1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna relacija manje ili jednako (oznaka ) tako da vrijedi: (R 1) asocijativnost zbrajanja (R 2) egzistencija neutralnog elementa za zbrajanje (R 3) egzistencija inverznog elementa za zbrajanje (R 4) komutativnost zbrajanja (R 5) asocijativnost množenja (R 6) egzistencija neutralnog elementa za množenje (R 7) egzistencija inverznog elementa za zbrajanje (R 8) distributivnost množenja prema zbrajanju (R 9) komutativnost množenja (R 10) tranzitivnost relacije (R 11) antisimetričnost relacije (R 12) povezanost relacije (R 13) kompatibilnost relacije prema zbrajanju (R 14) kompatibilnost relacije prema zbrajanju (R 15) potpunost Elementi skupa R zovu se realni brojevi. Zadatak 1 Dokažite da je 1. ( x) = x, 2. x 0 = 0 0 = 0, 3. x ( y) = (x y) = ( x) y, 1

4. ( x) ( y) = x y, 5. x 0 = x 0, 6. x y = x y, 7. x 0 i y 0 = x y 0 8. x y i x y = x + x y + y, 9. 0 < 1. Unutar skupa realnih brojeva definiraju se skupovi prirodnih, cijelih, racionalnih i iracionalnih brojeva. Kako? Vidi u Mardešić, Matematička analiza, Prvi dio. 2 Skup prirodnih brojeva Neka je N bilo koji induktivan skup. Definirajmo funkciju π : N N, π(n) = n +, tj. n N pridružuje njegov sljedbenik. S ω smo označili presjek svih induktivnih skupova (to je opet induktivan skup) i nazvali ga proširenim skupom prirodnih brojeva, u oznaci N 0. Skup prirodnih brojeva je skup N := N 0 \ {0}, a njegove elemente zovemo prirodni brojevi. Za skup N 0 vrijedi sljedeći teorem (umjesto 1 stavi 0 i umjesto N stavi N 0 ), kao i za skup N (umjesto N stavi N): Peanovi aksiomi 1 (N 1) Definirana je funkcija π : N N, tj. n N = n + N (N 2) π(m) = π(n) = m = n, tj. π je injekcija, (N 3) 1 N, (N 4) ( n N) π(n) 1, (N 5) (princip indukcije) Ako je S N podskup od N, koji ima ova dva svojstva 1 S, ( n N) n S = π(n) S onda je S = N. Bilo koji skup N za koji vrijede Peanovi aksiomi (N 1) (N 5) je određen do na izomorfizam. Naime, vrijedi 2

Teorem 1 Neka su (N, π, 1) i (N, π, 1 ) dvije uređene trojke koje zadovoljavaju Peanove aksiome (N 1) (N 5). Tada postoji jedinstvena bijekcija f : N N takva da je f(1) = 1, f(π(n)) = π (f(n)). Napomena 1 Značaj Teorema 1. je u tome što pokazuje da Peanovi aksiomi (N 1) (N 5) potpuno karakteriziraju prirodne brojeve, tj. Teorem 1. pokazuje da postoji najviše jedan skup prirodnih brojeva (određen do na izomorfizam). Da bi se definirala funkcija f, treba nam princip rekurzivne definicije u specijalnom slučaju. Naime, vrijedi Teorem 2 Neka (N, π, 1) zadovoljava Peanove aksiome (N 1) (N 5), neka je X proizvoljan neprazan skup, x 0 X, a ϕ : X X funkcija. Tada postoji jedinstvena funkcija f : N X takva da je f(1) = x 0, ( n N) f(π(n)) = ϕ(f(n)). Teorem 2. možemo iskoristiti za definiranje binarnih operacija 1 zbrajanja i množenja u (N, π, 1) isključivo na osnovi Peanovih aksioma. Teorem 3 Ako skup (N, π, 1) zadovoljava Peanove aksiome (N 1) (N 5), tada postoji jedinstvena binarna operacija + : N N N i jedinstvena binarna operacija : N N N tako da za svaki m, n N vrijedi: (oznaka m + n := +(m, n), m n := (m, n)) (1) m + 1 = π(m), (2) m + π(n) = π(m + n) (3) m 1 = m, (4) m π(n) = m n + m. Zadatak 2 Dokažite da je zbrajanje komutativno i asocijativno. Vrijedi: a) ( n, k N) n + k n (dokaz indukcijom po n, (N 2), (N 4)) b) ( n, k, l N) n + k = n + l = k = l 1 svaka funkcija s X X u X 3

