I. NEODREðENI INTEGRALI

I. NEODREðENI INTEGRALI Uvod s povijesnim osvrom Deriviranje, kao posupak, eče uglavnom lako. Uz pomoć nekoliko pravilaformula mogu se derivirai sve elemenarne funkcije. Anideriviranje, posupak suproan deriviranju, je meñuim vrlo eško. Samo se jedan manji dio elemenarnih funkcija može aniderivirai. Neodreñeni inegral neke funkcije je skup svih aniderivacija e funkcije. Pojmu neodreñenog inegrala predhodi pojam inegrala. Taj je pojam proizašao iz jedne značajne formule koja povezuje inegral i aniderivaciju. Zbog sklada u nazivlju pojmu inegrala je pridodan pridjev, odreñeni. Definicija neodreñenog inegrala je znano jednosavnija od definicije odreñenog inegrala. Zao se u nasavi maemaike prvo proučavaju neodreñeni, a poom odreñeni inegrali. Jedne i druge zajedno najčešće krako zovemo inegralima. Spomenua značajna formula, Leibniz-Newonova formula, ima velike mogućnosi primjene kada se savlada posupak anideriviranja. Ovdje, u prvoj glavi udžbenika, je predočen aj posupak anideriviranja, uobličen u pojam neodreñenog inegrala.

I. Neodređeni inegrali Lekcije. Aniderivacije. Neodreñeni inegral. Meode inegracije. Inegriranje racionalnih funkcija 5. Inegriranje funkcija s korijenom 6. Inegriranje rigonomerijskih funkcija

. Aniderivacije. Aniderivacije Definicija. Funkcija F( ) je aniderivacija ili prim funkcija funkcije f ( ) na području D, ako za svaki iz D vrijedi F = f. U primjerima šo slijede uglavnom se izosavlja odreñivanje područja D. Pažnja se usmjerava na raženje same aniderivacije F( ). Primjer. Provjeri je li funkcija = 8 sin. f Rješenje. Treba provjerii je li F = f : F = + cos + aniderivacija funkcije 8 sin F = = f Funkcija F( ) jes aniderivacija funkcije f ( ). Primjer. Provjeri je li funkcija f = + e. Rješenje. Provjera je li F = f : F = e aniderivacija funkcije ( ) F = e + e = + e f

I. Neodređeni inegrali Funkcija F( ) nije aniderivacija funkcije f ( ). Primjer. Pronañi ri aniderivacije funkcije f =. Rješenje. F =, F = +, F = Primjer. Za funkciju f = + cos pronañi dvije aniderivacije F i F( ) e odredi najšire područje D na kojem vrijedi F F f Rješenje. Funkcije sin, F = + F = + sin + π = =. su aniderivacije na cijelom realnom području, j. D=R. Primjer 5. Odredi jednu aniderivaciju F( ) funkcije područje D na kojem vrijedi F = f. f = i najšire Rješenje. Funkcija F = + = + je aniderivacija na skupu nenegaivnih realnih brojeva, j. D= 0, +.

. Aniderivacije 5 Primjer 6. Odredi aniderivaciju funkcije f = na području \{ 0} 5 D=R. Rješenje. Funkcija funkcija 5ln G = je aniderivacija na području D = 0, +, a G = 5ln F je aniderivacija na području D= R \ 0 =,0 0, +. Primjeri daju nasluii da je razlika dviju aniderivacija funkcije f( ) samo broj, j. konsana. Pokažimo da je o isina. Neka su F ( ) i F( ) aniderivacije funkcije f ( ), odnosno neka je F = f i F = f. Tada slijedi: F F = f f = 0 F F = 0 F F = c Prema ome, odredimo li jednu aniderivaciju F( ) funkcije f( ), ada su dodavanjem realnih brojeva aniderivaciji F( ) odreñene sve osale aniderivacije funkcije f( ). Skup svih aniderivacija funkcije f( ), { F c : c } + R, se obično zapisuje kraće bez viičasih zagrada i s velikim C : F + C. Evo kako o skraćeno zapisivanje svih anidervacija izgleda u jednom primjeru.

6 I. Neodređeni inegrali Primjer 7. Odredi sve aniderivacije funkcije f =. Rješenje. Jedna aniderivacija je funkcija, a sve aniderivacije predočava krako zapisan skup funkcija + C. Primjer 8. Pronañi aniderivaciju F( ) funkcije sin F ( 0) =. Rješenje. Sve aniderivacije funkcije f ( ) su odreñene izrazom f = e za koju je Tražimo onu koja za = 0 iznosi : e e + cos + C. 0 + cos0+ C= C= F = e + cos + + e Primjer 9. Pronañi onu aniderivaciju F( ) funkcije f = zadovoljava uvje F( e ) =. koja Rješenje. Sve aniderivacije funkcije f ( ) su predočene izrazom ln + e + C.

