CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA î ul uiversitr 9
PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii lor curete, cât şi bsolveţilor cre doresc să se pregătescă temeiic î vedere emeului de bcluret şi cocursului de dmitere î uiversităţi de prestigiu î cre dmitere se fce pe bz uor probe l discipliele de mtemtică. Coţiutul culegerii este dptt oului curriculum de mtemtică cre pri setul de competeţe, vlori şi titudii pe cre le promoveză sigură premisele petru o itegrre profesiolă optimă pri trsee idividule de îvăţre şi formre. Avâd î vedere diversitte dtortă eisteţei uui mre umăr de mule ltertive, m căutt să uificăm diferitele miere de prezetre pri legere uor probleme pe cre le cosiderăm idispesbile petru bordre cu succes cursurilor de mtemtică di ciclul îtâi de l tote fcultăţile Uiversităţii Politehic di Timişor. L lcătuire problemelor s- vut î vedere o reprezetre corespuzătore tât părţii de clcul, cât şi spectelor de judectă, respectiv, de rţiomet mtemtic. Grdul de dificultte l problemelor efiid cel l uei olimpide de mtemtică, ceste vor pute fi bordte de orice elev su bsolvet cu o pregătire medie părţii teoretice şi cre posedă deprideri de clcul corespuzătore. Problemele sut prezette după modelul test, cu şse răspusuri fiecre, ditre cre uul sigur este corect. Coştieţi de fptul că dor urmărire rezolvării uor probleme u duce l formre depriderilor de clcul şi uui rţiomet mtemtic riguros, utorii u les vrit problemelor propuse fără rezolvări. De semee, petru u forţ î rezolvre obţiere uui rezultt diite cuoscut, u se fce precizre cre ditre cele şse răspusuri este devărt, cest rezultâd î urm uei rezolvări corecte. Totuşi, petru uele problemele cu u grd mi mre de dificultte, utorii u cosidert ecesr să de idicţii şi rezolvări itegrle. Ţiâd cot de fptul că prezet crte v fi folosită şi l îtocmire subiectelor petru cocursul de dmitere l Uiversitte Politehic di Timişor, ivităm bsolveţii de liceu să rezolve testele di cest volum, dăugâdu-şi stfel cuoştiţe oi l cele dej eistete şi implicâdu-se pri cest î demersul de evlure propriilor competeţe. Deprtmetul de Mtemtică l UPT
DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ PROGRAMA ANALITICĂ Elemete de lgebră Progresii ritmetice şi geometrice. Fucţii: fucţi prte îtregǎ, fucţi rdicl, fucţi de grdul l doile; Ecuţii irţiole. Sisteme de ecuţii eliire. Fucţi epoeţilǎ şi fucţi logritmicǎ. Ecuţii epoeţile şi ecuţii logritmice. Permutări, rjmete, combiări. Biomul lui Newto. Numere complee sub formǎ lgebricǎ şi sub formă trigoometrică. Mtrice. Determiţi. Sisteme de ecuţii liire. Legi de compoziţie. Grupuri. Iele şi corpuri. Iele de poliome cu coeficieţi îtr-u corp comuttiv. Elemete de geometrie şi trigoometrie Vectori î pl. Fucţii trigoometrice. Relţii ître fucţii trigoometrice. Ecuţii trigoometrice. Produsul sclr doi vectori. Aplicţii trigoometrice î geometri plă: teorem cosiusului, teorem siusurilor; rezolvre triughiurilor. Drept î pl. Ecuţii le dreptei. Codiţii de prlelism şi codiţii de perpediculritte două drepte. Clcule de distţe şi rii. Reprezetre grfică coicelor: cercul, elips, hiperbol, prbol. Elemete de liză mtemtică Limite de şiruri. Limite de fucţii. Cotiuitte. Derivbilitte. Aplicţii le derivtelor î studiul vriţiei fucţiilor. Primitiive. Itegrl defiită. Aplicţii le itegrlei defiite: ri uei suprfeţe ple, volumul uui corp de rotţie, clculul uor limite de şiruri.
Acestă culegere este recomdtă petru dmitere l următorele fcultăţi le Uiversităţii Politehic di Timişor: Fcultte de Arhitectură Fcultte de Automtică şi Clcultore Fcultte de Electroică şi Telecomuicţii
CUPRINS ELEMENTE DE ALGEBRĂ (simbol AL )...9 ELEMENTE DE GEOMETRIE PLANĂ ŞI TRIGONOMETRIE (simbol GT )...65 ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ (simbol AM )...7 PROBLEME MODEL CU REZOLVĂRI... BIBLIOGRAFIE.. 58
6
ELEMENTE DE ALGEBRĂ
Culegere de probleme ELEMENTE DE ALGEBRĂ (simbol AL) AL - Cre este cel de-l -le terme l şirului,,5,7,...? ) b) c) 5 d) e) 9 f) 7 AL - Să se găsescă primul terme şi rţi r i uei progresii ritmetice 6 7 ( ) dcă :. 8 7 ), r b), r c), r d) 5, r e), r f), r AL - Să se determie sum primilor de termei i uei progresii ritmetice ( ), dcă, 5. ) b) 795 c) 55 d) 65 e) 5 f) 5 AL - Petru o progresie ritmetică sum primilor termei i ei este S 5 6. Să se determie primul terme şi rţi r. ), r 9 b), r c), r d), r e), r f) 9, r 9 AL - 5 Să se determie rţi şi primul terme le uei progresii ritmetice petru cre 5 8, ir S S, ude S este sum primilor termei i progresiei. ) 6, r b), r c), r 5 d), r 5 e) 8, r f), r
Elemete de lgebră AL - 6 Să se determie R stfel îcât următorele umere: 5,, să fie î progresie ritmetică, ude [ α ] reprezită prte îtregă lui α R. ) d), ; b), ; c), ;, ; e), ; f) φ AL - 7 Să se determie R stfel îcât următorele umere să fie î progresie ritmetică:,, 5, ude N. ) {,, } ; b) 5 c) d) { 5, 6, 7,8} e) f) φ AL - 8 Să se determie R stfel îcât următorul triplet să fie formt di umere î progresie geometrică,, 5 ), d) { } e) b), c) φ f), AL 9 Fie ( ) u şir vâd sum primilor termei S b, ude b, R, petru orice. Să se determie şi b stfel îcât şirul ( ) să fie progresie ritmetică cu primul terme egl cu. ), b R, b, c), b d), b e), b f), b b) ( )
Culegere de probleme AL Fie p, q N, p q. Să se determie rţi uei progresii ritmetice î cre primul terme este, ir rportul ître sum primilor p termei şi sum primilor q p termei este. q ) b) c) 6 d) 5 e) f) AL Fie,,..., \ { } Î fucţie de termeii uei progresii ritmetice cu rţi r. R, şi r să se clculeze sum: S.... ) ( ) b) r c) [ ( ) r] d) ( r) e) ( r) f) ( )r AL Să se determie umărul termeilor uei progresii ritmetice descrescătore dcă simult sut îdepliite codiţiile : (i) Rţi stisfce ecuţi 9 7 (ii) Primul terme stisfce ecuţi : lg ( y ) lg( 5 7) lg lg y (iii) Sum progresiei este cu 9 mi mică decât epoetul p l biomului p b b î cărui dezvoltre termeul l ptrule coţie pe b l putere îtâi. ) 5 b) c) 6 d) e) f) 8