Definicija 2 Ako za par m, n N postoji k N takav da je n + k = m, onda kažemo da je n manji od 2 m i pišemo n < m. Takav k je jedinstven (vidi b) ) tj. jednoznačno je određen brojevima m i n, pa ga označujemo s k =: m n, a čitamo minus. Jasno je da n < m = m n i da ne može biti istodobno n < m i m < n. Primjer 1 n + 1 = π(n) = n < π(n) tj. n < n + 1 Dakle, 1 < 2 < 3 < < n < n + 1 < Definicija 3 Neka je binarna relacija na skupu N definirana s n m n < m ili n = m. Relaciju zovemo manje ili jednako. Relacija je relacija ekvivalencije na N. Vrijedi c) ( n N) 1 π(n), (dokaz: 1 + n = π(n)) d) ( n N \ {1}) 1 < n. (dokaz: π(n) = N \ {1}) Vrijedi i sljedeći teorem Teorem 4 Neka skup (N, π, 1) zadovoljava Peanove aksiome (N 1) (N 5). Tada u N postoji jedinstveni par binarnih operacija +, i jedinstvena binarna relacija tako da su ispunjeni uvjeti aksioma (R 1), (R 4) (R 6) i (R 8) (R 13), te da je π(n) = n + 1 i 1 = min N. Nadalje ćemo skup prirodnih brojeva označavati s (N, π, 1, +,, ) te ćemo upotpuniti Teorem 1.: 2 relaciju manji od mogli smo definirati i na sljedeći način: n < m n m. Dokažite da je < relacija koja je antirefleksivna i tranzitivna 4

Teorem 5 Neka su (N, π, 1, +,, ) i (N, π, 1, +,, ) dva skupa prirodnih brojeva. Tada postoji jedinstvena bijekcija f : N N takva da za svaki m, n n vrijedi f(1) = 1, f(π(n)) = π (f(n)) f(m + n) = f(m) + f(n), f(m n) = f(m) f(n), m n = f(m) f(n). 3 Skup cijelih brojeva (vidi Mardešić) Da bismo konstruirali Z, skup cijelih brojeva, promatrajmo pored skupa prirodnih brojeva N = {1, 2, 3...} još jedan primjerak N = {1, 2, 3...} skupa u kojem vrijede Peanovi aksiomi (N 1) (N 5). Pri tome skup N smatramo disjunktnim sa skupom N. U N i N imamo operacije +, i uređaj i postoji bijekcija (vidi Teorem 5.) f : N N takva da je f(1) = 1, f(π(n)) = π (f(n)) f(m + n) = f(m) + f(n), f(m n) = f(m) f(n), m n = f(m) f(n). Uvedimo u razmatranje još jedan element 0 / N N (sjetimo se, 0 := ). Definicija 4 Skup Z := N {0} N zovemo skupom cijelih brojeva. U skup Z uvodimo operacije + i na sljedeći način: Ako je m, n N onda definiramo m + n kao u skupu N, Ako je m, n N onda definiramo m + n kao u skupu N, Ako je m N, n N, onda je posve određen n N za koji je f(n) = n. Po definiciji stavljamo: n + m = m + n = m n, m>n; 0, m=n; f(n m), m<n. 5

