BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15

Sadržaj Stubovi u zgradama 1 Stubovi u zgradama 2

Stubovi u zgradama Stubovi su vertikalni linijski elementi pretežno izloženi pritisku Stubovi su AB elementi kod kojih je odnos strana poprečnog preseka b/d 5 Ako je odnos strana poprečnog preseka AB elementa koji je pretežno izložen pritisku veći od 5: b/d > 5, onda je to površinski element - AB zid U zgradama stubovi se javljaju kao samostalni vertikalni noseći elementi, ili kao deo okvirnih nosača

Stubovi u zgradama Krajevi stubova mogu za ostale elemente konstrukcije da budu vezani kruto ili zglobno (zglobno u smislu AB) Stubovi mogu da budu i sistema konzole, ali je to retko u sklopu zgrade, već kao samostalna konstrukcija (komunikacioni toranj, vodotoranj i sl) Stubovi mogu da imaju različite oblike poprečnog preseka, u zavisnosti od konstruktivnih i funkcionalnih razloga

Stubovi u zgradama Najčešći oblici poprečnih preseka su - pravougaoni presek - kvadratni, kružni ili poligonalni presek - najjednostavniji i najpogodniji za uticaje izvijanja - I presek i T presek - posebno pogodno za montažne stubove Minimalne dimenzije poprečnog preseka stuba zavise od uticaja izvijanja, kao i od mogućnosti pravilne ugradnje betona i konstruisanja armature Stubovi dimenzija manjih od 20cm projektuju se od betona MB > 20, a jače opterećeni stubovi MB 30

Stubovi u zgradama Proračun i dimenzionisanje stubova Stubovi se dimenzionišu prema graničnim stanjima nosivosti, a granična stanja upotrebljivosti se kontrolišu Stubovi se najčešće dimenzionišu prema dejstvu graničnih normalnih sila N sile mogu da budu sile centričnog pritiska (ređe), ili sile ekscentričnog pritiska u fazi malog ekscentriciteta (češće) Pri tome mali ekscentricitet može da bude bez ili sa uticajima efekata II reda U slučaju dejstva horizontalnih sila (usled uticaja vetra i zemljotresa), u stubovima se javljaju i T sile, kao i veći M

Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Dijagrami interakcije najviše se koriste za ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta, ali mogu da se prošire praktično na čitavu oblast naprezanja M u i N u, odnosno M u i Z u Interakcioni dijagrami pokrivaju svih pet naponsko-deformacijskih oblasti, pa mogu, načelno, da se koriste za dimenzionisanje i drugačije opterećenih preseka Za usvojeni oblik i dimenzije poprečnog preseka, raspored i količinu armature i mehaničke karakteristike betona i čelika, bira se stanje graničnih dilatacija u preseku Sa poznatim rasporedom dilatacija, potpuno je određen i raspored napona pritisaka u betonu, kao i veličina napona u zategnutoj i pritisnutoj armaturi

Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Iz uslova ravnoteže normalnih sila i momenata savijanja za težište betonskog preseka, jednoznačno se određuju granični momenti M u i odgovarajuća granična normalna sila N u koji dovode presek u stanje granične nosivosti pri odabranim dilatacijama u betonu i armaturi Ponavljajući postupak za konačan broj različitih stanja graničnih dilatacija, dobija se niz tačaka koje odgovaraju usvojenom koeficijentu (procentu) armiranja Variranjem količine armature u preseku, dobija se familija krivih linija u funkciji mehaničkog koeficijenta armiranja kao parametra

Dijagram interakcije M-N (a) za pojedinačan presek (b) familija krivih u bezdimenzionalnoj formi za sva naponska stanja preseka

Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije M-N Da bi se uopštila i proširila upotreba dijagrama interakcije, oni se prikazuju u sistemu bezimenzionalnih koordinata m u n u Bezdimenzionalne koordinate su bezdimenzionalni granični momenat savijanja M u m u = b d 2 f B kao i bezdimanzionalna granična normalna sila n u = N u b d f B

Stubovi u zgradama Proračun i dimenzionisanje stubova Armaturu AB stubova čine - podužna noseća armature (u pravcu ose stuba, za prijem uticaja M, N) - poprečna armatura - uzengije (upravno na osu stuba, za prijem uticaja T, M T ) - konstruktivna armatura, podužna i poprečna Minimalni prečnik podužne armature u stubovima je Φ min = Φ12

Stubovi u zgradama Proračun i dimenzionisanje stubova Minimalni procenti armiranja stubova podužnom armaturom su ekscentrični pritisak, za vitkost λ 50 µ min = 0.6% ekscentrični pritisak, za vitkost λ > 50 µ min = λ 0.4 [%] 50

Stubovi u zgradama Proračun i dimenzionisanje stubova Minimalni procenti armiranja stubova podužnom armaturom su (nastavak) centrični pritisak, iskorišćeni naponi µ min = A a A b,pot = 0.6% centrični pritisak, neiskorišćeni naponi µ min = A a A b,stv = 0.3% Maksimalni procenat armiranja glavnom armaturom centrično pritisnutih stubova je 6%

Stubovi u zgradama Raspored podužne armature kod stubova Raspored podužne armature u poprečnom preseku mora da bude takav da omogući - nesmetanu montažu armature - pravilnu ugradnju betona - efikasno prijanjanje armatura i betona Raspored armature u preseku zavisi od vrste naprezanja koje se u preseku javlja Kod centričnog pritiska armatura se raspoređuje simetrično po obimu preseka Ekscentrično pritisnuti elementi u fazi malog ekscentriciteta armiraju se simetrično sa po 1/2 armature u svakoj zoni

Stubovi u zgradama Raspored podužne armature kod stubova Centrično pritisnuti stubovi armiraju se podužnom armaturom simetrično raspoređenom po obimu preseka, tako da se težište armature poklapa sa težištem betonskog preseka Broj podužnih šipki treba da se izabere tako da u svakom uglu poprečnog preseka bude predviđena šipka Minimalni broj podužnih šipki za pravougaone i kvadratne preseke je 4, a za kružne 6

