ANALIZA VREMENSKIH SERIJA CILJEVI POGLAVLJA Nakon čianja ovoga poglavlja bićee u sanju da: 1. shvaie razliku između različiih meoda analize vremenskih serija 2. shvaie pojam i značaj klasične dekompozicije vremenske serije na rend, cikličnu, sezonsku i neregularnu komponenu 3. ocenie paramere linearnog i eksponencijalnog renda 4. prognozirae buduće vrednosi pojave obuhvaćene vremenskom serijom 5. izračunae sezonske indekse, ocenie uicaj sezonske komponene 6. izvršie desezoniranje vremenske serije (oklanjanje sezonskih uicaja) 13. glava U drugom poglavlju ove knjige upoznali se sa pojmom saisičkih serija i njihovom osnovnom podelom na serije srukure i na vremenske serije. Sušinska razlika između saisičke analize serija srukure i vremenskih serija jese u ome šo su kod srukurnih serija podaci u slučajnom uzorku međusobno nezavisni. Međuim, o nije slučaj sa vremenskim serijama, budući da smo ih definisali kao nizove numeričkih podaaka uređene po hronologiji. Samim im podaci vremenskih serija su međusobno zavisni, budući da se u obzir uzima njihov vremenski redosled. Upravo na ovakvoj vremenskoj zavisnosi podaaka zasniva se i analiza vremenskih serija. Nivo pojave koju posmaramo u vremenskoj seriji može da se odnosi na jedan vremenski renuak kada je izvršeno posmaranje pojave ili, pak, na određeni vremenski inerval (godinu, kvaral, mesec id.). U prvom slučaju reč je o momennim vremenskim serijama, a u drugom o inervalnim vremenskim serijama. Obim proizvodnje po mesecima ili godinama predsavlja inervalnu vremensku seriju, kvaralni podaci o prodaji proizvoda ili usluga akođe se daju u inervalnim vremenskim serijama, kao i ukupan godišnji prihod određenog preduzeća i sl. S druge srane, sanje zaliha nedovršene proizvodnje ili goovih proizvoda sredinom godine se odnose na podake koji se prikazuju momennim vremenskim serijama.
314 OSNOVI STATISTIKE Vremenske serije Vremenske serije predsavljaju nizove numeričkih podaaka o pojavi koji su složeni hronološkim redosledom u sukcesivnim, jednakim, vremenskim periodima. Najpre ćemo se zadržai na zv. klasičnoj dekompoziciji vremenskih serija i analizirai godišnje podake a zaim ćemo analizu proširii uključenjem kvaralnih i mesečnih podaaka. 13.1 KLASIČNA DEKOMPOZICIJA VREMENSKIH SERIJA Klasična dekompozicija vremenskih serija polazi od preposavke da na promene posmaranih pojava okom vremena uiču čeiri komponene: razvojna endencija pojave u posmaranom periodu - rend (odnosno sekularna endencija), ciklična komponena (kolebanja koja se ponavljaju u određenim, česo nejednakim, periodima od više godina), sezonske varijacije (koje se ispoljavaju u razmacima manjim od jedne godine i ponavljaju na isi način u dužem nizu godina) i neregularni uicaji (rezidualna komponena), koji se pojavljuju kao slučajne varijacije pojave. Bino je odmah naglasii da ne mora svaka vremenska serija da sadrži sve čeiri komponene, ali da sve one sadrže neregularnu komponenu. Dodano, neka vremenska serija može sadržavai jednu ili više komponeni. Jasno je, na primer, da vremenska serija koja se sasoji od godišnjih podaaka ne sadrži sezonsku komponenu, jer je uicaj sezone agregiran unuar godine. Vremenske serije koje pokazuju izražen rend, sezonski uicaj i ciklične varijacije prikazane su grafički na Slici 13.1. Slika 13.1 (a) ukazuje da prodaja DVD-a ima, u sušini, pravolinijski rasući rend. Slika 13.1 (b) odslikava vremensku seriju prodaje skija, koja ima izražen sezonski uicaj unuar obe posmarane godine. Konačno, na Slici 13.1 (c) je prikazana vremenska serija porošnje uglja, koja ima ciklično kreanje. Slika 13.1 Vremenske serije sa izraženim rendom, sezonskim i cikličnim uicajem
POGLAVLJE 13 Analiza vremenskih serija 315 Osnovna preposavka pri prognoziranju u analizi vremenskih serija je da će fakori koji su uicali na nivo pojave u prošlosi i sadašnjosi delovai na isi način u budućnosi i da neće bii uplianja novih fakora. Analiza vremenskih serija pokušava da idenifikuje obrazac ponašanja navedenih komponeni u prošlosi. Zaim, preposavljajući da će ideničan obrazac da se nasavi u budućnosi, modeli vremenskih serija eksrapoliraju ove obrasce da bi se prognozirale buduće vrednosi pojave. Zbog oga se može reći da je jedan od glavnih ciljeva analize vremenskih serija prognoziranje budućih vrednosi pojave. Sa aspeka prognoziranja, posmarajući čeiri navedene komponene, jasno je da je nemoguće prognozirai ponašanje rezidualne komponene, budući da ona odražava slučajne varijacije. Sušinska razlika između ciklične i sezonske komponene je u ome da se sezonski uicaj može prognozirai, dok su ciklični uicaji, pogoovo prelomi u ciklusu, skoro nepredvidljivi. Reč dekompozicija označava, sa jedne srane, razlaganje posmarane vremenske serije na njene sasavne komponene, a sa druge, mogućnos da se pojedine komponene po porebi eliminišu iz serije. U saisici su formulisana ri osnovna modela koja na različie načine govore o načinu delovanja ovih komponeni: muliplikaivni, adiivni i kombinovani. Česo se u poslednje vreme ovi modeli nazivaju klasičnim modelima analize vremenskih serija. Označimo podake o pojavi koje predsavlja vremenska serija sa Y, rend sa T, cikličnu komponenu sa C, sezonsku sa S i rezidualnu sa R. Najpre ćemo formulisai modele za godišnje podake. Po muliplikaivnom modelu podaci vremenske serije se mogu predsavii kao proizvod navedenih komponeni (bez sezonske), j: Y = T C R Prema adiivnom modelu varijacije pojave biće rezula zbira komponeni: Y = T + C + R Ukoliko se polazi od kombinovanog modela, podaci o pojavi mogu da budu rezula različiih kombinacija dejsva navedenih komponeni, na primer: Y = T C + R Ako se vremenska serija sasoji od podaaka kojima se posmara pojava na kraćem periodu od godinu dana (recimo, od mesečnih ili kvaralnih podaaka), ada svi navedeni modeli uključuju i sezonsku komponenu. Muliplikaivni model ada glasi Y = T C S R, a adiivni Y = T + C + S + R U saisici se muliplikaivni model vremenske serije korisi ako se sa povećavanjem (smanjivanjem) nivoa pojave proporcionalno povećava (smanjuje) i uicaj sezonske komponene. Sa druge srane, kod adiivnih
316 OSNOVI STATISTIKE modela, sa povećavanjem (smanjivanjem) nivoa serije uicaj sezonske komponene osaje nepromijenjen. Da bismo jasnije sagledali komponene vremenske serije, uzmimo sledeći primer. Posmarajmo prodaju jednog losiona za sunčanje u Srbiji po mesecima, od januara 2003. do decembra 2005. godine. Jasno je da će prodaja ovog losiona imai sezonski karaker, sa vrhovima okom lenjih meseci, relaivno malom prodajom okom osalih meseci i malim ublaženjem oga pada okom zimskih raspusa. Prodaja og losiona grafički je prikazana na Slici 13.2. 200 Lenji vrhovi 175 150 125 100 75 50 Mesec Mesec jan jul jan jul jan Godina 2003 2004 2005 Trend, j. povećanje prodaje iz godine u godinu Slika 13.2 Mesečna prodaja jednog losiona za sunčanje Na vremenskom dijagramu daom na Slici 13.2 uočljive se velike varijacije u kreanju prodaje. Međuim, pažljivija analiza okriće da posoje relaivno ravnomerne flukuacije koje se ponavljaju svake godine u isim mesecima. One su odraz sezonskih varijacija. Na prvi pogled eško je uočii da li ipak posoji neka razvojna endencija u kreanju prodaje (globalni ras ili opadanje) u čiavom posmaranom periodu, jer je ona zamagljena prisusvom sezonskih flukuacija. Ipak, ako uporedimo lenje vrhove i zimsku "mrvu sezonu" vidimo da se posepeno prodaja po godinama povećava. To je i prikazano pravom linijom, koja odražava rasući rend u čiavom periodu. Naravno, prodaja og losiona za sunčanje u nekoj od zemalja na južnoj hemisferi, recimo Novom Zelandu, imala bi sasvim suprono delovanje sezonske komponene, pa bi se vrhovi prodaje nalazili okom januara i februara, j. novozelandskih lenjih meseci. Prilikom analize ekonomskih pojave najčešće se korisi muliplikaivni model po jul