Elemete de lgebră AL - Să se determie primul terme şi rţi q petru progresi geometrică ( ) dcă : 5. 6 5 ), q b), q c) 6, q 6 d) su e), q f) su q q q q AL - Sum trei umere î progresie ritmetică este eglă cu. Dcă se dugă cestor, respectiv umerele,,, progresi devie geometrică. Să se fle ceste umere. ) 5,,7 şi 5,, b),,7 şi 7,,-9 c) 6,8, d),,5 şi 7,5, e) 5,9, şi 8,, f),,6 şi,,9 AL 5 Trei umere sut î progresie geometrică. Dcă se măreşte l doile cu, progresi devie ritmetică, ir dcă se măreşte poi şi l treile cu 576, progresi devie di ou geometrică. Cre sut cele trei umere? ),, su,-7,9 ; b),, su -7,,9 ; c),, su,9,-7 ; d),,6 su 6,, ; e) 8,, su -,-, ; f),, su 9,5,5 AL 6 Pot fi umerele 7,8,9 elemete le uei progresii geometrice? ) D î progresie geometrică î ordie 7,8,9 cu o rţie q< b) D î progresie geometrică î ordie 9,8,7 cu o rţie q< c) D î progresie geometrică î ordie 7,9,8 cu o rţie q< d) D î progresie geometrică î ordie 8,9,7 cu o rţie q< e) Nu, cu umerele dte u se pote form o progresie geometrică f) D î progresie geometrică î ordie 7,9,8 cu o rţie q>
Culegere de probleme AL 7 Să se clculeze k k. k ) 9899; b) 98; c) 98; d) 985; e) 987; f) 989 AL 8 Să se clculeze sum S...... {. cifre ) [ 9] b) [ 9] 8 8 d) [ 9] e) [ 9] 9 9 c) [ 9] 8 f) [ 9] 9 AL 9 Fie N, şi,,, primii termei i uei progresii geometrice cu k >, k,. Dcă S k, S şi p, tuci : k k k ) S p S b) S p S c) p S S S d) p S e) f) S S p SS p S S
Elemete de lgebră 5 AL Fie ( ) şi ( b ) două progresii stfel îcât prim să fie ritmetică şi ce de dou geometrică, ir b şi b. Să se determie ceste progresii dcă b 6. ) 9, 9 b) 9 6 b su b b su b c) 9 d) - 9 b su b (-) - b su b (-) e) 9 9 f) 9 9 b (-) su b (-) b (-) su b AL Fie,,..., u şir de umere rele î progresie geometrică şi p N *. Să se clculeze sum S p p p p... p p. ) p q S b) p p ( q ) q p S p p ( q ) c) S p ( ) p ( q q p ) q p p ( ) ( q q ) d) p p ( q ) S e) p ( ) S p p ( q ) f) p ( ) p q ( q ) q p S p AL Să se clculeze epresi E......, R \ { }. ) b) c) d) e) f)
6 Culegere de probleme AL Să se decidă dcă este progresie geometrică u şir petru cre sum primilor săi termei este S ; î cz firmtiv precizţi rţi q cestei. ) q b) q c) q d) q e) Şirul u este progresie geometrică f) q 6 AL Să se determie umerele rele,y,z dcă,y,z sut î progresie ritmetică cu rţi eulă,,z,y sut î progresie geometrică şi yz 8. ) -, 6, b), 6, - c) 6,, d) -,, 8 e), -6, 6 f) 6, -8, AL 5 Să se determie umerele rele cu propriette 5, şi să se precizeze itervlul î cre se flă soluţi. ), 5 b), 5 5 c), 5 5 d), 5 5 e) 5, f) [, ) AL - 6 Să se determie umărul turl 6 N k k, ude [ ] oteză prte îtregă umărului rţiol scris î iterior. ) 7 b) 8 c) 57 d) 9 e) 97 f) 78
Elemete de lgebră 7 AL - 7 Dcă [α] reprezită prte îtregă lui α R, să se rezolve ecuţi : precizâdu-se î cre di următorele itervle se flă soluţi ) (,7) (9,5) b) (-5,-) (, ] [5,7) c) (-,) [, ) (6,) d), (,) [5,7) e) (-,] [,) (5,8) f) [,] [,7] (9, ) AL - 8 Să se rezolve ecuţi [ ] [ ] 5 ) [, ) b) (, ) c) (,) d) (,] e) f) [,) 5 6 5 7 AL - 9 Mulţime soluţiilor ecuţiei: 8, ude [] reprezită prte 5 îtregă lui, este ), b) 5 7, c), 5 5, 7 d), e), 5, f), 5 AL - Notâd cu S mulţime soluţiilor ecuţiei [] să se precizeze cre di următorele mulţimi este S ), Z b) U k, k k Z k c) { ; d) {-,} e) [-,] f) (-,) Z \ {,}}
8 Culegere de probleme AL Se cosideră fucţi f: R R, f ( ) şi se oteză f f ο f,, f f - ο f. Să se determie epresi lui f ) f () f() ; b) f () f(); c) f () f() - d) f () f(); e) f () f(); f) f () f() AL - Fie ecuţi. Stbiliţi cre ditre firmţiile de mi jos este devărtă ) ecuţi re două soluţii b) ecuţi re trei soluţii c) ecuţi re o sigură soluţie d) ecuţi re o ifiitte de soluţii e) ecuţi u re ici o soluţie f) ecuţi re umi soluţii egtive m AL - Se dă ecuţi, m Z \ {}, ude [ ] este prte 5 îtregă umărului rel. Să se determie m Z petru cre ecuţi re soluţii şi poi să se determie ceste soluţii: ) m ± b) m ± c) m ± 9 9 ; 7; 7; 9 9 9 7; ; ; d) m ± e) m ± f) m ± 9 9 9 ; 7; 7; 9 9 9 ; 8; ;
Elemete de lgebră 9 AL - Să se clculeze f ((, ]) petru fucţi de grdul l doile defiită pri f ( ). ) [,] b) [,) c) (,] d) [,] e) (,) f) (,) AL - 5 Dcă fucţiile f,g :R R u proprietăţile: i) f(g()) -, ( ) R ; ii) g(f()) să se determie cel puţi o soluţie relă ecuţiei f() g() ) b) c) d) e) f) AL 6 Să se rezolve iecuţi. ( ) ) (, ) b) (, ), (,) c), [,] (, ) d) (, ) (, ) e) R \{, } f) (, ), (, ) AL - 7 Să se determie mulţime vlorilor lui m R, stfel îcât ), 5) { m } { R ( m ) } R I. ( b) { 7, } c) R d) { 9, 5} e) { 7, 8} f) { } AL - 8 Să se rezolve iecuţi <. ) R b) (,) (, ) c) (, ) d) (, ) (, ) e) (,) (, ) f) R \ {,}
Culegere de probleme AL - 9 Să se determie vlorile prmetrului rel m stfel îcât R : m m m >. { ( ) ( ) } 5 ) m (, ), b) m [, ) c) m (, ] 5 d) m, e) m 5, f) m, ( ] AL - Să se fle miimul epresiei E b b petru, b R. 9 7 ) b) c) d) e) f) 8 AL - Se cosideră fucţi f : R R, f ( ) m m, m R. Să se eprime î fucţie de m >, epresi E f ( m) f ( m), ude, sut rădăciile ecuţiei f ( ). ) m b) m c) m ( m ) d) ( m ) e) m ( m ) f) m AL - Să se determie m R, stfel c rădăciile şi le ecuţiei m m să stisfcă relţi 5. ( ) ) m, m b) m, m c) m, ± 7 d) m, ± 5 e) m, ± 5 f) m, m AL - Fie ecuţi m m m, ude m R. Cre este mulţime vlorilor pe cre le pot lu rădăciile rele, câd m vriză? ) [, ] b) [, ] c) [, ] d) [, ] e) [, ] f) [, ]
Elemete de lgebră AL - Fie ecuţi -(m)m m, m R. Dcă ecuţi re rădăciile rele (m), (m), precizţi vlore mimă epresiei E m) ( ). ( m ) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f). AL - 5 Fiid dtă ecuţi bc, ( ), să se eprime î fucţie de, b şi c sum S, ude, sut rădăciile ecuţiei dte. b bc c bc b bc ) S b) S c) S b bc c bc b bc d) S e) S f) S AL - 6 Se cosideră ecuţiile 7 şi m. Să se fle m petru c ecuţiile să ibă o rădăciă comuă. ) m {,}, b) m {,} c) m {,} d) m {,} e) m {,} f) m {,} AL - 7 Să se determie prmetrii reli m şi stfel c ecuţiile ( 5m 5) ( m) şi ( ) 5 să ibă celeşi rădăcii. ) m -, 7; b) m - 7, c) m 9, 7 d) m, 7 e) m 7, f) m 9, -7
Culegere de probleme AL - 8 Fie ecuţi ( m ) m m, m R, le cărei rădăcii sut şi. Să se determie o relţie idepedetă de m ître rădăciile ecuţiei. ) b) c) d) e) f) AL - 9 Se cosideră ecuţiile b c, ' b' c', ' cu rădăciile, şi respectiv ', '. Dcă ître coeficieţii celor două ecuţii eistă relţi c ' ' c bb', tuci cre di următorele relţii este verifictă de rădăciile celor două ecuţii? ) ' ( )( ' ') b) ' ' ' c) ' ' ' d) ' ' ' e) ' ' f) ' ' AL - 5 Să se rezolve ecuţi irţiolă. ), b), c), d), e), f), AL - 5 Determiţi tote vlorile lui 7 <. Z petru cre re loc ieglitte ) {,,,5,6,7,8 } b) {,,,,5,7,8 } c) {,,,5,6,7,8 } d) {,5,6,7,8} e) {,,5,6,7} f) {,,5,6,7,8}