Raspored podužne armature kod stubova Centrično pritisnuti stubovi - za pravougaone, kvadratne i poligonalne preseke minimum po 1 šipka u svakom uglu - za kružne preseke minimum 6 šipki simetrično raspoređenih po obimu

Raspored podužne armature kod stubova Centrično pritisnuti stubovi - više opterećeni - Kod jako armiranih stubova podužne šipke mogu da se simetrično grupišu u uglovima - Na taj način može da se grupiše najviše 5 šipki u svakom uglu

Stubovi u zgradama Raspored podužne armature kod stubova Minimalan čist razmak armature, horizontalan e h i vertikalan e v između pojedinih šipki armature, osim kada su šipke grupisane u uglovima, iznosi e h, e v 3.0 cm Φ max 0.8 D gde je D veličina nominalno najvećeg zrna agregata u betonu U Propisima BAB 87 dato je 0.8 D, ali bi to trebalo da se promeni u e min = 1.0 D Maksimalno rastojanje između šipki armature kod stubova je e max = 40 cm

Raspored podužne armature kod stubova Minimalni razmaci između šipki armature - Izuzetak je grupisanje šipki armature u uglovima preseka - a 0 = a 0 + Φ, gde je a 0,min = 2.0 cm za grede i stubove

Raspored podužne armature kod stubova Maksimalni razmaci između šipki armature - U slučaju potrebe, usvajaju se dodatne, unutrašnje uzengije

Stubovi u zgradama Vođenje podužne armature duž stuba U izvođenju zgrada, podužna armatura stubova obično se nastavlja na svakom spratu Nastavak podužne aramture najčešće se izvodi preklapanjem, neposredno iznad međuspratne konstrukcije Ukoliko je stub armiran velikim brojem podužnih šipki, koje mogu da budu grupisane u uglovima, ili su šipke prečnika većeg od Φ20, nastavljanje armature treba da se izvrši zavarivanjem

Stubovi u zgradama Vođenje podužne armature duž stuba U seizmički aktivnim područjima podužna armatura stubova prevodi se preko čvorova (na spoju sa tavanicom), a nastavlja se preklapanjem van zone potencijalnih plastičnih zglobova, odn. barem na visini od 1 do 1.5m iznad tavanica U tim zonama uzengije su progušćene (duplo manje e u ) Preklapanjem može da se nastavi najviše 1/2 armature u preseku, a druga 1/2 mora da bude neprekinuta ili nastavljena zavarivanjem Zato se u seizmički aktivnim područjima armatura stubova vodi kroz 2 sprata, pri čemu se na svakom spratu nastavlja (preklapanjem) 50% podužne armatura

Stubovi u zgradama Vođenje podužne armature duž stuba Kada se armatura nastavlja preklapanjem iznad tavanice, šipke iz nižeg sprata produže se iznad tavanice u viši sprat za dužinu preklapanja Nekad je stub na višem spratu manjeg preseka nego stub ispod, pa je propuštanje donje armature moguće samo uz povijanje šipki Maksimalni dopušteni nagib povijanja podužne armature je 6:1 Ukoliko geometrija stubova i tavanice to ne omogućava, nastavljanje armature vrši se pomoću posebnih ankera i dodatnih uzengija

Nastavljanje podužne armature kod stubova Vođenje podužne armature duž stuba

Stubovi u zgradama Poprečna armatura (uzengije) kod stuba Uzengije kod stubova imaju funkciju utezanja preseka i sprečavanje lokalnog izvijanja pritisnutih podužnih šipki U slučaju potrebe (kada deluju značajnije horizontalne sile), uzengije seluže i za prihvatanje glavnih napona zatezanja usled delovanja T u Ako je podužna armatura stuba do Φ20, i ako nema značajnih uticaja T sila, prečnik uzengija je UΦ6 Ako je podužna armatura stuba Φ > Φ20, onda se uzengije usvajaju od šipki UΦ8

Stubovi u zgradama Poprečna armatura (uzengije) kod stuba U stubovima uzengije prvenstveno sprečavaju lokalno izvijanje pritisnute armature U tom slučaju najveće dozvoljeno rastojanje uzengija je 15Φ e e u = min b 30 cm gde je - Φ e prečnik najtanje podušne šipke - b manja dimenzija poprečnog preseka stuba

Stubovi i okviri u zgradama Poprečna armatura (uzengije) kod stuba

Stubovi i okviri u zgradama Progušćenje uzengija (e u1 = 1/2e u ) u zonama preklopa armature

Stubovi u zgradama Poprečna armatura (uzengije) kod stuba U seizmčki aktivnim područjima uobičajen razmak uzengija kod stubova je: { 15Φe e u = min 20 cm dok se u zonama potencijalnih plastičnih zglobova (ispod i iznad tavanica) uzengije dvostruko progušćuju Uzengije se najčešće oblikuju kao zatvorene, preklapanjem oko ugaone šipke

Stubovi i okviri u zgradama Poprečna armatura (uzengije) kod stuba U zonama nastavljanja podužne armature preklapanjem, u zonama ispod i iznad tavanica u seizmički aktivnim područjima, kao i u elementima koji prihvataju uticaje od torzije, uzengije se preklapaju duž kraće strane stuba Ako u stubu ima podužne armature koja nije u uglovima uzengija, radi sprečavanja njihovog lokalnog izivijanja, treba da dudu obuhvaćene dodatnim uzengijama

Stubovi u zgradama Poprečna armatura (uzengije) kod stuba Uzengije na konkavnim uglovima razuđenog poprečnog preseka stuba treba da se prekinu, zbog moguće opasnosti od oljuskavanja zaštitnog sloja betona Na konkavnim uglovima treba da se predvidi preklapanje zatvorenih uzengija, ili preklapanje otvorenih uzengija, koje se sidre u betonsku masu stuba Na mestima preklapanja uzengija treba da se predvidi dodatna podužna šipka armature (statička ili konstruktivna) Ako je konstruktiva podužna šipkaa, usvaja se u manjem profilu: Φ8 do Φ10

