OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 2ročník Fakula maemaiky, fyziky a informaiky Univerzia Komenského Conens I Obyčajné diferenciálne rovnice a sysémy obyčajných diferenciálnych rovníc 2 II Vey o exisencii, jednoznačnosi a globálnej exisencii riešení 2 III Technika riešení niekorých ypov diferenciálnych rovníc 4 IV Lineárna homogénna diferenciálna rovnica v R 4 V Lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica v R 5 VI Lineárna homogénna diferenciálna rovnica v R n 11 VII Lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica v R n 12 VIII Lineárna diferenciálna rovnica n-eho rádu 13 IX Sysém lineárnych diferenciálnych rovníc s konšannými koeficienmi 18 References 1 MMedveď, Dynamické sysémy 2 Greguš,Švec,Šeda, Obyčajné diferenciálne rovnice 3 Nagy J, Diferenciálne rovnice 4 Bock,Marko, Diferenciálne rovnice 5 Kurzweil, Obyčajné diferenciálne rovnice 6 AFFilippov, Sbornik zadač po eorii obyknnavennych dif urovnenij Typese by AMS-TEX 1
2 2ROČNÍK I Obyčajné diferenciálne rovnice a sysémy obyčajných diferenciálnych rovníc Definícia 11 Nech D R R n je oblasť, j ovorená súvislá množina a f : D R n (, x) f(, x), x R n Obyčajná diferenciálna rovnica 1 rádu v D je rovnica varu: (1) dx =f(, x) (, x) D Niekedy píšeme ẋ mieso dx, j ẋ=f(, x), pričom x=(x 1,, x n ), ẋ=(ẋ 1,, ẋ n ) Nech f = (f 1, f 2,, f n ), j f(, x) = (f 1 (, x),, f n (, x)), kde f i : D R (, x) f i (, x) Rovnica (1) plaí ak ẋ 1 =f 1 (, x 1,, x n ), ẋ 2 =f 2 (, x 1,, x n ),, ẋ n =f n (, x 1,, x n ) sysém obyčajných diferenciálnych rovníc 1rádu Príklad 11 D=R 2, f : R R 2 R 2, f=(f 1, f 2 ), f 1 (, x)=x 1, f 2 (, x)= x 2 poom ẋ 1 =x 1, ẋ 2 = x 2 x 1 ()=c 1 e λ x 2 ()=c 2 e µ ẋ1=c 1 λe λ =c 1 e λ ẋ 2 =c 2 µe µ =c 2 e µ λ=1 µ= 1 x 1 ()=c 1 e x 2 ()=c 2 e Definícia 12 Nech f : D R n, (, x) f(, x) je spojié zobrazenie Riešenie diferenciálnej rovnice (1) na inervale I R je aké spojie diferencovaeľné zobrazenie ϕ : I R n, pre koré plaí: 1 (, ϕ()) D, pre I 2 dϕ() =f(, ϕ()) pre I, kde ϕ=(ϕ 1,, ϕ n ), dϕ() ( dϕ1 () =,, dϕ ) n(), dϕ i () =f i (, ϕ 1 (),, ϕ n ()) pre I, i=1,, n dx dx Príklad 12 =1, x R má nekonečne veľa riešení x()=+c Ale =1, x()= má jediné riešenie x()= Cauchyho začiaočná úloha: (2) { ẋ=f(, x) x( )=x Pre dané (, x ) D reba nájsť inerval I R obsahujúci j I a riešenie x : I R n diferenciálnej rovnice ẋ=f(, x) koré splňuje zv začiaočnú podmienku ẋ( )=x Hovoríme iež, že riešenie x prechádza bodom (, x ) II Vey o exisencii a jednoznačnosi a globálnej exisencii riešení Vea 21 Peanova o exisencii Nech D R R n je oblasť a f : D R n, (, x) f(, x) je spojié zobrazenie Poom pre každý bod (, x ) D exisuje ovorený inerval I R obsahujúci na korom je definované riešenie x : I R n začiaočnej úlohy (2), j ẋ=f(, x) x( )=x
OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 3 Definícia 21 Nech f : D R n, (, x) f(, x), D je oblasť v R R n Hovoríme, že zobrazenie f spĺňa v D Lipschizovu podmienku vzhľadom na premennú x (hovoríme iež, že f je lipschizovské v D vzhľadom na x), ak exisuje aká konšana L>, že plaí f(, x) f(, y) L x y pre (, x), (, y) D, kde je norma v R n (napr euklidovská norma) Definícia 22 Hovoríme, že zobrazenie f : D R n, (, x) f(, x), je lokálne lipschizovské na D vzhľadom na x, ak je splnená podmienka: (, x ) D exisujú čísla a>, b> aké, že G={(, x) R R n ; <a, x x <b} D a f(, x) f(, y) L x y, pre (, x), (, y) G, kde L> je konšana Vea 22 o lokálnej exisencii a jednoznačnosi Nech D R R n je oblasť, f : D R n, (, x) f(, x) je spojié zobrazenie a lokálne lipschizovské na D vzhľadom na x Poom pre každý bod (, x ) D exisuje číslo δ> aké, že na inervale I δ =( δ, +δ) je definované práve jedno riešenie začiaočnej úlohy: ẋ=f(, x), x( )=x Oázka: Ako sa nájde lipschizova konšana? Tvrdenie 21 Nech f=(f 1,, f n ) : D=(a, b) H R n je spojié zobrazenie, kde <a<b< a H R n je konvexná oblasť pričom funkcia f i (i=1,, n) má spojié parciálne derivácie f i(x), (j=1,, n), (, x) (a, b) H x j K= sup (,u) (a,b) H i,j=1,,n f i (, u) x j < Poom f(, x) f(, y) L x y, pre (, x), (, y) (a, b) H, kde L=K n a je euklidovská norma Dôkaz [ n ] 1/2 Nech (, x), (, y) (a, b) H Poom f(, x) f(, y) = (f i (, x) f i (, y)) 2 f i (, x) f i (, y) MVT = ( fi (, c 1 ) kde u=,, f i(, c n ) x 1 x n f i (, x) f i (, y) CSB n j=1 n j=1 ) ; v=x y f i (, c j ) x j } {{ } K 1 n f(, x) f(, y) = (f i (, x) f i (, y)) 2 i=1 nk 2 i=1 f i (, c j ) (x j y j )= u, v x j 2 2 MVT= Mean value heorem= Vea o srednej hodnoe CSB= nerovnosť Cauchyho-Schwarzova-Bunjakovského 1/2 x y nk x y x y (n 2 K 2 ) 1 2 x y = nk x y =L
