RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1

2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni zadaci 2.4.2 Teoremi o limesima-operacije sa limesima 2.4.3 Neki značajni limesi 2.4.3.1 Riješeni zadaci 2.4.4 Limes geometrijskog niza 2.4.4.1 Zadaci 2.5. LIMES MONOTONIH NIZOVA 2.5.1 Monotoni nizovi 2.5.1.1 Riješeni zadaci 2.5.2 Omeđeni nizovi 2.5.2.1 Riješeni zadaci 2.5.3 Limes monotonih nizova 2.5.3.1 Riješeni zadaci 2.5.4 Baza prirodnog logaritma broj e 2.6. GEOMETRIJSKI RED 2.6.1 Definicija reda 2.6.2 Geometrijski red 2

2.4.1. DEFINICIJA LIMESA I KONVERGENTNOG NIZA Limes je temelj matematičke analize. Za niz brojeva a 1, a 2, a 3,, a n, kažemo da konvergira ili teži prema realnom broju a ako i samo ako za svaki član (ma kako malen) pozitivni broj ɛ (ɛ > 0) postoji prirodan broj n 0 = N = N ( tako da za svaki n > n 0 ili n > N vrijedi: Broj a zove se tada limes ili granica (broja) niza (a n )- DEFINICIJA LIMESA NIZA: Broj a nazivamo limes niza a 1, a 2,,a n, :i pišemo ako je svaki postoji također broj N = N ( da je N ovisi o unaprijed po volji zadanom malom pozitivnom broju Ako niz konvergira prema nekom određenom broju a, kažemo da je KONVERGENTAN 1, a u svakom drugom slučaju je DIVERGENTAN. 1 Latinski: konvergen-lat. težiti prema nečemu 3

2.4.1.1 Riješeni zadaci Primjer 1: Niz: n=3 Kako dobiti treći član n=3? Kako dobiti? Oduzeti drugi član od prvog ili treći član od drugog. Niz konvergira prema broju 2 jer je limes toga niza broj 2. 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n ε Sl. Ako je pozitivan broj (n = 10) tada za možemo uzeti broj 1 jer je, za svaki Ako je pozitivan broj (n= 100) tada za možemo uzeti broj 101 jer je, 4

za svaki OPĆENITO: Ako je ma kako malen zadan pozitivan broj. Nejednakost vrijedi za svaki, gdje je bilo koji prirodan broj veći od ( ). Što je manji, to je veći! Primjer 2: Pokažimo da je: Prema definiciji: Uvrštavanjem vrijednosti za a n i a dobivamo: 5

Ocijenivši tu diferenciju prema apsolutnoj vrijednosti dobivamo: (2) Prema tome, za svaki pozitivni broj postoji takav broj da za n>n vrijedi nejednadžba (2). Iz toga slijedi da je broj 2 limes niza, a zadana formula (1) je ispravna. 6

2.4.2 TEOREMI O LIMESIMA-OPERACIJE SA LIMESIMA Neka su zadana dva konvergentna niza a n i b n s limesima a i b tada vrijedi: A) TEOREM O LIMESU ZBROJA (RAZLIKE) ZBROJ (RAZLIKA) LIMESA I KONSTANTE (KONSTANTNI NIZ svi članovi niza jednaki istom realnom broju c) B) TEOREM O LIMESU UMNOŠKA 7

UMNOŽAK KONSTANTE I LIMESA (KONSTANTNI NIZ-svi članovi niza jednaki istom realnom broju c) EOREM O LIMESU KVOCIJENTA C) TEOREM O LIMESU POTENCIJE Ako je onda je: LIMES m-tog KORIJENA 8

D) TEOREM MONOTONOST LIMESA Ako je ili za svaki n, onda je: 2.4.3. NEKI ZNAČAJNI LIMESI 1) Nul niza je onda i samo onda kada niz apsolutnih vrijednosti teži nuli. Apsolutna vrijednost člana niza je udaljenost koja po volji može biti malena Primjeri nul-nizova:,, Ako je onda vrijedi 9