POGLAVLJE 13 Analiza vremenskih serija 317 kome je uicaj fakora koji deluju na navedene komponene relaivan. Preciznije rečeno, rend je iskazan u mernim jedinicama kao i sama vremenska serija, a uicaji osalih komponeni su dai u procenima od renda (ili osalih komponeni). Muliplikaivni modeli su nepogodni ako su vrednosi nekih komponeni bliske nuli ili ako imaju negaivan predznak. Kod adiivnih modela sve komponene su iskazane u isim jedinicama kao i originalna vremenska serija. Koriseći muliplikaivni model, na osnovu podaaka o pojavi i poznaih vrednosi pojedinih komponeni može se uvrdii dejsvo nepoznaih komponeni vremenske serije. Ukoliko se, na primer, originalni godišnji podaak o pojavi, Y, podeli rendom, T, i sezonskom komponenom, S, dobiće se relaivan značaj ciklične, C, i rezidualne komponene, R. To se može prikazai na sledeći način: Y T S C R C R = = T S T S U gornjem izrazu kažemo da smo odsranili (eliminisali) delovanje renda i ciklusa iz vremenske serije, ili, šo je iso, izolovali (izdvojili) delovanje ciklusa i rezidualne komponene. Slično, polazeći od adiivnog modela, da bismo, recimo, eliminisali rend komponenu iz godišnje vremenske serije, ako je njena vrednos poznaa, oduzećemo je od originalnih podaaka vremenske serije: Y T = C + S +R U nasavku, najpre ćemo pogledai kako se na osnovu godišnjih podaaka može ispiai dugoročna razvojna endencija neke pojave, odnosno njen rend. 13.2 GODIŠNJE VREMENSKE SERIJE: TREND I CIKLIČNA KOMPONENTA Trend (sekularna endencija) je razvojna endencija pojave u okviru posmaranog vremenskog perioda. Iako se česo u saisičkoj lierauri rend definiše kao "endencija na dugi rok", smaramo da reč rend ne reba nužno vezivai za dug rok. Ovako se rend može definisai samo ako analiziramo godišnje podake. Da sumiramo: ako analiziramo podake neke pojave na godišnjem nivou, samo ada se rend može umačii kao dugoročna razvojna endencija neke pojave. Objasnimo. Vremenski horizon analize, generalno, bira israživač, u zavisnosi od prirode proučavane pojave. Tako, na primer, ako se izučava endencija u kreanju ljudske populacije na Zemlji, porebno je posmarai višegodišnje ili, čak, višedecenijske podake, da bi se uočila neka pravilnos. Međuim, ako posmaramo kreanje indeksa na nekoj berzi, ponekad je važno posmarai ša se događa iz dana u dan; ada bi od značaja bilo uočii endenciju kreanja og
318 OSNOVI STATISTIKE indeksa, koji bi bio baziran na dnevnim podacima. U prirodnim naukama, recimo u israživanju eorije "velikog praska" (big bang-a), bino je pronaći razvojnu endenciju u kreanju kosmosa iz delića sekunda u sekund. Konačno, ako posmaramo oporavak pacijena nakon operacije, porebno je ispiai njegovo sanje iz saa u sa, ili iz dana u dan, kako bi se uočila poziivna ili negaivna endencija. Zbog svega navedenog, značenje reči rend je šire i ne bi rebalo da se vezuje samo za dug rok. Kako god rend da se definiše, da bi se uočilo njegovo posojanje moramo raspolagai sa dužim nizom podaaka vremenske serije. U israživanju razvojne endencije pojave polazi se od preposavke da na njene varijacije okom vremena određeni fakori deluju posojano u određenom pravcu, dok neki drugi fakori menjaju ok pojave naviše ili naniže. Cilj analize je da se uoče i uvrde pravilnosi u kreanju pojave u odnosu na uicaje koji ga narušavaju. Varijacije vremenske serije grafički se izravnavaju linijom renda koja pokazuje prosečno kreanje. Linija renda reba da izravna varijacije vremenske serije i da izrazi prosečno kreanje pojave, odnosno njenu opšu razvojnu endenciju. Model renda prikazuje se u obliku određene maemaičke funkcije i preposavlja posmaranje sveukupnog razvoja posmarane pojave u vremenu. U ovoj knjizi razmaraćemo linearni i eksponencijalni model renda. Prilikom ocenjivanja modela renda najpre se određuje ip funkcije renda koji najviše odgovara posmaranoj vremenskoj seriji. Nakon oga, najčešće primenom meoda najmanjih kvadraa, ocenjuju se parameri odabrane funkcije. Dakle, primenjivaćemo isi način ocenjivanja parameara kao kod regresione analize, uz sušinsku razliku da je ovde nezavisna promjenljiva vreme. Kao prva eapa u ispiivanju razvojne endencije neke pojave porebno je ispiai da li rend uopše posoji. Jedan od najjednosavnijih načina je da se vremenska serija prikaže grafički na vremenskom dijagramu. Još jednom naglasimo da moramo imai veći broj podaaka da bismo uočili da li serija pokazuje naglašene endencije rasa ili opadanja okom vremena. Drugi način jese da se primeni posupak esiranja nule hipoeze o neposojanju renda, odnosno preposavke da su ispoljene varijacije vremenske serije samo slučajne. Ukoliko se akva nula hipoeza odbaci, usvaja se alernaivna hipoeza da je rend komponena saisički značajna (karakerisična) za posmaranu vremensku seriju. Na ovome posupku se nećemo zadržavai. Ukoliko neka vremenska serija ne pokazuje rend, kažemo da je sacionarna. Sacionarna vremenska serija Za vremensku seriju kažemo da je sacionarna ako ona ne pokazuje nikakvu endenciju u svom razvoju, odnosno ako ne posoji rend. U drugoj eapi bira se funkcija renda koja najviše odgovara posmaranoj vremenskoj seriji. Dakle, pianje je da li odabrai linearni, parabolični,
POGLAVLJE 13 Analiza vremenskih serija 319 eksponencijalni ili neki drugi rend? Generalno, ovde možemo da korisimo dve grupe indikaora, u zavisnosi od oga da li biramo najbolje prilagođeni rend pre ili nakon ocenjivanja parameara. Ako određujemo opimalnu funkciju renda pre ocenjivanja, na raspolaganju su nam sledeći meodi: 1) grafički meod, 2) meod diferencije, i 3) meod izravnanja (na njemu se nećemo zadržavai). Drugi indikaori polaze od oga da se ocene različie funkcije renda i zaim odabere ona koja je najbolje prilagođena podacima. Ovde se česo, kao krierijum kvaliea prilagođenosi, korisi sandardna greška renda. Shodno om krierijumu, najbolja funkcija renda biće ona koja ima najmanju sandardnu grešku. Pogledajmo sada dealjnije prvu grupu indikaora. Najjednosavniji je grafički meod vremenska serija se prikaže grafički na vremenskom dijagramu i, na osnovu procene, israživač bira odgovarajuću funkciju renda. Naravno, ovaj meod je krajnje subjekivan i na njemu se nećemo zadržavai. Meod razlike (diferencije) se zasniva na izračunavanju razlika uzasopnih članova serije. Na osnovu ovog meoda biramo funkcije renda rukovodeći se sledećim principima. Linearni rend najviše odgovara daim podacima ako su vrednosi prvih razlika uzasopnih članova vremenske serije približno međusobno jednake. Njegova funkcija glasi iso kao kod prose regresione analize: Y = β + β x 0 1 uz razliku da x ovde uvek predsavlja vreme, a Y nivo pojave. Eksponencijalni rend po ovom meodu se bira ako su razlike logariamskih vrednosi uzasopnih podaaka vremenske serije približno međusobno jednake. Njegov maemaički oblik je sledeći: x 0 1 Y = β β Obraie pažnju da se x u eksponencijalnom rendu nalazi u eksponenu. U rećoj eapi ocenjujemo paramere izabranog modela renda. Konačno, u čevroj eapi vršimo prognoziranje ako šo ćemo eksrapolirai liniju renda u budućnos. Kod mesečnih i kvaralnih serija, ako je sezonski uicaj izražen, prognozirana rend vrednos mora da se koriguje uzimajući u obzir ovaj uicaj. Iako se ovakav meod prognoziranja u lierauri česo naziva naivnim meodom, neka novija israživanja su pokazala za sve saisičare i ekonomeričare, iznenađujuće rezulae: da jednosavniji meodi prognoziranja česo u praksi daju preciznije rezulae nego kompleksni meodi.
