R i = t R i (4)
56 Transformacija koordinata za štap tipa k Analogne relacije mogu da se napišu i za sile u čvoru k: R k = t R k (5) Matrica t je čvorna matrica transformacije Relacije (4) i (5) mogu da se zajedno napišu u obliku { } [ ] { } Ri t 0 R = i R k 0 t Rk (6) ili u kompaktnijem obliku R = T R (7)
57 Transformacija koordinata za štap tipa k Relacija (7) pretstavlja transformaciju vektora čvornih sila iz globalnih u lokalne koordinate Matrica T je matrica transformacije za štap Napisano u razvijenom obliku, relacije (7) glase R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 = cos α sin α sin α cos α cos α sin α sin α cos α R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 (8)
58 Transformacija koordinata za štap tipa k Napisana u razvijenom obliku, matrica transformacije T data je sa T = cos α sin α sin α cos α cos α sin α sin α cos α Matrica transformacije je simetrična kvadratna matrica reda 6 (9)
59 Transformacija koordinata za štap tipa k Na isti način, važe relacije između čvornih pomeranja q: q = T q (10) kao i između vektora ekvivalentnog opterećenja Q: Q = T Q (11) Matrica transformacije (kao matrica rotacije) je ortogonalna matrica, odn. njena transponovana matrica jednaka je inverznoj matrici: T T = T 1 (12)
60 Transformacija koordinata za štap tipa k Imajući u vidu relacije (7) i (11), kao i svojstvo ortogonalnosti matrice transformacije, vektori čvornih sila i vektori ekvivalentnog opterećenja, izraženi u lokalnom sistemu, mogu da se izraze u globalnom sistemu: R = T R R = T T R Q = T Q Q = T T Q (13) Radi skraćenog pisanja, koriste se oznake λ = cos α, µ = sin α
61 Transformacija koordinata za štap tipa k Matrica transformacije za čvor, kao i njena inverzna matrica, date su λ µ 0 λ µ 0 t = µ λ 0 t 1 = µ λ dok je matrica transformacije za štap data sa T = λ µ µ λ λ µ µ λ (14)
62 Transformacija koordinata za štap tipa k Ako su poznate globalne koordinate čvorova i i k štapa i k: (X i, Y i ), (X k, Y k ), onda se lako izračunavaju elementi matrice transformacije λ i µ za dati štap: l = (X k X i ) 2 + (Y k Y i ) 2 λ = 1 l (X k X i ) µ = 1 l (Y k Y i )
63 Transformacija matrice krutosti u globalni sistem Posmatra se osnovna jednačina neopterećenog štapa R = K q Unoseći u ovu jednačinu relacije između čvornih sila i čvornih pomeranja u lokalnim i globalnim koordnatama: R = T R q = T q dobija se T R = K T q (15)
64 Transformacija matrice krutosti u globalni sistem Ako se jedn. (15) pomnoži sa transponovanom matricom transformacije sa leve strane, dobija se T T T R = T T K T q Imajući u vidu ortogonalnost matrice transformacije, T T = T 1, dobija se R = T T K T q (16) ili skraćeno, R = K q (17)
65 Transformacija matrice krutosti u globalni sistem Jednačina (17) pretstavlja osnovnu jednačinu neopterećenog štapa u globalnim koordinatama U toj jednačini matrica K pretstavlja vezu između čvornih sila i čvornih pomeranja, u globalnim koordinatama, tako da je K matrica krutosti štapa u globalnim koordinatama: K = T T K T (18)
66 Globalni i lokalni sistem - štap tipa g Čvorna pomeranja i čvorne sile štapa tipa g u lokalnom i globalnom sistemu
67 Transformacija koordinata za štap tipa g Vektori čvornih pomeranja i čvornih sila imaju po 5 koordinata, koje se u vektore unose u istom redosledu Vektori izraženi u globalnim koordinatama imaju i gornji indeks (..) u svojoj oznaci: q 1 R 1 q1 q 2 R 2 q =. q 5 R =. R 5 q q = 2. q 5 R = R 1 R 2. R 5
