Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 3/3/6 ΘΕΜΑ ο : Α Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα μίας συνάρτησης στο διάστημα Δ; Απάντηση Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει: F'() = (), για κάθε ϵ Δ A Να διατυπώσετε το θεώρημα του Frmat και να το αποδείξετε Απάντηση Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: ( ) = Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι η παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχειd > τέτοιο, ώστε ( - d, + d) ÍD και ( ), για κάθε Î( - d, + d) () Επειδή, επιπλέον, η είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει Επομένως, - - ( ) = lim = lim - - - + - αν Î( - d, ), τότε, λόγω της (), θα είναι ³, οπότε θα έχουμε - ( ) - ( ) = lim ³ () - - - αν Î (, + d ), τότε, λόγω της (), θα είναι, οπότε θα έχουμε -
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 - ( ) = ( ) lim + - Έτσι, από τις () και (3) έχουμε ( ) = (3) Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν μια συνάρτηση είναι κυρτή σε ένα διάστημαd, τότε η εφαπτομένη της κάθε σημείο ÎD είναι «κάτω» από τη C εκτός από το κοινό τους σημείο C σε Σωστό (συμπηρώθηκε η πρόταση μετα κόκκινα γράμματα για να είναι Σωστή αλλιώς είναι λανθασμένη) β Aν η είναι συνεχής σε διάστημα Δ και α, β, γ Î Δ τότε ισχύει Λάθος ò b ( ) d = g a ( ) d + g ( ) d a ò ò b γ Αν υπάρχουν στο R τα όρια των συναρτήσεων και g, τότε ισχύει: Σωστό lim δ Αν το, ( ) Σωστό lim ( ) =, εφόσον lim g ( ) g ( ) g lim ¹ ç είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης è ø και η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο ε Αν, Σωστό g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα éa, b êë =, τότε ù úû, τότε: b é ù b ò g = g g d a ê ú - ò a ë b ûa
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 ΘΕΜΑ ο g = + Δίνεται η συνάρτηση με = 4 - + 3 και Β Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Β Να βρείτε το σύνολο τιμών της καθώς και το πλήθος των ριζών της Β3 Να ορίσετε την - Β4 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g δεν είναι αντιστρέψιμη Β5 Να ορίσετε τη συνάρτηση og ΛΥΣΗ Β Πρέπει να ισχύει: Επομένως D = [ ln, + ) - ³ Û ³ Û ³ ln Β Θα εξετάσουμε την μονοτονία της Εχουμε διαδοχικά: < Û < Û - < -Û - < -Û - + 3< - + 3 Επομένως η είναι γνησίως αύξουσα στο [ ln, + ) Σημείωση: Μπορεί, πιο εύκολα, η μονοτονία της συνάρτησης να προκύψει και ως εξής: Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη (ως σύνθεση και πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων) με =, > ln - Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο [ ln, + ) Έτσι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα é (ln ), lim êë + ) (ln ) = 3, lim = lim 4 - + 3 =+, δηλαδή το σύνολο τιμών είναι το + + διάστημα [ 3, + ) Η δεν έχει ρίζες αφού ( ) ³ 3, για κάθε [ ln, ) Β3 Για κάθε y Î [ 3, ) + έχουμε διαδοχικά: Î + με
