SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA SAU Predavanje Predmetni profeor: doc. dr. Vladimir Matić Predmetni aitent: doc. dr. Vladimir Matić e-mail: vmatic@ingidunum.ac.r
PITANJE 6. CRTANJE BODE-OVIH FREKVENCIJSKIH KARAKTERISTIKA I ANALIZA SISTEMA NA OSNOVU OVIH KARAKTERISTIKA
Analiza itema u frekvencijkom domenu je značajna jer e u njoj mogu uočiti neke od najznačajnijih oobina itema. Stoga je brzo kiciranje frekvencijkih karakteritika itema veoma važno. Pomatrajmo tabilan item a ledećom funkcijom prenoa: xt G yt
Neka je na ulazu ignal: y x t X in t t Y in t x t Xe jt y jt t g xt d g Xe Xe jt g e jt d d
j G d e g j j G j e j G j G arg j G j t j e e j X G t y arg j G j X G Y arg
log(w).5 0.5 0-0.5 - -.5-0 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00
Log - log kala f-ja log(w).5 0.5 0-0.5 - -.5-0 - 0-0 0 0 0
Log (/w).5 0.5 0-0.5 - -.5-0 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00
Log - log kala f-ja log(/w) 0 0 0 0 0-0 - - -.5 - -0.5 0 0.5.5
Bode(/) 5 Bode Diagram 0 Magnitude (db) -5-0 -5-0 -89-89.5 Phae (deg) -90-90.5-9 0 0 0 Frequency (rad/)
Bode (/) 40 Bode Diagram Magnitude (db) 0 0-0 -40-89 Phae (deg) -89.5-90 -90.5-9 0-0 - 0 0 0 0 Frequency (rad/)
Bode ( /(+) ) 0 Bode Diagram Magnitude (db) -0-0 -30-40 -50 0 Phae (deg) -45-90 0-0 - 0 0 0 0 Frequency (rad/)
Bode ( (+) ) 50 Bode Diagram Magnitude (db) 40 30 0 0 0 90 Phae (deg) 45 0 0-0 - 0 0 0 0 Frequency (rad/)
Bode (/ (^ + + )) 0 Bode Diagram Magnitude (db) -0-40 -60-80 -00 0 Phae (deg) -45-90 -35-80 0-0 - 0 0 0 0 Frequency (rad/)
Bode (/ (^ + 3 + 9)) Magnitude (db) 0-0 -40-60 Bode Diagram Sytem: G Frequency (rad/):.76 Magnitude (db): -8.5-80 0 Phae (deg) -45-90 -35-80 0-0 - 0 0 0 0 Frequency (rad/)
Bode (/ (^ + 4 + 6)) Magnitude (db) -0-40 -60 Bode Diagram Sytem: G Frequency (rad/): 3.77 Magnitude (db): -3.6-80 0 Phae (deg) -45-90 -35-80 0-0 - 0 0 0 0 Frequency (rad/)
Bode (/ (^ + 0.5 + 4)) 0 Bode Diagram Magnitude (db) 0-0 -40-60 -80 0 Phae (deg) -45-90 -35-80 0-0 - 0 0 0 0 Frequency (rad/)
Bode (/ (^ + + 4)) 0 Bode Diagram Magnitude (db) -0-40 -60-80 0 Phae (deg) -45-90 -35-80 0-0 - 0 0 0 0 Frequency (rad/)
Bode (/ (^ + + 4)) 0 Bode Diagram Magnitude (db) -0-40 -60-80 0 Phae (deg) -45-90 -35-80 0-0 - 0 0 0 0 Frequency (rad/)
Bode (/ (^ + 4 + 4)) Magnitude (db) 0-0 -40-60 -80-00 0 Bode Diagram Sytem: G Frequency (rad/):.0 Magnitude (db): -8. Phae (deg) -45-90 -35-80 0-0 - 0 0 0 0 Frequency (rad/)
Primer 6. Pomatrajmo item koji je predtavljen ledećom funkcijom prenoa: G G 0 0000 0 0 400 0000 0 /0 400 0 / 400 / 400 / /0 0 / 400 / 400 /
Primer 6. U želji da nacrtamo amplitudku frekvencijku karakteritiku itama treba pomatrati izraz: G j 0 0 400 0 400 G j 0log G j db 0
Primer 6. 400 0 400 0log 0 0log 0log 0 log0 j db G 0 0log 0 0log 0log log0 0 j db G 0 ~ 400 0
j 0log0 db rad / G 0 db rad /,0rad / G j db 0dB 0log 0rad /,0rad / G j 0 0log db 0log 0 0log 5 0 33,98dB
rad / G j db 33,98 40log 0
~ n n n Greška aprokimacije zavii od relativnog faktora prigušenja
400 0 400 arg 0 arctan arctan 400 0 400 arg 0 arg arg j j j j j G / / / ~ arg / 0 / / ~ arg /,0 / 0 / ~ arg /,0 / ~ 0 arg / j G rad j G rad rad j G rad rad j G rad