68 Transformacija koordinata za štap tipa g Veze između vektora čvornih sila, pomeranja i ekvivalentnog opterećenja su, formalno, iste kao i za štap tipa k R = T R q = T q Q = T Q Razlika je samo u matrici transformacije T : kako štap tipa g ima 5 čvornih nepoznatih, tako je i matrica transformacije kvadratna matrica reda 5 Ako je čvor, odn. zglob, g drugi čvor, onda je momenat savijanja u zglobu g jednak nuli i nema veze oblika R 6 = R 6, jer se R 6 odnosi na momenat savijanja koji je u zglobu jednak nuli
69 Transformacija koordinata za štap tipa g Prema tome, u matrici transformacije za štap tipa k, datoj sa (9) ili sa (14), treba samo da se izbaci 6. kolona i 6. vrsta koje se odnose na momenat, odn. obrtanje u zglobu g Dakle, matrica transformacije štapa tipa g ima oblik: cos α sin α sin α cos α T = cos α sin α sin α cos α (19)
70 Transformacija koordinata za štap tipa g Alternativno, koristeći oznake λ = cos α, µ = sin α, matrica transformacije štapa tipa g ima oblik: T = λ µ µ λ λ µ µ λ (20)
71 Transformacija koordinata za štap tipa g Matrica transformacije za štap tipa g je simetrična i ortogonalna matrica, pa važe iste inverzne relacije kao i za štap tipa k: q = T T q R = T T R Q = T T Q Takođe, matrica krutosti štapa tipa g, izražena u odnosu na globalne koordinate, data je na isti način: K = T T KT
72 Sadržaj Matrična analiza linijskih nosača u ravni 1 Matrična analiza linijskih nosača u ravni 2
73 Osnovna jednačina opterećenog štapa u lokalnom sistemu glasi R = Kq Q (21) Pri tome, isti oblik jednačine (21) važi i za rešetkaste štapove, kao i za štapove tipa k ili g - razlika je samo u dimenzijama matrica i vektora U jedn. (21) unosi se veza q = T q, pa se zatim jednačina množi sa leve strane sa T T : T T R = T T KT q T T Q (22)
74 Imajući u vidu veze (13), kao i izraz (18) za matricu krutosti u globalnom sistemu, jednačina (22) može da se prikaže u obliku R = K q Q (23) Jednačina (23) pretstavlja osnovnu jednačinu opterećenog štapa u globalnom sistemu Zbog različitih položaja štapova u sklopu linijskog nosača (u ravni, ali i u prostoru!) neophodna je transformacija u globalni koordinatni sistem za sve štapove nosača
75 Posmatra se jedan od štapova u sklopu nosača - štap j, tipa k Da se naglasi da se osnovna jednačina (23) odnosi baš na štap j, uvodi se oznaka štapa kao gornji indeks: R j = K j q j Q j (24) U jedn. (24) nepoznata su čvorna pomeranja q j, dok su matrica krutosti K j i vektor ekvivalentnog opterećenja Q j poznati - određuju se iz geometrije i zadatog opterećenja duž štapa
76 U cilju razdvajanja doprinosa svakog štapa na čvorove na svojim krajevima, vrši se particija vektora čvornih sila i čvornih pomeranja po čvorovima na kraju štapa: R j = { R j i R j k } q j = { q j i q j k Broj vektora čvornih pomeranja q i jednak je broju čvorova K u posmatranom nosaču: i = 1, 2,..., K Pri tome svaki vektor čvornih pomeranja q i ima onoliko komponenti koliko ima stepeni slobode u posmatranom čvoru (za nosač u ravni od 0 do 3) }
77 Nepoznati vektori čvornih pomeranja q i određuju se iz uslova ravnoteže sila u izdvojenim čvorovima U pojedinim čvorovima postoje spoljašnje veze koje ograničavaju pojedine stepene slobode kretanja, odn. pretstavljaju granične uslove, jer je nosač, po definiciji, nepokretan sistem Prema tome, neki od stepeni slobode kretanja su unapred poznati, zbog postojećih graničnih uslova