Stubovi i okviri u zgradama Oblikovanje uzengija u stubovima složenih preseka Kod stubova složenog preseka postavljaju se zatvorene i/ili otvorene uzengije, kao i konstruktivna ili statička podužna armatura na mestima ukrštanja uzengija

Stubovi u zgradama Opšte napomene o spiralno armiranim stubovima su centrično pritisnuti elementi vitkosti λ max = 50 sa kružnim ili poligonalnim oblikom poprečnog preseka Minimalni prečnik spiralnih stubova je 20cm, a kvalitet betona MB > 20 Spiralna armatura uteže betonski presek, odn. sprečava poprečne deformacije pritisnutog stuba Spiralna armatura je stalno napregnuta na zatezanje

Stubovi u zgradama Opšte napomene o spiralno armiranim stubovima U betonu spiralno armiranog stuba, osim napona pritiska u pravcu podužne ose, javljaju se i naponi pritiska u poprečnim (bočnim) pravcima Beton se unutar spiralne armature nalazi u troosnom stanju napona pritiska: - σ 1 = σ b... glavni napon pritiska u pravcu podužne ose stuba - σ 2 = σ 3 = σ ps... glavni naponi pritiska u poprečnim pravcima - rotaciono simetrični bočni napon usled sprečenog bočnog širenja

Stubovi u zgradama Opšte napomene o spiralno armiranim stubovima Efekat utezanja preseka spiralnom armaturom je u tome što je višeosna čvrstoća betona β ps znatno veća od jednoosne čvrstoće β p izvode se (dominantno) kao centrično pritisnuti elementi vitkosti λ 50 Naime, pri λ > 50 uicaj spiralnog utezanja na graničnu nosivost se u velikoj meri gubi, pa se u takvim slučajevima centrično pritisnuti elementi rade kao obično armirani

Stubovi u zgradama Armiranje spiralno armiranih stubova Prečnik spiralne armature je 6 mm Φ s 16 mm Razmak (hod) spirale je e s ds 5 8 cm Podužna armatura se sastoji (obično) od 6 do 9 šipki, na međusobnom razmaku 12 do 15 cm izvode se od MB > 20 i sa prečnikom d s > 20 cm

Armiranje spiralno armiranih stubova

Stubovi u zgradama Proracunčun spiralno armiranih stubova Beton izvan spiralne uzengije (spirale), odn. zaštitni sloj betona, nalazi se u uslovima jednoosnog naponskog stanja (pritiska), pa dolazi do razaranja zaštitnog sloja znatno pre dostizanja loma centrično pritisnutog spiralno utegnutog betona Zbog toga se u proračunu spiralno armiranih stubva uzima u obzir samo spiralom obuhvaćena površina poprečnog betonskog preseka

Stubovi u zgradama Proracunčun spiralno armiranih stubova To je jezgro preseka A bs : A bs = d2 s π 4 gde je d s prečnik jezgra preseka, odn. prečnik zavojnice spirale Granična nosivost spiralno armiranog stuba data je kao - N bsu... granična nosivost jezgra preseka unutar spirale - N apu... granična nosivost podužne armature

Stubovi u zgradama Proracunčun spiralno armiranih stubova Dakle, granična nosivost spiralno armiranog stuba data je kao zbir N u = N bsu + N apu (1) Granična nosivost podužne armature jednaka je N apu = A a σ v (2) Granična nosivost betonskog jezgra unutar spirale N bsu jednaka je N bsu = N bu + N su (3)

Stubovi u zgradama Proracunčun spiralno armiranih stubova U izrazu (3) uvedene su oznake: - N bu... granična nosivost jednoosno pritisnutog betonskog jezgra N bu = A bs β p - N su... priraštaj granične nosivosti zbog utezanja N su = A bs β ps Sa β p = f B označena je jednoosna čvrstoća betona, odn. računska čvrstoća betona

Stubovi u zgradama Proracunčun spiralno armiranih stubova Sa β ps označen je priraštaj čvrstoće betona zbog utezanja, dat sa β ps = 1 A s σ vs 2ν A bs gde je - A s... površina spirale - σ vs... granica tečenja čelika spirale - ν = 0.25... Poisson-ov koeficijent za beton

Stubovi u zgradama Proracunčun spiralno armiranih stubova Sređivanjem, dobija se izraz za graničnu nosivost spiralno armiranog stuba u obliku N u = A bs f B + 2 A s σ vs + A a σ v (4) Uvode se oznake - geometrijski koeficijent armiranja podužnom armaturom: µ = A a A bs - mehanički koeficijent armiranja podužnom armaturom: µ = µ σv f B

Stubovi u zgradama Proracunčun spiralno armiranih stubova kao i oznake - geometrijski koeficijent armiranja spiralnom armaturom: µ s = A s A bs - mehanički koeficijent armiranja spiralnom armaturom: µ s = µ s σvs f B

Stubovi u zgradama Proracunčun spiralno armiranih stubova Sa ovim oznakama, granična nosivost spiralno armiranog stuba data je u obliku: N u = A bs f B (1 + 2 µ s + µ) (5) Kod spiralno armiranih stubova koeficijenti armiranja (u odnosu na površinu jezgra preseka A bs ) su u granicama 0.6% µ 3% µ s = (2 3) µ

Stubovi u zgradama Armiranje spiralno armiranih stubova Kod spiralno armiranih stubova uloga uzengija je preneta na spiralnu armaturu Spiralna armatura je kontinualna, pa samim tim i efikasnija od klasičnih uzengija Naravno, u zavisnosti od dužine stuba, spiralna armatura može da se nastavlja, obično preklopom

Stubovi u zgradama Armiranje spiralno armiranih stubova Uobičajen prečnik spiralne armature je Φ s [6 16] mm Uobičajen hod spiralne zavojnice je e s d s 5 8 cm gde je d s prečnik jezgra spiralno armiranog stuba Podužna armatura kod spiralno armiranog stuba sastoji se, obično, od 6 do 9 šipki (odgovarajućeg profila)