. Aniderivacije 7 Mi ražimo onu koja za = e iznosi : ln e + e + C= C= e = + = ln ln ln F = ln + e ln = ln + e Napomena. Na žalos, aniderivacije mnogih funkcija ne mogu se izrazii pomoću elemenarnih funkcija. Tako npr. nisu elemenarne aniderivacije funkcija cos e f = sin ( ), f =, f =,.... Iako je anideriviranje znano eži posupak od deriviranja, ri osnovna pravila su F aniderivacija isa. Ta smo pravila već korisili u primjerima. Ako je od f ( ) i ako je G( ) aniderivacija od g( ), onda je: + + cf cf () F G aniderivacija od f g () F G aniderivacija od f g () aniderivacija od Završimo lekciju važnom činjenicom koja isiče da neprekinua funkcija ima aniderivaciju. Teorem o aniderivaciji. Ako je I R ovoreni inerval i ako je f : I R neprekinua funkcija, onda posoji derivabilna funkcija F( ) za koju vrijedi F = f za svaki I. Isi eorem vrijedi i za neprekinuu funkciju f :[, ] a b R zao šo se ona može proširii do neprekinue funkcije f ɶ : I R gdje je I neki ovoreni inerval koji sadrži [ a, b ].

8 I. Neodređeni inegrali. Neodreñeni inegral.. Definicija neodreñenog inegrala Definicija. Neodreñeni inegral funkcije f njenih aniderivacija na om području, a bilježi se oznakom f d. na nekom području je skup svih Ova neobična oznaka poječe od oznake za odreñeni inegral i jedne jako važne formule koja povezuje odreñeni inegral s aniderivacijom. U oj oznaki funkciju f nazivamo podinegralnom funkcijom ili inegrandom. Umjeso podpunog naziva neodreñeni inegral služimo se i skraćenim nazivom inegral. Ako se područje neodreñenog inegrala ne isiče posebno, podrazumijeva se ono najšire. Primjer 0. Pronañi neodreñeni inegral funkcije f =. Rješenje. Treba pronaći jednu aniderivaciju F( ) i njoj dodai konsane C : Primjer. Odredi Rješenje. Za neodreñeni inegral F =, d C = + d i njegovo najšire područje. d= d= + C= + C najšire je područje 0, D= +, j. skup nenegaivnih realnih brojeva.

.Neodređeni inegral 9 Računska svojsva.. Računska pravila neodreñenog inegrala neodreñenog inegrala proizlaze iz računskih svojsava f d g d. Tada vrijede aniderivacije. Predposavimo da posoje i pravila: () () () + = + cf d= c f d f g d f g d = f g d f g d Primjer. Pomoću računskih pravila odredi: Rješenje. ( + ) ( ) () d () cos sin d () 7e d () ( + ) d= d+ d= + C + + C = + + C, C= C + C ( ) d d d C ( C ) e d= e d= ( e + C) = e + C C= 7C () cos sin = cos sin = sin + cos + = = sin + cos + C, C= C C () 7 7 7 7, Primjer. Odredi Rješenje. d. d= 6 + 9 d= d 6 d+ 9 d= 5 9 5 9 = 6 + + C= + + C 5 5

0 I. Neodređeni inegrali.. Tablica osnovnih inegrala Za šo lakše i brže inegriranje porebna je neka ablica osnovnih inegrala. Takva ablica obično nasaje iz dijela ablice osnovnih derivacija uz još nekoliko pridodanih formula. Valjanos abličnih inegrala se može provjerii deriviranjem: derivacija izraza na desnoj srani reba bii jednaka podinegralnom izrazu na lijevoj srani. Primjer. Deriviranjem provjeri valjanos formule d= arcan + C, a 0. + a a a Rješenje. Izraz arcan a a ćemo derivirai kao umnožak konsane a i složene funkcije arcan a : arcan + C = = a a a a + a + a Primjer 5. Provjeri valjanos formule d= + + a + C a + a ln, 0. Rješenje. Prvo ponovimo da se derivacija funkcije f = za 0 može zapisai kao f =. Primijeimo da je za a 0 izraz + + a 0 za svaki za koji je + a 0. Slijedi deriviranje desne srane kao višesruko složene funkcije:

. Neodređeni inegral 0 0d= 0+ C 0 d = + C 0 0 05 Tablica osnovnih inegrala a+ a d= + C, a a+ d= ln + C e d= e + C a 06 a d= + C, a> 0, a ln a 07 sin d= cos + C 08 cos d= sin + C sin 09 cos 0 d= co + C d= an + C d= arcan + C, a 0 + a a a a d= ln + C, a 0 a a + a d= + + a + C a + a a ln, 0 d= arcsin + C, a 0 a 5 6 + ad= + a+ a ln + + a + C, a 0 = + arcsin +, 0 a a d a a C a

I. Neodređeni inegrali ( a C) + + a ln + + + = + = + + a + + a + a + a+ = = + + + + a a a Primjer 6. Služeći se ablicom odredi: d d d 0 () () () 5 Rješenje. () () + 7 d= d= + C= + C= + C 7 7 + 7 5 5 + 5 d= d= + C= + C= + C 5 + 0 + 0 d d = = d = + C () ln Primjer 7. Uz pomoć ablice izračunaj: Rješenje. ( + ) () d () e d () d ( + e) ( + e) () d= + C () ( e) d C ln + = + ln

. Neodređeni inegral 8 () d= 8 d= + C= + C ln8 ln Primjer 8. Prilagodbom inegranda ablici, odredi: () d () d + 5 5 Rješenje. () d d arcan C + = 5 = + + 5 5 ( 5) d= d= + + C 5 + 5 () ln 5.. Inegriranje pomoću ablice i osnovnih pravila Primjer 9. Prilagodbom inegranda ablici, pomoću izlučivanja, izračunaj: () d () d Rješenje. () d= d= d= + = ln + C= ln + C +

I. Neodređeni inegrali () d= d= d= = ln + + K = ln + + C C= K ln Primjer 0. Rasavljanjem inegranda na zbroj ili razliku, primjenom osnovnih pravila i uporebom abličnih inegrala, izračunaj: Rješenje. ( ) ( ) ( + )( ) () d () d 6 () d () () d= + 9 d= d d+ 9 d= = 6 + 9 + C () d= + d= d d+ d d= = + + C 6 6 () d= d d d d = = = = ln + C + + + () d= d= + d= = d+ d d d= + ln + C d

. Neodređeni inegral 5 Primjer. Služeći se osnovnim pravilima i ablicom, uz predhodno sreñivanje inegranda, odredi: Rješenje. + () d () + 6 ( ) + () d () 5 ( + ) + d d d = = = + C () + + 6 ( )( + ) () d= d= ( + ) d= = d+ d= + + C () () + + d d + + = d d = = 6 6 = + + d= d+ d+ d= 7 5 6 6 6 6 6 7 6 5 = + + + C= + + + C 7 5 7 5 5 0 5 5 d= d= d= 5 0 5 5 0 5 = + d= d d+ d= 5 0 5 5 0 = + + = ( + 8) + 8 8 5 0 5 C 5 0 C d d

6 I. Neodređeni inegrali Primjer. Uz pomoć osnovnih pravila i ablice, odredi: sin d () () an sin d Rješenje. e + () () e d ( + ) d sin () + d= sin d sin d d sin = = sin sin = cos + co + C d= d= d= d= cos cos cos sin cos () an = d d= an + C cos () e + d= e + e d= e + d= e d+ d= e e e e = e + + C= e e + C ln e () + d= + + d= + + d= + + = d+ d+ d= + + + C= + + C ln ln ln

.Meode inegracije 7. Meode inegracije Korise se dvije općenie meode inegracije: meoda inegracije zamjenom (supsiucijom) i meoda djelomične (parcijalne) inegracije. Prva se meoda odprilike odnosi na inegraciju složene funkcije, a druga odprilike na inegraciju umnožka funkcija. Porebno je isaknui da ove meode dovode do rješenja samo u nekim slučajevima, za razliku od formula za derivaciju složene funkcije i derivaciju umnožka funkcija koje su uvijek dovodile do rješenja. Pri odreñivanju ( ) zamjenom g = :.. Meoda inegracije zamjenom f g d ponekad pomaže uvoñenje nove promjenljive ( ) g = = = d= ( g ) ( ) d f g d g f g d Nasala je formula za inegraciju zamjenom u kojoj je inegrand na lijevoj srani izražen u složenom obliku. Predposavlja se da funkcija g ima derivabilnu inverznu funkciju Odreñivanje inegrala f g( ) = : g bar na nekom malom inervalu. d u nekim slučajevima omogućava zamjena = g f d = f ( g( ) ) g ( ) d d= g d Proizašla je formula za inegraciju zamjenom u kojoj je inegrand na lijevoj srani izražen u jednosavnom obliku. Za ovaj oblik formule se predposavlja da

8 I. Neodređeni inegrali je funkcija g derivabilna bar na nekom malom inervalu. Primjer. Pogodnom zamjenom cos( ) ga riješi. Rješenje. d svedi na ablični, a zaim = cos( ) d = + = ( cos) d= cos d= sin + C= d= d = sin ( ) + C Primjer. Pogodnom zamjenom Rješenje. d svedi na ablični i riješi ga. = d= + = d = d= d= d Primjer 5. Odredi = + = ( ) + 8 d. + C C

.Meode inegracije 9 Rješenje. + = d + ln ln ln = d= + C = + + C = + C = + d= d = ln + ln + C = ln + + C, C= C ln Primjer 6. Odredi d. Rješenje. = = = = = d= d d d d d d = d= + C= + C 6 Primjer 7. Izvedi abličnu formulu za a d, a 0. Rješenje. = a d = ad= d ad a = a a = d= arcsin + C= arcsin + C a

0 I. Neodređeni inegrali Primjer 8. Odredi ln d. Rješenje. ln = d= d = d= ln + C= ln ln + C ln ln d= d Primjer 9. Odredi log d. Rješenje. log = log ln0 d d= d = ( ln0) d= ( ln0) + C= log + C ln0 d= ( ln0) d Primjer 0. Riješi d. Rješenje. = + d= d = + = d= + d= d= d = d+ d C C C = + + = + + = + +

.Meode inegracije.. Meoda djelomične inegracije Pojednosavljivanje i izračunavanje nekih neodreñenih inegrala omogućava formula za djelomičnu inegraciju: = f g d f g g f d Isa se formula može zapisai u kraćem i pamljivijem obliku uz skraćenice u f v g du f d dv= g d, e: = i = iz kojih slijedi = i udv= uv vdu Primjenjuje se upravo ovaj skraćeni oblik formule za djelomičnu inegraciju. Uporeba formule (s lijeva u desno) je moguća samo ako možemo odredii funkciju v, a korisna ek onda kada je inegral na desnoj srani jednosavniji od inegrala na lijevoj srani. Pri odreñivanju funkcije v = dv nije porebno dodavai konsanu, dovoljno je isu dodai završnom rješenju. Formula za djelomičnu inegraciju se lako izvodi u ri koraka. Prvo se derivira umnožak f g( ), poom se obje srane inegriraju, e se na kraju jedan inegral izrazi na lijevoj srani: f g( ) = f g + f g /... d + = + f g C f g d f g d = f g d f g g f d Primjer. Pogodnim izborom funkcije u i diferencijala dv pronañi neodreñeni inegral logariamske funkcije, log a d.

I. Neodređeni inegrali Rješenje. u= log a, dv= d log a d = ( loga ) d= du= d, v= d= ln a ln a = loga d= loga + C ln a ln a Primjer. Riješi sin d. Rješenje. Prvi izbor: u= sin, dv= d sin d sin cos d = du= cos d, v= d= Izbor ne vodi rješenju jer je ćemo novim izborom. cos d eži od polaznog sin d. Pokuša Drugi izbor: u=, dv= sin d sin d = cos + cos d= du= d, v= sin d= cos = cos + sin + C Primjer. Dvosrukom primjenom formule za djelomičnu inegraciju riješi e d. Rješenje. Počeno rješenje: u=, dv= e d e d = e e d du= d, v= e

.Meode inegracije Meñurješenje za inegral na desnoj srani: u=, dv= e d e d = e e d= e e du= d, v= e Završno rješenje: e d= e e e + C= + e + C Primjer. Nakon dvosruke primjene formule za djelomičnu inegraciju na e cos d pojavljuje se jednadžba iz koje se aj inegral može izrazii. Odredi jednadžbu pa iz nje izrazi inegral. Rješenje. Prva primjena formule na zadani inegral: u= e, dv= cos d e cos d = e sin e sin d du= e d, v= sin Druga primjena formule na inegral na desnoj srani: u= e, dv= sin d e sin d = e cos + e cos d du= e d, v= cos Inegralna jednadžba i završno rješenje: e cos d= e sin e cos + e cos d e cos d= e ( sin + cos ) + C Primjedba. Predhodni primjer se može riješii na isi način i uz obrnui odabir u= cos i dv = e d.

I. Neodređeni inegrali.. Inegriranje pomoću obje meode Ispreplianje obiju meoda inegracije povećava uspješnos u pronalaženju neodreñenih inegrala. Primjer 5. Primjenom obiju meoda odredi ln d. + Rješenje. Djelomična inegracija: u= ln, dv= d + ln d = ln d + + du= d, v= Zamjena: = d = = d = ln = ln d= d Završno rješenje: ln d= ln ln( ) + C + + d. Primjer 6. Pomoću obje meode odredi arcsin( ) Rješenje. Zamjena: = arcsin( ) d = arcsin d d= d

.Inegriranje racionalnih funkcija 5 Djelomična inegracija: u= arcsin, dv= d arcsin d = arcsin d du= d, v= Zamjena: = s d = s = d= ds Završno rješenje: arcsin d= arcsin + + C= = arcsin + + C. Inegriranje racionalnih funkcija.. Rasav racionalne funkcije Ponovimo krako nazive koji su vezani uz racionalnu funkciju. Cijela racionalna funkcija je polinom. Prava racionalna funkcija ima supanj polinoma u brojniku manji od supnja polinoma u nazivniku. Djelomični ili parcijalni razlomci su najjednosavnije prave racionalne funkcije. Ponovimo još pravila koja govore o rasavu racionalne funkcije. Racionalna funkcija, koja nije ni cijela ni prava, se može dijeljenjem brojnika nazivnikom

6 I. Neodređeni inegrali rasavii na zbroj polinoma i prave racionalne funkcije. Prava racionalna funkcija, koja nije djelomični razlomak, se može meodom neodreñenih koeficijenaa rasavii na zbroj djelomičnih razlomaka. Želimo li inegrirai racionalnu funkciju, prvo ju moramo maksimalno rasavii na pribrojnike, a zaim inegrirai svaki pribrojnik. Evo kako o izgleda u jednom primjeru. Primjer 7. Odredi 5 d. + Rješenje. Rasav inegranda na zbroj polinoma i prave racionalne funkcije pomoću dijeljenja brojnika nazivnikom: ± d j e l j e n i k d j e l i e lj k o l i č n i k ± d j e l j e n i k o s a a k 5 : + = 5 + 5 r a s a v 5 + 5 = + + + Nakon fakorizacije nazivnika, ( ) + = +, pravu racionalnu funkciju + 5 rasavljamo na zbroj djelomičnih razlomaka pomoću meode + neodreñenih koeficijenaa: 5 + A B+ C = + / + + ( + )

.Inegriranje racionalnih funkcija 7 + 5= + + + A B C A B C A + 5= + + + ( + ) A + B = C = A = 5 A= 5, B=, C= + 5 5 + 5 = + = + + + + + Inegriranje svih pribrojnika u rasavu: 5 5 = + + + + + + d =, d =, d = ln, d = arcan Zbrajanje izračunaih inegrala: + = d = d = ln = ln + + d= d 5 d= d d 5 d+ d+ d= + + + = 5ln + ln + + arcan + C Zbog važnosi inegrala racionalne funkcije u sljedeće ri podlekcije ćemo posupno inegrirai djelomične razlomke, prave racionalne funkcije, i na kraju, bilo koje racionalne funkcije.

8 I. Neodređeni inegrali.. Inegriranje djelomičnih razlomaka Dvije su vrse djelomičnih razlomaka. Prva se vrsa obično izražava oblikom A ( a+ b) n u kojem su koeficijeni a, b i A realni brojevi uz uvje a 0, a eksponen n prirodan broj. Druga se vrsa izražava oblikom A+ B ( a + b+ c) n u kojem su koeficijeni a, b, c, A i B realni brojevi uz uvje eksponen n prirodan broj. b ac< 0, a Inegriranje djelomičnih razlomaka prve vrse je lagano: ako je porebno,uvede se zamjena a b + =. Evo dva primjera. Primjer 8. Odredi d. 6 Rješenje. 5 6 6 5 d d C C = = 5 + = 5 + Primjer 9. Odredi 5 d. ( ) Rješenje. = 5 5 5 5 d = d= + C= + C ( ) d= d ( )

.Inegriranje racionalnih funkcija 9 Inegriranje djelomičnih razlomaka druge vrse ovisi o eksponenu n : za n> reba korisii rekurzivnu formulu i šo je n veći inegriranje raje dulje. Prvo dva primjera u kojima je n=. 7 Primjer 0. Odredi d. + 9 Rješenje. Rasav na dva inegrala: 7 7 d= 7 d= d d + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 Inegriranje pribrojnika: Završno rješenje: + 9= d = d= ln + 9 + 9 d= d d= arcan + 9 7 7 d= ln ( + 9) arcan + C + 9 Primjer. Riješi d. + + 5 Rješenje. Upodpunjavanje nazivnika podinegralne funkcije do zbroja kvadraa: + + 5= + + 5= + + Zamjena i rasav na dva inegrala: + = d = d= d d = + + + ( + ) + d d

0 I. Neodređeni inegrali Inegriranje pribrojnika: Završno rješenje: + = s d = ds= ln s= ln + + d= ds s d= arcan + + d= ln( + + 5) arcan + C + + 5 Poopćenje inegrala I= d= arcan je inegral + a a a I = d za n. n ( + a ) Za aj inegral vrijedi rekurzivna formula n In = + ( n ) I n za n n a n ( + a ) koja se može izvesi na ovaj način: I u=, dv= d n ( + a ) = d = ( + a ) ( n ) du= d, v= n ( + a ) n n = + ( n ) + a + a n n d

.Inegriranje racionalnih funkcija + a a + a d= d= d a d= ( + a ) ( + a ) ( + a ) ( + a ) n n n n = d a d= I a I ( n + a ) ( + a ) ( + a ) n n n I = + n I a I ( ) n n n n ( + a ) a n In = + n I n n I n In = + n I n a n ( + a ) ( ) n U sljedećem primjeru ćemo pokazai kako se korisi rekurzivna formula (la. rekurzia = hrv. vraćanje unarag). U odreñivanju inegrala I sudjeluju svi predhodnici: I, I,..., I, I. n n n Primjer. Pomoću rekurzivne formule odredi I = d. ( + a ) Rješenje. U rekurzivnu formulu uvrsimo n= : I = + I a ( + a ) U rekurzivnu formulu uvrsimo n= : I = + I = + arcan a + a a + a a a

I. Neodređeni inegrali U izraz za I uvrsimo izračunai I : I = + + arcan a ( + a ) a + a a a Primjer. Odredi + d. ( + ) Rješenje. Rasav na dva inegrala: + d d d = + ( + ) ( + ) ( + ) Primjena meode zamjene na prvi inegral: + = d = d= = ( + ) d= d ( + ) Primjena formule za I iz predhodnog primjera na drugi inegral: Završno rješenje: ( + ) d= I a= = + arcan + d= + arcan C + + = + + ( + ) ( ) = + arcan + C ( + )

.Inegriranje racionalnih funkcija.. Inegriranje pravih racionalnih funkcija Inegriranje prave racionalne funkcije koja nije djelomični razlomak se odvija u čeiri koraka: rasav nazivnika funkcije na umnožak polinoma prvog supnja i nerasavljivih polinoma drugog supnja rasav funkcije na zbroj djelomičnih razlomaka pomoću meode neodreñenih koeficijenaa inegriranje djelomičnih razlomaka zbrajanje izračunaih inegrala djelomičnih razlomaka 9 Primjer. Odredi d. + 5 Rješenje. Rasav nazivnika inegranda: + 5= = + 5 Rasav inegranda na djelomične razlomke: 9 A B = + / + 5 + 5 + 5 9= A + 5 + B 9= A + 5 + B A + B= 5 A B= 9 9 A=, B= 8 8 ( )( )

I. Neodređeni inegrali 9 9 = 8 + 8 + 5 + 5 Inegriranje djelomičnih razlomaka: Zbrajanje izračunaih inegrala: = d = d= ln = ln d= d + 5= d = d= ln = ln + 5 + 5 d= d 9 9 9 d= d+ d= ln + ln + 5 + C + 5 8 8 + 5 8 8 Primjer 5. Izvedi formulu za d, a 0 (ablični inegral). a Rješenje. Rasav nazivnika inegranda: = + a a a Rasav inegranda na djelomične razlomke: A B = + / + a + a a + a = A( + a) + B( a) 0+ = A+ B + aa ab aa A + B = ab = 0 A=, B= a a ( a)( a)

.Inegriranje racionalnih funkcija 5 = a + a a a + a Inegriranje djelomičnih razlomaka: a= d = d= ln = ln a a d= d + a= d = d= ln = ln + a + a d= d Zbrajanje izračunaih inegrala: a d= ln a ln + a + C= ln + C a a a + a Primjer 6. Odredi 9 + 6 d. ( ) ( ) Rješenje. Nazivnik je već rasavljen. Zao slijedi rasav inegranda na djelomične razlomke: 9 + 6 A B C d= + + / ( ) ( ) ( ) + = + + 9 6 A B C 9 + 6 + 0= + + + 7 + + B C A B C A B C B + C= 9 A+ 7B C= 6 A B + C= 0 A=, B= 0, C= 9 9 6 9 + ( ) ( ) ( ) =

6 I. Neodređeni inegrali Inegriranje djelomičnih razlomaka: = d = d= = d= d ( ) = d = d= ln = ln d= d Zbrajanje izračunaih inegrala: + 9 6 9 ln ( ) ( ) d= + + C Primjer 7. Odredi + + d. + Rješenje. Rasav nazivnika inegranda: + = + Rasav inegranda na djelomične razlomke: + + A B C D = + + + + + + ( ) / + + = A + + B + + C + + D + + = + + + + + + C D B C A B A C + D = 0 B + C = A + B = A = A=, B= 0, C=, D= + + = + + +

.Inegriranje racionalnih funkcija 7 Inegriranje djelomičnih razlomaka: d=, d= ln, d= ln + + Zbrajanje izračunaih inegrala: + + d= + + + C= + + C + + ln ln ln Primjer 8. Odredi 7 + 5 + d. Rješenje. Rasav nazivnika inegranda: + = + = + Rasav inegranda na djelomične razlomke: 7 5 + A B+ C = + / + + ( )( + ) ( )( ) 7 + 5= + + + A B C + = A+ B + B+ C + A C 7 5 A + B = 7 B + C= A C = 5 A= 5, B=, C= 0 7 + 5 5 = + + ( )( + ) Inegriranje djelomičnih razlomaka: 5 = d = 5 d= 5ln = 5ln d= d

8 I. Neodređeni inegrali Zbrajanje izračunaih inegrala: + = d = d = ln = ln + + d= d 7 5 + + d= 5ln + ln( + ) + C Primjer 9. Odredi + d. + 6 Rješenje. Rasav nazivnika inegranda: 6 + = 6 + Rasav inegranda na djelomične razlomke: + A B+ C ( 6+ ) ( ) = + / 6 + 6 + + = A 6+ + B+ C + + = A+ B + A+ C + A 0 6 A + B = 6 A + C = 0 A = A=, B= 0, C= 6 + 6 = + 6 + ( 6+ ) Inegriranje djelomičnih razlomaka: d= ln

.Inegriranje racionalnih funkcija 9 6 = d= 6 d = 6 + + d= d 6 = 6 d= arcan = arcan + Zbrajanje izračunaih inegrala: + d= ln + arcan + C 6 + Primjer 50. Odredi d. + Rješenje. Rasav nazivnika inegranda: + = + = + + + Rasav inegranda na djelomične razlomke: A+ B C+ D = + / + + + + ( + )( + + ) = A+ B + + + C+ D + ( ) = A+ C + A+ B C+ D + A+ B+ C D + B+ D A + C = 0 A + B C + D = 0 A+ B + C D = B + D = 0 A= 0, B=, C= 0, D= Inegriranje djelomičnih razlomaka: d= d = arcan + +

0 I. Neodređeni inegrali d= d= arcan + + + + + Zbrajanje izračunaih inegrala: d = arcan ( ) arcan( + ) + C +.. Inegriranje racionalnih funkcija Inegriranje racionalne funkcije koja nije ni cijela ni prava se odvija u čeiri koraka (drugi korak obuhvaća prva dva koraka iz predhodne podlekcije): rasav funkcije na zbroj polinoma i prave racionalne funkcije dijeljenjem brojnika nazivnikom rasav prave racionalne funkcije, ukoliko ona već nije djelomični razlomak, na zbroj djelomičnih razlomaka inegriranje polinoma i djelomičnih razlomaka zbrajanje izračunaih inegrala Primjer 5. Odredi 5 0 + d. Rješenje. Rasav inegranda na polinom i pravu racionalnu funkciju: 5 ± 5 0 0 djelielj količnik + : ± 8 8 = r a s a v 5 + 5 0 + 8 = 5 + +

.Inegriranje racionalnih funkcija Rasav prave racionalne funkcije: ( ) Inegriranje svih članova rasava: ( ) = 8 A B = + / 8 = A+ B A A+ B= 8 A = A=, B= 7 8 7 = + ( ) 5 0 + 7 = 5 + + + =,, ln, ln = = = d d d d Zbrajanje izračunaih inegrala: 5 0 5 7 + = d + d + d + d = 5 ln 7ln + + + + C

I. Neodređeni inegrali Primjer 5. Odredi + 5 d. + Rješenje. Rasav inegranda na polinom i pravu racionalnu funkciju: ± djelielj količnik + 5 : + = ± r a s a v + 5 + 5 5 = + + + 5 Rasav prave racionalne funkcije: + = + 5 A B 5 5 = + = + + + Inegriranje svih članova rasava: + 5 5 5 = + + + + =,, ln, ln = = + = + d d d d Zbrajanje izračunaih inegrala: + 5 + d= + + 5ln 5ln + + C= = + + 5ln + + C

.Inegriranje racionalnih funkcija Primjer 5. Odredi + + d. Rješenje. Rasav inegranda na polinom i pravu racionalnu funkciju: djelielj količnik + + : = + ± r a s a v + + + = + Rasav prave racionalne funkcije: + A B C = + + / + + + = = + A B C B C A + = + + + A + B + C = B C = 0 A = 7 7 A=, B=, C= 6 6 7 7 + = + 6 + 6 + + Inegriranje svih članova rasava: + + = + + 7 7 6 6 +

I. Neodređeni inegrali =, = ln, = ln, = ln + + d d d d Zbrajanje izračunaih inegrala: + + 7 7 d= ln + ln + ln + + C= 8 7 = ln + ln + 8 C Primjer 5. Odredi + + 5 d. Rješenje. Rasav inegranda na polinom i pravu racionalnu funkciju: 5 djelielj količnik 5 + : + = 5 ± ± + + r a s a v 5 = + + + + + Inegriranje svih članova rasava: 5 + = + + + + + d=, d=, d= ln +, d= arcan + + Zbrajanje izračunaih inegrala: 5 ln arcan + d= + ( + ) + + C +

.Inegriranje racionalnih funkcija 5 Primjer 55. Odredi + d. Rješenje. Rasav inegranda na konsanu i pravu racionalnu funkciju: djelielj količnik + : = ± + r a s a v + + = + Rasav prave racionalne funkcije: ( )( + + ) = + + + A B+ C = + = + + + + Inegriranje svih članova rasava: + = + + + + d=, d= ln, d= arcan + + Zbrajanje izračunaih inegrala: + ln arcan + d= + + C

6 I. Neodređeni inegrali 5. Inegriranje funkcija s korijenom Ponekad se inegral funkcije koja sadrži neki korijen može pogodnom zamjenom svesi na inegral racionalne funkcije. Primjer 56. Pogodnom zamjenom, funkcije, a zaim ga riješi. d svedi na inegral racionalne + Rješenje. + = d + = = d= + d= + + C = + d= d ( ) = ( + ) + + + C = ( + ) + + C Primjer 57. Odgovarajućom zamjenom, racionalne funkcije, a poom ga riješi. d + prevedi u inegral Rješenje. = d = = d= d= + + + d= d = arcan arcan d = + C = + + C Dodaak. Rasav racionalne funkcije, umjeso dijeljenja brojnika + nazivnikom, se brže posiže dodavanjem nule brojniku u obliku :

5.Inegriranje funkcija s korijenom 7 + + = = = + + + + + Primjer 58. Riješi d. Rješenje. 6 = 6 = = = = d= 6 d 5 6 d 6 d d 5 = 6 + + + d+ C= + + 6+ 6ln + C= 6 6 6ln + + + + C Dodaak. Brzi rasav racionalne funkcije : + = = + = + + + Primjer 59. Riješi d. Rješenje. Uz zamjenu = slijedi: = / = + + = = + = d= + + d

8 I. Neodređeni inegrali d = = + d= ( ) ( + ) 8 = d= d 8 d d = = + + + 8 arcan arcan = + C= + C 6. Inegriranje rigonomerijskih funkcija 6.. Inegriranje umnožaka općih sinusa i kosinusa Ako je podinegralna funkcija umnožak sinusa, ili sinusa i kosinusa, ili kosinusa, onda se možemo pomoći rigonomerijskim formulama koje umnožak prevaraju u zbroj: sinα sinβ = cos( α β) cos( α+ β) sinα cosβ = sin( α β) + sin( α+ β) cosα cosβ = cos( α β) + cos( α+ β) d. Primjer 60. Izračunaj sin( ) sin( ) Rješenje. Prevaranje umnožka u zbroj za α = i β = : sin sin cos cos cos cos ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( )

6.Inegriranje rigonomerijskih funkcija 9 Inegriranje pribrojnika: = cos d = cosd= sin = sin d= d = cos cos sin sin d= d Završno rješenje: ( ) d = d= = ( ) sin( ) sin( ) d= sin sin( ) + C 8 Primjer 6. Izračunaj sin cos cosd. Rješenje. Prevaranje umnožka u zbroj: sin cos = sin( ) + sin = sin + sin sin cos cos = sin cos + sin cos = sin sin + sin 6 = sin sin sin 0 sin 6 + + + = Inegriranje pribrojnika: Završno rješenje: a= sin ad = sin d= cos= cos a d= d a a a a sin cos cosd= cos + cos cos 6+ C 8 6

50 I. Neodređeni inegrali d. Primjer 6. Izračunaj cos ( + ) Rješenje. Prevaranje umnožka u zbroj: cos cos cos 0 cos 6 8 cos 6 8 ( + ) ( + ) = + ( + ) = + ( + ) Inegriranje pribrojnika: Završno rješenje: d=, cos 6+ 8 d= sin 6+ 8 6 cos ( + ) d= + sin( 6+ 8) + C 6.. Inegriranje racionalnih izraza sa sinusom i kosinusom Inegral racionalnog izraza f ( sin,cos ) s promjenljivim veličinama sin i cos, se pomoću zamjene an = (zv. opća ili univerzalna rigonomerijska zamjena), svodi na inegral racionalne funkcije s promjenljivom. Nekad se akav inegral može brže riješii i zamjenom sin = ili cos = ili an =. f d preporučuje se posupno promaranje mogućih zamjena ovim redom: U cilju šo bržeg i lakšeg rješavanja ( sin,cos ) () pokuša se zamjenom sin = ili cos = =, uvodi se zamjena () ako je f ( sin, cos ) f ( sin, cos ) iz koje slijedi an =

6.Inegriranje rigonomerijskih funkcija 5 sin =, cos =, d= d + + + () ako predhodne zamjene ne odgovaraju, uvodi se zamjena an = iz koje slijedi sin =, cos =, d= d + + + Primjer 6. Prikladnom zamjenom funkcije, a zaim ga riješi. cos d svedi na inegral racionalne sin + Rješenje. ( sin ) cos sin cos = + d= d = d= sin + sin + cos d= d + 8 = + d= d+ d 8 d= + + = + 8ln + + = sin + sin 8ln( sin + ) + C C Dodaak. Rasav racionalne funkcije + : + djelielj količnik + : + = + + ± ± 9 8 r a s a v + = + 8 + +

5 I. Neodređeni inegrali Primjer 6. Odredi sin d. cos + Rješenje. sin cos sin cos = d= d = sin d= d cos + cos + = d= d d d = = + + + = arcan + C= cos arcan cos + C Primjer 65. Odredi d. sin cos Rješenje. Provjera parnosi podinegralnog izraza: f ( sin, cos ) = = = sin, cos sin cos f ( sin ) ( cos ) Odreñivanje inegrala zamjenom an sin cos = : d an = = = d= + + + + = d= + d= + ln + C= an ln an = + + C

6.Inegriranje rigonomerijskih funkcija 5 Primjer 66. Odredi cos + d. cos + Rješenje. Provjera parnosi podinegralnog izraza: cos + cos + f f cos + cos + ( sin, cos ) = = ( sin, cos ) Odreñivanje inegrala zamjenom an = : cos + dan = = cos + + = + d= + + + + = d= d + = + + = d+ d= + arcan + C= + = an + arcan an + C= + an + C Primjer 67. Odredi sin d. Rješenje. Provjera parnosi inegranda: Zamjena an f sin sin f ( sin, cos ) = = ( sin, cos ) = :

5 I. Neodređeni inegrali dan = = d= d + + + sin Zamjena = s : = s d= d = ds= = d= ds ( ) + s s Završno rješenje: d= = = + C sin an