Elemete de lgebră AL - 5 Fie fucţi f : R R, fucţi i ce mi mre vlore. f ( ). Să se determie petru cre ) b) c) d) e) f) AL - 5 Să se determie tote vlorile lui m R petru cre fucţi, (,) f : R R, f ( ) m m, [, ) este mootoă. ) m (,o) b) m c) m R d) m [, ) e) [,) m f) m φ AL - 5 Să se determie vlorile lui m R stfel îcât fucţi m, (,] f : R R, f ( ) m, (, ) să fie surjectivă. ) m b) m (,) c) m, d) m, e) m φ f) m AL - 55 Să se determie mulţime mimlă E stfel îcât fucţi f : E R R, f ( ) m{ 5, } să fie bijecţie. E b) E [,] c) E R d) E [ ] e) E (,] f) E [, ) ) R,
Culegere de probleme AL - 56 Fie fucţi de grdul l doile ( ) m ( m ) m ( m ) f m,. Să se determie m stfel îcât vârful prbolei socite cestei fucţii să se găsescă pe prim bisectore. ) m b) m c) m d) m e) m f) m 6 6 AL - 57 Determiţi vlorile prmetrului rel m stfel îcât drept de ecuţie y să tie prbol de ecuţie y m ( m 5) m î puctele (,) şi (,). ) m, m b) m, m c) m d) m e) m f) m AL - 58 Fie fmili de fucţii de grdul l doile ( ) ( m ) m m R f m, Să se rte că vârfurile prbolelor socite cestor fucţii se găsesc pe o prbolă cărei ecuţii se cere. ) y b) y c) y d) y e) y f) y AL - 59 Determiţi epresi litică fucţiei de grdul l doile ( ) c f vârfului. f : R R,, ştiid că grficul ei tie Oy î puctul şi re bscis ) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) e) f ( ) f) f ( )
Elemete de lgebră 5 AL - 6 Să se determie m R stfel îcât prbolele socite fucţiilor f şi g ( ) m m 6 să ibă celşi vârf. ( ) ) m - b) m c) m - d) m e) m f) m -5 AL - 6 Fiid dtă fmili de prbole ( ) m ( m ) m f m, * m R să se determie vlorile lui m petru cre obţiem prbole le căror pucte de itersecţie cu O sut simetrice fţă de origie. ) R { } m b) m c) m d) m e) {,, } m f) m AL - 6 Să se determie p, q R dcă fucţi : R R re mimul î puctul -. f, f ( ) p q ) p, q b) p, q c) p, q d) p q e) p q f) p, q AL - 6 Presupuem că petru ecuţi b c vem > şi rădăciile,. Să se clculeze î fucţie de şi. ) b) ( ) c) d) e) f) b
6 Culegere de probleme AL - 6 Dcă, sut rădăciile ecuţiei, tuci ecuţi cre re rădăciile şi este echivletă cu: ) y y ; b) y y c) y y d) y y e) y y f) y y AL - 65 Fie o fucţie ( y) f ( ) Ky y f : R R, stfel îcât f ( ) 5 şi, y R, f, ude K este o costtă. Să se determie vlore lui K şi fucţi f. ) K ; f ( ) b) K, f ( ) c) K ; f ( ) d) K ; f ( ) 6 e) ; f ( ) K f) K ; f ( 5) AL - 66 Fie R şi fucţi ( ) f : R R, f. Dcă rădăciile, le ecuţiei f ( ) stisfc relţi ( ) mulţime soluţiilor iecuţiei f ( ) < f ( ) este:, ) (-, ); b) (-, ); c) (-, ); d) (, ); e) (, ); f) (-, ). AL - 67 Cre sut vlorile k rele petru cre iecuţi k k 6< u re soluţii? ( ) ) k 5 (, ) b) k [ 5, ) c) k 5 [, ] d) k 8 [, ] e) k [, ] ( 7, ) f) k [, ) ( 5, )
Elemete de lgebră 7 AL - 68 Petru ce vlori le prmetrului rel m ieglităţile m < < 6 sut stisfăcute petru orice R? m 6 m 6, ) m R b) (, ) c) ( ) d) m (, ) e) m 66 (, ) f) m 6 [, ] AL - 69 Să se rezolve iecuţi ) [,) b), 5 6. 5 5 c) {,} d) R e) f) (, ) AL - 7 Să se determie mulţime vlorilor prmetrului rel m stfel îcât fucţi 6m 9 f : R R, f ( ) să u i ici o vlore mi mică decât su mi mre decât. ), b) ( ) d) [, ] e) ( ], c), f) (, ) AL - 7 Să se determie vlorile prmetrului rel m stfel îcât ( m ) m > petru orice R. m ) m {, } b) m, [, ) c) m (, ) (, ) d) m (, ) (, ) e) m (, ) f) m,,
8 Culegere de probleme AL - 7 Să se fle ce mi mică vlore fucţiei f : R ( ) R, f m m m, câd prmetrul rel m prcurge tote vlorile posibile. ) b) c) d) e) 8 f) AL - 7 Să se determie distţ celui mi propit vârf l prbolelor f ( ) m m, m R de O. ) b) c) d) e) f) AL - 7 Să se determie m R * stfel îcât m ( m) ( m ) petru orice >. > ) m, ( ) b) m (, ) c) m (, ] d) m (, ] e) m [, ) f) m (, ) \{} AL - 75 Petru ce vlori le lui m, mulţime R m m m, re u sigur elemet? { } [ ] A ( ) ( ) ) m R b) m ( ) d) m [ ], c) m,, e) m, f) m, AL - 76 Fie ecuţi ( m) ( m) m, ude şi m sut prmetri reli. Petru ce vlori le lui, ecuţi dmite rădăcii rele oricre r fi vlore prmetrului m? 5 ), b) R c) (, ) d) (,) e) [, ) f) (, )
Elemete de lgebră 9 AL - 77 Se cosideră ecuţi m m 7. Cărui di itervlele idicte mi jos trebuie să prţiă prmetrul rel m, stfel c ecuţi dtă să ibă o sigură rădăciă cuprisă î itervlul [, ]? ) (, ] b) (, ) c), d) 9, e), 7 5 f), 9 5 AL - 78 Să se determie vlorile prmetrului m R \{ } stfel îcât ecuţi m ( m ) să ibă mbele rădăcii î itervlul (, ]. 5 ) m, (, ) b) m ( ] { } e) m 5 d) m (, ) [, ) AL - 79 Să se determie Im f ( ) f ( ) 9 9 ), { }, \ c) m,, 5 5, f) m, (, ) f R petru fucţi f : R R, 9 b), 9 9 9 c), d), U, 9 9 9 9 e), U, f), AL - 8 Rezolvţi î R iecuţi >. ) (, ] b) (, ) c) (, ) d) (, ) (, ) e) [, ] f) (, ]
Culegere de probleme AL - 8 Să se rezolve î R ecuţi. ) (, ) b) R c) [, ) d) e) (, ] f) R \{, } AL - 8 Precizţi cre este mulţime soluţiilor sistemului y y 6. y y 8 { } ) ( 8, ) ; ( 8, ) ; ( 7, 5) ; ( 75, ) b) ( 8) ( 8) 5 5 c) ( 8, );(, 8) ;, ;, d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) 7 7 7 5 7, ;, ;, ;, 5, ;, ; 7 7 5, ;, 5 8 8 7 5 5, ;, ;, ; 7, 7 5 7, ;, ;, ;, 5 f) ( ) ( ) AL - 8 Să se rezolve sistemul y y ) {(,), (, )} b) {(,), (,) } c) {(,)(,,) } d) {(, ), (, ) } e) {(,) } f) {(,)} AL - 8 Să se determie soluţiile rele le sistemului y y y y 5 ) {(,), (, )}, b) {(,) } c) {(,)} d) {(,), (,) } e) {(,), (, )} f) {(,)(,, )}
Elemete de lgebră AL - 85 Î cre di următorele mulţimi se flă soluţiile sistemului y y 9 y y ) [, ], y { 7,8} [ 5, ], y (, ) b) (, ], y [ 7,9] { 7,8,9 ], y [,] c) (, ),y (, 7) { 5, 7},y (, ) d) (, ), y (,] {,5,7}, y {,, } e) [ 7, ], y [,5) (,6), y (,6) f) (,5 ), y ( 7,9) ( 7,9), y (,5) AL - 86 Fie {( k, y k) k,,..., } mulţime soluţiilor rele le sistemului y y 8 y y 6. Să se clculeze k. k ) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f)
Culegere de probleme AL - 87 Să se determie soluţiile sistemului (,5 );, 5 ), ;, 5 5 ( ) y 5 (,5 ); (, 5) b), ;, 5 5 c) ; y 5 este sigur soluţie d) y 5 este sigur soluţie e) este sigur soluţie f) 5 y 5 y z AL - 88 Fie ( S ):, m R. Fie y z m ~ ~ ~ A { m R ( S ) dmite o soluţie relă uică, ottă cu m, ym, zm }, ~ ~ ~ S m şi S m ym zm. Atuci m A m A ) S ; S b) S ; S 5 c) S ; S d) S ; S e) S 5; S f) S 5; S 5