Stubovi u zgradama Armiranje spiralno armiranih stubova Spiralna armatura se zavrǎva punim krugom u ravni poprečnog preseka i sidri se unutar betonske mase, bez kuke, ali odgovarajuće dužine Pri nastavljanju spiralne armature preklapanjem, sidrenje spirale je takođe unutar betonske mase, bez kuka

Armiranje spiralno armiranih stubova

Vitkost štapova i kriterijumi Pritisnuti elementi pri određenim uslovima mogu da izgube stabilnost svoje ravnotežne konfiguracije Mera osetljivosti štapa na moguće izvijanje je njegova vitkost: λ i = l i i min i min = I min /A b gde je - l i... dužina izvijanja pritisnutog elementa - i min... minimalni radijus inercije poprečnog preseka elementa u odnosu na osu oko koje se vrši izvijanje - I min... momenat inercije bruto preseka u odnosu na osu oko koje se vrši izvijanje - A b... površina bruto poprečnog preseka betona

Vitkost štapova i kriterijumi U zavisnosti od vitkosti štapa Propisi BAB 87 definišu sledeće načine proračuna centrično pritisnutih stubova: 1 λ i < 25... proračun se vrši bez uticaja izvijanja (kratki stubovi) 2 25 λ i 75... stubovi se tretiraju kao umereno vitki i koristi se približan proračun 3 75 < λ i 140... stubovi se tretiraju kao izrazito vitki i koriste se tačniji postupci proračuna 4 λ i > 140... ova vitkost nije dozvoljena, osim u prolaznim fazama kod montažnih sistema, kada je vitkost ograničena na λ max = 200

Vitkost štapova i kriterijumi Dužina izvjanja l i je dužina zamenjujuće proste grede koja ima istu krtičnu silu izvijanja kao i posmatrani štap (sa datim graničnim uslovima) Dužina izvjanja je rastojanje između prevojnih tačaka (tačaka infleksije) u deformisanoj konfiguraciji posle izvijanja Izvijanje štapa usled date kritične sile (u smislu bifurkacione stabilnosti) je postojanje bliske ravnotežne konfiguracije (u odnosu na osnovni ravnotežni položaj) pri datoj kritičnoj sili

Ojlerovi slučajevi izvijanja

Vitkost štapova i kriterijumi Dužina izvjanja l i izražava se u obliku l i = k l gde je - l... stvarna dužina posmatranog pritisnutog elementa (sistemna dužina) u posmatranoj ravni izvijanja - k... bezdimenzionalni koeficijent dužine izvijanja (odražava granične uslove na krajevima i stepen pomerljivosti sistema) - l i... dužina izvijanja posmatranog pritsnutog elementa

Sistemi sa nepomerljivim čvorovima

Sistemi sa pomerljivim čvorovima

Proračun bez uticaja izvijanja Pritisnuti AB elementi se računaju bez uticaja izvijanja ukoliko je ispunjen barem jedan od uslova: 1 kod centrično pritisnutin elemenata ako je vitkost λ i < 25 2 kod ekscentrično pritisnutih elemenata ako je vitkost λ i 50 25 M 1 M 2 - gde su M 1 i M 2 momenti savijanja na krajevima štapa po teoriji I reda, pri čemu je M 2 > M 1

Proračun bez uticaja izvijanja 3 kod ekscentrično pritisnutih elemenata kada je e 1 d 3.5 ako je λ i 75 gde je - e 1 = M/N... ekscentricitet normalne sile po teoriji I reda - d... visina preseka u pravcu ekscentriciteta 4 kod ekscentrično pritisnutih elemenata kada je e 1 d 3.5 λ i 75 ako je λ i > 75 U oba ova slučaja dominantni su efekti I reda

Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 Ako nije zadovoljen ni jedan od navedenih uslova, mora da se proveri stabilnost pritisnutog elementa na izvijanje Za umereno vitke elemente: 25 < λ i 75 dozvoljava se približno uzimanje u obzir efekata teorije II reda Približan postupak, u skaldu sa PBAB 87, je postupak dopunske ekscentričnosti normalne sile

Umereno vitki elementi - dopunski ekscentricitet

Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 Dopunska ekscentričnost normalne sile data je sa e = e 0 + e 1 + e ϕ + e 2 (6) gde je: - e 0... ekscentricitet usled netačnosti pri izvođenju - e 1... ekscentricitet usled uticaja Teorije I reda - e ϕ... ekscentricitet usled tečenja betona - e 2... ekscentricitet usled uticaja Teorije II reda

Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 Pravilnik BAB 87 propisuje ekscentricitet usled netačnosti pri izvođenju e 0 zbog realno mogućih netačnosti tokom izvođenja Ova dodatna ekscentričnost N sile e 0 treba da se uzima u obzir i kod približnih proračuna 25 < λ i 75 i kod tačnijih proračuna λ i > 75 Ekscentričnost e 0 usled netačnosti pri izvođenju usvaja se u obliku 2 cm e 0 = l i 10 cm 300

Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 Escentricitet normalne sile usled uticaja Teorije I reda e 1 jednak je e 1 = M N gde su M i N uticaji izračunati za stanje upotrebljivosti - usled ukupnog eksploatacionog opterećenja

Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 Za sisteme sa nepomerljivim čvorovima, pri linearnoj raspodeli momenata savijanja po dužini štapa (odn. stuba!), ekscentricitet e 1 može (dovoljno tačno) da se odredi iz relacije e 1 = 1 N (0.65 M 2 + 0.35 M 1 ) gde su M 1 i M 2 momenti savijanja na krajevima stuba sračunati za stanje upotrebljivosti, pri čemu je M 2 > M 1 Za sistem sa pomerljivim čvorovima treba da se unapred definiše oblik izvijanja

Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 Zatim, za merodavne kombinacije opterećenja, u srednjoj trećini dužine izvijanja odredi se ekscentricitet e 1 Ekscentricitet usled tečenja betona e ϕ može da se zanemari ako je ispunjen barem jedan od sledećih uslova: λ i 50 ili e 1 d 2 ili N I g 0.2 N I q (7) gde su - N I g... normalna sila usled stalnog opterećenja - N I q... normalna sila usled ukupnog eksploatacionog opterećenja (obe sile po Teoriji I reda)

Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 U slučju kada nisu ispunjeni uslovi (7), mora da se uzme u obzir tečnje betona preko dodatne ekvivalentne ekscentričnosti e ϕ : e ϕ = (e 1g + e 0 ) (e α E 1 α E ϕ 1) (8) gde su - e 1g... ekscentricitet normalne sile od stalnog opterećenja N I g - e 0... ekscentricitet usled netačnosti pri izvođenju - e... osnova prirodnog logaritma (e = 2.718...) - α E... bezdimenzionalni koeficijent odnosa normalnih sila α E = N I g N E gde je N E = π 2 Eb I ib l 2 i

Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 U izrazu za Ojlerovu silu N E koristi se idealizovan momenat inercije betonskog preseka I ib = I b + E a E b I a Takođe, u izrazu (8) sa ϕ je označen koeficijent tečenja betona Kada je određena ekscentričnost usled uticaja Teorije I reda e 1 onda se uticaj Teorije II reda određuje u zavisnosti od e 1, vitkosti štapa λ i, kao i visine preseka d u ravni izvijanja

Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 Ekscentričnost usled uticaja Teorije II reda e 2 određuje se prema izrazima: e 2 = d λ i 25 0.1 + e 1 za 0 e 1 100 d d 0.30 e 2 = d λ i 25 160 e 2 = d λ i 25 160 za 0.3 e 1 d 2.5 (3.5 e 1 d ) za 2.5 e 1 d 3.5

Izrazito vitki pritisnuti elementi 75 < λ i 140 U slučaju izrazito vitkih elemenata 75 < λ i 140 proračun mora da se vrši primenom tačnijih postupaka Tačniji postupci podrazumevaju proračun po Teoriji II reda U primeni komercijalnih računarskih programa ukupna matrica krutosti sistema data je kao zbir linearne i geometrijske matrice krutosti Problem određivanja kritičnog opterećenja svodi se na rešavanje problema svojstvenih vrednosti matrica

Okvirni (ramovski) nosač je sistem međusobno povezanih greda i stubova koji čini jednu celinu Okvirni nosači mogu da se klasifikuju na razne načine Prema konfiguraciji, okvirni nosači mogu da budu: 1 Okvirni nosači u ravni (ravni okvirni nosači) 2 Okvirni nosači u prostoru (prostorni okvirni nosači) Zgrade ramovskog sistema su prostorni okviri koji su na nivou svakog sprata povezani, osim riglama, još i (krutim) međuspratnim tavanicama

U ramovskim zgradama najčešće su ramovi raspoređeni u međusobno ortogonalnim ravnima Bez obzira što je zgrada prostorni sistem, često se posmatra kao sistem koji čine okvirni nosači u ravni, postavljeni u međusobno ortogonalnim pravcima Sa stanovišta spratnosti okviri mogu da se klasifikuju kao 1 jednospratni okviri 2 višesprtani okviri

Sa stanovišta broja linija stubova, okvirni nosači mogu da budu 1 jednobrodni okvirni nosači (samo dve ose stubova) 2 višebrodni okvirni nosači (više osa stubova) Sa stanovišta graničnih uslova sa podlogom, okvirni nosači mogu da budu 1 uklješteni ramovi 2 zglobno vezani ramovi

Različite konfiguracije jednospratnih jednobrodnih okvirnih nosača

Različite konfiguracije jednospratnih i višespratnih okvirna

Okvirni nosači u ravni računski se posmatraju kao nosači koji prenose opterećenje samo u svojoj ravni Čak i kada su u sklopu prostorne ramovske konstrukcije, koju čine ramovi postavljeni u dva niza međusobno ortogonalnih horiznotalnih pravaca, svaki okvirni nosač se posmatra kao nosač u ravni Takav prostorni ramovski nosač može da prihvati proizvoljno opterećenje i prenese ga na oslonce, odn. na tlo (naravno, ako su korektno dimenzionisani)

Jednospratne ramovske konstrukcije najčešće se primenjuju kod industrijskih objekata: hala, skladišta, magacina i sl. Takvi objekti, npr. industrijske hale, formiraju se od okvira, sa jednim ili više otvora (jednobrodnih ili višebrodnih), koji se postavljaju u paralelan niz na određenim međurastojanjima Takav niz paralelnih ramova međusobno se povezuju u podužnom pravcu (u pravcu upravno na ramove) i time se formira prostorni ramovski sistem (prostorni skelet)

Prostorni jednospratni okvirni nosači (industrijske hale)

Jednospratni okvirni nosači u sklopu industrijskih hala mogu da budu različitih konstrukcija (ne u okviru iste hale!)

Višespratne ramovske konstrukcije najčešće se primenjuju u visokogradnji, odn. u konstrukciji zgrada Višespratni okviri formiraju se tako što se jednospratni okviri postavljaju jedan na drugi i međusobno kruto povezuju Ovakvi višespratni okviri postavljaju se međusobno na određenim međurastojanjima, a povezuju se međusobno gredama u ortogonalnom pravcu, kao i međuspratnom konstrukcijom Uobičajeni rasponi između pojedinih brodova okvirnih nosača (između osa stubova) kreću se u intervalu od oko 4 do 10 metara

Statički sistemi okvirnih nosača mogu da budu veoma različiti, pre svega 1 statički određeni 2 statički neodređeni Prosti okviri su jednospratni jednobrodni ramovi Osnovni tipovi prostih okvira su: okvirna prosta greda, luk na tri zgloba, dvozglobni luk, obostrano uklještan luk i sl.