320 OSNOVI STATISTIKE Naravno, sva ona ograničenja vezana za eksrapolaciju regresione linije važe i ovde. Uz o, moramo napomenui da je bilo kakva prognoza kreanja pojave u budućnosi skopčana sa rizikom. 13.2.1 Linearni rend Ako se neka vremenska serija svake godine povećava (ili smanjuje) za približno isi iznos, njenu evoluciju najbolje možemo opisai pomoću linearnog renda. Model linearnog renda glasi: Y = β + β x+ ε 0 1 gde je ε sohasički član. Idenična logika kao kod prose linearne regresije važi i ovde: parameri β 0 i β 1 su nepoznae veličine i jedino možemo da ih ocenimo pomoću uzorka. Ocenjena funkcija linearnog renda glasi: ˆ y = b + b x 0 1 (13.1) U navedenoj funkciji y predsavlja ocenu prosečnih vrednosi pojave, b 0 i b1 su ocene parameara renda β 0 i β 1, respekivno, dok x predsavlja podake koji označavaju vreme. Za izračunavanje ocenjenih parameara renda najčešće se korisi meod najmanjih kvadraa. Ideja meoda najmanjih kvadraa je idenična kao kod regresije. To znači da je porebno pronaći akvu pravu liniju koja ima najmanju sumu kvadraa verikalnih odsupanja linije renda od originalnih podaaka vremenske serije, j: ( ) 2 yi b0 + b1xi = min. Primenom navedenog krierijuma, nakon izjednačavanja parcijalnih izvoda sa nulom, dolazimo do sisema normalnih jednačina sa dve nepoznae veličine, b 0 i b 1 : y = nb + b x i 0 1 i = 0 + 1 xy b x b x Kada se korisi meod najmanjih kvadraa za izračunavanje ocena parameara renda, porebno je svakom podaku vremenske serije pridružii odgovarajuću vremensku jedinicu x. To se može uradii na više načina. Jedan način je da se prvoj vremenskoj jedinici (nije bino da li je o mesec ili godina) dodeli vrednos x = 1. Svi naredni podaci se zaim redom označavaju rasućim celim brojem: 2, 3,..., n (poslednji podaak u seriji ima oznaku perioda x = n). 2
POGLAVLJE 13 Analiza vremenskih serija 321 Drugi način omogućuje olakšice prilikom ručnog izračunavanja ocenjenih vrednosi renda. Ovaj posupak se zasniva na sledećoj ideji, koja se ne može primenii u sandardnoj regresionoj analizi. Budući da su odsojanja svih vremenskih jedinica jednaka i iznose 1, posavlja se pianje, da li možemo pojednosavii gornje normalne jednačine na akav način da suma vrednosi x bude 0? Drugačije rečeno, kako formirai niz brojeva koji će u zbiru dai nulu, a isovremeno da je razlika između svakog od njih jednaka 1? Odgovor na ovo pianje zavisi od oga da li raspolažemo sa neparnim ili parnim brojem podaaka. Za vremenske serije sa neparnim brojem podaaka središnjem nivou pojave u seriji dodelićemo oznaku perioda x = 0, čime aj period posaje ishodišni. Podacima koji prehode ishodišnom dodeljuju se negaivni celi brojevi: -1, -2,..., k, počevši od ishodiša prema počeku serije, dok se podacima iza ishodišnog dodeljuju celi brojevi: 1,2,..., k, počevši od ishodišnog ka kraju vremenske serije. Ukoliko se radi o vremenskim serijama sa parnim brojem podaaka, ishodiše se smeša između dva središnja nivoa pojave, dok se podacima u seriji pre ishodišnog dodeljuju negaivni decimalni brojevi (-0,5, -1,5, id), a podacima koji se nalaze posle ishodišnog poziivni decimalni brojevi (0,5, 1,5, id). U oba slučaja ukupan zbir oznaka perioda za vreme biće nula ( x = 0). Kao rezula ove procedure simplifikovaćemo normalne jednačine i, samim im, formule za ocenjene vrednosi b 0 i b 1. Navedeni posupak česo se naziva skraćeni meod najmanjih kvadraa. Ako se primeni skraćeni meod najmanjih kvadraa, ocene parameara linearnog renda izračunavaju se na sledeći način: Ocene parameara linearnog renda b b = x xy 1 2 0 y i = = y n (13.2) Uporedimo ove formule sa formulama za ocenu nagiba i slobodnog člana u regresiji: b n xy x y = n x ( x)2 1 2 y i 0 = 1 b b x n Lako je shvaii da su svi članovi u kojima figuriše isovremeno x = 0 jer je x = x/ n. x ovde jednaki 0, a da je
322 OSNOVI STATISTIKE S obzirom na specifičnosi (vreme je objašnjavajuća promjenljiva i primenjen je skraćeni meod najmanjih kvadraa), ocenjene vrednosi parameara linearnog renda umačimo na drugačiji način u odnosu na prosu regresiju. Inerpreacija odsečka i nagiba kod linearnog renda Odsečak (β 0 ) je prosek vremenske serije u posmaranom periodu. Nagib (β 1 ) pokazuje srednji apsoluni poras, odnosno prosečnu promenu vremenske serije (u zavisnosi od znaka, ras ili opadanje) u sukcesivnim vremenskim inervalima, u obuhvaćenom periodu. Važno je napomenui da navedeni posupak skraćenih najmanjih kvadraa u praksi sve više gubi smisao. Podrazumeva se da će svako ko u XXI veku vrši saisičku analizu vremenskih serija o radii isključivo pomoću računara. U ovoj knjizi je ipak prikazan, jer smaramo da suden koji je upozna sa ovim posupkom razvija svoje analiičke sposobnosi i dobija veći uvid u koncepualni osnov vremenskih serija. Prilikom ocene da li izabrana funkcije renda najbolje aproksimira podake vremenske serije, česo se korisi sandardna greška renda. Sandardna greška renda je mera njegove reprezenaivnosi, a izračunava se na sledeći način: Sandardna greška renda S y = ( y yˆ ) 2 n (13.3) Sandardna greška omogućava upoređivanje i određivanje najbolje prilagođene funkcije renda. Trend sa najmanjom sandardnom greškom predsavlja najbolji izraz razvojne endencije pojave, pa je najpogodniji za opisivanje dae vremenske serije. Pored sandardne greške ocene funkcije renda, kao mera reprezenaivnosi rend linije korisi se i srednje apsoluno odsupanje originalnih vrednosi pojave od vrednosi renda. Ovu meru, radi konzisennosi sa deskripivnim merama, obeležićemo sa d (u lierauri na engleskom se najčešće označava sa MAD) i ona je jednaka yˆ y d = (13.4) n