Elemete de lgebră AL - 89 Î cre di următorele mulţimi se flă soluţiile rele le sistemului 6 y 98? y y 9 ) ( ) y { }, ;,, b) (, ) ; y (, ) c) (, ) (, ) ; y [, ] e) y ( ) d) (, 7) ; y ( 7, ), ;, f) y, ;, AL 9 Să se determie tote tripletele de umere rele (, y, z) cre verifică sistemul eliir y, y z, z 6y ) (,,) ; (,,) ; (,,8); b) (,,); (,,8); (,,8) c) (,,) ; (,,8) ; (,,8) ; d) (,,) ; (,,8) ; (,,8) e) (,,) ; (,,8) ; (,,8) ; f) (,,) ; (,,); (,,); (,,) AL 9 Să se determie codiţiile pe cre trebuie să le verifice prmetri reli,b stfel îcât sistemul y y b ( y) ( y) să ibă tote soluţiile rele ),b R b),b R c),b R b b, b b, b d),b R e),b R f),b R b
Culegere de probleme y z 6 AL 9 Fiid dt sistemul y z y z 6 să se precizeze umărul soluţiilor rele şi itervlele î cre se flă ceste soluţii ) b) 6 (,y,z) [,5] [,5] [,5] (,y,z) [,] [,] [,] c) d) 6 (,y,z) [,7] [,7] [,7] (,y,z) [,9] [,9] [,9] e) f) (,y,z) [,] [,] [,] (,y,z) [,] [,] [,] AL 9 Să se determie î cre di itervlele de mi jos se flă soluţiile sistemului y yz z y z y z y z 6 ),, y,, z, b),, y,, z, c),, y,, z, d) (, ), y (,), z (,) f),, y,, z (, ) e) (,), y,, z (,) AL - 9 Să se determie vlorile prmetrului rel stfel îcât sistemul y z să ibă o soluţie uică relă. y z ) ( ), b) 5 5, c) {, } d) (, ) e) {, } f) (, )
Elemete de lgebră 5 AL - 95 Să se determie m R stfel îcât y y m> petru orice y, R. ) 7 m c) < m b) (,) m d) m (,5) e) m ( 8, ) f) m [,5) AL - 96 Fie f : R R, f ( ) ( m ) ( m ) m. Să se fle î cre di următorele itervle se găseşte m stfel îcât vlore miimă fucţiei f să fie 9. ) m (,) b) (,) m c), m d) m (,7) e) m [ 7,9] f) m ( 8, ) AL - 97 Să se determie prmetrul R stfel îcât rădăciile cestei să verifice ieglităţile ) m ( 6, ) b) m [ 6] m di ecuţi ( m ) 5 m, <, >., c) m R d) m (, ) e) m (,) f) m { } ( 5, ) AL - 98 Să se determie prmetrul m Z \{ }, stfel c rădăciile şi le ecuţiei ( m ) 5 m să stisfcă codiţiile: (,), (,5). ) m b) m c) m d) m 5 e) m f) m AL - 99 Să se fle mulţime vlorilor fucţiei f defiită pri formul ), ) ( b) (, ) c) [, ] f ( ). d)[, ) e) (, ) f) { }
6 Culegere de probleme AL - Fie f : R, f ( ) m R. Să se determie m, R stfel îcât f ( R ) [ 5, ]. 5 7 ) m ± { } ;, b) m ± { } ; { } c) m ± { } ; ± { } d) m [ ], ; e) m [ 5] [ ], ;, f) m { } ± ; AL - Fie fucţi f : R R, f ( ) { ( ) [, ] } A R f R.. Să se determie mulţime ) A ; b) A {,} ; c) [,] d) A {, } e) A [, ] ; f) A [, ] A ; AL - Fie ecuţi m( ). Să se determie vlorile prmetrului rel m stfel îcât cestă ecuţie să ibă trei rădăcii rele diferite. ) m R b) m (, ) c) m d) m, ( ] e) m R \{, } f) m R \{} AL - Fie f I f ( ) ( ) m ( ) m : R R,, m R \ {}. Să se determie m stfel îcât I să fie u itervl mărgiit de lugime miimă. ) m b) m c) m d) m e) m f) m
Elemete de lgebră 7 AL - Numerele bc,, R stisfc eglitte b c. Să se determie vlore miimă pe cre o pote lu epresi b c. ) b) c) d) e) AL - 5 Să se rezolve iecuţi 5 <. f) 7 ), b) 5, c) 5 5, d) 5 9, e) 7 5 5, 9 f) 7 9, AL - 6 Să se determie R petru cre. ), ( ) b) c) d) ± e) f) AL - 7 Fie iecuţi >. Cre di itervlele de mi jos reprezită mulţime soluţiilor iecuţiei? 7 b), ) (,) c) (,] d) (, ) e)[,5) f) 7, AL - 8 Să se determie mulţime A R 5 6. ) (, ] b)[, ) c)[, ) d) (,] { } e)[ ) { }, f)[, ) AL - 9 Să se rezolve î R ecuţi. ) ± b) ± c) ± d) ± e) ± f) ±
8 Culegere de probleme AL - Să se determie domeiul mim de defiiţie D, l fucţiei f : D ) D {} petru k D [ ) R R, ude ( ) f, N. b) D ( ], petru k, petru k D R petru k c) D [, ) petru k d) D { } D {, } petru k D { } petru k e) D [, ) petru k f) D [ ) D [, ) petru k D { }, petru k, petru k petru k AL - Se cosideră ecuţi:. Î cre di mulţimile idicte mi jos, ecuţi re o sigură rădăciă relă? ) ( ), b), c)( ) 5 8, d) (, ) [, ) e) ( ), f), AL - Precizţi cre este mulţime soluţiilor iecuţiei 5 5. ) A d) A 9 9, b) A, c) A, 9 9, e) A [ ], f) A 9, AL - Să se fle petru ce vlori le prmetrului m R, ecuţi 8 m 8m re soluţii rele. ) R m b) m (,) c) m [, ]\ {} d) m, e) m, f) m,
Elemete de lgebră 9 AL - Precizţi mulţime A cărei îi prţi vlorile rele le lui petru cre re 5. loc eglitte 8 ( ) )A (, ) b)a (, ) c)a [, ) d)a (, ) e)a ( 7, ) f)a [, ) AL - 5 Să se clculeze vlore epresiei b b b b b b b E b b b b b petru şi b. ) E b) E c) E d) E e) E f) E AL - 6 Să se precizeze vlore umărului rel E 6 6 8 6 5 6 6 8 6 5 ) E 6 b) E c) E d) E e) 5 E f) E AL - 7 Să se determie vlore epresiei E ) b) c) d) e) 5 f) AL - 8 Să se determie vlore epresiei ) 6 7 b) E ( 9 9 ) ( 7 9 7 ), Z c) d) e) f)
Culegere de probleme AL - 9 Să se simplifice frcţi: F y z ( y) ( y z) ( z) yz ) F y z b) F y z c) F y z d) F y z e) y z F f) F y z AL - Cre este mulţime vlorilor rele le lui petru cre vem ( ) ( ) ( )? ) {, } b) {, } c) [, ] d) [, ] e) [, ] f) [, ] AL - Petru ± y să se determie vlore epresiei ( y )( y ) ( y y ) E 5 5 y y y ) b) y c) y d) e) y f) y AL - Să se rezolve ecuţi, cu R, >, dt, î mulţime umerelor rele. ) {, } b) [, ] \{ } c) [, ) \{} d) { }, ( ] e) (, ) f) { } [, )
Elemete de lgebră AL - Fie ecuţi ( ) m m, m R. Să se determie m stfel îcât 9. ) m {, } b) m { 58, } c) m { 6, } d) m 8 {, } e) m {, 9} f) m { 9, } 5. AL - Să se rezolve ecuţi ( ) ( ) 5 ) ± 5 5 d) ± 5 b) ± 5 e) ± 5 c) ± 5 f) ± 5 AL - 5 Fie f ( ) m, g ( ) m şi ( ) Să se determie prmetrul m R stfel c tote rădăciile ecuţiei: să fie rele. ( ) ( ) ( ) f g f h m. ) m R ; b) m (, ] U [, ) ; c) m (, ] U [, ) d) m (, ] U [, ) e) m (, ] [, ) U ; f) m AL - 6 Să se determie tote soluţiile rele le ecuţiei 86. ) { 5,, } b) [ 5, ] c) { 5,} d) [ 5, ] e) ( 5, ) f) ( 5, ) AL - 7 Să se determie umărul rădăciilor rele le ecuţiei. ) o rădăciă relă b) două rădăcii rele c) trei rădăcii rele d) ici o rădăciă relă e) ptru rădăcii rele f) şse rădăcii rele
Culegere de probleme AL - 8 Să se determie tote soluţiile rele le ecuţiei.,, c) ) { } d) {}, b) { } R \ e) (, ] { } f) {,,} AL - 9 Să se clculeze vlore epresiei E, petru [, ]. ) E b) E c) E d) E e) E 6 f) E ( ) AL - Să se determie vlorile lui m R petru cre ecuţi m m re soluţii î R şi să se determie ceste soluţii. ) m ; [ 5,7] b) m [ ) d) m ; [, ) e) { } AL - Fiid dte fucţiile, g : [, ] [, ], ;, c) 7 m ; 8, m, ;, f) m ; { 6, } f defiite pri, [,] f ( ) şi g ( ), (,] să se determie fucţi h go f.,, ) h f b) h g c) d) h g e) fg [,] (,] h h f) h ( ) f,, [,] (,]