Osnovni tipovi prostih okvira: (a) luk na tri zgloba, (b) dvozglobni luk, (c) uklješteni luk

Statički određeni sistemi okvirnih nosača imaju prednosti ukoliko su uslovi fundiranja relativno nepovoljni, jer su statički određeni nosači neoseltljivi na neravnomerna sleganja oslonaca Ukoliko su horizontalne oslonačke sile relativno manjeg intenziteta, one mogu da se na tlo prenesu trenjem između kontaktne površine temeljne spojnice i tla item Ako su horizontalne reakcije relativno većeg intenziteta, onda se u nivou oslanjanja (temelja) konstruiše zatega koja povezuje naspramne temelje i preuzima na sebe horizontalnu komponentu reakcija Na tlo se tada prenose samo vertikalne komponente reakcija

Formiranje zatege u slučaju većih horizontalnih sila, tako da je sila H unutrašnja sila

Stubovi i grede u okvirnom nosaču najčešće su međusobno kruto povezani Sa grede (rigle) na stub se tada, osim vertikalnih sila, prenose i momenti savijanja Usled krute veze grede i stuba, momenti savijanja u sredini raspona grede manji su u odnosu na gedu koja bi bila zglobno vezana za stubove Time se dobijaju manje dimenzije grede, ali momenti savijanja u stubovima (ekscentrični pritisak) dovode do većih dimenzija stubova nego kod centričnog pritiska

Preraspodela uticaja u zavisnosti od veze rigle i stubova

Proračun uticaja u okvirnim konstrukcijama vrši se uobičajenim metodama statike konstrukcija Pri formiranju računskog modela okvirnog nosača sistemna linija okvirnog nosača poklapa se sa težišnom linijom poprečnih preseka (osa nosača je geometrijsko mesto težišta poprečnih preseka) Geometrijske karakteristike poprečnih preseka usvajaju se obično za homogene betonske preseke (bez uticaja prslina)

Veličina sila u preseku u statički neodređenim okvirnim nosačima zavise od odnosa krutosti greda i stubova Odnos krutosti grede i stubova najčešće se prikazuje preko koeficijenta krutosti k r k r = I g/l I s /H = I g H I s L gde je - I g, L... momenat inercije grede i raspon grede - I s, H... momenat inercije stuba i visina stuba

Postoje tablice, odn. knjige u kojima su data parametarska rešenja za okvirne nosače raznih konfiguracija, različitih opterećenja i graničnih uslova Takva parametarska rešenja bila su vrlo značajna u inženjerskim proračunima pre ozbiljnijeg razvoja računara i odgovarajućih programa Jedna od glavnih knjiga sa parametarskim rešenjima različitih okvirnih nosača je knjiga Adolf-a Kleinlogel-a

Parametarska rešenja za razne okvirne nosače

Uticaji za obostrano uklješten ram

Približna analiza okvira, posebno ukoliko su jednostavne strukture, može i sada da se koristi Načelno, efikasnija je primena računara, čak i za pojedinačne okvirne nosače Međutim, rešenja dobijena klasičnim postupcima Teorije konstrukcija daju bolji uvid u prirodu rešenja i ponašanja ( Potreban je računar da bi se nešto ozbiljno pogrešilo )

Približni računski modeli delova okvira Ponekad se koriste i približni računski modeli delova okvira za brzu proveru uticaja

Uticaj horizontalnih sila na prostorni skeletni sistem raspoređuje sa na pojedine ramove u paralelnim ravnima proporcionalno njihovim krutostima (u ovom slučju, krutostima stubova) U tom smislu, mogu da se, umesto integralnog modela cele konstrukcije, pomatraju i pojedinačni okviri u svojim ravnima Ukoliko je jednobrodan okvir u ravni opeterećen horizontalnim silama, ukupan momenat horizontalnih sila uravnotežen je sa spregom vertikalnih reakcija i reaktivnim moentima stubova

Ako su grede male krutosti, veći deo spoljašnjeg momenta prihvata se momentima uklještenja Za relativno vitke stubove i jače grede, veći deo spoljašnjeg momenta prihvata se spregom vertikalnih reakcija Kod višebrodnih okvira u prihvatanju uticaja horizontalnih sila učestvuju i unutrašnji stubovi, ali u manjoj meri od spoljašnjih

Jednobrodni okvir opterećen horizontalnim silama

Geometrijske karakteristike štapova pri formiranju računskog modela treba da se inicijalno procene, a posle određivanja statičkih uticaja vrši se dimenzionisanje i konačno usvajanje dimenzija Visine greda u okvirnim nosačima procenjuju se u funkciji raspona l - d l 12 do l 10... za ramove sa jednim poljem - d l 16 do l 12... za ramove sa više polja Širina greda je obično 2 do 3 puta manja od visine i najčešće se usvaja u granicama od 20 do 50 cm Širina stubova se, po pravilu, usvaja ista kao i širina greda

Greda okvira su dominantno opterećene uticajima M i T, dok su N sile manje značajne Stubovi su dominantno opterećeni uticajima N sila pritisaka, kao i uticajima M, koji se obično linearno menjaju po visini, dok su T sile manje značajne, osim kod stbova koji su manje visine u odnosu na raspon rigle Pri eksploatacionom opterećenju grede se nalaze u fazi II (sa prslinama), a stubovi u fazi I (bez prslina)

To utiče na preraspodelu krutosti u konstrukciji okvira, a time i na preraspodelu statičkih uticaja U računskom modelu okvira to može da se simulira ako se krutosti stubova na savijanje smanje za oko 15%, a krutosti rigli smanje za 40 do 50% U analizi uticaja zemljotresa na AB (okvirne) konstrukcije obično se u formiranju računskog modela usvoji inicijalna redukcija krutosti AB elemenata

Dimenzionisanje ramovske konstrukcije vrši se u karakterističnim presecima elemenata konstrukcije Za rigle u ramovskim konstrukcijama to su (obično) - preseci na spoju sa stubovima - preseci u polju (oko sredine raspona) U presecima greda na spoju sa stubovima su najveće vrednosti negativnih momenata savijanja (zatezanje gore) i transverzalnih sila U presecima greda u polju su najveći pozitivni momenti savijanja (zatezanje donje strane)

Kod stubova karakteristični preseci su neposredno ispod tavanice, kao i neposredno iznad tavanice posmatranog sprata Pri tome, ako postoje značajni momenti savijanja, onda su u tim presecima na krajevima stuba najveće vrednosti M, pri čemu su i zategnute strane gore i dole različite Dimenzionisanje AB elementa okvirnih nosača vrši se za realno procenjene najnepovoljnije kombinacije opterećenja Obično su merodavne one kombinacije opterećenja koja za jedan statički uticaj dostižu ekstremnu vrednost, a ostali uticaji se uzimaju sa odgovarajućim vrednostima za tu kombinaciju

