Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 3/3/6 ΘΕΜΑ ο : Α. Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα μίας συνάρτησης στο διάστημα Δ; Απάντηση Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει: F'() = (), για κάθε ϵ Δ. A. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Frmat και να το αποδείξετε. Απάντηση Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: ( ) Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι η παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο. Επειδή το είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει τέτοιο, ώστε (, ) και ( ) ( ), για κάθε (, ). () Επειδή, επιπλέον, η είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει Επομένως, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim. ( ) ( ) αν (, ), τότε, λόγω της (), θα είναι, οπότε θα έχουμε ( ) ( ) ( ) lim () ( ) ( ) αν (, ), τότε, λόγω της (), θα είναι, οπότε θα έχουμε
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 ( ) ( ) ( ) lim Έτσι, από τις () και (3) έχουμε ( ). (3) Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν μια συνάρτηση είναι κυρτή σε ένα διάστημα, τότε η εφαπτομένη της κάθε σημείο είναι «κάτω» από τη C εκτός από το κοινό τους σημείο. C σε Σωστό (συμπηρώθηκε η πρόταση μετα κόκκινα γράμματα για να είναι Σωστή αλλιώς είναι λανθασμένη) β. Aν η είναι συνεχής σε διάστημα Δ και α, β, γ Δ τότε ισχύει Λάθος d a d d. γ. Αν υπάρχουν στο τα όρια των συναρτήσεων και g, τότε ισχύει: Σωστό lim δ. Αν το, Σωστό lim, εφόσον lim g g g lim είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης και η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο ε. Αν, Σωστό g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα a,., τότε, τότε: g g g d. a
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 ΘΕΜΑ ο g. Δίνεται η συνάρτηση με 4 3 και Β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της καθώς και το πλήθος των ριζών της. Β3. Να ορίσετε την. Β4. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g δεν είναι αντιστρέψιμη. Β5. Να ορίσετε τη συνάρτηση og. ΛΥΣΗ Β. Πρέπει να ισχύει: Επομένως D ln, ln Β. Θα εξετάσουμε την μονοτονία της. Εχουμε διαδοχικά: 3 3 Επομένως η είναι γνησίως αύξουσα στο ln,. Σημείωση: Μπορεί, πιο εύκολα, η μονοτονία της συνάρτησης να προκύψει και ως εξής: Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη (ως σύνθεση και πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων) με ( ), ln. Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο ln,. Έτσι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (ln ), lim ( ) (ln ) 3, lim ( ) lim 4 3, δηλαδή το σύνολο τιμών είναι το διάστημα 3,. Η δεν έχει ρίζες αφού ( ) 3 Β3. Για κάθε y 3, έχουμε διαδοχικά:, για κάθε ln,. με
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Επομένως: y 3 y 3 y ( ) y 4 3 4 4 y 3 y 3 ln 4 4 3 4 ln, 3, Β4. Η συνάρτηση g είναι άρτια, αφού g( ) g( ), για κάθε g δεν είναι αντστρέψιμη. *. Επομένως η Β4. Για το πεδίο ορισμού της og έχουμε: D og Dg g D (αφού, ln είναι πάντα αληθείς) Άρα για κάθε * * / ( ) / ln * έχουμε: 3 og ( ) g( ) 4 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η συνάρτηση: Γ. Να δείξετε ότι: ln,. ln για κάθε. Γ. Να μελετήσετε την ως τη μονοτονία και να λύσετε την εξίσωση. Γ3. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό, τέτοιο, ώστε το σημείο A, να είναι σημείο καμπής της C.
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Γ4. i. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C. ii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της C, τον άξονα και τις ευθείες,. ΛΥΣΗ Γ. Έχουμε:, οπότε θεωρούμε τη συνάρτηση:,. Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο, με: και έχουμε: και, Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, και γνησίως αύξουσα στο,, και επειδή είναι συνεχής στο = παρουσιάζει στο σημείο αυτό ολικό ελάχιστο το:
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 g. Επομένως: g( ) g για κάθε, άρα αποδείξαμε ότι: ln για κάθε. Γ. Έχουμε: Η είναι και παραγωγίσιμη στο, με: Αφού: και ln από το προηγούμενο ερώτημα. Άρα η συνεχής συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο,. Επίσης το είναι προφανής λύση της εξίσωσης της είναι και μοναδική., η οποία λόγω της μονοτονίας Γ3. Έχουμε: Η είναι και παραγωγίσιμη στο, με; και Αφού για κάθε. (3) ( ) στο,, έπεται ότι η συνεχής συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο,.
