Ssteme de ecuaţ elare 9 Ssteme de ecuaţ elare Î acest catol abordăm roblema reolvăr umerce a sstemelor de ecuaţ alebrce elare Cosderăm următorul sstem de ecuaţ î care cel uţ ua d ucţle u este lară Sub ormă vectorală sstemul se scre ude T ş [ ] T Dacă aduăm î amb membr ş otăm cu G sstemul se oate ue sub orma echvaletă G Evdet estă ş alte metode de a ue sstemul sub orma Eemlul Se observă că rma ecuaţe u este lară Acest sstem se oate ue sub orma echvaletă Sstemul d oarte smlu se oate reolva cu metoda substtuţe Îlocud î rma ecuaţe obţem 9 ecuaţe care admte ± rădăcle
9 Baele Aale Numerce Aşadar soluţle eacte ale sstemulu sut ş e D [ ] o vecătate a uctulu Î această vecătate sstemul se oate ue sub orma echvaletă ~ ~ ş sut varate echvalete de tul ale sstemulu î vecătatea uctulu Î cotuare reetăm două metode umerce de reolvare aromatvă a sstemelor elare etoda aromaţlor succesve e D R o mulţme coveă mărtă ş îchsă ş e sstemul G D Presuuem de asemeea că Notăm cu G C D Î aceste codţ estă m su D m m m m m m Teorema Dacă G C D G D D ş < atuc sstemul G admte o sură soluţe î domeul D care se ală cu metoda aromaţlor succesve Demostraţe e D ş D oarecare D Teorema lu Larae etru ucţ de ma multe varable reultă că etru orce estă ξ θ < θ < astel îcât
Ssteme de ecuaţ elare 9 ξ ξ Ţâd seama că D m reultă m m m ş ma dearte m G G ma ma Cum < reultă că alcaţa este o cotracţe D D G : Coorm teoreme de uct a lu Baach reultă că estă uc astel îcât Aşadar * este soluţa ucă a sstemulu d domeul D Această soluţe se ală cu metoda aromaţlor succesve e oarecare ş e şrul aromaţlor succesve * D * * G D G Acest şr este coveret î R ş lmta sa este soluţa sstemulu ş dec a sstemulu echvalet resectv Teorema lu Baach e dă ş evaluarea eror ş aume lm * * Observaţa Teorema rămâe valablă ş dacă orma se îlocueşte cu altă ormă de matrce de eemlu sau Cosderăm d ou sstemul d eemlul Î domeul [ ] D acest sstem este echvalet cu sstemul Î acest domeu sstemul admte o sură soluţe ş aume
9 Baele Aale Numerce Deoarece [ ] 888 798 ş reultă 9 ş 8 8 dec Aşadar dacă D atuc D Î cotuare avem ; ; m m ; m ; m 9 < ş < Aleem ş cetrul dretuhulu Se obţ următoarele valor etru şrul aromaţlor succesve Nr de teraţ 9 78 88 87 88 7 79 7 7 7 7 Î cotuare reetăm metoda aromaţlor succesve etru o sură ecuaţe elară e dec ecuaţa a b [ ] Această ecuaţe se ue sub orma echvaletă [ a b] D Teorema reultă că dacă C a b : a b a b su ; a b < [ ] [ ] [ ] ş { [ ]} atuc ecuaţa admte o sură rădăcă î tervalul [ a b] ş aceasta este * lm ude ar [ a b] este arbtrar Eemlu e ecuaţa ; [ ; ]
Ssteme de ecuaţ elare 9 orma echvaletă este Avem ş < [ ; ] Se oate alee Şrul aromaţlor succesve este Se obţ următoarele valor etru şrul aromaţlor succesve Numărul teraţe etoda Newto - Rahso e D R o mulţme coveă mărtă ş îchsă ş e sstemul elar Presuuem că D T este o soluţe olată a sstemulu T D ş că este u uct aroat de adcă << Presuuem de asemeea că ucţle sut de clasă C e D Î aceste codţ dacă D se ală îtr-o vecătate sucet de mcă a uctulu avem d Reultă că sstemul se oate îlocu cu sstemul lar aroat d d Sub orma vectorală sstemul se scre ude d T ş d d d Deoarece sstemul este aroat de sstemul e aştetăm ca soluţa sa să e aroată de soluţa a sstemulu T
9 Aşadar vercă relaţa d Î cotuare cosderăm sstemul lar Baele Aale Numerce d ş e aştetăm ca soluţa sa să se aroe ma mult de Aşadar vercă relaţa d Î eeral cosderăm şrul de vector { } d ş e aştetăm că { } să coveară la Reamtm că etru orce a D ş orce cu roretatea: T h hh R dah ah ude a a a a a Dacă resuuem că este esulară atuc d cotutate reultă că estă o vecătate V a uctulu a astel îcât este esulară etru orce V Î această codţe d reultă Teorema e D R o mulţme coveă mărtă ş îchsă D o soluţe olată a sstemulu ş e r > astel îcât bla Br { R ; < r} D Presuuem că C D B r Estă > astel îcât Estă > astel îcât B orcare ar Atuc şrul { } det de are roretăţle: r