Općenito: 2) 3) 4) Broj e-baza sistema prirodnog logaritma 10

Broj C-Eulerova konstanta (niz minus funkcija) 2.4.3.1 Riješeni zadaci Vježbe: 1) Zadan je složeni niz limes nije jednostavno izračunati po definiciji nego koristimo teoreme o limesima i nul niza. Koristimo dvije formulu iz teorema o limesima (pod A,B i D). 11

12

3) Složeni niz koristimo teoreme o limesima i formulu za nul niza. Koristimo dvije formulu iz teorema o limesima (pod A,C). za brojnik: za nazivnik: 13

4) Složeni niz koristimo teoreme o limesima i formulu za nul niza. Koristimo dvije formulu iz teorema o limesima (pod A,C). I način: 14

II način: 15

5) 16

6) 7) 17

18

8) 19

Zadaci: 1. Odredi limes niza čiji je opći član: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 20

7) 8) 9) 10) 2. Odredi: a) b) Ako a = b, onda je limes jednak a. 21

c) Ako je a > b, onda je, u tom slučaju brojnik i nazivnik podijeliti sa. Limes je a. d) Ako je a < b, brojnik i nazivnik podijeliti sa. Limes je b. 22

b) c) d) e) 23

f) 24

3. Odredite limese nizova: 1. a) R: 0 b) R: 1 c) Uputa: R: 2 d) R: 25

2. R: 1 3. R: 1 4. R: 5. R: 8 26

2.4.4 LIMES GEOMETRIJSKOG NIZA e) za q > 1 f) za q = 1 g) za -1 < q < 1 h) za q 27

2.5. LIMES MONOTONIH NIZOVA 2.5.5 Monotoni nizovi 2.5.1.1 Riješeni zadaci 2.5.6 Omeđeni nizovi 2.5.2.1 Riješeni zadaci 2.5.7 Limes monotonih nizova 2.5.3.1 Riješeni zadaci 2.5.8 Baza prirodnog logaritma broj e 2.6. GEOMETRIJSKI RED 2.6.1 Definicija reda 2.6.2 Geometrijski red 2.6.3 Riješeni zadaci 28

2.5.1 Monotoni nizovi Niz realnih brojeva-beskonačan. oznaka za sam niz oznaka za opći ili n-ti član niza Monotoni nizovi su jedini nizovi koji su: rastući ili padajući Niz je monotono rastući ili uzlazan ako za svaki n vrijedi: Niz je monotono padajući ili silazan: Kako dokazati da je zadani niz monoton? 1. Ispitati da li je niz rastući ili padajući Slijedeći član niza je veći ili manji od prethodnog. 29

Primjer 1: Ispitajte nizove: a) 1, 2, 3,, n, Niz je monotono rastući. Provjera: 1, 2, 3,, n, Niz je monotono rastući. 30

b) Niz je monotono rastući. Provjera: Niz je monotono rastući. 31

c) Niz je monotono padajući ili silazan Provjera: 32

Niz je monotono padajući ili silazan. d) Niz je monotono rastući. Provjera: Niz je monotono rastući. 33

e) Niz je monotono padajući ili silazan. Provjera: Niz je monotono padajući. 34

f) Niz je monotono padajući jer je. Niz je monotono padajući jer je. 35

g) Svi članovi niza monotono ne padaju niti monotono ne rastu prva dva člana rastu, a druga dva padaju (ponavlja se). Zaključujemo da niz nije monoton. Provjera: 36

Niz nije monoton. h) Zaključak: Niz nije monoton. Zašto? 37

Niz nije monoton. i) Zaključak: Niz nije monoton. Zašto? 38

Niz nije monotono. 39

Primjer 2: Dokažite da je niz (a n ), padajući. Niz je monotono padajući ili silazan: 40

Niz (a n ), je padajući kada je n 1. 41

Zadci 2.5 : 2. Je li niz monoton? Monoton niz jedini je od nizova rastući ili padajući. 1. Da li od prve možemo uočiti da li je niz rastući ili padajući? Da, ali moramo prvo srediti zadani n-ti član niza. U n-tom članu niza uočavamo minus i n u nazivniku pa je, a niz je monotono rastući. 2. Koji je najmanji član niza? za n = 1 vrijedi: 42

5. Koji su od sljedećih nizova monotoni: 1) Rješenje: 1. Da li od prve možemo uočiti da li je niz rastući ili padajući? Da, niz je monoton odnosno monotono rastući. Provjera za n = 1: Za n=2: 43