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Επίσης και () και επειδή η είναι συνεχής στο,, υπάρχει σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε ( ), το οποίο λόγω της μονοτονίας της είναι μοναδικό. Επίσης έχουμε: και. Επειδή η μηδενίζεται στο σημείο C. A, ( ) είναι σημείο καμπής της και εκατέρωθεν αλλάζει πρόσημα το σημείο Γ4. i. Έχουμε: άρα η C δεν έχει ούτε πλάγια ούτε οριζόντια ασύμπτωτη στο., αφού: Άρα η και. C έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την. ii. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι:, όπου E( ) ( ) d ( ) d ( ) d I I I ( ) d και I ( ) d
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 αφού, επειδή η είναι γνησίως αύξουσα, είναι: Έχουμε: ( ) () ( ) ( ) () ( ) I d d d d 3 3 3 ( ) ln ln ln 3 3 3 3 3 3 3 3 3 9 9 I 3 3 d 3 3 3 3 3 3 3 ln d ln d ln d d 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 9 9 Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι: 3 E( ) + + +. 3 3 3 9 3 9 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η συνάρτηση :, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, με, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: Δ. Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) ( ) για κάθε. ln, Δ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Δ3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής. Δ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln διάστημα, Δ5. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: έχει ακριβώς μία λύση στο
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 ( ) d ΛΥΣΗ Δ. Έχουμε διαδοχικά: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c ( ) ( ) ( ) ( ) () Για είναι c c. Επομένως από την σχέση () έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ) ln c () Για είναι c c. Επομένως από την σχέση () έχουμε ( ) ln (3). Θα εξετάσουμε το πρόσημο της συνάρτησης h( ),. Η h( ) είναι παραγωγίσιμη για με h ( ),. Είναι: h ( ) h ( ) h ( ) Άρα η h( ) έχει ελάχιστο στο, δηλαδή h( ) h(),. ( ) ln, Επομένως Δ. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με ( ),. Έίναι: ( ) ( ) ( ) Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ) και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,. Έχει ολικό ελάχιστο στο σημείο, το () (επειδή η είναι και συνεχής στο ).
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Δ3. Η είναι παραγωγίσμη στο (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων) με ( ) ( ),. Αρχικά θα αποδείξουμε ότι η συνάρτηση ( ) έχει ακριβώς δύο ρίζες. Θεωρούμε τη βοηθητική συνάρτηση K( ) ( ), η οποία είναι παραγωγίσιμη (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων) με: Έχουμε: ( ) ( ) K,. K ( ) K ( ) K ( ) Άρα η K( ) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,. Έχει ολικό μέγιστο στο σημείο το K(). Θα βρούμε τις εικόνες K (,], [, ) αφού: K.Έχουμε: K K K K K K (,] lim ( ), (), [, ) lim ( ), (), lim K( ) lim ( ) lim lim lim lim K( ) Επειδή, και, η K( ) έχει μία ρίζα στο (,] και μία ρίζα στο [, ), οι οποίες είναι μοναδικές, επειδή η K( ) είναι «-» στα διαστήματα αυτά (ως γνησίως μονότονη στα διαστήματα, και όμως ότι τα σημεία A, ( ) και B, ( ), αντίστοιχα). Για να αποδείξουμε είναι σημεία καμπής της C πρέπει να αποδείξουμε ότι η ( ) (ισοδύναμα η K( ) ) αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν των,. Έχουμε: K( ) K( ) K( ) ( ) K( ) K( ) K( ) ( ) K( ) K( ) K( ) ( ) K( ) K( ) K( ) ( )
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Επομένως η έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής τα, και, Δ4. Θεωρούμε τη συνάρτηση Bolzano έχουμε: Η h( ) είναι συνεχής συνάρτηση στο συναρτήσεων). h() h (διότι. h( ) ln,,. Από το θεώρημα του, αύξουσα στο [, ) ). Άρα h() h. (ως πράξεις και σύνθεση συνεχών, αφού η είναι γνησίως Επομένως υπάρχει, τουλάχιστον ένα,, τέτοιο, ώστε h( ) ln. Για τη μοναδικότητα του θα αποδείξουμε ότι η συνάρτηση h είναι γνησίως μονότονη (ή «-» με τον ορισμό). Η h είναι παραγωγίσιμη στο (ως πράξεις και σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων) με h ( ) ( ),. Είναι h ( ), διότι για κάθε είναι ( ) και. Άρα το είναι μοναδικό. Δ5. Έχουμε: I d d d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Επομένως: ln I () () I I ln I.