Elemete de lgebră AL - Fie f, g : R, f ( ) 5, şi dcă < g ( ) Atuci ( f o g)( ) este :, (, ] 7, ) ( )( ) (,] f o g b) ( f o g)( ), (,5] 9 ( 5, ) R dcă, (, ] c) ( f o g)( ), (,] d) ( f o g)( ) 9, (,8), (, ] e) ( f o g)( ) f) ( f o g)( ) 9, (, ), 7,,,, 7,,, 9, dcă dcă > (,] (,5] ( 5, ) (,5] ( 5, ) (,5] ( 5, ) ( ), AL - Fie f : R R ; f ( ) [, ) Să se determie ivers cestei fucţii. (,) ) f ( ) R b) f ( ), c) f ( ) ; R e) ( ) ( ) [ ) d) f ( ), f (,) [ ), f) fucţi u este iversbilă ( ) (,] (, )
Culegere de probleme AL - Să se precizeze cre di răspusurile de mi jos este corect petru fucţi R R : f, ( ) > 6, 6, f ) f u este iversbilă; b) f este iversbilă şi ( ) > 8, 8, y y y y y f c) f este iversbilă şi ( ) y y f d) f este iversbilă şi ( ) y y f e) f este iversbilă şi ( ) y y f f) f este iversbilă şi ( ) > 8, 8, y y y y y f AL - 5 Determiţi vlorile lui R petru cre fucţi R R : f, ( ) ( ) f este iversbilă şi determiţi ivers ei. ) ( ) > ; f b) ( ) > < ; ; ; ; f c) ( ) > < < ; ; ; ; f d) ( ) < > < ; ; ; ; f e) ( ) > < > ; ; ; ; f f) ( ) > < ; ; ; ; f
Elemete de lgebră 5,b, stfel îcât petru f să eiste f. AL - 6 Să se legă u itervl miml [ ) f : [, b) [ f ( ), ), ( ) Să se precizeze dcă f este strict crescătore su descrescătore. ) [, ) ; f strict descrescătore; b), ; f strict crescătore c), ; f strict descrescătore d) [, ) ; f strict crescătore e), ; f strict descrescătore f), ; f strict crescătore m, AL - 7 Să se determie m R stfel îcât fucţi f ( ) m, > să fie strict descrescătore pe R. ) m φ b) R m c) m (,) d) m [,] e) m (, ) f) m [, ) AL - 8 Petru ce vlori le lui m R, grficul fucţiei f : R R, f me m e, tie O? ( ) ( ) ) ( ), b), c) (, ) (, ) d) ( 5, ) e) (, ) f) R AL - 9 Să se rezolve ecuţi:. ) b) c) lg lg d) e) lg lg ( ) f) lg ( )
6 Culegere de probleme AL - Să se rezolve ecuţi: ( ) ( ). l( ± ), c), l( ) ), b) l( ) d), l( ± 5) l e) 5 l, l ( ) AL - Determiţi vlore lui petru cre e e 5 l l( ) f), l ) b) c) d) e) f) l AL - Î cre di următorele mulţimi se flă soluţi ecuţiei ) (,e ) e b) (, ) c) (,7] d) (, ] e) (,) f) ( 9,) AL - Să se rezolve ecuţi 6 9 ) este b) c) uic soluţie log log d) e) f) log log log
Elemete de lgebră 7 AL - Determiţi fucţi y y ecuţiei e e. ) f ( ) l f : R R, stfel îcât y f ( ) să fie soluţie b) f ( ) l( ) c) f ( ) l( ) d) f ( ) l e) f ( ) l f) f ( ) l AL - 5 Determiţi mulţime A cărei îi prţie soluţi ecuţiei 8 6 ) A (,8) b), 6 A c) A (, 9) d) [,) A e), A f) A (,) AL - 6 Să se determie vlorile lui cu codiţiile > m şi m R petru cre ecuţi ( )( m ) ( m) ( m ) m > re trei rădăcii rele şi disticte. ) m φ b) m R c) m R \, d) m, \ e) m, f) m,
8 Culegere de probleme AL - 7 Să se rezolve iecuţi: >., b)[ ) ) ( ), c) (, ) d) (, ) e) (, ) f) (, ) AL - 8 Să se determie m R stfel îcât ieglitte m > 9 să fie devărtă petru orice <. ) φ m b) m (, ) c) m [ ], d) m [, ) e) m < f) m AL - 9 Cre este soluţi sistemului de iecuţii: 9 [ ] ) log,log ( 7) b) log ( ),log 7? c) (, ) d) (, ) e) ( ) 7 log,log f)[,log 5] AL - 5 Să se rezolve iecuţi: >. 5 5 ),log b),log c) (,) d) (,log ( 5 ) ) e) (,log ( 5 ) ) f) (, )
Elemete de lgebră 9 AL - 5 Să se rezolve iecuţi: ( ) <. ), b) (, ) (, ) c) (, ) d) (, ) e) (, ) ( 6, ) f) (, ) ( 5, ) AL - 5 Să se rezolve ecuţi: log log ( 5) ( 8). ), b), c) d) e), f) 9 AL - 5 Cre este soluţi ecuţiei: log log? ) φ b) c) d) [ 9, ) e) (,9) f), 9 AL - 5 Să se precizeze domeiul mim de defiiţie l fucţiei: f ( ) log.,, ) ( ) b) (, ) [, ) c)[, ) d) (, ) e) (,] (, ) f) (, ] [, )
5 Culegere de probleme AL - 55 Să se determie domeiul mim de defiiţie l fucţiei: ( ) f ( ) l., ),, ( ) b),, (,) d d),,, c) (,), (, ) e) R \, f) R \{, } AL -56 Să se determie domeiul mim de defiiţie l fucţiei ( ) f log log. ) (, ) b) (, ) c), (, ) d),, e) (, ) (, ) f) (, ),, trei umere di itervlul (,) su di itervlul ( ) AL - 57 Fie Precizţi cre este vlore miimă epresiei E log log log.,. ) b) c) d) 6 e) f) 6
Elemete de lgebră 5 AL - 58 Ştiid că log, să se fle log 6 5 î fucţie de. ) b) c) d) e) f) AL - 59 Dcă log şi b log 5, să se clculeze log 6 î fucţie de şi b. ) ( b ) b) ( b ) c) ( b ) d) b e) ( b ) f) ( b ) AL - 6 Mulţime soluţiilor ecuţiei 5 log log este: ) φ ; b), ; c) { }, ; d), ; e){,5 } f), 5 AL - 6 Să se rezolve ecuţi: log ( ) log ( ). ) b) c) d) e) f) 8 log 6 6 AL - 6 Să se rezolve ecuţi: 5 6, >,. log ) log, log b) 6, 6 c) 6 log log log d) log, log e) 6 log f) log, log 6 6
5 Culegere de probleme log9 6 AL - 6 Să se rezolve ecuţi: log log ( ) log. ) b) c) 6 d) 6 e) f) AL - 6 Să se determie m R stfel îcât ecuţi sigură soluţie relă. m lg să ibă o lg ( ) ) m φ b) m < c) m d) m lg e) m lg f) m lg 6 AL - 65 Să se determie vlore prmetrului îtreg m stfel îcât ecuţi log m log m 7log m 6 să ibă o rădăciă dublă. ) m b) m c) m d) m e) m 9 f) m 9 AL - 66 Rezolvâd ecuţi: ( ) [ ] log ( log ) log log log log 9 să se stbilescă î cre di următorele itervle se flă soluţi cestei. ) (, ] b)[,] c) [,) d)[,5) e)[,8], 5 f) ( 8, ) AL - 67 Să se determie vlorile lui m > petru cre fucţi f ( ) logm log m log m este defiită pe R. ) m b) m, 5 c) m, d) m, e) m f) m φ
Elemete de lgebră 5 AL - 68 Fiid dtă epresi: )[, ) ( log log ) log ( log log ) E log, să se determie tote vlorile lui b)[,] { } R petru cre E. c), d), \ {} e)[,]\ f) (,) (, ) AL - 69 Să se rezolve ecuţi lg lg. ) b) c) d) e) f) AL - 7 Fie :, [, ) f, ( ) log ( ), > f Să se rezolve iecuţi f ( ) 5, ude f este ivers fucţiei f. ) [,] b) [,log ] c) [,log ] d) [,] e) [,log ] f) [ 5,8] AL - 7 Fiid dte fucţiile ( ] ( ),, f : R R, f ( ),,
5 Culegere de probleme şi g : R, g( ) (, ) [, ] (, ) e, R rcsi,, să se determie l, soluţi di itervlul (,] ecuţiei ( f )( ) g o. ) b) c) d) e) şi f) Nu eistă. AL - 7 Se cosideră iecuţi: log log log, >, şi se oteză cu M mulţime tuturor soluţiilor sle. Cre ditre următorele firmţii este devărtă? ) M, b) M, c) M, d), M e) ( 5, ) f) M (, ) M AL - 7 Să se rezolve iecuţi: log <. ) ( ), b), c),, d),, e) (, ) f) (, )