78 Kada se postavljaju uslovi ravnoteže sila u čvorovima, čvorne sile se, prema vezama oblika (23), izražavaju preko čvornih pomeranja U takvim uslovima ravnoteže sila u čvorovima figurišu i čvorna pomeranja koja su poznata zbog datih graničnih uslova Poznata čvorna pomeranja mogu da se eliminišu iz uslova ravnoteže Nepoznata čvorna pomeranja u posmatranom nosaču određuju se iz uslova ravnoteže sila u slobodnim čvorovima
79 Jedino su u spoljašnjem uklještenju sprečana sva čvorna pomeranja (ukinuta su sva 3 stepena slobode kretanja za nosač u ravni) Drugi oslonci (npr. nepokretan ili pokretan zglob) ukidaju samo neki od stepena slobode kretanja Dakle, u formiranju jednačina ravnoteže sila u čvorovima nosača, mogu da se odmah eliminišu (uklone) poznata pomeranja (granični uslovi) i da se dobije sistem jednačina u kome figurišu samo nepoznata pomeranja
80 Alternativno, moguće je da se iz sistema jednačina ravnoteže sila u čvorovima ne uklone poznata pomeranja U tom slučaju iz uslovnih jednačina mogu da se dobiju i nepoznate reakcije veza (sile u čvorovima koje odgovaraju poznatim pomeranjima) Posmatra se čvor i koji je izdvojen iz nosača (u skladu sa Aksiomama statike) Uticaj uklonjenih štapova u čvoru, npr. štapa j, zamenjen je silama veze, odn. silama na krajevima štapova R j m, m=1,2,3
81 Sile na kraju štapa j, R j m, pozitivne su u pozitivnim smerovima osa globalnog sistema Po Principu akcije i reakcije uticaj štapa na čvor je dat sa istim silama ali suprotnih smerova Prema tome, uticaj štapa j na čvor i u kome je štap vezan, ogleda se silama Rm, j m = 1, 2, 3, koje su pozitivne u negativnim smerovima globalnih osa
82 Izdvojen čvor i iz nosača u ravni i sile koje deluju na čvor: - uticaj uklonjenih štapova na čvor - spoljašnje koncentrisane sile koje deluju na čvor
83 Osim sila koje sa uklonjenih štapova deluju na čvor, na čvor mogu da deluju i spoljašnje koncentrisane sile u čvoru To su sile Pi koje su pozitivne u pozitivnim smerovima osa globalnog sistema Ako je broj štapova j koji su vezani čvoru i jednak n i, onda su uslovi ravnoteže sila u čvoru i dati, u vektorskom obliku, sa: P i n i j=1 R j i = 0 (25)
84 Osnovna jednačina opterećenog štapa j data je sa: R j = K j q j Q j (26) Imajući u vidu čvorove i i k štapa j, vrši se particija vektora i matrica u jedn. (26) na subvektore i submatrice prema čvorovima štapa { R j i R j k } = [ K j ii K j ki K j ik K j kk ] { q j i q j k } { Q j i Q j k } (27)
85 Subvektori R j i i R j k su čvorne sile štapa j koje su na krajevima štapa j ka čvorovima i i k Slično, subvektori q j i i q j k su vektori pomeranja čvorova, dok su Q j i i Q j k vektori ekvivalentnog opterećenja štapa j koji deluju u čvorovima i i k Najzad, submatrice K j ii, K j ik i K j kk su čvorne matrice krutosti štapa j
86 Čvorne sile štapa j u čvoru i, R j i, mogu da se dobiju iz jednačine (27) u obliku: R j i = K j ii q j i + K j ik q j k Q j i (28) Unoseći ove sile u jedn. ravnoteže sila u čvoru i (25), dobija se P i n i j=1 (K j ii q j i + K j ik q j k Q j i ) = 0 (29)
87 Uvode se oznake n i Kii = j=1 K j ii Kik = K j ik (i k) n i Q i = j=1 Q j i (30) pa se jednačina ravnoteže sila u čvoru i dobija u obliku K iiq i + k K ik q k = P i + Q i (31)
88 Matrica Kii jednaka je zbiru svih čvornih matrica krutosti K j ii štapova j koji su povezani u čvoru i Matrica Kik postoji samo ako su čvorovi i i k međusobno povezani i jednaka je matrici K j ik štapa j koji povezuje čvorove i i k Vektor čvornih sila Q i jednak je zbiru subvektora ekvivalentnog opterećenja Q j i za čvor i po svim štapovima j koji su povezani u čvoru i (i naravno, opterećeni duž štapa)