POGLAVLJE 13 Analiza vremenskih serija 323 Eksrapolacija renda Da bi se vršila eksrapolacija renda, odnosno prognoza budućih vrednosi pojave ili ocena vrednosi pojave u periodu koji je prehodio posmaranom (rekonsrukcija), porebno je da originalne vrednosi pojave značajno ne odsupaju od linije renda. Linija renda se u sušini sasoji od ocenjenih prosečnih vrednosi pojave u periodu obuhvaćenom vremenskom serijom. Podseimo se da da smo u regresionoj analizi prilikom eksrapolacije regresione linije korisili ermin predviđanje, sa idejom da na osnovu vrednosi objašnjavajuće pojave predvidimo vrednosi zavisne promjenjive. Kod vremenskih serija, međuim, ideja je sušinski drugačija. Ovde nasojimo da odredimo nivo posmarane serije u budućnosi. Zbog oga ćemo ovde korisii ermin prognoziranje (eng. forecasing), a ne predviđanje (eng. predicion). Eksrapolacija renda Eksrapolacija renda je produžavanje linije renda izvan inervala obuhvaćenog vremenskom serijom, bilo u budućnos ili u prošlos. Da bi eksrapolacija renda bila relaivno uspešna, porebno je da bude ispunjeno više uslova. 1. Fakori koji su delovali na kreanje pojave u obuhvaćenom periodu moraju i dalje delovai približno isim inenzieom, u isom smeru i bez značajnijeg uicaja nekih novih fakora. 2. Kao i u sandardnoj regresionoj analizi, dozvoljena je prognoza samo u neposrednu budućnos. Besmisleno je i naivno korisii eksrapolaciju renda na osnovu vremenske serije od nekoliko podaaka, pogoovo sa akvim podacima prognozirai više godina unapred. Porebno je da na raspolaganju imamo relaivno dugu vremensku seriju. 3. Ukoliko su u pianju projekcije ekonomskih pojava, prognoza koja se vrši u vreme relaivne poslovne sabilnosi je ačnija i pouzdanija od one koja se vrši u vreme česih ili neočekivanih promena poslovnog ambijena. 4. Ako serija ima izražen cikličan varijabilie, ili nagle zaokree u svom razvoju, prognoziranje nije preporučljivo. 5. Prognoziranje širih ekonomskih agregaa (recimo, čiave grane privrede) pouzdanije je od prognoziranja ekonomskih varijabli kod samo jedne firme. 6. Uz sva navedena ograničenja, prognozirana rend vrednos može se shvaii samo kao "uprosečena slika budućnosi", kao mehanička projekcija, jer vrednosi koje se nalaze baš na liniji renda označavaju prosečne ocenjene vrednosi dae vremenske serije.
324 OSNOVI STATISTIKE PRIMER 13.1 U narednoj abeli dai su podaci o promeu u jednoj knjižari po godinama, u periodu od 2000. do 2008. godine. Ocenie paramere linearnog renda i prognoziraje nivo prodaje knjiga u 2009. godini. Tabela 13.2 Prome u knjižari u periodu 2000. 2008. godina Godine 2000. 2001. 2002. 2003. 2004. 2005. 2006. 2007. 2008. Prome (u 000 evra) 9,0 10,9 10,2 9,9 10,2 10,6 11,1 11,4 12,8 Paramere linearnog renda ocenićemo primenom sledeće radne abele: Tabela 13.3 Radna abela sa elemenima za izračunavanje linearnog renda Godina Nivo pojave (y) Oznaka perioda (x) x y x² ŷ y yˆ ( ˆ ) 2 y i y 2000 9,0-4 - 36,0 16 9,40-0,40 0,16 2001 10,9-3 - 32,7 9 9,72 1,18 1,39 2002 10,2-2 - 20,4 4 10,04 0,16 0,03 2003 9,9-1 - 9,9 1 10,36-0,46 0,21 2004 10,2 0 0 0 10,68-0,48 0,23 2005 10,6 1 10,6 1 11,00-0,40 0,16 2006 11,1 2 22,2 4 11,32-0,22 0,05 2007 11,4 3 34,2 9 11,64-0,24 0,06 2008 12,8 4 51,2 16 11,96 0,84 0,71 96,1 0 19,2 60 96,10-3,00 b b 0 y 96,10 = = = 10,68 n 9 xy 19,2 = = = 0,32 x 60 1 2 Ocenjena jednačina linearnog renda glasi: yˆ = 10,68 + 0,32x Proumačimo ocenjene vrednosi parameara. Odsečak (10,68) označava da je prosečna prodaja knjiga u posmaranom periodu iznosila 10680 evra. Nagib (0,32) pokazuje da se u posmaranom periodu (2000. 2008.) svake godine prodaja knjiga povećavala u proseku za 320 evra (0,32 1000).
POGLAVLJE 13 Analiza vremenskih serija 325 Eksrapolisana vrednos za 2009. godinu dobiće se ako šo ćemo u jednačini renda izabranoj godini prilagodii oznaku perioda x na sledeći način: yˆ = b + b 5 2006 2006 0 1 y ˆ = 10,68+ 0,32 5 = 10,68+ 1,6 = 12,28 Dakle, uz preposavku da fakori koji su delovali u prošlosi nasave da deluju i u budućnosi, isom snagom, u isom smeru i bez uplianja novih fakora, prognozirani nivo prodaje u knjižari iznosiće 12280 evra. Izračunajmo na osnovu formule (13.3) sandardnu grešku linearnog renda kao njegovu meru reprezenaivnosi: S y ( y y ) 2 ˆ 3 = = = 0,577 n 9 Pogledajmo sada kako se parameri jednačine linearnog renda ocenjuju primenom saisičkog pakea EduSa.: LINEARNI TREND Vremenska serija: Prome Broj opservacija n = 9 OCENJENA LINIJA TRENDA y = 10,6778 + 0,32*x 1. Sandardna greška renda = 0,577 2. Srednje apsoluno odsupanje = 0,4859 Prognozirane (eksrapolisane) rend vrednosi Godina 2009: 12,2778 Godina 2010: 12,5978 Komenar: Prosek vremenske serije iznosi: 10,68, a Srednji apsoluni poras: 0,32 Na Slici 13.3 dobijenoj pomoću saisićkog sofvera Miniab prikazani su podaci vremenske serije kao i linija renda, zajedno sa eksrapolisanom vrednošću. Prodaja knjiga 13 12 11 10 Prodaja knjiga u periodu 2000. do 2008. Model linearnog renda Y = 9,07778 + 0,32* Variable Acual Fis Forecass Accuracy Measures MAPE 4,50495 MAD 0,48593 MSD 0,33240 9 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Godina Slika 13.3 Grafički prikaz promea i linije renda u periodu 2000. 2008. godina.
