Matematika 1. Boris Širola Tomislav Berić. predavanja

Matematika 1 Boris Širola Tomislav Berić predavanja

Predgovor 3 Okosnicu teksta koji imate pred sobom čini neizbrušen materijal koji se predaje u okviru kolegija Matematika 1. Taj je kolegij namijenjen studentima fizike-kemije, fizikeinformatike i fizike-politehnike, sa predvidenom tjednom satnicom od 4 sata predavanja i 3 sata vježbi. Glavni cilj kolegija je prezentirati studentima neke osnovne rezultate i metode u okviru onoga što se stndardno zove Matematička analiza. Pritom je zapravo najveći naglasak na samoj primjeni konkretnih znanja i metoda, kako bi se iste mogle uspješno primjenjivati u okviru nekih drugih znanosti; npr. fizike, kemije, biologije, elektrotehnike itd. Ali, isto tako, to nipošto ne znači da je sama materija i organizirana i prezentirana na nematematički način. Sasvim precizno rečeno, naš pristup nije takav da uvijek u najkraćim mogućim crtama samo navedemo neki konkretan rezultat, i zatim idemo na drvenu primjenu istoga na konkretnim primjerima i/ili zadacima. Naprotiv, vrlo često pokazujemo sa podosta detalja kako se u povijesnom kontekstu došlo do nekih konkretnih rezultata, te kako se isti dokazuju na strogi matematički način. Razlog tome nije standardna boljka matematičara da bi bili super-detaljni i super-precizni, nego čvrsto uvjerenje autora kako će se na taj način sama materija i bolje razumijeti i zapamtiti. (Isto tako, sigurno je da će većina čitalaca tim detaljiziranjem i/ili preciznošću dobiti ideje kako u okviru svoje struke postići svrhovitu organiziranost i sistematičnost; bilo prilikom učenja znanosti poznatih stvari ili možda jednog dana prilikom samostalnih znanstvenih ili stručnih istraživanja. Tu ne zaboravimo kako je Matematika tijekom cijelog školovanja zapravo fenomenalan medij na kojem se ljudi kroz igru uče logičkom zaključivanju, preciznom izražavanju, sistematiziranju, itd.) Konačno, naglasimo i to da smo namjerno naše izlaganje opteretili brojnim napomenama, komentarima i primjerima; na način koji nije dosta čest u literaturi sličnog sadržaja. Takav pristup čitatelju/ici možda će u nekim dijelovima biti zamoran i/ili dosadan. U tom slučaju dotični/a neka jednostavno zanemari i preskoči ono što smatra da nije od veće koristi za razumijevanje glavnih pojmova, rezultata i metoda. (Ali ako bude postojao/la barem jedna osoba koja će napisani medutekst smatrati svrhovitim, pisac istoga bit će vrlo zadovoljan i uvjeren da je njegova nakana imala smisla.) Napisani tekst sastoji se od devet poglavlja. Prva tri poglavlja su zapravo pripremnog karaktera, i u dobroj mjeri ponavljaju ono što bi većina studenata, barem u grubim crtama, morala znati nakon zavšenog srednjoškolskog obrazovanja. U prvom poglavlju navodimo temeljne stvari o skupovima, i posebno o skupu realnih brojeva R. Zatim, sa nešto više detalja, govorimo o skupu kompleksnih brojeva C. Cilj drugog poglavlja je ukratko ponoviti osnove analitičke geometrije u ravnini, sa glavnim naglaskom na pravac. Treće je poglavlje zapravo stvarni početak našeg izlaganja. Ono uvodi osnovne objekte koje mi u okviru ovog kolegija proučavamo; to su realne funkcije jedne realne varijable. Tu najprije govorimo o samom matematičkom pojmu funkcije, i posebno dajemo prve primjere realnih funkcija jedne realne varijable, a zatim definiramo pojmove komponiranja funkcija i invertiranja (bijektivnih) funkcija. Poglavlje završavamo sa važnim konkretnim primjerima realnih funkcija jedne realne varijable; to su eksponencijalna funkcija, logaritamska funkcija, trigonometrijske funkcije i arkus funkcije. Četvrto se poglavlje bavi tzv. nizovima. Nizovi su nezaobilazni objekti u okviru Matematičke analize, na primjeru kojih mi, izmedu ostalog, pokazujemo i oblike matematičkog rezoniranja. Peto se poglavlje c BŠ 3

bavi tzv. redovima. Redovi, koji su prirodan nastavak nizova, od velike su koristi za ono što želimo naučiti. (Ne samo u okviru kolegija Matematika 1, nego i u okviru kolegija Matematika 2. Tek spomenimo da su, u izvjesnom smislu, redovi preteča onoga što danas smatramo pod pojmom integrala.) Šesto i sedmo poglavlje imaju za ulogu, u dosta kratkim crtama i bez previše detalja, pripremiti teren zadnjim dvama poglavljima. Tu govorimo o dva prevažna pojma; to su pojmovi neprekidnosti funkcija i limesa funkcija. Nakon toga spremni smo za osmo i deveto poglavlje, koji su u stvari vrhunac kolegija. U osmom se poglavlju upoznajemo sa pojmom derivacije, učimo osnovna pravila deriviranja, te sve to primjenjujemo na brojnim primjerima. Naš je cilj apsolvirati tehniku deriviranja! Deveto poglavlje bavi se tek nekim od brojnih primjena derivacije. Kažimo ovdje kako je većina ovog teksta nastala nakon višegodišnjeg iskustva B. Š u predavanju istoimenog kolegija, te finog pročišćavanja predmetnog materijala tijekom tih godina. Kroz sve te godine sam sadržaj kolegija, naglasci na pojedinim dijelovima, kao i sam tempo predavanja, nisu uvijek bili apsolutno isti. (Iako, naravno, okosnica je bila uvijek nemijenjana; a moglo bi se reći da su se predavanja iz godine u godinu razlikovala u nijansama.) Dio teksta koji se odnosi na zadatke, ali i na neke primjere i/ili razne komentare, pripada T. B. Pri nastajanju ovog materijala nekim svojim komentarima i sugestijama jako su nam pomogli kolege Damir Bakić i Mladen Vuković, na čemu im se zahvaljujemo. Posebno je M. V. zaslužan za temeljitu korekciju prve verzije teksta. Na kraju ovih uvodnih riječi htjeli bismo nešto reći i o tome koja je ideja nastavnika o korištenju materijala koje imate pred sobom. Ako dani tekst budete tek neangažirano čitali, i eventualno samo nešto podcrtavali, konačni će efekt vjerojatno biti blijed i tužan. Prava bi stvar bila imati uza sebe papir i olovku, te tako pokrpati eventualne nejasnoće i/ili detalje koji Vam nedostaju u tekstu. Naravno, bilo bi jako poželjno, ako ne sve riješiti, onda barem većinu zadataka pokušati riješiti. (Jasno, ako ništa drugo, uvijek postoje i instance predavača i asistenta koji bi mogli pomoći; doduše, pod pretpostavkom da ste ih za konkretan problem pitali.) Želimo Vam potpun uspjeh (ako već ne i užitak) prilikom apsolviranja onoga što je tu napisano i tamo ispredavano. 4 U Zagrebu, listopad 2009. Boris Širola Tomislav Berić c BŠ 4