0 <. 1) Rješenje: Da, niz je monoton odnosno monotono rastući. Provjera za n = 1: Za n=2 1.5 < 2.25 44

5) Rješenje: Da, niz je monoton odnosno monotono padajući. Provjera za n = 1: Za n=2: 45

1 > 0.5 6) Rješenje: Niz nije monoton jer je u brojniku potencija od negativnog broja. Napravite provjeru: 46

1. Od kojeg je član niza, ispunjena nejednakost? Rješenje: Riješite samostalno! Kako ste zaključili da je nejednakost ispunjena od člana? Provjera: Za : Za Za Za Za Za 47

Za 48

2.5.2 Omeđeni nizovi Kod omeđenih nizova postoji donja i gornja međa granica odnosno realan broj m i M tako da za svaki član niza n vrijedi: donja međa ili dolje ograđen donja međa ili dolje ograđen Primjer 1: Dokaži da je niz omeđen i odredite donju i gornju među. Rješenje: U brojniku n-u pribrajamo jedinicu (n+1),a nakon provedenog množenja broja 2 s svakim članom u zagradi dobivamo: S kojim brojem moramo izraz 2n + 2 u brojniku na desnoj strani zbrojiti ili oduzeti kako bi odgovarao brojniku na lijevoj strani? 49

Za svaki prirodni n vrijedi: 1. Određivanje gornje međe M=?: M = 2 gornja međa zadanog niza 2. Određivanje donje međe m=?: Za vrijedi: 50

donja međa zadanog niza Zadaci 2.5. 25. Koji su od sljedećih nizova omeđeni? Za svaki omeđeni niz navedi interval unutar kojeg se nalaze svi članovi niza 1) Opći član niza: Za svaki prirodni n vrijedi: 1. Određivanje gornje međe M=?: M = 1 gornja međa zadanog niza 1. Određivanje donje međe m=?: Za vrijedi: 51

donja međa zadanog niza Interval unutar kojeg se nalaze svi članovi niza je: [0, 1 3) Rješenje: Nije omeđen. 4) Rješenje: Da omeđen je i svi se članovi niza nalaze unutar intervala: 52

6) Rješenje: Nije monoton ali je određen. 53

2.5.3 Limes monotonih nizova Monotoni nizovi 2 ponašaju se na dva način: 1. Kada niz NIJE OMEĐEN tada neograničeno raste ili pada vrijedi: 2. Kada je niz OMEĐEN postoji gornja M i donja međa m koje ne može preči nijedan član niza. Svi članovi niza teže nekom broju. Kada je niz rastući teži najmanjoj gornjoj međi L odnosno supremum niza (broju), a kada je niz padajući teži najmanjoj donjoj međi odnosno infimumu niza. Limes rastućeg monotonog niza jednak je supremumu skupa Limes padajućeg monotonog niza jednak je infimumu skupa Za bilo koji L je najmanja gornja međa. Broj L nije gornja međa skupa S. Postoji član niza a koje vrijedi: 2 Jedini nizovi koji su rastući i padajući. 54

-okolina Gornje međe a n0 a n a n - L = L - a n < L - an 0 < L M najmanja gornja međa-limes slika 1 Iz dviju činjenica da je niz rastući za svaki i omeđen, a gornja granica je L pa je za svaki n i izvodimo zaključak da se za svaki članovi niza nalaze se unutar (uklopnjeni) su između i L za koje vrijedi: Pošto svaki član OMEĐENOG MONOTONOG niza teži nekom određenom broju 3 niz je KONVERGENTAN, a L je limes niza (a n ) (vidimo iz slike 1). 3 Za niz brojeva a 1, a 2, a 3,, a n, kažemo da konvergira ili teži prema realnom broju a ako i samo ako za svaki član (ma kako malen) pozitivni broj ɛ (ɛ > 0) postoji prirodan broj n 0 = N = N ( tako da za svaki n > n 0 ili n > N vrijedi: 55

Zadci 2.5 : 9. Nađi najmanji i najveći član niza. Za n = 1 vrijedi: 1. Do kada niz pada i zašto? Niz pada sve dok je u općem članu 3n - 19 = 0 3n = 19 2. Koji je to član niza i koliko iznosi? Šesti član niza. 56