4 2ROČNÍK Definícia 23 Nech I R je inerval (ovorený) a x : I R n je riešenie diferenciálnej rovnice ẋ=f(, x) Riešenie y : J R n diferenciálnej rovnice ẋ=f(, x), kde J R je inerval sa nazýva predĺžením riešenia x, ak I J a x()=y() pre I Ak I J, I J poom sa y() nazýva vlasným predĺžením riešenia x() Riešenie x : I R n sa nazýva úplné, ak neexisuje žiadne jeho vlasné predĺženie Vedy I sa nazýva maximálny inerval exisencie Riešenie x diferenciálnej rovnice ẋ=f(, x) sa nazýva globálne, ak I=(, ) maximálny inerval exisencie Vea 23 o globálnej exisencii Nech f : R R n R n je spojié zobrazenie splňujúce podmienku, že f(, x) Φ()ω( x ) pre (, x) R R n, kde Φ : R R +, ω : R + R + ; v [ω(σ)] 1 dσ=, v > III Technika riešení niekorých ypov diferenciálnych rovníc 1 Triviálne diferenciálne rovnice: ẋ=f(), x( )=x, kde f() nezávisí od x Poom x()= f(s)ds+x, kde f=(f 1,, f n ), x=(x 1,, x n ) a x()=( f 1 (s)ds+ + f n (s)ds)+x 2 Separované a separovaeľné diferenciálne rovnice: Separovaná: ẋ=f 1 ()f 2 (x), x R Separovaeľné: koré sa dajú ransformovať do separovaných Formálny výpoče: dx =f 1()f 2 (x) dx x f 2 (x) =f 1() x x k =F 1 ( f 1 (s)ds+k) dx f 2 (x) = f 1 ds+k Vea 31 Nech f 1 : (a, b) R, f 2 : (c, d) R sú spojié funkcie, (a, b), x (c, d) Poom plaí: 1 Ak f 2 (x )= poom je x : (a, b) R, x( ) x je riešením začiaočnej úlohy ẋ=f 1 ()f 2 (x), x( )=ẋ (pozn x() x je singulárne riešenie) 2 Ak f 2 (x ) pre všeky x (c, d) poom pre každé x (c, d) exisuje riešenie x : (α, β) R začiaočnej úlohy: x=f 1 ()f 2 (x), x( )=x, kde (α, β), x (c, d), (α, β) (a, b) a oo má var: x x()=f 1 ds (G()+k), kde G()= f 1 (s)ds, F (x)= x f 2 (s), F (x )=k IV Lineárna homogénna diferenciálna rovnica (v R) (1) dx =p()x, x R p : (a, b) R, ( a b ) spojiá funkcia
OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 5 Vea 41 Nech p() je spojiá na inervale I=(a, b) Poom plaí: 1 Každé riešenie x() diferenciálnej rovnice (1) má var x()=e p(s)ds c, I, I, c R (Too riešenie sa nazýva všeobecné) dx 2 Pre každé I a každé x R má začiaočná úloha: =p()x, x()=x práve R jedno riešenie a oo riešenie x() má var x()=e p(s)ds x Dôkaz Separácia premenných dx x =p() dx x = p() ln x = p()= = p(s)ds+ ln c ln x = R c p(s)ds x() =e p(s)ds c x() I Ak by τ R : x(τ)=, poom by dx =p()x, x(τ)= mala 2 rôzne riešenia, a o x() a x () spor s jednoznačnosťou Ak x()>, ak x() =x() x()=e R R p(s)ds c Ak x()<, ak x() = x() x()= e p(s)ds ( c ) R 2 x()=e p(s)ds c; x( )=x x =x( )=c V Lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica (v R) dx =p()x+f() R f(), p() sú spojié na I Vea 51 Pre každé I=(a, b) a každé x R má začiaočná úloha dx =p()x+f(), x()=x práve jedno riešenie x() a oo riešenie má var: x()= e R p(s)ds x } {{ } x h () R p(s)ds + e e R τ p(s)ds f(τ)dτ } {{ } x p() x h () riešenie homogénnej rovnice splňujúce x( )=x x p () parikulárne riešenie nehomogénnej diferenciálnej rovnice x()=x p ()+x h () princíp superpozície riešení Dôkaz Meóda variácie konšany: Hľadajme riešenie nehomogénnej diferenciálnej rovnice v vare x()=e kde c() je spojie diferencovaeľná na I=(a, b) Dosaďme x() do rovnice: dx() R =p() e p(s)ds c() } {{ } x() R +e p(s)ds dc() =p()x()+f() R p(s)ds c(), R p(s)ds dc() e =f() dc() R =e p(s)ds f() riviálna diferenciálna rovnica pre c c()= R τ e p(s)ds f(τ)dτ+k
6 2ROČNÍK R R [ x()=e p(s)ds c()=e p(s)ds e R ] τ p(s)ds f(τ)dτ+k x()= e R p(s)ds x } {{ } x h () R p(s)ds + e e R τ p(s)ds f(τ)dτ } {{ } x p () x =x( )=K Dôkaz vey a) Meódou posupných aproximácií: f : D R R n R n Z predpokladu exisuje a, b> aké, že f splňuje lipschizovskú podmienku v oblasi G={(, x) R R n ; { a, b a, x x b} D Nech M= max f(, x), nech α= min (,x) Ḡ M Budeme konšruovať posupnosť {x k } k=, x k : α, +α R n akú, že x k () x() na I α, kde x() je riešenie začiaočnej úlohy (pokr) Tvrdenie 51 x() je riešením začiaočnej úlohy dx =f(, x), x()=x na inervale I α x() je spojiá na I α a x()=x + f(s, x(s))ds pre I α Dôkaz : } dx(s) ds =x() x = f(s, x(s))ds x()=x + f(s, x(s))ds x() x( ) I α : Nech x()=x + f(s, x(s))ds a x() je spojiá na I α Poom f(, x()) je spojié f(s, x(s))ds je spojie diferencovaeľná na I α x() je spojie diferencovaeľná na I α dx() =f(, x()) I α a x( )=x Okrajová úloha je ekvivalenná riešeniu zv inegrálnej rovnice x()=x + f(s, x(s))ds I α Pokračujeme v dôkaze vey 41 : Začiaočnú úlohu sačí riešiť pre =, lebo po ransformácií = +τ : y(τ)=x( +τ) dy(τ) dτ = dx(τ+) =f(τ+, x(τ+ )):=F (τ, y(τ)) dy dτ =F (τ, y) y()=x()=x Túo začiaočnú úlohu sačí riešiť pre τ, lebo po ransformácií τ = s dosávame pre z(s)=y( s) rovnicu: dz(s) ds =dy( s) ( 1)= F ( s, y( s) ) dτ s τ z(s) Picardova meóda posupných aproximácií: x()=x + f(s)x(s)ds, I k =, b