326 OSNOVI STATISTIKE Linija renda omogućava da se varijacije vremenske serije raščlane na one nasale pod uicajem posojanih i neposojanih fakora. Kvaliaivnom analizom razvoja pojave uvrdili bi se fakori koji aj razvoj određuju. Pošo linija renda određuje meru delovanja posojanih fakora, da bi se israživao uicaj neposojanih fakora, koji su predsavljeni varijacijama oko renda, porebno je isključii uicaj renda na vremensku seriju. Isključivanje renda na osnovu muliplikaivnog modela vrši se deljenjem originalnih podaaka sa vrednosima renda. Isključivanje (eliminisanje) renda: y/ y Na aj način dobija se mera uicaja neposojanih fakora (rezidualne i ciklične, ako je izražena) na vremensku seriju. Ukoliko se navedeni količnici pomnože sa 100, dejsvo ovih fakora izraziće se u procenima u odnosu na prosečno kreanje pojave. Odnosi veći od 100 pokazuju dejsvo neposojanih fakora u pravcu povećanja vrednosi pojave iznad proseka, a odnosi manji od 100 u pravcu njenog smanjenja ispod proseka. 13.2.2 Eksponencijalni rend Ukoliko vremenska serija okom vremena pokazuje približno isi relaivan ras ili opadanje, ada njenu razvojnu endenciju najbolje aproksimira eksponencijalna funkcija. Drugi krierijum za izbor eksponencijalnog renda smo već upoznali kada smo govorili o meodu diferencija: ako su apsolune razlike logariama približno jednake, ada najviše odgovara eksponencijalni rend. Treći krierijum je grafički eksponencijalni rend je najbolje prilagođen vremenskoj seriji ako se u polulogariamskom dijagramu podaci grupišu približno oko prave linije. Teorijska funkcija eksponencijalnog renda daa je na sledeći način: a ocenjena funkcija renda: x 0 1 Eksponencijalni rend Y = β β (13.5) x = 0 1 ŷ b b Da bismo lakše ocenili paramere eksponencijalnog renda ransformisaćemo ga u linearni oblik ako šo ćemo logarimovai obe srane izraza (13.6): log yˆ = log b + xlog b 0 1 (13.6) (13.7) Dobijena jednačina (13.7) ima linearni oblik, a budući da sadrži logarime ocena, česo se naziva jednačinom linearnog logariamskog renda. Koeficijeni linearnog logariamskog renda mogu se izračunai primenom skraćenog meoda najmanjih kvadraa, po kome je zbir kvadraa verikalnih odsupanja od logariama empirijskih podaaka serije minimalan, na sledeći način:
POGLAVLJE 13 Analiza vremenskih serija 327 Ocene parameara linearnog logariamskog renda log b log b 0 log y = n = x xlog y 1 2 (13.8) Paramere eksponencijalnog renda ocenjujemo anilogarimovanjem vrednosi log b 0 i log b 1 u (13.8). Vrednos paramera β 1 pomnožena sa 100 pokazuje srednji relaivni ras pojave, koji se česo naziva srednjim empom rasa. Na osnovu njega može se izračunai i eksponencijalna sopa rasa, r e, na sledeći način: Eksponencijalna sopa rasa re ( b ) = 1 1 100 (13.9) Eksponencijalna sopa rasa pokazuje prosečnu godišnju sopu rasa vremenske serije u posmaranom periodu. PRIMER 13.2 Broj regisrovanih auomobila na jednom području (u hiljadama vozila), u periodu od 2000. 2008. godine, da je u Tabeli 13.4. Ocenii paramere eksponencijalnog renda i prognozirai broj regisrovanih auomobila u 2010. godini. Tabela 13.4 Broj regisrovanih auomobila na jednom području u periodu 2000 2008. godina Godina Broj vozila (y) Period (x) log y x log y x log ŷ 2000 78-4 1,89209-7,56836 16 1,85881 2001 98-3 1,99123-5,97369 9 1,96947 2002 113-2 2,05308-4,10616 4 2,08013 2003 142-1 2,15229-2,15229 1 2,19079 2004 188 0 2,27416 0 0 2,30145 2005 254 1 2,40483 2,40483 1 2,41211 2006 356 2 2,55145 5,10290 4 2,52277 2007 440 3 2,64345 7,93035 9 2,63343 2008 563 4 2,75051 11,00204 16 2,74409 2232 0 20,71309 6,63966 60 20,71305 Paramere eksponencijalnog renda ocenićemo u dve eape. U prvom koraku ćemo ocenii paramere linearnog logariamskog renda korišćenjem (13.8):
328 OSNOVI STATISTIKE log y 20,71309 log b 0 = = = 2, 30145 n 9 xlog y 6,63966 log b 1 = = = 0,11066 2 x 60 Ocenjena jednačina linearnog logariamskog renda, dakle, glasi: log yˆ = 2,30145 + 0,11066 x U drugoj eapi, nakon anilogarimovanja, dolazimo do ocena parameara eksponencijalnog renda: b 0 = 200,1956 b 1 = 1, 2902 Ocenjena jednačina eksponencijalnog renda soga glasi: y ˆ = 200,1956 1,2902 x Da bismo prognozirali broj regisrovanih auomobila na navedenom području u ocenjenoj jednačini umeso x savićemo oznaku perioda za 2010. godinu, a o je x = 6: 6 y ˆ = 200,1956 1, 2902 =923,4 2007 Preposavljajući da će fakori koji su delovali na broj regisrovanih auomobila osai nepromijenjeni, prognoziramo da će broj regisrovanih auomobila u navedenom području iznosii 923.400. Na Slici 13.4 da je grafički prikaz originalnih podaaka i linije eksponencijalnog renda, dobijeni Miniabom. Broj regisrovanih vozila Rksponencijalni model renda Y = 55,9954 * (1,29021**) Regisrovana vozila (u 000) 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Godina Variable Acual Fis Forecass Accuracy Measures MAPE 5,142 MAD 9,832 MSD 126,157 Slika 13.4 Grafički prikaz originalnih podaaka i linije eksponencijalnog renda Uočljive su razlike između izračunaih ocena, zbog različiog kodiranja podaaka za vreme. Međuim, predviđena vrednos je idenična našoj.