1. Osnove teorije skupova; Skupovi R i C 5 U ovom prvom odjeljku bavimo se prvim osnovnim objektima u matematici; to su brojevi. Glavni nam je cilj ponoviti neke dobro poznate stvari o realnim brojevima i o kompleksnim brojevima, a zatim u vrlo kratkim crtama navesti i neke eventualno nove činjenice o tim brojevima. Odjeljak je podijeljen u šest pododjeljaka. Prvi se pododjeljak ukratko bavi pojmom skupa, te osnovnim operacijama sa skupovima. U drugom pododjeljku podsjećamo se pojma apsolutne vrijednosti realnog broja, te govorimo o pojmu aproksimacije realnog broja. Treći pododjeljak uvodi kompleksne brojeve, u četvrtom govorimo o polarnom obliku kompleksnog broja, a u petom pododjeljku bavimo se u najkraćim crtama pojmom korijena kompleksnog broja. Posljednji, šesti, pododjeljak navodi, bez dokaza, jedan od osnovnih matematičkih rezultata; to je tzv. Osnovni teorem algebre. 1.1. Pojam skupa i operacije sa skupovima; Skupovi brojeva N, Z, Q i R. Pojam skupa intuitivno je jasan, i mi ga ovdje uzimamo kao nešto što ne treba posebno elaborirati. Ukratko rečeno, skup je matematički objekt koji se sastoji od nekih jedinki; svaka takva zove se element. Skupove ćemo označavati velikim latiničnim slovima; npr., A, B,..., S, T,..., X, Y,... Isto tako, elemente skupova uobičajeno je pisati malim latiničnim slovima; npr. a, b,..., s, t,..., x, y,... Činjenicu da je neki x element nekog skupa S označavamo kao x S; ovdje simbol čitamo kao je element (skupa..). S druge strane, ako neki y nije element od S, to označavamo kao y S; ovdje simbol čitamo kao nije element (skupa..). Podsjetimo se sada nekih dobro poznatih skupova brojeva. prirodnih brojeva N := {1, 2, 3,...} odnosno skup prirodnih brojeva zajedno sa nulom N 0 := {0, 1, 2, 3,...} Najprije, imamo skup Zatim imamo skup cijelih brojeva Z := {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} odnosno skup racionalnih brojeva Q := {m/n m Z, n N} c BŠ 5

6 Podsjetimo da se elementi od Q uobičajeno zovu razlomci. Napomena 1.1. Navedimo ovdje neke dobro poznate i jednostavne činjenice o upravo definiranim skupovima brojeva. (1) Svaki neprazan podskup S N ima najmanji element. Ta je činjenica intuitivno sasvim jasna. (Primijetimo medutim da ista tvrdnja ne vrijedi ukoliko je S proizvoljan neprazan podskup od Q. Npr., skup S := {x Q 0 < x < 1} nema najmanjeg elementa. Sasvim precizno rečeno, ne postoji neki ω S takav da je ω x, za svaki x S!) (2) Skup Q je gust u samom sebi ; tj., za bilo koje a, b Q, takve da je a < b, postoji barem jedan broj x Q takav da je a < x < b. Štoviše, postoji beskonačno mnogo takvih x-eva. Npr., za proizvoljan n N možemo definirati brojeve x i n := a + i b a, i = 1,... n. n + 1 Jasno, ti su brojevi racionalni. Nadalje, očito vrijedi a < x 1 n < x 2 n < < x n n < b. (3) Postoje brojevi x koji nisu racionalni, tj. x Q. Kao dobro poznate primjere takovih imamo π i 2. (Lako je pokazati da 2 Q, ali nije sasvim jednostavno pokazati da π Q!) Gore navedeno pod (3) pokazuje da je razumno proširiti skup racionalnih brojeva do nekog većeg skupa. Posebno, u tom bi se skupu trebali nalaziti svi brojevi koji se pojavljuju u raznim primjenama u stvarnosti. Dobro je poznata činjenica da ulogu toga proširenog skupa brojeva dobiva tzv. skup realnih brojeva R. Uobičajeno je one brojeve koji jesu u R, ali nisu u Q, zvati iracionalni brojevi. Ponekad se skup takovih označava sa I; tj., I := {x R x Q}. (Uz niže uvedenu oznaku za razliku skupova, možemo pisati da je I = R \ Q.) Zbog osnovne važnosti za ono što slijedi, podsjetimo se ovdje i na sljedeće pojmove. Definicija 1.2. Neka su a i b realni brojevi takvi da je a < b. Definiramo zatvoren interval, ili segment, odreden sa a i b kao skup realnih brojeva [a, b] := {x R a x b}. Isto tako definiramo i otvoren interval, odreden sa a i b, kao skup realnih brojeva (a, b) := {x R a < x < b}. Definiraju se i tzv. poluotvoreni, ili poluzatvoreni, intervali; to su skupovi [a, b) := {x R a x < b}, (a, b] := {x R a < x b}. Pored pojmova skupa i elementa, sljedeći su nezaobilazni pojmovi podskup zadanog skupa i jednakost skupova. Definicija 1.3. Ako je S skup, onda kažemo da je neki skup T njegov podskup ukoliko vrijedi sljedeći uvjet: ( x T ) x S; c BŠ 6

tj., ukoliko je svaki element od T ujedno i element od S. podskup nekog skupa S označavamo kao T S; isto tako, pišemo T S, ako T nije podskup od S. Činjenicu da je neki skup T Ako su dani skupovi A i B, onda kažemo da su oni jednaki ako vrijedi A B i B A; i u tom slučaju pišemo A = B. Ukoliko neka dva skupa, A i B, nisu jednaka, onda pišemo A B. Korisno je ovdje primijetiti i sljedeće: Za proizvoljan skup S imamo da je on sam sebi i podskup, tj. S S. S druge strane, ako je T neki podskup od S, ali takav da postoji barem jedan element x S takav da x T, onda kažemo da je T pravi podskup od S; tu činjenicu označavamo kao T S. Zapravo, možemo reći i da je T S ukoliko je T S ali istovremeno i T S. Primjer 1.4. Neka su definirani skupovi A := {x R x 2 4 i 2x > 3}, B := (3/2, 2], C := {x R 2x x 2 }. Tada se odmah vidi da je zapravo (Pokažite to detaljno!) A = B C = [0, 2]. Za daljnje potrebe uvedimo odmah i jedan specifičan skup; skup bez ijednog elementa. Skup koji nema niti jednog elementa zovemo prazan skup. Njegova je oznaka. Ako imamo neki skup S, tada fraza S je neprazan skup znači da S. Napomena 1.5. U vezi s gore uvedenim pojmom praznog skupa, važno je primijetiti sljedeće: Prazan skup podskup je svakog skupa; tj., ako je A neki skup, onda imamo Zadavanje skupova A. Kažimo ukratko par riječi i o tome kako zadati neki skup; tj., kako ga definirati. Jasno, ukoliko je skup konačan, i nije prevelik, onda ga možemo zadati popisivanjem elemenata. Tako npr. skup S := {a, e, i, o, u} za svoje elemente ima sve samoglasnike abecede. Beskonačne, ali i velike konačne skupove, možemo zadati opisom. Tako npr. skup N := {1, 3, 5,..., 2n + 1,...} za svoje elemente ima sve neparne prirodne brojeve. Još jedan vrlo čest način zapisivanja skupova je tzv. zadavanje skupa pomoću opisnog svojstva. Tako ako imamo neko svojstvo P, koje mogu imati elementi x nekog skupa U, definiramo skup S := {x U P (x)}, c BŠ 7 7

