3. KRIVULJE DRUGOG REDA

3. KRIVULJE DRUGOG REDA U realnoj projektivnoj ravnini konike ili krivulje drugog reda definiraju se ovako: Definicija 3.1. Skup svih točaka projektivne ravnine čije koordinate zadovoljavaju algebarsku jednadžbu drugog reda a 00 x 2 0 + a 11x 2 1 + a 22x 2 2 +2a 01x 0 x 1 +2a 02 x 0 x 2 +2a 12 x 1 x 2 =0 nazivamo konikom ili krivuljom drugog reda. Gornji izraz možemo zapisati i u matričnom obliku: X T AX =0, gdje je A simetrična matrica trećeg reda. Ukoliko je matrica A regularna tada govorimo o nesingularnim (nedegeneriranim, neraspadnutim) konikama. S obzirom na presjek konike i nepravog pravca, nesingularne konike dijelimo u tri skupine: elipse (ne sadrže neprave točke), parabole (sadrže jednu nepravu točku) i hiperbole (sijeku nepravi pravac u dvije točke). Opširnije o konikama može se naći u knjigama Projektivna geometrija, [3], i Elementarna matematika 2, [7]. Budući da se radi o objektima koje su poznavali već i stari narodi, u upotrebi su različite definicije konika. Tako ih starogrčki matematičari definiraju kao presjeke stošca ravninom. Odatle potječe i hrvatski naziv čunjosječnice. Poznata nam je i Pappus-Boškovićeva definicija konika pomoću omjera udaljenosti od fokusa i od direktrise, [7]. A u našim srednjim školama uvriježile su se definicije kojima su konike opisane kao geometrijska mjesta točaka koje zadovoljavaju izvjesna svojstva. Ponovimo te definicije i neka svojstva konika.

4. Krivulje drugog reda 20 3.1. Elipsa Definicija 3.2. Neka su F 1 i F 2 dvije čvrste točke ravnine π i neka je a pozitivan realni broj, a> 1 2 F 1F 2. Skup svih točaka ravnine π za koje je zbroj udaljenosti do točaka F 1 i F 2 jednak 2a nazivamo elipsa sa žarištima F 1 i F 2 i duljinom velike poluosi a. Opišimo neke simbole i termine koje ćemo koristiti uz elipsu. Kao što je već rečeno u definiciji, dane čvrste točke F 1 i F 2 nazivaju se žarišta ili fokusi elipse. Polovište O dužine F 1 F 2 zovemo središte elipse. Točke A 1 i A 2 elipse koje pripadaju pravcu F 1 F 2 zovemo tjemenima ili vrhovima elipse. Dužina A 1 A 2 naziva se velika os elipse, broj 2a zovemo duljina velike osi, a broj a duljina velike poluosi. Iz definicije elipse jasno je da je OA 1 = OA 2 = a. Simetrala dužine F 1 F 2 naziva se smjer male osi, a točke B 1 i B 2 elipse na tom pravcu zovu se tjemena ili vrhovi elipse. Dužina B 1 B 2 naziva se mala os, a broj b = OB 1 = OB 2 duljina male poluosi. Dužina koja spaja bilo koju točku T elipse s jednim njezinim žarištem zove se radij-vektor točke T. Spomenimo još dvije numeričke karakteristike elipse: linearni i numerički ekscentricitet. Linearni ekscentricitet, u oznaci e, jednak je 1 F 2 1F 2, dok je numerički ekscentricitet, s oznakom ε, jednak a. e Odaberemo li pravokutni koordinatni sustav u ravnini tako da se x i y osi podudaraju sa smjerovima velike i male osi elipse, tada jednadžba elipse ima oblik x 2 a 2 + y2 b 2 =1.