-á aproximácia: x () x 1 aproximácia: x 1 ()=x + f(s)x(s)ds OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 7 k aproximácia: x k ()=x k 1 ()+ f(s)x(s)ds Najskôr dokážeme, že (, x k ()) G pre I k, k=1, 2, x k+1 () x = f(s, x k(s))ds f(s, x k(s)) ds Mb < Mα M min{a, b M } M b M = b Teda (, x k+1()) G pre I k, k=, 1, Teraz dokážeme, že x k x na I k (x k, x sú spojié) x k ()=x ()+[x 1 () x ()]+ +[x k () x k 1 ()] x 1 () x () = f(s, x (s))ds M M h x 2 () x 1 () = f(s, x 1(s)) f(s, x (s))ds f(s, x 1(s)) f(s, x (s)) ds L x 1(s) x (s) ds=l Msds=LM 2 2, I k x 3 () x 2 () L x 2(s) x 1 (s) ds L LM s2 2 ds=l2 M 3 3! aď k+1 x k+1 () x k () =L k M (k+1)! Lk M hk+1 (k+1)! x + x 1 () x () + + x k () x k 1 () x +Mh+LM h2 2! +L2 M h3 3! + + +L k 1 M hk k! = x + M ] [Lh+ (Lh)2 + + (Lh)k x + M L 2! k! L elh x k () x() na inervale I k x k+1 () =x + x() f(s, x k (s))ds x()=x + x(s) f(s, x(s))ds I k ẋ()=f(, x()), x()=x I k Jednoznačnosť: Nech u 1 (), u 2 () sú riešenia na I h, u 1 () u 2 () u 1 () u 2 () = [f(s, u 1 (s)) f(s, u 2 (s))]ds f(s, u 1 (s)) f(s, u 2 (s)) ds L u 1 (s) u 2 (s) ds Lh max u 1(τ) u 2 (τ) u 1 () u 2 () Lhρ τ h =ρ max τ h u 1(τ) u 2 (τ) Lhρ ρ Lhρ I h Ak h> je aké, že Lh<1, j <h< 1, poom <ρ Lh<ρ spor L Odhad chyby: n>m, x n () x m () = [x n () x n 1 ()]+ +[x m+1 () x m ()] x n () x n 1 () + + x m+1 () x m () L n 1 M hn n! +Ln 2 M hn 1 (n 1)! + +
8 2ROČNÍK +L m M hm+1 (m+1)! M L (Lh)m+1 e Lh n : x() x m () M L (Lh)n+1 e Lh Nech Lh<1 a ε> Treba nájsť najmenšie m aké, aby x() x m () <ε I h Sačí aby M L (Lh)m+1 e Lh <ε log Lh M L +m+1+lh log Lh e> log Lh ε m+1> log Lh ε e Lh M L Tvrdenie 52 Nech C k =C(I k, R n ) je množina spojiých zobrazení z inervalu I k =, k do R n Poom plaí: 1 Ak L>, r> ak d r (f, g)= max Ik {e rk f() g() } je merika na c k 2 (C k, d r ) je úplný merický priesor Banachova vea Nech (X, d) je úplný merický priesor a F : X X je konrakívne zobrazenie aké, že d(f (x), F (y)) kd(x, y) pre x, y X Poom F má práve jeden pevný bod u aký, že F (u)=u Dôkaz u X, u k+1 =F (u k ), u k u j d(u k, u)= pre k d(u n, u m ) kn 1 k d(u 1, u) m n m d(u, u n ) kn 1 k d(u 1, u) 2dôkaz vey 41 meódou pevného bodu x=c k ; d=d L ; r=l; F : C k C k, F (x)()=x + f(s, x(s))ds Hľadám x C k: F (x)=x x, y C k : d(f (x), F (y))= max{e L F (x)() F (y)() }= max{e L [x + f(s, x(s))ds] I k I k F (x)() [x + f(s, y(s))ds] } max } {{ } F (y)() = max I k {e L L {e L I k f(s, x(s)) f(s, y(s)) ds}= e Ls e Ls x(s) y(s) ds} max I k {e L Ld L (x, y) e Ls ds}= = max I k {e L Ld L (x, y) 1 L (el 1)}= max I k {1 e L }d L (x, y)=(1 e Lh )d L (x, y) d L (F (x), F (y)) (1 e Lh )d L (x, y) F je konrakívne zobrazenie F má jediný pevný bod F (x)=x F (x)() =x + x() { ẋ=f(, x) f(s, x(s))ds I h ; x C( a, b, R n ) x()=x I h Odhad chyby: x=x() -pevné riešenie x m =x m () m-á aproximácia m>n, d L (x m, x n ) (1 e Lh ) m e Lh d(x 1, x ) d(x m, x) (1 e Lh ) m e Lh d L (x 1, x )= = km 1 k d L(x 1, x ), kde k=1 e Lh
OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 9 Prípravné úvahy ku dôkazu Peanovej vey x()=x + f(s, x(s))ds, I h =, h G={(, x) R R n ; a, x x b} f : G R n, f je spojiá, ale nemusí spĺňať lipschizovskosť Kedy možno z posupnosi {x k } k=1, x k A C b =C(I h, R n ); I h =, h vybrať konvergennú podposupnosť vzhľadom na d(f, g)= max Ih f() g() Množina A X sa nazýva re- Definícia 51 Nech (X, d) je merický priesor laívne kompakná, ak Ā=A A je kompakná Kriérium pre relaívnu kompaknosť množiny A C h =C(I h, R n ) Definícia 52 Hovoríme, že množina zobrazení A C(I, R n ), (I= a, b R) je rovnomerne ohraničená, ak exisuje konšana k> aká, že f() k I f A Definícia 53 Hovoríme, že A C(I, R n ) je rovnomocne spojiá, ak ε> δ=δ(ε)> aká, že plaí: 1 2 <δ, 1, 2 I f( 1 ) f( 2 ) <ε, f A Arzelova-Ascoliho Lema: Nech A C(I, R n ) je nekonečná množina, korá je rovnomerne ohraničená a rovnomocne spojiá, poom je A relaívne kompakná ε-približné riešenie: Definícia 54 Nech f : D R n (D R R n je oblasť), ε>, I R je inerval Spojié zobrazenie x : I R n sa nazýva ε -približné riešenie diferenciálnej rovnice ẋ=f(, x), ak plaí: 1 (, x()) D I 2 x=x() je spojie diferencovaeľné zobrazenie na I\S, kde S I pozosáva z konečného poču bodov v korých má deriváciu ẋ()= dx() body nespojiosi aké, dx() že ak S, poom lim 3 dx() f(, x()) <ε aj lim + I\S dx() exisujú, ale