skup onih x-ova koji zadovoljavaju svojstvo P. Tako ako je npr. U = R, a svojstvo onda imamo P (x) : x je drugi korijen prirodnog broja takav da je x < 3, {x R P (x)} = {1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 8}. Napomena 1.6. Problem odredivanja, i razumijevanja, nekog skupa koji je zadan pomoću nekog svojstva može biti vrlo težak problem. Možda kao ilustraciju navedimo jedan primjer koji je u stvari trenutno najveći neriješen matematički problem. (Više detalja o ovome što slijedi može se naći u preglednom radu [B. Š; Ditsribucija prim brojeva i Riemannova Zeta-funkcija; prvi dio, math-e (2008)].) Za svaki realan broj x > 1 može se pokazati da je dobro definiran broj 1 ζ(x) := n x. (To je lako za pokazati kada se ima tzv. integralni kriterij konvergencije redova.) Tako dobivamo funkciju ζ : (0, + ) R. Nešto više posla, u okviru tzv. Kompleksne analize, treba da bi se pokazala sljedeća tvrdnja: Postoji jedinstveno analitičko produljenje gornje funkcije do funkcije ζ : C\{1} C. Tako dobivena kompleksna funkcija kompleksne varijable je glasovita Riemannova Zetafunkcija. Definirajmo N (ζ) := {s C ζ(s) = 0}, n=1 skup nultočaka funkcije ζ. Pokazuje se da se u skupu N (ζ) nalaze s = 2, 4, 6,... ; to su tzv. trivijalne nultočke Zeta-funkcije. Centralni je problem razumijeti skup N netriv (ζ) := N \ { 2, 4, 6,...}, skup netrivijalnih nultočaka Zeta-funkcije. Iako se zna da je taj skup beskonačan, te da štoviše ima beskonačno mnogo nultočaka oblika s = 1/2+ıt, t R, čini se kako je današnja matematika daleko od potpunog razumijevanja skupa N netriv (ζ). Tek spomenimo kako je spomenuti najveći matematički problem glasovita Riemannova 1 hipoteza ; to je slutnja koja govori da su sve netrivijalne nultočke od ζ oblika s = 1/2 + ıt, gdje je t R. Jasno, Riemannova hipoteza je u biti tek potproblem od problema da se potpuno i detaljno opiše skup N netriv (ζ). Osnovne operacije sa skupovima Sada ćemo se ukratko pozabaviti apstraktnim skupovima, te standardnim operacijama na njima. Pritom ćemo se držati sljedećeg dogovora: Ako promatramo skupove koji su podskupovi nekog većeg skupa U, onda ćemo taj U zvati univerzalan skup. Naprimjer, ukoliko bismo promatrali geometrijske likove u ravnini M, onda bismo mogli uzeti U = M. S druge strane, ako želimo računati sa realnim brojevima, te promatrati razne skupove takovih, onda možemo uzeti U = R. 1 Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 1866), veliki njem. matematičar c BŠ 8 8

Prije nego li definiramo pojmove unije, presjeka i razlike skupova, te pojam komplementa skupa, podsjetimo se sljedećih logičkih operacija: negacija, konjunkcija (ili &), disjunkcija, implikacija i ekvivalencija. Nadalje, podsjetimo se i tzv. kvantifikatora. Prvi je tzv. univerzalni kvantifikator ; njegovo je značenje svaki, ili za svaki. Drugi je tzv. egzistencijalni kvantifikator ; njegovo je značenje postoji, ili za barem jedan. Tako npr. zapis ( x Q)( n N) nx Z čitamo kao za svaki x Q postoji barem jedan n N takav da je nx Z. Sada ćemo definirati prve tri spomenute operacije na skupovima. Primijetimo kako su sve te operacije tzv. binarne operacije; tj., za dva dana skupa rezultat je jedan novi skup. Definicija 1.7. Neka su dani skupovi A, B U. Definirajmo novi skup, u oznaci A B, kao skup svih onih elemenata iz U koji su ili u A ili u B; tj., A B := {x U x A x B} Skup A B zovemo unija skupova A i B. Nadalje, definirajmo presjek skupova A i B kao skup A B := {x U x A x B} 9 tj., presjek A B sastoji se od svih elemenata iz U koji su istovremeno i u A i u B. Konačno, definiramo i razliku skupova A i B kao novi skup A \ B := {x U x A x B} tj., u razlici skupova A \ B nalaze se samo oni elementi iz U koji jesu u A, ali istovremeno nisu u B. Definirajmo i četvrtu operaciju, operaciju komplementiranja. Primijetimo kako je ona primjer unarne operacije; tj., za jedan dani skup i rezultat je jedan novi skup. Definicija 1.8. Za dani skup A U definiramo njegov komplement kao skup A c := U \ A = {x U x A} Kažimo kako se gore navedene operacije sa skupovima standardno zovu Booleove 2 operacije. Navedimo ovdje još neke korisne pojmove i/ili terminologiju. Definicija 1.9. Za dva skupa A, B U kažemo da su medusobno disjunktni ako je A B = ; tj., ako A i B nemaju niti jedan zajednički element. 2 G. Boole (1815 1864), engl. matematičar c BŠ 9

U vezi s gornjom definicijom primijetimo kako su npr. skupovi medusobno disjunktni. A = Q i B = { 2, π, π 3 } Definicija 1.10. Za skup A U definiramo partitivni skup od A kao tj., kao skup svih podskupova skupa A. P(A) := {S U S A}; Primjer 1.11. Neka je U = R i A = {2, 5, 10} U. Tada je P(A) = {, {2}, { 5}, {10}, {2, 5}, {2, 10}, { 5, 10}, A }. Napomena 1.12. Primijetimo ovdje kako u gornjem primjeru skup A ima 3 elementa, dok njegov partitivni skup P(A) ima 8 = 2 3 elemenata. I to je samo specijalan slučaj općenite situacije. Naime, ako je zadan konačan skup A, koji ima n elemenata, onda njegov partitivni skup ima 2 n elemenata; tj., imamo: card A = n = card P(A) = 2 n. Sljedeći teorem govori o nekim jednostavnim pravilima koja zadovoljavaju naše operacije sa skupovima. Teorem 1.1. Neka su A, B, C U proizvoljni skupovi. Tada vrijedi sljedeće: (i) (komutativnost) (ii) (asocijativnost) (iii) (distributivnost) (iv) (idempotentnost) (v) (apsorptivnost) (vi) (involutivnost) (vii) (de Morganovi zakoni) A B = B A, A B = B A. (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C). A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). A A = A, A A = A. A =, A U = U, A U = A, A = A. (A c ) c = A. (A B) c = A c B c, (A B) c = A c B c. c BŠ 10 10

Dokaz. Sve navedene tvrdnje govore o jednakosti skupova. Preciznije rečeno, mi imamo neki skup L, naveden na lijevoj strani konkretne jednakosti, te neki skup D, naveden na desnoj strani iste jednakosti, i onda tvrdimo da je L = D. Po definiciji jednakosti skupova to znači da mi moramo pokazati najprije inkluziju L D, a zatim i inkluziju D L. A da bismo pokazali da je npr. L D mi ćemo uzeti proizvoljan element x L, pa ćemo onda pokazati da je isto tako i x D. To je općenita procedura pri dokazivanju jednakosti neka dva skupa. (iii) Pokazat ćemo samo distributivnost presjeka prema uniji, tj. da je A (B C) = (A B) (A C); druga se jednakost tretira sasvim analogno. U tu svrhu stavimo L = A (B C) i D = (A B) (A C). Neka je x L proizvoljan. To znači, po definiciji presjeka, da je istovremeno x A i x B C. Ali x B C, po definiciji unije znači da je ili x B ili x C (ili oboje). Sada, ako je x B, onda slijedi da je i x A B. No ako je x iz A B, onda je jasno da je x i iz svakog nadskupa od A B. Posebno slijedi da je x D. Druga je bila mogućnost da je x C. No onda slijedi da je x A C; i zatim, analogno kao prije, da je i x D. Tako smo pokazali: x L = x D; tj., pokazali smo inkluziju L D. Sasvim isto pokazuje se i obratna inkluzija. Malo preciznije rečeno, moramo samo ići obratnim putem u danom argumentu gore, kad smo dokazali da je L D. (vii) Dokažimo samo prvi de Morganov zakon. U tu svrhu, stavimo L = (A B) c i D = A c B c. Neka je x L proizvoljan. To znači da je x U, ali x A B. No posebno, ako x nije u uniji A B, onda očito nije niti u A niti u B. Ali ako x nije u A, onda je u komplementu od A; tj., x A c. Sasvim analogno zaključujemo da je i x B c. Prema tome, kako je x i u A c i u B c, slijedi, po definiciji presjeka, da je i x D. Tako imamo L D. No jednako tako imamo i obratnu inkluziju. Prema tome, imamo i jednakost L = D. Tvrdnje (i), (ii), (iv) i (v) su više-manje očite; detalje prepuštamo za vježbu. Za dokaz tvrdnje (vi) gledamo dva slučaja. Prvo, ako je A =, onda je A c = U, i onda (A c ) c = U \ U = = A. U slučaju A postupamo kao i prije; ponovo detalje ostvljamo za vježbu. Na kraju ovog pododjeljka poopćit ćemo pojmove unije i presjeka na proizvoljne familije skupova. Naime, pretpostavimo da je dana bilo koja familija skupova F = {A A U}; tj., familija nekih podskupova A U. Onda definiramo uniju familije F kao skup A := {x U ( A F) x A}; A F tj., unija familije je definirana kao skup onih elemenata x iz U za koje postoji barem jedan A iz te familije tako da x A. Sasvim analogno definiramo i presjek familije F kao skup A := {x U ( A F) x A}; A F c BŠ 11 11