89 Ako se vektori Pi i Q i saberu: P i + Q i = S i jednačine ravnoteže sila u čvoru i (31) mogu da se prikažu kao: K iiq i + k K ik q k = S i (32) Jednačina ravnoteže (32) ima onoliko koliko ima čvorova: i = 1, 2,..., K
90 Ako se napišu sve jednačine (32), i = 1, 2,..., K, mogu da se prikažu kao jedna matrična jednačina: K q = S (33) Matrica K je matrica krutosti sistema štapova, vektor q je vektor pomeranja čvorova nosača, dok je S vektor opterećenja (vektor slobodnih članova u jednačinama)
91 Matrica krutosti sistema štapova je kvadratna matrica sa K submatrica Kik, (i, k = 1, 2,..., K), gde je K ukupan broj čvorova nosača: K11 K12 K1k K 1K K21 K22 K2k K 2K K =.... Ki1 Ki2 Kik KiK (34).... KK1 KK2 KKk KKK
92 Dijagonalni blokovi (submatrice) Kii su uvek različiti od nule, dok vandijagonalni blokovi Kik postoje samo ako su čvorovi i i k međusobno povezani, inače su Kik nulti blokovi Prema tome, matrica krutosti sistema štapova nije puna matrica, već je trakaste strukture koja zavisi od topologije nosača, kao i od načina numerisanja čvorova nosača Red matrice krutosti K zavisi od broja stepeni slobode u svakom čvoru: maksimalno je 3 K Napominje se da u jednačinu (34) nisu uneti granični uslovi
93 Vektori čvornih pomeranja q i čvornih sila S imaju po K subvektora q i i S i, (i = 1, 2,..., K), od kojih svaki subvektor ima onoliko elemenata koliko ima stepeni slobode u posmatranom čvoru i (maksimalno po 3): q = q 1 q 2. q i. q K S = S 1 S 2. S i. S K (35)
94 Osnovne osobine matrice krutosti K su sledeće: - matrica K je kvadratna matrica reda N, gde je N 3 K i pretstavlja ukupan broj stepeni slobode (broj generalisanih koordinata, odn. pomeranja čvorova nosača) - matrica K je simetrična - matrica K je trakaste strukture - matrica K je singularna Kako su sve čvorne matrice krutosti, kao i matrice krutosti pojedinih štapova, simetrične, to je i matrica K simetrična, jer se dobija sabiranjem i raspoređivanjem čvornih matrica krutosti
95 Trakasta struktura matrice krutosti je zavisna od topologije posmatranog nosača, kao i od načina numeracije čvorova nosača Matrica krutosti sistema štapova K je singularna, odn. rang matrice krutosti je manji od reda matrice N i ne postoji inverzna matrica Neki od redova (ili kolona) matrice krutosti su međusobno zavisni, jer u jednačine ravnoteže (33) nisu uneti odgovarajući granični uslovi po pomeranjima Znači, odgovarajuća pomeranja oslonačkih čvorova su poznata (obično su jednaka nuli)
96 To što u matricu krutosti K nisu uneti granični uslovi po pomeranjima znači da su u vektoru pomeranja q sadržana i pomeranja nosača kao krute ploče (kao krute figure) u ravni, tako da položaj nosača nije definisan Da bi se odredio položaj sistema u ravni, neophodno je da se zadaju konturni uslovi, odn. da se unesu uslovi oslanjanja nosača Za unutrašnje kinematički stabilne ravne sisteme minimalan broj konturnih uslova je tri, pošto sistem, kao kruto telo u ravni, raspolaže sa tri stepena slobode kretanja
97 Sadržaj Matrična analiza linijskih nosača u ravni 1 Matrična analiza linijskih nosača u ravni 2
98 u ravni Matrice krutosti štapova (punih i rešetkastih) u lokalnim koordinatama zavise od - dužine štapa... l - geometrijskih karakteristika poprečnog preseka... F, J - karakteristika materijala... E Matrice krutosti štapova u globalnim koordinatama zavise još i od - položaja štapa u odnosu na globalni sistem... ugao α = (X, x)