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Επομένως: y-3 y-3 y = Û y = 4 - + 3Û = -Û ç = -Û 4 è 4 ø y-3 éy-3 ù Û = ln ç + Û = ç + è 4 ø êè 4 ø ú ë û é - - 3 ù êè 4 ø ú ë û = ln ê ç + ú, Î [ 3, + ) Β4 Η συνάρτηση g είναι άρτια, αφού g = g( - ) = +, για κάθε g δεν είναι αντστρέψιμη * Î R Επομένως η Β4 Για το πεδίο ορισμού της og έχουμε: ì ü Dog = ÎDg g Î D = Î + ³ = ïî ïþ (αφού + >, ln< είναι πάντα αληθείς) Άρα για κάθε ï * ï * { / } í R / lný R * Î R έχουμε: 3 og = g = 4 + - + ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η συνάρτηση: Γ Να δείξετε ότι: ç è ø = ç + ln, > ln+ > για κάθε > Γ Να μελετήσετε την ως τη μονοτονία και να λύσετε την εξίσωση ( ) = Γ3 Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ç, è ø Î τέτοιο, ώστε το σημείο A, ( ) ç è ø να είναι σημείο καμπής της C
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Γ4 i Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της C, τον άξονα και τις ευθείες =, = ΛΥΣΗ Γ Έχουμε:, οπότε θεωρούμε τη συνάρτηση:, Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (, + ) με: και έχουμε: και, ù Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ç, και γνησίως αύξουσα στο è ûú é ê, + êë ø, και επειδή είναι συνεχής στο = παρουσιάζει στο σημείο αυτό ολικό ελάχιστο το:
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 - g ç = > è ø Επομένως: - g ³ g ç = > è ø για κάθε >, άρα αποδείξαμε ότι: ln+ > για κάθε > Γ Έχουμε: Η είναι και παραγωγίσιμη στο (, + ) με: Αφού: > και ln+ > από το προηγούμενο ερώτημα Άρα η συνεχής συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) Επίσης το = είναι προφανής λύση της εξίσωσης της είναι και μοναδική =, η οποία λόγω της μονοτονίας Γ3 Έχουμε: Η είναι και παραγωγίσιμη στο (, + ) με;; και για κάθε > Αφού στο (3) ( ) > στο (, + ), έπεται ότι η συνεχής συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα (, + )
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Επίσης ç = - < και () = > και επειδή η είναι συνεχής στο è ø é ù, êë úû, υπάρχει σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano ένα τουλάχιστον Î ç, τέτοιο, ώστε è ø ( ) =, το οποίο λόγω της μονοτονίας της είναι μοναδικό Επίσης έχουμε: και Επειδή η μηδενίζεται στο σημείο (, ) A είναι σημείο καμπής της C και εκατέρωθεν αλλάζει πρόσημα το σημείο Γ4 i Έχουμε: άρα η C δεν έχει ούτε πλάγια ούτε οριζόντια ασύμπτωτη στο, αφού: Άρα η και C έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την = ii Το ζητούμενο εμβαδόν είναι: ò ò ò, όπου E( W ) = d =- d + d =- I + I I =ò d και I =ò d
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 αφού, επειδή η είναι γνησίως αύξουσα, είναι: Έχουμε: > Þ > () Þ > < < Þ < () Þ < é ù I = ò d = ò d= ò + d = + - + ç ç ò ç d = è ø è ø è ø 3 3 3 ( + ) ln ln ln 3 ê 3 ú ë û 3 é ù = + - + = + - - = + + - 3 3 3 3 3 3 9 9 I 3 [ ] 3 ò ç d 3 3 3 è ø ëê ûú 3 3 3 3 é ù = ò( + ) ln d= ò + ln d ln d d ç 3 = + - + = + - + = êç 3 ú ò ç 3 ò 3 ç 3 è ø ëè ø û è ø è ø 3 3 3 é ù = + - -[ ] = + 3 3êë3 úû 9 9 Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι: 3 E( W ) = + + + tm 3 3 3 9 3 9 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η συνάρτηση : R R, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, με = =, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: Δ Να αποδείξετε ότι: + - = + για κάθε ÎR ln( ) = -, ÎR Δ Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Δ3 Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής Δ4 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln( ) διάστημα, p ç è ø Δ5 Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: - = sun έχει ακριβώς μία λύση στο