Grede u okvirima dimenzionišu se prema kombinacijama za najveće momenta savijanja i transverzalne sile Normalne sile u gredama u najvećem broju slučajeva nisu merodavne za dimenzionisanje Dimenzije preseka kod stubova određuju se uglavnom prema najvećoj normalnoj sili i odgovarajućem momentu savijanja Najveću armaturu u istom preseku stuba obično daje najveći momenat savijanja sa odgovarajućom normalnom silom Vođenje armature duž elemenata rama vrši se prema liniji zatežućih sila, kao za gredne nosače

U ramovskim konstrukcijama grede su najčešće pravougaonog ili T preseka, dok su stubovi pravougaonog ili kvadratnog preseka Srednji stubovi su često većeg preseka nego ivični, a takođe su i stubovi na nižim spratovima većih preseka nego stubovi na višim spratovima Čvor rama, kao kruta veza grede i stuba, mora da omogući prenošenje statičkih uticaja M, N, T izmađu ta dva elementa Da bi se to uspešno realizovalo (u AB konstrukcijama), armatura mora da bude pravilno konstruisana

Oblikovanje armature kod okvirnih nosača Na poslednjoj etaži okvirnog nosača ivični stub i greda obično su spojeni pod pravim uglom Armatura mora da bude tako oblikovana da omogući bezbedno prenošenje statičkih uticaja sa jednog na drugi element Najpovoljnije je da se celokupna armatura iz stuba povije u gredu rama Povijanje armature treba da bude sa većim radijusom, kako bi se izbeglo cepanje betona na dužini povijanja Uzengije iz stuba propuštaju se celom visinom čvora

Oblikovanje armature kod okvirnih nosača Kruta veza stuba i grede pod pravim uglom je veza ivičnog stuba na poslednjem spratu okvirnog višebrodnog nosača Kod takve veze pod pravim uglom, za gravitaciono opterećenje, momenti savijanja su takvi da je zatezanje na gredi sa gornje strane, a u stubu sa spoljašnje Kod veze pod pravim uglom raspodela napona u čvoru je obično takva da se javlja koncentracija napona pritisaka u unutrašnjem delu čvora Efekat koncentracije napona pritiska u uglu okvira ublažava se konstruisanjem vute

Koncentracija napona u uglu okvirnog nosača

Armiranje krute veze u uglu okvirnog nosača

Oblikovanje armature kod okvirnih nosača U slučaju kada na ram deluju veće horizontalne sile, posebno usled uticaja mogućeg zemljotresa, u čvoru mogu da se javljaju momenti savijanja sa zatezanjem unutrašnje strane krutog ugla (aternativni uticaji usled seizmičkog dejstva) Ovakvo naponsko stanje može da prouzrokuje pojavu kosih prslina u unutrašnjem uglu Zategnuta armatura se sidri u vidu petlji, a čvor se prožima horizontalnim i vertikalnim uzengijama

Zatezanje unutrašnje strane ugla okvirnog nosača

Oblikovanje armature kod okvirnih nosača Veza dva štapa pod uglom javlja se kod industrijskih objekata (kod hala), kada rigla okvira menja nagib, zbog formiranja krovnih ravni Promena nagiba, odn. prelom ose nosača izaziva skretne sile, pa se u zategnutoj strani konstruiše vuta Zategnite šipke nastavljaju se preklapanjem, a pritisnuta armatura koja teži da odvoji zaštitni sloj betona, obuhvata se progušćenim uzengijama

Promena nagiba rigle kod okvirnog nosača

Oblikovanje armature kod okvirnih nosača Kruta veza tri štapa javlja se kod veze ivičnog stuba i rigle, ali na nekom međuspratu, kao i kod veze srednjeg stuba i rigle na poslednjem spratu Treba da se vodi računa o prekidima betoniranja koji mogu da se realizuju u stubu ispod grede, odn. tavanice, jer se greda betonira zajedno sa pločom tavanice Takođe se prekid betoniranja ostvaruje i iznad greda, u dnu stuba gornje etaže

Oblikovanje armature kod okvirnih nosača Imajući u vidu izvođenje konstrukcije, pogodno bi bilo da se podužna armatura stuba povije u gredu Naravno, moraju da se postave i ankeri u stubu za podužnu armaturu stuba sledećeg sprata Obično nema dovoljno armature u stubu koja bi, kada se povije u gredu, bila dovoljna da primi negativne momente u gredi

Oblikovanje armature kod okvirnih nosača Takođe, radi lakšeg izvođenja, u ovom slučaju, povoljnije je da se armatura iz gornje zone grede povije u stub sa dužinom sidrenja Pri tome treba da se vodi računa da dužina sidrenja bude dovoljna, jer u zategnutoj zoni stuba u takvoj vezi (to je unutrašnja zona stuba gore) nema uslova za sidrenje armature koja se povija iz grede

Kruta veza tri štapa kod okvirnog nosača

Oblikovanje armature kod okvirnih nosača Kruta veza četiri štapa postoji kod veze unutrašnjeg stuba i greda na svim spratovima osim poslednjeg kod višebrodnog okvirnog nosača U čvoru može da se nastavlja pritisnuta armatura greda levo i desno od čvora (to je donja armatura u gredama) Uzengije koje postoje u gredama levo i desno, mogu da se konstruktivno postave i u čvoru (ali se vodi računa o ugrađivanju betona) Armatura stuba nastavlja se iznad greda (uzengije u stubu se ne postavljaju u samom čvoru)

Kruta veza četiri štapa kod okvirnog nosača

Oblikovanje i armiranje oslonačkih preseka kod okvirnih nosača Oslonački preseci kod okvirnih nosača mogu da budu - zglobne veze - krute veze Zglobna veza je takva da omogućava relativnu rotaciju, ali ne dozvoljava relativno pomeranje Dakle, u zglobu se prenose samo normalne i transverzalne sile, dok se momenti savijanja ne prenose (M = 0 u zglobu)