99 u ravni Ulazni podaci o računskom modelu (text file) Ulazni podaci koji definišu računski model posmatranog nosača sastoje se iz sledećih celina: - opšti podaci o računskom modelu (naziv, vrsta analize,... ) - podaci o topologiji nosača: koordinate čvorova i povezanost štapova - podaci o poprečnim presecima i o materijalima - podaci o graničnim uslovima - podaci o opterećenju: osnovni slučajevi opterećenja i kombinacije opterećenja U posmatranom nosaču (u ravni, ali i u 3D) svaki čvor i svaki štap imaju svoj jedinstveni identifikacioni broj
100 u ravni Ulazni podaci o računskom modelu (text file) Numeracije čvorova, kao i štapova, međusobno su nezavisne i počinju sa 1,2,3,... Za svaki čvor unose se koordinate tačaka (u globalnom sistemu) Za svaki štap unose se globalni brojevi prvog i drugog čvora (i, k), pri čemu je lokalna x osa orjentisana od i ka k Formiraju se liste različitih poprečnih preseka i različitih materijala u modelu nosača Unose se podaci o graničnim uslovima: koji čvor je granični i kakvi su granični uslovi
101 u ravni Ulazni podaci o računskom modelu (text file) Unose se podaci o osnovnim slučajevima opterećenja: - naziv slučaja opterećenja (eventualno i redni broj) - podaci o koncentrisanim silama i spregovima u čvorovima nosača - podaci o raspodeljenim opterećenjima duž osa štapova: konstantna, trougaona ili trapezna raspodeljena opterećenja - podaci o koncentrisanim opterećenjima duž ose štapa (mada je moguće da se štap podeli na 2 dela na mestu koncentrisanih uticaja, pa da uticaji budu u novom čvoru) - podaci o temperaturnim uticajima duž ose štapa Podaci o kombinacijama osnovnih slučajeva opterećenja
102 u ravni U fazi učitavanja i analize ulaznih podataka svakom čvoru nosača dodeljuju se globalni brojevi za čvorna pomeranja u tom čvoru Ti globalni brojevi čvornih pomeranja pretstavljaju redne brojeve (redosled) nepoznatih generalisanih pomeranja u ukupnom vektoru generalisanih pomeranja q Za svaki štap time su određeni globalni brojevi čvornih pomeranja njegovih čvornih tačaka i i k Za sve štapove koji su vezani u zajedničkoj čvornoj tački globalni brojevi čvornih pomeranja u zajedničkom čvoru su isti
103 u ravni Prema tome, svaki štap, recimo tipa k, ima svojih 6 lokalnih stepeni slobode (u i, v i, ϕ i, u k, v k, ϕ k ) i svaka od tih generalisanih koordinata ima svoj jedinstven globalni redni broj Globalni redni brojevi čvornih nepoznatih nazivaju se kodni brojevi Za svaki štap se formira odgovarajuća matrica krutosti, prvo u lokalnom sistemu, a zatim i u globalnom sistemu Matrica krutosti štapa j u globalnom sistemu ima razdvojene submatrice koje odgovaraju njenim čvorovima i i k: k j ii, k j ik, k j ki = k j ik, k j kk (čvorne matrice krutosti)
104 u ravni Posle toga vrši se sabiranje matrica krutosti po svim elementima ( assembly ) Prvo se alocira memorijski prostor za globalnu matricu krutosti nosača K i svi elementi se iniciraju sa nulom Zatim se redom, za svaki štap j, u globalnu matricu krutosti nosača unose čvorne matrice krutosti k j ii, k j ik, k j ki, k j kk, pri čemu se čvorne matrice unose u pozicije globalne matrice koje odgovaraju globalnim brojevima čvornih pomeranja posmatrane čvorne matrice (postupak kodnih brojeva)
105 u ravni Kada se na istoj poziciji nađu čvorne matrice krutosti dva ili više štapova, elementi matrica čvornih krutosti se sabiraju Kada se saberu matrice krutosti svih štapova, odn. unesu čvorne krutosti svih štapova na odgovarajuće pozicije globalne matrice krutosti, formirana je matrica krutosti sistema štapova u globalnom sistemu K