sú rôzne Eulerove polygóny: (na inervale I α =, +α, α> pre ẋ()=f(, x), x( )=x -ý Eulerov polygón: x x =f(, x ) (x x ), ẋ( )=f(, x( ))=f(, x ), x ()=x +f(, x )( ) Nech δ m : < 1 < < m = +α 1 Eulerov polygón: m=2: < 1 < 2 = +α x 1 ()=x +f(, x )( ) pre 1 x 2 ()=x 1 +f(, x )( 1 )+f( 1, x 1 )( 1 ) pre 1 +α kde X 1 =x 1 ( 1 )=x +f(, x )( 1 x ) m-ý Eulerov polygón: (pri delení δ m ) X m ()=x m ( k 1 )+f( k 1, x m ( k 1 ))( k 1 ) pre k 1 k k=1,, n Vea 52 Nech G={(, x) R R n, a, x x b}, a, b>, (, x ) R R n a f : G R n je spojié zobrazenie Poom pre ε> exisuje ε-približné riešenie začiaočnej úlohy dx =f(, x), x()=x na inervale I α =, +α, kde α= min { } a, b M, M= max f(, x) (,x) G
1 2ROČNÍK Dôkaz f spojié na kompake G, poom f je rovnomerne spojié na G Ak ε> je dané, ak ku nemu exisuje δ=δ(ε)> aké, že (, u), (s, v) G, s <δ(ε), u v <δ(ε) f(, u) f(, v) <ε Zvoľme delenie δ : < +α; δ m : < 1 < < m = +α, m> δ X () -ý Eulerov polygón; δ m X m () m-ý Eulerov polygón Dokážeme, že (, x m ()) G I α =, +α Nech 1 x m () x = = f(, x )( ) =( ) f(, x ) M( ) Mα M b M =b Nech 1 2 X m ()=x m ()+f( 1, x m ( 1 ))( 1 )=x +f(, x )( 1 )+f( 1, x m ( 1 ))( 1 ) x m () x () = f(, x )( 1 )+f( 1, x m ( 1 )) M( 1 )+M( 1 )= =M( ) Mα b aď indukciou Plaí: 1 x m () je spojié zobrazenie na I α a derivácia exisuje až na konečný poče bodov z I α 2 dx m() f(, x m ()) <ε I α až na konečný poče bodov z I α Nech k {1, 2,, n}, k 1 k a delenie aké, že max { k k 1 } min{δ(ε), δ(ε) k M } Poom x m () x m ( k 1 ) = f( k 1, x m ( k 1 )) ( k 1 ) M( k 1 ) M δ(ε) M = =δ(ε) dx m() f(, x m ()) = f( k 1, x m ( k 1 )) f(, x m ()) ε ak exisuje dx m () x m () je ε-približné riešenie Dôkaz Peanovej vey Nech {ε m }, lim m= (napr ε m = 1 m m ) X m() je ε-približné riešenie na I α =, +α Ukázali sme, že x m () x b m x m () K=b+ x m> (K nezávisí od m) množina A={x m C; m>; C(I α, R n )} je rovnomerne ohraničená Ukážeme, že A je rovnomocne spojiá Nech, s I α =, +α δ m : < 1 < < m = +α Nech s< Poom s j, j+1, i, i+1, i>j x m () x m (s) = [x m () x m ( i )]+[x m ( i ) x m ( i 1 )]+ +[x m ( j+1 ) x m (s)] x m () x m ( i ) + x m ( i ) x m ( i 1 ) + + x m ( j+1 ) x m (s) M( i )+ +M( i i 1 )+ +M( j+1 s)=m( s) ε> δ=δ(ε)> aké, že s <δ x m () x m (s) <ε x m A A je rovnomocne spojiá Z Ascoli-Arzelovej lemy vyplýva, že exisuje podposupnosť {x mk } k=1 aká, že x m k x C(I α, R n ) na I α g k ()=x mk (), {g k }, g k x, g k ()=x + f(s, g k (s))+ k (s)ds k ()= dg k() f(, g k ()) ak je aké, že exisuje dg k(), inde Vieme, že k k () ε mk k g k () x x()=x + f(s, x(s))ds, I α je riešenie Vea o predĺžieľnosi riešení Nech f : D R n (D R R n je oblasť) je spojié, ohraničené zobrazenie Nech x() je riešenie začiaočnej úlohy ẋ=f(, x) x( )=x, kde (, x ) D na inervale I= a, b Poom exisuje x(a+)= lim x() a a+ lim b x()=x(b ) Naviac, ak (b, x(b)) D (analogicky (a, x(a)) D) poom exisuje β> a riešenie y(), (α β, b+β) aké, že y()=x() pre (a, b) ( y() spojié predĺženie x() na inervale (a β, b+β))
OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 11 Dôkaz x()=x 1 + f(s, x(s))ds, (a, b) Nech M= max f(, x) Nech (,x) D a<u<v<b Poom x(v) x(u)= v f(s, x(s))ds x(v) x(u) M(v u) lim u,v b u [x(v) x(u)]= Z Cauchyho konvergenčného kriéria lim b x() exisuje Označme ju x(b ) Analogicky exisuje lim x()=x(a+) Predpokladajme, a+ { x(); (a, b) že (b, x(b )) D Definujme z()= Zrejme z() je spojiá na (a, b x(b ); ak =b A možno riešiť začiaočnú úlohu ẋ=f(, x); x(b)=x(b ) lim x()=x(a+) exisuje a+ z Peanovej vey β> aké, že začiaočná úloha má riešenie x(), a, b+β) Analogicky naľavo od a VI Lineárna homogénna diferenciálna rovnica v R n (1) dx =A() x, x Rn A()=(a ij ()) M nn (R) a ij () sú spojié na I=R Algebraická šrukúra riešení diferenciálnej rovnice (1): Vea 61 Množina M riešení diferenciálnej rovnice (1) je n-rozmerný vekorový priesor nad R Dôkaz Nech x 1 (), x 2 () sú riešenia, k 1, k 2 R x()=k 1 x 1 ()+k 2 x 2 () ẋ()=k 1 ẋ 1 ()+k 2 ẋ 2 ()=k 1 A()x 1 ()+k 2 A()x 2 ()=A()[k 1 x 1 ()+k 2 x 2 ()] Ukázali sme, že x 1, x 2 M x=k 1 x 1 +k 2 x 2 M M je vekorový priesor nad R n Dokážeme, že dim(m)=n Nech { e 1,, e n } je báza jednokových vekorov v R n Nech x i () je riešenie diferenciálnej rovnice (1) splňujúce začiaočnú podmienku x i ()= e i, i=1, 2,, n x 1 (), x 2 (), x n () sú lineárne nezávislé, j neexisujú c 1,, c n R aké, že c 2 i a c 1x 1 ()+ +c n x n ()= I Nech aké konšany exisujú Poom pre = je c 1 x 1 ()+ +c n x n ()= c=(c 1, c 2, c n )= =(,, ) c i = dim(m) n Nech y() je ľubovoľné riešenie j y M Nech y()=v=(v 1,, v n ) T R n Nech u()=v 1 x 1 ()+ +v n x n () Zrejme u M a plaí: y()=v=u(), lebo x 1 ()= e i, i=1,, n Z vey o exisencii a jednoznačnosi riešení u()=y() I u()=v 1 x 1 ()+ +v n x n () dim(m) n, ale vieme, že dim(m) n dim(m)=n a {x 1,, x n } je báza v M Definícia 61 Každú množinu ϕ 1 (), ϕ 2 (),, ϕ n () lineárne nezávislých riešení diferenciálnej rovnice (1) nazývame fundamenálnym sysémom riešení diferenciálnej rovnice (1) Definícia 62 Nech ϕ 1 (),, ϕ n () je fundamenálny sysém riešení a ϕ 1 ()=[ϕ 11 (),, ϕ 1n ()] T,, ϕ n ()=[ϕ n1,, ϕ nn ] T Poom sa maica Φ()=[ϕ 1 (),, ϕ n ()]=(ϕ ij ()) nazýva fundamenálnou maicou diferenciálnej rovnice (1) Tvrdenie 61 Fundamenálna maica Φ() je maicovým riešením diferenciálnej rovnice Ẋ= dx =A()X, j Φ()= dφ() =A()Φ(), kde Φ()=( ϕ 1 (),, ϕ n ()) Dôkaz Φ()=[ ϕ 1 (),, ϕ n ()]=[A()ϕ 1 (),, A()ϕ n ()]=A()Φ()
12 2ROČNÍK ( ) 1 Príklad 61 Ẋ= X=AX e B =I 1 n + 1 1! B+ 1 2! B2 2 + d ea =A+ 1 1! A2 + 1 2! A3 2 + =A(1+ 1 1! A+ )=AeA Φ()=e A ak je o maicové riešenie diferenciálnej rovnice ) (1) Φ()=I Dokáže, že Φ()=e A = ( cos sin sin cos Tvrdenie 62 Liouvilleova formula Nech Φ() je maicové riešenie diferenciálnej rovnice Ẋ=A()X Poom pre každé R T R je de Φ()= de Φ( ) e ra(s)ds, kde T ra(s)=a 11 (s)+ +a nn (s), A(s)=(a ij (s)) d Dôkaz (náznak) de(φ())= de[ ϕ 1(),, ϕ n ()]+ + de[ϕ 1 (),, ϕ n ()]= =A()ϕ 1 ()+ +A()ϕ n ()=T ra() de Φ(), ϕ i () sú sĺpce maice Φ() d de(φ()) = T ra() de Φ() x() p() x() R ẋ=p()x x()=e p(s)ds x( ) Dôsledok de Φ( ) de Φ() R Ak de Φ( )= de Φ() Vea 62 Začiaočná úloha ẋ=a()x x( )=x má riešenie varu x()=φ()φ 1 ( )x, kde Φ() je fundamenálna maica diferenciálnej rovnice ẋ=a()x Dôkaz ẋ()= Φ()Φ 1 ( )x =A()Φ()Φ 1 ( )=A()x(), x( )=Φ( )Φ 1 ( )x =x VII Lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica v R n ẋ=a()x+f() A()=(a ij ()) f()=(f 1 (),, f n ()) T spojié na R Vea 71 Riešenie začiaočnej úlohy x=a()x+f(), x( )=x má var: x()=φ()φ 1 ( )x +Φ() Φ 1 (s)f(s)ds Dôkaz Meóda variácie konšany: Hľadáme riešenie v vare x()=φ()c(), kde c() je spojie diferencovaeľná ẋ()= Φ()c()+Φ()ċ()=A() Φ()c() +f() Dosávame rovnicu pre c(): x() A()Φ()c()+Φ()c()+Φ()ċ()=A() Φ()c() +f() Φ()ċ()=f() x c()=φ 1 ()f() c()= Φ 1 (s)f(s)ds+k, kde K je konšanný vekor Máme: x()=φ()c()=φ()[k+ Φ 1 (s)f(s)ds]=φ()k+φ() Φ 1 (s)f(s)ds x =Φ( )K K=Φ 1 ( )x x()=φ()φ 1 ( )x +Φ() Φ 1 (s)f(s)ds
OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 13 Príklad 71(skúškový!!!) ( ) ( ) 1 4 ẋ= x+ x()= x 1 1 =(2, 1) T f() ( ) cos sin Riešenie: x()= γ+y() Hľadajme parikulárne riešenie v vare: sin cos y() α=(α 1, α 2 ) T konšanný Dosadíme: =Aα+f α= A 1 f=(1, 4) T x =x()=γ+α=γ+(1, 4) T γ=x (1, 4) T =(2, 1) T (1, 4) T =(1, 5) T, ( ) ( ) ( ) cos sin 1 1 x()= + sin cos 5 4 VIII Lineárna diferenciálna rovnica n-eho rádu Homogénna: L n u=, nehomogénna: L n u=f(), kde L n u=a () dn u n +a 1() dn 1 u n 1 + +a n 1() du +a n()u a (), a 1 (),, a n (), f() sú spojié skalárne funkcie na R Ak a ( )= pre nejaké R singulárna diferenciálna rovnica; ak a () pre R ak regulárna diferenciálna rovnica Budeme predpokladať, že a () pre R Poom bez ujmy na obecnosi prepokladajme, že a () 1 Využijeme eóriu lineárnych diferenciálnych rovníc v R n Uvažujme diferenciálnu rovnicu L n u=f() Napíšeme diferenciálnu rovnicu ako sysém: Ozn x 1 =u, x 2 = u= du,, x n= dn 1 u n 1 ẋ 1= u=x 2, ẋ 2 = d2 u 2 =x 3,, ẋ n 1 = dn 1 u n 1 =x n, ẋ n = dn u n = a d n 1 u 1 n 1 a nu+f= = a 1 x n a n x 1 +f ẋ=(ẋ 1,, ẋ n ) T = 1 1 ẋ= 1 a n a n 1 a n 2 a 1 x 2 x 3 x n a 1 x n a 2 x n 1 a n x 1 +f x 1 x 2 x n 1 x n + =A()x+ˆf() f (1) ẋ=a()x+ ˆf() (2) L n u=
14 2ROČNÍK Tvrdenie 81 1 x()=(x 1 (),, x n ()) T je riešením diferenciálnej rovnice (1) x 2 ()=ẋ 1 (), x 3 ()= d2 x 1 () 2,, x n ()= dn 1 u n 1 a x 1() je riešením diferenciálnej rovnice (2) 2 Ak x 1 (), x 2 (),, x n () sú riešenia diferenciálnej rovnice (2) maicové riešenie diferenciálnej rovnice ẋ=a()x je x 1 () x n () dx 1 () dx n () Φ()= d n 1 x 1 () n 1 d n 1 x n () n 1 Definícia 81 W (x 1,, x n ):= de Φ() Wronského deerminan (wronskián) ξ Riešiť Cauchyho úlohu: ẋ=a()x+ ˆf(); x( )=ξ= je o isé ako riešiť ξ n 1 začiaočnú úlohu L n u=f(); u( )=ξ, u( )=ξ 1, ü( )=ξ 2,, u (n 1) ( )=ξ n 1, u() u() lebo x= u (n 1) () riešením diferenciálnej rovnice L n u=f je riešením diferenciálnej rovnice ẋ=a()x+ ˆf() u() je Definícia 82 Množina x 1 (),, x n () lineárne nezávislých riešení diferenciálnej rovnice L n u= sa nazýva fundamenálny sysém Vea 81 Riešenia x 1 (), x 2 (),, x n () diferenciálnej rovnice L n u= sú lineárne nezávislé