POGLAVLJE 13 Analiza vremenskih serija 329 Rezulai primene pakea EduSa dai su sledećim izlazom iz sofvera: EKSPONENCIJALNI TREND Vremenska serija: Broj vozila Broj opservacija n = 9 Ocenjena linija renda y = 200,1956*1,2902**x 1. Sandardna greška renda = 11,232 2. Srednje apsoluno odsupanje = 9,8323 Prognozirane (eksrapolisane) rend vrednosi Godina 2009: 715,7418 Godina 2010: 923,4573 Komenar: Eksponencijalna sopa rasa iznosi: 29,021% 13.2.3 Ciklična komponena Ciklična komponena predsavlja naizmenično smenjivanje višegodišnjeg odsupanja posmarane pojave iznad, sa višegodišnjim odsupanjem ispod njenog prosečnog kreanja. Odsupanje iznad proseka predsavlja ekspanziju pojave, dok odsupanje ispod prosečnog kreanja predsavlja njenu konrakciju. Ove varijacije se mogu aproksimirai sinusoidnom ili kosinusoidnom krivom, slično kao i sezonske varijacije vremenske serije. Međuim, za razliku od sezonskih varijacija, kod cikličnih uicaja ne menja se samo rajanje ciklusa, odnosno njegova dužina, nego i inenzie odsupanja (ampliuda). To dopuša idenifikaciju odsupanja od prosečnog kreanja pojave, ali u velikoj meri i omea projekcije njenih budućih vrednosi, šo predsavlja i najveću eškoću u prognoziranju. 13.3. MESEČNE I KVARTALNE SERIJE: SEZONSKE VARIJACIJE 13.3.1. Izračunavanje sezonskih indeksa Kod velikog broja ekonomskih pojava uočavaju se periodične flukuacije, čije se dejsvo ispoljava okom godine. Godišnji podaci o pojavama ne iskazuju sezonske promene, jer se one odvijaju u kraćim vremenskim inervalima unuar godine. Usled oga, sezonske varijacije se mogu uočii samo kod vremenskih serija kod kojih su vremenske jedinice kraće od godinu dana, kao, na primer, na mesečnim ili kvaralnim podacima. Sezonske varijacije Sezonske varijacije predsavljaju promene određene vremenske serije koje se ponavljaju okom više godina u iso doba, u isom smeru, i približno isom inenzieu. Saisički, sezonske varijacije mogu se definisai kao salna endencija
330 OSNOVI STATISTIKE pojave da u pojedinim periodima godine (mesecima ili kvaralima) varira na određen način oko uvrđenog proseka (mesečnog, odnosno kvaralnog). Poznao je da cene velikog broja proizvoda (na primer, voća, skijaške opreme, odeće, urisičkih aranžmana, avionskih karaa) pokazuju ipične sezonske oscilacije okom godine. Sezonske varijacije mogu se uočii posmarajući i analizirajući dinamiku radova u poljoprivredi i građevinarsvu i u prodaji poljoprivrednih proizvoda, jer imaju izrazio sezonsko obeležje. Iso ako, prome u saobraćaju, broj noćenja u urisičkim desinacijama na moru, porošnja piva i sladoleda i sl, u manjoj ili većoj meri pokazuju sezonski uicaj. Poznavanje karakera i inenziea sezonskih varijacija od velikog je značaja za donošenje poslovnih odluka u različiim oblasima privređivanja. Zbog oga je za svaku akvu pojavu porebno ispiivai vrsu i sepen sezonskih kolebanja. Primenom odgovarajućih meoda može se uvrdii posojanje i uicaj sezonske komponene, e isključii njeno dejsvo prilikom analize i projekcije nivoa pojave u narednom periodu. Sezonska komponena, koja je najčešće izražena u vidu prosečnih oscilacija mesečnih ili kvaralnih podaaka u određenom periodu, može imai različie oblike. Sezonske varijacije koje se okom više godina ne menjaju sisemaski, odnosno čije se dejsvo ispoljava iz godine u godinu na približno isi način, smaraju se sabilnim. Ovakva sabilnos sezonskih uicaja najčešće se javlja kao posljedica relaivne sabilnosi srukure i načina delovanja sezonskih fakora u dužem periodu. Nesabilne sezonske varijacije pokazuju sisemaske promene, odnosno povećavaju se ili se smanjuju, pri čemu nivo posmarane pojave po mesecima ili kvaralima nije isi u svim godinama posmaranog perioda. Za razliku od sabilnog sezonskog rima, ovde nije reč samo o promenama u ampliudi, nego i o promeni oblika, odnosno pomeranju sezonskog maksimuma ili minimuma okom vremena. Bez obzira na o da li je reč o sabilnom ili nesabilnom rimu, smer i inenzie sezonskih varijacija meri se sezonskim indeksima. Sezonski indeksi uopšavaju inenzie sezonskog varijabiliea za duži vremenski period. U ovoj knjizi razmaraćemo sezonske varijacije samo sa aspeka muliplikaivnog modela. U om slučaju, kod sezonskih indeksa, prosečna vrednos pojave izražava se sa 100, ako da sezonski indeksi čija je vrednos iznad 100 pokazuju da posmarana pojava rase pod uicajem sezone, a indeks čija je vrednos ispod 100 pokazuje da pojava zbog sezonskih uicaja opada. U praksi se najčešće izračunavaju mesečni i kvaralni sezonski indeksi. Sezonski indeks Sezonski indeks je relaivni broj koji pokazuje prosek sezonskog uicaja, odnosno jačinu sezonskog uicaja, u određenom mesecu ili kvaralu okom više godina. U saisici je formulisano više meoda pomoću kojih se sezonske
POGLAVLJE 13 Analiza vremenskih serija 331 varijacije, kroz sezonske indekse, mogu izolovai (izdvojii) od drugih komponeni vremenske serije. U praksi se najčešće korisi meod odnosa originalnih podaaka prema pokrenim prosecima (pokrenim sredinama) i samo će on bii prikazan u ovoj knjizi. Objasnimo najpre pojam pokreni proseci. Pokreni proseci Pokreni proseci su akva ransformacija originalne vremenske serije u kojoj se svaki podaak zamjenjuje arimeičkom sredinom og podaka, određenog broja prehodnih i iso oliko narednih podaaka. Pokreni proseci su dobili naziv po ome jer se sukcesivno izračunavamo proseke i pomeramo od počeka serije sve do njenog kraja. Pri ome, salno moramo da uzimamo grupe od isog broja podaaka za izračunavanje proseka. Ideja meode pokrenih proseka jese da se izračunavanjem proseka iz vremenske serije eliminišu ekuća kolebanja. Na aj način u novoj, ransformisanoj seriji osaju samo rend i evenualno ciklična komponena. Meod odnosa prema pokrenim prosecima polazi od muliplikaivnog modela kompozicije vremenske serije: Y = T S C R Može se lako sagledai da je iz serije porebno eliminisai rend, cikličnu i neregularnu komponenu, kako bi u njoj osao samo "čis" uicaj sezone. Jasno je da bismo navedene ri komponene mogli odsranii iz serije ako bismo imali ri indikaora koji bi odražavali poseban uicaj svake od njih. Tada bismo jednosavno podelili originalne podake sa sva ri indikaora: Y T C R = S i došli do mere sezonskog uicaja S. Međuim, neregularna komponena je slučajna promjenljiva i nju nije moguće obuhvaii preko nekog posebnog pokazaelja. Sličan problem je i sa cikličnom komponenom. Posavlja se pianje, kako onda da odsranimo T, C i R iz vremenske serije? Ideja meoda odnosa prema pokrenim sredinama je u sledećem: I) Trend i Ciklična komponenu (T i C) se ne obuhvaaju pojedinačno, već združeno, kroz odgovarajuće mesečne ili kvaralne pokrene proseke. II) Deljenjem originalnih podaaka pokrenim prosecima isključuju se rend i ciklična komponena, čime u seriji osaje još agregirana sezonska i neregularna (slučajna) komponena, odnosno T S C R S R = T C