4. Krivulje drugog reda 21 Primjer 3.1. Konstruirajmo elipsu kojoj su zadana žarišta F 1 i F 2 (e = 1.6) i duljina velike poluosi a =2. Ovo je tzv. konstrukcija elipse po definiciji ili vrtlarska konstrukcija. Prvo odredimo središte elipse kao polovište dužine F 1 F 2, te vrhove A 1,A 2 na velikoj osi. Potom odredimo vrhove B 1,B 2 na maloj osi konstruirajući jednakokračne trokute F 1 B 1 F 2 i F 1 B 2 F 2 s krakovima duljine a. Za konstrukciju daljnjih točaka elipse odaberimo polumjer r 1 > 2e, te opišimo kružnice k 1 i k 2 oko F 1 i F 2 s tim polumjerom. Zatim oko F 1 i F 2 opišimo kružnice k 3 i k 4 s polumjerom 2a r 1. Točke presjeka kružnica k 1 i k 3, odnosno kružnica k 2 i k 4 su točke elipse. Na ovaj način dobivene su četiri točke elipse. Postupak ponavljamo. Istaknimo nekoliko svojstava elipse. Propozicija 3.1. Za duljine poluosi a i b, te za linearni ekscentricitet e elipse vrijedi a 2 b 2 = e 2. Dokaz. Vrh B 1 nalazi se na simetrali dužine F 1 F 2, pa je F 1 B 1 = F 2 B 1. Uz to, nalazi se i na elipsi pa je F 1 B 1 + F 2 B 1 =2a, tj. F 2 B 1 = a. Trokut OF 2 B 1 je pravokutni trokut, te je prema Pitagorinom teoremu F 2 B 1 2 = OF 2 2 + OB 1 2, tj. odakle slijedi tvrdnja. a 2 = e 2 + b 2

4. Krivulje drugog reda 22 Propozicija 3.2. Tangenta t u točki T elipse raspolavlja vanjski, a normala unutarnji kut što ga tvore dva radij-vektora točke T. Dokaz. Radij-vektor r 1 = F 1 T produljimo preko točke T za F 2 T. Tako dobivenu točku označimo sa S. Očito je trokut F 2 TS jednakokračan s osnovicom F 2 S. Uz to, vrijedi F 1 S = F 1 T + TS = F 1 T + F 2 T =2a. Neka je pravac t simetrala dužine F 2 S,a time i simetrala kuta F 2 TS. Dokažimo da je t ujedno i tangenta elipse. Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji točka P na pravcu t koja je ujedno i točka elipse i koja je različita od T. U trokutu F 1 PS vrijedi nejednakost trokuta F 1 P + PS > F 1 S. Budući da točka P leži na simetrali dužine F 2 S, vrijedi PS = F 2 P. Sad gornja nejednakost prelazi u oblik F 1 P + F 2 P > F 1 S =2a, što znači da točka P ne leži na elipsi, a to je u suprotnosti s pretpostavkom. Dakle, pravac t je tangenta elipse, čime je tvrdnja dokazana. Propozicija 3.3. Točka koja je simetrična jednom žarištu elipse s obzirom na tangentu elipse naziva se suprotište tog žarišta s obzirom na tu tangentu. Sva suprotišta jednog žarišta leže na kružnici k 1 polumjera 2a sa središtem u drugom žarištu. Kružnica k 1 naziva se kružnica suprotišta prvog žarišta.

4. Krivulje drugog reda 23 Dokaz. Dokaz se zasniva na svojstvu tangente dokazanom u prethodnoj propoziciji. Tangenta t je os simetrije jednakokračnog trokuta F 2 TS. Stoga je točka S simetrična žarištu F 2 s obzirom na tangentu t, tj. S je suprotište žarišta F 2 s obzirom na tangentu t. Za svako suprotište S žarišta F 2 vrijedi F 1 S = 2a, pa suprotišta žarišta F 2 leže na kružnici središta F 1 i polumjera 2a. Propozicija 3.4. Nožišta okomica spuštenih iz oba žarišta elipse na tangentu elipse leže na kružnici k polumjera a sa središte u središtu elipse. Tu kružnicu nazivamo glavna kružnica elipse. Dokaz. Promotrimo opet sliku iz dokaza Propozicije 3.2. i dopunimo je nožištima L i K okomica iz žarišta F 1 i F 2 na tangentu t, te suprotištima S 1 i S 2 žarišta F 1 i F 2 s obzirom na tangentu t.