ak W (x 1,, x n )() pre R Dôkaz : Nech x 1 (),, x n () sú lineárne nezávislé riešenia, ale W (x 1,, x n )( )= pre nejaké R Z Liouvilleovej formuly: W (x 1,, x n )()=W (x 1,, x n )( ) e R a 1(s)ds W (x 1,, x n )() c 1,, c n R c 2 i aké, že c 1x 1 ()+ +c n x n ()= pre R Spor s lineárnou nezávislosťou : Nech W (x 1,, x n )() pre R, ale x 1 (),, x n () sú lineárne závislé Poom c 1,, c n R c 2 i aké, že c 1x 1 ()+ +c n x n ()= pre R c 1 ẋ 1 ()+ +c n ẋ n ( =,, c 1 x (n 1) 1 ()+ +c n x (n 1) n ()= pre R Homogénny sysém algebraických rovníc pre neznáme c 1,, c n Ak jeho deerminan (=Wronskián) je nenulový c 1 =,, c n = spor Vea 82 Nech x 1 (),, x n () je fundamenálny sysém riešení homogénnej diferenciálnej rovnice L n u=u (n) +a 1 ()u (n 1) + +a n 1 () u+a n ()u= Poom riešenie x() Cauchyho úlohy L n x=f(), x( )=ξ, ẋ( )=ξ 1,, x (n 1) =ξ n 1 má var x()=u()+ n x k () k=1 W k (x 1,, x n )(s) W (x 1,, x n )(s) f(s)ds
OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 15 kde W (x 1,, x n ) je wronskián riešení x 1 (),, x n () W k (x 1,, x n )() je definované ako: x 2 () x n () ẋ 2 () ẋ n () W 1 (x 1,, x n )()= de,, x (n 2) 2 () x (n 2) n 1 x (n 1) 2 x (n 1) n x 1 () x 2 () ẋ 1 () ẋ 2 () W n (x 1,, x n )()= de x (n 2) 1 x (n 2) 2 () x (n 1) 1 x (n 1) 2 1 u() je riešením Cauchyho začiaočnej úlohy L n u=, u( )=ξ, u (n 1) ( )=ξ n 1 Dôkaz ẋ=a()x+ ˆf(), x 1 (),, x n () fundamenálny sysém pre diferenciálnu rovnicu L n u= Poom Φ()= x 1 () x n () ẋ 1 () ẋ n () 1 () x (n 1) n () x (n 1) fundamenálna maica pre ẋ=a()x+ ˆf() Nech z() je riešenie diferenciálnej rovnice L n u= Poom v()= z() ż() riešenie začiaočnej úlohy pre sysém z (n 1) () v()=φ()φ 1 ( )ξ+φ() Φ 1 (s)f(s)ds Φ()=(ϕ ij )=(x (i 1) j ()) X ij -algebraický doplnok Φ 1 ()=diag(x 11 (),, X nn ()) v()=φ()φ 1 ( )ξ+w() X 11 (s) X n1 (s) w()=[(x (i 1) 1 j ())] W (x 1,, x n )(s) ds= X 1n (s) X nn f(s) x 1 () x n () X n1 (s)f(s) ẋ 1 () ẋ n () = 1 X n2 (s)f(s) x (n 1) 1 () x (n 1) W (x 1,, x n )(s) ds n X nn (s)f(s) n W k (x 1,, x n )(s) w()= x k () W (x 1,, x n )(s) f(s)ds k=1
16 2ROČNÍK Meóda variácie konšán: L 2 u=ü+a 1 () u+a 2 ()u=f() homogénna: ẍ+a 1 ()ẋ+a 2 ()x= Nech x 1 (), x 2 () sú riešenia Všeobecné riešenie homogénnej rovnice: x()=c 1 x 1 ()+c 2 x 2 () c 1, c 2 R Hľadáme riešenie nehomogénnej diferenciálnej rovnice v vare: u()=α 1 ()x 1 ()+α 2 ()x 2 (), α 1 (), α 2 () sú spojie diferencovaeľné, zaiaľ neznáme u= α 1 ()x 1 +α 1 ()ẋ 1 ()+ α 2 ()x 2 ()+α 2 ()ẋ 2 () Zvoľme α 1 (), α 2 () ak, že α 1 ()x 1 ()+ α 2 x 2 ()= pre R ü= α 1 ẋ 1 +α 2 ẍ 2 + α 2 ẋ 2 Za ẍ 1 a ẍ 2 dosadíme z homogénnej diferenciálnej rovnice: { α1 x 1 + α 2 x 2 = L n u=f α 1 ()ẋ 1 ()+ α 2 ()ẋ 2 ()=f() α 1 ẋ 1 + α 2 ẋ 2 =f 1 α 1 ()= x 2 () W (x 1, x 2 )() f() ẋ 2 () = x 2()f() W (x 1, x 2 )() 1 α 2 ()= W (x 1, x 2 )() x 1() ẋ 1 () f() = x 1()f() W (x 1, x 2 )() α 1 ()=c 1 x 2 (s)f(s) W (x 1, x 2 )(s) ds α 2()=c 2 + x 1 (s)f(s) W (x 1, x 2 )(s) ds u()=α 1 ()x 1 ()+α 2 ()x 2 ()= c 1 x 1 ()+c 2 x 2 () + vš rieš L 2 u= x 2 (s)f(s) +x 1 () W (x 1, x 2 )(s) ds+x x 1 (s)f(s) 2() W (x 1, x 2 )(s) ds Ak by sme mali začiaočnú podmienku u( )=ξ, u( )=ξ 1, ak c 1 x 1 ( )+ +c 2 x 2 ( )=ξ Zderivovaním u() dosaneme: c 1 ẋ 1 ( )+c 2 ẋ 2 ( )=ξ 1 Lineárne diferenciálne rovnice n-eho rádu s konšannými koeficienami (1) L n u=u (n) +a 1 u (n 1) + +a n 1 u+a n u= a i R respc Poznámka Pod komplexným riešením diferenciálnej rovnice (1) rozumieme funkcie u()=u 1 ()+iu 2 () (s hodnoami v C) u 1 (), u 2 () sú reálne riešenia diferenciálnej rovnice (1) Plaí Ak ϕ()=ϕ 1 ()+iϕ 2 () s hodnoami v R, poom L n ϕ=l n ϕ 1 +il n ϕ 2 L n ϕ= L n ϕ 1 ==L n ϕ 2 j ϕ je komplexným riešením diferenciálnej rovnice (1) ak ϕ 1, ϕ 2 sú reálne riešenia diferenciálnej rovnice (1) Leibnizova formula Ak u(), v() sú n-krá diferencovaeľné, poom: ( ) ( ) n n (uv) (n) =u (n) v+ u (n 1) v+ u (n 2) v+ ( ) n + uv (n 1) +uv (n) 1 2 n 1
OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 17 Definícia 83 Polynóm P (λ)=λ n +a 1 λ n 1 + +a n 1 λ+a n sa nazýva charakerisický polynóm diferenciálnej rovnice (1) Z Leibnizovej formuly: L n (e λ v())=[e λ v()] (n) +a 1 (e λ v()) (n 1) + +a n 1 (e λ v()) +a n e λ v()= [ =e λ P (λ)v()+ P [1] (λ) v ()+ + P [n 1] (λ) v (n 1) () P [n] ] (λ) v (n) () 1! (n 1)! n! kde di v() i =v (i) () a p [i] (λ)= di P (λ) dλ i L 2 (e λ v())=(e λ v()) (2) +a 1 (e λ v()) (1) +a 2 (e λ v())= =(e λ ) (2) v()+2(e λ ) v ()+e λ v ()+a 1 (e λ ) v()+a 1 e λ v ()+a 2 e λ v()= =λ 2 e λ v()+2λe λ v ()+v ()e λ +a 1 λe λ v()+a 1 e λ v ()+a 2 e λ v()= =e λ [(λ 2 +a 1 λ+a 2 )v()+(2λ+a 1 )v ()+v ()] Vea 83 Nech λ 1, λ 2,, λ s sú navzájom rôzne korene charakerisického polynómu P (λ)=λ n +a 1 λ n 1 + +a n 1 λ+a n Pričom násobnosť koreňa λ i je m i s m i =n Poom fundamenálny sysém riešení (vo všeobecnosi komplexných) i=1 diferenciálnej rovnice (1) je: x 1 ()=e λ1 ; x 2 ()=e λ1,, x m1 ()= m1 1 e λ1 x m1+1()=e λ 2 ; ; x m1+m 2 ()= m 2 1 e λ 2 x m1 + +m s 1 +1()=e λs ; ; x m1 + +m s ()= ms 1 e λs Dôkaz Najskôr ukážeme, že ak η je koreň P (λ) násobnosi k, poom sú funkcie e η, e η,, k 1 e η riešeniami diferenciálnej rovnice (1) Nech i k 1, poom L n ( i e η )=e η P (η) i + 1 1! P [1] (η)( ) + + 1 i! P [i] (η)( ) (i) + = = = + P [i+1] (η) ( i ) (i+1) + + P [n] (η) ( i ) (n) = (i+1)! n! } {{ } = = Dokážeme, že x 1 (),, x n () sú lineárne nezávislé Sačí dokázať, že ich wronskián W (x 1,, x n )() pre = Nech: x 1 () x n () x (1) 1 () x(1) n () W (x 1, x 2,, x n )()= = x (n 1) 1 () x (n 1) n ()
18 2ROČNÍK Poom exisujú konšany b,, b n 1 R nie všeky nulové aké, že b x j ()+b 1 x (1) j ()+ +b n 1 x (n 1) j ()= pre j=1, 2, n Definujme Q(λ):=b +b 1 λ+ +b n 1 λ n 1, deg Q=n 1 a polynóm Q(λ) má n koreňov (vráane ich násobnosi) spor Iný dôkaz: Nech sú x 1 (),, x n () sú lineárne závislé; poom exisujú konšany c 11,, c 1m1 1, c 21,, c 2m2 1,, c s1,, c sms 1 nie všeky nulové aké, že c 11 e λ 1 +c 12 e λ 1 + +c 1m1 1 m 1 1 e λ 1 + +c sms 1 m s 1 e λ s P 1 ()e λ1 +P 2 ()e λ2 + +P s ()e λs = deg P i ()=m i 1 Nie všeky P i sú Bez ujmy na obecnosi predpokladajme, že P s () Derivujme m 1 -krá: P 1 ()+P 2 ()e (λ2 λ1) + +P s ()e (λs λ1) P 21 ()e (λ 2 λ 1 ) + +P s1 ()e (λ s λ 1 ) deg P i1 =m i 1 Po s akýcho procedúr dosávame, že P ss ()e (λ s λ 1 λ s 1 ) Spor, lebo deg P ss =m s 1 Vea 84 Nech λ 1,, λ s sú (1 s n) korene charakerisického polynómu P (λ) diferenciálnej rovnice (1), λ i má násobnosť m i m i =n Nech λ 1,, λ k sú reálne a λ k+1 =α k+1 +iβ k+1,, λ s =α s +iβ s sú komplexné Poom fundamenálny sysém reálnych riešení je: e λi, e λi,, mi 1 e λi, (i=1, 2,, k), e αj cos(β j ),, mj 1 e αj cos(β j ), e αj sin(β j ),, mj 1 e αj sin(β j ), j=k+1,, s+k 2 Príklad n=2 λ=α+iβ, β, λ=α iβ Komplexné riešenia: u()=e λ =e α (cos β+i sin ), v()=e λ =e α (cos β i sin β), reálne riešenia: u 1 ()=e α cos β, u 2 ()=e α sin β, u 1 ()= u+v 2, u 2()= u v 2i u v u+v u v =2 v u+v u v 2 u +v v =4i 2 2i u +v u v =4i u 1 u 2 u 1 u 2 2 2 2i IX Sysémy lineárnych diferenciálnych rovníc s konšannými koeficienami (2) ẋ 1 =a 11 x 1 + +a 1n x n Označme A=[(a ij )] ẋ=ax x= ẋ n =a n1 x 1 + +a nn x n x 1 x n Lineárna ransformácia: y= 1 x, kde T M nn je regulárna maica x=x() riešenie ẋ=ax y=y()=t 1 x : ẏ=t 1 ẋ=t 1 Ax=(T 1 AT)y (3) ẏ=by, kde B:=T 1 AT
OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 19 Definícia 91 Hovoríme, že sysémy (2), (3) sú ekvivalenné Vea 91 Sysém ẋ=ax je ekvivalenný so sysémom ẏ=by, kde B=T 1 AT je Jordanova forma maice A j D S B=J(A)= 1 S k =diag(d, S 1,, S k ) λ mj 1 λ 1 λ kde S j = mj 1 λ M λ mj 1 mjm j D= 2 λ mj λ m j=1, 2,, k a m+m 1 + +m k =n λ i sú vlasné hodnoy maice A Teda sysém ẏ=by má var ẏ 1 =λ 1 y 1,, ẏ m =λ m y m Výpoče maice T ak A má všeky vlasné hodnoy navzájom rôzne V omo prípade λ 1 λ B=T 1 AT= 2 =diag(λ 1,, λ n ) λ n T=[T 1, T 2,, T n ]=? (T i sú sĺpce) B=T 1 AT TB=AT TB=[λ 1 T 1,, λ n T n ], AT=[AT 1,, AT n ] Rovnosť AT=TB nasáva práve vedy, keď AT i =λ i T i pre i de T T i pre i=1, 2,, n Tvrdenie 91 Pre všeky i=1, 2,, n je T i vlasný vekor maice A zodpovedajúci vlasnému číslu λ i Riešme Cauchyho úlohu ẋ=ax, x( )=x y=t 1 x, B=T 1 AT=J(A)=diag(λ 1,, λ n ) ẋ=by, y( )=T 1 x =:y ( y()=e B y =(I+B+ 1 ) 2! (B)2 + )y = (B) k 1 y = k! k= e λ1 e = λ 2 y =diag(e λ1,, e λn )y e λ n Poznámka e B =e (T 1AT) =T 1 e A T ) ) Príklad ẋ= x, x =x()= ( 1 3 4 6 x()=ty()=te B T 1 x ( 1 2 Riešenie: Vlasné hodnoy λ 1 = 2, λ 2 = 3 vlasné vekory T 1, T 2, T 1 =(1, 1) T,