tj., presjek familije je definiran kao skup onih elemenata x iz U koji su istovremeno u svakom A iz te familije. Sljedeći je primjer instruktivan. Primjer 1.13. Neka je U = R. Za svaki n N definiramo skup A n kao zatvoreni interval A n := [2 1/n, 2 + 1/n]. Promatrajmo familiju skupova F = {A n n N}. Budući je očito je A 1 = [1, 3] A 2 A 3, A F A = n N A n = A 1 = [1, 3]. S druge strane, lako se vidi da je presjek dane familije skupova jednočlan skup; tj., imamo A n = {2}. A F A = n N Napomena 1.14. Za ovako poopćene definicije unije i presjeka vrijede i poopćene distributivnosti, kao i poopćeni de Morganovi zakoni. Naime, ako je dana neka familija skupova F, onda vrijedi sljedeće: (i) (distributivnost) ( ) A B B F = B F(A ( B), A (ii) (de Morganovi zakoni) ( ) c A = A c, A F A F ( A F B F Zadatak 1.1. Dokažite tvrdnje iz gornje Napomene. ) B = B F(A B). ) c A = A F A c. 12 1.2. Apsolutna vrijednost realnog broja; Aproksimacija. Apsolutna vrijednost Pojam apsolutne vrijednosti realnog broja bit će, u onom što slijedi, nebrojeno puta korišten. Definicija 1.15. Za broj a R definiramo apsolutnu vrijednost broja a kao nenegativan broj { a ako a 0, a := a ako a < 0. c BŠ 12

Dakle, ako se sjetimo kako prikazujemo realne brojeve na tzv. brojevnom pravcu, onda značenje apsolutne vrijednosti a realnog broja a odgovara udaljenosti, na tom pravcu, od a do broja 0. (Sjetimo se da je broj 0 u ishodištu brojevnog pravca.) Nadalje, primijetimo sljedeće očite nejednakosti: a a a ; jasno, jedna od gornje dvije nejednakosti je štoviše i jednakost. Sljedeći elementaran teorem govori o osnovnim svojstvima upravo definiranog pojma. Teorem 1.2. Neka su a i b realni brojevi. Tada vrijedi sljedeće: (i) a b = a b. (ii) (iii) (iv) a = a, ako je b 0. b b a + b a + b. a b a b. Dokaz. (i) Ako su a 0 i b < 0, onda je ab 0, i zato a b = ab. Isto tako, imamo a = a i b = b, pa je onda i a b = ( a)b = ab. Analogno se gledaju i ostala tri slučaja: a, b 0; a, b < 0; a < 0 i b 0. (ii) I ovo se dokazuje po slučajevima; analogno kao u (i). (iii) Zbrajanjem nejednakosti a a a i b b b dobivamo a odavde onda (iii) odmah slijedi. (iv) Koristeći (iii), imamo Analogno, imamo i odavde onda ( a + b ) a + b a + b ; a = (a b) + b a b + b a b a b. b = (b a) + a b a + a = a b + a ; ( a b ) = b a a b. Znači, za realan broj r := a b i pozitivan realan broj P := a b imamo istovremeno r P i r P. No to znači da je r P ; što je i trebalo pokazati. 13 Napomena 1.16. Tvrdnje (i) i (iii) iz teorema se matematičkom indukcijom odmah mogu poopćiti na slučaj kada imamo proizvoljno konačno mnogo realnih brojeva. Sasvim precizno rečeno, ako su a 1, a 2,..., a n realni brojevi, onda imamo: (i) a 1 a 2 a n = a 1 a 2 a n. c BŠ 13

14 (ii) a 1 + a 2 + + a n a 1 + a 2 + + a n. Za vježbu navodimo dva jednostavna zadatka sa apsolutnom vrijednosti. Zadatak 1.2. (Rješenje: S = (1, 4).) (ii) Odredite skup (Rješenje: S =.) (i) Odredite skup S := {x R : x 1 < 3 i x + 1 > 2}. S := {x R : 2x + 1 < 1 i x 1 < x + 1 }. Zadatak 1.3. Dokažite da za proizvoljne realne brojeve a i b vrijedi sljedeće: a + b + b a = max{a, b}, 2 a + b b a = min{a, b}. 2 (Uputa: Gledajte slučajeve a b i a < b.) Aproksimacija Pretpostavimo da je dan neki broj a R. Za svaki broj a R, takav da je a a dovoljno malen, kažemo da je aproksimacija broja a. (Ovdje fraza dovoljno malen naravno ovisi o kontekstu mjerenja u kojem se nalazimo. Ukoliko npr. gradevinar mora izgraditi prostoriju dugačku 10 metara, njegova bi tolerancija dopustila grešku u izvedbi koja bi rezultirala prostorijom duljine 10 metara i 3 centimetra. Ili drugačije rečeno, u konkretnoj je situaciji greška od 3 centimetra malena. S druge strane, ako pitamo fizičara koji se bavi strukturom atoma, što njemu znače 3 centimetra u nekom konkretnom mjerenju, on će vjerojatno reći kako je to strahovito velika duljina.) Tek kao ilustraciju za pojam aproksimacije sjetimo se ove, u praksi vrlo često korištene, aproksimacije: Ako je a = π = 3, 14159..., onda bismo kao jednu moguću aproksimaciju mogli uzeti a = 3, 14. Kao što je npr. bilo u gore navedenom primjeru aproksimacije broja π, vrlo je često slučaj da mi za aproksimaciju nekog kompliciranog realnog broja a uzimamo neki jednostavniji broj a ; štoviše, mnogo će puta taj a biti iz Q. I sljedeća je terminologija vrlo primjenjiva i korisna. Definicija 1.17. Za realan broj a i njegovu aproksimaciju a, definiramo tzv. apsolutnu pogrešku aproksimacije kao broj := a a. Isto tako, definiramo i relativnu pogrešku aproksimacije kao broj δ := a. Sada, imajući takove a i a i proizvoljan ε, kažemo da je a približno a s točnosti ε; i tada koristimo oznaku a a. c BŠ 14

Sljedeća tehnička propozicija govori o računanju s aproksimacijama. Jednostavno rečeno, zanima nas ovo: Ako imamo brojeve a i b, te njihove aproksimacije a i b, kolika je dobivena točnost u situaciji kada zbrajamo/množimo/dijelimo aproksimacije a i b, namjesto samih a i b. Sasvim konkretno, u dijelu (i) propozicije nas zanima ocjena apsolutne pogreške ukoliko npr. namjesto a b računamo a b ; vidi Napomenu 1.18. Propozicija 1. Neka je a a s točnosti ε 1, i b b s točnosti ε 2. Tada vrijedi sljedeće: (i) Imamo a ± b a ± b s točnosti ε 1 + ε 2. (ii) Imamo a b a b s točnosti ε 2 a + ε 1 b + ε 1 ε 2. (iii) Pretpostavimo da je b, b 0 i ε 2 < b. Tada imamo a b a ε 2 a + ε 1 b ( b ε 2 ) b. b 15 s točnosti Dokaz. Najprije primijetimo kako po pretpostavci propozicije imamo a a ε 1 i b b ε 2. (i) Računamo (a b) (a b ) = a a + b b a a + b b ε 1 + ε 2. Tako smo dobili da je a b a b s točnosti ε 1 + ε 2. Potpuno isto gleda se i slučaj kada namjesto oduzimanja zbrajamo. (ii) Računamo a b a b = a b a b a b = (a a )b + a (b b ) a a b b + b + a b b a a b b + a a b + a b b ε 1 ε 2 + ε 1 b + a ε 2. (iii) Računamo a b a a b b a (a a ) b + a (b b) = = b b b b b a a b + a b b b b + b b ε 1 b + ε 2 a ( b b b ) b ε 1 b + ε 2 a ( b ε 2 ) b. Napomena 1.18. Navedene točnosti u gornjem računu sa aproksimacijama mogu se dostići; što znači da su navedene ocjene, u izvjesnom smislu, najbolje moguće. Sasvim precizno rečeno, to znači sljedeće. Ako su brojevi ε 1 i ε 2 točno jednaki apsolutnim pogreškama aproksimacija a a i b b, onda se može dogoditi da je apsolutna pogreška aproksimacije a±b a ±b jednaka točno ε 1 +ε 2. Kao konkretan primjer rečenoga, uzmimo npr. a = 7, 8 i a = 8, te b = 3, 4 i b = 3. Tada su apsolutne pogreške aproksimacija ε 1 := a a = 0, 2 i ε 2 := b b = 0, 4. Sada računamo a b = 4, 4 i a b = 5, odakle slijedi da je apsolutna pogreška aproksimacije a b a b jednaka 4, 4 5 = 0, 6 = ε 1 + ε 2. c BŠ 15