. Svaki realni pol itema aimptotku amplitudku frekvencijku karakteritiku obara za -0 decibela po dekadi.. Svaka realna nula itema aimptotku amplitudku frekvencijku karakteritiku podiže za +0 decibela po dekadi. 3. Par konjugovano kompleknih polova oblika obaraju aimptotku amplitudku frekvencijku karakteritiku za -40 decibela po dekadi na učetanoti ωn. 4. Par konjugovano kompleknih nula oblika podižu aimptotku amplitudku frekvencijku karakteritiku za +40 decibela po dekadi na učetanoti b.
Pomatrajmo item, prikazan na lici W Sitem a jadiničnom negativnom povratnom pregom čija je funkcija povratnog prenoa: W 00 4 8 6
Nacrtajmo Bodove frekvencijke karakteritike itema u otvorenoj prezi. Prvo je potrebno da ovaj item predtavimo u Bodeovoj formi 6 8 4 4.34 6 8 4 4 6 8 4 00 W
Magnitude (db) 00 50 0-50 -00 Sytem: H Frequency (rad/): 0.048 Sytem: H Magnitude (db): 44 Frequency (rad/): 0.0999 Magnitude (db): 7.5 Bode Diagram Sytem: H Frequency (rad/): 3.7 Magnitude (db):.54-50 -00 0-90 Phae (deg) -80-70 -360 0-0 - 0 0 0 0 0 3 Frequency (rad/)
6 0log 8 0log 4 4 0log ) 0 log( ) 0 log( 0 log(.34) ) ( 6 8 4 4.34 ) ( j db W W
Značajna razlika ovog itema u odnou na item iz prethodnog primera je ta da ovaj item ima pol u koordinatnom početku, te će početni nagib aimptotke amplitudke karakteritike biti -0 decibela po dekadi, a početni aimptotki egment u faznoj karakteritici π /.
Amplitudka aimptotka frekvencijka karakteritika itema
Jednačine pojedinih egmenata a ove karakteritike u AB : CD : DE : y y y 0log /.34 7.4 40log / 6.68 60log /8
Frekvencijke karakteritike itema
Frekvencijke karakteritike itema -
Izračunavanje parametara y preečna učetalot pojačanja je ona učetalot na kojoj amplitudka frekvencijka karakteritika itema u otvorenoj prezi preeca ou. U našem lučaju, prek amplidutke karakteritike a ovom oom e dešava na egmentu CD čija je analitička jednačina: y 7.4 40log / 7.4/ 40 0dB 7.4 40log / 0 3.06rad /
Sada, pošto mo odredili preečnu učetalot pojačanja možemo računati i preek faze iema 0. 0.35 6 arctan 8 arctan / 4 / arctan arctan / 6 arctan 8 arctan 4 4 arg / arctan arg rad j j W pf
Pretek pojačanja, preečna učetanot : j arg W Ova e učetalot ne može odrediti u ekplicitnoj formi jer je u pitanju tranedentna jednačina. Najbolji način da e ona odredi jete numerički, formiranjem ledeće tablice: rad / arg W j 0 4 3. 5 37.73 6. 0 98. 65 80. 0 U nekoliko uzatopnih iteracija e može prići traženoj vrednoti dovoljno blizu, te možemo piati da je preečna učetalot faze:.5rad /
Amplitudka aimptotka frekvencijka karakteritika itema
Na onovu učetaloti e lako određuje pretek pojačanja (amplitudka margina) d W j d db W j db Kako učetalot pripada egmentu CD na grafiku, pretek pojačanja računamo prema odgovarajućoj jednačini ovog egmenta: 7.4 40log / d y 7.4 40log.05/ 6. db y db 97
PITANJE. PID REGULATORI
Pid regulatori Pomarajmo item prikazan na lici čija je funkcija povratnog prenoa W 4 rt et W ct
Velika greška pozicije u tacionarnom tanju K p limw 0 8 e K p 8 9 rt et K p mt W ct
Ovakva vrta regulacije e naziva proporcionalna regulacija (ili P regulator) jer je veza između ignala greške i upravljačkog ignala m(t) proporcionalna: m t K p e t K p K P 8
Sa prikazanih lika e vidi da e a povećanjem proporcionalnog pojačanja manjuje vrednot ignala greške u tacionarnom tanju ali e itovremeno relativna tabilnot narušava. Naime, prekok potaje ve izraženiji a vreme mirenja itema ve duže. prevelikim proporcionalnim pojačanjem item bi potao netabilan.