106 u ravni Formiranje vektora slobodnih članova Zatim se vrši formiranje vektora slobodnih članova u globalnim koordinatama S Vektor slobodnih članova čine spoljašnje sile koje su direktno koncentrisane u čvorovima nosača, P, kao i vektor ekvivalentnog opterećenja koji pretstavlja uticaj spoljašnjeg opterećenja duž štapova nosača R : S = P + R
107 u ravni Za svaki štap koji je opterećen duž svoje ose formira se vektor ekvivalentnog opterećenja, prvo u lokalnom, a zatim u globalnom sistemu Vektor ekvivalentnog opterećenja pripada čvorovima i i k štapa na kome se nalazi raspodeljeno opterećenje Pri tome se zna koji su globalni brojevi (kodni brojevi) nepoznatih pomeranja u posmatranom čvoru Ako je više opterećenih štapova vezano u istom čvoru, odgovarajuće komponente vektora ekvivalentnog opterećenja u tom čvoru se sabiraju
108 u ravni Na sličan način se formira i vektor slobodnih članova, koji je dat kao odgovarajući zbir vektora koncentrisanih sila u čvorovima nosača, kao i vektora ekvivalentog opterećenja koji potiče od opterećenja duž štapova Tako dobijen sistem jednačina K q = S ne može da se reši, jer je matrica krutosti sistema štapova singularna matrica - nisu uneti granični uslovi
109 Sadržaj Matrična analiza linijskih nosača u ravni 1 Matrična analiza linijskih nosača u ravni 2
110 u ravni U vektoru čvornih pomeranja q veći deo su nepoznata generalisana pomeranja, a jedan deo su poznata pomeranja oslonačkih čvorova Ako se nepoznata čvorna pomeranja označe sa qf, a poznata čvorna pomeranja sa qb, onda je moguće da se izvrši particija: { } q q = f qb
111 u ravni Takođe, moguće je da se jednačine ravnoteže (33) prikažu u dekomponovanom obliku koji odgovara razdvajanju nepoznatih i poznatih pomeranja: [ K ff K fb K bf K bb ] { q f q b } = { S f S b Jednačina (36) može da se napiše u vidu dve jednačine: } (36) K ff q f + K fb q b = S f K bf q f + K bb q b = S b (37)
112 u ravni Iz prve od jednačina (37) dobija se vektor nepoznatih čvornih pomeranja: q f = K 1 ff (S f K fb q b ) (38) Imajući u vidu da je S b = R b + Q b iz druge od jednačina (37) dobja se vektor nepoznatih reakcija oslonaca: R b = K bf q f + K bb q b Q b (39)
113 u ravni Granični uslovi mogu da budu: - homogeni... q b = 0 - nehomogeni... q b 0 U slučaju homogenih graničnih uslova dobija se: 1 vektor nepoznatih čvornih pomeranja 2 vektor nepoznatih reakcija veza qf = K 1 ff Sf Rb = Kbf qf Q b = Kbf K 1 ff Sf Q b
114 u ravni U slučaju nehomogenih graničnih uslova (zadata pomeranja oslonaca), koriste se izrazi (38) i (39) Međutim, u realnoj implementaciji matrične analize linijskih nosača, odn. u izradi odgovarajućih računarskih programa, koriste se drugi pristupi unošenja graničnih uslova: 1 redukcija matrice krutosti 2 transformacija matrice krutosti Svaki stepen slobode kretanja, odn. svaka komponenta pomeranja, nepoznatog ili zadatog graničnim uslovima, ima svoj jedinstven redni broj, prema kome se i unosi u matricu krutosti
115 u ravni Redukcija matrice krutosti znači sledeće: - neka je, npr. m redni broj stepena slobode koji je poznat, odn. zadat graničnim uslovom (jednak je nuli) - vrsta broj m i kolona broj m uklone se iz matrice krutosti, uključujući i element m u vektoru slobodnih članova (unesu se nulte vrednosti) - sve vrste (redovi) matrice krutosti ispod reda m translatorno se pomere na gore za jedan red, tako što red m + 1 dospe u poziciju reda m i tako što poslednji red N dospe u poziciju reda N 1 - sve kolone matrice krutosti desno od kolone m translatorno se pomere levo za jednu kolonu, tako što kolona m + 1 dospeva u kolonu m, a poslednja kolona N dolazi u položaj kolone N 1