Elemete de lgebră 55 AL - 7 Fie P ( ) y y 8 y> ( ) tote vlorile lui y stfel îcât P ( ) >, oricre r fi log log,,,. Să se determie R. ) y (, 8 ) b) y ( 8 8, ) c) y [, ] d) y ( ), e) y (, ) f) y [, ] AL - 75 Să se determie m R stfel îcât sistemul să dmită soluţii rele. lg lg y y m log y log log log y lg lg y ) m [,] b) m (99,) c) m [8,) d) m (,) e) m (, ) f) m φ AL - 76 Se cosideră fucţi f : R (, ), Clculţi ivers s, f. e, f ( ), <. ) c) e) l( ), (,) f ( ), [, ) b) l, (,) f ( ), [, ) d) l( ), (,) f ( ) f), [, ) f f f l( ), (,) ( ), [, ) l( ), (,) ( ), [, ) l, (,) ( ), [, )
56 Culegere de probleme AL - 77 Să se rezolve iecuţi: log log > log. ) ( ),, b) (, ) c), (, ) d) (, ) e), (, ) f) (, ) AL - 78 Se cosideră epresi ( ) lui R stfel îcât E< ( ) 5. E log log. Determiţi vlorile ) (, ) b) (, ) ( 6, ) c) [,] [ 6,] d) ( 6, ) e) (, ) (, ) f) (, ) (, ) AL - 79 Ştiid că (, ) să se determie mulţime: { R log } log. ), [, ) b), (, ) d),,, c) ( ] e), [, ) f), [, ) AL - 8 Îtr-o progresie ritmetică termeul l ouăle şi l usprezecele sut dţi, respectiv, de ce mi mre şi ce mi mică rădăciă ecuţiei : lg lg 5 [ lg( 5) ]. Se cere sum primilor termei i progresiei. ) 5 b) 8 c) d) e) f)
Elemete de lgebră 57 AL - 8 Să se rezolve sistemul: ( log ) ( log y) 9 ( log ) ( log y y ) 58. ), y b), y c), y 9; 9, y d), y e), y ; f), y 9;, y, y 9, y AL - 8 Să se rezolve î R sistemul: lg y lg z lg y z lg ylg z lg lg z lg lg y y z. yz ), y z b) y, z c) y z d) y z e) Sistemul u re soluţii î R f), y 5, z AL - 8 Să se determie mulţime tuturor umerelor turle petru cre ieglitte: > este devărtă. N; 5} {,} ) { d) {,} { b) c){,} N ; } e) { N; } \ { } f) N AL 8 Să se determie mulţime tuturor umerelor turle petru cre următore ieglitte este devărtă. 5 7 5 9 ( )( ) K <, >, N, ) {, } N b) N c) N \ {,,5} N e) φ d) { : k} f) { N : k }
58 Culegere de probleme AL - 85 Să se determie umărul de elemete le mulţimii E N A 5 < ( )! ( )! ) b) c) d) e) f) 5 AL 86 Îtr-o discotecă, ditr-u grup de 7 fete şi 8 băieţi, l u umit ds, trebuie să se formeze perechi di câte o ftă şi u băit. Î câte moduri se pot form cele ptru perechi? ) 5; b) ; c) 7; d) 588; e)5; f). AL - 87 L o reuiue de persoe, fiecre dt mâ cu fiecre ditre ceillţi prticipţi. Câte strâgeri de mâă u fost? ) b) 66 c)! d) e) f) AL - 88 Î câte moduri se pote fce u buchet cu două grofe lbe şi cici grofe roşii vâd l dispoziţie grofe lbe şi 9 grofe roşii? ) 8 b) 8. c) 9. d). e).9 f). AL - 89 Cre este domeiul mim de defiiţie D l fucţiei: f 5 : D R, f ( ) C7 C? ) D { 9,, } b) D {,,} c) D ( ] d) D [ 7, ) N e) D {,,,5} f) D [ 6], Z, N
Elemete de lgebră 59 AL - 9 Să se precizeze î cre di mulţimile de mi jos se flă tote umerele turle cre verifică relţi: C A. )A N \ {,,,,7,9} b)a N \ {,,,5,6,9,} c) A ( 9, ) d) A { k, k N } e) A 6 N \ {,,5,7,9,} f) A5 { k k N} AL - 9 Să se rezolve ecuţi C, N. ) b) c) d) e) 5 f) 6 AL 9 Soluţi ecuţiei 5 ( 6)( 5)( ) C 8 se flă î itervlul : ) (,9); b) (-8,-); c) (-6,-); d) (,) e) (,7); f) (9,). AL 9 Să se precizeze î ce itervl se flă soluţi ecuţiei 7 5 ( )( ) C ) (8,) b) (,) c) (-,) d) (7,9] e) (,7) f) (-,). AL - 9 Să se rezolve ecuţi C P A. ) b) c) 5 d) e) 7 f) AL - 95 Să se clculeze sum:
6 Culegere de probleme ( ) ( ) ( ) S C C C C C C... C C... C. ) S ( ) c) S ( ) ( ) b) S ( ) d) S ( ) ( ) e) ( ) ( ) S f) S ( ) AL - 96 Să se clculeze sum: k k k k E C C... C C, ude, k N, k. k k ) E C k b) E C k c) E C k d) E C k e) E C k f) E C k AL - 97 Să se clculeze epresi: E C k C k C k,, k, k. k C ) E b) E c) E d) E e) E f) E AL - 98 Determiţi mulţime A vlorilor lui R petru cre: C > C. ) A (, ) (, ] b) A { 567,, } c) A [ 7, ] d) A { 89,, } e) A [, ] {, } f) A {,,, }
Elemete de lgebră 6 AL - X. 99 Să se rezolve iecuţi: C C6, precizâdu-se cre di următorele itervle coţie soluţi. ), b), c), 5 d), 6 e)[ 7, ] f)[, ) AL - X. Să se precizeze soluţi sistemului : A C y y A 5 C y y. ), y b), y 5 c) 7, 8 d), y e), y f) 8, 5 AL Să se determie umerele turle şi y, stfel îcât umerele y y y y y C, C, C să fie î progresie ritmetică, ir umerele A, y A, A să fie î progresie geometrică. ), y ; b), y ; c) y ; d), y ; e) N *, y ; f), y AL Fie,,...,,, umere rele î progresie ritmetică de rţie r. Să se clculeze sum: ( ) k k C. k k ) r b c) d) e) f) AL - Să se determie l ptrule terme di dezvoltre biomului î ipotez că, N. ) b) c) 6 6 d) e) f),
6 Culegere de probleme AL - Să se precizeze termeul cre u coţie pe di dezvoltre biomului *,, R. 5 ) C 5 7 b) C 7 5 c) C d) C 5 e) C 8 8 f) C AL 5 Î dezvoltre biomului, N,, R, coeficieţii primilor termei formeză o progresie ritmetică. Să se determie termeii rţioli i dezvoltării. ) T ; T 7 ; T 9 ; b) T ; T 5 ; T 9 ; c) T ; T, T 8 ; d) T ; T ; T 7 ; e) T ; T 6 ; T 8 ; f) T ; T ; T 5. AL 6 Determiţi di epresi log, ( >, ) ştiid că sum coeficieţilor biomili i dezvoltării este 8, ir l şsele terme l dezvoltării este egl cu. ), b), c) -, - d), - e), f), - AL - 7 Câţi termei cre u coţi rdicli sut î dezvoltre biomului 6? ) U terme b) Doi termei c) Trei termei d) Nici uul e) Şse termei f) Ptru termei
Elemete de lgebră 6 AL - 8 Cre este epresi termeului di dezvoltre biomului cre coţie pe?, )87 7 b) 86 7 c)7 5 d) 86 e) 7 f) AL - X. 9 Cre este termeul di dezvoltre biomului î cre epoeţii lui şi y sut egli? y y, ) T b) T c) T 6 d) T 8 e) T 5 f) T AL - X. Î dezvoltre biomului, sum coeficieţilor biomili i ultimilor trei termei este eglă cu. Să se fle vlorile lui petru cre sum ditre termeul l treile şi termeul l cicile este eglă cu 5. ), b) c), d), e) f), AL - X. Î dezvoltre biomului, sum coeficieţilor biomili este cu 5 mi mică decât sum coeficieţilor biomili di dezvoltre biomului b. Să se fle termeul l doile l primei dezvoltări. ( ) ) b) c) d) e) f) AL - Să se determie termeul ce u coţie pe di dezvoltre biomului
6 Culegere de probleme 7, 8 6 ) T C. b) T C 76 9 7 7 7 5 c) T C 688 d) T C 7 6 7 7 e) T C 6 f) T C 68 7 7 AL - Să se găsescă rgul celui mi mre terme di dezvoltre (, ). ) 9 b) c) d) e) f) AL - Determiţi vlore celui mi mre coeficiet biomil l dezvoltării biomului ( ), dcă sum tuturor coeficieţilor biomili este eglă cu 56. b ) b) 8 c) 6 d) 7 e) 8 f) 7 AL 5 Să se determie coeficietul lui di dezvoltre lui ( ). ) b) c) d) e) 88 f)69 AL 6 Să se fle coeficietul lui di dezvoltre ( 5 ) () 5. ) d) 5 C 5 b) 5 C 5 e) 5 C 5 c) 5 5C 5 f) AL - 7 Ştiid că sum coeficieţilor biomili i dezvoltării 5 5C 5 5 C 5