Tako dolazimo do pojma proporcionalno-integralnog ili PI kompenzatora, koji je opian ledećom vezom između ignala greške i upravljačkog ignala: t K e d p e t T 0 i m t Primerom Laplaove tranformacije na polednju relaciju dobija efunkcija prenoa PI kompenzatora: G PI M E K p Ti K p T T i i
Sitem a proporcionalno-integralnim regulatorom T i Vremenka kontanta naziva e vremenkom kontantom integralnog dejtva. Struktura celog itema dobija formu kakva je prikazana na lici: rt et G PI mt W ct
Odkočni odzivi itema a PI regulatorom i dve različite vremenke kontante integralnog dejtva
Za item na levoj lici je vremenka kontanta integralnog dejtva Ti= i item nema prekok ali je zato vreme upona znatno duže nego za item na denoj lici, gde je vremenka kontanta integralnog dejtva Ti = 0.5, gde je item znatno brži, a kratkim vremenom upona ali a velikim prekokom i dugačkim vremenom mirenja.
Potavlja e pitanje da li e ova dva oprečna zahteva, da item ima kratko vreme upona i mali prekok mogu pomiriti.
Diferencijalno dejtvo upravljački ignal zavii i od prvog izvoda greške, pri čemu će ovo dejtvo imati efekta amo u prelaznom režimu dok će u tacionarnom tanju njegov efekat ičeznuti: m de p d Td T 0 i dt t t K et e Tako dolazimo do trukture proporcionalno-integralnodiferencijalnog regulatora, čija e funkcija prenoa jednotavno određuje primenom Laplaove tranformacije na polednju relaciju: t
Sitem kompenzovan a PID regulatorom G PID M E K p T i T d K p T i TT T i i d rt et G PID mt W ct
Td e naziva vremenkom kontantom diferencijalnog dejtva Međutim, potavlja e pitanje, šta u to pogodno izabrane vrednoti parametara PID regulatora. PID regulator ima tri lobodna parametra i izvršiti njihovo podešavanje, kako bi odziv itema bio prihvatljiv, ili najbolji mogući, uopšte nije jednotavno
Odkočni odziv a pogodno izabranim parametrima
Ziegler Nichol metoda Kritična vrednot pojačanja K p K p kr Polovi će doći na granicu tabilnoti blizu imaginarne oe.
Tabela parametara prema Ziegler Nicholu Tip regulatora P K 0.55 p K p kr Ti Td PI 0.35K p kr 0.60 PID K p kr.5t kr 0.80T kr 0.0T kr
primer f 3 7 4 K Drugim rečima K=90 item će doći na granicu tabilnoti, što znači da je to vrednot našeg kritičnog pojačanja: 90 K p kr Za ovu vrednot pojačanja karakteritični polinom itema potaje: f 3 7 4 98 4 7
na onovu čega zaključujemo da će za ovakvo pojačanje dva pola itema biti na imaginarnoj oi u tačkama 4 j, što na dovodi do periode ocilacija:
T. 68 kr kr 4 Primenom tabele parametara Ziegler i Nichola, funkcija prenoa PID regulatora treba da glai: G PID K p 54 T Ti.34 d 0.690 0.34 0.8.68 0..68
Odkočni odziv pri podešenim PID parametrima