4. Krivulje drugog reda 24 Trokuti F 1 S 1 F 2 i OKF 2 su slični jer imaju zajednički kut F 1 F 2 S 1 i dva para proporcionalnih stranica: F 1 F 2 = 2 OF 2 i F 2 S 1 =2 F 2 K. Prema tome, slijedi da je i F 1 S 1 =2 OK, a budući da je F 1 S 1 =2a, dobivamo da je OK = a. Dakle, nožište K pripada glavnoj kružnici. Dokaz za točku L dobivamo analogno promatrajući slične trokute F 2 S 2 F 1 i OLF 1. Primjer 3.2. Iz točke T izvan elipse konstruirajmo tangente na elipsu i odredimo dirališta koristeći se svojstvom suprotišta. Elipsa je odredena poluosima a = 4, b =2.4. Analiza. Elipsa je dana svojim osima pa je lako odrediti položaj njezinih žarišta F 1 i F 2. Neka su t 1 i t 2 tangente na elipsu povučene iz točke T. Prema Propoziciji 3.3., suprotišta S 1,S 2 žarišta F 2 s obzirom na tangente t 1 i t 2 leže na kružnici suprotišta K 1 (F 1, 2a). Uz to, tangenta t 1 je simetrala dužine F 2 S 1, pa je TF 2 = TS 1, tj. S 1 leži na kružnici k(t, TF 2 ). Analogno, tangenta t 2 je simetrala dužine F 2 S 2, pa je TF 2 = TS 2, tj. S k(t, TF 2 ). Dakle, suprotišta S 1 i S 2 su točke presjeka kružnice k(t, TF 2 ) i kružnice suprotišta k 1 (F 1, 2a). Tangente t 1 i t 2 su simetrale dužina F 2 S 1 i F 2 S 2, a dirališta D 1 i D 2 su presjeci tih tangenata i dužina F 1 S 1 i F 1 S 2 redom. Primjer 3.3. Zadane su točke F 1 i F 2, te pravac t koji ne siječe dužinu F 1 F 2. Konstruirajmo osi elipse kojoj su točke F 1 i F 2 žarišta, a pravac t tangenta. Analiza. Prema Propoziciji 3.4., nožište K okomice na tangentu t elipse leži na glavnoj kružnici k(o, a) te elipse. Poznavajući središte glavne kružnice (to je polovište dužine F 1 F 2 ) i točku K znamo i odrediti duljinu velike poluosi. Duljinu male poluosi potom odredimo koristeći Propoziciju 3.1.

4. Krivulje drugog reda 25 Rezultat koji ćemo u velikoj mjeri koristiti u nacrtnoj geometriji pri projiciranju kružnica jest sljedeći teorem. Teorem 3.1. Perspektivno afina slika kružnice je elipsa. Dokaz. Dat ćemo jedan analitički dokaz ove tvrdnje. Neka je dana perspektivna afinost (o : O, O). Prema već dokazanom teoremu, postoji jedan par okomitih pravaca OA, OB sa sjecištem u O koji se afino preslikava u par okomitih pravaca OA, OB sa sjecištem u O. Uvedimo koordinatni sustav s osima OA, OB i ishodištem O, a jedinične točke na osima označimo s E i F. Pri afinom preslikavanju točke E i F preslikavaju se u točke E i F na pravcima OA, OB i neka vrijedi O E = a, O F = b. Izračunajmo koordinate slike točke T 1 s osi OA. Njezine koordinate su T 1 (x, 0), a budući da perspektivna afinost čuva omjer koordinate njezine slike su T 1 (x, 0) = (ax, 0). Analogno, koordinate slike točke T 2 (0,y) s druge koordinatne osi su T 2 (0,yb). Bilo koja točka T (x, y) ravnine se afino preslika u točku T (ax, by). Kružnica čije točke zadovoljavaju jednadžbu (x p) 2 +(y q) 2 = r 2 pri perspektivnoj afinosti preslikava se u krivulju čije točke (x, y) zadovoljavaju ( x a p a ) 2 ( y + b q ) 2 = r 2, b pri čemu je (p, q) =(ap, bq) slika središta kružnice. Sredivanjem dobivamo (x p) 2 (y q)2 + =1, (ar) 2 (br) 2 tj. dobivena je krivulja elipsa.