116 u ravni Redukcija matrice krutosti znači sledeće (nastavak): - na taj način, za jedan granični uslov matrica krutosti se smanji za jedan: sa reda N na red N 1 - takva redukcija matrice krutosti, kao i vektora slobodnih članova, vrši se redom za sve granične uslove po generalisanim pomeranjima - time se dobija redukovana matrica krutosti koja se odnosi samo na nepoznata generalisana pomeranja, kao i redukovan vektor slobodnih članova - tako dobijena redukovana matrica krutosti je regularna kvadratna simetrična matrica koja ima inverznu matricu
117 u ravni Transformacija matrice krutosti znači sledeće: - neka je zadat granični uslov po pomeranjima: q m = 0, gde je m globalni broj promenljive (generalisanog pomeranja) q - u matrici krutosti postojećem elementu na glavnoj dijagonali na mestu (m, m), dakle elementu k mm koji odgovara čvornom pomeranju q m, dodaje se jako veliki broj - jako veliki broj se dobija kada se najveći broj u matrici krutosti (to je, obično, neki od elemenata na glavnoj dijagonali) pomnoži sa, recimo, 10 6
118 u ravni Transformacija matrice krutosti znači sledeće (nastavak): - isto se uradi i sa svim ostalim zadatima graničnim uslovima: na glavnoj dijagonali matrice krutosti, na mestima zadatih (homogenih) graničnih uslova dodaju se veliki brojevi - takvom transformacijom matrice krutosti ne menja se red matrice, jedino se glavnoj dijagonali, na mestima koja odgovaraju zadatim graničnim uslovima, dodaju veliki brojevi - posledica takve transformacije matrice krutosti je da su promenjeni elementi na glavnoj dijagonali matrice krutosti koji odgovaraju rednim brojevima čvornih pomeranja koja su zadata graničnim uslovima (jednaka su nuli)
119 u ravni Transformacija matrice krutosti znači sledeće (nastavak): - tako transformisana matrica krutosti nije više singularna (ima inverznu matricu) i sistem jednačina može da se reši - zbog unetih jako velikih brojeva na glavnu dijagonalu matrice krutosti ne mestima koja odgovaraju zadatim graničnim uslovima, u rešenju se dobijaju nule za čvorna pomeranja koja su zadata homogenim graničnim uslovima (jer se deli sa jako velikim brojem) Metoda transformacije matrice krutosti više je u upotrebi od metode redukcije jer se lakše implementira u programu
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραMETODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar
METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραMODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar
MODELIRANJE KONSTRUKCIJA I NUMERIƒKE METODE Master akademske studije, I semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16 Sadrºaj 1 MKE - Linijski
Διαβάστε περισσότεραPROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραDimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona.
Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona Prema osnovnoj formuli za dimenzionisanje maksimalni tangencijalni napon τ max koji se javlja u štapu mora biti manji
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραSavijanje statički neodređeni nosači
Savijanje statički neodređeni nosači Statička neodređenost nosača Uslovi neprekidnosti elastične linije Prva jednačina savijanja Normalni napon u nekoj tački poprečnog preseka s M moment sprega s z M I
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.