Ssteme de ecuaţ elare 97 a b Dacă < atuc şrul { } este coveret ş lm Demostraţe D ormula Talor reultă că etru orce ş orce N estă u uct e semetul de dreată deschs de caete ş ξ astel îcât! d d ξ Ţâd seama că d ξ ξ ş de otea reultă d Î cotuare avem d Pe de altă arte d reultă 7 d d Cum d ş 7 obţem d sau 8 Î sârşt ţâd seama ş de otea avem Aşadar am demostrat armaţa a
Baele Aale Numerce 98 Dacă otăm cu c d a reultă c 9 Partcularâd dcele obţem succesv c c c c c Dacă < c atuc lm dec { } este coveret ş Cu aceasta teorema este demostrată lm Eemlu Reluăm sstemul d Î domeul [ ] D sstemul admte o sură soluţe ş aume 798 888 ş ; ; ; ; Coorm avem
Ssteme de ecuaţ elare 99 Prmele teraţ sut reetate î tabelul următor Numărul teraţe 889 88 7 79 798 [ ] ; 9 ma Aşadar utem lua 9 ; ; ; ş dec 7 88 8 9 < Reultă că alortmul Newto Rahso este coveret î acest ca Observaţa etoda Newto eusă ac are u coveet maor ş aume atul că la ecare as trebue calculată versa D motve de cotutate utem resuue că îtr-o vecătate sucet de mcă a uctulu avem Se obţe astel metoda Newto modcată v v v v Observăm că v dar î eeral v etru > L Katorovc a studat metoda Newto modcată ş a dat codţ sucete care asură covereţa alortmulu
Baele Aale Numerce Î cotuare să aalăm metoda NewtoRahso etru o sură ecuaţe elară [ab] Presuuem că ecuaţa admte o sură rădăcă [ab] Alortmul reve la ' [ a b] B a O b A D uct de vedere eometrc reretă abscsa uctulu î care taeta la racul ucţe î uctul [ ] îtâleşte aa O Îtr-adevăr ecuaţa taete la rac î uctul [ ] este e abscsa uctulu î care această taetă îtâleşte aa O Avem ş ma dearte ' adcă rma teraţe d e m { ; [ab]} Atuc utem lua Evdet m m su{ " ; [ab]} Alortmul este coveret dacă <
Ssteme de ecuaţ elare Eemlul e ecuaţa - - ; [] Ecuaţa admte o sură rădăcă reală < ; > Alortmul este arbtrar ; ; " ; 8 9 < < de ude reultă covereţa şrulu { } det de Valorle obţute dua rmele teraţ sut trecute î tabelul de ma os Numărul teraţe 8 97 9 9 9 Eercţ Să se ăsească soluţa aromatvă a sstemulu stuată î dretuhul D [- ] [ ] olosd metoda aromaţlor succesve R Cosderăm G : D D ude G su m ar dec G D
Baele Aale Numerce este o cotracţe ş şrul aromaţlor succesve G covere la soluţa sstemulu Valorle obţute duă rmele teraţ sut trecute î tabelul de ma os Numărul teraţe -7 8-79 7 99 9999 Să se ăsească soluţa aromatvă a sstemulu stuată î dretuhul D olosd metoda aromaţlor succesve R Puem sstemul sub orma ş atuc G este o cotracţe a lu D Îtr-adevăr su D m ar 7 dec G este o cotracţe ş şrul aromaţlor succesve G covere la soluţa sstemulu Cosderâd ş avem: Numărul teraţe 7 Să se ăsească soluţa aromatvă a ecuaţe e - - stuată î tervalul [ ] olosd metoda aromaţlor succesve
Ssteme de ecuaţ elare e R Ecuaţa se oate ue sub orma ϕ ude ϕ este o cotracţe ş şrul aromaţlor succesve ϕ covere la soluţa ecuaţe Valorle obţute duă rmele teraţ sut trecute î tabelul de ma os Nr de teraţ 97 8 9 * Să se ăsească soluţa aromatvă d cadraul îtâ etru sstemul l olosd metoda Newto R Şrul aromaţlor succesve ude: l Se obţ: - 9 8 99 ; - 8 97-9 8 99 ; - 9-7 77 87 ; - 8 79-97 77 87-7 9-97 77 87 ş a m d - 7 9 Să se ăsească soluţa aromatvă > > etru sstemul
Baele Aale Numerce olosd metoda Newto R Şrul aromaţlor ude: Se obţ următoarele reultate dacă se oreşte cu : 7 7 ; 7 9 89 88 89 ; 898 88 8 8 ; 7 9 87 9 79 77 9 87 799 77 olosd metoda Newto să se aromee soluţa otvă a sstemulu de ecuaţ elare cosderâd X R Şrul aromaţlor ude : ; ; X X
Ssteme de ecuaţ elare - - X Se obţ următoarele reultate dacă se oreşte cu : X 7 7 7 X ; 7 87 X 7-899 97-8 8 7 79 X ; 99 9 7898 X 7-8978 98-9 8 9 7 X ; 99 9 78 X 7 Să se ăsească soluţa aromatvă > > etru sstemul olosd metoda Newto modcată R Şrul aromaţlor succesve ude: Se obţ următoarele reultate dacă se oreşte cu :
Baele Aale Numerce 7 77 7 79 8 98 7 79 79 7 77