4. Krivulje drugog reda 26 Budući da su paralelnost i djelišni omjer invarijante perspektivne afinosti, ona svojstva kružnice koja su vezana uz paralelnost i omjere ostaju sačuvana, tj. vrijede i za elipsu. Označimo sa S središte kružnice. Prvo zbog očuvanja incidencije imamo da se svaki promjer kružnice (tetiva koja sadrži S) preslikava afinošću u promjer elipse, tangenta kružnice preslikava se u tangentu elipse, diralište tangente kružnice u diralište tangente elipse, a zbog svojstva da je S polovište svakog promjera kružnice, imamo da je i njegova afina slika S polovište svakog promjera elipse. Za svaki promjer AB kružnice postoji njemu okomiti promjer CD koji raspolavlja tetive paralelne sa AB i prolazi diralištima obiju tangenata kružnice paralelnih sa AB. Pri afinom preslikavanju, promjer AB preslika se u promjer A B, a promjer CD u promjer elipse C D koji ima svojstvo da raspolavlja svaku tetivu elipse paralelnu s A B i prolazi diralištima tangenata elipse paralelnih s A B. Promjere A B i C D nazivamo konjugiranim promjerima elipse. Točke C i D su dirališta tangenata elipse koje su paralelne s promjerom A B i obratno. Općenito, kut izmedu dva konjugirana promjera je bilo koji šiljasti kut, osim u slučaju kad su promatrani konjugirani promjeri velika i mala os elipse. U tom slučaju, kut izmedu njih je 90. Kod kružnice, svaki par konjugiranih promjera je medusobno okomit. Konstrukcija elipse pomoću jedne tjemene kružnice. Dana je perspektivna afinost (o : C 1,C) pri čemu je C 1 C okomito na os o i C 1 C o = O. Odredimo perspektivno afinu sliku kružnice k sa središtem u O koja prolazi točkom C 1. Uvedimo koordinatni sustav tako da su pravci o i C 1 C osi koordinatnog sustava. U njemu točke C 1 i C imaju koordinate C 1 (0,a), C(0,b), a>b. Neka je T (x, y) afina slika točke T (x, y) s kružnice k. Konstruktivno točku T dobivamo na dobro poznati način kao presjek zrake afinosti kroz T i pravca koji spaja fiksnu točku pravca C 1 T stočkom C.

4. Krivulje drugog reda 27 Budući da afinost čuva omjere, slijedi da je y : y = a : b, tj. y = b y. Uz to je i a x = x. Točka T (x, y) pripada kružnici, pa za njezine koordinate vrijedi x 2 +y 2 = a 2, što nakon uvrštavanja prelazi u ( ) a 2 x 2 + y 2 = a 2, tj. b x 2 a 2 + y2 b 2 =1, tj. točka T pripada elipsi čija je velika os upravo onaj promjer kružnice koji se nalazi na osi o, a mala poluos je dužina CO. Dakle, elipsa je dobivena kao afina slika velike tjemene kružnice, pri čemu se radilo o afinosti čije su zrake afinosti ortogonalne na os. Elipsa se može dobiti i kao afina slika male tjemene kružnice k(o, b = OC ). U ovoj ortogonalnoj afinosti os je pravac CD, a par pridruženih točaka je A 1 A, a = OA. Konstrukcija elipse pomoću dvije tjemene kružnice. Prethodno nam je razmatranje dalo mogućnost da elipsu dobijemo kao afinu sliku velike, odnosno male tjemene kružnice elipse. U sljedećem ćemo tekstu pokazati kako kombinacijom ova dva postupka dobivamo izuzetno jednostavnu konstrukciju elipse. Neka je k(o, OC 1 = a) velika tjemena kružnica koja se afinošću ( o = AO : C 1,C) preslikava u elipsu, a k(o, OA 2 = b) neka je mala tjemena kružnica koja se afinošću (o = CO : A 2,A) preslikava takoder u tu istu elipsu. Središtem O kružnice povucimo polupravac koji veliku kružnicu siječe u točki P, a malu u točki Q. Prva afinost točku P (x P,y P ) preslikava u P čije koordinate su P (x P, b y a P ). Druga afinost točku Q(x Q,y Q ) preslikava u Q čije koordinate su Q( ax b Q,y Q ).

4. Krivulje drugog reda 28 Pokažimo da su točke P i Q jednake. Naime, iz sličnosti trokuta OQQ 1 i OPP 1 slijedi da je OQ = OQ 1, tj. b = x Q OP OP 1 a x P, pa je x P = ax b Q. Dakle, promatrane točke imaju jednake prve koordinate. Iz iste sličnosti imamo OQ = QQ 1, tj. b = y Q OXP PP 1 a y P, pa je y Q = b y a P. Dakle, promatrane točke imaju jednake i druge koordinate, tj. P = Q = T. Zbog prve afinosti točka T pripada zraci afinosti kroz P, tj. pripada okomici na OA kroz P, a zbog druge afinosti točka T pripada zraci afinosti kroz Q, tj. pripada okomici na OC kroz Q. Time se točka T dobiva kao presjek okomica kroz točke P i Q. Ovime je analiza zadatka gotova. Konstrukcija točke elipse provodi se tako da povučemo bilo koju zraku kroz O. Ona siječe malu tjemenu kružnicu u točki Q, a veliku u P. Točkom P spustimo okomicu na os AB, a točkom Q okomicu na os CD. Te se okomice sijeku u točki T koja pripada elipsi. Primjer 3.4. Perspektivna afinost zadana je svojom osi o i parom pridruženih točaka T T. Dana je kružnica k(s, r). Konstruirajmo glavne osi elipse dobivene kao afina slika kružnice k. Rješenje ovog primjera temeljimo na primjeni teorema da u skupu pravih kutova s vrhom u točki T postoji jedan pravi kut koji se danom perspektivnom afinošću preslikava u pravi kut. Neka je k(s, r) dana kružnica. Prvo preslikamo njezino središte u točku S i nademo presjek M simetrale dužine SS i osi o. Opišemo kružnicu sa središtem u M kroz točke S i S. Ona siječe os o u točkama K i L. Povučemo pravce SL, SK, SL i SK. Prema Talesovom teoremu o obodnom kutu nad promjerom pravci SL i SK su okomiti, a isto tako i drugi par pravaca. Neka su k SK = {1, 2} i k SL = {3, 4}. Njihove afine slike su tjemena tražene elipse.