Te konačno za svaki m N i svaki n N stavljamo po definiciji: m + 0 = 0 + m = m n + 0 = 0 + n = n 0 + 0 = 0 Na taj smo način u Z definirali binarnu operaciju (zbrajanje). (Z, +) je Abelova grupa, 0 je neutralni element te grupe. Ako je n N, n N te n + n = 0 onda pišemo Dakle 3, U ovim oznakama je pa možemo pisati n = n odnosno n = n. f(n) = n. n n = 0 i n + n = 0, N = N odnosno N = N. U ovim novim oznakama skup N zovemo skupom pozitivnih cijelih brojeva, a skup N = N skupom negativnih cijelih brojeva, a 0 broj nula. Dakle N = {1, 2, 3,...}, N = { 1, 2, 3,...}. Sada u Z definirajmo drugu binarnu operaciju (množenje) na sljedeći način: Ako su brojevi m, n N, onda po definiciji produkt m n u Z ima istu vrijednost kao i u N Z. Nadalje, stavimo da je m ( n) = ( n) m = (m n), ( m) ( n) = m n, 0 m = m 0 = 0 ( m) = ( m) 0 = 0 = 0. 3 Vidi Teorem 5.: f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3,... 6

Vrijedi: Z je komutativan prsten s jedinicom 1 N, te očito 1 0. Uređaj u skupu Z uvodimo tako da najprije smatramo da je N < 0 < N. Nadalje, u N Z se preuzima uređaj iz N, dok se stavlja m, n N, m < n n < m. Te konačno, z 1 z 2 znači da je z 1 < z 2 ili z 1 = z 2. Slijedi da je (Z, +,, ) uređen komutativan prsten s jedinicom, tj. da vrijede aksiomi (R 1) (R 6) i (R 8) (R 14). Zadatak 3 Dokažite da je 2 + 2 = 4, 3 2 = 1, 2 2 = 4. 4 Skup cijelih brojeva (vidi Pavleković) Na skupu N N definirajmo binarnu relaciju na sljedeći način: (m, n) (m 1, n 1 ) m + n 1 = n + m 1. Zadatak 4 Dokažite da je relacija ekvivalencije na N N. Skup Z definiramo kao kvocijentni skup N N/, tj. elementi od Z su klase ekvivalencije skupa N N s obzirom na relaciju. Klasu [(m, m)] označavamo s 0. Klasu [(m, n)] za čijeg predstavnika (m, n) vrijedi n < m i m = n + z, z N označavamo sa z. Klasu [(m, n)] za čijeg predstavnika (m, n) vrijedi m < n i n = m + z, z N označavamo sa z i čitamo minus z. 7

U skupu N N definiramo operacije + i ovako: [(m, n)] + [(m 1, n 1 )] := [(m + m 1, n + n 1 )], [(m, n)] [(m 1, n 1 )] := [(m m 1 + n n 1, m n 1 + n m 1 )]. 5 Skup racionalnih brojeva Na skupu Z N definirajmo binarnu relaciju na sljedeći način: (z 1, n 1 ) (z 2, n 2 ) z 1 n 2 = z 2 n 1. Zadatak 5 Dokažite da je relacija ekvivalencije na Z N. Skup Q definiramo kao kvocijentni skup Z N/, tj. elementi od Q su klase ekvivalencije skupa Z N s obzirom na relaciju. Dakle, q Q = q = [(z, n)] za neki (z, n) Z N. Operacije zbrajanja, množenja i relaciju uređaja uvodimo na sljedeći način: [(z 1, n 1 )] + [(z 2, n 2 )] := [(z 1 n 2 + z 2 n 1, n 1 n 2 )] [(z 1, n 1 )] [(z 2, n 2 )] := [(z 1 z 2, n 1 n 2 )] [(z 1, n 1 )] [(z 2, n 2 )] z 1 n 2 z 2 n 1. Zadatak 6 Ove operacije su dobro definirane, tj. klase. ne ovise o izbornanim predstavnicima Preslikavanje z [(z, 1)] je injekcija s Z u Q, pa se Z može identificirati sa svojom slikom u Q, tj. može se smatrati da je Z Q. Skup (Q, +,, ) je uređeno polje, tj. vrijede aksiomi (R 1) (R 14). 6 Skup iracionalnih brojeva Skup iracionalnih brojeva definira se preko prereza u Q. Više o tome pročitajte sami u Mardešić, Matematička analiza, Prvi dio. 8