Elemete de lgebră 65 ( ) ( ) este 56, să se clculeze coeficietul lui 6 di cestă dezvoltre. ) 95 b) 9 c) d) 9 e) 8 f) AL - 8 Clculţi z z E z z petru umerele complee z şi z ( z fiid compleul cojugt umărului z). ) ( z z ) b) ( zz ) c) ( z )( z ) d) z z e) ( )( z ) z f) ( z z ) AL - 9 Să se găsescă vlorile rele le lui m petru cre umărul ( m) i 5 este rel ( i ) i mi. ) m b) m c) 5 m d) m e) m f) m AL - Să se clculeze vlore epresiei 996 996 i i E. i i ) i b) c) i d) e) i f) i AL - Precizţi prte imgiră umărului comple ( i) i 6. i i i i 9 9 ) i b) i c) i d) i e) i f) i
Culegere de probleme 66 AL - Să se determie R α stfel îcât umărul comple ( )i i α α să fie rel. ) b) c) d) e) f) AL Fie z,z C şi z z z z iy,, y R Atuci vem: ) z z z z, z z z z y b) z z z z, z z z z i y c) z z z z, z z z z z z i y d) z z z z, z z z z z z i y e) z z z z, z z z z z z y f) z z z z, z z z z y AL - Să se clculeze z dcă i z. ) b) c) d) 6 e) f) 6 AL 5 O ecuţie de grdul l doile cu coeficieţi reli cre re c rădăciă umărul comple 8 i i este: ) z z ; b) z z ; c) z z ; d) z z ; e) z ; f) z
Elemete de lgebră 67 AL - 6 Să se determie umerele complee z stfel îcât z 8 z. ) z ± i, ± b) z ± i c) z ± i, ± ± i 5 i i d) z ± i, ± e) z ± i, f) z ± 5 7,, AL 7 Să se precizeze cu cre di vlorile dte mi jos este egl z ( i) ( i) 9 7. ) z i b) z c) z i d) z i e) z i f) z i z AL - 8 Cărei di mulţimile de mi jos prţie α z z C \{}? z z, petru N b) Z c) Q d) R e) C \ R f) R \{} AL - 9 Să se determie tote umerele complee z C cre verifică ecuţi z z i. ) z i b) z i, z i c) z, z i 5 d) z i e) z, z i f) z i
68 Culegere de probleme AL - Să se fle umerele complee z iy,, y \{ } ) z { ± i ± i} stfel îcât ( iy ) să fie pur imgir. R, de modul,, b) z ( ± ), ( ± i ) c) z ( i ) ( i ) d) ( ) ( ) ± 5, ± 5 z ± i, ± i e) z ( ± i ), ( ± i ) f) z ( 5 ± i), ( 5 ± i) AL - Fie R şi z C, stfel îcât z. Să se determie ce mi z mre şi ce mi mică vlore posibilă lui z. ), b), c), d), e), f), AL - Fie z u umăr comple stfel îcât b z se clculeze. b z z b, ude, > b >. Să ) b) b c) b b b d) b e) b f) b b
Elemete de lgebră 69 AL - Fie C. Să se clculeze vlore epresiei i E ( ) i ( i) ( i) ) - b) c) d) e) f). π π AL - Fie ε cos i si. Să se clculeze : 997 ( ε)( ε ) ( ε ) E.... ) E b) E c) E 66 d) E 997 e) E 665 f) E AL - 5 Petru C \ R cre stisfce ecuţi, să se clculeze vlore epresiei E. ) E b) E c) E- d) Ei e) Ei f) Ei AL - 6 Fie α şiβ rădăciile ecuţiei. Să se clculeze α β. ) b) c) d) i e) i f) AL - 7 Fie z u umăr comple de modul şi rgumet θ. Să se clculeze epresi
7 Culegere de probleme z z, ( N ). ) cosθ b) cos θ c) si θ d) cos θ e) cosθ f) si θ AL - 8 Precizţi cre di vlorile de mi jos sut rădăciile ecuţiei z i z 5. ) z ± i b) z ± i c) z ± i d) z ± i e) z ± i f) z ± i z i z i este: AL - 9 Soluţi ecuţiei ( 5 ) 5( ) ) i, i ; b) i, i ; c) i, i ; d) i, i ; e) 5 i, i ; f) i, i AL - Se cosideră ecuţi ( ) ( ) iz 7 iz 6 mi, î cre z C este ecuoscut, ir m este u prmetru rel. Să se determie vlorile lui m petru cre ecuţi dmite o rădăciă relă. ) m, b) m c) m { 5, } 5 d) m, e) m, 5 f) m, AL - Formţi ecuţi de grd miim, cu coeficieţi reli, cre dmite c rădăcii şi rădăciile ecuţiei : z z 5 i.
Elemete de lgebră 7 ) z 6 z z 7 b) z 6 z 8z z 7 c) z z z 6 z 7 d) z z 8z 7 e) z z 8z 7 f) z 6 z z 7 z AL - Se dă ecuţi ( 5 ) ( ) i z i. Fie α o rădăciă ecuţiei petru cre α. Să se determie R stfel îcât să ibă loc eglitte i α. i ) b) c) d) e) f) AL - Rădăciile pătrte le umărului comple i sut : ) i, -i ; b) i, --i ; c) i, - ; d) -i, -i ; e) i, -i ; f) i, i AL - Petru z C să se determie soluţiile sistemului z i z i. z i ) z, z i b) z i, z i c) z i, z d) z, z i e) z i, z f) z i, z i AL - 5 Să se clculeze rădăci pătrtă di umărul comple
7 Culegere de probleme ( ) z i, i. ) i, i b) i, i c) i, i d) i, i e) i, i f) i, i AL - 6 Să se clculeze rădăciile de ordiul le lui i z. i ) z i z i, z b) z, z z i,, c) z ( i) z ( i) z i,, e) z ( i) z ( i) z i,, d) z z z, i f) z z z, AL - 7 Să se determie tote rădăciile complee le ecuţiei z 8. ) ( ± i), ( ± i) b) ( ± i ), ( ± i ) c) ( ± i), ( ± i), e) ± i, ± i f) ± i, m i d) ( ± i) ( ± i) AL - 8 Fie mulţimile :
Elemete de lgebră 7 A { z C z }, B z C rg z < * π C { z C z }; D { z C z i }; { z Im } E C z, F z C π 5 < rg z < * π Să se precizeze cre ditre următorele firmţii sut corecte. ) A este discul de cetru şi rză ; b) B este mulţime puctelor di semiplul y>, c) C este cercul de cetru A(-,) şi rză ; d) D este cercul de cetru A(,) şi rză e) E este o dreptă prlelă cu Oy; f) F este It AOB ude A, şi B, AL 9 Să se determie modulul şi rgumetul petru umărul comple: z cos si i(si - cos ). ) π z, rg z b) z π, rg z c) π z cos, rg z d) z π cos, rg z π π e) z, rg z f) z, rg z AL 5 Să se scrie sub formă trigoometrică umărul comple : z cos α - i si α, ude α (,π).
7 Culegere de probleme α α α α α ) z cos cos isi b) z cosαcos isi α α α c) z cos ( cosα isiα ) d) z cos i si α α e) z cosα( cosα isiα ) f) z cosαcos isi AL 5 Determiţi prte relă umărului comple i z. ( siα i cosα ) 7π 7π 5π ) Re z si α b) Re z cos α c) Re z cos 6 7π π π d) Re z si α e) Re z cos α f) Re z si α 6 AL 5 Să se determie modulul şi rgumetul redus petru umărul comple: 6 i z. i ) d) z π,rg z b) z π,rg z e) π z,rg z c) π z 8,rg z f) π z,rg z π z 8,rg z AL 5 Să se scrie sub form z iy umărul comple : ) ( i ) b) ( i ) 7 8 d) i e) ( i) 8 c) i z. ( i) 7 i f) ( i) 8 AL 5 Să se determie umărul comple: ( ) ( ) Z i i, N.
Elemete de lgebră 75 ) π Z cos b) π Z si c) π Z cos π π π d) Z si e) Z cos isi π π f) Z cos isi AL 55 Ştiid că cos z α.să se clculeze epresi: E z z z, N*. ) E cos α b) E isi α c) E si α d) E cos α e) E icos α f) E si α AL 56 Se oteză cu z şi z rădăciile complee le ecuţiei: z. Să se determie vlorile posibile pe cre le pote lu epresi: E( ) z z, câd i vlori îtregi pozitive. { { ) E ( ) N } {, ± } b) E( ) N } {,, } { c) E( ) N } { ±, ± } d) E( ) { e) E( ) N } { ± } f) E( ) { N } Z { N } N AL 57 Să se determie tote soluţiile ecuţiei turl >. z z, oricre r fi umărul ) z i b) z ± i c) z i d) z, z i kπ kπ e) z, zk cos i si, k, f) z i, z i AL 58 Să se determie rădăciile z k, k, 5 le ecuţiei: z 6 i.