2 2ROČNÍK ( ) ( ) T 2 =(3, 4) T T= 1 3, T 1 4 3 = x()=t diag(e 2, e 3 )T 1 Hľadáme 1 4 1 1 riešenie v vare x()=e λ γ, kde λ C je parameer a γ je nenulový vekor ẋ=λe λ γ=a(e λ γ) ( R) e λ [λi A]γ= (λi A)γ= j algebraická rovnica (λi A)x= má neriviálne riešenie γ To plaí práve vedy, keď P (λ)= de(λi A)= charakerisická rovnica pre diferenciálnu rovnicu ẋ=ax Teda Aγ=λγ, j γ je vlasný vekor pariaci k λ Vea 92 Nech λ 1,, λ n sú navzájom rôzne vlasné hodnoy maice A, (λ i C) a γ i je vlasný vekor zodpovedajúci vlasnej hodnoe λ i, pričom γ 1,, γ n sú lineárne nezávislé Poom fundamenálny sysém riešení (vo všeobecnosi komplexných) diferenciálnej rovnice ẋ=ax je: x 1 ()=e λ1 γ 1,, x n ()=e λn γ n Dôkaz Ukázali sme, že x 1 (),, x n () sú riešenia Lineárna nezávislosť je riviálna: de[e λ1 γ 1,, e λn γ n ]=e (λ 1+ +λ n ) de[γ 1,, γ n ] lebo de[γ 1,, γ n ] sĺpce Výpoče reálnych riešení z komplexných e λ γ -komplexné riešenie λ=σ+iω, ω, γ=g+ih, h e λ γ=e (σ+iω) (g+ih)= =e σ (cos ω+i sin ω)(g+ih)=e σ [(g cos ω h sin ω)+i(h cos ω+g sin ω)] Reálne riešenia: u()=r(e λ γ)=e σ (g cos ω h sin ω); v()=i(e λ γ)=e σ (h cos ω+ +g sin ω) Vea 93 Nech λ=σ+iω, ω je k-násobný koreň charakerisickej rovnice pre diferenciálnu rovnicu ẋ=ax, j polynóm P (λ)= de(λi A), pričom k nemu e- xisuje k lineárne nezávislých vlasných vekorov: ξ 1 =g 1 +ih 1,, ξ k =g k +ih k Poom množina riešení varu u()=(a cos ω+b sin ω)e σ, (kde R, a, b sú vekory) je vekorový podpriesor množiny všekých riešení dimenzie 2k, pričom jej báza je u 1 ()=(g 1 cos ω h 1 sin ω)e σ ; ; u k ()=(g k cos ω h k sin ω)e σ ; v 1 ()=(h 1 cos ω+g 1 sin ω)e σ ; ; v k ()=(h k cos ω+g k sin ω)e σ Dôkaz u 1,, u k, v 1,, v k sú riešenia o je jasné Lineárna nezávislosť: Nech exisujú c 1,, c k, d 1,, d k R; (c 2 i +d2 i ): c 1 u 1 ()+ +c k u k ()+d 1 v 1 ()+ +d k v k ()= (c 1 g 1 + +c k g k +d 1 h 1 + + +d k h k )e σ cos ω i(c 1 h 1 + +c k h k d 1 g 1 d k g k )e σ sin ω= (c 1 g 1 + + +c k g k +d 1 h 1 + +d k h k )e σ cos ω= (c 1 h 1 + +c k h k d 1 g 1 d k g k )e σ sin ω= = π 2ω = (c 1 id 1 )(g 1 +ih 1 )+ +(c k id k )(g k +ih k )= ξ 1 ξ k Spor s lineárnou nezávislosťou ξ 1,, ξ k Riešenie pomocou zovšeobecnených vlasných vekorov: Definícia 92 Vekor v sa nazýva zovšeobecnený vlasný vekor rádu p maice A prislúchajúci vlasnému číslu λ maice A ak plaí: (A λi) p v= a (A λi) p 1 v Označme: v 1 =(A λi) p 1 v, v 2 =(A λi) p 2 v,, v p 1 =(A λi)v, v p =v Plaí: (A λi)v 1 =, (A λi)v 2 =v 1,, (A λi)v p 1 =v p 2, (A λi)v p =v p 1, kde v 1 je vlasný vekor
OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE 21 Definícia 93 Usporiadanú p-icu (v 1, v 2,, v p ) nazývame reťazec zovšeobecnených vlasných vekorov rádu (dĺžky) p maice A vyvorený vekorom v; (A λi) p v=; (A λi) p 1 v Vea 94 Nech (v 1,, v m ) je reťazec zovšeobecnených vlasných vekorov maice A zodpovedajúce vlasnému číslu λ maice A vyvorený vlasným vekorom v=v 1 Poom vekorové funkcie (vo všeobecnosi komplexné) w 1 ()=v 1 e λ, w 2 ()=(v 2 +v 1 )e λ,, w k ()=(v k + 1 1! v k 1+ + 1 (k 1)! v 1 k 1 )e λ,, ( m ) 1 w m ()= i! v i m i e λ sú riešeniami diferenciálnej rovnice ẋ=ax, koré sú i=1 lineárne nezávislé Dôkaz Lineárna nezávislosť v 1,, v m : m=2: Nech v 1, v 2 sú lineárne závislé Poom c 1 v 1 +c 2 v 2 =, c 1, c 2 R a c 2 1+c 2 2 Poom c 1 (A λi)v 1 +c 2 (A λi)v 2 = c 2 = c 1 = spor = =v 1 m=3: c 1 v 1 +c 2 v 2 +c 3 v 3 =, c 2 i c 1 (A λi)v 1 = c 2 v 1 +c 3 v 2 = +c 2 (A λi)v 2 +c 3 (A λi)v 3 v 1 v 2 c 2 (A λi)v 1 +c 3 (A λi)v 2 = c 3 = c 2 = c 1 = Lineárna nezávislosť funkcií w 1 (),, w m () vyplýva z oho, že w i ()=v i pre i Dokážeme, že w 1 (),, w m () sú riešenia diferenciálnej rovnice ẋ=ax Plaí: ẇ 1 ()=λv 1 e λ =λw 1 ()=Aw 1 (), lebo v 1 je vlasný vekor ẇ 2 ()=v 1 e λ +(v 2 +v 1 )λe λ ẇ 2 ()=λw 2 +w 1 aď ẇ m =λw m +w m 1 Aw 2 =A[(v 2 +v 1 )e λ ]=e λ Av 2 +e λ Av 1 =e λ (λv 2 +v 1 )+e λ λv 1 =λe λ v 2 +e λ v 1 + +λv 2 e λ =λ(v 2 +v 1 )e λ +v 1 e λ, Aw 2 =λw 2 +w 1 ẇ 2 =Aw 2 Ak w k () je komplexné riešenie, ak reálne riešenia sú: x k ()=R(w k ()), y k ()=I(w k ()) Poznámka ẋ=ax, x R n, Φ()=e A =I m + 1 1! (A)+ + 1 k! (A)k + P (λ)= de(a λi n )=( 1) n (λ n +c 1 λ n 1 + +c n 1 λ+c n )= Podľa Cayley-Hamilonovej vey A n = c 1 A n 1 c n 1 A+c n Poom A k pre k n možno vyjadriť ako lineárnu kombináciu maíc I, A, A 2,, A n 1, eda exisujú funkcie (s hodnoami v R) b (), b 1 (),, b n 1 () aké, že Φ()=e A =b ()I n +b 1 ()A+ + +b n 1 ()A n 1 R 1 Nech λ 1,, λ n sú navzájom rôzne vlasné čísla maice A TAT 1 = B = =diag(λ 1,, λ n ) Poom e B =Te A T 1 =T[b ()+ +b n 1 ()A n 1 ]T 1 = =b ()I n + +b n 1 () TA } n 1 {{ T 1 } B n 1 e λ1 n 1 b ()λ i 1 = e λ n i= b n ()λ i n e λ i =b ()+b 1 ()λ i + +b n 1 ()λ n 1 i i=1, 2,, n sysém lineárnych algebraických rovníc o neznámich b (),, b n 1 () Jeho deerminan je Vandermondov deerminan a en je nenulový
22 2ROČNÍK 2 Ak λ je k-násobný koreň charakerisického polynómu Máme jednu rovnicu: b ()+b 1 ()λ+ +b n 1 ()λ n 1 =e λ Derivujme podľa λ: b 1 ()+2b 2 ()λ+ +(n 1)b n 1 ()λ n 2 =e λ,, (k 1)!b k 1 ()+ +(n k) (n 1)b n 1 () λ n k 1 = k 1 e λ Ak o urobíme pre každé vlasné číslo maice A, ak dosaneme n rovníc o neznámich b (),, b n 1 ()