Slično se može naći konkretne a, b, a i b, za koje se pokazuje da i u preostale tri operacije (zbrajanje, množenje i dijeljenje) doista gore napisane ocjene jesu najbolje moguće. Napravite to za vježbu! 16 1.3. Kompleksni brojevi. Ovaj pododjeljak ima za cilj u sasvim kratkim crtama podsjetiti na definiciju kompleksnih brojeva, te na neke osnovne stvari o njima. Kao jedan od motiva za uvodenje kompleksnih brojeva možemo uzeti želju da se riješi kvadratna jednadžba X 2 + 1 = 0. Ta jednadžba naravno nema riješenja u realnim brojevima, pa bismo onda mogli zamisliti neki poseban broj ı za koji bi vrijedilo ı 2 + 1 = 0 ı 2 = 1. Taj broj dobiven našom imaginacijom nazovimo imaginarna jedinica. imamo takav specijalan broj, promatrajmo i ovakove kombinacije : z = x + ıy, x, y R. Sada kada Tako dobivene nove objekte zovemo kompleksnim brojevima, i skup svih takovih označavamo sa C; dakle, C := {z = x + ıy x, y R} Za kompleksan broj z, kao gore, broj x R zovemo realni dio od z; i označavamo ga sa Re(z). Isto tako, broj y R zovemo imaginarni dio od z; i označavamo ga sa Im(z). Sada na skupu kompleksnih brojeva želimo definirati operaciju zbrajanja, i operaciju množenja. No, prije nego li to napravimo dogovorimo se da ćemo za dva kompleksna broja, neke z 1 = x 1 + ıy 1 i z 2 = x 2 + ıy 2, reći da su oni jednaki ukoliko je x 1 = x 2 i y 1 = y 2 ; tj., ukoliko su im isti i realni dijelovi i imaginarni dijelovi. Tada pišemo z 1 = z 2. Definicija 1.19. Neka su dani kompleksni brojevi z j = x j + ıy j, za j = 1, 2. Definirajmo zbroj od z 1 i z 2 kao novi kompleksan broj z 1 + z 2 := (x 1 + x 2 ) + ı(y 1 + y 2 ) Nadalje, definiramo produkt od z 1 i z 2 kao novi kompleksan broj z 1 z 2 := (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + ı(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) Napomena 1.20. (1) Gornja definicija zbrajanja kompleksnih brojeva, koja kaže da se posebno zbroje realni dijelovi i posebno imaginarni dijelovi, je jednostavna i na neki način onakva kako bi većina neupućenih promatrača i očekivala. No, za razliku od toga, sa množenjem je situacija, barem na prvi mah, drukčija. (Možda bi, ponovo neki neupućeni promatrač brzopleto, i po analogiji sa zbrajanjem, zaključio da bismo mogli c BŠ 16

kompleksne brojeve množiti tako da im pomnožimo posebno realne dijelove i posebno imaginarne dijelove. No ta bi ideja bila traljava!) Medutim, ako primijetimo da su i sami realni brojevi u skupu C, te se sjetimo da za realne brojeve vrijede pravila komutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti, onda je razumno zahtijevati da ista pravila vrijede i za sve naše nove brojeve. Posebno, ako to uvažimo, onda imamo (x 1 + ıy 1 ) (x 2 + ıy 2 ) = x 1 x 2 + ıx 1 y 2 + ıy 1 x 2 + ı 2 y 1 y 2. Sada, ako uzmemo u obzir da je ı 2 = 1, te zatim desnu stranu gore sredimo, dobit ćemo da je ona upravo onakva kako je to i napisano pri računanju z 1 z 2, u gornjoj definiciji. (2) Korisno je posebno primijetiti kako se potencira imaginarna jedinica ı. Vrijedi ı 2 = 1, ı 3 = ı, ı 4 = 1; a odavde (i iz dolje definiranog dijeljenja) odmah slijedi da za svaki k Z imamo ı 4k = 1, ı 4k+1 = ı, ı 4k+2 = 1, ı 4k+3 = ı. Očito je kako običan broj 1 ima svojstvo da je 1 z = z 1 = z, za svaki z C. Nadalje, ako imamo neki broj z = x + ıy C, gdje je još z 0, prirodno je pitati: Postoji li neki broj w C takav da je z w = w z = 1? (Jasno, za 0 z R takav w uvijek postoji; i tada je, jasno, w R.) Lako se računa da takav w doista postoji, te je i jedinstven sa takvim svojstvom. Sasvim precizno, računa se: x w = x 2 + y 2 ı y x 2 + y 2 Taj se w standardno zove inverz od z i označava sa z 1 ili 1 z. Posljedica gornjeg računanja inverza je ta da mi onda na skupu kompleksnih brojeva možemo definirati i operaciju dijeljenja ovako: Za dva kompleksna broja z 1 i z 2 definiramo z 1 z 2 := z 1 z 1 2 = z 1 1 z 2 Napomena 1.21. Dobro je poznat prikaz kompleksnih brojeva u tzv. kompleksnoj ravnini; ista se zove i Gaussova 3 ravnina. To je zapravo obična Kartezijeva ravnina gdje se horizontalna os zove realna os, a vertikalna se zove imaginarna os. Sada se kompleksan broj x + ıy prikazuje u toj ravnini kao točka (x, y) R 2 (v. Odjeljak 2). Sada se podsjetimo dvije važne operacije na kompleksnim brojevima. Definicija 1.22. Ako je z = x + ıy kompleksan broj, onda njemu konjugiran broj definiramo kao z := x ıy. Pridruživanje C z z C zove se konjugiranje. 17 3 Karl Friedrich Gauss (1777 1855), veliki njem. matematičar i astronom c BŠ 17

Za z = x + ıy definiramo apsolutnu vrijednost, ili modul, od z kao nenegativan realan broj z := x 2 + y 2 18 Napomena 1.23. (1) Ako prikažemo z u kompleksnoj ravnini, onda z dobijemo zrcaljenjem broja z oko realne osi. (Nacrtajte!) (2) Ako prikažemo z = x + ıy u kompleksnoj ravnini, onda je vrijednost z jednaka udaljenosti od broja 0, tj. ishodišta kompleksne ravnine, do broja z. (Ucrtajte u kompleksnoj ravnini točke koje odgovaraju brojevima 0, x i z, pa primijetite da te tri točke čine pravokutan trokut. Sada iskoristite Pitagorin poučak!) (3) Zbog daljnje potrebe, primijetimo sljedeći jednostavan identitet koji povezuje konjugiranje i apsolutnu vrijednost: Za svaki z C vrijedi z z = z 2. Sljedeći teorem donosi neke jednostavne tvrdnje vezane uz operacije konjugiranja i uzimanja apsolutne vrijednosti. Teorem 1.3. Neka su z i w proizvoljni kompleksni brojevi. Tada vrijedi sljedeće: (i) z = z. (ii) z + w = z + w. (iii) z w = z w. ( z ) (iv) = z w w. (v) z w = z w ; i posebno z k = z k, za svaki k N. (vi) z = z. (vii) z = z ako i samo ako je z R. Dokaz. Napišimo z = x + ıy i w = u + ıv. (iii) Računamo z w = (xu yv) + ı(xv + yu), i onda S druge strane, imamo z w = (xu yv) ı(xv + yu). z w = (x ıy)(u ıv) = (xu ( y)( v)) + ı(x( v) + ( y)u). Tako (iii) slijedi. (iv) Najprije primijetimo da je w 1 ( 1 ) w = 1, a onda (iii) daje da je w = 1 = 1. Slijedi w ( 1 ) da je = 1. Sada, ponovo koristeći (iii), imamo w w ( z ) ( = z 1 ) ( 1 ) = z = z 1 w w w w = z w ; čime je (iv) pokazano. c BŠ 18

