* Aksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na zatezanje ili pritisak. JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials,, Cengage g Learning, Seventh Edition, 2009. *RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011. OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 33
Saint-Venant-ov (Sen-Venan) princip Opterećenje iskrivljuje linije u blizini njegove primjene Linije koje su daleko od primjene opterećenja i oslonaca su prave a-a b-bb c-cc Napon i deformacija koji se javljaju u tačkama tijela koje su dovoljno daleko od područja primjene tog opterećenja biće isti kao napon i deformacija bilo kojeg opterećenja koje ima istu, statički ekvivalentnu, rezultantu i koji su primijenjeni u istoj oblasti. Opterećenje iskrivljuje linije u blizini oslonaca OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 34
* Izduženje aksijalno opterećenog elementa I) konstantan poprečni presjek i opterećenje σ = F A σ = Eε ε = δ L σ FL δ = ε L = L δ = (2.1) E EA *RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011. OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 35
Izduženje aksijalno opterećenog elementa II) promjena parametara po segmentima Ukoliko je šipka podijeljena na nekoliko aksijalnih sila uzdužno, ili se mijenja poprečni presjek ili modul elastičnosti, ukupno izduženje je jednako zbiru izduženja pojedinačnih segmenata u kojima su ove veličine konstantne. F L A E i i δ = (2.2) i i i Čelična cijev Al cijev OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 36
Izduženje aksijalno opterećenog elementa III) proizvoljan poprečni presjek i opterećenje F(x) F(x) F( ( x ) σ = A( x) F( xdx ) dδ = AxE ( x ) σ = ε E L dδ F ( x ) dx ε = δ = (2.3) 0 dx A( xe ) OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 37
Primjer 2.1: Element ABC na slici, dužine L, sastavljen je od dva dijela iste dužine (0.6 m), ali različitih prečnika, i izložen sili od P=110 kn. Dio AB ima prečnik d 1 =100 mm, a segment BC d 2 =60 mm. Segment AB je uzužno izbušen do polovine dužine (0.3 m). Dio je napravljen od plastike modula elastičnosti E=4 MPa. a) Ukoliko je dozvoljeno sabijanje dijela 8mm, koliko je maksimalno dozvoljeni prečnik rupe? b) Ako je maksimalni prečnik rupe jednak d 2 /2, na kojoj udaljenosti od tačke C treba primijeniti silu P da se šipka ne skrati 8 mm. c) Ako je maksimalni prečnik rupe jednak d 2 /2, a sila primijenjena na krajevima, koja je dozvoljena dubina rupe ako je skraćenje ograničeno na 8 mm. OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 38
Primjer 2.2: Stub koji se koristi kao oslonac za opremu u laboratoriji je obrađen uniformno kao na slici čitavom dužinom H. Svaki poprečni presjek stuba je kvadrat, pri čemu je vrh dimenzija b b, b, a baza 1.5b 1.5b. 1.5b. Izvesti formulu za deformaciju d usljed sile P koja djeluje na vrh. Pri tome pretpostaviti da je ugao zakošenja mali i da težina stuba nema uticaj na defromaciju. OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 39
Statički neodređeni aksijalno opterećeni elementi Problem je statički naodređen ako jednačine ravnoteže nisu dovoljne da bi se odredile sile reakcije. Σ F = 0 F F P= 0 Nedovoljno da bi se odredile reakcije!!! B A Dodatni uslov za određivanje sile reakcije su: uslovi kompatibilnosti ili kinematski uslovi specificiraju ograničenja u pomjeranju koja se javljaju u osloncima ili bilo kojoj drugoj tački u elementu. δ A = δ = B 0 OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 40
Statički neodređeni aksijalno opterećeni elementi Σ F = 0 F F P = 0 B A δ A FL AE = δ = B 0 FL = AE A AC B CB 0 LCB FA = P FB = P L L L AC OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 41
Statički neodređeni aksijalno opterećeni elementi Princip superpozicije Princip superpozicije: rezultujući naponi ili pomjeranja u nekoj tački mogu se odrediti algebarskim sabiranjem napona ili pomjeranja koja su uzrokovana svakom komponentom pojedinačno. Uslovi za primjenu uslova superpozicije: 1. Opterećenje mora biti linearno u odnosu na napon ili pomjeranje koje treba odrediti 2. Opterećenje ne smije značajno promijeniti početnu geometriju ili konfiguraciju elementa na koji djeluje OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 42
Statički neodređeni aksijalno opterećeni elementi Metod fleksibiulnosti ili metod sila (jednačina kopatibilnosti predstavljena principom superpozicije) + δ δ = P PL EA AC δ = B FBL EA LAC δ = 0 PL F L = 0 F = P L P B AC B B CB OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 43