1. Što se zbiva s nizom kada je 2. Koliko iznosi prvi veći član koji zadovoljava gornji uvjet n > 6 i ispitajte da li niz dalje pada? 3. Koliko iznose slijedeći članovi niza kada je n > 6 i prema čemu teži zadani niz? Pošto je nazivnik pozitivan niz dalje pada i teži prema 1. Najmanji član niza je: 57

Najveći član niza je: 15. Niz je monoton i omeđen. Dokaži to! Odredi prirodni broj takav da je za sve, ako 1) 2) 3) Rješenje: 1) 2) 3) 17. Dokaži da je niz omeđen ako je: Rješenje: Niz je monotono padajući. Rješenje: Uputa: Prvo treba provesti racionalizaciju. Rješenja: 58

59

2.5.4 Baza prirodnog logaritma broj e Niz ima široku primjenu u različitim primjenama. Niz je rastući 4, omeđen 5. i konvergira 6. Limes niza definira bazu prirodnog logaritma broja e. e- iracionalni broj čija je vrijednost Za svaki realni broj a vrijedi: 4 monotono rastući. 5 Kada je niz OMEĐEN postoji gornja M i donja međa m koje ne može preči nijedan član niza. Svi članovi niza teže nekom broju. Kada je niz rastući teži najmanjoj gornjoj međi L odnosno supremum niza (broju), a kada je niz padajući teži najmanjoj donjoj međi odnosno infimumu niza. 6 Pošto svaki član OMEĐENOG MONOTONOG niza teži nekom određenom broju niz je KONVERGENTAN, a L je limes niza (a n ) 60

2.6. GEOMETRIJSKI RED 2.6.1 Definicija reda Red nastaje zbrajanjem članova niza parcijalnih suma - zbrajanje se nastavlja u beskonačnosti. Označava se: odnosno red je niz Kako nastaje red (postupak)? Zbrajanjem članova niza dobivamo niz parcijalnih suma Postupak zbrajanja nastavlja se u beskonačnosti: n-ta parcijalna suma: Red je KONVERGENTAN kada je niz parcijalnih suma konvergentan. Limes niza parcijalnih suma je SUMA KONVERGENTNOG REDA. 61

2.6.1 Geometrijski red Geometrijski red ima oblik: zadani realni brojevi različiti su od nule. Količnik ili kvocijent geometrijskog niza Opći član geometrijskog niza n-ta parcijalna SUMA GEOMETRIJSKOG NIZA: Limes geometrijskog niza ne postoji limes niza jer geometrijski niz ne konvergira-nego je divergentan nije omeđen. Limes niza: 62

2. geometrijski niz je konstantan, jer zbroj nije konačan- red divergira, zapisujemo ga u obliku: Limes niza ne postoji. 3. geometrijski niz je konstantan, jer zbroj nije konačan-red divergira, a red zapisujemo u obliku: Limes niza ne postoji. Niz parcijalnih suma konstantnog geometrijskog niza: 4. Postoji limes niza koji je jednak nuli. Limes niza: 63

Zadaci 2.6.: 1. Odredi zbroj članova beskonačnog niza: 1) Količnik ili kvocijent geometrijskog niza: ili Suma geometrijskog niza: 64

5) Količnik ili kvocijent geometrijskog niza: 65

Suma geometrijskog niza: 66

4. Zapiši u obliku razlomka: 1) Beskonačni decimalni prikaz racionalnog broja pomoću geometrijskog reda pretvaramo u standardni prikaz u obliku razlomka. Dobili smo geometrijski red : prvi član je kvocijent je. Suma konvergentnog geometrijskog reda: 67

Dobili smo geometrijski red prvi član je kvocijent je Suma geometrijskog reda: 3) Rješenje: 2 68

21. Nad polovinom dijagonale kvadrata kao stranicom konstruiran je kvadrat, nad polovinom dijagonale ovoga ponovno se konstruira kvadrat itd. Koliki je zbroj površina svih tako konstruiranih kvadrata ako je stranica prvog kvadrata duljine a? Količnik ili kvocijent geometrijskog niza: Suma geometrijskog reda: Dalje samostalno riješite! Rješenje: 69