19 (v) Koristeći najprije identitet (3) u Napomeni 1.23, a zatim tvrdnju (iii), imamo z w = z w z w = z w z w z z w w = z 2 w 2 = z w. Posebno, ako stavimo z = w, onda gore dokazana jednakost daje z 2 = z 2. Indukcijom se odmah dobije i napisana jednakost za bilo koji k. Tvrdnje (i), (ii), (vi) i (vii) su evidentne. (Ukoliko ima potrebe, napišite detalje!) Napomena 1.24. Tvrdnja (v) gornjeg teorema može se dokazati i tako da najprije izmnožimo z w, a onda računamo apsolutnu vrijednost toga umnoška. Drugi put računamo z i w, a onda dobiveno izmnožimo. Još treba vidjeti da su rezultati ta dva posebna računa zapravo jednaki. (Napravite taj račun kao vježbu; ali i za usporedbu sa gore danim dokazom.) Sljedeća je jednostavna lema potrebna za važan teorem koji slijedi. teoremom primijetimo kako je on generalizacija tvrdnje (iii) Teorema 1.2. Lema. Za svaka dva kompleksna broja, z i w, vrijedi jednakost z w + z w = 2 Re(z w) = 2 Re(z w). U vezi s tim Dokaz. Po (i) i (iii) iz prethodnog teorema, zaključujemo da je z w + z w = z w + z w. Ali ako stavimo α := z w C, očito je Sada je lema dokazana. α + α = 2 Re(α) = 2 Re(α). Teorem 1.4. (Nejednakost trokuta) Za proizvoljne z, w C imamo nejednakost z + w z + w Dokaz. Računamo z + w 2 = (z + w) (z + w) = (z + w)(z + w) = z z + w z + z w + w w = z 2 + w z + z w + w 2 = z 2 + 2 Re(z w) + w 2 ; za posljednju smo jednakost koristili gornju lemu. Sada, kako za svaki γ C vrijedi nejednakost Re(γ) γ, posebno imamo 2 Re(z w) 2 z w = 2 z w = 2 z w. Odavde slijedi nejednakost z + w 2 z 2 + 2 z w + w 2 = ( z + w ) 2. Preostaje još samo u gornjoj nejednakosti uzeti drugi korijen. Tvrdnja sljedećeg zadatka generalizacija je tvrdnje (iv) Teorema 1.2. c BŠ 19

20 Zadatak 1.4. Dokažite da za proizvoljne z, w C imamo nejednakost z w z w. 1.4. Polarni oblik kompleksnog broja. U ovom pododjeljku cilj nam je uvesti tzv. polarni oblik kompleksnog broja. Pokazat ćemo kako je taj oblik zapisivanja kompleksnih brojeva pogodan za razna računanja. Osim toga, on će nam biti prijeko potreban kada, u idućem pododjeljku, budemo govorili o korijenovanju kompleksnih brojeva. Trigonometrijske funkcije Prvo ćemo napraviti malu digresiju, ili bolje rečeno repetitorij, o trigonometrijskim funkcijama. Jednostavan, ali ne baš rigorozan, način uvodenja trigonometrijskih funkcija je preko tzv. namatanja brojevnog pravca R na jediničnu kružnicu. Tako za svaki realan broj t, sa brojevnog pravca, dobivamo namotanu točku E(t) na jediničnoj kružnici; pritom tu točku E(t) shvaćamo kao točku u Kartezijevom koordinatnom sustavu R 2. (Nacrtajte sliku!) Definicija. Za broj t R definiramo kosinus cos t kao prvu koordinatu točke E(t). Isto tako definiramo sinus sin t kao drugu koordinatu točke E(t). Drugim riječima, E(t) = (cos t, sin t), t R Nadalje, za t definiramo i tangens tg t, te kotangens ctg t, na sljedeće načine: tg t := sin t cos t i ctg t := cos t sin t = 1 tg t Napomena. Gore uvedene trigonometrijske funkcije računaju odredene vrijednosti za realne brojeve t. U tom slučaju standardno se govori da je t zadan u radijanima. Podsjetimo kako se često te iste trigonometrijske funkcije računaju i za slučaj kada je argument dan u stupnjevima. Dobro je poznata veza izmedu radijana i stupnjeva: rad π = st 180. Ovdje je sa rad označena vrijednost argumenta t, kada se on mjeri u radijanima, a sa st njegova vrijednost mjerena u stupnjevima. Sada ćemo se podsjetiti na neke osnovne stvari o trigonometrijskim funkcijama sinus i kosinus. (Slični analogoni vrijede i za tangens i kotangens, ali to nama u ovom odjeljku neće trebati.) Najprije, imamo tzv. osnovnu relaciju koja povezuje sinus i kosinus. Ona glasi: sin 2 t + cos 2 t = 1, t R c BŠ 20

Ta se relacija trivijalno dokazuje preko Pitagorina poučka. Nadalje, sljedeće korisne informacije daju tzv. adicioni teoremi za sinus i kosinus. To su sljedeći identiteti: sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β, cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β; ovdje su α, β R proizvoljni. Ako posebno u gornje adicione teoreme stavimo α = β, onda dobivamo tzv. izraze za dvostruki kut: sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos 2 α sin 2 α = 2 cos 2 α 1. S druge strane, ukoliko stavimo 2α = ϕ, odmah iz izraza za dvostruki kut dobijemo tzv. izraze za polukut: sin 2 ϕ 2 = 1 (1 cos ϕ), 2 cos 2 ϕ 2 = 1 (1 + cos ϕ). 2 Sljedeća važna činjenica je tzv. periodičnost trigonometrijskih funkcija. Prvo, sinus i kosinus su periodičke funkcije s tzv. temeljnim periodom 2π. To znači da za svaki t R vrijedi: sin(t + 2π) = sin t, cos(t + 2π) = cos t. Drugo, tangens i kotangens su takoder periodičke funkcije, no njihov je temeljni period jednak π. Za ono što slijedi, dobro se podsjetiti i na neke posebne vrijednosti koje poprimaju sinus i kosinus. Imamo ovu tablicu: sin 0 = 0 cos 0 = 1 sin π/6 = 1/2 cos π/6 = 3/2 sin π/4 = 2/2 cos π/4 = 2/2 sin π/3 = 3/2 cos π/3 = 1/2 sin π/2 = 1 cos π/2 = 0. Zadatak 1.5. Koristeći gornju tablicu, i još neke stvari gore rečene, izračunajte vrijednosti sin t i cos t, kada je t dan u stupnjevima kao 15, 150 i 390. Polarni oblik Definirajmo sada jedan pomoćni pojam, koji je i sam za sebe vrlo koristan u Kompleksnoj analizi. (Nacrtajte sliku!) Definicija 1.25. Za 0 z C definiramo argument od z kao arg z := kut izmedu pozitivnog dijela Re-osi i dužine 0z 21 c BŠ 21