4. Krivulje drugog reda 29 Rytzova konstrukcija elipse. Ovo je konstrukcija koju koristimo pri odredivanju glavnih osi elipse u slučaju kad je dan jedan par konjugiranih promjera elipse. Analiza. Neka su dane kružnice k(o, a) ik(o, b) koje su tjemene kružnice elipse E s glavnim osima CA i BD. Neka su OP 1 i OQ 1 dva medusobno okomita polumjera kružnice k(o, a). Polumjer OP 1 siječe kružnicu k(o, b) u točki P 2,a polumjer OQ 1 siječe ju u točki Q 2. Kao što je opisano u konstrukciji elipse pomoću dvije tjemene kružnice, točke P 1 i P 2 odreduju točku elipse P, a točke Q 1 i Q 2 odreduju točku elipse Q. Dužine OP i OQ su par konjugiranih polumjera elipse E. Rotirajmo pravokutni trokut Q 1 QQ 2 za 90 tako da se Q 1 preslika u P 1. Slika tog trokuta je P 1 QP 2. Vrijede sukladnosti P 1 QP 2 = Q1 QQ 2 = P1 PP 2, pri čemu posljednja sukladnost vrijedi jer se radi o pravokutnim trokutima čiji šiljasti kutovi su kutovi s okomitim kracima i P 1 P 2 = Q 1 Q 2. Dakle, PP 1 QP 2 je pravokutnik čije stranice su paralelne s osima elipse. Presjek dijagonala tog pravokutnika označimo sa R. Neka pravac P Q siječe veliku os u točki M, a malu u točki N. Dokažimo da vrijedi MQ = a i NQ = b. Prvo zamijetimo da je trokut ORM jednakokračan s osnovicom OM, jer je sličan jednakokračnom trokutu P 2 RP. Osim toga je RQ = RP 1 jer je R središte pravokutnika. Dakle, vrijedi a = OP 1 = OR + RP 1 = MR + RQ = MQ. Analogno, promatrajući jednakokračan trokut NOR dobivamo da je b = OP 2 = OR RP 2 = NR QR = NQ.

4. Krivulje drugog reda 30 Osim toga iz jednakokračnosti trokuta ORM i NOR dobivamo da je OR = RM = RN, pa točke M,N i O leže na kružnici sa središtem u R i promjerom MN. Ovime je gotova analiza problema. Konstrukcija glavnih osi elipse ako su zadana dva medusobno konjugirana polumjera OP i OQ sada slijedi ovako: rotiramo polumjer OQ za 90 u položaj OQ. Nademo polovište R dužine P Q i opišemo kružnicu k(r, OR ). Ta kružnica siječe pravac P Q u točkama M i N. Na pravcima OM i ON leže glavne osi elipse, a njihove duljine su MQ i NQ. Primjer 3.5. Iz točke T izvan elipse konstruirajmo tangente na elipsu i odredimo dirališta primjenom perspektivne afinosti. Elipsa je odredena poluosima a i b, (a =4, b =2.4). Promotrimo afinost koja temeljnu kružnicu k(o, a = OC 1 ) preslikava u elipsu tako da točku C 1 preslikava u C, ( OC = b) i os afinosti je okomica na zraku afinosti kroz točku O. Pri toj afinosti točka T je slika neke točke T 1 koja se lako konstruira. Iz točke T 1 povucimo tangente t 1 i t 2 na kružnicu k(o, a). Njihova dirališta su D 1 i D 2. Budući da se tangente kružnice preslikavaju u tangente elipse, treba pomoću afinosti tangente t 1 i t 2 preslikati u pravce t 1 i t 2 koji su tangente elipse, a slike dirališta D 1 i D 2 će biti dirališta tangenata i elipse.