76 Culegere de probleme kπ kπ ) z k cos isi, k, 5 kπ kπ c) z k cos π isi π, k, 5 7 7 kπ kπ e) z k cos isi, k, 5 k k b) z k cos π isi π, k, 5 kπ kπ d) z k cos isi, k, 5 5 5 k k f) z k cos π isi π, k, 5 AL 59 Fie ω o rădăciă compleă ecuţiei: z, N *, >. Să se precizeze vlore epresiei: S ω ω... ω. ) S b) S c) ω ω d) S e) S ω f) S ω S ω ω ω AL 6 Să se determie rădăciile ecuţiei: N *,,t R. i i cost isit î cre t kπ ) k tg, k, t kπ c) k tg, k, t kπ e) k cos, k, t kπ b) k tg, k, t kπ d) k si, k, t kπ f) k si, k, AL 6 Precizţi umărul mim de rădăcii comue le ecuţilor: z 8 şi z. ) ici u b) u c) două d) ptru e) trei f) opt AL 6 Fie z k, k, soluţiile ecuţiei: iz iz i, R *. i
Elemete de lgebră 77 Cre este vlore produsului z z z z? ) b) c) d) e) f) AL 6 Să se clculeze epresi: ( cost isi t) ( cost isit) ( cost isi ) E t. ) cos t t t isi b) 8cos t t t c) 8cos cos isi t d) 8si t t t e) cos cos si f) t t cos isi AL 6 Să se fle fiul celui de l treile vârf l uui triughi echilterl, ştiid că fiele două vârfuri sut: z, z i. ) i b) i c) i d) i e) i şi i f) i AL 65 Fie M, M, M, M pucte le căror fie sut, respectiv, z i, z i, z 6 i, z 6 i. Cre di firmţiile următore este devărtă ) M, M, M, M sut coliire b) M, M, M, M sut cociclice c) ptrulterul M M M M u este iscriptibil d) ptrulterul M M M M este u pătrt e) M M M M f) ptrulterul M M M M este romb. AL 66 Să se determie vlorile epresiilor:
78 Culegere de probleme π π S cos cos... cos π π S si si... si ( ) ( ) π π, N ) S S b) S, S c) S S - d) S S e) S -, S f) S, S - AL 67 Se du umerele complee: siα cosα i ( siα cosα ) z siα cosα i( siα cosα ) z z ) umerele petru cre ( z şi, ude α este prmetrul rel dt. Să se găsescă este u umăr rel şi pozitiv. ) p, p N b) p, p N c) p, p N d) p, p N e) p, p N f) p, p N AL 68 Numerele complee z şi z stisfc relţi: z z z z. Cre di firmţiile următore este devărtă? ) z, z - i b) z z i c) z, z > d) z > şi z > e) cel puţi uul di cele două umere f) z >, z re modulul mi mic su egl cu. AL 69 Fie z z w şi Im( w ) -prte imgiră umărului w. z z Cre ditre firmţiile următore este devărtă? z C \{ }, ) Im( w )> b) Im( w )< c) dcă z i tuci w d) w petru orice z C \ { } e) dcă z i tuci w i f) w R şi eistă,b R stfel îcât z z b AL 7 Determiţi mulţime tuturor puctelor di pl le căror fie z verifică
Elemete de lgebră 79 relţi: z R. z ) relă mi puţi origie b) cercul cu cetrul î origie şi rz c) cercul cu cetrul î origie şi rz d) imgiră e) relă fără origie reuită cu cercul cu cetrul î origie de rză f) imgiră reuită cu cercul cu cetrul î origie de rză AL 7 Cosiderăm două umere complee z, z C * \ R stfel îcât: z z z. Ce putem firm despre imgiile lor? z ) sut coliire cu origie b) sut cociclice cu origie c) coicid d) împreuă cu origie formeză vârfurile uui triughi edegeert e) imgie lui z coicide cu imgie lui z f) împreuă cu origie formeză u triughi isoscel. AL 7 Vârfurile A, B, C le uui triughi u fiele, z, z z, ude π π z rcos isi cu r (,). Precizţi poziţi origiii O (,) fţă de lturile triughiului. ) O [ AB] b) O [ AC] c) O [ BC] d) O prţie iteriorului triughiului e) O prţie eteriorului triughiului f) O este cetrul cercului îscris î triughiul ABC AL 7 Să se clculeze : itg t E itg t, t R - ( ) π k, k Z, N*. ) tg t i tg t i b) itg t itg t c) ictg t ictg t ctg t i d) ctg t i AL - 7 Să se clculeze e) ctg t i f) i tg t
8 Culegere de probleme E C C C C 6 k... ( ) C k... π π ) E cos b) E cos 6 c) E π π d) E si e) E si 6 f) E π cos π si AL 75 Dcă tgα, α, π, să se clculeze sum C C C 5 C 7... ) siα si α cos α b) si α siα cosα c) si α siα cos α d) si α cosα si α e) si α cos α siα f) si α si α cos α AL - 76 Se du mtricele Să se clculeze mtrice C A B. ( ), A ;,5, B, 5 ( 6),5 ) C ; b) C c) C, (), 6 d) C e) C f) C ( )
Elemete de lgebră 8 AL - XI. 77 Se du mtricele pătrtice de ordiul l doile 6 5 E şi 7 F. Să se clculeze mtrice A E F ) 9 A b) 9 A c) 9 A d) 9 A e) 9 A f) 9 A AL - 78 Fie ( ) Z A M. Dcă ( ) f să se clculeze ( ) A f. ) ( ) 6 A f b) ( ) 9 6 A f c) ( ) 9 9 6 6 A f d) ( ) 9 A f e) ( ) 9 6 A f f) ( ) I A f
8 Culegere de probleme AL - 79 Să se clculeze produsul de mtrice A B, ude A, B ) 7 b) 6 7 c) 7 d) 7 e) ( ) 7 f) 7 AL - 8 Să se rezolve ecuţi mtricelă: 7 5 X ) b) c) d) 5 e) f) AL - 8 Să se rezolve ecuţi mtricelă: 5 X ) 5 5 b) 5 c) 5 d) 5 5 e) 5 5 f) 5 5
Elemete de lgebră 8 AL - 8 Să se rezolve ecuţi mtricelă 6 8 9 6 X ) X b) X c) X d) X e) X f) X AL - 8 Aflţi R stfel c mtrice digolă costtă X să fie soluţi comuă ecuţiilor mtricele ( ) X şi ( ) X ) b) c) d) e) f)
8 Culegere de probleme AL - 8 Să se determie tote mtricile X, cu propriette că ude A. AX XA, ) α ; α,β R b) βα c) α ; α R α d) α ; α R e) α α β β ; α,β R f) α αβ ; α,β R βα AL - 85 Să se determie mtrice X cre verifică relţi: X. 6 ) X ( ) b) X d) X ( ) e) X c) X f) X AL - 86 Cre este vlore prmetrului R petru cre eistă,y,z,t R, u toţi uli, stfel îcât y z t? ) b) c) d) e) f) AL - 87 Să se determie costtele rele p şi q petru cre mtrice A stisfce relţi A pa qa. ) p, q b) p, q c) p, q d) p, q e) p, q f) p, q
Elemete de lgebră 85 AL - 88 Să se rezolve ecuţi mtricelă X. ) X 6 5 b) X 6 c) X 6 d) X 6 5 e) X 5 f) X 6 AL - 89 Să se determie mtrice X cre verifică ecuţi X. 6 9 ) X 5 b) X c) X 5 5 d) X 5 e) X 5 f) X
86 Culegere de probleme AL 9 Să se rezolve ecuţi mtricilă 5 5 X ) 6 6 9 8 X ; b) 6 6 9 8 X c) 6 6 9 8 X ; d) 8 7 X e) 6 6 9 8 X ; f) 8 7 X AL 9 Să se determie tote mtricile formte cu elemete di codul bir B{ }, cre să trsforme pri îmulţire mtrice coloă î mtrice coloă ) şi b)
Elemete de lgebră 87 c) şi d) e) şi f) AL - 9 Să se rezolve ecuţi: X, X M (Z). ) X b) X c) X şi X d) X i i i i 6 e) X f) X AL - 9 Să se determie tote mtricile X M ( Z ) stfel c: X. ) b) şi c) d) şi e) şi f) şi AL - 9 Se du mtricele A,, B C m cu m R.. Să se determie vlorile lui m R stfel îcât să eiste trei costte u tote ule,,b,c R cu codiţi AbBcC, - mtrice ulă.
88 Culegere de probleme ) m b) m c) orice m R d) m e) 5 m f) m 5 AL - 95 Să se clculeze sum: k k k kk. k ( ) ) c) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 6 ( ) ( )( ) ( ) 6!!!! b)! d) ( ) ( ) ( ) ( )!!!! e) ( )!!! 6! f)!! ω ω ir A, să se determie umărul ω R stfel îcât să vem A A... A A, N. AL 96 Dcă ( i ) ( ) ) d) b) e) c) f). AL - 97 Dcă ω este o rădăciă ecuţiei şi p, p N*, să se clculeze sum: k k k ω ω ω k k k. ω ω ω k
Elemete de lgebră 89 ) ω ω ω ω b) c) d) ω ω ω ω ω ω e) ω ω ω ω ω ω f) AL 98 Fie A ε ε ; ε ε ε B ε ε ε, ude ε este o rădăciă cubică compleă uităţii şi fie ecuţi mtricelă AX B. Fie S sum modulelor elemetelor mtricei X. Atuci : ) S ; b) S 6; c) S ; d) S ; e) S ; f) S AL 99 Fie M mulţime tuturor mtricelor cu liii şi 5 coloe î cre tote elemetele sut umerele şi - şi stfel îcât produsul umerelor di fiecre liie şi di fiecre coloă este -. Să se clculeze umărul elemetelor mulţimii M. ) b) 7 c) 6 d) e) f) b AL - Se cosideră mtrice M,,b,c,d R. Să se determie c d codiţiile î cre eistă p,q R, uici stfel c M -pm-qi, I fiid mtrice uitte, mtrice ulă. Să se determie î cest cz vlorile lui p şi q.
9 Culegere de probleme ) b c, d, p, q b - b) b,c R, d, p, q bc- c) b c,,d R, p d, q b - d) b su c su d, pd, q bc-d e) b, c, d, p d, q bc-d f) b, d, c R, p d, q -d AL - Fie A,B,C M ( C ) cu proprietăţile AB AB, BC BC, CA CA. Petru ce vlore m R re loc eglitte ABC mabc? ) m b) m c) m d) m e) m f) m b AL - Fie A o mtrice eulă cu d bc,,b,c,d R. Să se determie c d (î fucţie de elemetele mtricii A) umărul rel r sfel îcât să ibă loc eglitte A r - A petru orice N,. ) r -d b) r d c) r bc d) r b-c e) r c f) r bd AL - Să se determie putere N mtricei A.