Sada, ako je dan neki 0 z = x + ıy, onda imamo ( x z = x + ıy = z z + ı y ). z ( x ) 2 ( y ) 2 Budući je + = 1, jasno je da postoji, i to jedinstven, broj ϕ [0, 2π) takav z z da je x z = cos ϕ i y = sin ϕ; z zapravo, jasno je da vrijedi ϕ = arg z. (Ovdje smo koristili osnovnu relaciju sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1.) Ako sada uzmemo u obzir sve gore navedeno, te stavimo r = z, onda dobivamo polarni prikaz broja z, 22 z = r(cos ϕ + ı sin ϕ), ϕ = arg z Primijetimo, da ako ϕ izaberemo u poluotvorenom intervalu [0, 2π), onda je polarni prikaz od z jedinstven! Pogledajmo sada kako se množe i dijele dva kompleksna broja, neki z 1 i z 2, kada su zapisani u polarnom obliku. U tu svrhu, neka je z j = r j (cos ϕ j + ı sin ϕ j ), j = 1, 2. Onda, koristeći definiciju množenja u C i adicione teoreme za sinus i kosinus, odmah dobijemo da je z 1 z 2 = r 1 r 2 ( cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + ı sin(ϕ 1 + ϕ 2 ) ). Dakle, možemo reći da je rezultat množenja z 1 z 2 jednak kompleksnom broju čiji je polarni oblik dan kao r(cos ϕ + ı sin ϕ), gdje je r = z 1 z 2 i ϕ = arg z 1 + arg z 2. Ili ovako: Pri množenju dva kompleksna broja, dana u polarnom obliku, njihove se apsolutne vrijednosti množe, a argumenti se zbrajaju. Sada ćemo pogledati kako dijeliti dva kompleksna broja, dana u polarnom obliku. Najprije primijetimo da za 0 z = r(cos ϕ + ı sin ϕ) imamo z 1 = 1 z = 1 (cos ϕ ı sin ϕ). r Odavde, za z 1 i z 2 dane kao prije, odmah vidimo da vrijedi pravilo z 1 = r 1 ( cos(ϕ1 ϕ 2 ) + ı sin(ϕ 1 ϕ 2 ) ). z 2 r 2 Dakle, možemo reći da je rezultat dijeljenja z 1 /z 2 jednak kompleksnom broju čiji je polarni oblik dan kao r(cos ϕ + ı sin ϕ), gdje je sada r = z 1 z 2 c BŠ 22 i ϕ = arg z 1 arg z 2.

Ili ovako: Pri dijeljenju dva kompleksna broja, dana u polarnom obliku, njihove se apsolutne vrijednosti dijele, a argumenti se oduzimaju. Pomoću gornjeg pravila za množenje kompleksnih brojeva, danih u polarnom obliku, odmah se dobije i pravilo za potenciranje kompleksnog broja. Naime, pretpostavimo da imamo z = r(cos ϕ + ı sin ϕ). Onda, ako u gonji izraz za umnožak z 1 z 2 stavimo z 1 = z 2 = z, dobijemo Nadalje, imamo z 2 = r(cos 2ϕ + ı sin 2ϕ). z 2 z = r 2 r (cos(2ϕ + ϕ) + ı sin(2ϕ + ϕ) = r 3 (cos 3ϕ + ı sin 3ϕ). Općenito, matematičkom indukcijom, slijedi da je 23 z n = r n (cos nϕ + ı sin nϕ), n Z To je poznata Moivreova formula. 1.5. Korijeni kompleksnog broja. U ovom pododjeljku bavimo se sljedećom zadaćom: Za zadani kompleksan broj z C želimo naći sve kompleksne brojeve w C takve da za unaprijed zadani n N imamo w n = z. Svaki takav w zove se n-ti korijen broja z; i onda pišemo w = n z. Kao pripremu za ono što slijedi pogledajmo dva jednostavna primjera. Primjer 1.26. (i) Uzmimo z = 1 i n = 2. Budući je 1 2 = ( 1) 2 = 1, slijedi kako su w 0 = 1 i w 1 = 1 drugi korijeni iz 1. Sasvim je trivijalno provjeriti kako, pored w 0 i w 1, ne postoji više niti jedan novi drugi korijen iz broja z = 1. (Zašto?!) (ii) Uzmimo sada z = 8 i n = 3. Kako je 2 3 = 8, slijedi da je w 0 = 2 treći korijen iz broja 8. Jasno, u skupu R nema više niti jednog trećeg korijena iz 8. Medutim, ako potražimo u C, onda postoje još dva nova treća korijena iz broja 8. Doista, odmah se provjeri da brojevi zadovoljavaju jednakosti w 1 = 2(cos 2π/3 + ı sin 2π/3) = 1 + ı 3, w 2 = 2(cos 4π/3 + ı sin 4π/3) = 1 ı 3 w 3 1 = w 3 2 = 8. I ovaj put lako je provjeriti da su w 0, w 1 i w 2 svi (medusobno različiti) treći korijeni iz broja 8. c BŠ 23

Sada ćemo gledati općenitu situaciju. Posebno, vidjet ćemo da gornji primjeri, izmedu ostalog, nisu bili slučajnost kada se gleda broj dobivenih n-tih korijena iz kompleksnog broja. Sasvim precizno rečeno, pokazat će se sljedeće: Kompleksnih n-tih korijena iz kompleksnog broja z 0 ima točno n. Neka je 0 z C dan u polarnom obliku z = r(cos ϕ + ı sin ϕ) = r(cos(ϕ + 2kπ) + ı sin(ϕ + 2kπ)), k Z; ovdje koristimo periodičnost funkcija sinus i kosinus. Isto tako, napišimo w = ρ(cos ψ + ı sin ψ), gdje je ρ 0 i ψ [0, 2π). Za takve z i w mora biti w n = z, tj. ρ n (cos(nψ) + ı sin(nψ)) = r(cos(ϕ + 2kπ) + ı sin(ϕ + 2kπ)); tu smo za računanje w n koristili Moivreovu formulu. Slijedi da je onda nužno ρ n = r, i istovremeno nψ = ϕ + 2kπ ψ = ϕ + 2kπ. n Kao zaključak dobivamo: Jednadžba w n = z, u skupu C, ima točno n medusobno različitih rješenja; tj., postoji točno n medusobno različitih kompleksnih n-tih korijena iz kompleksnog broja z 0. Sasvim precizno, imamo n ( z = n r cos ϕ + 2kπ n + ı sin ϕ + 2kπ ), k = 0, 1,..., n 1 n Dakle, za svaki izbor broja k dobivamo odgovarajući w k, dan kao gore, koji zadovoljava wk n = z. Jasno, u danom je izrazu n r jednak običnom n-tom korijenu iz pozitivnog realnog broja r (v. Teorem 3.2). Primjer 1.27. Za ilustraciju izračunajmo sve treće kompleksne korijene iz broja 1. Da bismo to napravili, prvo napišemo 1 = 1(cos π + ı sin π) = 1(cos(π + 2kπ) + ı sin(π + 2kπ)). Znači, sada je ϕ = π i r = 1. Po gore navedenom, imamo 3 ( 3 1 = 1 cos π + 2kπ + ı sin π + 2kπ ), k = 0, 1, 2. 3 3 Posebno, za k = 0 dobivamo Nadalje, za k = 1 dobivamo Konačno, za k = 2 dobivamo w 0 = cos π 3 + ı sin π 3 = 1 2 + ı 3 2. w 1 = cos π + ı sin π = 1. w 2 = cos 5π 3 + ı sin 5π 3 = c BŠ 24 24

Zadatak 1.6. Riješite jednadžbu w 4 = 1, te skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini. Što primjećujete? Načinite isto za brojeve w 0, w 1 i w 2 iz prethodnog primjera. Kakav je trokut, u kompleksnoj ravnini, kojemu su te tri točke vrhovi? Napomena 1.28. U vezi sa gore navedenim imamo sljedeću činjenicu: Rješenja jednadžbe w n = z, dana kao w 0, w 1,... w n 1, nalaze se na kružnici k(0; n z ). Pored toga, ti w i -ovi predstavljaju vrhove pravilnog n-terokuta. 25 1.6. Osnovni teorem algebre. U ovom pododjeljku iskazat ćemo, uz kratak komentar i ilustraciju, tzv. Osnovni teorem algebre. U tu svrhu, najprije se moramo podsjetiti pojma polinoma; preciznije, kompleksnih polinoma. Neka su a 0, a 1,..., a n C, te pretpostavimo da je a n 0. Preslikavanje P : C C, z P (z) := a 0 + a 1 z + + a n z n, zove se polinom n-tog stupnja, sa kompleksnim koeficijentima. Isto tako, imajući neki takav polinom P, kažemo da je jednadžba P (z) = 0 polinomna jednadžba n-tog stupnja. Jedan od prvih algebarskih problema, koji je zanimao mnoge matematičare kroz nekoliko stoljeća, bio je problem rješavanja polinomnih jednadžbi. (Istini za volju, mora se reći da se u početku radilo o nalaženju realnih rješenja za polinomne jednadžbe sa realnim koeficijentima. No, nakon toga, promatrala se i općenitija, kompleksna, situacija.) Pritom, riješiti danu polinomnu jednadžbu znači naći sve kompleksne brojeve z za koje je ispunjen identitet P (z) = 0. Svaki takav z zove se rješenje polinomne jednadžbe, ili nultočka polinoma. Kao motivaciju i ilustraciju, promatrajmo najprije jedan jednostavan, i zapravo dobro poznat, slučaj. To je slučaj n = 2; tj., slučaj kvadratne jednadžbe, sa kompleksnim koeficijentima. Za to, neka su dani kompleksni brojevi a, b i c, te uzmimo još da je a 0. Onda promatrajmo kvadratnu jednadžbu az 2 + bz + c = 0. Nas tu zanima naći sve kompleksne brojeve z koji identički zadovoljavaju gornju jednakost. Da bismo to napravili, napišimo gornju jednakost kao a (z 2 + b a z + b2 4a 2 + c a b2 ) 4a 2 = 0. Posljednja je jednakost dalje ekvivalentna sa ( z + b ) 2 b 2 4ac = 2a 4a 2. Sada, ukoliko stavimo w := z + b 2a, c BŠ 25

te nademo one w C koji zadovoljavaju w 2 = b2 4ac 4a 2, onda su sva tražena rješenja polazne kvadratne jednadžbe dana kao z = b 2a + w. Bitno je primijetiti kako mi sada postavljenu zadaću doista znamo riješiti. Naime, za nalaženje svih brojeva w, mi moramo zapravo naći sve druge korijene iz kompleksnog broja b2 4ac 4a 2. (Jasno, takvih w-ova ima ili dva ili samo jedan. Zašto?!) A to je tek specijalan slučaj onoga čime smo se bavili u prethodnom pododjeljku. Primjer 1.29. (i) Kvadratna jednadžba z 2 + 1 = 0 ima dva medusobno različita rješenja u skupu C; to su z 1,2 = ±ı. Primijetimo kako dana jednadžba nema niti jedno realno rješenje. (ii) Promatrajmo sada kvadratnu jednadžbu ız 2 + z + 2ı = 0. Ako primijetimo da je b 2 4ac 4a 2 = 9 4, lako se vidi da su onda z 1 = 2ı i z 2 = ı sva rješenja dane kvadratne jednadžbe. Vezano uz teorem koji slijedi, korisno je primijetiti i ovaj identitet: (iii) Kvadratna jednadžba ız 2 + z + 2ı = (ız 1)(z 2ı). z 2 + (3ı 1)z 2ı 2 = 0 ima ponovo dva, medusobno različita, rješenja. Lako se izračuna kako su ta dva rješenja dana kao z 1 = 1 ı i z 2 = 2ı. Sada navodimo, bez dokaza, ovaj fundamentalan teorem. Ovdje je važno primijetiti kako je to rezultat koji je egzistencijalne naravi. Preciznije, on govori samo o postojanju, i broju, rješenja dane polinomne jednadžbe. O samoj naravi rješenja, te o njihovom nalaženju, teorem ne kaže ništa. (Iako je općenit problem efektivnog nalaženja rješenja za konkretne polinomne jednadžbe od velikog interesa.) Teorem 1.5. (Osnovni teorem algebre) Svaka polinomna jednadžba P (z) := a n z n + + a 1 z + a 0 = 0, gdje su a i C i a n 0, ima barem jedno rješenje u C. Štoviše, postoje medusobno različiti brojevi z 1,..., z p C, te k 1,..., k p N, takvi da se polinom P (z) može prikazati u obliku pri čemu je k 1 + + k p = n. P (z) = a n (z z 1 ) k1 (z z p ) k p ; 26 Napomena 1.30. Brojevi z 1,... z p su rješenja dane polinomne jednadžbe, a brojevi k 1,..., k p su tzv. kratnosti, ili višestrukosti, rješenja. Tako govorimo da je k i kratnost rješenja z i, ili da je z i rješenje kratnosti k i. c BŠ 26

Imajući na umu gornju Napomenu, Osnovni teorem algebre možemo iskazati i u ovom obliku: Teorem 1.5. (Osnovni teorem algebre) Svaka polinomna jednadžba P (z) = 0, n-tog stupnja, ima u skupu kompleksnih brojeva C točno n rješenja; ukoliko se svako rješenje broji onoliko puta kolika mu je kratnost. 27 Primjer 1.31. Neka je dan polinom P (z) := z 7 (3 + 5ı)z 6 (8 + 12ı)z 5 (12 4ı)z 4. Lako se provjeri da polinomna jednadžba P (z) = 0 ima rješenja z 1 = 0, z 2 = 2ı i z 3 = 3 + ı; sa odgovarajućim kratnostima k 1 = 4, k 2 = 2 i k 3 = 1. Drugim riječima, dani se polinom P (z) može zapisati kao P (z) = z 4 (z 2ı) 2 (z + 3 ı). c BŠ 27

2. Osnove analitičke geometrije u ravnini; Pravac 28 Namjera je ovog kratkog odjeljka podsjetiti se na neke osnovne činjenice iz analitičke geometrije u ravnini. Sasvim precizno, glavni nam je cilj ponoviti osnove o pravcu. Ako su dani proizvoljni neprazni skupovi A i B, onda definiramo njihov Kartezijev produkt kao novi skup A B := {(a, b) a A, b B} Elementi (a, b), toga novog skupa, zovu se uredeni parovi. Pritom kad kažemo ureden par (a, b), mislimo da je element a na prvom mjestu toga para, dok je element b na drugom mjestu para. Posebno, ako uzmemo A = B = R, onda za Kartezijev produkt A B = R R = R 2 dobivamo dobro poznatu Kartezijevu 4 ravninu; ili Kartezijev koordinatni sustav u ravnini. Njegovi su elementi uredeni parovi realnih brojeva (x, y), za koje sada govorimo da su točke u ravnini. Prva korisna stvar kada imamo takav Kartezijev sustav je to da onda lako možemo mjeriti udaljenost točaka u njemu. Sasvim precizno, ako su dane neke dvije točke P 1 = (x 1, y 1 ) i P 2 = (x 2, y 2 ), onda je njihova udaljenost dana kao d(p 1, P 2 ) := (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 (Gornja je mjera za udaljenost točaka P 1 i P 2 doista onakva kako to i treba biti; tj., u skladu sa praktičnim i stvarnim situacijama. Malo slobodnije rečeno, da je tome tako odmah slijedi iz dobro poznatog Pitagorinog poučka.) Pravac Pojam pravca intuitivno je sasvim jasan. Ako govorimo o pravcu kao objektu smještenom u Kartezijev sustav, onda je dobro poznato da je sa Ax + By + C = 0 dana tzv. opća jednadžba pravca. Pritom su brojevi A, B, C R, te je još ili A 0 ili B 0. Nadalje, ukoliko je npr. B 0, onda dijeljenjem gornje jednadžbe sa B dobivamo y = A B y C B. Uvodenjem novih brojeva k := A/B i l := C/B, posljednja se jednakost može zapisati kao y = kx + l To je dobro poznat eksplicitan oblik jednadžbe pravca. 4 R. Descartes (1596 1650), franc. filozof i matematičar c BŠ 28