Oblikovanje i armiranje oslonačkih preseka kod okvirnih nosača Zglobna veza u AB konstrukcija može da se realizuje konstruisanjem - pravog zgloba - fiktivnog zgloba Pravi zglob u AB konstrukciji oblikuje se naglim suženjem poprečnog preseka Fiktivni zglob u AB konstrukcijama formira se postupnim (linearnim) smanjenjem visine preseka stuba prema mestu računskog zgloba

Fiktivni zglob: postupno smanjenje preseka stuba

Oblikovanje i armiranje oslonačkih preseka kod okvirnih nosača Pravi zglob može da bude - linjski - tačkasti Prema načinu formiranja, odnosno armiranja, razlikuju se dva osnovna tipa pravog zgloba 1 Fresineov (Freyssinet-ov) zglob... za male vrednosti transverzalnih (horizontalnih) sila 2 Menažeov (Menager-ov) zglob... za velike vrednosti transverzalnih (horizontalnih) sila

Pravi zglob kod okvirnih nosača: naglo smanjenje preseka stuba

Oblikovanje i armiranje oslonačkih preseka kod okvirnih nosača Fresineov zglob se primenjuje za relativno male vrednosti transverzalne sile, kod kojih je odnos T/N T N 0.75 Armaturu Fresineovog zgloba čine: - armatura stuba - armatura zgloba - armatura oslonca (temelja)

Oblikovanje i armiranje oslonačkih preseka kod okvirnih nosača Armatura stuba je podužna armatura stuba koja se odi do zgloba - završava se kukama Dno stuba se zatvara šipkama u obliku slova U, koje se preklapaju sa podužnom armaturom stuba i završavaju takođe kukama Na dužini preklapanja uzengije se progušćavaju

Oblikovanje i armiranje oslonačkih preseka kod okvirnih nosača Armatura zgloba je podužna armatura u zglobu koja se formira od tankih šipki koje su povezane zatvorenim uzengijama preklopljenim preko kraće stranice zgloba Površina armature zgloba je oko A a,osl = (0.8 1.0)% b o d o Kod veoma napregntih zglobova ove šipke se povezuju i spiralnom armaturm radi boljeg utezanja preseka zgloba

Oblikovanje i armiranje oslonačkih preseka kod okvirnih nosača Armatura oslonca (temelja) je armatura u temelju koja obezbeđuje temelj protiv cepanja u zoni ispod zgloba Armatura temelja ispod zgloba je zmijasta ili mrežasta armatura u više slojeva Ova armatura je slična kao armatura za prihvatanje lokalnih pritisaka na površinu betona

Oblikovanje armature Fresineovog zgloba kod okvirnih nosača

Oblikovanje i armiranje oslonačkih preseka kod okvirnih nosača Kada su transverzalne sile relativno veće, konstruiše se Menažeov zglob T N > 0.75 Armaturu Menažeovog zgloba čini armatura Fresineovog zgloba, kojoj se dodaju ukrštene kose šipke kojima se prihvata celokupna transverzalna sila

Ukrštena kosa armatura Menažeovog zgloba kod okvirnih nosača

Lokalni naponi pritiska (kod okvirnih nosača) Kada se sa jednog na drugi AB element sila pritiska prenosi preko relativno male površine, kao u slučaju prenošenja N sile iz stuba na zglob i iz zgloba na temelj, tada se unutar AB elementa, na užem području, javljaju znatni naponi Javljaju se naponi pritisaka σ y u pravcu delovanja N sile, kao i naponi pritisaka i zatezanja σ x u pravcu upravno na silu N Takva raspodela naponskog stanja ostvaruje se lokalno, na dužini približno jednakoj širini elementa h d

Lokalni naponi pritiska (kod okvirnih nosača)

Lokalni naponi pritiska (kod okvirnih nosača) Posle rastojanja h d od unošenja koncentrisane sile, naponi pritiska σ y praktično postaju konstantni Napon pritiska u poprečnom pravcu σ x javlja se do visine od približno 0.25 d, a posle toga naponi σ x menjaju znak i postaju naponi zatezanja Najveća vrednost napona zatezanja σ x dostiže sa na visini od približno 0.6 d Rezultanta napona zatezanja σ x je sila zatezanja Z u koja je data sa ( Z u = 0.3 N u 1 d ) o d

Lokalni naponi pritiska (kod okvirnih nosača) Sila zatezanja Z mora da se prihvati armaturom (to je zmijasta armatura temelja) U zoni unošenja sile pritiska u AB element javljaju se lokalni naponi pritiska σ x (kao i σ y ) Čvrstoća betona pri lokalnom pritisku f o je znatno veća od jednoaksijalne ( obične ) čvrstoće betona pri pritisku f bk, jer je u toj zoni beton u uslovima višeosnog naponskog stanja - okolni neopterećeni beton stvara efekat utezanja

Lokalni naponi pritiska (kod okvirnih nosača) Računska čvrstoća betona pri lokalnom pritisku mora da zadovolji uslov Ab f 0 = f B 1.6 f bk A bo gde je - A bo = b o d o... površina preseka zgloba - A b = b d... površina stuba ili temelja - f B... računska čvrstoća betona - f bk... jednoaksijalna čvrstoća betona pri pritisku

Lokalni naponi pritiska (kod okvirnih nosača) Kruta veza stuba i temelja je uklještenje Takvom vezom mora da se obezbedi prenošenje svih sila u preseku: M, T, N, pri tome, obično u oba horizontalna pravca Uticaj momenta torzije na kontaktu stuba sa temeljom je redak Armatura koja je određena prilikom dimenzionisanja stuba, u preseku uklještenja, mora da bude prisutna i u temelju Kako se izvođenje konstrukcije vrši od temelja na gore, onda je podužna armatura u preseku stuba neposredno iznad temelja već ugrađena u temelj u vidu odgovarajućih ankera

Uklještenje kao veza temelja i stuba kod okvirnih nosača