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 ò ( -) d - ΛΥΣΗ Δ Έχουμε διαδοχικά: + - = + Û + - = + Û Û - = Û - = + c() Για = είναι - = + cû c= - Επομένως από την σχέση () έχουμε: + - = + Û - = + Û = Û = éln - ù Û - êë úû Û = ln - + c () Για = είναι = + cû c = Επομένως από την σχέση () έχουμε = ln - (3) Θα εξετάσουμε το πρόσημο της συνάρτησης h = -, ÎR Η h είναι παραγωγίσιμη για Î R με h = -, ÎR Είναι: h = Û = h > Û- > Û > h < Û- < Û < Άρα η h έχει ελάχιστο στο =, δηλαδή h ³ h() = >, Î R = ln -, ÎR Επομένως Δ Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με - =, ÎR Έίναι: - = Û - = Û = > Û - > Û > < Û - < Û < Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, + ) και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (-, ] Έχει ολικό ελάχιστο στο σημείο =, το () = (επειδή η είναι και συνεχής στο )
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Δ3 Η είναι παραγωγίσμη στο R (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων) με ( - ) - =, ÎR Αρχικά θα αποδείξουμε ότι η συνάρτηση ( - ) - έχει ( - ) ακριβώς δύο ρίζες Θεωρούμε τη βοηθητική συνάρτηση K = (-) -, ÎR η οποία είναι παραγωγίσιμη (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων) με: Έχουμε: Άρα η K =- + (- ) = -, ÎR K = Û = K > Û < K < Û > K είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, ] διάστημα [, + ) Έχει ολικό μέγιστο στο σημείο Θα βρούμε τις εικόνες K ((-,]), ([, )) αφού: K + Έχουμε: - και γνησίως φθίνουσα στο = το K() = - > K K K ù - úû K K K ù + úû ((-,]) = ( lim, () = (-, -] ([, + )) = lim, () = ( (-, -] lim K =- - lim é ( ) ù - - lim lim lim - ë - û= = = = - - - - - - - lim K = - + Επειδή Î( -, - ] και (, ] Î - - η K έχει μία ρίζα στο (-,] και μία ρίζα στο [, + ), οι οποίες είναι μοναδικές, επειδή η K( ) είναι «-» στα διαστήματα αυτά (ως γνησίως μονότονη στα διαστήματα (-, ] και [, + ) αντίστοιχα) Για να αποδείξουμε όμως ότι τα σημεία A(, ( ) ) και B(, ) είναι σημεία καμπής της C πρέπει να αποδείξουμε ότι η ( )(ισοδύναμα η K( )) αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν των, Έχουμε: > > Þ K > K( ) Þ K > Þ > < Þ K < K( ) Þ K < Þ < > Þ K < K( ) Þ K < Þ < < < Þ K > K( ) Þ K > Þ >
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Επομένως η έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής τα Î( -, ] και [, ) Δ4 Θεωρούμε τη συνάρτηση Bolzano έχουμε: Η h είναι συνεχής συνάρτηση στο συναρτήσεων) h () =- < p p h ç = ç > èø èø + p h = ln - - sun, Î é, ù Από το θεώρημα του êë úû é p ù, êë úû (διότι ç αύξουσα στο [, + ) ) Άρα h() h p ç < è ø (ως πράξεις και σύνθεση συνεχών p p > Þ > =, αφού η είναι γνησίως èø p Επομένως υπάρχει, τουλάχιστον ένα, Î ç, è ø ( - ) τέτοιο, ώστε h( ) = Ûln - sun Για τη μοναδικότητα του θα αποδείξουμε ότι η συνάρτηση h είναι γνησίως μονότονη (ή «-» με τον ορισμό) Η h είναι παραγωγίσιμη στο R (ως πράξεις και σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων) με h = + hm, ÎR Είναι h ( > ), διότι για κάθε Î R είναι ( ) > και hm > Άρα το είναι μοναδικό Δ5 Έχουμε: - I = ( - ) d = d= d= [ ] - d - - ò ò ò ò Επομένως: ( - ) ln I = () - () -IÛ I = ln - Û I =