Primjer 2.3: Dio ABCD s fiksiranim krajevima sastoji se od tri prizmatična segmenta, kao na slici. Krajnji segmenti imaju površinu poprečnog presjeka od A 1 =840 mm 2 i dužinu L 1 =200 mm. Srednji segment ima površinu poprečnog presjeka od A =1260 2 2 mm i dužinu L 2 =250 mm. Opterećenja su: P B =25.5 kn i P C =17.0 kn. a) Odrediti reakcije R A i R D u fiksiranim osloncima. b) Odrediti pritisnu aksijalnu silu F BC u srednjem segmentu. OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 44
Primjer 2.4: Kruta šipka AB dužine L oslonjena je u tački A i ovješana pomoću dvije vertikalne žice u tačkama C i D. Obe žice imaju isti poprečni presjek A, i izrađene su od istog materijala modula elastičnosti E. a) Odrediti napone σ C i σ D u žicama usljed opterećenja P koje djeluje u tački B. b) Naći pomjeranje tačke B. Podaci: L=1700 mm, A=18 mm 2, E=210GPa, h=450 mm, c=500 mm, d=1250 mm, P=750 N. OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 45
Izduženje aksijalno opterećenog elementa: utjecaj temperature Promjene temperature u elementu proizvode širenje ili skupljanje elementa, stvarajući tako tzv. termičke deformacije i napone. Defromacija: ε T = αδ T (2.4) α koeficijent termalnog širenja materijala, [1/K] Napon: σ = ε E = α T T ( Δ T ) E (2.5) Izduženje: δ = ε L= α T T ( Δ T ) L (2.6) OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 46
Primjer 2.5: Plastična šipka ACB sačinjena od dva različita puna dijela cilindričnog poprečnog presjeka nalazi se između dva kruta oslonca kao na slici. Šipka je izložena povećanju temperature od 30 C. a) Odrediti silu koja vlada u šipki, b) maksimalni napon u tački C, c) pomjeranje u tački C. Podaci: E=6 GPa, α=100 10-6 1/ C. OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba
Statički neodređeni aksijalno opterećeni elementi problemi Opšti princip rješavanja statički neodređenih aksijalno opterećenih elemenata 1. Postaviti jednačine ravnoteže (statičke, kinetičke jednačine) 2. Postaviti jednačine kompatibilnosti (geometrijske, kinematičke jednačine, jednačine konzistentne deformacije) 3. Postaviti relacije sila-deformacija ij (konstitutivne relacije) 4. Riješiti sistem jednačine dobiven kroz korake 1-3 OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 48
Statički neodređeni aksijalno opterećeni elementi problemi M1 M2 M3 OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 49
Napon u kosom presjeku Pojam elementa napona izolovani segment nekog elementa s ucrtanim naponima koji djeluju na njegove površine/stranice. Element napona OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 50
Napon u kosom presjeku OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 51
Napon u kosom presjeku N = Pcos θ V = Psinθ σ = θ N A 1 P = cos A 2 θ Istezanje pozitivan znak Pritisak negativan znak V P τθ = = sinθcosθ A A 1 Pozitivan znak ako tangencijalni napon teži rotirati materijal suprotno kretanju kazaljke na satu. OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 52
Napon u kosom presjeku N P 2 2 σθ = = cos θ = σx cos θ 2 1 cos θ = (1 + cos 2 θ ) A 1 A 2 V P 1 τθ = = sinθcosθ = σx sinθcosθ sinθ cosθ = sin 2θ A A 2 1 σ x σθ = (1+ cos 2 θ ) 2 (2.7) σ x τθ = sin 2θ 2 (2.8) OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 53
Napon u kosom presjeku Maksimalni normalni i tangencijalni napon σ = σ za θ = 0 ( τ = 0) max σ = 0 za θ =± 90 ( τ = 0) min x σx σx τ max = za θ = 45 ( σ = ) 2 2 σ x σ x τmin = za θ = 45 ( σ = ) 2 2 OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 54
Primjer 2.6: Plastična šipka, pravougaonog poprečnog presjeka, je ugrađena između krutih oslonaca, ali bez početnog napona. Kada se temperatura u šipki poveća 40 C, u ravni pq se javi pritisni napon od 12 MPa. a) izračunati tangencijalni napon u ravni pq. b) nacrtaj element napona orijentisan prema ravni pq i pokaži napone koji djeluju na sve površi elementa. Podaci: α=108 10-6 1/ K, E=3 GPa, b=37.5 mm, h=75mm OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 55
Deformacioni rad W δ = Pd 1 δ1 0 Izduženje šipke proizvodi deformaciju, čime se povećava energija šipke, tzv. energiju deformacije ili deformacioni rad. δ U = W = Pdδ (2.9) 0 1 1 OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 56
Deformacioni rad Linearno elastično ponašanje materijala 1 U = W = Pd = P 2 δ 0 1 δ1 δ (2.10) U U 2 PL = (2.11) 2EA 2 EAδ = (2.12) 2L Nejednake šipke U = U = i i 2AiE i 2 PL 2 i i [ ( )] L Px dx U = (2.13) 0 2 A( xe ) OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 57
Primjer 2.7: Odrediti deformacioni rad prizmatične šipke koja je učvršćena u svom gornjem dijelu, kao na slici, i to za slučajeve: a) usljed sopstvene težine, b) usljed sopstvene težine i djelovanja sile P. OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 58
Primjer 2.8: Odrediti okomito pomjeranje tačke B nosača na slici. Uzeti da oba štapa imaju istu aksijalnu krutost EA. OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 59