5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραMATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA -Informacije o predmetuškolska
MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA -Informacije o predmetuškolska godina 2017/2018. Prof. Dr Mira Petronijević 1 MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 2017/2018 FOND ČASOVA: 4+2 PREDAVANJA SREDA 12:15-14 h SALA 225
Διαβάστε περισσότεραKonstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραOTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar
OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof dr Stanko Br i email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16 Sadrºaj 1 Sloºeno naprezanje
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραIzvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole
Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije Elastična linija, čija je jednačina y(z), je krivolinijski oblik ose nosača izazvan opterećenjem. Koordinatni sistem ćemo uvek uzimati tako da je koordinatni
Διαβάστε περισσότεραOsnovne vrste naprezanja: Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje. Savijanje. Izvijanje
Osnovne vrste napreanja: ksijalno napreanje Smicanje Uvijanje Savijanje Ivijanje 1 SVIJNJE GREDE SI Greda je opterećena na desnom kraju silom paralelno jednoj od glavnih centralnih osa inercije (y osi).
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραUZDUŽNA DINAMIKA VOZILA
UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραSistemi linearnih jednačina
Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραProračun nosivosti elemenata
Proračun nosivosti elemenata EC9 obrađuje sve fenomene vezane za stabilnost elemenata aluminijumskih konstrukcija: Izvijanje pritisnutih štapova; Bočno-torziono izvijanje nosača Izvijanje ekscentrično
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα4 Matrice i determinante
4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραII. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραGRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Modul za konstrukcije PROJEKTOVANJE I GRAĐENJE BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 NOVI NASTAVNI PLAN
GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU pismeni ispit Modul za konstrukcije 16.06.009. NOVI NASTAVNI PLAN p 1 8 /m p 1 8 /m 1-1 POS 3 POS S1 40/d? POS 1 d p 16 cm 0/60 d? p 8 /m POS 5 POS d p 16 cm 0/60 3.0 m
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. Inverzna matrica
Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši
Διαβάστε περισσότεραPROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)
ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje
Διαβάστε περισσότεραII. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότερα( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min
Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti
MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom
Διαβάστε περισσότεραProgram testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Διαβάστε περισσότεραTEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79
TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić
OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραDIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
Διαβάστε περισσότεραTEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar
TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα30 kn/m. - zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca. - postavimo uslove ravnoteže. - iz uslova ravnoteže odredimo nepoznate reakcije oslonaca
. Za zadati nosač odrediti: a) Statičke uticaje (, i T) a=.50 m b) Dimenzionisati nosač u kritičnom preseku i proveriti normalne, smičuće i uporedne napone F=00 k F=50 k q=30 k/m a a a a Kvalitet čelika:
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραl r redukovana dužina (zavisno od dužine i načina vezivanja)
Vežbe 6 IZVIJANJE 1 IZVIJANJE Izvijanje se javlja kod aksijalno napregnutih štapova na pritisak, kada imaju relativno veliku dužinu u odnosu na površinu poprečnog preseka. Zbog postojanja geometrijskih
Διαβάστε περισσότεραISPIT GRUPA A - RJEŠENJA
Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB oslonjena je na dva čelična štapa u A i B i opterećena trouglastim opterećenjem, kao na slici desno. Ako su oba štapa iste dužine L,
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραZadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače
Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραProračunski model - pravougaoni presek
Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N
Διαβάστε περισσότεραTEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar
TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.
Διαβάστε περισσότεραTEHNIČKA MEHANIKA I 9. PREDAVANJE SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA. Str knjiga Poglavlje 12 Unutrašnje sile
5.5.2016 1 TEHNIČKA MEHANIKA I 9. PREDAVANJE SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA Str 267-290 knjiga Poglavlje 12 Unutrašnje sile 5.5.2016 2 ŠTA ĆEMO NAUČITI U OVOM POGLAVLJU? Određivanje unutrašnjih sila u presecima
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραAko prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
Διαβάστε περισσότερα5.2 GRAFOSTATIKA. Prosta greda. Greda sa prepustima
5.2 GRAFOSTATIKA Nosačem se naziva kruto telo koje prenosi opterećenje koje mu saopštavaju tela koja su sa njim u kontaktu. Nosači nogu biti: - ravni ( ako osa nosača i opterećenja leže u jednoj ravni)
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότερα