5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA

5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 8 5 poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA U ovom poglavlju: Derivacija po definiciji, tablica deriviranja Derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta funkcija Derivacija složenih funkcija Derivacije višeg reda ( ) Derivacija oblika f( ) g Derivacija funkcija zadanih u parametarskom obliku Prije definicije derivacije funkcija, treba navesti, kao u točki 4, strogu definiciju limesa funkcije y f () u točki a, gdje je je a konačan realan broj Realan broj L je limes funkcije y f () u točki a ako vrijedi: za svaki ε > 0 postoji δ > 0 takav da za svaki ( a δ, a + δ ) vrijedi f ( ) ( L ε, L + ε ) Kako vidimo, za bilo koju ε -okoline broja L, postoji δ -okoline točke a, tako da se sve vrijednosti f () točaka te okoline nalaze u ε -okoline broja L Primijetimo da izraz biti u ovim okolinama znači: ( a δ, a + δ ) a < δ, f ( ) ( L ε, L + ε) f ( ) L < ε Sada možemo definirati derivaciju dane funkcije y f () u točki a na sljedeći način: () df f( ) f( a) f( a+ h) f( a) f ( a) lim lim d a h 0 a a h U filozofskom smislu, derivacija je omjer dobivenog i uloženog U programerskom smislu, derivacija je omjer izlaza i ulaza U fizikalnom smislu, derivacija je omjer proizvoljno malog puta kroz proizvoljno malo vrijeme, a to je brzina

84 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI U geometrijskom smislu, potrebna nam je sljedeća slika: ( a, f ( a)) f ( a + h, f ( a + h)) a a+h Koeficijent pravca, sekante, kroz dvije točke sa koordinatama ( a, f ( a)) i ( a + h, f ( a + h)) dobivamo po formuli: f ( a + h) f ( a) f ( a + h) f ( a) () ( a + h) a h Točka ( a + h, f ( a + h)) predstavlja okolnu točku točke ( a, f ( a)), koju možemo približavati fiksiranoj točki ( a, f ( a)), i to tako da pustimo da h 0 Tada (vidi sliku gore) sekanta kroz dvije dane točke prelazi u pravac koji tangira funkciju y f () u točki ( a, f ( a)), a koji zovemo tangentom na funkciju y f () u točki a Još je važnije da pri tome koeficijent sekante isto tako prelazi u koeficijent dobivene tangente To znači da koeficijent tangente dobivamo kao limes koeficijenata sekanti danih formulom () Ovo zajedno sa () povlači da, u geometrijskom smislu, derivacija funkcije y f () u točki a predstavlja koeficijent tangente na funkciju y f () u točki a 5 DERIVACIJA PO DEFINICIJI TABLICA DERIVIRANJA U ovoj točki dajemo neke primjere kako se računa limes u formuli () za neke poznate elementarne funkcije Odnosno, pokazat ćemo kako se računa derivacija po definiciji za te elementarne funkcije Potom ćemo dati tablicu njihovih derivacija, koja se može dokazati analogno ovim primjerima Neka je zadana funkcija f ( ) Tada računamo: f( a+ h) f( a) ( a+ h) a a + ah+ h a ah+ h f ( a) lim lim lim lim h 0 h h 0 h h 0 h h 0 h lim( a+ h) a h 0 Time smo pokazali da je ( ) Neka je zadana funkcija f ( ) Tada računamo:

5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 85 f ( a+ h) f( a) ( a+ h) a a + a h+ ah + h a f ( a) lim lim lim h 0 h h 0 h h 0 h ah+ ah + h lim lim(a + ah+ h ) a h 0 h h 0 Time smo pokazali da je ( ) Neka je funkcija f ( ) Tada računamo da je: f ( a+ h) f( a) a+ h a 0 a+ h a a+ h + a f ( a) lim lim lim h 0 h h 0 h 0 h 0 h a+ h + a a+ h a lim lim h 0 h( a+ h + a) h 0 a+ h + a a Time smo pokazali da je ( ) Ako nastavimo u ovom stilu, možemo dokazati da vrijedi sljedeća tablica deriviranja elementarnih funkcija, koju koristimo zdravo za gotovo : f () f ( ) n e ln n n e sin cos cos sin tg ctg sh ch th cth arcsin arccos arctg arc ctg cos sin ch sh ch sh + +

86 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI Derivacija svake druge funkcije treba biti izračunata koristeći pravila za deriviranje funkcija, koja su izložena u sljedećim točkama ovog poglavlja Na primjer, derivacija kompozicije funkcija: (sin ) (cos )() cos, (sin ) ((sin ) ) sin (sin ) sin cos, ili derivacija algebarskih operacija među funkcijama: ( ( + sin ) ( sin ) ( ) + (sin ) )(sin ) + + cos, (sin ) sin + cos 5 DERIVACIJA ZBROJA I RAZLIKE U ovoj točki vježbamo derivaciju linearne kombinacije funkcija U tu svrhu, potrebno nam je sljedeće svojstvo derivacije: ( f ( ) + g( )) f ( ) + g( ), ( α f ( )) α f ( ) Prema ovome, derivacija linearne kombinacije funkcija je linearna kombinacija derivacija funkcija, odnosno, još se kaže da je derivacija linearan operator na skupu dovoljno glatkih funkcija RIJEŠENI PRIMJERI U sljedećim zadacima izračunati naznačenu operaciju deriviranja 74 ( + ) ( ) ( ) + () 5 5 4 75 ( 4 + 7) ( ) 4( ) + ( ) (7) 5 + 4 76 ( e + sin ) ( ) ( e ) + (sin ) e + cos 77 ( ln + 4cos ) ( ) (ln ) + 4(cos ) 4sin 7 7 6 78 (tg e + ) (tg ) ( e ) + ( ) e + 7 cos

5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 87 4 4 4/ 4 79 (4e + arcsin ) 4( e ) ( ) + (arcsin ) 4 e ( ) + 4 4 e + + + + 5 + 4 5 + ch + ch 5 4 5 + 5 + 5 /5 5 80 ( arctg sh ) ( ) (arctg ) (sh ) ch 4 /4 4 8 (ch + + ) (ch ) + ( ) + ( ) sh + sh + 4 4 4 + + + 5 5 5 4 5 4 4 8 ( ln ) ( )ln (ln ) 5 ln 5 ln ZADACI ZA VJEŽBU U sljedećim zadacima naći prve derivacije danih funkcija 4 8 f ( ) + sin e 84 f ( ) 5 ch + ln 85 f ( ) ctg arccos + 86 f ( ) cos + sh 87 5 7 f ( ) + + arctg 88 f ( ) th + tg arc ctg 89 f ( ) e + + 4

88 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI RJEŠENJA 8 f ( ) 4 + cos e 84 f ( ) 0 sh + 85 f ( ) sin + 86 f ( ) + sin + ch 7 + + 5 + 5 87 f ( ) 5 88 f ( ) ch + cos + + 89 f ( ) e + 4 4 7 5 DERIVACIJA PRODUKTA FUNKCIJA U ovoj točki vježbamo derivaciju produkta funkcija U tu svrhu, potrebno nam je slijedeće svojstvo derivacije: ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) + f ( ) g( ) Prema ovome, derivacija produkta funkcija nije jednaka produktu derivacija, kao što bi se na trenutak moglo poželjeti To se lako vidi na primjeru derivacije funkcije f ( ) Naime, znamo da je njena derivacija f ( ) Ako bi funkciju f ( ) prikazali u obliku produkta f ( ), tada je produkt derivacija ovih funkcija ( )( ), što je bitno različito od RIJEŠENI PRIMJERI U sljedećim zadacima izračunati naznačenu operaciju deriviranja produkta funkcija 90 ( e ) ( ) e + ( e ) e + e

5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 89 9 ( ln ) ( )ln + (ln ) ln + ln + 4 4 4 4 9 [( + )sin ] ( + )sin + ( + )(sin ) (4 + )sin + ( + )cos 9 [( + sin ) e ] ( + sin ) e + ( + sin )( e ) ( + cos ) e + ( + sin ) e + + + + 94 [(ln )( )] (ln )( ) (ln )( ) + + + ( )( ) (ln )( ) 95 ( e sh ) ( e )sh + e (sh ) e sh + e ch e (sh + ch ) e ( e ) e + 96 ( arctg ) ( )arctg + (arctg ) arctg + 4 4 4 4 97 ( th ) ( )th + (th ) th + 4 th + 4 4 4 ch 4 ch 98 ( e sin ) ( ) e sin ( e ) sin e (sin ) + + + + e sin e sin e cos ZADACI ZA VJEŽBU U sljedećim zadacima naći prve derivacije danih funkcija 7 99 f ( ) e 00 f ( ) e cos 0 f ( ) ln 0 f ( ) (sh ) (th ) 0 f ( ) e e 04 f ( ) (ln ) e

90 RJEŠENJA Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI 7 6 99 f ( ) e ( 7 ) + 00 f ( ) e (cos sin ) 0 f ( ) (ln + ) 0 f ( ) (sh ) ( + ) ch e 0 f ( ) ( ) 04 f ( ) e (ln + ) 54 DERIVACIJA KVOCIJENTA FUNKCIJA U ovoj točki vježbamo derivaciju kvocijenta funkcija U tu svrhu, potrebno nam je slijedeće svojstvo derivacije: f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) g ( ) Prema ovome, derivacija kvocijenta funkcija nije jednaka kvocijentu derivacija, kao što bi se na trenutak moglo poželjeti To se lako vidi na primjeru derivacije funkcije f ( ) tg Naime, znamo da je njena derivacija f ( ) / cos Ako bi funkciju f ( ) tg prikazali u obliku kvocijenta f ( ) sin / cos, tada je kvocijent derivacija brojnika i nazivnika kao funkcija (sin )/(cos ) cos /( sin ) ctg, što je bitno različito od / cos RIJEŠENI PRIMJERI U sljedećim zadacima izračunati naznačenu operaciju deriviranja kvocijenta funkcija sin (sin ) (sin )( ) cos sin 05 ( ) e ( e )( ) ( e )( ) e ( ) e e e ( ) ( ) ( ) 06 ( ) + ( ) ( ) ( + )( + ) ( + )( + ) + + 07 ( ) + ( + ) ( + ) + ( + )

5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 9 ln (ln ) ( ) (ln )( ) ( ) ln ln ( ) ( ) ( ) 08 ( ) sin + (sin + ) ( cos 5) (sin + )( cos 5) 09 ( ) cos 5 (cos 5) (cos 5)cos (sin + )( sin ) 5cos + 6sin (cos 5) (cos 5) e ( e )sh ( e )(sh ) e sh e ch e (sh ch ) sh sh sh sh sh 0 ( ) ( )(arcsin ) ( )(arcsin ) (arcsin ) ( ) ( ) arcsin arcsin arcsin ZADACI ZA VJEŽBU U sljedećim zadacima naći prve derivacije danih funkcija 4 f ( ) + 5 f ( ) + 4 tg f ( ) cos 5 th f ( ) e 6 sin f ( ) cos

9 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI RJEŠENJA 4 + 7 + 0 f ( + 5 ) f ( ) ( ) ( + ) + sin 4 f ( ) cos cos 4sin 5 f ( ) e ( th ) 6 f ( ) ch ( cos ) 55 DERIVACIJA SLOŽENIH FUNKCIJA U ovoj točki vježbamo derivaciju kompozicija funkcija U tu svrhu, potrebno nam je slijedeće fundamentalno svojstvo derivacije: ( g( f ( )) g( f ( )) f ( ) Zahvaljujući ovom pravilu većina funkcija se može lako derivirati Veoma je važno prije deriviranja neke složene funkcije razlučiti što je to takozvana «vanjska» ( g () ), a što «unutarnja» ( f () ) funkcija u kompoziciji Na primjer, kod složene funkcije y tg nije sasvim jasno što je to g ( f ( )), sve dok danu funkciju ne napišemo u obliku: y ( tg ) Isto tako, kada deriviramo vanjsku funkciju, u dobivenoj derivaciji prepisujemo unutarnju funkciju Na primjer: (sin(cos)) (cos(cos )) (cos), odnosno (sin(cos)) (cos ) (cos) Znači, ne zaboravi prepisati unutarnju funkciju u derivaciji vanjske RIJEŠENI PRIMJERI U sljedećim zadacima izračunati naznačenu operaciju deriviranja složenih funkcija 7 (sin 4 ) (cos 4 )(4 ) 4cos 4 8 ( e ) e ( ) e 9 (ln( )) ( ) 0 (cos( )) ( sin( ))( ) ( )sin( )

5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 9 ( e ) e ( ) e + + + ( e ) e ( + ) e (tg( )) ( ) cos( ) cos( ) 0 9 9 4 (( ) ) 0( ) ( ) 60 ( ) 5 (ch(sin )) (sh(sin ))(sin ) (sh(sin ))(cos )( ) (cos )(sh(sin )) 6 (ln(sin( ))) (sin( )) (cos( ))( ) sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) ctg( ) 7 (sin ) ((sin ) ) (sin )(sin ) (sin )(cos )( ) 6 (sin )(cos ) sin cos (cos ) 8 (sin(tg (cos ))) (cos(tg (cos )))(tg (cos )) (cos(tg (cos ))) (cos ) (sin )cos(tg (cos )) cos (cos ) ZADACI ZA VJEŽBU U sljedećim zadacima naći prve derivacije danih funkcija 9 f ( ) e 4 + 0 f ( ) sin(cos ) f ( ) tg(sin(4)) f ( ) ctg (cos()) f ( ) ln

94 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI 4 f ( ) sin( ln ) + ln( sin ) e 5 f ( ) arctg 6 f ( ) + 7 f ( ) arctg + arcsin 8 f ( ) e sin 9 f ( ) sin (cos ) 4 RJEŠENJA 4 9 ( ) + f e ( 4 ) + 0 f ( ) ( sin ) (cos(cos )) 4cos4 f ( ) 4(sin ) (ctg(cos )) f ( ) sin (cos ) cos (sin 4 ) ln f ( ) cos(ln ) 4 f ( ) + ctg e 5 f ( ) ( ) ( arctg ) ( arctg ) 6 f ( ) ( + ) 7 f ( ) ( + ) + 8 f ( ) e (sin + cos ) 4 4 4 4 9 f ( ) 4 (sin ) (cos ) (cos(cos )) (sin(cos )) 56 DERIVACIJE VIŠEG REDA U ovoj točki vježbamo derivacije višeg reda U tu svrhu, potrebno nam je sljedeća induktivna definicija derivacije bilo kojeg reda: ( n ) f ( ) ( f ( )), f ( ) ( f ( )) ( f ( )),, f ( ) ( f ( )) ( n)

5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 95 Prema ovome, da bismo našli drugu derivaciju f ( ) funkcije y f () prvo moramo naći njenu prvu derivaciju f ( ) Odnosno, da bismo našli n-tu derivaciju ( ), trebamo znati ( ) f n n- derivaciju ( ) Primijetimo da se red više derivacije označava poput potencije u (4) eksponentu, ali u zagradi Na primjer, f ( ) označava derivaciju četvrog reda, a ne potenciju ili kompoziciju reda četiri ( ) f n RIJEŠENI PRIMJERI U sljedećim zadacima izvršiti naznačene operacije deriviranja višeg reda 40 ( ) (( )) (( ) )) ( ( ) ) ( ( ) ) 5 + + + + + 9 5 ( + ) 4 ( e ) (( e )) (( e )) (9 e ) 7 e 4 ( e ) (( e )) ( e + e ) ( e ) + ( e ) e + e + e + e e + + ( 4 ) 6 + (+ ) 4 (ln(+ )) ((ln(+ ))) (( )) 4((+ ) ) 44 (cos ) ((cos )) ( (sin )( )) ( sin ) + + (sin (cos )( )) (sin cos ) 45 ( ) (( + ) ) ( ( + ) ( )) ( ) + ( + ) 6 ( + ) 46 ( e ) (( ) e ) e + ( ) e ( ) e (4 4+ ) (5) (4) (4) () () 47 (sin ) ((sin )) (cos ) ( sin ) ( cos ) (sin ) cos (4) () () 48 ( e cos ) ( e cos e sin ) (( e cos e sin ) ( e sin + e cos )) + + + () ( e sin ) ( e sin e cos ) (( e sin e cos ) + ( e cos e sin )) 4e cos

96 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI ZADACI ZA VJEŽBU 49 f ( ) ( ), f ( )? 50 f ( ) sin, f ( )? 5 f ( ) e, f ( )? 5 4 (0) (7) 5 f ( ) ln( ), f ( )? (5) 5 f ( ) cos, f ( )? RJEŠENJA 49 f ( ) 4( ) (4 4 7) + 50 f ( ) cos (0) 0 5 5 f ( ) 5 e 7 (7) 6! 5 f ( ) 7 ( ) (5) 4 5 f ( ) 6 sin 6 57 DERIVACIJA FUNKCIJA OBLIKA ( ) f( ) g U nastavku radimo sa nešto složenijim oblicima funkcija Jedan od takvih su funkcije zadane ( ) u obliku f( ) g Što ovaj oblik predstavlja, budući da imamo istovremeno transformacije i u bazi, i u eksponentu? Najjednostavniji pristup ovom obliku je sljedeći: g( ) f e e g( ) ln( f( ) ) g( )ln f( ) () ( ) Prema ovome, oblik f( ) g možemo definirati kao eksponencijalnu funkciju koja u eksponentu ima složenu funkciju g ( )ln f( ) Zahvaljujući ovakvom pristupu, deriviranje ( ) funkcije oblika f( ) g svodi se na uobičajeno deriviranje složenih funkcija, kao što je pokazano u nekoliko sljedećih primjera Pri tome ne zaboravimo da je: baza e eksponent eksponent ln baza

5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 97 RIJEŠENI PRIMJERI ( )ln ln ln + 54 ( ) ( e ) e ( ln ) e (6ln + ) (ln + ) cos e e e + sin lnsin lnsin lnsin 55 ((sin ) ) ( ) ( lnsin ) ( lnsin ) (sin ) (lnsin + cot ) e ln e ln e e ln 56 (( ) ) ( e ) ( e ) e ( e ln ) e e ln e e e ( e ln + ) (ln + ) ZADACI ZA VJEŽBU U sljedećim zadacima naći prve derivacije danih funkcija 57 f ( ) 58 59 60 6 f ( ) ( + ) f ln ( ) (ln ) f ( + ) ( ) ( + ) f sin ( ) ( sh) RJEŠENJA 57 59 ln f ( ) ( + ) 58 ln lnln f ( ) (ln ) ( + ) 4 f ( ) ( + ) ( + ln( + )) + 60 6 f ( ) ( + ) ( + )( + ) + ( + ) ln( + ) f sh sh cth sin ( ) ( ) ((cos )ln( ) + ( )sin )

98 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI 58 DERIVACIJA FUNKCIJA DANIH U PARAMETARSKOM OBLIKU Funkcija y y( ) može biti zadana u implicitnom obliku: t () y y() t To znači da varijabla i njena transformacija y ( ) istovremeno ovise o jednoj novoj varijabli t Ta ovisnost se zove parametarska jednadžba dane funkcije y y( ) Na primjer, funkcija y ( ) 4 ima parametarsku jednadžbu, odnosno, može se zapisati i u implicitnom obliku: cos( t) y sin( t) t (0, π ) Međutim, funkcija y ( ) 4 može imati nekoliko parametarskih jednadžbi, odnosno, može se napisati i u obliku: t y 4 t t (,) Nadalje, ako ne znamo eksplicitnu vezu y y( ), ali znamo njenu parametarsku jednadžbu, tada derivacije funkcije y y( ) računamo na veoma prirodan način: y( ), d d y( ) d i d y( ) d d RIJEŠENI PRIMJERI 6 t y t t y( ) d d t 4t t ln t 6 y t t t ( ) d d t y t t

5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 99 64 cost y sint cos t y( ) ctg t d sint d 65 t + y t t y( ) t, d d t y( ) ( t) d d t 4t tan t cos t 66 y( ) cos t, y d sin t d cos t 4 y( ) (cos t) (cos t)(cos t)( sin t) sin tcos t d d cos t ZADACI ZA VJEŽBU U sljedećim zadacima naći prve i druge derivacije funkcija zadanih parametarski 67 68 69 t y + t sin t y cost t y t ln t 70 y t t RJEŠENJA 67 f ( ), f ( ) 4 t 9t 68 f ( ) tg t, f ( ) cos t 69 / f ( ) 4 t, f ( ) t 70 f t t f t t ( ) +, ( ) 4 + 9