332 OSNOVI STATISTIKE III) Kako iz agregirane veličine S R odsranii R? Ovde se polazi od oga da slučajna komponena na vremensku seriju okom određenog perioda nekada deluje poziivno, nekada negaivno, ako da će u zbiru njen uicaj bii jednak nuli. Ako je zbir jednak nuli, ada će i prosek akođe bii jednak nuli. Eliminisanje neregularne komponene se konkreno posiže ime šo se izračunavaju prosečne vrednosi S R za pojedine kvarale (ili mesece): S R I S = n (13.10) Na aj način dolazimo do mere sezonskog uicaja, koju smo nazvali sezonski indeks. Sam posupak izračunavanja sezonskih indeksa upravo sprovodimo kroz ri eape, koje logički odgovaraju svakoj od prehodno navedenih. U prvoj eapi izračunavaju se kvaralni (mesečni) pokreni proseci, kao prose arimeičke sredine originalnih podaaka svaka čeiri uzasopna kvarala (dvanaes uzasopnih meseci). Posupak izračunavanja pokrenih proseka nasavlja se do kraja serije. Nakon izračunavanja svih pokrenih proseka, oni se cenriraju, da bi se svakom originalnom podaku pridružio njegov pokreni prosek. Cenrirani pokreni proseci predsavljaju arimeičke sredine svaka dva uzasopna kvaralna (mesečna) pokrena proseka. Zbog same prirode pokrenih proseka, odgovarajući broj podaaka vremenske serije osaće bez svog pokrenog proseka: ako raspolažemo kvaralnim podacima ukupno 4 (prva dva i poslednja dva), a kod mesečnih podaaka 12 (prvih šes i poslednjih šes). U drugoj fazi odsranjujemo uicaj renda i ciklične komponene deljenjem svakog originalnog podaka njegovim cenriranim pokrenim prosekom. Pri ome, podake koji nemaju svoje pokrene proseke eliminišemo iz dalje obrade. Dobijene količnike nazvaćemo neregularni sezonski količnici. (Nekada se nazivaju i specifični sezonski indeksi, ali aj naziv nije sasvim adekvaan jer ovi količnici u sebi sadrže i uicaj neregularne komponene.) U rećoj eapi izračunavaju se sezonski indeksi, kao arimeičke sredine neregularnih sezonskih količnika odgovarajućih kvarala (meseci). Njihovim množenjem sa 100, iskazujemo ih u procenima. U ovoj eapi eliminisali smo uicaj neregularne komponene. PRIMER 13.3 Podaci o prodaji bezalkoholnih pića (u hilj. liara) po kvaralima, u periodu od 2005. do 2008. godine, u rgovini na veliko, na području jedne regije, dai su u sledećoj abeli: Tabela 13.5 Prodaja bezalkoholnih pića u periodu 2005 2008. godina Godine Kvaral I II III IV 2005. 93 242 210 121 2006. 100 262 223 130 2007. 109 276 230 141 2008. 115 280 239 139
POGLAVLJE 13 Analiza vremenskih serija 333 Na osnovu izračunaih sezonskih indeksa ispiai da li prodaja bezalkoholnih pića u posmaranoj regiji ima sezonski karaker. REŠENJE: Eapa I Najpre ćemo izračunai kvaralne pokrene proseke, a zaim i cenrirane kvaralne proseke. Budući da imamo kvaralne podake, uzimaćemo pokrene proseke od po 4 člana. Pokreni kvaralni proseci: Cenrirani kvaralni proseci: 93+242+210+121 =166,5 4 242+210+121+100 =168,25 4 166,5+168,25 =167,375 2 Na sličan način izračunaćemo i osale, i prikazai u Tabeli 13.8. Tabela 13.6 Radna abela sa elemenima za izračunavanje sezonskih indeksa Y T S R T C S R Godina Kvaral Prodaja Pokreni kvaralni proseci Cenrirani kvaralni proseci Neregularni sezonski količnici 2005 2006 2007 2008 I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV 93 242 210 121 100 262 223 130 109 276 230 141 115 280 239 139 166,50 168,25 173,25 176,50 178,75 181.00 184,50 186,25 189.00 190,50 191,50 193,75 193,25 167,375 170,750 174,875 177,625 179,875 182,750 185,375 187,625 189,750 191,000 192,625 193,500 1,255 0,709 0,572 1,475 1,239 0,711 0,588 1,471 1,212 0,738 0,597 1,447 Eapa II Neregularne sezonske količnike dobijamo deljenjem originalnih podaaka o prodaji sa cenriranim pokrenim prosecima. Tako, na primer, prvi podaak u seriji koji ima svoj cenrirani pokreni prosek iznosi 210. Njegovim deljenjem sa 167,375 dobijamo prvi neregularni sezonski količnik, sezonski indeks koji iznosi 1,255. Eapa III U poslednjoj koloni Tabele 13.6 nalaze se neregularni sezonski količnici koji, osim sezonskih, u sebi sadrže i neregularne uicaje. Da bismo
334 OSNOVI STATISTIKE eliminisali ove slučajne uicaje porebno je, kao šo smo naveli, izračunai proseke svih neregularnih sezonskih količnika po kvaralima. Radi preglednosi, formiraćemo novu abelu u koju ćemo unei sve izračunae neregularne sezonske količnike po odgovarajućim kvaralima i godinama. Tabela 13.7 Izračunavanje sezonskih indeksa Godina Kvaral I II III IV 2005. 1,255 0,709 2006. 0,572 1,475 1,239 0,711 2007. 0,588 1,471 1,212 0,738 2008. 0,597 1,447 0,586 1,464 1,235 0,719 Sezonski indeksi 58,6% 146,4% 123,5% 71,9% U Tabeli 13.7 sezonski indeks za I kvaral je izračuna kao prosek neregularnih sezonskih količnika za aj kvaral: 0,572 + 0,588 + 0,597 I kvaral: I I kvaral = 100 = 58,6% 3 i na sličan način su izračunai i svi osali sezonski indeksi. Budući da sezonski indeksi variraju oko 100, ako analiziramo kvaralne podake njihov zbir mora da iznosi 400, dok zbir mesečnih sezonskih indeksa mora bii jednak 1200. U našem primeru, zbog zaokruživanja zbir iznosi 400,4. U saisičkoj lierauri i saisičkim sofverima se česo sezonski indeksi u posljednjoj eapi koriguju, kako bi zbir iznosio šo je moguće bliže 400 (odnosno 1200 kod mesečnih sezonskih indeksa), ali mi se na ome nećemo zadržavai. Odgovorimo sada na posavljeno pianje u Primeru 13.3: da li prodaja bezalkoholnog pića ima sezonski karaker? Ako na pojavu ne bi uicala sezonska komponena, svi sezonski indeksi bi varirali oko 100, j. iznosili približno 100%. Šo su veće varijacije (odsupanja) indeksa u odnosu na 100%, veći je i sezonski uicaj. Analizirajući naše sezonske indekse vidimo da se svi znano razlikuju od 100%, pa zaključujemo da je sezonska komponena izražena, odnosno da znano uiče na prodaju bezalkoholnih pića u posmaranoj regiji. Budući da su sezonski indeksi u II i III kvaralu veći od 100% u ovim kvaralima sezonska komponena uiče poziivno. U I i IV kvaralu uicaj sezone je negaivan. Kako konkreno inerpreiramo dobijene sezonske indekse? Prilikom umačenja sezonskih indeksa njihove vrednosi umačimo kao odsupanja pojave pod uicajem sezone u odnosu na opši prosek pojave u obuhvaćenom periodu. U I kvaralu sezonski uicaji dovode do smanjenja prodaje bezalkoholnih pića za 41,4 % u odnosu na opši prosek. Međuim,
POGLAVLJE 13 Analiza vremenskih serija 335 prodaja u II kvaralu je za 46,4 % veća od prosečne prodaje, dok je prodaja u III kvaralu pod uicajem sezone akođe povećana za 23,6%. U IV kvaralu sezona je ponovo uicala na smanjenje obima prodaje za 28,1 % u odnosu na opši prosek. Izlaz iz saisičkog pakea EduSa pokazuje kako se aj sofver korisi za izračunavanje sezonskih indeksa. Za empirijsku seriju porebno je odredii počenu godinu i izabrai opciju kvaralni ili mesečni podaci. Primećujemo da posoje male razlike između naših sezonskih indeksa i onih dobijenog uz pomoć sofvera. Ove razlike su nasale, jednim delom zbog zaokruživanja, a drugim jer su u EduSau sezonski indeksi korigovani kako bi njihov zbir iznosio šo je moguće bliže 400. U daljoj analizi korisićemo naše rezulae. SEZONSKI INDEKSI Vremenska serija: Prodaja Broj opservacija n = 16 Sezonski indeksi (muliplikaivni model) I kvaral 58,49% II kvaral 146,26% III kvaral 123,40% IV kvaral 71,85% Komenar: Najveći poziivni uicaj sezone je u II kvaralu, gde sezonski indeks iznosi 146,26%. Varijabla Prodaja je u II kvaralu pod uicajem sezone 46,26% iznad opšeg proseka. Najveći negaivni uicaj sezone je u I kvaralu, gde sezonski indeks iznosi 58,49%. Varijabla Prodaja je u I kvaralu pod uicajem sezone 41,51% ispod opšeg proseka. 13.3.2. Desezoniranje oklanjanje sezonskih uicaja Preposavimo da se prodaja novih sanova u Beču, u sepembru prošle godine, u poređenju sa prodajom u avgusu prošle godine smanjila za 5%. Da li iz ovoga može da se zaključi da dolazi do recesije u prodaji sanova? Odgovor je negaivan, jer moramo da vodimo računa o uicaju sezonske komponene. Dakle, neophodno je iz podaaka eliminisai (evenualni) uicaj sezone, i ek nakon oga ima smisla upoređivai mesečne (ili kvaralne) nivoe pojave. Može se, recimo, desii da je nakon odsranjenja sezonskog uicaja prodaja sanova realno pokazala čak ras! Na ovom primeru vidimo veliki značaj sezonskih indeksa u ekonomiji, jer se na osnovu njih formiraju desezonirane (ažusirane) ekonomske vremenske serije, odnosno serije iz kojih je eliminisan uicaj sezone.
336 OSNOVI STATISTIKE Desezoniranje Desezoniranje je posupak kojim se iz originalnih podaaka vremenske serije odsranjuje sezonski uicaj. U muliplikaivnom modelu ovo se posiže deljenjem originalnih podaaka sa sezonskim indeksima i množenjem sa 100. Originalni podaak Desezonirani podaak = 100 Odgovarajući sezonski indeks U adiivnom modelu, od originalnih podaaka se oduzimaju sezonski indeksi. PRIMER 13.4 Isključii sezonske uicaje na prodaju u svim kvaralima 2005. godine. Desezoniranje podaaka za 2005. godinu: 93 I kvaral 158,7 58,6 = III kvaral 210 170 123,5 = 242 II kvaral 165,3 146,4 = IV kvaral 121 168,289 71,9 = Dobijene vrednosi pokazuju koliko bi iznosila prodaja bezalkoholnih pića po kvaralima 2005. godine da nije bilo sezonskih uicaja. R E Z I M E Vremenska serija je hronološki uređen niz podaaka o određenoj pojavi. Vremenska serija se po klasičnom meodu dekompozicije može razložii na čeiri komponene: rend, cikličnu sezonsku i rezidualnu (slučajnu) komponenu sa ciljem da se idenifikuju i evenualno odsrane njihovi pojedinačni uicaji. U saisici su formulisana ri osnovna modela o delovanju ovih komponeni: muliplikaivni, adiivni i kombinovani. Trend je razvojna endencija posmarane pojave u posmaranom periodu. Sezonske varijacije se ponavljaju periodično u vremenskim razmacima do godinu dana i mere se sezonskim indeksima. Sezonske varijacije u vremenskoj seriji zamagljuju pravu sliku o osnovnom oku pojave ali se mogu odsranii odgovarajućim posupkom koji se naziva desezoniranje. Ciklične varijacije predsavljaju naizmenično smenjivanje višegodišnjih odsupanja pojave iznad sa odsupanjima ispod njenog prosečnog kreanja (j. renda). Rezidualna komponena obuhvaa slučajne varijacije, kao i varijacije zbog nepredviđenih događaja kao šo su šrajkovi, poplave i sl.
POGLAVLJE 13 Analiza vremenskih serija 337 Prilikom analize razvojne endencije u kreanju neke pojave najčešće se korise linearni, parabolični (nije obuhvaćen) i eksponencijalni rend. Najčešće se kao krierijum koji rend najviše odgovara podacima uzima sledeći: najbolja funkcija renda biće ona koja ima najmanju sandardnu grešku. Nakon izbora funkcije renda ocenjuju se njegovi parameri meodom najmanjih kvadraa. Kod linearnog renda odsečak pokazuje prosek vremenske serije, a nagib srednji apsoluni poras. Kod eksponencijalnog renda određuje se eksponencijalna sopa rasa koja pokazuje prosečno kreanje pojave u posmaranom periodu. Krajnji cilj analize vremenskih serija je prognoza budućih vrednosi pojave za ša posoje brojni meodi. Razmarali smo samo najjednosavniji: eksrapolaciju renda (mehaničku projekciju). Eksrapolacija renda je produžavanje linije renda izvan inervala obuhvaćenog vremenskom serijom, bilo u budućnos ili u prošlos. Da bi eksrapolacija renda bila validna mora bii ispunjena preposavka da fakori koji su delovali na kreanje pojave u obuhvaćenom periodu moraju i dalje delovai približno isim inenzieom, u isom smeru i bez značajnijeg uicaja nekih novih fakora. Sezonski indeksi su relaivni brojevi koji pokazuju odnosno jačinu sezonskog uicaja, u određenom mesecu ili kvaralu, okom više godina. Za izračunavanje sezonskih indeksa u praksi se najčešće korisi meod odnosa originalnih podaaka prema pokrenim prosecima (pokrenim sredinama). Pokreni proseci su akva ransformacija originalne vremenske serije u kojoj se svaki podaak zamjenjuje arimeičkom sredinom og podaka, određenog broja prehodnih i iso oliko narednih podaaka. KLJUČNI NOVI POJMOVI Vremenska serija Klasična dekompozicija Muliplikaivni model Adiivni model Trend Linearni rend Srednji apsoluni poras Parabolični rend Eksponencijalni rend Eksponencijalna sopa rasa Sezonska komponena Sezonski indeksi Desezoniranje Ciklična komponena Eksrapolacija renda Izravnanje vremenske serije Pokreni proseci Korigovana eksrapolacija renda
338 OSNOVI STATISTIKE KONTROLNA PITANJA I ZADACI 1. Cilj analize vremenskih serija. 2. Klasični model dekompozicije vremenske serije. 3. Izbor ipa funkcije renda. U kojim slučajevima daim podacima najviše odgovara linearni rend? A eksponencijalni? 4. Ocenjivanje parameara renda. 5. Ša pokazuju odsečak i nagib kod linearnog renda? 6. Problemi i ograničenja eksrapolacije renda. 7. Ša pokazuje eksponencijalna sopa rasa? 8. Sezonske varijacije. 9. Ša pokazuju i kako se izračunavaju sezonski indeksi? 10. Zašo eksrapolisana rend vrednos nije dobar pokazaelj za prognoziranje kod mesečnih ili kvaralnih serija? Objasnie. 11. Ako sezonski indeks za I kvaral iznosi 120 o znači da... 12. U sledećoj abeli dai su podaci o fizičkom obimu proizvodnje (u 000 komada) u jednom preduzeću u periodu od 2000.-2008.: Godina Broj proizvoda 2000. 150 2001. 165 2002. 185 2003. 210 2004. 230 2005. 220 2006. 225 2007. 230 2008. 240 a) Vremensku seriju prikažie grafički. b) Ocenie linearni rend i proumačie dobijenu ocenu nagiba. c) Polazeći od muliplikaivnog modela iz serije isključie rend i grafički prikažie dobijenu seriju. d) Objasnie ša pokazuju dobijena odsupanja od linije renda i u kojim jedinicama su izražena. e) Eksrapolacijom renda prognoziraje obim proizvodnje u 2010. i objasnie dobijeni rezula. Rešenje: a) yˆ = 206,11 + 10,75 x ; e) y ˆ 2010 = 270,6 hiljada komada.